Tema 5. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
B
A
C B’
A’
C’
Semejanza: Dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma, aunque no tengan el mismo tamaño. Es decir, una figura es un modelo a escala de la otra.En las figuras semejantes, sus lados no tienen por que ser exactamente iguales, pero cada uno de los lados de una de las figuras son iguales a cada uno de los lados correspondientes en la otra figura multiplicado por un valor constante.Sean los triángulos
EL ABC A’B’C’ sii : A = xA’, B = xB’ y C = xC’
Razones '
,'
,'
C
Cx
B
Bx
A
AxPodemos ver que:
C
C
B
Bx
C
C
B
B ''
A
A'
x
1 : tambiéno ,
''A'
A
Donde x es la constante de PROPORCIONALIDAD
Recordemos que: cuando se manejan dos razones se les llama Proporción Asi, la proporción
se lee: “a es a b como c es a d”, donde: a y d son extremosb y c son medios
d
c
b
a
Media proporcional:
Cuando en una proporción , donde b = c y b y c son medios
La proporción puede escribirse: y se lee: “b es media
proporcional de los extremos a y d”. Si se despeja a b, queda: , puede notarse que la media proporcional es igual al producto de los extremos.Ejemplo: , despejando queda: 82 = 16 . 4
d
c
b
a
a .d b 2
d
b
b
a
4
8
8
16
La cuarta proporcional de tres cantidad es el cuarto término de la proporción, los primeros tres términos de la cual se toman en orden.
Así, en la proporción que también puede escribirse a : b = c : d,
d es la cuarta proporcional para a, b y c.
d
c
b
a
Propiedades de las proporciones
1-
2.-
3.-
4.-
5.-
cbadd
c
b
a
c
d
d
c
b
a
a
b
d
b
d
c
b
a
c
a
d
dc
b
ba
d
c
b
a
' d d d'
c
b
a y
d
c
b
a
Cuarta proporcional
KB
CK
DA
CD KD
C
BA
TEOREMA: Si una recta paralela a uno de los lados de un triángulo corta a un segundo lado en segmentos que tienen una razón con términos enteros, la recta cortará al tercer lado en segmentos que tienen la misma razón.Hipótesis△ABC con DK∥ABTesis
Demostración
DA
CD
n
m
nDA
mCD
1.-
KB
CK
n
m
nKB
mCK 2.- m y n son las veces que cabe la unidad de medida
NOTA: la proposiciones 1 y 2 supone la existencia de una unidad común que será contenida un número entero de veces CD y DA. Cuando esto es cierto se dice que los segmentos son mutuamente CONMENSURABLES.
KB
CK
DA
CD 3.- igualación entre 1 y 2
m= 3
n= 2
La tesis es verdaderaEn conclusión el Teorema: Si una recta paralela a uno de los lados de un triángulo corta a un segundo lado en segmentos que tienen una razón con términos enteros, la recta cortará al tercer lado en segmentos que tienen la misma razón, es verdadero.
TEOREMA DE THALES: Sis y s’ son dos rectas secantes a un haz de rectas paralelas l1, l2, l3 ,l4 ,l5 …., entonces los segmentos determinados en s son proporcionales a los determinados sobre s ’.
'''''''' ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
AB
CD
A’
E
B’ C’
D’ E’
f
gh
i
s s’ s’’Hipótesisl1∥l2 ∥l3∥l4∥ l5 s y s’ son secantes
BCfg
fAAB
CB
BA
fg
fA
'
''
'''
''''''
''
CB
BC
BA
AB
CB
BA
BC
AB
Demostración1.- s’’∥ s Por construcción
2.-
Sustituyendo A’f por AB y fg por BC
l1l2
l4
l3
l5
Tesis
La tesis es verdaderaEn conclusión el Teorema: Si s y s’ son dos rectas secantes a un haz de rectas paralelas l1, l2,…., entonces los segmentos determinados en s son proporcionales a los determinados sobre s’, es verdadero.
Por ser ABfA’ y BCgf paralelogramos
3.-
QC
AQ
PB
AP
A
B C
Q P Q’
TEOREMA: Si una recta intercepta a dos lados de un triángulo y determina sobre dichos lados segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado.
