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Curso Acadmico 2012 2013
TEMA PREVIO
CONCEPTOS GENERALES DE ONDAS
Vicente Negro Valdecantos
Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Pertos
Pro!esor Titlar de "ni#ersidad
Teora general de ondas 1
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TEOR$A DE ONDAS
Existen mltiples libros dedicados a la mecnica ondulatoria la teora de ondas ! su
aplicaci"n al olea#e$ %esde la teora de &estner o 'trocoidal( a principios del siglo )*) +asta
mediados del mismo perodo donde Air! expone su onda lineal con su aplicaci"n en
pro,undidades inde,inidas ! la admisi"n del principio de superposici"n las ondas se +an
empleado ! utili-ado para reproducir ,en"menos de la naturale-a con sus .ariables reales$
/toes en 1$0 desarrolla la teora de peuea amplitud con aproximaciones de orden
superior donde su tercer ! cuarto grado reproduce mu! bien el olea#e en mar pro,undo$ 4arapro,undidades reducidas el modelo de 5orte6eg ! %e 7ries 'cnoidal( o las ondas solitarias
pueden ser las primeras aproximaciones$ /in embargo la relaci"n onda ola es
relati.amente reciente as como los grupos de ondas ! los estados del mar$
Esta primera aproximaci"n permite el empleo de un concepto de perturbaci"n peri"dica o
'cuasi( peri"dica de una cierta magnitud ,sica ue e.oluciona en el tiempo o en el espacio$
En el mar se presenta mediante ondas de super,icie ! ondas internas$ Estas ltimas se
re,ieren a los mo.imientos pro,undos de las masas ocenicas ms cercanas a la
8ceanogra,a ue a la *ngeniera Ci.il ! en un contexto ms biol"gico ue relati.o al olea#e$
9as ondas de super,icie como su nombre indica anali-an ! reproducen los mo.imientos de la
super,icie del mar esenciales para el diseo de las obras martimas ! la dinmica ! los
procesos litorales$
Estas ondas presentan una primera clasi,icaci"n sobre la base de la magnitud :T; perodo
ondulatorio en un esuema tipo senoide$ 0$10 s
8ndas de ultra gra.edad 0$10 s > T > 1 s
8ndas de gra.edad 1 s > T > 30 s
8ndas de in,ra gra.edad 30 > T > 300 s
8ndas de largo perodo 300 s > T > 2? +
8ndas de marea astron"mica T @ 12 +oras ! 2? minutos
8ndas Transmareal o transtidal T 2? +
Teora general de ondas 2
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/in embargo tambin pueden estudiarse sobre la base de la ,uer-a perturbadora !
generadora de la oscilaci"n=
7iento 4or ,luctuaci"n olea#e :sea ! s6ell;
7iento 4or ,ricci"n '6ind set up(
&radiente 4or succi"n 'storm surge(
Terremoto Tsunami o maremoto
/ol ! luna Barea astron"mica
8tro aspecto en lugar de la ,uer-a productora es la ,uer-a restauradora ! por ello colaboraen la oscilaci"n destacando=
Tensi"n super,icial 8ndas capilares
&ra.edad 8lea#e
Coriolis 8ndas largas
A la +ora de abordar el ,en"meno se pueden plantear tres procedimientos ,undamentales=
1$ Aproximaci"n te"rica o matemtica basada en las ecuaciones generales del
mo.imiento continuidad ! momento o cantidad de mo.imiento en distintos tipos de
coordenadas lagrangianas o de posici"n :xt; eulerianas o de .elocidad :ut;
2$ Aproximaci"n estadstica asimilando el concepto de onda a la teora de olas
3$ Aproximaci"n espectral a caballo entre ambas pero aplicando tcnicas seme#antes
sobre la base de los registros a las usadas en campos electromagnticos
4or los moti.os anteriores ! dada la abundancia de documentaci"n se +a planteado en esta
*n.estigaci"n una serie de guiones ue se basan en las aproximaciones te"ricas de la ondas
! ,acilitan su comprensi"n$
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Esuema general del modelo de onda en ingeniera del mar
Aunue al ,inal de estas pginas se .uel.a a repetir no se puede perder la perspecti.abasada en la naturale-a con sus .ariables ! parmetros reales donde se puede sentir !
