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TEMA III
Circuitos Digitales
1Electrónica II 2009-2010
TEMA III Circuitos Digitales
3.1 REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN
3 2 ALGEBRA DE BOOLE
g
2
3.2 ALGEBRA DE BOOLE3.3 MODULOS COMBINACIONALES
BÁSICOS
2
3.1 REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN
1.1 Del mundo analógico al digital. 1.2 Sistemas digitales. Definición e historia.1.3 Sistemas de numeración.1.4 Números negativos.1 5 Códigos binarios
3
1.5 Códigos binarios.
Del mundo analógico al digital
◊ Se dice que una señal es digital cuando las magnitudes de la misma se representan mediante valores discretos en lugar de variables continuas.
◊ La digitalización o conversión analógica-digital (conversión A/D) consiste básicamente en realizar de forma periódica medidas de la amplitud de la señal o de su frecuencia y traducirlas a un lenguaje numérico.
ó
4
◊ La conversión A/D la realiza el MODULADOR.
◊ La conversión D/A la realiza el DEMODULADOR.
◊ El MODEM realiza ambas funciones (MO-DEM).
3
Del mundo analógico al digitalCuatro procesos que intervienen en la conversión A/D:
◊ Muestreo: periódicamente se toman muestras (Ej. de la amplitud de onda). La velocidad con que se toman las muestra (número de muestras por segundo) es la frecuencia de muestreo.
◊ Retención: las as muestras tomadas se retenidas (retención) el tiempo suficiente para permitir evaluar su nivel (cuantificación).
ó
5
◊ Cuantificación: se mide el nivel de voltaje de cada una de las muestras. Se asigna un margen de valor a un único nivel de salida.
◊ Codificación: se traducen los valores obtenidos a código binario.
Del mundo analógico al digital
6
Señal analógica función matemática continua
Amplitud y periodo variable en función del tiempo
4
Del mundo analógico al digital
7
Muestreo en amplitud : Consiste en tomar muestras periódicas de la amplitud de onda. La velocidad con que se toman las muestras o frecuencia de muestreo.
Del mundo analógico al digital
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Cuantificación: Se “discretiza” el nivel de voltaje de cada una de las muestras.
5
Del mundo analógico al digital
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Codificación: Consiste en traducir los valores muestreados a código binario (binario puro, grey, BCD, etc)
Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon:
Del mundo analógico al digital
yq
◊ Para poder reconstruir la señal original de forma exacta a partir de sus muestras la frecuencia de muestreo debe ser mayor que dos veces el ancho de banda de la señal de entrada
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◊ Para señales analógicas, el ancho de banda es la anchura, medida en hercios, del rango de frecuencias en el que se concentra la mayor parte de la potencia de la señal.
6
Ventajas de la señal digital ◊ La señal digital es más resistente al ruido y menos sensible
l ló i l i t f i t que la analógica a las interferencias, etc.
◊ Ante la pérdida de cierta cantidad de información, la señal digital puede ser reconstruida gracias a los sistema de regeneración de señales (usados también para amplificarla, sin introducir distorsión).
◊ Cuentan con sistemas de detección y corrección de errores:
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◊ Bit de paridad: permite detectar un número impar de erores.
◊ Código Hamming: permite corregir un error mediante 3 bit de paridad en códigos de 4 bits.
◊ Códigos polinomiales: basados en un poliomio generador.
Ventajas de la señal digital
◊ Es posible introducir el valor de una muestra dañada ◊ Es posible introducir el valor de una muestra dañada, obteniendo el valor medio de las muestras adyacentes (interpolación).
◊ La señal digital permite la multigeneración infinita sin pérdidas de calidad.
◊ Facilidad para el procesamiento de la señal. Cualquier operación es fácilmente realizable a través de cualquier software de edición o procesamiento de señal.
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software de edición o procesamiento de señal.
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◊ La transmisión de señales digitales requiere una sincronización precisa entre los tiempos del reloj de
Inconvenientes de la señal digital
sincronización precisa entre los tiempos del reloj de transmisor, con respecto a los del receptor. Un desfase, por mínimo que sea, cambia por completo la señal.
◊ La señal digital requiere mayor ancho de banda para ser transmitida que la analógica.
