1. Introducción. 2. Conservación del momento lineal y de la energía. Tipos de choques. 3. Choques elásticos. Sistemas de coordenadas laboratorio y centro de
masas. 4. Choques inelásticos. Variación de la energía en el choque. Reacciones.5. Dispersión elástica por una esfera dura. Sección eficaz. 6. Dispersión por un potencial central: Dispersión de Rutherford.
Bibliografía: [Marion], [Rañada], [Goldstein], [AFinn]
Tema 7. Colisiones o choques y dispersiónChantal Ferrer Roca 2008
NOTA IMPORTANTE:
Los contenidos de este documento representan un esquema de los conceptos fundamentales del tema, por lo que en ningún caso se trata de apuntes completos. Este esquema se complementa con explicaciones, razonamientos, ejemplos y problemas que se desarrollan durante las clases, así como con alguno(s) de los libros que se incluyen en la bibliografía
Bibliografía: [Marion], [Rañada], [Goldstein], [AFinn]
Chantal Ferrer Roca 2008
Tema 7. Colisiones o choques y dispersión
1. IntroducciónCOLISIÓN O CHOQUE : proceso de interacción interno de un sistema (de dos cuerpos) entre los que se transfiere momento y energía e incluso masa
Ai + Bi Af + Bfinteracción
m2
m1 p1,i
v2,i=0
m1 p1,f
m2
v2,i=0
m2
m1 p1,i
p2,i=0
m1p1,f
m2
p2,f
m2
m1 p1,i
p2,i=0
m1
p1,f
m2 p2,f
m2
m1 p1,i
p2,i=0
m1
p1,fm2 p2,f
(Justo) antes (Justo) después
b
b
b
Choque frontal
Cho
ques
obl
icuo
s
Dispersión o difusión: las partículas son las mismas antes y después de la colisión Reacción: cambia la naturaleza de las partículas
Fuerzas impulsivas: grandes, tiempo breveFuerzas externas insignificantes en comparación
v (t)
Velocidad de un cuerpo deformable que cae desde una cierta altura y choca contra el suelo
dtb = parámetro de impacto
colis
ión
colis
ión
colis
ión
Chantal Ferrer Roca 2008
2. Conservación del momento lineal y de la energía. Tipos de choques
if TT >
BfAfBiAi TTTT +=+
fi PPrr
=
Q>0 exotérmico
Choque elástico : T se conserva
choques 2D, en general
1. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL (CML): las fuerzas externas son despreciables frente a las fuerzas internas durante la colisión
BfAfBiAi pppp rrrr+=+
2. En base a la CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA CINÉTICA (CE) en el choque:
if TT =
Choque inelástico : T no se conserva QTT if += QTTT if =∆=−
Q<0 endotérmico fi TT >La energía mecánica (cinética) se transforma en energía interna u otras formas de energía disipativas (calor, deformación, etc.)
La energía interna se transforma en energía mecánica (cinética) de las partículas finales (por ej.: en reacciones químicas, reacciones nucleares)
Se conocen los movimientos de las partículas antes de la colisión, pero se desconocen las fuerzas de interacción. ¿Qué se puede saber de su movimiento final aunque desconozcamos las fuerzas de interacción?Aunque no se conozca la interacción, los principios de conservación permiten deducir el estado final a partir del inicial o viceversa .
Como vimos en el tema 4:
Chantal Ferrer Roca 2008
21 mm = 21 mm > 21 mm <
Choques 1D elásticos (se conserva la energía)
Choques 1D completamente inelásticos (no se conserva la energía)
21 mm =
21 mv00mv +=+
21 mm > 21 mm <
fi1 mv2mv =
f2f2f1f1i1i1 vmvm0vm +=+
0v,vv f1i1f2 >> 0v,vv f1i1f2 <<
f21i1i1 v)mm(vm +=
DEMO DEMO DEMO
DEMO DEMO DEMO
DEMO de choques en 1D en clase (frontales) Chantal Ferrer Roca 20082. Conservación del momento lineal y de la energía. Tipos de choques
http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/elastic_collisions/elastic_cars.MPGhttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/elastic_collisions/elastic_cars_bs.MPGhttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/elastic_collisions/elastic_cars_sb.MPG
http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/inelastic_collisions/inelastic_cars.MPGhttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/inelastic_collisions/inelastic_cars_bs.MPGhttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/inelastic_collisions/inelastic_cars_sb.MPG
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CM
vCMm2
m2
m1 v1i
v2i=0
v2f
v1f
θ1θ2 CM
vCM
m1
SISTEMA LABORATORIO
0p i2 =r
ec2ppp f2f1i1rrr
+=
ec1TTT f2f1i1 +=
CML
CE
2
2f2
1
2f1
1
2i1
m2p
m2p
m2p
+=
Momento y energía del estado inicial + una medida del final (ángulo, por ejemplo) = conocido estado final.
