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TEMAS DE MATEMÁTICAS IV
1.- CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
2.- PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
3.- ARITMÉTICA CON NÚMEROS ENTEROS
4.- NÚMEROS RACIONALES Y SUS PROPIEDADES
5.- LEYES DE LOS EXPONENTES
6.- RADICALES
7.- NOTACIÓN CIENTÍFICA
8.- LOGARÍTMOS
9.- OPERACIONES CON POLINOMIOS
10.- FACTORIZACIÓN
11.-OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
12.- ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
13.- SISTEMAS DE ECUACIONES
14.- CONJUNTOS
15.- SISTEMAS DE NUMERACIÓN
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EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Clasificación de los números
Los números al igual que en la historia del ser humano, han sufrido cambios importantes, los cuáles podemos
resumir de la siguiente manera:
Números naturales ℕ
Los primeros números de los que se tiene conocimiento que el hombre usó por primera vez fueron los
números naturales (el símbolo que los representa es ℕ), sin lugar a dudas, dónde sólo se podía hablar de números como el uno, dos, tres, cuatro y así sucesivamente, es decir, no había significado para los números negativos, o con punto decimal e incluso ni para el cero, los números naturales son entonces: ℕ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,…,∞}
Cabe mencionar que estos números así como los conocemos no tenían inicialmente esta apariencia, sino que
se fueron modificando hasta tomar la forma actual.
Números enteros ℤ
El conjunto de los números enteros (el símbolo que los representa es ℤ) está formado por todos los números
naturales y los negativos (un número negativo es un número natural precedido de un signo menos [–]) junto
con el cero.
ℤ= {–∞,…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,…, ∞}
Números Racionales ℚ
Los números racionales es el conjunto de números que tienen la siguiente forma:
con , y 0p
p q qq
Formalmente tenemos: , , 0p
p q qq
Ejemplos: Encontrar por lo menos 10 números racionales.
Veamos que un número racional se forma de un número entero entre otro número entero no cero
( número enteronúmero entero 0 )
5 8 3 31, , , ,3 7 2 7 4
23 No es racional, pues 2
5 , ya que 5 10 20
51 2 4
y muchas más fracciones equivalentes
recuerda que significa “pertenece”
Es igual que 53
Es igual que 32
4
12 , , 0.28 , 5.25
3
En el ejemplo anterior 2
3 no se considera racional, pues claramente 2 no es un número entero. Se
consideró a 13
como racional, ya que tanto 1 como 3 son enteros, pero veamos que sucede si consideramos su
representación decimal:
1 3 13 realicemos la división
0.3333 1.0
1010
Esto se sigue infinitamente
1 0.33333
Es decir, a cualquier número periódico le corresponde un número racional.
Ejemplo: Encontrar la representación racional para los siguientes números a) 0.18éste número representa 18 centésimos
0.18 = 18100
ahora simplificando 18 9100 50
, por lo tanto 90.1850
ahora tenemos un número periódico, el cual encontraremos su representación racional como sigue
b) 0.212121
entonces se divide a 21 por un número formado por sólo 9’s, tantos como dígitos se repiten (2), es decir:
21
99 simplificando tercera
21 7
99 33 o sea 70.212121
33
verifica lo anterior dividiendo 7 entre 33 y te saldrá 0.212121
c) 0.102102102102
Ahora se tiene un número con 3 dígitos el cual se está repitiendo
0.102102102
1020.102102102999
simplificando 102 34999 333
, o sea 340.102102102333
Ejercicios: Encontrar la forma racional para los siguientes números
a) 8 b) 0.25 c) 3.8
d) 12.5 e) 0.484848 f) 0.630630630
g) 2.1212 h) 4.66666 i) 12.515151
se repite infinitamente el 3 (número periódico)
décimos centésimos
son dos los dígitos que forman a la repetición: 21
3 dígitos, se dividirá por 999
3 “9’s”
5
Números Irracionales 𝕀
Los números irracionales, como el nombre lo dice, son números que no son racionales, o sea, NOse pueden
escribir como un quebrado, por ejemplo el antes mencionado 2 .
Con ayuda de una calculadora podrás ver que 2 1.414213562
lo cual es una aproximación (≃) de 2 , pues si encontramos 2 con otra calculadora más avanzada o una
computadora nos daría 2 1.4152135623730950488016887242097 , lo cual sigue siendo una
aproximación. Por tal motivo 2 tiene una expansión decimal infinita que no es periódica como pasa con 13
0.333 , por lo tanto no es posible encontrar una representación en forma racional para 2 , es decir, es un
número irracional
Otros ejemplos de números irracionales son: 3, 5, , , 7, 11,e etc
Todo número cuya expansión decimal sea infinita (nunca termina) y no periódica NO es posible escribirlo
como un quebrado, es decir, es un número irracional
Números Reales ℝ
Para finalizar, la clasificación de los números queda así:
ℕ = Números Naturales
ℤ = Números Enteros
ℚ = Números Racionales
i = Números Irracionales
ℝ = Números Reales
I
Observación: I
EJERCICIOS Escribir falso (F) ó verdadero (V)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) I = ( )
I ( ) I ( ) I ( )
aproximadamente
6
Logarítmos
El logaritmo de un número A en la base b, es un número x tal que al multiplicar la base bx veces por ella
misma resulta A, matemáticamente se tiene:
logb
xA x b A
A,b,xℝ, A,b> 0 y b≠1
Ejemplos.- 3
2Si log 8 3 entonces 2 8
Literalmente podemos decir que el logaritmo de un número es ver cuantas veces multiplico la base por ella
misma para obtener el número dado.
¿cuánto vale 3log 81? es decir cuantas veces multiplico la base por ella misma para obtener 81
81
4 veces
3 3 3 3 3 3 3 3 81 , entonces 4
3log 81 4 pues 3 81
GRUPO DE EJERCICIOS 1 Encontrar el valor de los siguientes logarítmos
a) 3log 9 b) 2log 16 c)
5log 25 d) 7log 343
e) 12
1log
8 f)
32
27log
8 g)
15
1log
125 h) 4log 64
i) 5
1log
125 j)
1
2
log 16 k) 13
log 27 l) 34
16log
9
m) 3log 1 n)
7log 1 o) 4
1log
64 p)
6
1log
36
Recuerda una potencia negativa de un número es igual al recíproco de la potencia positiva del mismo
número.
Si 32 = 9 , entonces 2 13
9
Si 43=64 , entonces 3 1
464
Si 2
2 43 9
, entonces 2
923 4
1n
na
a
“si y sólo si” BASE
7
Propiedades De Los Logarítmos
Ejemplos.-Simplificar
a) 2log xy
primero observamos que xy2 es una multiplicación, entonces aplicamos la propiedad (a)
2 2log log logxy x y
Ahora y2 es una potencia, entonces aplicamos la propiedad (b) y nos queda
2 2log log log log 2logxy x y x y
Es decir:
2log log 2logxy x y
GRUPO DE EJERCICIOS 2
1.- Simplificar las siguientes expresiones aplicando las propiedades de los logaritmos.
a) 4log z y b) 3 2
2log
a b
c
c) 3 5log x y d)
3
2log
x y
z
e)
13
4 3log
a
b c f)
12
5 4log
d
b c
2.- Escribir en la forma logarítmica equivalente
a) 20.01 10 b) 01 e c) 312
8
d) 141
813
e) 30.001 10 f) 0
11
2
g) 151
322
h) 11 121 i) 7 49
log log log
log log log
log log
log 1
log 1 0
b b b
b b b
n
b b
b
b
a A B A B
Ab A B
B
c A n A
d b
e
Cuando a un logaritmo no se le indica la base sobreentenderemos que su base es 10, es decir
10log logA A
8
REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES
(a) 2 2 2
2a b a a b b
(b) 2 2 2
– – 2a b a a b b
(c) 3 3 2 2 3
3 3a b a a b a b b
(d) 3 3 2 2 3
– – 3 3 –a b a a b a b b
(e) 2 2
– –a b a b a b
(f) 2x a x b x a b x a b
PRODUCTOS NOTABLES
Un producto notable (multiplicación) es aquel que se puede obtener su resultado sin necesidad de realizar exactamente la multiplicación, por ejemplo al tener:
2)32( x , un error común es pensar que es igual a 94)3()2()32( 2222 xxx ¡¡ERROR!! Ya que si
fuera cierto lo anterior, sería cierto lo siguiente: 34259)5()3()53( 222
¿Cuadrado de 8, 28 es igual a 34?
Recuerda entonces, si tienes una multiplicación (no suma o resta)
3 3 3( ) ( ) ( )a b a b pero 3 3 3( )a b a b
Bueno pues veamos entonces a que es igual a 2)32( x sabes que:
23 3 3 9 y 35 5 5 5 125
Luego entonces:
)32)(32()32( 2 xxx
o sea:
2
2
2 32 3
4 6
6 9
4 12 9
xx
x x
x
x x
Es decir:
9124)32( 22 xxx
OJO:Recuerda que al multiplicar dos
binomios (x+2)(x+3) no es igual a x2 + 6
9
Ahora, las 6 reglas antes mencionadas te ayudan a encontrar este resultado sin necesidad de realizar la
multiplicación en sí: 222 )3()3)(2(2)2()32( xxxx
La primera regla 2 2 2( ) 2a b a ab b
9124)32( 22 xxx
Ejemplos, desarrollar los siguientes productos notables:
a) 2 2(5 4)x
“primera regla 2 2 2( ) 2a b a ab b ” 25xa
4b 222222 )4()4)(5(2)5()45( xxx
164025 24 xx
b) 2 3(3 2 )y
“Cuarta regla 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b ”
3a 22yb
322222332 )2()2)(3(3)2()3(3)3()23( yyyy
)8()4)(3(3)2)(9(327 642 yyy 642 8365427 yyy
c) 1 2 2( )x ya b 1 xaa 2 ybb
222121221 )())((2)()( yyxxyx bbaaba los exponentes se multiplican 422122 2 yyxx bbaa
Bases diferentes no se suman los exponentes
EJERCICIOS
a) 2 3 2(3 )a b
b) 2 3(4 )xy a
c) 1 2 2(2 3 )x by a
d) ( 3)( 3)ab ab
e) 3 4 3(7 3 )a b
f) 2 2(4 5)(4 5)x x
g) 2. 2(6 3)ab
h) 2 2( 4)( 7)x x
i) ( 14)( 20)y y
10
El Binomio de Newton Primero recordemos los productos notables ya estudiados:
2 2 22a b a ab b
, 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b
como podrás observar , por ejemplo en el desarrollo de 3
a b el comportamiento de las literales (sus
exponentes) es:
3 2 2 3a a b ab b
Ahora los coeficientes los puedes obtener de la manera siguiente:
3 2 1 2 33 3a a b a b b
Analicemos ahora el desarrollo de 4
a b para que nos quede más claro
empezamos con 4a
4 4 3 2 2 3 4las literalesa b a a b a b ab b
terminamos con 4b .