percibir la .elocidad del .iento su ,uer-a su presi"n las .ariables geomtricas ue intentan
reproducir la realidad donde se enmarca la teora de ondas para ,inalmente la geometra
procesarla estadsticamente mediante la ola o los estados del mar$
Dos encontramos ante un proceso ue con.erge en la naturale-a ! ue parte de sta para
con.ertirla en geometra ! despus en estadstica$ %esde la perspecti.a cient,ica puede
resultar sol.ente ! .lido pero como ingenieros cul es su errorF
A continuaci"n se recogen las ideas ,undamentales a modo de guiones ue permiten
comprender los conceptos bsicos de la mecnica ondulatoria aplicada a la ingeniera del
mar$
1$G Esuema general
/inusoide
Amplitud :H; longitud de onda :9; semiamplitud :a; cresta ! seno
Teora general de ondas ?
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Curso Acadmico 2012 20139mina de agua :+; G pro,undidad :d;
Teora general de ondas I
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2$G %escripci"n de la mecnica general
Teora de 9agrange o de posici"n :xt;
Teora de Euler o de .elocidad :ui t;
3$G Tro geomtrico de Carter$ H 9 d$ Teorema de Jucing+am$ 9as ondas se de,inen por
tres parmetros independientes ! al menos dos monomios adimensionales
HK9 4eralte$
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Curso Acadmico 2012 2013Corolario 2 El ,luido es de Jolt-mann admite el principio de superposici"n
9as tensiones normales se transmiten +idrostticamente
Corolario 1 El ,luido es pascaliano$ El tensor de tensiones normales
:presiones; es es,rico
Corolario 2 El tensor de tensiones es la suma del tensor de tensiones
normales ! del des.iador de tensiones tangenciales
Tensor de tensiones simtrico ei#@ e#i
En esta situaci"n aire G agua .iento G olea#e atm"s,era G +idros,era existe una
comple#a muina trmica doble donde el .iento es el generador de una serie de
acciones ue deben esuemati-arse
%ii%i%i%i%i%i% ee&e''(&') =
=
i
%
%
ii%
*
*'
(+e
Ecacin de Continidad
Ecacin de la Cantidad de mo#imiento o del momento cin-tico
Teora general de ondas
cte.&/.0
12'34
*
1'34
t %
i
/.0
2
4*
%
i
R
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Ecacin de 5ernolli
Teora general de ondas
*
)'+6.0'24
*
'4t
%
i
%
i%
i
0
)'
+6g6.
0
2'24
*
2'4
t
2
%
i
cte.0'g4P41
0341
*3'
(
+4
t
((
i
.g'&cte.04P4
g'(
#(
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Curso Acadmico 2012 2013%ensidad constante implica incompresibilidad :di.ergencia nula o campo solenoidal;
7elocidades deri.an de un potencial implica potencialidad :,unci"n gradiente potencial;
8perador di,erencial de campo compuesto :campo arm"nico;
/oluci"n estacionaria .ariaci"n de O con relaci"n a t nula
Q$G Teora de campos
Campo /olenoidal di.ergencia nula di. u @ 0 N @ cte
Campo 4otencial .elocidades deri.an de un gradiente u @ G grad O
Campo Arm"nico laplaciano nulo P O @ 0
R$G Ecuaciones generales de aplicaci"n de los modelos de onda
Como se coment" en la introducci"n ! antecedentes el primer modelo es de primeros del
siglo )*) con la teora de &erstner ue no admite el principio de superposici"n describe la
"rbita pero no la tra!ectoria de la partcula$Teora general de ondas
1rotrot3613di#er.
6.&0
6.2
y6.#
*6.
/.
