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Tema 15. Regresión lineal múltiple 308
TEMA 15.- REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
- Hipótesis del modelo. - Estimación y contrastes sobre los parámetros. - Significación del modelo. - Análisis residual. - Métodos de selección de variables.
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 309
Regresión lineal múltiple
El modelo es Y X k Xk 0 1 1 Y Variable respuesta o dependiente X1, X2, ..., Xk Variables independientes o regresores Perturbación aleatoria
Dispondremos de una muestra de n observaciones para este modelo: 0 1 1 ... 1...i i k ik iky x x i n
Reunimos estas n condiciones con ayuda de vectores y matrices en la forma:
1 ( 1) ( 1) 1 1
y = X β + εnx nx k k x nx
1 11 11 0 1y X β
1 1
x xy k
y x xn k nn nk
X se denomina matriz de diseño. En su fila i aparecen las condiciones x del caso i. Conocida. y es el vector que contiene las n respuestas. Conocido. La fila i-ésima de ambos corresponde a la i-ésima observación hecha del modelo. vector de parámetros. Desconocido. Cada coeficiente j representa lo que aumenta la respuesta Y cuando la variable Xj aumenta una unidad y los restantes regresores se mantienen constantes. vector de perturbaciones aleatorias (otras fuentes de variabilidad). No observable. Desconocido.
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 310
Hipótesis del modelo
1) LINEALIDAD 0, , 0 1 1yiE i E x x ii i k ik
2) HOMOGENEIDAD DE LA VARIANZA 2 2, , Var i Var y ii i
3) INDEPENDENCIA DE LAS PERTURBACIONES 1, … n independientes
4) NORMALIDAD
1, … n normales y1, … yn normales
El número de observaciones n debe superar al de parámetros k para poder estimarlos, pues debemos resolver en b el sistema de ecuaciones XtX b = Xty que de otro modo tendría más incógnitas que ecuaciones.
Los REGRESORES deben ser LINEALMENTE INDEPENDIENTES para que ese sistema no sea indeterminado (solución no única). Siempre puede eliminarse del modelo un regresor que sea linealmente dependiente de otros que ya aparecen en el modelo.
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 311
Ejemplo: Resistencia al desprendimiento de alambre de semiconductores En una fábrica de semiconductores el semiconductor terminado es alambre adherido en una placa. Se quiere estudiar la resistencia al desprendimiento del alambre. Se recogen datos de resistencia, longitud del alambre y altura del molde de fabricación.
Observación Resistencia Longitud Altura Observación Resistencia Longitud Altura
1 9,95 2 50 14 11,66 2 3602 24,45 8 110 15 21,65 4 2053 31,75 11 120 16 17,89 4 4004 35,00 10 550 17 69,00 20 6005 25,02 8 295 18 10,30 1 5856 16,86 4 200 19 34,93 10 5407 14,38 2 375 20 46,59 15 2508 9,60 2 52 21 44,88 15 2909 24,35 9 100 22 54,12 16 51010 27,50 8 300 23 56,63 17 59011 17,08 4 412 24 22,13 6 10012 37,00 11 400 25 21,15 5 40013 41,95 12 500
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 312
Estimación de los parámetros del modelo
Como en regresión simple, buscamos el que minimiza la suma de cuadrados de los residuos ei :
2 n 2(β) e = e'e= y-Xβ ' y-Xβ = y'y-2β'X'y+β'X'Xβ0 1 1 i1 i=1
nL y x xi i k iki
Derivando e igualando a 0 obtenemos un mínimo en -1β= X'X X'Y :
ˆ0 2X'Y+2X'Xββ βL
ˆX'Xβ=X'y (ecuaciones normales) -1β= X'X X'y
A partir de esta solución β se obtienen los vectores de:
Valores ajustados (valores de y predichos por el modelo) -1ˆy= Xβ = X X'X X'y = Hy
Residuos (que estiman las perturbaciones) -1 -1ˆe = y - y = y - X X' X X' y = (I - X X' X X') y = (I - H) y
ˆ ˆ ˆ0 1 1e y x xi i i k ik
Propiedades de los estimadores β Medias y varianzas: E( β )= (estimadores insesgados) Var ( β ) = 2 (X’X)-1
Llamando cij al elemento (i,j) de la matriz X X' 1 tenemos β β , N ci iii
Nótese que los estimadores no son independientes.