HipótesisPQ intercepta a AB y AC
TesisPQ ∥BC
1.-Por reducción al absurdo PQ ∥ BC hipótesis temporal2.- Se traza PQ’∥BC Por construcción
5.- AQ = A’Q’ y QC =Q’C PM igualación entre T2 y P3
4.- Por el teorema de ThalesC'Q'AQ
PBAP
Demostración
Q
Contradice el axioma de la construcción de un segmento, luego la hipótesis temporal es falsa. Por tanto, la tesis PQ ∥ BC es verdaderaEn conclusión el Teorema: Si una recta intercepta a dos lados de un triángulo y determina sobre dichos lados segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado, es verdadero.
QC
AQ
PB
AP3.- Por la hipótesis 2
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
A
B C
A’
B’ C’
’
’
△ABC ∽△A’B’C’ = ’, = ’, ’, y
DEFINICIÓN: Dos triángulos son semejantes si y sólo si los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos correspondientes son congruentes
'
x'c
c
'b
b
'a
a
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
A
B C
A’
B’ C’
’
’
• PRIMER CRITERIO: Ángulo – Ángulo. A.A.: Dos triángulos son semejantes sii tienen dos ángulos congruentes:
△ABC ∽△A’B’C’ = ’, = ’
• SEGUNDO CRITERIO: Lado- ángulo-lado. L.A.L.: Dos triángulos son semejantes sii tienen 2 lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
x'c
c
'b
b
A
B C
A’
B’ C’
’
△ABC ∽△A’B’C’ = ’, y
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
• TERCER CRITERIO: Lado-Lado-Lado. L.L.L.: Dos triángulos son
semejantes sii tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
x'c
c
'b
b
'a
a
A
B C
A’
C’B’
△ ABC ∽ △ A’B’C’
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
DefiniciónProyección ortogonal de un punto sobre una recta: Llámese PROYECCIÓN ORTOGONAL de un punto P sobre una recta l al pie P’ de la perpendicular trazada desde ese punto a la recta. La Proyección de un segmento AB sobre l es el conjunto de puntos de la recta comprendidos entre las proyecciones de los extremos del segmento.
A B
A’ B’
B
A’ B’
A
P’
P
Teorema: La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina dos triángulos que son semejantes a él. A
B C
h
H
Proposiciones 1.- ABC HBA△ ∽△ Por ángulo-ángulo ( H y ∠ ∠)2.- ABC HAC△ ∽△ Por ángulo-ángulo (( H y ∠ ∠)
Hipótesis:△ABC es rectángulo en AAH es altura de ATesis△ABC HAC∽△△ABC HBA∽△
En conclusión el Teorema: La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina dos triángulos que son semejantes a él, es verdadero.
Ambas tesis son verdaderas
PROPIEDADES MÉTRICAS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
A
B C
h
H m n
Teorema (Teorema de la Altura): La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos determinados por ella.
Hipótesis: △ABC es rectángulo en AAH es altura de AAH determina a m y n
Demostración1.- ABC HBA△ ∽△ Por el Teorema anterior2.- ABC HAC△ ∽△ Por el Teorema anterior3.- HAB HAC△ ∽△ Por transitividad entre 1 y 2
4.- Lados proporcionales en △s semejantes
5.- Despeje de h en 4
n
h
h
m
nmh . 2
Tesis h2=m.n
En conclusión el Teorema: ): La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos determinados por ella, es verdadero.
La tesis es verdadera
A
B C
h
H m n
En conclusión el Teorema: La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos determinados por ella, es verdadero.
La tesis 2 es verdadera
Hipótesis: △ABC es rectángulo en AAH es altura de A
Tesis c2=a.mb2=a.n
Teorema (Teorema del Cateto): En todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella.
m . c 2 ac
m
a
c
nabb
n
a
b . 2 3-
2.-
1.- HAB HAC△ ∽△ Por transitividad entre 1 y 2
Demostración a
b c
La tesis 1 es verdadera
22222 a nm donde , cbanmaanambc
TEOREMA DE PITÁGORAS: El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.Del teorema anterior:
b2 = a . nc2 = a . m Sumando queda
bn2cba 222 bmcba 2222
A
B
C
h
H
m
a c
n b A
B
C
h
H n
a c
m
b
TEOREMA GENERALIZADO DE PITÁGORAS: En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo (obtuso) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos (más) el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.