/.0
4y
4*
(
(
(
(
(
(
S
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A mediados del mismo siglo Air! desarrolla su teora de onda lineal ue reproduce el
mo.imiento de la partcula la tra!ectoria de la onda ! admite la superposici"n lineal$ /e
adopta como re,erencia antes de desarrollar los modelos de peuea amplitud ! reproducir
los e,ectos de no linealidad$
9as ecuaciones ,undamentales se obser.ar en el cuadro ad#unto=
Teora general de ondas 10
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$G Condiciones de contorno
Teora general de ondas
Perio&t4t&tyL4*&*
0&li8res)er!icie/&.0&.0
Cinem&t
.0
&/.0
Din9mic&/.'g4t
&.0
:on&/.0
&76.0
11
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Curso Acadmico 2012 2013S$G Clasi,icaci"n de 5insmann
10$G Tipos de ondas
Capilares
ltragra.itatorias
&ra.edad 89EAUE
*n,ragra.itatorias
9argas BA
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4ro,undidad relati.a :+K9;
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Teora general de ondas 1?
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13$G Xbaco de 9e Be+aute
Tambin puede anali-arse la .alide- de los esuemas ondulatorios mediante la propuesta de
%ean o el esuema de Horia6a$ Ambas gr,icas se encuentran al ,inal de estos guiones
tcnicos$
Teora general de ondas 1I
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Teora general de ondas 1Q
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1?$G 4armetro de rsell
1I$G Tipos de mo.imiento orbital de las partculas de agua segn la pro,undidad
dK9 0$I0 Circular$ 4ro,undidades inde,inidas
dK9 > 0$I0 Elptica$ Lonas de transici"n
1Q$G
Tipos de ondas
/inusoidales
Cnoides
Trocoides
/olitarias
Teora general de ondas
d
L' Z
Y 4lunging o rotura en .oluta 0$I0 > Z > 2$I0 G 3$00
Teora general de ondas
T
'(.&
(
&
M@('>c7
+./@Q/Q.
P
P
7'>c7M@('>c7''g'.+/'(@B.P
7'>c7
+''g'.+/'(@/M.P
BD
(
D
D
BD
BD
+
(
+
(
+
1t'6*'3>cos'(
c7''g'.PD
3R
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@6 "n !l%o 8idimensional #iene de!inido )or . +/ W 3*(6 y(1, siendo recomenda8le
la determinacin de
W Cam)o de #elocidades e irrotacionalidad
W Es n !l%o solenoidal
W O8t-ngase la )resin m9*ima si P . / en el )nto 3*,y1 . 3+,+1
SOL"CIN
4rimeramente se calcula el campo de .elocidades en dos dimensiones :20x G 20!;
/e calcula el rotacional del campo de .elocidades como el determinante de,inido de la
,orma=
Calculemos la ecuaci"n de continuidad
Teora general de ondas
y'(/6.y
.#
*'(/.*
.
/.
/(/y6(/*
0y*
>%i
.rot
3
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En este caso es 20 G 20 @ 0 ! como consecuencia el ,lu#o es solenoidal por ser un campo
de di.ergencia nula$ Minalmente determinamos la ecuaci"n de Jernoulli en ,orma general
9a .ariaci"n de _ con relaci"n al tiempo es nula$
9a .ariaci"n con relaci"n a [x[ es 20x con relaci"n a [![ es G 20!$ Aplicando la ecuaci"n de
Jernoulli en dos dimensiones para calcular la constante de integraci"n sabiendo ue 4 @ 0
en :11; se obtiene cte @ ?00$
9a ,unci"n de presi"n resulta=
Teora general de ondas
/.0
24
y
#4
*
cte.1y
341*
3'(+4P4
t
cte.10
341y
341*
3'(
+4g04
P4
t
((
(((
3S
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Calculando las deri.adas e igualando a cero
/e obtiene ue la presi"n mxima en :00; es 4 @ ?00N