◊ Se necesita una conversión analógica-digital previa y una decodificación posterior en el momento de la
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una decodificación posterior, en el momento de la recepción.
Sistemas digitales. Definición
-Tipos de circuito de commutación:– Combinacional: La salida depende de los valores actuales
de la entrada.– Secuencial: La salida depende de los valores que ha habido
en la entrada tiene memoria.-Diseño lógico de circuitos combinacionales:
1. Deducir la tabla de verdad que describe su comportamiento2 Simplificar las ecuaciones del circuito (Karnaugh)
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2. Simplificar las ecuaciones del circuito (Karnaugh).3. Implementación utilizando puertas lógicas.
-Diseño lógico de circuitos secuenciales:1. Construir su tabla de estados2. Implementación con biestables y circuitos combinacionales.
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Sistemas digitales. Historia
-Primeros conmutadores: diodos de cristal y de tubos de vacío (1906).
-Transistor (TRT): más pequeño y fiable, de material semiconductor (1950).
-Circuitos integrados (CI): integran gran número de TRT´s (1961).
Clasificación de los CI´s por número de TRT´s que llevan:
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Clasificación de los CI s por número de TRT s que llevan:• SSI: pequeña escala de integración (1 .. 100 transistores).• MSI: media escala de integración (100 .. 1000 transistores).• LSI: gran escala de integración (1000 .. 10000 transistores).• VLSI: alta escala de integración (más de 10000 transistores).
Sistemas de numeración.
DEFINICIÓN i t l ú d t i d DEFINICIÓN: sistema que emplea un número determinado de símbolos (dependiente de la base) para representar números.
Cada dígito tendrá un valor determinado por la posición que ocupa.
n n-1 0 -pSe cumple: Nb = anb+ an-1b + ... + a0b + ... + a-pb
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siendo: ai: símbolo del sistema de numeración,n+1: número de dígitos enteros yp: número de dígitos decimales
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Sistemas de numeración.
DENOMINACIÓN: reciben diferentes nombres según su base: •Decimal (base 10). (Símbolos: 0..9). Dígito
1 0 -1 -2Ej: 55,23 = 5*10 + 5*10 + 2*10 + 3*10
•Binario (base 2). (Símbolos: 0,1). Bit.1 -2
Ej: 10,01 = 1*2 + 1*2 = 2,25•Octal (base 8). (Símbolos: 0..7).
1 0 -1
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1 0 1Ej: 65,4 = 6*8 + 5*8 + 4*8 = 53,5
•Hexadecimal (base 16). (Símbolos: 0..9,A,B,C,D,E,F).1 0 -1
Ej: A7,C = 10*16 + 7*16 + 12*16 = 167,75
Sistemas de numeración.
CONVERSIÓN:-Desde cualquier sistema a decimal:
Sustitución serie: Aplicar la fórmula antes vista (por pesos).
-De decimal a otro sistema en base b:
A. Parte entera del número a convertir:1. Dividir ésta entre b.2. El último cociente (última división) será el dígito de mayor peso
(dígito más a la izquierda) 3. El primer resto (primera división) será el de menor peso
(dígito a la izquierda de la coma decimal)
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(dígito a la izquierda de la coma decimal).
B. Para la parte fraccionaria:1. Multiplicar ésta por b.2. La parte entera de dicho producto es el siguiente dígito. 3. Si es mayor que la unidad, se resta dicho valor.
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Sistemas de numeración.
EJEMPLO:Pasar a binario el número decimal: 6,375.
6/2=3 resto 0. 0 (bit de menor peso entero).
3/2=1 resto 1. 1
1/2=0 resto 1. 1 (bit de mayor peso entero).
0,375*2=0,75. 0 (bit de mayor peso fraccionario).
0,75*2=1,5. 1
0,5*2=1. 1 (bit de menor peso fraccionario).
Luego: 6,375 = 110,011
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De binario a octal: Se agrupan los bits de tres en tres y se convierte cada grupo en un dígito octal.
De binario a hexadecimal:
Las agrupaciones son de cuatro bits.
Aritmética binaria.