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 313
Estimación de la varianza
Nos falta aún estimar un último parámetro desconocido: la varianza de las perturbaciones i. Si conseguimos esta estimación podremos pasar a construir intervalos de confianza y test de hipótesis sobre los parámetros i. El estimador de (varianza de las perturbaciones i, que no son observables) se basa, lógicamente, en la variabilidad de sus estimadores, los residuos ei:
Suma de Cuadrados Residual SSE = eiin 2
1 es independiente de β
Su distribución: 22
1n kSSE
Dividiendo SSE por los g. de l. de la 2 obtenemos MSE, el estimador buscado:
2 = MSEeii
n
n kSSE
n k
21
1 1
Es un estimador insesgado para : E MSE 2
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 314
Inferencias sobre los parámetros
De los resultados anteriores β β , N ci iii
y 22
1n kSSE
indep. de β obtenemos:
ˆ ˆ - -
0,1 ; 0,1,...,12 i i i iN t t para i ki n kMSE cc iiii
lo cual permite construir I. de C y contrastes sobre los i: INTERVALOS DE CONFIANZA
ˆ ˆ, 1 , 12 2
t MSE c t MSE ci ii i i iin k n k
CONTRASTES DE HIPÓTESIS
1,2
*ˆ*1
*0:
:kntC
H
H
iiMSEcii
ii
ii
Nótese que ˆˆ ii iMSE c Var es la varianza estimada del estimador del parámetro i.
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 315
Tabla de coeficientes estimados
Puede haber varias variables cuyo p-valor supere el nivel habitual 0.05 (con lo que no serían significativas a ese nivel). No podemos eliminar todas esas variables a la vez.
Puede que una variable que no es significativa en este modelo sí lo sea cuando eliminemos otra de las variables del modelo porque ambas explicaban la misma parte de la variabilidad de Y (recordar que los estimadores de los parámetros no son independientes); pueden ser dos variables con alta correlación.
No debe entonces eliminarse más de una variable cada vez si se utilizan estos contrastes. Tras eliminar una variable conviene reajustar el modelo y analizar la tabla nueva.
Parameter Estimate Standard Error
t-Value contraste i=0
p-value
Intercept
0
MSE c 00
00
0ˆ0 cMSEt
00
0ˆ0 cMSE
tP
1
MSE c 11 11
11 cMSEt
11
11 cMSEtP
k
k
MSE ckk
kkcMSE
kkt
kkcMSEk
ktP
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 316
Multiple Regression - Resistencia Dependent variable: Resistencia Independent variables: Longitud Alambre, Altura Matriz Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value CONSTANT 2,26379 1,06007 2,13552 0,0441 Longitud Alambre 2,74427 0,0935238 29,343 0,0000 Altura Matriz 0,0125278 0,00279842 4,47675 0,0002 Intervalo de confianza del 95% para 1
0935238,0074,274427,21 es decir 2,5503 ≤ 1 ≤ 2,9382 Contraste de Hipótesis para 2
22,025,001
20
012,0:012,0:
ttCHH
i
1886,000279842,0
012,00125278,00
t
t0,025 , 22 = 2,074 p-valor = 0,8521
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 317
Test de significación de la regresión. H0 : H1 : Algún i 0
Este contraste plantea si conjuntamente las variables regresoras aportan algo o no a la explicación de la respuesta.
SSR SSE independt.
