Tema 3: Fuerzas eléctricas y campo eléctrico
Fundamentos Físicos de la IngenieríaFundamentos Físicos de la IngenieríaIngeniería IndustrialPrimer curso
Curso 2009/2010Dpto. Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla 1
ÍÍndice
IntroducciónCarga eléctrica Carga eléctrica
Ley de CoulombPrincipio de superposición Principio de superposición
Campo eléctricoCampo de cargas puntuales Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctricoLíneas de campo eléctrico Movimiento de cargas en un campo eléctrico
Ley de Gauss
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Introducción
“Elektron” es un vocablo griego que i ifi á bsignifica ámbar
Al frotar el ámbar éste atrae pequeños p qobjetos (pajitas, plumas,…)
La electricidad es un fenómeno muy La electricidad es un fenómeno muy presente en la vida diaria:
Fenómenos de electricidad estática Fenómenos de electricidad estática Ingeniería: máquinas y motores eléctricos
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Carga eléctrica
Evidencia experimental:Dos barras de plástico frotadas con piel se Dos barras de plástico frotadas con piel se repelen
Dos barras de vidrio frotadas con seda se Dos barras de vidrio frotadas con seda se repelen
La barra de vidrio y la de plástico se atraenLa barra de vidrio y la de plástico se atraen
Se dice que las barras están cargadasHay dos tipos de carga: Hay dos tipos de carga: Carga positiva
C tiFundamentos Físicos de la Ingeniería. Ingeniería Industrial Tema 3.-Fuerzas eléctricas …Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III 4/50
Carga negativa
Propiedades de la cargaCuantización Cuantización La carga esta cuantizada:
D d l id d f d t l d
Q Ne Donde e es la unidad fundamental de carga, que
coincide con el valor absoluto la carga del electrónUsualmente N es muy grande Usualmente N es muy grande
Conservación de la carga19
Unidades: culombio (C) Ejemplo: la carga trasvasada al frotar dos objetos es
191.60 10 Ce
del orden de 50 nC:9
1119
50 50 103 10
nC CN
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-191.60 10 Ce
Aislantes y conductores
Clasificación de la materia atendiendo a sus propiedades de conducción eléctricapropiedades de conducción eléctrica
Conductores: la carga puede desplazarse por su interior con facilidadsu interior con facilidad Ejemplo: metales
Aislantes La ca ga no p ede mo e se Aislantes: La carga no puede moverse libremente
Cuando se cargan por frotación la carga queda Cuando se cargan por frotación la carga queda confinada en la región frotada.
Ejemplos: vidrio, caucho, madera.
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Ejemplos: vidrio, caucho, madera.
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IntroducciónCarga eléctrica Carga eléctrica
Ley de CoulombPrincipio de superposición Principio de superposición
Campo eléctricoCampo de cargas puntuales Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctricoLíneas de campo eléctrico Movimiento de cargas en un campo eléctrico
Ley de Gauss
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Ley de Coulomb
Fuerza ejercida por una carga puntual bsobre otra
Está dirigida a lo largo de la línea que las une
Disminuye con el cuadrado de la distancia que separa las cargas
Es proporcional al producto de las cargas Es repulsiva para cargas del mismo signo y
atractiva para cargas de signo contrarioB l d t ió
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Balanza de torsión
Ley de Coulomb
Representación matemática:
1 212 122
ˆq q
F k r12 122
12r
r r r
F
2 1 1212
2 1 12
ˆr r r
rr r r
12F
98.99 102
2
Nm
Ck Constante de Coulomb
Medida experimentalmente
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C p
Principio de superposición
Cuando tenemos un sistema de cargas la fuerza sobre
d lcada carga es la suma vectorial de las fuerzas
individuales ejercidas porindividuales ejercidas por cada una de las demás
cargasg
Principio experimental
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IntroducciónCarga eléctrica Carga eléctrica
Ley de CoulombPrincipio de superposición Principio de superposición
Campo eléctricoCampo de cargas puntuales Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctricoLíneas de campo eléctrico Movimiento de cargas en un campo eléctrico
Ley de Gauss
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Campo eléctrico: introducción
La fuerza entre cargas puede verse como una acción a distancia.