f2f12
f22
f12
f2f12
i1 pp2ppppprrrrrrr
⋅++=+=
Si las masas son idénticas, CML y CE son compatibles si uno de los momentos es nulo o si el ángulo entre ellas es 90º
3. Choques elásticos. Sistema laboratorio
En general, ambas partículas pueden tener velocidades iniciales. No obstante, siempre se puede encontrar un sistema inercial en el que una de ellas está quieta inicialmente (principio de relatividad de Galileo: todos los sistemas inerciales son equivalentes). Por otro lado, en muchos casos ese sistema es el sistema laboratorio (en el caso de reacciones nucleares el blanco está fijo).
21
2211CM mm
vmvmv++
=rr
r
La velocidad del CM es la misma durante todo el proceso, al ser despreciables las fuerzas externas
(Justo) antes
(Justo) después
colis
ión
1
21
sin)2sin(
θθ+θ
= Demostrar1
1
mm
=ρ
Chantal Ferrer Roca 2008
-vCM
SISTEMA LABORATORIO
i2i1 'p'prr
−=
CMvvv rrr−='
SISTEMA CENTRO DE MASAS (CON `)
f2f1 'p'prr
−=
Trasf. Galileana
vmmm
)vv(mmm
vmvmvvv'v121
212
21
22111CM11
rrrrr
rrrr µ=
+−
=++
−=−=
vmmm
)vv(mmm
vmvmvvv'v221
121
21
22112CM22
rrrrr
rrrr µ−=
+−
=++
−=−=
CM
vCMm2
m2
m1 v1i
v2i=0
v2f
v1f
θ1
θ2 CM
vCM
m1
0p i2 =r
21
2211CM mm
vmvmv++
=rr
r
despuésco
lisió
n
antes
De hecho, el SCM se define como aquel en el que el momento lineal total (del sistema) es nulo
f2f1i2i1 'T'T'T'T +=+CE
f1i1 'p'p =
solo cambia la dirección del movimiento θcm
CML
f2i2 'p'p =
f1i1 'v'v = f2i2 'v'v =
m1
CM
v'1im2
v'2i=vCM
p'i p'i
v'2f
θ’=ángulo de dispersión
CM
θcm=θ’
θ‘=θcm+π
p'f
p'f
colis
ión
antes
después
CMvvv rrr−='
3. Choques elásticos. Sistema centro de masas Chantal Ferrer Roca 2008
SISTEMA LABORATORIO SISTEMA CENTRO DE MASAS (CON `)
m1CM
v'1,im2
v'2,i=vCMp'i p'iCM
vCMm2
m2
m1 v1,i
v2i=0
v2,f
v1,f
θ1
θ2 CM
vCM
m10p i2 =r
después
colis
ión
v'2,f
θ’=ángulo de dispersión
CM
θcm=θ’
θ‘=θcm+π
p'f
p'f
colis
ión
antes antes
después
vr
CMvrθ
'vr
θ’
CMf11f1
f11f1
v'cos'vcosv'sin'vsinv+θ=θ
θ=θ
Relación estados finales para cualquiera de las partículas
f1
cmfx1
fy11
vv'cos
'sinpp
tg+θ
θ==θ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ρ====
2
1
i1
i2
f1
f2
f1
cm
mm
'v'v
'v'v
'vv
Análogo para masa 2 (atención signos)
ρ+θθ
=θ'cos
'sintg 1
Si m2 está quieta (blanco en reacciones nucleares) hemos visto que:
-vCM
CMvvv rrr−='
Trasf. Galileana
'cos1'sintg 2 θ−
θ=θ
Problema 7.7 de boletín
Problema 7.8 de boletín
i1
f1
EEdemin
3. Choques elásticos. SL y SCM
Chantal Ferrer Roca 2008
ρ
∞→θπ=θ 1tg,'para∞→θρ−=θ 1tg,'cossi
1'vv fcm <ρ<
20posible 1
π<θ≤π≤θ≤ 10posible
max1θ
20 max11
π<θ≤θ≤
El denominador nunca será nulo,Luego
Problema 7.9 de boletín
'vv'cos
'sintg
f1
cm1
+θ
θ=θ
1'vv fcm =ρ=
1tgθ1tgθ
'θ
1'vv fcm >ρ>
max1θ
1tgθ
'θ'θ
'θCMvr CMvr CMvr
fvr fvr
f'θb'θ'θ
fvr
Para un valor de θ1 hay dos posibles de θ’, el “forward” y el “backward”. También hay dos posibles valores del módulo de la velocidad en SL. Conocido el ángulo θ1 y ρ, queda indeterminado en SL el módulo de la velocidad.