El test entonces compara la variabilidad explicada con la no explicada o residual mediante el estadístico
1,0
10
knkF
HMSEMSR
knSSE
kSSR
F
Se recopilan los cálculos en la denominada
TABLA ANOVA
V.Total corregida (SSTm) V. Explicada (SSR) V. Residual (SSE) 2
1yyS
ny yii
= 2
ˆ1
ny yii
+
n
iiyiy
12ˆ
2 21SSTm n SSR
Hk 2 0 2
SSE n k 21
2
SOURCE D.F. SS MSS F0 Prob. (p-valor) Regression k SSR MSR MSR
MSEP(Fk,n-k-1>MSR/MSE)
Residual n-k-1 SSE MSE Total corregida n-1 SSTm
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 318
Multiple Regression - Resistencia Dependent variable: Resistencia Independent variables: Longitud Alambre, Altura Matriz Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Model 5990,77 2 2995,39 572,17 0,0000 Residual 115,173 22 5,23516 Total (Corr.) 6105,94 24 R-squared = 98,1137 percent R-squared (adjusted for d.f.) = 97,9423 percent Standard Error of Est. = 2,28805
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 319
Intervalo para la respuesta media bajo condiciones x0: E y0
Parámetro 0'0 xyE donde kxxx 0,,01,10' Estimador ' y x0 0
Intervalo de confienza del 1-
0
1'0'1,20ˆ0 xXXxMSEkntyyE
Predicción de nuevas observaciones Queremos predecir mediante un I. de C. y0 , el valor de una nueva observación en x’0. El intervalo de confianza de nivel 1- es
01'0'11,20ˆ0 xXXxMSEkntyy
Nota: Al calcular intervalos hay que tener en cuenta que no se debe extrapolar ya que la validez del modelo puede estar restringida a la región donde están las observaciones originales. Además en una situación de regresión múltiple es fácil extrapolar sin notarlo como ilustramos en este gráfico.
Rango de X1
Rango de X2
Rango Conjunto
Extrapolación
x01
x02
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 320
Ejemplo: Construir intervalos de confianza del 95% para la respuesta media y de predicción cuando la longitud es 8 y la altura de la matriz es 200. Valores de los regresores: x’0 = [1, 8, 200]
Estimación de la respuesta: 7235,2601253,074427,226379,2
200,8,1ˆ0'0ˆ
xy
Varianza estimada del estimador de la respuesta media: 5827,001'0'
xXXxMSE
Varianza estimada de la predicción:
01'0'1 xXXxMSE = 2,3609
t0,025 , 22 = 2,074 Intervalo para la respuesta media 25,515 ≤ 0'0 xyE ≤ 27,9321 Intervalo de predicción para la respuesta a x0 21,8269≤ y0 ≤ 31,6201
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 321
Análisis Residual del ejemplo: Residual Plot
0 20 40 60 80predicted Resistencia
-4
-2
0
2
4
Stud
entiz
ed r
esid
ual
Residual Plot
0 4 8 12 16 20Longitud Alambre
-4
-2
0
2
4
Stud
entiz
ed r
esid
ual
Residual Plot
0 100 200 300 400 500 600Altura Matriz
-4
-2
0
2
4
Stud
entiz
ed res
idua
l
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 322
Multiple Regression - Resistencia Dependent variable: Resistencia Independent variables: Longitud Alambre^2, Longitud Alambre, Altura Matriz
Parameter Estimate St. Error T Statistic P-ValueCONSTANT 5,36842 1,42317 3,77215 0,0011 Longitud Alambre^2 0,0428265 0,0149732 2,86021 0,0094 Longitud Alambre 1,95606 0,287295 6,80854 0,0000 Altura Matriz 0,0103749 0,00254374 4,07861 0,0005
Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Model 6023,06 3 2007,69 508,68 0,0000 Residual 82,8847 21 3,94689 Total (Corr.) 6105,94 24
R-squared = 98,6426 percent R-squared (adjusted for d.f.) = 98,4486 percent Standard Error of Est. = 1,98668
0 20 40 60 80
predicted Resistencia
-4
-2
0
2
4
Stud
entiz
ed res
idua
l
r = 3,77
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 323
Multiple Regression – Resistencia (Eliminando la observación atípica) Dependent variable: Resistencia Independent variables: Longitud Alambre^2, Longitud Alambre, Altura Matriz
Parameter Estimate St. Error T Statistic P-ValueCONSTANT 4,55238 1,13559 4,00882 0,0007 Longitud Alambre^2 0,0412429 0,0117362 3,51416 0,0022 Longitud Alambre 2,0138 0,225561 8,92794 0,0000 Altura Matriz 0,0111222 0,00200237 5,55452 0,0000
Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Model 6000,73 3 2000,24 825,96 0,0000 Residual 48,4345 20 2,42173 Total (Corr.) 6049,17 23 R-squared = 99,1993 percent R-squared (adjusted for d.f.) = 99,0792 percentStandard Error of Est. = 1,55619
0 20 40 60 80predicted Resistencia
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
2,5
Stud
entiz
ed res
idua
l
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 324
Métodos por etapas de selección de variables: 1. SELECCIÓN HACIA ADELANTE (FORWARD) Se parte de un modelo sólo con término independiente y en cada paso se incorpora la variable que
tiene menor p-valor en el modelo resultante de añadir dicha variable al modelo del paso anterior, siempre que se cumpla p-valor<p-to-enter.