Q@6 Calclar em)leando teorKa lineal y en agas de transicin la #elocidad m9*ima
en el lec7o
Empleando la teora lineal la .elocidad +ori-ontal 'u( tiene el siguiente .alor=
Con las condiciones de contorno en el lec+o - @ G
+ por tanto el coseno +iperb"lico del numerador
es unitario pudiendo despe#ar la longitud de onda ! despe#ar el coseno +iperb"lico$
(
+J
L
dJ
(A
+&
L
d''(t7'L.L
(
+OL
d&'(
T'g.L
/
(
/
Teora general de ondas
1y'3B//41*'3B//'(+6B//'.P ((
y'B//'6.y
P
*'B//'6.*
P
?0
12
ma*cos&cos'7'>c7
01437'>c7'
L
T'g'
c7
7'>s7'
'
T'g
T'g
'
10 s; direcciones
mltiples as)ecto catico y desordenado! peraltes grandes :HK9 0$0?;$
9as segundas las olas de s6ell +an salido del rea de in,luencia del .iento presentan
perodos ma!ores :T 12 G 1? s; crestas largas direcci"n de a.ance de,inido ! peraltes
peueos :HK9 @ 0$01R G 0$030;$ Estos estados estn soldados, !iltrados y modlados$
9as ondas son conceptos matemticos entes He no trans)ortan materia las olas son
entes ,sicos situaci"n ue como ingenieros nos permite la abstracci"n ! el paso de onda a
ola$
CONCEPTOS GENERALES
Metc+ geogr,ico /uper,icie luida susceptible de soplar .iento ! como consecuencia
generar olea#e
Metc+ meteorol"gico /uper,icie luida en la ue sopla .iento ue genera olea#e ! alcan-a
al 4unto de 4re.isi"n
Metc+ esuemtico Aproximaci"n rectangular del ,etc+ meteorol"gico
Metc+ estndar Metc+ esuemtico de anc+ura G banda inde,inida
4or estos moti.os el ,etc+ tiene por unidades [9[ es decir [m " 5m[
Teora general de ondas ?Q
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Curso Acadmico 2012 20134ese a la notable simpli,icaci"n conceptual el problema es di,cil en su comprensi"n !
tratamiento matemtico$
Concepto de radiaci"n$ Cualuier tipo de energa ue puede anali-arse por teora de ondas
RE:ERENCIAS
Curso de *ngeniera de 4uertos ! Costas$ Tomo *$ 4lani,icaci"n ! explotaci"n de 4uertos$
*ngeniera 8ceanogr,ica ! de Costas$
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MAREMOTO DEL $NDICO@ ( X ( DICIEM5RE, NAVIDAD (@//B
9a placa euroasitica en contacto con la indo australiana su,re un despla-amiento en
,orma de terremoto de escala S en la escala de mB>m+/ =
Al obser.ar ue la pro,undidad es abisal la primera idea ue se tiene es emplear la teora
lineal de ondas en pro,undidades inde,inidas para determinar 90antes de discutir cualuier
modelo ondulatorio$
Teora general de ondas ?
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Curso Acadmico 2012 2013
En este sentido la +ip"tesis de tomar 9 0@ 1$IQ x T2puede parecer ra-onable$
7ariando el perodo de la onda de percusi"n entre I ! 10 minutos se obtendra=
I minutos 3Q0 segundos 9ongitud de onda inde,inida 202 5m
10 minutos Q00 segundos 9ongitud de onda inde,inida IQ2 5m
A I0 metros de pro,undidad la .elocidad se sita en RS 5mK+ ! la longitud de onda en 23
5m$
A 10 metros de pro,undidad la .elocidad se sita en ?0 5mK+ ! la longitud de onda en
10$Q0 5m$
/in embargo cuando se comprueba dK9 es decir 10$000 mK202$000 @ 0$0?S para T @ I
minutos " 10$000KIQ2$000 @ 0$01R para T @ 10 minutos se obser.a ue estamos en
pro,undidades someras ! ue el modelo de onda debera ser el lagrangiano con una
celeridad :g+;0$I0ue resulta ser 313$20 mKs$
I minutos 3Q0 segundos 9ongitud de onda inde,inida S3$SQ 5m