f'vr
fbvr
0'd
)tg(d 1 =θθ
ρ−=−=θ
1mm'cos
1
2max
Sólo si 12 mm <
1θ f'vr ff'vr
Determinación de la masa del blanco
3. Choques elásticos. SL y SCM
Figuras del libro “Mecánica”. Berkeley Physics Course I" Kittel-Knight-Ruderman
Chantal Ferrer Roca 2008
fi PPrr
= 0TTQ if ≠−= NO hay CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA CINÉTICA
CML
i1i2
f1f2
i
f
vvvv
)inicialrelativavelocidad(u)finalrelativavelocidad(ue rr
rr
−−
==
coeficiente de restitución (CHOQUES FRONTALES)
e=1 la velocidad relativa no cambia (T se conserva) choque elástico0<e<1 la velocidad relativa cambia (T no se conserva) choque parcialmente inelásticoe=0 la velocidad relativa final=0 (variación máxima de T) choque completamente inelástico
)1e(u21TTTQ 22
iif −µ=−=∆=r
21 ppPrrr
+=
En el sistema CM: Q2'p'p 2i
2f µ+=
21
21
mmmm
+=µ
i
f
pp
e''
=
CM
p'fm2θ'
p'ip'i
p'f
12 vvu rrr−=
222
211 vmvmT2 +=
T)mm(2ummP 212
212 +=+ v Válido para el estado final o
el inicial
CASOS según e
En CM
(demostrar)
4. Choques inelásticos unidimensionales. energía del choque
Mayor cuanto mayor la velocidad relativa inicial, y cuanto menor el coeficiente e
Problemas del boletín 7.2, 7.3, 7.4, 7.5Chantal Ferrer Roca 2008
2i1
22i v
2m
21)1e(u
21Q −=−µ=
EJEMPLO: Choque completamente inelástico de dos masas idénticas
SISTEMA LAB
CM
vCMmm v1i
v2i=0
SISTEMA CM (CON `)m
CM
v'1im
θ' v'2i=vCMp'i p'i
2v'v
2v'v i1
i2i1
i1 −== 2i1
2i2
2i121f mv
41)'v'v(m
210)'T'T('TQ −=+−=+−=
m2= m1= m
2m 2m0'v f =
CÁLCULO DIRECTO EN CM (CON `)
A PARTIR DE LA EXPRESIÓN GENERAL
En CM toda la energía cinética inicial se disipa (calor, deformación permanente, etc.)