Una visión alternativa es la del campo Una visión alternativa es la del campo eléctrico:
lé d Una carga crea un campo eléctrico en todo el espacio: magnitud vectorial
El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre otras cargas
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Campo eléctrico: definición
En un punto colocamos una carga de prueba: q0
No perturba la distribución de cargas original ( 0) No perturba la distribución de cargas original (q0→0) Campo eléctrico: cociente entre la fuerza eléctrica
que actúa sobre la partícula y la carga de la partículaque actúa sobre la partícula y la carga de la partícula
Magnitud vectorial1q
F
0
FE
q Dirección de
Independiente de q0
F1q
q 10F F
0q Unidades: N/C
2q
0q20F
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Campo de una carga puntual
• Tenemos una carga puntual qi
r 0qiE
• Situamos una carga de prueba q0
• Ley de Coulomb:
iprpr
iqz
00 2
ˆii ip
q qF k r
r
ir
Ox yipr
i Punto fuente
p Punto campo
y
0
0
ii
FE
q
2
ˆii ip
ip
qE k r
r
CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL
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Campo eléctrico de unadistribución de cargas puntuales
Principio de superposición para el campo eléctricop Es una consecuencia del principio de
superposición para la fuerza El campo eléctrico de la distribución3q
pr
El campo eléctrico de la distribución de cargas es la suma vectorial de los campos de cada carga puntual3r
3q
q2r 2q
z
1r 1q
2ˆi
p i ip
qE E k r
z
O2p p
i i ipr x y
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Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga
Las distribuciones de carga son siempre discretas (cuantización de la carga)
ó Cuando un punto de la distribución de cargas contiene un número muy alto de cargas discretas la distribución puede tratarse como una distribución continua de pcarga
Ejemplo: sustancias líquidas y sólidas que se tratan como distribuciones continuas de masacomo distribuciones continuas de masa
0lim ii
mV
m dm
V dV
Vz
0m
V V dV
m mdm dV m dV x y
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Vy
Distribución volumétrica de carga
dq dV ˆ
dqdE k
Campo debido a un dq:
zq
r
2ˆ
dqdE k r
rV
P Campo total debido a la distribución
x y2
ˆV
dqE k r
r en V :
V r Distribución volumétrica de carga:
d
dq dV 2ˆ
V
dVE k r
r
Densidad de carga:
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Distribuciones superficial y lineal de carga
Distribución superficial de carga:z dq dS
2ˆ
S
dSE k r
Distribución lineal de carga:
x y r
P2S r
Distribución lineal de carga:
z dl dl
rP
x
z dl
dq dl 2ˆ
L
dlE k r
r
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x y
Ejemplo: Campo sobre el eje de una carga lineal finita
Qy
dxP
2
Q
L Distribución uniforme:
dE
2 2( ) ( )xP P
kdq k dxdE
x x x x
x
x
P
LL
xdE
( ) ( )P Px x x x
L dxk
Pu x x Px L duk
Px
2( )x LP
dxE k
x x
du dx 2Px L
ku
2 2 2 2
1 1 2x
P P P P
kL kQE k
x L x L x L x L
Px L
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P P P P
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IntroducciónCarga eléctrica Carga eléctrica
Ley de CoulombPrincipio de superposición Principio de superposición
Campo eléctricoCampo de cargas puntuales Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctricoLíneas de campo eléctrico Movimiento de cargas en un campo eléctrico
Ley de Gauss
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Líneas de campo eléctrico
Representación gráfica para visualizar el campo eléctrico El campo eléctrico es tangente a la línea de El campo eléctrico es tangente a la línea de
campoEl módulo del campo eléctrico es mayor El módulo del campo eléctrico es mayor cuanto más próximas están las líneas de campocampo
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Ejemplo: carga puntual
Sólo dibujamos un número finito de líneas pero existe elfinito de líneas, pero existe el campo en todo el espacio
Representación pbidimensional de un campo tridimensionalLínea de campo no equivale Línea de campo no equivale a trayectoria de una carga en ese campop
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Ejemplo: carga puntual
Sólo dibujamos un número finito de líneas pero existe elfinito de líneas, pero existe el campo en todo el espacio
Representación pbidimensional de un campo tridimensionalLínea de campo no equivale Línea de campo no equivale a trayectoria de una carga en ese campop
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Dos cargas positivas iguales
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Cargas iguales con distinto signo: dipolo eléctrico
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Reglas para representar líneas de campo
