Tema 2CAMPO ELECTRICO EN EL VACIO Y EN
MATERIALES
1. Fundamentos de electrostática2. Ley de Coulomb: Fuerza entre cargas eléctricas.3. Campo eléctrico.4. Ley de Gauss del campo eléctrico (1ª Ecuación de Maxwell)5. Potencial eléctrico.6. Movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico.7. Materiales en el seno de campos eléctricos.8. Capacidad eléctrica. Condensadores.9. Energía potencial electrostática.
La ELECTROSTATICA trata sobre las interacciones entre “cuerpos” cargados
De hecho, la “carga” es aquella propiedad de la materia que pone de manifiesto estas interacciones (de atracción o de repulsión)
Electricidad estática
Situación en la que hay una acumulación de cargas en una zona de un material, que no tiene capacidad para evacuarlas.
Tema 2. Campo eléctrico Fundamentos
Hace 26 siglos, Tales de Mileto descubrió que, al frotar un trozo de resina fósil (ámbar, “elektron” en griego), podía atraer lana u otros materiales (pequeños).
Explicación de la carga por contacto (o frotación).
Electrones pasan desde la superficie de un material al otro; quedan cargados con cargas de signos opuestos.
Tema 2. Campo eléctrico Fundamentos
Impresión láser
Pantallas interactivas
Aplicaciones tecnológicas de la electrostática
Almacenamiento de “información”: ferroeléctricos
Tema 2. Campo eléctrico Fundamentos
Carga eléctrica: (Recordatorio)
- Se considera continua
- La carga móvil en los metales está compuesta por electrones
- Los electrones pueden moverse por los materiales conductores
Esfera conductora
cargada
Esfera conductora descargada
Hilo conductor
La carga se reparte
+++ ++++++++
+++
++ +++ ++++ +
++ ++
La carga del electrón la determinó experimentalmente Millikan en 1909
Qe=1.6·10-19 C
Tema 2. Campo eléctrico Fundamentos
La tierra es un enorme “océano” de cargas. Todo objeto cargado que se conecte a ella,se descargará
Carga por inducción electrostática:
Tema 2. Campo eléctrico Fundamentos
Interacción entre cargas
Ley de Coulomb
- Puede ser atractiva o repulsiva
- Es central
- Dependencia inversa con la distancia al cuadrado
- K depende del medio en el que estén las cargas
En el vacío: K = 8,99·109 N m2 C-2
e0 = 8,85·10-12 C2 N-1 m-2
q1
q2
r12
K=1
4
e permitividad del medio
Tema 2. Campo eléctrico Ley de Coulomb
Interacción entre cargas
Ley de Coulomb fuerza de q1 sobre q2
La interacción electrostática es aditiva:
(suma vectorial)
Principio de superposición:
El efecto causado por varias cargas es la suma de los efectos de cada una de ellas consideradas por separado.
F s=∑iF i=∑i
Kq i q0
r i02 r i0
F=Kq1 q2
r122 r12
Tema 2. Campo eléctrico Ley de Coulomb
Interacción entre cargas
Ley de Coulomb
Para una distribución continua de carga:
F s=∫ d F=∫q0
r2 dq r
F=Kq1 q2
r122 r12
dq
r
dF
q0
Tema 2. Campo eléctrico Ley de Coulomb
Campo eléctrico
En Física, se define un campo como una magnitud (escalar o vectorial) que depende del espacio
Campo de temperaturas en una llama
Campo de velocidades en un remolino
Tema 2. Campo eléctrico Campo eléctrico
Campo eléctrico
Se define el campo eléctrico, , como la fuerza eléctrica que siente una carga unidad (1 C) situada en ese punto del espacio
La fuerza que siente una carga q en una región del espacio donde existe un campo eléctrico es:
El campo creado por una carga puntual, q
0, es:
(la carga se ha situado en el origen de coordenadas)
El campo creado por una distribución discreta de carga es:
E
F=q E
E=Kq0
r 2r
E=∑iEi=∑i
Kqi
r 2r
Tema 2. Campo eléctrico Campo eléctrico
Campo eléctrico
Se representa el campo eléctrico a través de las líneas de campo: “Líneas tangentes a la fuerza que siente una carga unidad en ese punto espacial”
Carga puntual
Pares de cargas
Tema 2. Campo eléctrico Campo eléctrico
Campo eléctrico
Campo eléctrico generado por una distribución continua de carga
Densidad volumétricade carga:
Densidad superficialde carga:
Densidad linealde carga:
F e=∫ d F=∫QK
dq q0
r 2 r E=∫d E=∫QK
dq
r2 r
dq=dV
Tema 2. Campo eléctrico Campo eléctrico
dq= dS
dq= dl
Campo eléctrico
Campo eléctrico generado por una varilla uniformemente cargada, en un punto de su mediatriz:
Varilla infinita:
E=∫d E=∫QK
dq
r2 r
d E=Kdq
r2 r=K dx
r2 cos j
E=2 K L
y1
L24 y 2
j
E=2 K
yj
Tema 2. Campo eléctrico Campo eléctrico
Campo eléctrico
Campo eléctrico generado por un anillo uniformemente cargado, en un punto de su eje:
En el centro, el campo es nulo.