2vv i1
f =
Problema 7.1 del boletín: caso particular
4. Choques inelásticos. Coef. de restitución y energía del choque
Chantal Ferrer Roca 2008
1i1i2
21f1f2
i
f
cos)vv()cos(vv
)segúninicial.rel.vel(u)segúnfinal.rel.vel(ue
θ−θ+θ−
=ξ
ξ=
coeficiente de restitución
2222
i1if cos)1e(v21TTTQ θ−µ=−=∆=
4. Choques inelásticos bidimensionales. Reacciones
mide el cociente cambiado de signo, entre la velocidad relativa de alejamiento a lo largo del eje ξ y la velocidad relativa de aproximación a lo largo del mismo ejeCM
vCMm2
m2
m1 v1,i
v2,i=0
v1,f
θ1θ2 CM
vCM
m1
0p i2 =r
(Justo) antes
(Justo) despuésco
lisió
n
v1,iv1f
ξ
Se demuestra que:
v2,f
En las reacciones (las partículas no mantienen su identidad) Q no está relacionado con el coeficiente e. Q puede incluso ser positivo. Supongamos reacciones nucleares (idem reac. químicas).
La energía total del sistema se conserva
cteETUETE intext
i
inti
iCMi =+=++= ∑∑
intETQ ∆−=∆=
Problema del boletín 7.6Chantal Ferrer Roca 2008
DISPERSIÓN : Choques en los que un proyectil se lanza contra un blanco,existiendo una relación entre la interacción que sufren (potencial) y los parámetros finales (ángulo de dispersión, velocidad).
Estudios de interacciones a nivel atómico con muchas partículas incidiendo sobre un blanco con distintos parámetros de impacto. De la proporción de partículas desviadas en diferentes ángulos se puede deducir el tipo de interacción y viceversa.
5. Dispersión y sección eficaz
m2
m1 p1,i
v2,i=0
m1 p1,f
m2
v2,i=0
m2
m1 p1,i
p2,i=0
m1p1,f
m2
p2,f
m2
m1 p1,i
p2,i=0
m1
p1,f
m2 p2,f
m2
m1 p1,i
p2,i=0
m1
p1,fm2 p2,f
(Justo) antes (Justo) después
s
s
s
Choque frontal
Cho
ques
obl
icuo
s
b = parámetro de impacto = s
colis
ión
colis
ión
colis
ión
Chantal Ferrer Roca 2008
5. Dispersión por una esfera dura y sección eficazDispersión elástica por una esfera dura Esfera dura: objeto extenso (radio a), masa
infinita (no hay retroceso) e impenetrable.
E
equivalente a barrera infinita: ⎩
⎨⎧
>≤≤∞
ar0ar0
)r(U
2
2
ef mr2)r(U)r(U l+=
)r(U
E0E
a r
s = parámetro de impacto= distancia entre centros perp. a la dirección de impacto
2cosasinas θ
=α=
π=α+θ 2
áng. inci.
áng. refl.
eje apsidal
22 s)mE2(=l
smv)sin(rmvpr ii =α−π=×=rr
lr
2imv
21TE == ∞
s
Punto apsidal rmin según los valores de la energía
sivr
a
α
α
α θ áng. disp
2
2
0 ma2E l
=
Chantal Ferrer Roca 2008
Blanco que dispersa muchas partículas incidentes con diferentes parámetros de impacto s: se tienen todas las posibles deflexiones finales con distribuciones por ángulos que dependen de la interacción con el blanco
haz de partículas incidente
blanco
iΦFlujo total de part. incidentes= N. part/u. sup/u. tiempo
fΦ Flujo total de part. dispersadas = N. part/u. sup/u. tiempo
Partículas dispersadas
5. Dispersión y sección eficaz
Chantal Ferrer Roca 2008
φθθΩ=ΩΩ
ddsin)(Nd)(N
5. Dispersión y sección eficaz
s
ds
ds
φsd
I = Partículas incidentes por u. de superficie y tiempo a través de una superficie elemental normal al haz, con parámetro s y ángulo φ
haz de partículas
blanco
N(Ω) =Num. de partículas detectadas después de la colisión por u. de ángulo sólido y tiempo en la posición esférica θ, φ
)sdsd(I φNum. Part./u. tiempo
Num. Part./u. tiempo
)sdsd(Id)(N φ=ΩΩ
θθ=
Ωdds
sins
I)(N
(s disminuye cuando aumenta el ángulo)
Simetría alrededor del eje: ángulo φ incidente y final iguales
Conservación del flujo:Las part. entre s y s+ds salen entreθ y θ+dθ
Chantal Ferrer Roca 2008
5. Dispersión y sección eficaz
s
ds
ds
φsd
haz de partículas
blanco
Sección eficaz diferencial dσ correspondiente a dΩ : aquella que exponiéndola transversalmente al haz (homogéneo) es atravesada por un número de proyectiles equivalente a los que son dispersados en dΩ
)sdsd(I φNum. Part./u. tiempo
σ=ΩΩ Idd)(N
Ωσ
=dd
Conservación del flujo:
σIdDatos experimentales,
es algo que se mide
Modelo teóricoσd
)sdsd(Id)(N φ=ΩΩ
θθ=
Ωdds
sins
I)(N
Chantal Ferrer Roca 2008
5. Dispersión y sección eficaz
Sección eficaz diferencial dσ correspondiente a dΩ : aquella que exponiéndola transversalmente al haz (homogéneo) es atravesada por un número de proyectiles equivalente a los que son dispersados en dΩ
Ωσ
=θθ d
ddds
sins
=ΩI
)(NSi el blanco retrocede, el ángulo de dispersión θ del movimiento relativo de dos cuerpos coincide con el ángulo θ en CM, pero no con el ángulo en SL: habría que transformar uno en otro usando las relaciones que vimos al tratar las colisiones en el tema de sistemas de partículas.