10 minutos Q00 segundos 9ongitud de onda inde,inida 1R$S2 5m
7alores ligeramente in,eriores a los anteriores pero ue demuestran ue nos encontramos
en longitudes de ondas enormes$ /i .ol.iramos a comprobar la relaci"n 'dK9( estaramos
en un bucle de cierre entre transici"n ! someras pero se dispone de un orden de
magnitud tanto de celeridades como de longitudes de onda del citado e.ento
extraordinario$
4ara saber cuanto tiempo tarda en llegar a la costa tras la detecci"n de un sistema de
alerta con las +ip"tesis anteriores se ra-ona de la siguiente manera=
x @ 0 + @ 10000 metros :0 10000;
Teora general de ondas ?S
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x @ 10000K0$0Q2I + @ 0 metros :1Q0000 0;
9a ecuaci"n de la pro,undidad ser +:x; @ 10000 0$0Q2I x$
9a ecuaci"n de la celeridad ser c:x; @ g :10000 0$0Q2I x; 1K2
9a integraci"n de la ecuaci"n de celeridad entre el tiempo cero ! el tiempo 't( ! del espacio
entre x @ 0 ! x @ 1Q0000 proporciona 102? segundos$
En estas condiciones +abra 1 minutos entre la detecci"n ! la primera de las olas ue segenera tras la ,alla de las dos placas ue genera el terremoto$
4ara conocer cual es el mximo ascenso ! descenso del ni.el de agua adoptamos criterios
ue plantearon los damni,icados al +ablar de olas cu!a altura exceda los die- metros$ /e
desconoce el apellido de las mismas pero se adoptar Hs@ 10 metros$
M9*imo descenso
oms'L/+A@/
s
d e'A/@+P'(/@+tag'+/@( +K9 > 1K2
=
'(
T'gL&
L
7''(t7'
'(
T'g
L
7''(t7'LL
(
/
(
/
Como en la citada pro,undidad +K9 > 1K20 el cociente '+( es mu! peueo ! eseui.alente por trigonometra al seno ! el arco$ 4or tanto se obtiene=
7'gT
L&T'7'gL&
L
7'T'gL&
L
7''('
'(
T'gL
(
(((
((
=
Como la celeridad es 9KT " 9 @ c x T se obtiene
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L
'(>&7'gc
=
/iendo lo ue se uera demostrar$
++@6 Em)leando la teorKa de ondas, demostrar He en )ro!ndidades
inde!inidas la celeridad #ale gTF(Z
En primer lugar se plantea la ecuaci"n trascendente de la longitud de onda$ Esta se
dispone en pro,undidades de transici"n 1K20 > +K9 > 1K2
=
'(
T'gL&
L
7''(t7'
'(
T'g
L
7''(t7'LL
(
/
(
/
El siguiente paso es plantear el .alor de la tangente +iperb"lica$ En +K9 @ W la tangente
+iperb"lica es t+ V cu!o .alor es 1 por tanto 9 @ 9 0$
Como 90es=
'(
T'g
cLT'c(
+
L
7
,LL&'(
T'g
L ////
(
/
+(@6 E*)licar mediante los conce)tos de teorKa de ondas el trans)orte de
masa y sedimentos@
9as partculas de agua en pro,undidades inde,inidas +V " +K9 W siguen "rbitas
circulares$ En -onas de transici"n VK10 > + > V " 1K20 > +K9 > W esta tra!ectoria es
elptica$ En ambas situaciones la "rbita es cerrada$
/egn nos aproximamos a la rotura esta "rbita cerrada se trans,orma en abierta ! pasa de
oscilaci"n a traslaci"n :caso 'a( a caso 'c(; apareciendo el transporte de masa !
generando corriente :u . 6;$ /i +a! partcula arenosa :%nI; aparece el concepto de
transporte de sedimentos ,undamentado ,undamentalmente en el concepto de gradiente !
con una escala en planta +iperanual ! en per,il estacional$
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rbita circular ! "rbita elptica
RE:LEIONES SO5RE :"?"S
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Motogra,a del maremoto de Uap"n Bar-o 2011
Baremoto del fndico 200? ! tsunami de Uap"n 2011
Do.iembre 2012