Ya habíamos comentado que los exponentes de “a” van disminuyendo 4 3 2, , , ,sina a a a a
2 3 4sin , , ,b b b b
y los exponentes de b van aumentando.
Ahora los coeficientes quedan:
4 3 2 2 1 3 44 6 4a a b a b a b b
Es decir tenemos:
4 4 3 2 2 3 44 6 4a b a a b a b ab b
Finalmente el binomio de Newton se escribiría como:
1 2 2 3 3( 1) ( 1)( 2)...
1 2 1 2 3
n n n n n nn n n n na b a na b a b a b b
la b no aparece en el primer término, aparce
en el segundo y va aumentendo hasta b3
la a empieza con exponente 3 y va bajando de
exponente 3, 2, 1 hasta que desaparece
2 3 63
2 2
(3)(1)1
3
dos término escritos 3 2
3a a b
tres término escritos
3 2 23 3a a b ab
(3)(4) 126
2 2
(6)(2) 124
3 3
Recuerda que se divide entre el número
de términos anteriores
(1)(4)1
4
Observación: El desarrollo antes mencionado sólo considera el caso en
que el binomio es una suma, para cuando es una resta más adelante se
vera que sucede
11
Ejemplo 1.- Desarrollar con el binomio de Newton 5
22 1x
5
2 2 5 2 4 2 3 2 2 2 3 2 4 5
5 5 4 3 2 2 3 4 5
2 1 (2 ) 5(2 ) (1) 10(2 ) (1) 10(2 ) (1) 5(2 )(1) (1)
( ) 5 10 10 5
ba
x x x x x x
a b a a b a b a b ab b
Ahora, desarrollando las potencias antes de multiplicar
5
2 10 8 6 4 22 1 32 5 16 1 10 8 1 10 4 1 5 2 1 1x x x x x x
5
2 10 8 6 4 22 1 32 80 80 40 10 1x x x x x x
Ejemplo 2.- Desarrollar 4
3 23 2a b
43 2
4 4 3 2 2 3 4
3 2
4 6 4
a b
a b a b a a b a b ab b
4 4 3 2 2 3 4
3 2 3 3 2 3 2 3 2 23 2 3 4 3 2 6 3 2 4 3 2 2a b a a b a b a b b
ahora primero desarrollamos las potencias
4
3 2 12 9 2 6 4 3 6 8
12 9 2 6 4 3 6 8
3 2 81 4 27 2 6 9 4 4 3 8 16
81 216 216 96 16
a b a a b a b a b b
a a b a b a b b
Ejercicios Encuentra el desarrollo de los siguientes binomios utilizando el desarrollo del binomio de Newton
a) 6
23x y b) 5
3 42 4x y
c) 7
51 2a d) 4
2 33a b a
e) 6
3 53 5a a f) 8
41 3b
Observación: Si al desarrollar un binomio elevado a una potencia, el signo
es menos n
a b , los términos son los mismos que en la potencia positiva
n
a b , sólo que los signo se van alternando, empezando con +
5 5 4 3 2 2 3 4 5
5 5 4 3 2 2 3 4 5
5 10 10 5
5 10 10 5
a b a a b a b a b ab b
a b a a b a b a b ab b
Los signos se alternan
no se pone 2
2b
12
Factorización
Factorizar un número consiste en escribirlo como un producto de números primos (números que ya no se
pueden descomponer).
Por ejemplo al factorizar el número 20 nos queda:
5
2
2
1
5
10
20
es decir la factorización de 20 es 20
)5)(2)(2(20
delfactorialcióndescomposi
Cabe mencionar que aunque 20=(4)(5) ésta no es su descomposición factorial pues 4 no es primo (es decir se
puede descomponer como 4=(2)(2) ).
RECUERDA.- El número 1 NO es considerado como número primo
Factorización De Una Expresión Algebraica
Factorizar una expresión algebraica al igual que en los números, consiste en escribirla como un producto de
dos o más expresiones algebraicas que ya no pueden ser factorizadas. Para factorizar una expresión
algebraica ya no es tan fácil como en los números, sin embargo considerando 8 casos y un caso especial
podemos lograrlo de la siguiente manera.
Caso I.- Factor Común
FACTOR COMÚN.- Éste caso se presenta cuando todos los términos de dicha expresión tienen un factor
en común.
Factorizar : a) 2a2
+ 4a = 2a ( a +2) ésto es un producto
(2)(a)(a) (2)(2)(a) 2a es el factor común
2 3 3 4 2 218 12 24x y z x y z xy
Si vemos detalladamente la factorización de cada término de la expresión anterior tenemos:
18x2y
3z = (2)(3)(3)(x)(x)(y)(y)(y)(z)
12x3y
4z
2 = (2)(2)(3)(x)(x)(x)(y)(y)(y)(y)(z)(z) Factor común : (2)(3)(x)(y)(y)6xy
2
24 xy2 = (2)(2)(2)(3)(x)(y)(y)
Como podrás observar, 6 es el M.C.D. de 18,12 y 24 y además se toma la letra común en cada expresión
pero con MENOR exponente es decir de x2 , x
3yx se toma ax y de y
3 , y
4 y y
2 se toma y
2 .
Entonces podemos escribir
2 3 3 4 2 2 2 2 2 218 12 24 6 3 2 4x y z x y z xy xy xyz x y z
18x2y
3z = (2)(3)(3)(x)(x)(x)(y)(y)(y)(z) = 6xy
2 (3xyz)
12x3y
4z
2 = (2)(2)(3)(x)(x)(x)(y)(y)(y)(y)(z)(z) = 6xy
2 (2x
2y
2z
2)
24 xy2 = (2)(2)(2)(3)(x)(y)(y) = 6xy
2 (4)
13
EJEMPLO1.- Factorizar 23432 121824 yayaya
Ahora factoricemos más directo sin ser tan explícitos, es decir tomemos a la vez sólo a los
números(coeficientes) 24, 18 y 12 para encontrar su factor común(M.C.D).
3
2
234
6912
121824
(2)(3) = 6 es el factor común
En cuanto a las letras debemos tomar a las letras COMUNES Y DE MENOR EXPONENTE:
2243
32
ytomaremosyeyypara
atomaremosayaapara
Nuestra factorización queda:
)234(6121824 22223432 ayayayyayaya
EJERCICIOS.- Factorizar las siguientes expresiones.
a) 2 22 6a x ax b)
2 3 335 70m n m c) 2 22 2 3a x ax ax
d) 2 3 4x x x x e) 3 215 20 5y y y f) 2 2 2 424 36a xy x y
g) 2 296 48 144mn n h)
6 4 3 23 8 4a a a a a)
Caso II.- Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.)
Este caso se presenta cuando tenemos una expresión de tres términos de los cuales dos son positivos y tienen
raíz cuadrada exacta y el tercer término (no necesariamente esta al centro) esta compuesto por el doble
producto de las raíces de los dos términos. Por los productos notables ya vistos un T.C.P. se puede escribir
como el cuadrado de un binomio (a + b)2, compuesto por las raíces antes mencionadas y el signo del término
que no tuvo raíz cuadrada.
Factorizar: 4x2–12xy + 9y
2
Como se puede observar
22
23
2 24 12 9
xy
x xy y y además 2 2 3 12 x y xy , es decir la expresión si es un T.C.P.
Entonces tenemos Signo del término que no tuvo raíz cuadrada –12xy
22 24 –12 9 2 – 3 x xy y x y
14
Ejercicios: Factorizar
a) 2 22a ab b b)
2 – 2 1x x c) 4 21 2y y
d) 2 –10 25a a e)
29 – 6x x f)
2 416 40 25x x
g) 21 49 –14a a h)
2 436 12m m i)
3 61– 2a a
j) 8 418 81a a b) c)
Caso III.- Diferencia De Cuadrados
En este caso es sencillo identificar el caso, ya que sólo tiene dos términos que tiene raíz cuadrada exacta y
entre ellos hay un signo menos (necesariamente), al igual que en un T.C.P. por productos notables la
diferencia de cuadrados se escribe como el producto de dos binomios, uno con la suma de las raíces y el otro
con la diferencia de las raíces.
Factorizar: 10 12– 49 a b
como podemos ver se trata de la diferencia de dos cantidades y tiene raíz cuadrada exacta, entonces
)7)(7(49 65651210
67
2
5
2
bababa
ba
Ejercicios: Factorizar
a) 216 – n b)
2 – 25a c) 21– y
d) 24 – 9a e)
425 – 36a f) 2 21– 49a b
g) 2 44 – 81x y
h) 2 8 2–a b c i)
2 6100 – x y
j) 10 12– 49a b d) e)
CasoI V.- Trinomios De La Forma x2 + bx +c
Para este caso debe de haber de nuevo como en el Caso III 3 términos , un cuadrático x2 , uno lineal bx y
otro constante o independiente c, dichos trinomios por el 5° producto notable:
2x a x b x a b x a b
Es decir al tener un trinomio de la forma 2x bx c se factoriza como sigue.