El proceso concluye cuando no entran más variables.
2. ELIMINACIÓN HACIA ATRÁS (BACKWARD) Se parte de un modelo con todas las variables y en cada paso se elimina la variable que tiene mayor p-
valor en dicho modelo, siempre que se cumpla p-valor>p-to-remove. El proceso concluye cuando no salen más variables.
3. REGRESIÓN PASO A PASO (STEPWISE) Es un modelo que incorpora las ideas FORWARD Y BACKWARD: Se parte de un modelo sólo con término independiente y en cada paso se incorpora la variable que
tiene menor p-valor en el modelo resultante de añadir dicha variable al modelo del paso anterior, siempre que el estadístico cumpla p-valor<p-to-enter y a continuación se eliminan (de una en una) aquellas variables presentes en el modelo que cumplan p-valor>p-to-remove.
El proceso concluye cuando no entran ni salen más variables. Para que el proceso no entre en bucles, se deben usar valores p-to-remove p-to-enter.
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 325
Ejemplo: En un artículo publicado por Kwan, Kowalski y Skogenboe en Journal of Agricultural and Food Chemistry, Vol. 27, 1979 se ofrecen datos de 38 marcas de vino de variedad Pinot Noir. A través del juicio de varios expertos se ha medido la “Calidad” de cada vino y se dispone de valores de 4 variables (Aroma, Cuerpo, Sabor, Oakiness, Claridad) que pueden explicar dichos valores de calidad.
X1 X2 X3 X4 X5 y X1 X2 X3 X4 X5 y Aroma Body Flavor Oakiness Clarity Quality Aroma Body Flavor Oakiness Clarity Quality 1 3,3 2,8 3,1 4,1 1 9,8 20 3,4 5 3,4 3,4 0,9 7,92 4,4 4,9 3,5 3,9 1 12,6 21 6,4 5,4 6,6 4,8 0,9 15,13 3,9 5,3 4,8 4,7 1 11,9 22 5,5 5,3 5,3 3,8 1 13,54 3,9 2,6 3,1 3,6 1 11,1 23 4,7 4,1 5 3,7 0,7 10,85 5,6 5,1 5,5 5,1 1 13,3 24 4,1 4 4,1 4 0,7 9,56 4,6 4,7 5 4,1 1 12,8 25 6 5,4 5,7 4,7 1 12,77 4,8 4,8 4,8 3,3 1 12,8 26 4,3 4,6 4,7 4,9 1 11,68 5,3 4,5 4,3 5,2 1 12 27 3,9 4 5,1 5,1 1 11,79 4,3 4,3 3,9 2,9 1 13,6 28 5,1 4,9 5 5,1 1 11,9
10 4,3 3,9 4,7 3,9 1 13,9 29 3,9 4,4 5 4,4 1 10,811 5,1 4,3 4,5 3,6 1 14,4 30 4,5 3,7 2,9 3,9 1 8,512 3,3 5,4 4,3 3,6 0,5 12,3 31 5,2 4,3 5 6 1 10,713 5,9 5,7 7 4,1 0,8 16,1 32 4,2 3,8 3 4,7 0,8 9,114 7,7 6,6 6,7 3,7 0,7 16,1 33 3,3 3,5 4,3 4,5 1 12,115 7,1 4,4 5,8 4,1 1 15,5 34 6,8 5 6 5,2 1 14,916 5,5 5,6 5,6 4,4 0,9 15,5 35 5 5,7 5,5 4,8 0,8 13,517 6,3 5,4 4,8 4,6 1 13,8 36 3,5 4,7 4,2 3,3 0,8 12,218 5 5,5 5,5 4,1 1 13,8 37 4,3 5,5 3,5 5,8 0,8 10,319 4,6 4,1 4,3 3,1 1 11,3 38 5,2 4,8 5,7 3,5 0,8 13,2
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 326
Multiple Regression - Quality Dependent variable: Quality Independent variables: Aroma, Body, Flavor, Oakiness, Clarity Parameter Estimate St. Error T Statistic P-Value CONSTANT 3,99686 2,23177 1,79089 0,0828 Aroma 0,482551 0,272447 1,77117 0,0861 Body 0,273161 0,332561 0,821388 0,4175 Flavor 1,16832 0,304481 3,8371 0,0006 Oakiness -0,68401 0,271193 -2,52223 0,0168 Clarity 2,33945 1,73483 1,34852 0,1870 Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Model 111,54 5 22,3081 16,51 0,0000 Residual 43,248 32 1,3515 Total (Corr.) 154,788 37 R-squared = 72,0599 percent R-squared (adjusted for d.f.) = 67,6943 percent Standard Error of Est. = 1,16254