Es similar a la decimal, pero más sencilla:
SUMA RESTA
0 + 00 + 11 + 01 + 1
0110 y acarreo 1 a la siguiente columna
0 - 00 – 1
1 - 01 – 1
01 y restamos 1 a la siguiente columna10
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Las circuitos lógicos que realizan aritmética binaria son más sencillos que para aritmética decimal.
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Aritmética binaria.
EJEMPLO:
S 8 bitSuma con 8 bits:
1310 = 00001101 +1110 = 00001011 =
----------------00011000 = 2410
Sustración con 8 bits:
13 = 00001101
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1310 = 00001101 -1110 = 00001011 =
-------------00000010 = 210
Sistemas de numeración.
Decimal Binario Octal Hexadecimal0 0 0 01 1 1 12 10 2 23 11 3 34 100 4 45 101 5 56 110 6 67 111 7 78 1000 10 89 1001 11 9
10 1010 12 A
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10 1010 12 A11 1011 13 B12 1100 14 C13 1101 15 D14 1110 16 E15 1111 17 F16 10000 20 10
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Códigos binarios. DEFINICIÓN: Utilizan los dígitos 0 y 1.Utilizan los dígitos 0 y 1.
Código binario natural: se codifica de forma directa. Con n bits se pueden representar 2**n combinaciones diferentes.
Código BCD: se codifica cada dígito decimal (esto es, 0..9) directamente con un código binario.Se requieren al menos 4 bits por cada dígito decimal.
Los códigos pueden tener las siguientes características:• Ponderado: el valor de cada bit depende de la posición que ocupe (peso).
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Ponderado: el valor de cada bit depende de la posición que ocupe (peso). Ej.: Binario natural.
• Continuo: si los números decimales consecutivos tiene representaciones adyacentes, es decir, varían en un único bit.
Ej.: Gray o reflejado.• Cíclico: si la última representación es adyacente a la primera.
Ej.: Gray o reflejado.
Códigos binarios.
CONTROL DE ERRORES:
-Paridad: detecta 1 errorParidad: detecta 1 error◊ Par: número par de 1s
◊ Impar: número impar de 1s
-Polinomiales: correctores
ASCIIASCII
Señal de error
(ASCII + p. par)
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RECEPTOR
7 bits 8 bits 7 bits
EMISOR
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3.2 Algebra de BOOLE
2.1 Teoremas y propiedads. 2.2 Funciones: representación y simplificación.2.3 Funciones incompletamente
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especificadas2.4 Puertas lógicas
Algebra de Boole
◊ George Boole, desarrolló un sistema algebraico para formular proposiciones con 2 símbolos (1 y 0) y a tres formular proposiciones con 2 símbolos (1 y 0) y a tres operadores:
AND (y) -> producto lógico OR (o) -> suma lógica NOT (no)
◊ Las variables Booleanas sólo toman los valores: 1 ó 0.
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◊ Una variable Booleana representa un bit que quiere decir:
Binary digIT
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Operadores básicos :
Algebra de Boole
◊ La función AND◊ Si todas los dos operandos son “1”, la función vale “1” ◊ Si algún operando es “0”, la función vale“0”
◊ La función OR◊ Si algún operando es “1”, la función vale “1” ◊ Si todos los operandos son “0”, la función vale “0”
◊ La función NOTó
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◊ Si el operando es “0”, la función vale “1” ◊ Si el operando es “1”, la función vale “0”
◊ La tabla de verdad se usa para especificar el comportamiento (función) de dispositivos digitales.