2 donde: y x bx c x p x q p q b p q c
Factorizar: 2 – 7 – 30x x
ésta expresión es un trinomio de la forma 2 x bx c , por tanto hay que encontrar dos números que
multiplicados den –30 y sumados den–7.
15
5
3
2
1
5
15
30
(2)(5) = 10 2 – 7 – 30 –10 3x x x x , ya que (–10)(3) = –30 y –10+(3) = –7
Ejercicios.-Factorizar
a) 2 – 2 – 35a a b)
2 14 13x x c) 2 33–14a a
d) 2 13 – 30m m e)
2 –13 –14c c f) 2 15 56x x
g) 2 –15 54x x h)
2 7 – 60a a i) 2 –17 – 60x x
j) 2 8 –180x x k)
2 – 20 – 300m m l) 2 –132x x
Caso V.- Trinomios De La Forma ax2 + bx +c
La diferencia entre el caso V y el caso VI es que en el caso VI el término cuadrático ax2 tiene coeficiente “a”
diferente de uno como en el caso V, por tanto también se factoriza de una manera similar.
ax2 + bx +c = (px + q)(rx+s) donde :
(p)(r) = a (q)(s) = c
(p)(s) + (q)(r) = b
Factorizar :25 4 –12x x
Como podrás observar ya no se trata de un trinomio de la forma que menciona el caso V, ya que el
coeficiente de x2 (5x
2) , es 5.
Apliquemos el caso VI
5x2 +4x–12 = (5x ) (x ), ahora busquemos dos números que den multiplicados –12
(5)(1) = 5
(3)(4) = 12 (6)(2) = 12
5x2 + 4x – 12 = (5x + 3 ) (x –4 ) , como puedes ver (3)(–4) = –12 pero (5)(–4)+(3)(1) 4
Ahora probemos con 6 y 2, es decir
25 4 –12 5 – 6 2x x x x , que cumple (5)(1) = 5 , (2)(6) = 12 y (5)(2)+(–6)(1) = 4
Ejercicios: Factorizar
a) 22 3 – 2x x b)
23 –12 – 35x x c) 26 7 2x x
d) 25 13 – 6x x e) 26 – 6 – 5x x f) 212 – – 6x x
g) 24 15 9a a h) 23 11 10a a i) 212 –13 – 35m m
j) 220 –1y y k) 28 –14 –15a a l) 27 – 44 – 35 x x
(3)(1
) (5)(–4)
16
Caso VI.- Suma De Cubos
Una suma de cubos como su nombre lo dice es una expresión compuesta por dos términos que tiene raíz
cúbica exacta y se encuentran sumando, no confundirse con el cubo de una suma que es (a+b)3 , es decir
a3+b
3 (a + b)
3 , la suma de cubos se factoriza como el producto de un binomio por un trinomio los cuales se
forman de la siguiente manera
33
33 ba = ( a + b) ( a2– (a)(b) + b
2)
a b (a)2 (b)
2
Factorizar: 27a6 + 8
23 6 327 aa 283 Entonces
2 26 2 2 227 8 3 2 3 – 3 2 2a a a a
6 2 4 227 8 3 2 9 – 6 4a a a a
Ejercicios: Factorizar
a) 3 27a b) 664 a c) 3 38x y
d) 3 68 27a b e) 9512 27a f) 31 343n
g) 3 6 125x y f) g)
Caso VII.- Diferencia De Cubos
De la misma manera que en la suma de cubos tenemos.
33
33 ba = ( a – b) ( a
2 + (a)(b) + b
2)
a b (a)2 (b)
2
Factorizar: 8b9– 1
33 9 28 bb
113 Entonces
8b9– 1 = (2b
3– 1) ( (2b
3)
2+ (2b
3)(1) +(1)
2 )
8b9– 1 = (2b
3– 1) (4b
6 + 2b
3 + 1)
Ejercicios: Factorizar
a) 3 – 27y b) 98 – a c) 3 38 –a b
d) 3 68 – 27z y e) 9512 – 27a f) 31– 343n
g) 3 6 27 – x y h) i)
17
Descomponer en factores:
1. 25a a 2. 2 22m mx x 3. 1282 xx
4. 827 3 x 5. 2 29 – 6x xy y 6. 1125 6 x
7. 26 – – 2x x 8. 916 2 x 9. 30112 yy
10. 3 2 2– 3 5a a b ab 11. 3264 24916 baba 12. 21– 4 4b b
13. 1572 2 xx 14. 44152 xx 15. 2 – – 30a a
16. 215 11 –14m m 17. 28136 2 xx 18. 6322 yy
19. 2 216 – 24 9a ab b 20. 2332 2456 yxyx 21. 21– m
22. 4 24 – 21x x 23. 1562 xx 24. 64 8164 yx
25. 2 3 2 28 16 – 24a b a b a b 26. 6938 cba
18
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Simplificación de Fracciones Algebraicas
Como podrás recordar, en fracciones numéricas
5
18,
5
3,
2
1 para simplificarlas era muy sencillo, pues por
ejemplo para simplificar 18
12 se tenía:
12 6 2
18 9 3
mitad tercera
Es decir la simplificación de 18
12 es
3
2 (al mencionar mitad o tercera se refiere a ambas partes de la fracción,
numerador y denominador), esto lo realizamos en general muy fácil, pero veamos la razón formal del porque
se puede realizar así la simplificación.
18
12 Si factorizamos a 12 y 18 tenemos:
3
2
2
1
3
6
12
3
3
2
1
3
9
18
o sea 12 (2)(2)(3) ( 2
18 (2)(3)(3)
)(2)( 3 )
( 2 )( 3
2
3)(3)
Ahora si comencemos a simplificar una fracción algebraica.
Ejemplo 1. Simplificar 22
22
2 yxyx
yx
OJO: El tipo de simplificación antes hecha es posible gracias a la propiedad fundamental de los
números racionales, es decir, porque en el numerador (arriba) y el denominador (abajo) hay productos
(multiplicaciones).
Recuerda que si no hubiera multiplicación, la simplificación no es posible:
Diferente, o sea, no es lo mismo
xx
2
2
No es válida pues hay una suma
19
OBSERVACIÓN
22
a
a pero
2
1
2
a
a queda 1
arriba
Ya que 2 2 2
1
a a a
a a
1 a2
1 1
2 2
a a a
a a
2 a
1
2
Es decir:
22
22
2 yxyx
yx
x y
x y
Ejemplo 2. Simplificar 107
202
2
aa
aa
Ejemplo 3. Simplificar 32 22
2
axa
a
Esto ya es un producto
2 3 2
2 2 2
2 2 2 ( )
a a
a x a a x a
2
a2
1
( )( ) a x aa x a
Factor común Esto ya es un producto
2
2
a2 32 3 22
a
a x aa x a
Recuerda no se puede ya que el numerador (2a) si es un producto pero )2( 32 axa no es un
producto.
Siempre debe haber multiplicaciones arriba y abajo.
Caso V
2
2
( 5)20
7 10
aa a
a a
( 4)
( 5)
a
a
4
2( 2)
a
aa
Caso V
Caso IV (diferencia de cuadrados)
2 2
2 2 2
( )( )( )
2 ( )
x yx y x y x y
x xy y x y
( )
( )
x y
x y
( )
x y
x yx y
Caso III ( T.C.P. )
OJO: no es igual a x y x
x y
y
x
y
yy
20
Ejercicios.- Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
a) 2 2 3
3x x
x
b)
2
2 2
m n
m n
c)
2 2
3 3
x y
x y
d) 3
3 2
8 1
8 4 2
n
n n n
e)
3 2
2
6
12 36
x x
x x
f)
2
2
6
15 2
x x
x x
Suma y Resta de Fracciones Algebraicas
Para empezar a sumar o restar fracciones algebraicas recordemos lo que se hacia en fracciones numéricas.
Realizar: 6
1
3
2 , como podrás estar de acuerdo en la suma y resta de fracciones hay que tener el mismo
denominador (siempre es posible), en este caso hay que convertir a sextos.
6
5
6
1
6
4
6
1
3)2(
2)2(
6
1
3
2 sextosasconvertimo
Lo anterior también lo aplicamos a fracciones algebraicas.
Ejemplos:
a)2
)4(
3
)2(
xx = convertimos a sextos los denominadores
6
165
6
12342
6
123
6
42
)3(2
)3)(4(
3)2(
)2)(2(
xxxxxxx
b)5
3
5
22
x
x
x
En este caso es un poco más complicado tener el mismo denominador, sin embargo la regla o sugerencia para
lograrlo será SIEMPRE, FACTORIZAR a los denominadores.
5
3
5
22
x
x
x o sea
)5)(5(
3
5
2
xx
x
x
Factorizando Para que ambas fracciones tengan el mismo denominador hay que multiplicar (arriba y abajo) a la fracción
5
2
x por )5( x
)5)(5(
105
)5)(5(
3102
)5)(5(
3
5)5(
2)5(
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
x
Esto es permitido, pues su valor es uno. No realices la multiplicación pues regresarías
a lo anterior que tenías 252 x
21
)5)(5(
)2(5
)5)(5(
105
25
3
5
22
xx
x
xx
x
x
x
x
Recuerda que una fracción se tiene que simplificar (factorizar arriba y abajo)
c)2
2 3 4 7
3 2 6
x
x x x x
Factorizando denominadores
6
74
2
3
3
22
xx
x
xx
)2)(3( xx
Como podrás observar el común denominador será )2)(3( xx
)2)(3(
)74()3(3)2(2
)2)(3(
74
2)3(
3)3(
3)2(
2)2(
xx
xxx
xx
x
xx
x
xx
x
Una vez que se obtiene el denominador común ya no se hace ninguna operación con este salvo al final se
podrá simplificar algún factor con un factor igual del numerador.