∫∫ ∫∫ππ π
θθθσ=θθφΩσ
=ΩΩσ
=σ00
2
0dsin)(dsind
ddd
dd
Sección eficaz total σ : superficie efectiva de la partícula blanco que produce una desviación
)(θσ Unidades: S.I. m2
fisica nuclear: barn =10-28 m2 (uranio)Chantal Ferrer Roca 2008
6. Dispersión por una esfera dura y sección eficaz.
EJEMPLO: sección eficaz de la dispersión por una esfera dura
4a
dds
sins
dd 2
=θθ
=Ωσ
sivr
s = parámetro de impacto= distancia entre centros perp. a la dirección de impacto
a
α
α
α θ
2cosasinas θ
=α=π=α+θ 2
áng. inci.
áng. refl.
eje apsidal
áng. disp
22
ad4ad
dd
π=Ω=ΩΩσ
=σ ∫∫σ
esfera cilindro conoIgual sección transversal (si tienen el mismo radio), luego igual
sección eficaz totalChantal Ferrer Roca 2008
Partículas puntutales
6. Dispersión por una esfera dura y sección eficaz.
RECORRIDO LIBRE MEDIO Y RELACIÓN CON SECCIÓN EFICAZ.
El recorrido libre medio es la distancia promedio que recorre una partícula entre dos colisiones sucesivas
Chantal Ferrer Roca 2008
Γ==
vcolisióndefrecuencia
promediovelocidadl
n = num de blancos/ unidad de volumen
Número de blancos en una porción L X L X dx: dxLnVn 2⋅=⋅
Probabilidad de que una partícula incidente colisione en dx: dxnL
Vn2 σ=
σ
Disminuación de intensidad del haz incidente (por colisiones desvían o frenan):
ndxIdI σ−=l
IdxdI
−=
lx0eII −= Luego en estos casos representa la
distancia de atenuación
(1/t entre colisiones)
σ=
n1
)colisionesentret()promediov( ⋅=l
Número de colisiones por unidad de longitud
Luego
Σ= num de colisiones/ unidad de longitud = l/1
σ=
Σ=
n11
l (Suponiendo que las partículas blanco estén quietas. No es asíentre las moléculas de un gas)
Esquema del experimento de Rutherford
Casi todas las partículas αatraviesan el metal, como si estuviera “agujereado”, dispersándose
Sabemos que:
Núcleo atómico: diámetro de 3 x 10-15 m (hidrógeno) a 20 x 10-15 m (uranio).
Átomo de H: diámetro de ~10-10 metros
partículas α= He2+ (carga +)
una peqeuña fracción retrocede (unas pocas por cada millón de partículas incidentes)
E. Rutherford(Nobel 1906)+ Geiger y Marsden
El resultado (partículas dispersadas para cada ángulo sólido en relación a incidentes= sección eficaz diferencial) es incompatible con el modelo del átomo de Thomson (modelo “plumcake”). Para hacer retroceder completamente a las partículas α hace falta algo macizo y positivo en el centro, pero muy pequeño (muy pocas retroceden). El resto es espacio vacío:
Modelo de átomo “planetario”, con nucleo muy pequeño (+) y electrones (-) que siguen órbitas muy grandes.