Teoremas básicos:
Algebra de Boole
◊ Operaciones con 0 y 1:X + 0 = X X · 0 = 0X + 1 = 1 X · 1 = X
◊ Idempotencia:X + X = X X · X = X
◊ E i l i
28
◊ Equivalencia:(X’)’ = X
◊ Complementariedad:X + X’ = 1 X · X’ = 0
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Propiedades básicas:
Algebra de Boole
◊ Conmutativa:
XY = YX X + Y = Y + X
◊ Asociativa:
(XY)Z = X(YZ) = XYZ(X + Y) + Z = X + Y + Z
29
(X + Y) + Z = X + Y + Z
◊ Distributiva:
X(Y + Z) = XY + XZX + YZ = (X + Y)(X + Z)
A B · ·BA BABALeyes de Morgan
Algebra de Boole
(XY)’ = X’ + Y’
(X + Y)’ = X’Y’
0 0 1 1 1 00 1 1 0 0 11 0 0 1 0 11 1 0 0 0 1
A AA
30
Convierte AND en ORConvierte OR en AND
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Algebra de Boole. Resumen de Propiedades
P i d d V ió “+” V ió “ “Propiedad Versión “+” Versión “.“
P1. Conmutativa a + b = b + a ab = ba P2. Distributiva a + (bc) = (a + b)(a + c) a(b + c) = ab + ac P3. Asociativa a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c a(bc) = (ab)c = abc P4. Idempotencia a + a = a aa = a P5. Complemento a+a = 1 aa = 0 P6. Elemento identidad 1 + a = 1 0a = 0 P7 Elemento neutro 0 + a = a 1a = a
31
P7. Elemento neutro 0 + a a 1a aP8. Involución o doble complemento
aa =
P9. Absorción a + ab = a a(a+b) = a P10. Leyes de Morgan a b = a b ab a b=
Tabla de verdad de una función de conmutación
D i i D i l RDominio x2 x1 x0
Decimal Equivalente
Rangof(x2,x1,x0)
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 1 0 1 1 3 1
1 0 0 4 1
32
1 0 0 4 1 1 0 1 5 1 1 1 0 6 1 1 1 1 7 0
Expresión de la función: suma de productos (1) o producto de sumas (0)
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Forma canónica de una función de conmutación
Suma de productos canónicos:
f = x2x1x0 + x2x1x0 + x2x1x0 + x2x1x0 + x2x1x0
Producto de sumas canónicas:
f = (x2+x1+x0)(x2+x1+x0)(x2+x1+x0)
Suma de minterns:
33Expresión de la función: suma de productos (1) o producto de sumas (0)
f = m(2,3,4,5,6)
Producto de MAXTERNS:
f = M(0,1,7)
Mi = mi
Composición de funciones de conmutación
f
00
01
10
11
0
1
0
1
f
f
AND
NOT
34
fNOT (fAND (x1,x0)) = (1 1 1 0) = fNAND
18
Teoremas de simplificación
◊ Teorema 1:
XY + XY’ = X (X + Y)(X + Y’) = X
◊ Teorema 2:
X + XY = X X(X + Y) = X
35
( )
◊ Teorema 3:
(X + Y’)Y = XY XY’ + Y = X + Y
Mapas de Karnaugh de una y dos variables
x00
1
0
1
0
1x
0 1
xx1
0 0 10 1
x0
0
Notaciones alternativas
36
0 1
2 3
(00) (01)
(10) (11)
0
1
0 1
2 3x1
Minterm: cada término producto en FC, Maxterm: cada término suma en FC
19
Mapas de Karnaugh de tres y cuatro variables
00 01 11 10x1 x 0
1 230
00 01x2 11 10x1 x 0
0 1 2300
01
00 01
4 5 67
11 10x3x 2
11
12 13 14150
37
14 5 67
11
108 9 1011
a) Tres variables b) Cuatro variables
f(x x x x ) = m(0 2 6 7 8 9 10 14 15)
Representación de FC en mapas de Karnaugh. Minterms
f(x3,x2,x1,x0) = m(0,2,6,7,8,9,10,14,15)
0 1 2300
01
00 01
4 5 67
11 10x1x0
x3x2
f(x2,x1,x0) = m(0,3,7)
1 230
00 01 11 10