)2)(3(
749342
)2)(3(
)74()3(3)2(2
xx
xxx
xx
xxx
2x
( 3) ( 2)x x
1
3x
OJO: NO queda 3x
Observa las siguientes simplificaciones:
22
x
x
2
1
2
x
x
Ejercicios Realizar
a) mmnm
n 232
b) 2
2
62
2
5
3
x
x
x
x
c)
1
1
22
1
33
12
xxx
d) yx
yx
yx
yx
e)
22
22
9
3
3 ax
xa
ax
ax
f)
22
22
bababa
g) y
yx
x
xy
24
3
20
2
h)
6
3
4
2
3
1
xxx i)
1
3
1
2
1
12
2
2
x
x
x
x
x
j) 44
4
22
1
1
32
a
a
a
a
a
a j) k)
Ojo son necesarios los paréntesis por el signo
menos que aparece antes
22
Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas
Para multiplicar o dividir, fracciones algebraicas, es más sencillo que la suma y resta, pues sólo hay que
factorizar a todos los numeradores y denominadores involucrados, aplicar la regla (multiplicación o división)
y simplificar los factores en común del numerador y denominador del resultado.
Regla de la multiplicación Regla de la división
))((
))((
db
ca
d
c
b
a
))((
))((
cb
da
d
c
b
a
Ejemplo 1.Realizar 2 3
2 3
10 9
5 3
x y a m
m x
2 3 3 2 3 3
2 3 2 3
10 9 (10)(9) (2)(3) 6
5 3 (5)(3)
x y a m a x m y a y y
m x m x mx mx
Observa:
2)5(
)2)(5(
5
10
mmm
m
m
m 1
))((
)(2
xxxx
xx
x
x 1
))()((
))((3
2
En el ejemplo anterior no hay necesidad de factorizar a los numeradores y denominadores, ya que, ya eran
multiplicaciones.
Ejemplo 2. Realizar 22
2
2 nm
n
nmn
nm
Ahora sí, factoricemos a todos los numeradores y denominadores
))(()(
)( 2
22
2
2 nmnm
n
nmn
nm
nm
n
nmn
nm
))()((
))(( 2
nmnmnmn
nnm
No se multiplica sólo se representa
2
2 2 2
( )m nm n n
mn n m n
2(n )
n ( ) ( )m n m n 2( )( )
n
m nm n
Ejemplo 3. Realizar 4
4
3
2
14
10
7
5
an
m
n
m
Como tanto los numeradores como los denominadores involucrados ya son productos (multiplicaciones),
apliquemos la regla de la división.
OJO:2)())(( nmnmnm
23
43
24
4
4
3
2
)10)(7(
)14)(5(
14
10
7
5
mn
mna
an
m
n
m Observa que no se realiza (5)(14) = 70, sólo se expresa
2243
24
2
2
)10)(7(
)14)(5(
m
na
m
na
mn
mna
Ejemplo 4. Realizar 1
64
1515
302023
2
x
x
xx
xx
Ahora en este caso si hay que factorizar a todos los numeradores y denominadores
xx 3020 2 )32(2 x
)1(
)32(2
)1(15
)32(10
1
64
1515
3020223
2
x
x
xx
xx
x
x
xx
xx
23 1515 xx Ya esta factorizado
)32)(2)(1(15
)1)(32(10
1
64
1515
3020223
2
xxx
xxx
x
x
xx
xx Se aplica la regla de la división expresando las
multiplicaciones sin realizarlas
xxx 3
1
)2)()(3)(5(
)2)(5(
)2)((15
10
Ejercicios.
a)5010
77
14
255
x
xx b)
10
3252
b
b
a
a c)
32
3
2
222
2
2
2
xx
xx
x
xx
d) 33
54
502
22 2
2
a
aa
a
a e) 32
2
2
5
3ba
x
ba f)
7
11
49
12 2
2
3
x
xx
x
xx
g) 245
352
5615
562
2
2
2
aa
aa
aa
aa h)
56
255
64
1252
23
2
3
xx
xxx
x
x i)
6
22
3
1
xx
j) 222
33
1
12
2
aa
aa
a
a
a
a k)
454
42
1
36
3011
782
2
2
2
2
2
aa
aa
a
a
aa
aa
OJO:2
1
)2)(5(
)5(
10
5
nn
nn
n
n
)(
))((3
3
3
4
24
EJERCICIOS VARIOS
1.- Simplifica las siguientes fracciones complejas:
a)
y
xx
y
xx
b)
ba
ba
1
1
c)
y
yxx
yx
d)
yx
yx
yx
yx
e)
d
c
b
ad
c
b
a
f)
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
g)
42
mn
nm
m
n
n
m
h)
ba
a
a
1
1
25
RADICALES Un radical es una expresión de la forma:
INDICE DE LA RAIZ RADICAL
n a RADICANDO
Además sabemos lo siguiente.
9)3)(3(,39 quepor
8)2)(2)(2(,383 quepor
16)2)(2)(2)(2(,2164 quepor es decir, obtener raíz de un número consiste en encontrar otro número que multiplicado por el mismo tantas
veces como indique el índice de la raíz de el radicando
Para los radicales tenemos las siguientes propiedades.
baba ))((
b
a
b
a
Para simplificar un radical, primero factorizamos al radicando y después aplicamos la propiedad de radical
como se muestra a continuación en los ejemplos.
EJEMPLO1.- Simplificar los siguientes radicales.
a)
20
20
20 2
10 2
5 5
1
FACTORIZANDO AL
20 (4)(5) 4 5 2 5
b)
48
48 (4)(4)(3) 4 4 3 (2)(2) 3 4 3
48 2
24 2
12 248 4 3
6 2
3 3
1
FACTORIZANDO AL
OJO. No confundir con : baba
Cuando en un radical hay una suma NO se puede separar la
raíz
26
c)
200
200 (4)(25)(2) 4 25 2 (2)(5) 2 10 2
200 2
100 2
50 2200 10 2
25 5
5 5
1
FACTORIZANDO AL
EJERCICIOS.- Simplificar los siguientes radicales 1)180 2)216 3)144 4)96 5)21
6) 147 7)1000 8)3600
Racionalización Cuando al dar un resultado en matemáticas y éste es una fracción, en el denominador (parte de abajo) NO
debe haber radicales, para lograr esto veamos lo siguiente:
122 2 entonces
1 1 1 1 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2
y en general ; 0x x x x (x cero ó positivo), entonces si tenemos la expresión 3
5, como es una fracción
podemos multiplicar al numerador y al denominador por una misma cantidad sin que se altere, claramente
como queremos que no haya radicales en el denominador la multiplicamos por 5
3 5 3 5
55 5
Ahora consideremos una expresión un poco más complicada para racionalizarla, por ejemplo 3
1 2, en este
caso para lograr que no haya radicales en el denominador no es tan fácil sólo multiplicar por 2 , ya que
tendríamos:
3 2 3 2
1 2 2 2 2
Cuando en el denominador tenemos un binomio con radicales (1 2 ), no se multiplica simplemente por la
raíz que contiene 2 , si no que se multiplica por el binomio conjugado que tenemos (del binomio 1 2 su
conjugado es 1 2 ).
22
3 1 2 3 3 2 3 3 2 3 3 23 3 2
1 2 11 2 1 2 1 2
ya no hay radicales
aún hay radicales en el denominador
Recuerda: 2
2 1 2 2 2 2 2 2
Recuerda: 1 2 1 2 es un producto de dos binomios conjugados y el
resultado es una diferencia de cuadrados, verifica el cuarto caso de factorización
o el tercer caso de productos notables.
27
Ejemplos:
1. Racionalizar 2x
y
2x
y multiplicamos arriba y abajo por y
22 y x yxyy y
observa que lo importante de racionalizar es que no se tengan raíces en el denominador, no importando si las
hay en el numerador.
2. Racionalizar 2
2 x
Ahora multiplicamos por el conjugado de2 x
arriba y debajo de la fracción dada.
2 2 4 2
42 2
x xxx x
Ejercicios: Racionalizar
a) 1
1 3 b) 2
2
x
x
c) 2 3
1 2
d) 4
3 1
e) 5 2
5 2
f) 7
3 g) 4 3
x
h) 1
1 y
i) 3
1 2 j) 7 3
7 3
EJERCICIOS
1.- Simplificar las siguientes expresiones:
a) 6 4x b) 72 c) 318x
d) 12 8y e) 3 54 f) 5
3
g) 3 2
3
2
10
x
x h) 4
12
48
16c
ba i)
b
a
3
4 3
j) n
m
2
9 5
k) 3 yx
yx
l)
3 2)(
1
yx
m) 3 53 32 32 yxyx n) 8 66 )(2 yx
28
2.- Realiza las siguientes operaciones y simplifica.
a) 7 3 +2 3 b) xx 94 c) 331224 d) 50548 36
e) 207754804272 f) 45263212582435
g) 32499282443 h) 4 75548121254274
i) 80428636452
j) 9315533273 25734 yxxyyxyyxxyyxx
k) 3 5243 22233 543 24 19233681224 yxyxyxyxyxxyyxx
l) ( 2 + 3 )( 2 – 3 ) m) ( 5 + 2 )( 5 – 2 )
n) (4 3 –1)(3 3 –2) ñ) ( x – y )( x + y )
o) ( 2 + 3 + 5 )( 2 + 3 – 5 ) p) ( 6 – 3 – 2 )( 6 – 3 + 2 )
3.- Racionaliza el denominador en cada uno de las siguientes expresiones.
a) 23
23
b)
37
37
c)
523
532
d)
523
2210
e) 25
1
f)
3y
y g)
a
a
23
5
h)
yx
yx
54
32
29
Números complejos o imaginarios Hasta ahora conoces el conjunto de números llamado “números reales” que se denotan como ℝ, sin embargo existen más números que no se consideran reales, los cuales estudiaremos sólo en éste caso y posteriormente sólo trabajaremos con números reales, ya que el estudio completo de los números imaginarios o complejos forma parte de cursos estudiados a nivel Licenciatura. Los números complejos o imaginarios surgieron de intentar resolver la ecuación 2 1 0x , pues si tú intentas resolver ésta ecuación, lo más seguro es que procederías de la siguiente manera:
2
2
1 0
1
1
x
x
x
pero 1 no tiene un resultado real, pues no tenemos en los números reales un número que multiplicado por él mismo resulte -1.