Salen de las cargas positivas y terminan en las negativasnegativas
Si hay exceso de carga positiva debe haber líneas que acaban en el infinito
Si hay exceso de carga negativa debe haber líneas que salen del infinito
í Para cada carga puntual las líneas se dibujan entrando o saliendo de la carga y: Uniformemente espaciadas Uniformemente espaciadas En número proporcional al valor de la carga
Dos líneas de campo no pueden cruzarse
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Ejemplo:Exceso de carga positiva: líneas que terminan en el infinitoterminan en el infinito
Salen 16 líneas i i dequiespaciadas
Entran 8 líneas equiespaciadas
Líneas salen de laLíneas salen de la carga positiva y entran en la carga negativa
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Líneas a distancias grandes
A distancias grandes comparadas con la pmayor distancia entre cargas del sistema:
Lí i l t Líneas igualmente espaciadas
Líneas radiales Equivalen a las líneas de
una sola carga puntual i l lcon carga igual a la
carga neta del sistema
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IntroducciónCarga eléctrica Carga eléctrica
Ley de CoulombPrincipio de superposición Principio de superposición
Campo eléctricoCampo de cargas puntuales Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctricoLíneas de campo eléctrico Movimiento de cargas en un campo eléctrico
Ley de Gauss
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Movimiento de cargas en un campo eléctrico
Sea una partícula de masa m y carga q en el seno de un campo eléctrico:un campo eléctrico:
q E
F qE
Segunda Ley de Newton:
F qE
F ma qE
g y q
qa E
m
Si el campo es uniforme: movimiento uniformemente acelerado
m
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Ejemplo 1: electrón en campo uniforme
q e
E
F eE F eEi ma
y q e
2
2
eE d xa
m dt
y
m dt
( ) (0)t
dt t0 eE
v t dx
x
0( ) (0)v x v adt at v t
m
dt2t t
tdt2eE
x x t0 0 2
x x atdt a 0 2x x t
m
Movimiento uniformemente acelerado
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Movimiento uniformemente acelerado
Ejemplo 2: electrón con velocidad perpendicular al campo
Eje y : movimiento rectilíneo uniforme
E
F E
y Eje : movimiento rectilíneo0 0y y v t 0v
q e F eE y Eje x : movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
2eEtx
La trayectoria del electrón es una parábola análogamente a
20 2
x x tm
La trayectoria del electrón es una parábola, análogamente a la trayectoria de una masa con cierta velocidad inicial en un
campo gravitatorio (tiro parabólico)
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IntroducciónCarga eléctrica Carga eléctrica
Ley de CoulombPrincipio de superposición Principio de superposición
Campo eléctricoCampo de cargas puntuales Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctricoLíneas de campo eléctrico Movimiento de cargas en un campo eléctrico
Ley de Gauss
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Ley de Gauss
Ley general del electromagnetismo Ley general del electromagnetismo Útil para calcular campos eléctricos Sólo puede aplicarse para tal fin en
situaciones en que la distribución desituaciones en que la distribución de cargas tenga una alta simetría
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Flujo eléctrico
Magnitud proporcional al número de líneas de campo que atraviesan una superficieque atraviesan una superficie
Supongamos E uniforme y superficie perpendicular
E
EA
A' 'E xE x
Definimos:
Si
FLUJO
A' 'A nA n
El flujo aumenta o disminuye
Si
El flujo aumenta o disminuye proporcionalmente al número de líneas de campo que atraviesan la superficie
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Flujo eléctrico
Supongamos una superficie no perpendicular:
E
n̂ A1 es perpendicular a las líneas de campo
2A
1A A1 es atravesada por el
mismo número de líneas
1 2 cosEA EA
de campo que A2 :
1 2
E A
En general: ˆ cosE A E nA EA
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g
Flujo eléctrico
Supongamos superficie arbitraria y campo no uniforme
A
E
n̂
Tomamos tan pequeña que pueda considerarse:
Superficie plana
iA
E in
iA Superficie plana
Campo eléctrico uniforme
ˆE A
Flujo total: ; en el límite :
i i i iE n A
ˆi i iiE n A
0iA i i iiˆ
S SE ndA E dA
i
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Flujo en una superficie cerrada
Es aquella superficie que divide el espacio en dos regiones: interior y exteriorregiones: interior y exterior
A la hora de calcular el flujo en una superficie cerrada se toma por convenio el vector hacia fuera de lan̂se toma por convenio el vector hacia fuera de la superficie:
ˆE dA
n̂
n
El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es
SE ndA