E=∫d E=∫QK
dq
r2 r
d E=Kdq
r 2 r=K dq
r2 cos i
E=K Q x
x2a2
3/2
i
Tema 2. Campo eléctrico Campo eléctrico
Campo eléctrico
Campo eléctrico generado por un disco uniformemente cargado, en un punto de su eje:
Para un disco infinito:
Es independiente de la distancia!!
E=∫d E=∫QK
dq
r2 r
d E=K2πaσ x da
(x2+a2
)3/2 i
E=2 K 1− x
x2R2 i
E=2 K i=
20
i
Tema 2. Campo eléctrico Campo eléctrico
Campo eléctrico: Ley de Gauss
Flujo de campo a través de una superficie:
Flujo a través de una superficie cerrada:
El flujo de campo eléctrico a través una superficie esférica centrada en la carga:
=∫AE · d A
=∮AE ·d A
=∮AE · d A = 4 K Q =
Q0
Tema 2. Campo eléctrico Ley de Gauss
Campo eléctrico: Ley de Gauss
La ley de Gauss establece que el flujo de campo a través de una superficie cerrada es igual a Q/e
0, siendo Q la carga total encerrada
en la superficie:
Y en forma diferencial:
div
Nota matemática:
div
Φ =Qε0
E =0
E = ∇ E =∂ E x
∂ x
∂ E y
∂ y
∂ E z
∂ z
Tema 2. Campo eléctrico Ley de Gauss
Campo eléctrico: Ley de Gauss
Cálculo del campo eléctrico utilizando la ley de Gauss
Plano uniformemente cargado
Φ=∮AE · d A =
Qε0
- En la superficie lateral el flujo es nulo
- En las caras paralelas a la superficie, el campo es constante
- La carga total encerrada es sS.
Superficie cilíndrica, de caras paralelas al plano, de sección S
Φ= 2 E S=Qε0
Tema 2. Campo eléctrico Ley de Gauss
E=± σ2ε0
k
Campo eléctrico: Ley de Gauss
Cálculo del campo eléctrico utilizando la ley de Gauss
Esfera con carga uniforme Varilla infinita con carga uniforme
=∮AE · d A =
Q0
Superficie esférica, concéntrica a la cargada
Superficie cilíndrica, coaxial a la línea cargada
E={K Q
r 2rR
KQ
R3r rR }
E=2 K
r
Tema 2. Campo eléctrico Ley de Gauss
Potencial eléctrico
Se define el potencial eléctrico en un punto como el trabajo necesario para trasladar una carga unitaria desde el infinito hasta el punto
La diferencia de potencial entre dos puntos es, entonces:
Las cargas positivas se mueven de las zonas de mayor a menor potencial
V a=U a
q=−∫∞
aE · d l
V b−V a= U
q=−∫a
bE ·d l
Tema 2. Campo eléctrico Potencial eléctrico
Potencial eléctrico
El potencial generado por una carga puntual
Distribución discreta de cargas:
Distribución continua de cargas:
V a=−∫∞
aE ·d l =K
qra
V a=∑iK
qi
r i
V =∫Kdqr
Tema 2. Campo eléctrico Potencial eléctrico
Potencial eléctrico
Esfera uniformemente cargada:
Superficie esférica uniformemente cargada:
V r =KQr
si rR
V r =KQR
si r≤R
Tema 2. Campo eléctrico Potencial eléctrico
V r =KQr
si rR
V r =KQ 3R2
−r2
2R3 si r≤R
Q+
+
+ ++
+ ++ +
+ ++++
+++
+++
+ +
+++
++
+ ++
+
+
Q
+
+
++ +
++ + +
++
+++ +
+++
++++
++
+ ++
Potencial eléctrico
Relación entre el potencial eléctrico y el campo que lo genera
grad
Cálculo del campo y el potencial:
- Cálculo directo del campo, e integración para obtener el potencial
- Cálculo del campo con la Ley de Gauss e integración para obtener V
- Cálculo directo del potencial y cálculo del gradiente para obtener el campo
V a=−∫∞
aE ·d l E=− V
E =−∇ V = −∂V∂ x
i−∂V∂ y
j−∂V∂ z