Es decir no hay resultado real para 1 , pero en la antigüedad por tener un resultado para 1 se
creó (imaginó) una solución para 1 , que fue el número “imaginario” i, el cual entonces tiene que cumplir:
1 i , o sea 1i i pero por los conceptos que ya tenemos
2i i i Por lo tanto tenemos 2 relaciones importantes:
21 e 1i i Entonces ahora ya podemos hablar de la raíz cuadrada de números negativos:
2 24 2 ya que 2 2 4 pero 1 4 1 4i i i i i
2 29 3 ya que 3 3 9 pero 1 9 1 9i i i i i
Si la raíz de un número no es exacta, sólo se deja expresada, por ejemplo:
25 5 ya que 5 5 5 5 5 1 5i i i i
Todos los números que contengan a la unidad imaginaria i solamente, se llaman números imaginarios puros.
En general un número imaginario o complejo tiene la forma #real #real i , por ejemplo 2 3i , 5 4i ,
7 2i , 312 4
i , 3i imaginario puro.
sacando raíz cuadrada en ambos lados
Recuerda: 4 2 pues 2 2 4
1 no es 1, pués 1 1 1 no 1
1 no es 1, pués 1 1 1 no 1
1 no es 0, pués 0 0 0 no 1
Definición: Un número complejo o imaginario es un número que tiene
la forma a bi con ,a b e 1i . A la parte a se le llama “parte
real del número complejo” y a la parte bi se le llama “parte imaginaria”.
30
A los números complejos los denotamos con el símbolo ℂ y por la definición anterior podemos observar lo
siguiente: 2 3
5 2
5 pues 5 5 0
2 pues 2 0 2
i
i
i
i i i
Si recordamos la clasificación de los números reales, ahora la situación queda de la siguiente manera:
Operaciones con números complejos Para realizar operaciones con números complejos sólo basta considerar a la unidad imaginaria i como si fuera
una x o una y y proceder como si estuviéramos haciendo operaciones algebráicas.
Suma y resta de números complejos Consideremos a los números complejos 2 3i y 5 6i , al sumarlos tenemos:
2 3 5 6 2 5 3 6 3 3i i i i i
como podrás observar, el resultado también es un número complejo con parte real y parte imaginaria.
Ahora consideremos a 3 números complejos que denotaremos como 1 1 2Z i , 12 2
Z i , 3 4 5Z i y
encontremos: 1 2Z Z , 3 12Z Z y 2 34Z Z
a)
1 2
11 2
2
1 11 2
2 2
Z Z i i
i i i
b) 3 12 2 4 5 1 2
8 10 1 2
8 1 10 2
7 8
Z Z i i
i i
i i
i
imaginario puro
31
c) 2 3
14 4 4 5
2
116 20
2
116 20
2
3119
2
Z Z i i
i i
i i
i
Multiplicación y División de números complejos
Sigamos considerando los 3 números imaginarios anteriores 1 1 2Z i , 1
2 2Z i ,
3 4 5Z i y
encontremos
a) 1 3Z Z
1 3
2
1 2 4 5
4 5 8 10
4 10 5 8
6 13
Z Z i i
i i i
i i
i
b) 2 3Z Z
2 3
2
14 5
2
52 4 5
2
52 5 4
2
133
2
Z Z i i
i i i
i i
i
c) 2 32 3Z Z
2 3
2
12 3 2 3 4 5
2
1 2 12 15
12 15 24 30
12 30 15 24
18 39
Z Z i i
i i
i i i
i i
i
Finalmente realicemos las siguientes divisiones
d) 6 131 2
ii
para realizar la división, recuerda que 1i , entonces, en la división anterior es como si se
tuviera:
6 13
1 2 1
i
OJO: 2 1i
210 10 1 10i
se multiplican como expresiones algebráicas
1 44 2
2 2
5 1 5
RECUERDA: en una fracción NO debe
haber radicales en el denominador y para
lograr esto hay que racionalizar.
32
entonces, cuando se dividen 2 números complejos la sugerencia es multiplicar al numerador y denominador por el conjugado del denominador.
6 131 2
ii
1 2i
2
2 2
6 13 1 2 6 12 13 26 20 25 20 25 20 254 5
1 2 1 2 5 5 51 41 2
i i i i i i i ii
i i i
e) 2 61 2
ii
su conjugado 1 2i
2
2 2
2 6 1 2 2 4 6 12 2 12 4 6 14 2 14 21 2 1 2 5 5 51 41 2
i i i i i i i ii
i i i
Ejercicios 1.- Realiza las siguientes operaciones con números complejos
a) 3 4 3 2i i
b) 2
2 3 1i i
c) 2 233 2
ii
d) Si 1 2 33 2 , 4 y 2 3Z i Z i Z i , encuentra el valor de la operación 1 2 32 3Z Z Z
e) Si 1 21 y 1Z i Z i , encontrar 2 2
1 2Z Z
f) 7 12 62 4 7i i i
g) 11 21 2012 13 12i i i
h) 7 16 7 127 9 3i i i i
i) 2 4 3 9
j) 2 16 3 25
k) 4 1 3 4
2.- Realiza las operaciones indicadas y escribe el resultado en la forma a+bi:
a. 4295 b. 251299 c. 43492
d. 1295 e. 43258 f. 3
45
g. 92
1
h.
i5
2 i.
i
i
2
31
j. 2
646 k. 932232
2 ii
su conjugado es
multiplicación de
complejos
diferencia de cuadrados
2 2
a b a b a b
21i
sólo se cambia el
signo de en medio
Recuerda: 2 1i , entonces
2 3
3 2 4
1
1 1 1
i i i i i i
i i i i i i
33
ECUACIONES Y DESIGUALDADES
Ecuación: Es una expresión algebraica en la que debe aparecer el símbolo de igualdad =, y la cual resolverla,
consiste en encontrar los valores que hacen verdadera dicha igualdad.
Ecuaciones Lineales
Una ecuación es lineal si el exponente de la variable que aparece en dicha ecuación es uno.
Ejemplos:
152 x 74
2
y
y
Ahora resolvamos una ecuación lineal.
Ejemplo 1. Resolver y comprobar:
a) 2535 xx
Para resolver una ecuación lineal, basta “despejar” a la variable que aparece en la ecuación.
2535 xx “pasemos” las “x” del lado derecho ya que si lo hacemos
hacia el izquierdo queda “x” negativa
Reducimos o simplificamos x220
El “2” multiplica con x
x5
20
x10 el valor de x es 10, ahora verifiquemos
25)10(3510
25305
55
x
2535 xx xx 3255
25
OJO: Despejar una variable consiste en dejarla de un solo lado
de la igualdad (izquierdo o derecho), pero donde esté o donede
quede POSITIVA.
exponente 1
exponente 1
34
Estos signos si se pueden
eliminar
La misma ecuación quitamos signos de agrupación
reduciendo términos semejantes “pasando” las “x” a la
derecha
Ejemplo 2. Resolver y verificar:
Ahora en este ejemplo primero hay que eliminar los signos de agrupación, los cuales recuerda hay que
quitarlos de adentro hacia fuera o lo mismo que decir que un signo de agrupación podrá ser eliminado a
menos que dentro de él NO exista otro signo de agrupación.
)3()2(61015 xxxx
3261015 xxxx
141015 xx
15 4 1 10
11 11
11 111
1
x x
x
x
x
15 10 6 ( 2) ( 3)
15 10 6 2 3
15 10 4 1
10 1 4 15
11 11
x x x x
x x x x
x x
x x
x
Ahora fíjate, para que finalmente quede despejada “x” hay que -11 que está multiplicando con ella, por tanto
“pasará” dividiendo del lado izquierdo con todo y su signo (NO SE CAMBIA).
1111
1
x
x
Ejemplo 3. Resolver y comprobar:
OJO: Recuerda que la SUGERENCIA al “pasar” las “x”, es que queden
del lado donde sean positivas, sin embargo puedes pasarlas de cualquier
lado.
15 10 6 ( 2) ( 3)x x x x
Reduciendo poco ahora nos conviene “pasar” las “x” del lado
izquierdo, ya que xxx 11415 positivo por que de “pasarlas”
del lado derecho queda xxx 11154 negativo
observa como el símbolo de la igualdad se conserva al mismo nivel,
esto es una buena sugerencia para que todo te salga mejor y no
cometer errores.
3 [ 5 ( 3)] 8 ( 5 9)x x x x x
Primero quitamos estos signos de agrupación, pues
dentro de ellos NO existen otros signos de
agrupación.
35
958]35[3 xxxxx
Ya se pueden quitar
958353 xxxxx
Se reduce un poco
9333 xx
Pasamos las “x” a la derecha
xx 3339
x66 x6
6
1x
Ejemplo 4. Resolver y comprobar
Recuerda cuando existen sumas y restas de fracciones, conviene tener un mismo denominador, en éste caso
convertimos a veintavos.