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 327
Backward elimination: Paso 1: Eliminar Body Parameter Estimate St. Error T Statistic P-Value CONSTANT 4,98555 1,87007 2,66597 0,0118 Aroma 0,529977 0,264943 2,00034 0,0537 Flavor 1,26431 0,279773 4,51905 0,0001 Oakiness -0,658894 0,268132 -2,45735 0,0194 Clarity 1,79423 1,5949 1,12498 0,2687 Paso 2: Eliminar Clarity Parameter Estimate St. Error T Statistic P-Value CONSTANT 6,46719 1,33279 4,85238 0,0000 Aroma 0,58012 0,262185 2,21264 0,0337 Flavor 1,19969 0,274881 4,36441 0,0001 Oakiness -0,602325 0,264401 -2,27807 0,0291 Este sería el modelo final. Notar que la variable Aroma que no era significativa en el modelo inicial sí lo es ahora.
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 328
Forward selection: Paso 1: Modelos con una sola variable.
Parameter Estimate St. Error T Statistic P-Value CONSTANT 5,95833 1,10498 5,39227 0,0000 Aroma 1,3365 0,222613 6,00369 0,0000
Parameter Estimate St. Error T Statistic P-Value CONSTANT 6,058 1,64406 3,68479 0,0007 Body 1,36177 0,345806 3,93797 0,0004
Parameter Estimate St. Error T Statistic P-Value CONSTANT 4,94141 0,991053 4,98602 0,0000 Flavor 1,57189 0,203288 7,73234 0,0000
Parameter Estimate St. Error T Statistic P-Value CONSTANT 12,9916 1,99183 6,52243 0,0000 Oakiness -0,130365 0,461378 -0,282556 0,7791
Parameter Estimate St. Error T Statistic P-Value CONSTANT 12,0034 2,56098 4,68705 0,0000 Clarity 0,469227 2,74857 0,170717 0,8654
Son candidatas a entrar todas las variables con p-valor < 0.05. Entra “Flavor” por ser la de menor p-valor (mayor valor absoluto del estadístico t).
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Tema 15. Regresión lineal múltiple 329
Paso 2: Modelos con dos variables, siendo una de ellas “Flavor”.
Parameter Estimate St. Error T Statistic P-Value CONSTANT 4,34623 1,00914 4,30686 0,0001 Aroma 0,517965 0,275927 1,87718 0,0688 Flavor 1,17017 0,290545 4,02749 0,0003
Parameter Estimate St. Error T Statistic P-Value CONSTANT 4,58462 1,24752 3,67499 0,0008 Body 0,161283 0,33605 0,479937 0,6343 Flavor 1,48828 0,269405 5,52432 0,0000
Parameter Estimate St. Error T Statistic P-Value CONSTANT 6,9122 1,38892 4,97668 0,0000 Oakiness -0,541444 0,277215 -1,95316 0,0588 Flavor 1,64177 0,19902 8,24926 0,0000
Parameter Estimate St. Error T Statistic P-Value CONSTANT 3,39415 1,92413 1,76399 0,0865 Clarity 1,59076 1,69463 0,938709 0,3543 Flavor 1,58823 0,204366 7,77147 0,0000 Ninguna variable más es significativa al nivel 0.05 en presencia de “Flavor” con lo que el método forward se detiene y la única variable que está en el modelo es “Flavor”.
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