x2x1x0m = 0 x2x1x0m = 3
x2x1x0
0
38
11
10
12 13 1415
8 9 1011
0
1 4 5 67
x2x1x0m = 7
0
20
Simplificación de FC sobre mapas de Karnaugh
f(x3,x2,x1,x0 ) = m(0,2,6,7,8,9,10,14,15)f(x3,x2,x1,x0) = m (2,3,6,7)
0 1 2300
01
00 01
4 5 67
11 10x1x0
x3x2
1112 13 1415
1 2300
01
00 01
4 5 67
11 10x1x0
x3x2
1112 13 1415
1011
0
39
01230123012301230123 )( xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf
x x x x x x x x x x3 1 2 0 2 0 2 0 2 0( ) x x x x x x x x x x3 1 2 0 0 2 0 0 3 1( ( ) ( ))
12302120123 )( xxxxxx= x,x,x,xxf
108 9 1011
108 9 1011
Principal implicado: cada agrupación que será un término producto
f(x2,x1,x0) = m(1,3,4,5)
Estrategias de simplificación
0 1 230
1
00 01
4 5 67
11 10x 2
x1 x 0x1 x 0
1 230
1
00 01
4 5 67
11 10x 2
0
40
11
021201012 )( xxxxxx= ,x,xxf 0212012 )( xxx= x,x,xxf
Mínimo número de principales implicados lo más grande posible
21
Estrategias de simplificaciónf(x2,x1,x0) = m(1,3,4,5)
x1x0
0 1 230
1
00 01
4 5 67
11 10x 2
x1 x 0
x1x0
1 230
1
00 01
4 5 67
11 10x20
1 0
1 230
1
00 01
4 5 67
11 10x20
x x
41
1
021201012 )( xxxxxx= ,x,xxf 0212012 )( xxx= x,x,xxf
x1x0
1 230
1
00 01
4 5 67
11 10x20
x1x0
Funciones de cinco variables
1 2300
01
00 01
4 5 67
11 10x1x0
x3x2
12 13 1415
16 17 181900
01
00 01
20 21 2223
11 10
28 29 3031
0
42f(x4,x3,x2,x1,x0) = m (5,8,9,10,11,18,21,22,24,25,26,27)
11
108 9 1011
11
1024 25 2627
x = 04 x = 14
22
Mapa de Karnaugh para FC de 6 variables
1 23
00 01 11 10x1x0
x3x20 1817 19
00 01 11 10x1x0
x3x216
00
014 5 67
11
10
12 1314
15
8 9 1011
x = 05
1817 1900
0121 2223
11
10
28 29 3031
24 25 2627
20
16
33 35
00
00 01
37 3839
11 10x1x0
x3x2
36
32 49 51
00
00 01
53 5455
11 10x1x0
x3x2
52
4834 50
43
x = 04 x = 14
x = 15
01
11
10
44 45 4647
40 41 4243
01
11
10
60 61 6263
56 57 5858
f(x3,x2,x1,x0) = M(0,2,6,7,8,9,10,14,15)
Representación de FC en mapas de Karnaugh. Maxterms
f(x2,x1,x0) = M(0,3,7) (1 3 4 5 11 12 13)
0 1 2300
01
00 01
4 5 67
11 10x1x0
x3x2
1 230
00 01 11 10
M = 0
x2x1x0
0
x1x2 x0++ x2M = 3 + x1 x0+
= m(1,2,4,5,6)= m(1,3,4,5,11,12,13)
44
11
10
12 13 1415
8 9 1011
0
1 4 5 67
M = 7
0
x2+x1 x0+
23
Funciones incompletamente especificadas: ejemplos
•Ejemplo 1: •Ejemplo 2: cara o cruzf(x2,x1,x0) = (1 1 0 0 0 d 0 d)
x2 x1 x0 f
0 0 0 10 0 1 10 1 0 0
j p
Tabla de verdad: CC
Dadoelectrónico
P x1
x0
x2
f
Ejemplo 2: cara o cruz
45
0 1 1 01 0 0 01 0 1 d1 1 0 01 1 1 d
f(x2,x1,x0) = (d 0 1 0 1 0 1 d)
Simplificación de FC incompletamente especificadas
00 01 11 10x1x0
1 2300
01
00 01
4 5 67
11 10x3x2
12 13 1415
d d d0
46f(x3,x2,x1,x0) = m (5,6,8,12,14) + d (0,1,2,9,10,11)
11
108 9 1011
d d d
24
Binario como Voltaje
Las señales digitales tienen 2 estados:g
1 lógico “high”, or H, or “on”0 lógico “low”, or L, or “off”
Utilizamos Voltajes como valores lógicos:Si hay corriente (Vcc or Vdd) = 1Cero Volts or tierra (gnd or Vss) = 0
47
Cero Volts or tierra (gnd or Vss) = 0
Un simple switch es un 1 lógico (high) o un 0 lógico (low).