20
3
)5(4
)5(5
)20(1
)20(2
)4(5
)4(1
)5(4
)5(3 xxx
Ya son veintavos
20
3
20
25
20
40
20
4
20
15 xxx
Si multiplicamos toda la ecuación por 20 tenemos
3x
xxx 32540415
4
55 3 25 4
58 29
2958
12
x x
x
x
x
Comprobación:
3 [ 5 ( 3)] 8 ( 5 9)
3(1) [ 5(1) (1 3)] 8(1) ( 5(1) 9)
3 [ 5 (4)] 8 ( 5 9)
3 [ 9] 8 ( 14)
6 6
x x x x x
3 5 31 24 5 4 20x xx
Comprobación:
3 5 31 24 5 4 20
1 13 32 251 12
4 5 2 4 20
3 32 251 14 5 4 20
3 32 251 14 5 4 201 1
3 5 31 18 5 4 40
x xx
3(5) 1(8) 1(40) 5(10) 38(5) 5(8) 1(40 4(10) 40
15 8 40 50 340 40 40 40 40
47 4740 40
Convertimos a cuarentavos
36
Ejemplo 5. Despejar a y de.
xxy 43
Al despejar a “y” se recomienda que quede en el lado donde sea positiva, y en éste caso es positiva en el lado
izquierdo donde esta, por tanto quitemos al +4 del lado izquierdo donde esta.
x
xy
xxy
dividiendopasandomultiplicaestax
3
4
43
3
Ejemplo 6. Despejar y de:
546 xxyy
Ahora, observa que hay dos términos que contienen a “y”, en éste caso deben quedar de un solo lado y el
lado contrario lo que no contiene “y”, o sea:
x
xy
xxy
xxyy
xxyy
dividiendopasandomultiplicaesta
yadofactorizanahora
dorespasa
46
5
5)46(
546
546
""
tan
37
EJERCICIOS
1.- Resolver las siguientes ecuaciones lineales (despejar x)
a) 1) 013 x 2)
235 x
3)x
x1
3
2
4)1
2
13 x
5)
o
xx
x
2
3
4
52
5
1
4
3
6)5
4
4
3
3
2
xxx
7)
37 yxxy
8)
3
2xy
9)
yxyy 143 2 10)
1
2
xy
11)
2 xy
12) 2
x
xy
13)
2444 yxyxy 14)
21
xy
15) xy
2
13
16)
xxy 56
17)
yxyx 242 18)
7342 xx
2.- Resolver y comprobar:
a) 147348 xxxx
b) 17231535130158 xxxxxx
c) )3()2(61015 xxxx
d) )38()65()45()6(30 xxxxx
e) )]3()23([30)]96(3[16 xxxxxx
f) 36535 xxxx
g) 05
1
3
2
5
3
xx
38
h) 053
4
x
i) 2
5
12
2 xxx
j) 5
4
4
3
3
2
xxx
k) )3(24
3810
x
xx
l) 110
57)15(
xxx
Ecuación cuadrática o de segundo grado Una ecuación cuadrática en general tiene la forma 2 0a x b x c
a los términos se les denomina
IndependienteCuadrático o constanteLineal
2 0ax bx c
Para resolver una ecuación de 2º grado utilizaremos alguno de los tres métodos siguientes: Factorización
Completando un T.C.P.
Utilizando la fórmula de 2º grado
Recuerda que resolver una ecuación consiste en encontrar el o los valores de la variable, en este caso por ser
de segundo grado serán dos o uno pero repetido (más adelante se explica esto).
Solución de ecuaciones de segundo grado por factorización.
Resolver 2 4 0x
Como se puede observar del lado izquierdo de la ecuación ( 2 4x ) se puede
factorizar: Caso IVDiferencia de cuadrados
2 4 0x
Multiplicación
2 2 0x x
Para que una multiplicación (lado izquierdo) dé como resultado cero (lado derecho), uno de los dos factores
debe de ser cero, es decir:
2 2 0 2 0 ó 2 0x x x x
y si resolvemos las ecuaciones lineales anteriores tenemos:
a, b, c ∈ ℝ y a≠0
OJO: Lado izquierdo de la ecuación
2
Lado derecho de la ecuación
4 0x
Esto quiere decir que al multiplicar 2
números 2 2x x el resultado debe
ser cero
39
2 0 2 0
2 2
x x
x x
Las soluciones de la ecuación son: 2x y 2x , comprobemos las soluciones:
? ?2 2
? ?
2 4 0 (2) 4 0
4 4 0 4 4 00 0 0 0
b) 2 7 12 0x x
Nuevamente factorizando el lado izquierdo
2
Caso V7 12 0 4 3 0x x x x
O sea 4 0 ó 3 0
4 3
x x
x x
c)22 5 3 0x x
Factorizando
2
Caso VI2 5 3 0 2 1 3 0x x x x
O sea
12
2 1 03 0
2 1 ó3
xx
xx
x
Ejercicios: Resolver y Comprobar las siguientes ecuaciones de 2º grado (cuadráticas) por factorización
a) 22 5 3 0x x b)
2 81 0x
c) 22 4 0x d)
26 3 0x x
e) 23 17 10 0x x f)
2 5 14 0x x
g) 2 72 0x x h)
216 4 0x x
i) 2 2
25 2 7 81x x j) 2 2
2 3 5 23x x
Comprobación:
2 2
Si 4 Si 3
4 7 4 12 0 3 7 3 12 0
16 28 12 0 9 21 12 0
16 12 28 0 9 12 21 0
28 28 0 21 21 0
0 0 0 0
x x
–6
+1 –5
Comprobación:
12
2 21 12 2
514 2
524 2
102 124 4 4
12 124 4
Si Si 3
2 5 3 0 2 3 5 3 3 0
2 3 0 2 9 15 3 0
3 0 18 15 3 0
18 3 15 00
15 15 00
0 00 0
x x
40
Solución de ecuaciones de 2º grado completando un T.C.P.
Cuando en una ecuación de 2º grado no se puede factorizar, se procede a completar un T.C.P., por ejemplo
veamos el siguiente caso:
2 8 3 0x x si intentas factorizar nos queda
? ? 0x x
Como podras darte cuenta no encontraste dos números que al multiplicarse dieran 3 y sumados dieran –8, por
lo tanto completaremos un T.C.P. 2 8 3 0x x
Primero quitamos el término independiente del lado izquierdo 2 8 __ 3x x
El espacio es para completar un T.C.P.
2 8 16 3 16x x Sumamos 16 de ambos lados
Se puede ver que del lado izquierdo ya hay un T.C.P., es decir, si se factoriza
2
4 13x Esta situación del cuadrado de un binomio es igual a 13, siempre la vamos a tener cuando
completemos un T.C.P. de donde despejaremos a la variable para obtener las soluciones de la ecuación de 2º
grado.
2
4 13x obteniendo raíz cuadrada de ambos lados
2
4 13x
4 13x
4 13x ó 4 13x propiedad del valor absoluto si ó x a x a x a
Ahora, resolviendo las dos ecuaciones lineales antes obtenidas se tiene:
1 2
4 13 4 13
4 13 4 13
x x
x x
Para la comprobación sólo sustituimos por separado cada solución, recuerda que al elevar al cuadrado un
binomio tienes que 2 2 2( ) 2a b a ab b , o sea,
2 224 13 4 2 4 13 13 ;
2
4 13 16 8 13 13 29 8 13
Mitad de –8 al cuadrado 2
82
16
Para la solución 1 4 13x
2
22
4 13 8 4 13 3 0
4 2 4 13 13 32 8 13 3 0
16 8 13
13 32 8 13 3 0
16 13 32 3 0
29 3 32 0
0 0
Para la solución 2 4 13x
2
22
4 13 8 4 13 3 0
4 2 4 13 13 32 8 13 3 0
16 8 13
13 32 8 13 3 0
16 13 32 3 0
29 3 32 0
0 0
recuerda 2x x x
41
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Al tener una expresión algebraica (expresión que contiene letras, números y signos de operación ,,, ),
ésta toma diferentes valores, dependiendo del valor que asuman las variables involucradas en dicha
expresión.
Por ejemplo, el valor numérico de la expresión algebraica2
13
x
xsi 2;3 yx es de :
2
5
4
10
2)2(
1)3(3
Pero si 5;4 yx entonces su valor es:
3
13
2)5(
1)4(3
Claramente los valores son diferentes.
Ejemplo1.- Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas si 2;1 yx :
a)
3
2
21
1)1(3
2
13valoresdosustituyen
x
x
3
2
b)
1
2
1
2
12
1)1(
1
1 22
valoresdosustituyeny
x 2
c) 44)1(4)4)(1()1)(2(2)2)(1(2 2222 valoresdosustituyenyxxy 0
d)
0
3
22
)1(3
2
3valoresdosustituyen
y
xEXISTENOÓERROR !!¡¡
VERIFICA ÉSTOS VALORES CON TU CALCULADORA
e) 1212)1( 22 valoresdosustituyenyx EXISTENOÓERROR !!¡¡
f)
11
1
1)1(
1
1
122
valoresdosustituyenx 2
1
Ejercicios.- Encuentra el valoR numérico de la expresión algebraica dada, si 0;2;3 zyx :
1) 2
32
y
x 2) yx 52 3)
32 x
x 4) x
xy
2
2
5) 2
3
z
yxz 6)
y
xz
2
)3( 7) 12 y 8)
25 x
9) 153 yx
xy 10)
xy
yx
11)
22 )()( xyyx
42
1,2
SOLUCIÓN
DESIGUALDADES Ó INEACIONES
Cuando tenemos una ecuación lineal 012 x ó ecuación cuadrática 042 x y cambiamos el signo de
“=” por cualquiera de los símbolos de desigualdad , se obtiene una desigualdad lineal y una
cuadrática respectivamente.
04012 2 xx
Para resolver una desigualdad procedemos como una ecuación, con la aclaración de NO PODER
MULTIPLICAR O DIVIDIR POR NÚMEROS NEGATIVOS “pasar un negativo que esta dividiendo al otro
lado multiplicando”.