6. Dispersión por un potencial central: fórmula de Rutherford
Blanco: Lámina fina de oro (0,4 µm)
em7000m =α
Chantal Ferrer Roca 2008
6. Dispersión por un potencial central: fórmula de Rutherford
ra
Uef(r)
2
2
cent mr2)r(U l
=
rk)r(U −=
E >0rc
E=Umin
E=0rmin rmax
x
0>E >Umin
Uef(r)
2
2
cent mr2)r(U l
=rk)r(U −=
Potencial coulombiano atractivo Potencial coulombiano REPULSIVO
0k <
0k >
f '
E=Umin,B=0, ε =0circunferencia
elipse
parábola
Hipérbola (r. izquier.)
ε<1, Umin<E<0C>B>0
ε =1, E=0C=B>0
ε >1, E>0B>C>0
f
Hipérbola (r. der.)= potencial electrostáticorepulsivo
E >0
rmin
ε <1, E>0 B>C>0
f ‘'
C/B=ε
Ecuación integral de la órbita o ecuación diferencial
Chantal Ferrer Roca 2008
ivr
ψ
ψ
θ
s
6. Dispersión por un potencial central: fórmula de Rutherford
sivr
a
α
α α
θ
Dispersión por una esfera dura Dispersión Coulombiana
π=θ+α2π=θ+ψ2
2cosasinas θ
=α=2
cotE2ks θ
=Parámetro de impacto
Figura del libro Lecciones de Física deM. Ortega Girón
Chantal Ferrer Roca 2008
Ec de rama (-) de hipérbolaen coordenadas polares
2
mkCl
=
π=θ+ψ2
excentricidad
)cos1()1(a
1r1
2 ψε−−ε
=
a : semieje mayorε : excentricidad=c/a 1cosr =ψε∞→asíntota
ψ
ψΨ, en esfera dura, lo llamábamos α 2
sin)22
cos(cos1 θ=
θ−
π=ψ=
ε
CB
=ε =+=+= 2222
CmE21mE2C
C1
ll 2
2
mkE21 l
+
0
221
4eZZk
πε−=
Como en el caso de la esfera dura, se cumple
2mv21TE ∞∞ == mE2ssmv == ∞l
2
2
22
kEs21
mkE21
2sin1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=+=ε=
θl
2cot
E2ks θ
= Parámetro de impacto
6. Dispersión por un potencial central: fórmula de Rutherford
Problema de dos cuerpos: µ en lugar de m, sistema CM
Figura del libro Lecciones de Física deM. Ortega Girón
Chantal Ferrer Roca 2008
2cot
E2ks θ
=Parámetro de impacto
6. Dispersión por un potencial central: fórmula de Rutherford
θθ=
Ωσ
dds
sins
dd
)2(sin1)
E2k(
21
dds
2 θ=
θ
)2(sin1
E4k
)2(cos)2(sin2/)2(sin/)2(cos
E2k
2 θθθθθ
=)2(sin
1)E4k( 4
2
θ=
Válida en CM o con blanco fijo
0
221
4eZZk
πε−=
θθ=
Ωσ
dds
sins
dd
∫ ΩΩσ
=σ ddd
Como en todos los casos de potenciales de largo alcance, el valor es infinito : incluso las partículas con gran parámetro de impacto son desviadas. Lo que significa que la superficie dispersora es infinita. Sólo si el campo y el potencial se anulan a una cierta distancia, se obtiene un valor finito (por ejemplo, campo coulombiano de un núcleo apantallado por electrones de la corteza.atómica)
θσ
=ΩddI)(N
Sección eficaz diferencial
Sección eficaz total
Partículas desvidas en un ∆Ω
σ∆⋅=ΩΩσ
=∆Ω ∫θ
θId
ddI)(N
f
i
Det.)(N ∆Ω
Problemas 7.10 y 7.11 del boletínChantal Ferrer Roca 2008