k
Tema 2. Campo eléctrico Potencial eléctrico
Potencial eléctrico: Relación entre potencial y trabajo
La diferencia de potencial eléctrico entre los puntos Q y P es el trabajo realizado por la fuerza eléctrica para llevar una unidad de carga positiva (q0 = 1) desde Q a P
Potencial = trabajo por unidad de carga eléctrica.
Su unidad: [V] = voltio = V = julio / culombio
0
)()(q
WPVQV
Este generador aporta 1.5 Julios de energía a cada culombio que lo atraviesa
Tema 2. Campo eléctrico Potencial eléctrico
Tema 2. Campo eléctrico Potencial eléctrico
Potencial eléctrico: Superficies equipotenciales
Las superficies equipotenciales de un campo eléctrico son las superficies definidas por todos los puntos con igual potencial:
- No se pueden cortar
- Son perpendiculares a las líneas de campo
Movimiento de cargas en el campo eléctrico
Fuerza que siente una partícula cargada
La ecuación del movimiento es:
Si el campo es uniforme, (p.e. creado por placas infinitas), la aceleración
es constante
F=q E
md 2
x
dt 2=q E
Tema 2. Campo eléctrico Movimiento de cargas
Movimiento de cargas en el campo eléctrico
Definimos un dipolo eléctrico como un par de cargas con signos opuestos, con una separación entre ellas fija.
Momento dipolar:
El vector L va de la carga negativa a la positiva
Modelo para moléculas o distribuciones complejas
p=q L
Tema 2. Campo eléctrico Movimiento de cargas
Movimiento de cargas en el campo eléctrico
Momento dipolar:
La fuerza total es nula en un campo uniforme (o con variación despreciable si L es pequeño), pero el momento tiene a alinear el dipolo con el campo:
El trabajo necesario para rotar el dipolo (igual a la energía potencial) es:
p=q L
M =p×E
d W =−M d U =−W =−p · E
Tema 2. Campo eléctrico Movimiento de cargas
Materiales conductores
Los materiales conductores tienen cargas móviles en su interior
Un conductor se encuentra en equilibrio electrostático cuando se verifica:
1. El campo eléctrico es nulo en su interior
2. El exceso de carga se sitúa en la superficie, creando un campo s/e0
3. La densidad superficial de carga es mayor en las zonas de mayor
curvatura
++++++ + + + +
+ + ++
+
+
+++++
++++++
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Materiales conductores
1. El campo eléctrico es nulo en su interior
Las cargas responden al campo externo hasta que se acumulan en la superficie y anulan el campo que las mueve
q
Jaula deFaraday
E = 0
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
q0E
Materiales conductores
1. El campo eléctrico es nulo en su interior
Las cargas responden al campo externo hasta que se acumulan en la superficie y anulan el campo que las mueve
q
Jaula deFaraday
E = 0
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
q0E
Materiales conductores
2. El exceso de carga se sitúa en la superficie, creando un campo s/e0
El valor del campo puede calcularse suponiendo que estamos tan cerca de la superficie que es plana y E = 0 en el interior.
E
nE
tE
Si no fuera perpendicular a la superficie, las cargas se
moverían por ella.