Resolviendo primero la desigualdad 012 x :
2
1
12
""012
x
x
xadespejamosx
21
21 )(
2
1 quemayorNOquemenor
Menor que menor ó igual que mayor que mayor ó igual que
RECUERDA:
HAY MENOS
HAY MÁS
derechaaizquierdadeleemos
QUEMENOR
"
43
!¡00
04)2(
!¡00
04)2(
2
2
cierto
cierto
Ahora para 042 x tenemos que, como podrás darte cuenta “x” esta al cuadrado, y para resolver una
ecuación de segundo grado, sabemos que se tiene que factorizar, es decir
22
0
0)2)(2(
042
óserpuedesix
CONTRARISIGNOCONTOMANSE
xx
dofactorizanx
),2[]2,2[]2,(
Sólo falta ver si la solución está entre -2 y 2 “ ]2,2[ ”, ó fuera de éste intervalo.
Tomemos un punto del intervalo ]2,2[ , por ejemplo x=0.
!!¡¡04
040
04)0( 2
FALSO
Es decir la solución no esta entre -2 y 2, si no fuera de éste intervalo, s o sea la solución es:
),2[]2,(
De haber obtenido algo cierto, entonces la solución sería: ]2,2[
EJERCICIOS.- Resuelve las siguientes desigualdades y da tu solución en notación de intervalos.
1) 43125 xx 2)
xx 8216 3)
1033
52
xx 4)
22
5
443
xxx
5) 0862 xx 6)
32122 xx 7) 3072 xx 8)
02142 xx
9) 092 x 10)
0162 x 11) 0322 xx 12)
042 2 x
13) 036 2 x 14)
048 2 x
44
SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES
En estos momentos ya debes saber que una ecuación es una igualdad en la que puede haber una o más
variables con exponente uno para las lineales y exponente 2 para las cuadráticas. Nosotros estudiaremos
primero estudiaremos los sistemas (dos o más ecuaciones) de ecuaciones lineales con 2 variables, por
ejemplo:
Sistema de ecuaciones lineales
con 2 variables
Resolver un sistema consiste en encontrar el valor de las 2 variables consideradas (en éste caso x e y) que
hagan verdaderas las 2 ecuaciones que forman el sistema, por ejemplo, para el sistema anterior la solución es:
1, 2x y , ya que:
2 1 3 2 2 6 4
5 1 6 2 5 12 17
Para resolver un sistema de ecuaciones de dos variables tenemos 5 métodos: por Igualación
por Sustitución por Suma y Resta (Reducción)
por Determinantes (Regla de Cramer)
Gráfico
Método por Suma y Resta (reducción)
Consideremos el siguiente sistema: 3 4 11
3 2 7
x y
x y
Éste método consiste en sumar las ecuaciones dadas de tal manera que una de las variables se elimine, si en
un principio no se eliminan hay que multiplicar una o ambas ecuaciones por un número conveniente, en
nuestro caso se tiene:
3 4 11
3 2 7
0 2 4 Despejando a
x y
x y
y y
42
2
y
y
Ahora se sustituye el valor de 2y en cualquiera de las ecuaciones originales
3 4 2 11
3 8 11
3 11 8
3 3 1
x
x
x
x x
Solución:1
2
x
y
2 3 4
5 6 17
x y
x y
45
Ejemplo 1: Resolver 2 3 11
7 4 6
x y
x y
Sumando ambas ecuaciones: 2 3 11
7 4 6
9 7 17
x y
x y
x y
hay que multiplicar a una o ambas ecuaciones por 7
por 2
2 3 11 14 21 77
7 4 6 14 8 12
13 65
6513
5
x y x y
x y x y
y
y
y
ahora sustituimos en 2 3 11x y
2 3 5 11
2 15 11
2 11 15
2 4
42
2
x
x
x
x
x
x
Solución: 2
5
x
y
Por Determinantes (regla de Cramer) Para resolver un sistema de ecuaciones de 2 variables podemos usar el concepto de determinante que es el
No se elimina ninguna variable
Definición.- Dado un arreglo de números en 2 filas y 2 columnas
11 12
21 22
a a
a a
21a
Se defina la determinante de 11 12
21 22
a a
a a
como:
11 12
11 22 12 21
21 22
deta a
a a a aa a
Columnas
Filas
segunda fila, primera columna
46
siguiente:
Ahora, para resolver un sistema de ecuaciones de dos variables tenemos.
Resolver por determinantes.
2 3 4
5 6 17
2 3
5 6
x y
x y
primero encontramos el valor de tres determinantes:
Determinante del sistema (del arreglo de coeficientes)
Determinante para
Determinante para
x
y
x
y
2 3
12 15 12 15 275 6
2 3 4
5 6 17
4 324 51 24 51 27
17 6x
x y
x y
2 3 4
5 6 17
2 434 20 34 20 54
5 17y
x y
x y
Finalmente para obtener el valor de x e y tenemos:
27 127
xx
54 227
yy
1
solución:2
x
y
Términos independientes
arreglo de coeficientes
siempre menos
–12 15
se cambian los
coeficientes de x por los
términos independientes
–24 –51
se cambian los coeficientes de y por los
términos independientes
–34 20
siempre menos
siempre menos
47
Ejercicios Resolver por el método de Suma y Resta los siguientes sistemas
a) 3 24 5
4 5 5sol: ,
10 4 7
x yx y
y x
b) 5 7 1
sol: 4, 33 4 24
x yx y
x y
c) 5 8
sol: 7, 37 8 25
x yx y
x y
Resolver por el método de determinantes o regla de Cramer
d) 5 2 24
sol: 2, 74 29 3
x yx y
x y
e) 5,3:205
1442
yxsol
yx
yx
f) 2 3 1
sol: 17, 113 4 7
x yx y
x y
g) 1 13 5
171 12 4 4
3sol: 6, 5
x yx y
x y
48
TEORÍA DE CONJUNTOS
La idea intuitiva de un conjunto la entendemos como la colección de ideas u objetos que están bien definidos
de tal manera que se puede decidir si pertenecen o no a dicho conjunto.
Las ideas u objetos que forman al conjunto se denominan elementos del conjunto.
Generalmente se usan letras mayúsculas para determinar a los conjuntos y letras minúsculas para denotar a
sus elementos.
Si , , , ,A a b c d e
El conjunto A está formado por las letras del abecedario y entonces:
a ∈ Asignifica que a es elemento del conjunto A
b∈Asignifica que b es elemento del conjunto A
y para denotar que un elemento no forma parte de un conjunto utilizamos el símbolo∉
f ∉ Arepresenta que f no es elemento del conjunto A.
Para escribir o representar conjuntos existen dos formas: Forma enumerativa o por extensión
Forma descriptiva o por comprensión
La forma enumerativa consiste en escribir a todos y cada uno de los elementos que forman al conjunto.
1, 2, 3, 4B , rojo, azul, amarillo, verdeE , $, %, /,F
La forma descriptiva consiste en escribir al conjunto por medio de una oración abierta, la cual se llama así
por que puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo.
es una de las estaciones del añoT x x
A la oración “x es una de las estaciones del año”, se llama oración abierta y la línea horizontal “ | ” se lee “tal
que”.
Una oración abierta es, toda la oración en la que interviene alguna variable “x”, al conjunto que nos
proporciona los elementos para remplazar a la variable lo llamamos conjunto de reemplazamiento y
finalmente al conjunto de valores del conjunto de reemplazamiento que hacen verdadera a la oración abierta
se llama conjunto de verdad.
Ejemplo.- Considere al conjunto de reemplazamiento 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8E , encontrar el conjunto de verdad
para el conjunto B si es un número par mayor de 5B x E x . El conjunto es 6, 8B
ya que de los elementos de E, 6 y 8 son los números pares mayores de 5 .
49
Cardinalidad La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que tiene dicho conjunto, si es posible determinar
la cardinalidad de un conjunto, entonces se dice que dicho conjunto es finito, en caso contrario se dirá que es
un conjunto infinito.
La notación de la cardinalidad de un conjunto A es:
#n A A cardinalidad del conjunto A
Conjunto Universal El conjunto universal se entenderá como el conjunto formado por todos los elementos considerados para
determinad fin. U conjunto universal
Conjuto Vacío Es un conjunto el cual carece de elementos y su notación es:
Conjuntos Iguales Dos conjuntos son iguales entre si A B , si cada elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B y
cada elemento del conjunto B es un elemento del conjunto A.
Conjuntos Ajenos O Disjuntos Dos conjuntos son ajenos o disjuntos si no comparten elementos en común. Por ejemplo el conjunto formado
por los números pares y el conjunto formado por los números impares son ajenos o disjuntos.
Conjuntos Equivalentes Dos conjuntos son equivalentes A B , si tienen la misma cardinalidad.
Operaciones Entre Conjuntos
Unión
La unión de dos conjuntos A y B A B , es un conjunto formado por elementos que pertenecen al conjunto
A y/o B.
yó A B x x A x B
Intersección
La intersección de dos conjuntos A y B A B , es un conjunto formado por elementos que pertenecen al
conjunto A y B.
y A B x x A x B
Diferencia De Conjuntos
La diferencia entre un conjunto A y un conjunto B A B , es un conjunto formado por elementos que
pertenecen al conjunto A pero no al conjunto B.
y A B x x A x B
Complementos De Un Conjunto
El complemento de un conjunto A 'cA A , es un conjunto formado por elementos que no pertenecen al
conjunto A pero si pertenecen al conjunto universal.
y Uc
A x x A x
50
Propiedades De Los Conjuntos
c c c
c c c
cc
A B B AA B B AA B B A
A B A B
A B A B
A A
Ejemplos De Operaciones Con Conjuntos
EJEMPLO 1 Sea S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} el conjunto de reemplazamiento. Hallar el conjunto de verdad para:
a) A S es un número parx x
Como se puede ver el enunciado “x es un número par” se hace verdadero si x toma los valores de 2,4,6,8,10 y
12 que se encuentran en el conjunto S, por tanto el conjunto de verdad para A es:
A= { 2,4,6,8,10, 12 }
b) B S 6 Sx x
Ahora el enunciado “(x+6) ∈S” nos dice que x deberá de ser un número que sumado con 6, el resultado
pertenecerá a S, por ejemplo si x es 2 queda. 2+6 = 8 y 8 si pertenece a S, pero si x es 8 nos queda 8+6 = 14,
lo cual claramente se ve que 14 no pertenece a S, por lo anterior se tiene que el conjunto de verdad para B es:
B={2,4,6}
EJEMPLO2 Sea el conjunto universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y sea H={1,2,3,4}, J={3,4,5}, K={7,8,9} y
L={5,6,7,8,9,10}. Encontrar:
a) H J
Recuerda que ∩ representa la intersección de 2 conjuntos, es decir los elementos que están en el primer y
segundo conjunto, por ejemplo del conjunto H={1,2,3,4} que elementos también tiene J={3,4,5}, como
podrás observar fácilmente tienen en común al 3 y 4.