El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional al número neto de líneas que salen del volumen
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Ley de Gauss
Suponemos una carga puntual en el centro de una esfera de radio Resfera de radio R
2ˆ n
QE n E k
R
RadialRR
24R R
n nS SE dA E dA E R
Q
El fl j i d di d
4 kQ RS
El flujo es independiente de R El flujo es proporcional a la carga dentro de la esfera
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Ley de Gauss
Supongamos otras superficies no necesariamente esféricas:esféricas:
A todas las superficies las t i l i ú
Q
atraviesa el mismo número de líneas
Q Mismo flujo neto para todas las superficies:RS
1S4 kQ
1
2S
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2
Ley de Gauss
Supongamos un sistema de cargas:P i i i d i ió
3q Principio de superposición:
1 2 1 2( )S
E E dA
1q 2q
S
S1 24 ( )k q q
1q
Para la carga exterior:S
3 3 0E dA
Todas las líneas de campo3 3 0SE dA Todas las líneas de campo
que entran por un punto de la superficie salen por otro
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Enunciado de la Ley de Gauss
El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es veces la carga neta dentro4 kcerrada es veces la carga neta dentro de la superficie
4 k
int4nS SE dA E dA kQ
A veces se escribe la constante de Coulomb en función de la permitividad del espacio libre:
14 k
12
0 8,85 102
2
C
Nm con intQ
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0 Nm0
Aplicaciones de la Ley de Gauss
Es una Ley válida para cualquier superficie y cualquierdistribución de cargadistribución de carga
A veces es útil para determinar el campoeléctrico debido a una distribución de carga queg qtiene un alto grado de simetría
La técnica consiste en emplear la ecuación de la Leyde Gauss buscando una superficie de integraciónde Gauss buscando una superficie de integración(superficie gaussiana) tal que el campo eléctricopueda salir fuera de la integralp g Porque En sobre la superficie gaussiana sea constante ó nulo
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Simetría esférica
Carga puntualSi t í di l Simetría: campo radial
Superficie gaussiana: esfera de radio r24 4
r rn n nS S
E dA E dA E r kq
qE kr
ˆE E n
2nE kr
rS
nE E n
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Simetría esférica
Esfera de radio R con carga Q uniformemente distribuida en su volumen Superficie gaussiana: esfera de radio r
r R r R
2
int4 4nE r kq 4
rnS
E dA kQ 24E r
33
int 34 3
rq r Q
R
4nE r
QE k
34 3
Q
R
2nE k
r
3n
kQE r
R
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3R
Esfera con carga uniforme en volumen
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Simetría cilíndrica
Campo debido a una carga lineal uniforme e infinita ( ) Simetría: campo radial que depende de la distancia a la línea
Superficie gaussiana: cilindro longitud L y radio r coaxial con la línea de carga
ˆ ˆ ˆ ˆdA dA dA dA
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆLS S S
E ndA E ndA E ndA E ndA q L
1S int
0
2n
qE rL
0
L
1 r
2SLS
0
1
2nEr
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Simetría plana
Plano infinito uniformemente cargado Simetría: perpendicular al plano e impar en z( )E z
p p p p
Superficie gaussiana: “caja de pastillas”; S1=S2=A
( )
ˆ ( ) ( ) 2 ( )E ndA E z dA E z dA E z A
z n̂ ( )E z
1 2
( ) ( ) 2 ( )S S
E ndA E z dA E z dA E z A ( ) ( )E z E z
x y
n ( )E z
n̂
1S
LS
int
0
2 ( )q
E z A 0
Ax y
n̂ ( )E z2S
0 0
22
E k
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n ( )E z02
Simetría planaEzE
z
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Resumen La magnitud responsable de la interacción eléctrica de la materia es la
carga eléctrica Es una magnitud dual (carga positiva y carga negativa). Está cuantizada Está cuantizada. La carga se conserva.
La fuerza de interacción entre cargas puntuales viene dada por la Ley deCoulomb.
La Ley de Coulomb y el principio de superposición permiten calcular lafuerza que cualquier distribución de carga, sea discreta o continua, ejercesobre una carga.
Se define el campo eléctrico como la fuerza eléctrica ejercida por una Se define el campo eléctrico como la fuerza eléctrica ejercida por unadistribución de cargas sobre la unidad de carga en cualquier punto delespacio.
El campo eléctrico se calcula, en general, a partir de una expresióni t l t áfi t di t lí dintegral y se representa gráficamente mediante líneas de campo.
La Ley de Gauss es una ley fundamental de la física que puede utilizarsepara calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campo eléctricocreado por distribuciones de carga que posean un alto grado de simetría.
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p g q p g