E S
E=σε0
n
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
El potencial es constante dentro y en la superficie dV =−E · d l =0
Materiales conductores
3. La densidad superficial de carga es mayor en las zonas de mayor curvatura
Si R1 > R
2 entonces luego
+ +
++
++++
++
+
+ +++++
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
q1
R12<
q2
R22
σ1<σ2
1
2
Materiales conductores
Ejemplo:
Un conductor en el senode un campo eléctrico homogéneo y uniforme.
Se verifica que:
• No hay campo en el interior del conductor.• La carga se redistribuye en su superficie.• El campo en su superficie es perpendicular a la superficie• Por tanto, su presencia deforma las líneas de campo.
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Materiales dieléctricos
Cuando un material dieléctrico se somete a un campo eléctrico se inducen dipolos en su interior
Átomo sin campo externo:El centro de la nube electrónicacoincide con el núcleo
El dipolo es inducido por el campo externo. Por tanto se anulará cuando éste desaparezca.
El dipolo crea un campo de sentido contrario al que lo ha originado
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Campo eléctrico en dieléctricos
Cuando un material dieléctrico se somete a un campo eléctrico se forman dipolos inducidos en el material
Superficie con carga positiva inducida
Superficie con carga negativa inducida
Moléculas polarizadas
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Campo eléctrico en dieléctricos
Cuando un material dieléctrico se somete a un campo eléctrico se forman dipolos inducidos en el material
En el seno del material puede definirseuna densidad de momento dipolar:
A esta cantidad la llamamos vector polarización
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Campo eléctrico en dieléctricos
Cuando un material dieléctrico se somete a un campo eléctrico se forman dipolos inducidos en el material
En la superficie, se define una densidadsuperficial de carga inducida:
La carga total en la superficie es:
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Campo eléctrico en dieléctricos
Cuando un material dieléctrico se somete a un campo eléctrico se forman dipolos inducidos en el material
La ley de Gauss generalizada:
Si la polarización es proporcional al campo eléctrico:
El vector desplazamiento también es proporcional:
Constante dieléctrica relativa, er
Permitividad del medio, e
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Susceptibilidad eléctrica
Campo eléctrico en dieléctricos
Materiales ferroeléctricos: conservan la polarización después de haber desaparecido el campo aplicado (cerámicas ferroeléctricas).
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Campo eléctrico en dieléctricos
Cuando el campo eléctrico es muy alto, se arrancan electrones del dieléctrico. Este fenómeno se conoce como ruptura dieléctrica.
Al máximo campo que el material es capaz de soportar sin “romperse” se denomina rigidez dieléctrica, k.
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Campo eléctrico en dieléctricos
Cuando el campo eléctrico es muy alto, se arrancan electrones del dieléctrico. Este fenómeno se conoce como ruptura dieléctrica.
Al máximo campo que el material es capaz de soportar sin “romperse” se denomina rigidez dieléctrica. Material e
r k (106 V/m)
Aceite 2,24 12 Agua a 20 ºC 80 Aire 1,0006 3 Baquelita 4,9 24 Mica 5,4 10-100 Neopreno 6,9 12 Papel 3,7 16 Parafina 2,3 10 Plexiglás 3,4 40 Porcelana 7 5,7 Vidrio pyrex 5,6 14
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Energía del campo eléctrico
Energía necesaria para crear una configuración de cargas
Distribución discreta de cargas:
(Vi es el potencial que crean todas las demás cargas sobre la i)
Distribución continua:
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
U=12(U AB+U BA+U AC+U CA+U BC+U CB+U AD+U DA+U BD U DB+U CD+U DC)
U=U AB+...
U=U AB+(U AC+U BC)+...
U=U AB+(U AC+U BC)+(U AD+U BD+U CD)
U XY=qY V X (r XY )=qY
k qX
r XY
=U YX =(U XY+U YX )/2
U=0+... Hemos puesto A
Hemos añadido B
Hemos añadido C
Hemos añadido D
“Duplicamos” usando:
Demostremos en el ejemplo que
Energía del campo eléctrico
Si un dieléctrico está en presencia de un campo eléctrico:
Integrando por partes:
Energía del campo eléctrico en un dieléctrico
Energía por unidad de volumen:
Utilizamos la ley de Gauss en un dieléctrico
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Integral a todoel espacio
Condensador
Un condensador es un dispositivo diseñado para almacenar energía eléctrica. Se compone de dos conductores aislados uno del otro, que almacenan cargas iguales y de signos opuestos.