Un Simple Switch
◊ Un simple switch usado para proporcionar p p p pun valor lógico:
Vcc
Gnd, or 0
Vcc
Vcc, or 1
48
◊Un buen ejemplo binario es una luz(on or off)
25
Puertas lógicas
IInversor
49
Puertas lógicas
AND
50
OR
26
Puertas lógicas
NANDNAND
NOR
51
NOR
Puertas lógicas
XOR
52
XNOR
27
3.3 MODULOS COMBINACIONALES BASICOS.
3.1 Comparadores.3.2 Sumadores y Semisumadores
53
Especificación de un comparador◊ Especificación en alto nivel
◊ Codificación:
Z Condición MA si A > B MB si A < B IG si A = B
A
B
ZCOMPARADOR
A a1 a0 B b1 b0 Z
54
A a1 a0 B b1 b0
0 0 0 0 0 01 0 1 1 0 12 1 0 2 1 03 1 1 3 1 1
Z z1 z0
MA 0 0MB 0 1IG 1 0
28
Especificación binaria◊ Función de conmutación:
◊ Ecuación de conmutación :
a 1 a 0 b 1 b 0 z 1 z 0 a 1 a 0 b 1 b 0 z 1 z 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 10 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 00 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 00 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0
55
◊ Ecuación de conmutación :z1 (a1,a0,b1,b0) = m (0,5,10,15)z0 (a1,a0,b1,b0) = m (1,2,3,6,7,11)
Suma de dos números
◊ Función de conmutación:◊ Función de conmutación:
a3a2a1a0 b3b2b1b0 s4s3s2s1s0
0000 0000 000000000 0001 000010000 0010 00010
TV del sumador para operandos de 4 bits
A
B
SSUMADOR
56
.... .... ....
.... .... ....1111 1111 11110
29
Sumador◊ Suma de dos números de 4 bits:
1 1 1 arrastresc3 c2 c1 c0
A = 1 0 1 1 operando 1a3 a2 a1 a0
B= 0 1 1 0 operando2
s0 = a0 + b0 (suma base 2)si = ai + bi + ci-1 (suma base 2, i = 1,3)s c
Ejecución de la suma por columnas
57
B 0 1 1 0 operando 2b3 b2 b1 b0
S = 1 0 0 0 1 resultados4 s3 s2 s1 s0
s4 = c3
Semisumador
Tabla de VerdadTabla de Verdadx y C S0 0 0 00 1 0 11 0 0 11 1 1 0
Implementación
X
Y
A
BY SXOR 2
58
Equationes Lógicas:
C = x • yS = x y
A
BY CAND 2
30
SumadorSumador Total o Completo
A
B
CIN
COUT
SSUMADOR
TOTAL
Tabla de VerdadA B CIN COUT S0 0 0 0 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 0
59
1 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 1 1
Sumador Sumador Total o Completo:
A
B
C C
S
Implementación: Equationes Lógicas:
COUT = A•B + A•CIN + B•CIN
COUT = (A B)•CIN + A•B
60
CIN COUT
S = A B CIN
31
SumadorSumador de 4 bits
SC SS
a3 b3 a2 b2 a1 b1 a0 b0
c1 c0c2c3
SUM
SCSC
61
s1 s0s2s3s4
Sumador/restador binario para números de 4 bits en C2
b b b b
F(Paso / C a 1)
a3 a2 a1 a0 b3 b2 b1 b0
x3 x2 x 1 x0c3
S/R
62
SUMADOR
s3 s 2 s 1 s 0
c -1c3
32
Generación del segundo operando
b b b bb3 b2 b1 b0
S/R
F
63
x3 x2 x1 x0
Sumador/restador binario de 16 bits en C2
c -1
S/RF
SUMADORc 3
a3 a0- b3 b0-
4 4
F
SUMADORc 7
a7 a4- b7 b4-
4 4
F
SUMADORc 11
a11 a8- b11 b8-
4 4
F
SUMADORc 15
a15 a12 b15 b12-
4 4
-
64
s 3 s 0-
4
s 7 s 4-
4
s 11 s 8-
4
s 15 s 12-
4