TEMAINECUACIONES
Profesor: Juan Sanmartín
Matemáticas
Inecuaciones de Primer Grado Inecuaciones de Segundo Grado. Inecuaciones de Grado Mayor que dos
Recursos subvencionados por el…
Primer Grado
0 bax
Al igual que en una ecuación, pasamos las x para un lado y lo que no tiene x para el otro
La forma de una ecuación de primer grado puede ser de la siguiente:
La solución de una inecuación no va a ser un número concreto, sino un intervalo, es por lo que, debemos tener en cuenta el primer tema de este curso.
0 bax0 bax
0 bax
495325392 xxxxx
Ejemplo
¡¡¡ATENCIÓN!!! . Al tener que despejar la x y multiplicar o dividir por un número negativo, la desigualdad invierte su sentido.
4144
xxx
444 xxx
En ambos casos tiene que dar el mismo resultado
1 2 3 4 5
Podemos comprobarlo pasando la x para el otro lado y el número para el sitio donde está la x
Solución de la inecuación
4,
Ejemplo
1252
313
342
xxx
12
5212
13412
42412
523
133
42
xxxxxx
1252
12412
12168
xxx
45162128 xxx
187
x
-3 -2 -1 0 1718
Solución de la inecuación
718 x
187,
52412168 xxx
4722
21
xxxx
Resuelve
Resolvemos…
728224 xxxx
¡¡¡ATENCIÓN!!! .El signo negativo delante de la fracción, cambia el signo del numerador de la misma.
4728
4224
4722
21
xxxxxxxx
4994 xx
-3 -2 -1 0 1
-94
,
49
Solución de la inecuación
Cambiamos el sentido de la desigualdad
272284 xxxx
01032 xxEjemplo
10c3b1a
Planteamos la ecuación a partir de la inecuación dada
2
409312
101433 2
x
2
493x
2224
273
11
xx
55210
273
22
xx
Importante, hay que tener en cuenta el signo
01030103 22 xxxx
Segundo Grado
5x2x
2
1
-5 26 0 3
01032 xx
08101836106366 2 x
Tramo I Tramo II Tramo III
Se cumple
010100300 2 x
081099103333 2 x Se cumple
No se cumple
SOLUCIÓN: ,25,
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
En el Tramo II no se cumple la desigualdad y por lo tanto no es solución de la inecuación
En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
Representamos los puntos en la recta
real.
Tomamos puntos representativos de cada tramo
Ejemplo
1c4b
4a
Planteamos la ecuación a partir de la inecuación dada
Importante, hay que tener en cuenta el signo
0144 2 xx
8
1616442
14444 2
x
01440144 22 xxxx
224
204
x Obtenemos una única solución al ser la
raíz cero
2x 2
0 3
Tramo I Tramo II
Se cumple
SOLUCIÓN: 2
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
En el Tramo II se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
Representamos el punto en la recta
real.
Tomamos puntos representativos de cada tramo0144 2 xx
01104040 2 x
02511236134340 2 x Se cumple
La inecuación se cumple en toda la recta real menos en 2, ya que en ese punto vale 0
094 2 xResuelve la siguiente inecuacióm…
Resolvemos…
49
492 xx
23
49
2 x
23
49
1 x
La raíz de una fracción es la raíz del numerador entre la raíz del denominador (propiedades de los
radicales)
94094 22 xx
23x
23x
2
1
-32322 0 2
079242 2 x
Tramo I Tramo II Tramo III
Se cumple
Se cumple
No se cumple
SOLUCIÓN:
,
23
23,
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
En el Tramo II no se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
Representamos los puntos en la recta
real.
Tomamos puntos representativos de cada tramo094 2 x
099040 2 x
079242 2 x
0123 2 xxResuelve la siguiente inecuación
Donde…
6
124232
13422 2
x
682
x La ecuación no tiene solución ya que la raíz negativa no existe.
1c2b3a
Como no tenemos punto de inflexión, comprobamos si la desigualdad se cumple o no en toda la recta real.
011230 2 xxx La inecuación no tiene solución
0123 2 xx
6154
43
252 222
xxxxxxResuelve
123082
1293
1230126 222
xxxxxx
30829330126 222 xxxxxx
030309812236 222 xxxxxx
0130132 xxxx
00 1 xx
13013 2 xx
Calculamos el m.c.m. para obtener denominador común
El signo negativo cambia la fracción
0132 xxPlanteamos ahora la ecuación
13x0x
2
1
0 131 2 14
01413111311 2 x
Tramo I Tramo II Tramo III
No se cumple
No se cumple
Se cumple
SOLUCIÓN: 13,0
En el Tramo I NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
En el Tramo II se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
En el Tramo III NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
Representamos los puntos en la recta
real.
Tomamos puntos representativos de cada tramo0132 xx
02226421322 2 x
01518219614131414 2 x
Ecuaciones de grado mayor que 201213 234 xxxx Descomponemos la ecuación
en factores.
0411233
0121112111
012112112112111211311
043111213 234 xxxxxxxx
Aplicamos RUFFINI para
factorizar la ecuación
01213 234 xxxx
Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..
04
03
01
01
04311
x
x
x
x
xxxx
404
303
101
101
4
3
2
1
xx
xx
xx
xx
Solución
043111213 234 xxxxxxxx
4311
4
3
2
1
xxxx
+1 +4-1-34 2 0
Tramo I Tramo II Tramo III
Tomamos puntos representativos de cada tramo
Tramo IV Tramo V
2 5
0124124413444 234 x
018122213222 234 x
012120013000 234 x
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación Se cumple
No se cu
mple
En el Tramo II NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación Se cumple
030122213222 234 x
0192125513555 234 x
En el Tramo IV NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
En el Tramo V se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación Se cumple
No se cu
mple
SOLUCIÓN:
,11,13,