Se define la capacidad de un condensador como:
La unidad de capacidad es el Faradio: 1 F = 1 C/V
Condensador de láminas plano-paralelas
Condensador cilíndrico
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Condensador
Capacidad de un condensador de láminas plano-paralelas:
Si introducimos un dieléctrico entre las placas:
Energía almacenada en el condensador:
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Condensador
Ejemplos de condensadores
Condensadoreselectrolíticos
Cambia la capacidad delcondensador al pulsar
la tecla
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Condensador
Condensador en un circuito:
Asociación en serie:
Vb-V
a = V
b-V
m + V
m-V
a
Qeq
= Q1 = Q
2
1 1 1 C
eq C
1 C
2
= +
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Condensador
Condensador en un circuito:
Asociación en paralelo:
Vb-V
a = V
1 = V
2
Qeq
= Q1 + Q
2
Ceq
= C1 + C
2
Las asociaciones mixtas deben resolverse de empezando por lasagrupaciones más simples hasta tener un sólo condensador equivalente.
Tema 2. Campo eléctrico Materiales en campos eléctricos
Ejemplo ilustrativo el comportamiento del campo eléctrico (E), el vector de polarización (P) y el vector desplazamiento eléctrico (D) en un material dieléctrico
−=
−+
−= L
d
NnqQ
d
NLQ
d
NLnqQSE
000
11
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
L
00 =E
+++++++++++
-----------
d
00 =E
Q Q−nq+nq−S
UsandoLey de Gauss,calculamos E promedioen eldieléctrico
n = 8 “dipolos” por columna dentrodel cilindro de área S
N = 4 “columnas de dipolos”Fracción de d sin “dipolos”Fracción de d “dentro” de “dipolos”
E
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
L LSd
nqNP =
00 =E
+++++++++++
-----------
d
00 =E
Q Q−S
Sp nP ˆ·
=
Carga polarizada en el dieléctrico(encerrada en el cilindro completo)
Volumen del dieléctrico en el cilindro
Podemos interpretar que en la superficiedel dieléctrico aparece una densidad de carga superficial:
En general, definimos el Vector Polarización:
→
=vk
kkv
Lqv
Pen 0
1lim
Separación entre-q y +q
−= P
S
QEdiel
0
.
1
UsandoLey de Gauss,calculamos E promedioen eldieléctrico
Luego:
−=
−+
−= L
d
NnqQ
d
NLQ
d
NLnqQSE
000
11
nq+nq−
E
SQSxE P ||1
)(0
−=
-----------------------
00 =E
+++++++++++
-----------
d
00 =E
Q Q−p−S
Sp nP ˆ·
=
Carga polarizada en el dieléctrico(encerrada en el cilindro completo)
Podemos interpretar que en la superficiedel dieléctrico aparece una densidad de carga superficial:
Separación entre-q y +q
−= P
S
QEdiel
0
.
1
UsandoLey de Gauss,calculamos E promedioen eldieléctrico
Luego:
++++++++++++
p+
++++++++
+++
LSd
nqNP =
Volumen del dieléctrico en el cilindro
→
=vk
kkv
Lqv
Pen 0
1lim
En general, definimos el Vector Polarización:
S
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
00 =E
+++++++++++
-----------
00 =EQ
Q−
S
+++++++++++
+++++++++++
-----------
-----------
)(xE
x
0S
Q
0/P
Cálculo del campo eléctrico
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +
+++++++++++
-----------
Q Q−
S
+++++++++++
+++++++++++
-----------
-----------
)()()( 0 xPxExD
+=
x
S
Q
)(xD
Menor campo eléctrico, pero hay polarización
Sólo Campo
eléctrico
Sólo Campoeléctrico
=Ddiv
Definimos el vector desplazamiento
== QdVSdD
·
Ley de Gauss generalizada:
Pdiv
Ediv
p
p
−=
+=
0