H={1,2,3,4}J={3, 4,5},
Entonces tenemos que
H J= 3, 4
b) K L
En éste caso el símbolo∪ representa la unión de dos conjuntos, es decir elementos que están en el primer
conjunto y/o en el segundo conjunto. Una manera fácil de unir dos conjuntos es hacer lo que entendemos de
unir (juntar) , es decir juntos los elementos de ambos conjutos.
Al juntar los elementos de K={7,8,9} y L={5,6,7,8,9,10}, se tiene:
{7,8,9,5,6,7,8,9,10}
LK
, pero recuerda que en conjuntos NO se acostumbra repetir elementos y como podrás ver
el conjunto anterior tiene por ejemplo repetido el 7, basta entonces escribir la solución sin repetir elementos o
sea:
K L ={5,6,7,8,9,10}
51
c) (L–K)c⋂J
Ahora en este caso primero se hace L–K, es decir los elemento que SI pertenecen al conjunto L pero que NO
están en K.
L– K={5,6,10}
Enseguida encontremos (L–K)c, lo cual representa el complemento del conjunto L– K, o sea los elementos
que no están en el conjunto que ya se había encontrado L– K={5,6,10}.
(L–K)c ={1,2,3,4,7,8,9}
Recuerda que el complemento de un conjunto son los elementos que NO están en el conjunto pero SI están
en el conjunto universal.
Finalmente encontremos (L–K)c⋂J que será la intersección del conjunto
(L–K)c
={1,2,3,4,7,8,9} y el conjunto J={3,4,5}, es decir elementos en común para ambos conjuntos,
quedándonos:
(L–K)c⋂J={3,4}
EJEMPLO 3
Encontrar A×B, si A = {–4, –2, 0, 2} y B = {–3, –1, 1}
DEFINICIÓN.- El producto cartesiano de dos conjuntos A y B (A×B) es un conjunto formado por parejas
ordenadas (x,y) donde “x” es un elemento del primer conjunto A y “y” es un elemento del segundo conjunto
B.
A×B={(x,y) | x∈ A , y∈ B}
Ahora encontremos A×B
A ={–4, –2, 0, 2} A = {–4, –2, 0, 2}
(–4,–3) (–4,–1) (–4,1) (–2,–3) (–2,–1) (–2,1)
B = {–3, –1, 1} B = {–3, –1, 1}
A = {–4, –2, 0, 2} A = {–4, –2, 0, 2}
(0,–3) (0,–1) (0,1) (2,–3) (2,–1) (2,1)
B = {–3, –1, 1} B = {–3, –1, 1}
A×B={(–4,–3),(–4,–1),(–4,1), (–2,–3),(–2,–1),(–2,1), (0,–3),(0,–1),(0,1), (2,–3),(2,–1),(2,1)}
52
EJERCICIOS.-
1.- Si S = {x, y, z} y T = {x2, y
2, z
2}, encuentre SxT.
2.- Si una central de teléfonos tiene m aparatos conectados, el número posible de llamadas
que puede atender es 2
)1( mm . Encuentre las parejas ordenadas formadas por el número de
teléfonos y el número posible de llamadas que puede atender para 3, 4, 5, 6, 7 y 8 teléfonos.
3.- En cada uno de los siguientes incisos encuentre el producto cartesiano que se indica y
represéntalo gráficamente.
a) CxC, si C={0, 2
1 ,1}
b) DxE, si D={-2,4} y E={x | -1 x 3}
c) Ax si A={x | 4 x 6 }
4.- Para cada una de las representaciones o diagramas de Venn-Euler que se dan (fig.1, fig. 2
y fig. 3), sombrear el área que representa el conjunto que se indica en cada inciso.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
a) AB
b) BC
c) A (UC)
d) A (BC)
e) (AB)C
f) (AB)C
g) (AcB
c)C
h) (AB)Cc
53
5.- Una agencia automotriz vendió 42 automóviles en un mes: 23 de ellos tenían barra
estabilizadora; 26 eran de transmisión automática; 23 tenían reproductor de compactos; 5
tenían barra estabilizadora, transmisión automática y reproductor de compactos; 12 tenían barra
estabilizadora y transmisión automática, pero no tenían reproductor de compactos; 7 tenían
transmisión automática y reproductor de compactos pero no tenían barra estabilizadora; 4 tenían
barra estabilizadora y reproductor de compactos pero no tenían transmisión automática .
¿Cuántos automóviles se vendieron con solamente uno de estos accesorios?
6.-En una escuela secundaria se tienen los siguientes datos de 2500 estudiantes: a 750 les gusta
español; a 1200 les gusta biología; a 1350 les gusta ciencias sociales; a 250 les gusta español y
biología, a 550 les gusta biología y ciencias sociales; a 300 les gusta ciencias sociales y español;
a 100 les gustan español, biología y ciencias sociales. Indique a cuántos de estos 2500
estudiantes les gusta:
a) sólo un de estas materias
b) exactamente dos de estas tres materias
c) ninguna de las tres materias
d) cuando mucho dos de estas tres materias.
7.- Se hizo una encuesta a 100 actores de televisión sobre las operaciones estéticas que se han
realizado: 41 se operaron la nariz; 47 los párpados; 46 liposucción; 27 nariz y parpados; 19
nariz y liposucción; 20 párpados y liposucción; y 15 nariz, párpados y liposucción. ¿Cuántos no
están operados?
8.- En una clase de 30 estudiantes de matemáticas, 15 obtuvieron 10 en el examen de lógica; 14
obtuvieron 10 en el examen de conjuntos; 20 obtuvieron 10 en el examen de desigualdades; 5
obtuvieron 10 en lógica y conjuntos; 9 obtuvieron 10 en lógica y desigualdades y 7 en conjuntos
y desigualdades. No hubo ninguno sin un 10. ¿Cuántos de ellos obtuvieron 10 en los tres
exámenes?
9.- En una muestra de 75 amas de de casa, 35 tenían aspiradora; 48 abrelatas eléctrico, y 35,
tostadora. Además, 25 tenían simultáneamente aspiradora y abrelatas; 15, aspiradora y
tostadora, y 25, abrelatas y tostadora. 10 amas de casa tenían los tres aparatos. ¿Cuántas de ellas
no tenían ninguno de estos tres aparatos?
10.- De 200 maestros de una universidad, 115 tienen su doctorado, y 60 son investigadores de tiempo completo.
De los doctores 33 son investigadores de tiempo completo. Indique cuántos de estos maestros:
a) tienen su doctorado o se dedican a investigar de tiempo completo
b) no tienen su doctorado ni se dedican a investigar de tiempo completo
11.- Al interrogar a un batallón del ejército formado por 300 soldados sobre su preferencia a la comida, se
encontró que 118 prefieren los tacos; 172 prefieren las enchiladas; 165 las tortas; 100 tacos y enchiladas; 78
tacos y tortas; 72 enchiladas y tortas y 35 tenían las tres preferencias. Determine cuántos de estos 300 soldados
tienen:
a) al menos una de estas tres preferencias b) ninguna de estas tres preferencias
54
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos, los cuales tienen dos valores diferentes: 1) lo que
representan por su forma y 2) lo que representan por la posición en la que se encuentran.
Sistema decimal
Nuestro sistema tiene este nombre, ya que son diez los símbolos utilizados, a saber
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Estos símbolos representan un valor por su forma:
Pero por su posición representa otro valor:
Los diez símbolos antes mencionados reciben el nombre de dígitos o guarismos del sistema decimal. Con éstos
símbolos y sus posiciones del sistema decimal se pueden realizar operaciones, como son la suma, la resta, la
multiplicación y la división.
Sistema Quinario
Éste sistema utiliza cinco símbolos a saber: 0, 1, 2, 3, 4. Y en éste caso los ORDENES del sistema base cinco
son:
Etc. 54 5
3 5
2 5
1 5
0
Claramente sabemos
Ahora bien, por ejemplo, la numeración en base “cinco” es:
5 éste símbolo no existe para el sistema base “cinco”, por
lo tanto sería el cinco en base cinco = 10, el cuál nosotros lo
conocemos como el número “diez”, sin embargo 10 en base
cinco lo tenemos que representar como:
5 cinco
Etc. 104
103 10
2 10
1 10
0
Etc. 10000 1000 100 10 1
5 3 8
Por su posición representa
5 centenas, o sea, quinientos
Etc. 54
53 5
2 5
1 5
0
Etc. 625 125 25 5 1 órdenes en base cinco
Etc. 53 5
2 5
1 5
0
Etc. 125 25 5 1
0 cero
1 uno
2 dos
3 tres
4 cuatro
10cinco se lee “uno cero en base cinco”
Nombre de la base
en la que está escrito
55
Por lo anterior tenemos ahora que:
5 1
1 2cinco = 7
2 1 22 5 7
1 5 5
Bien, ahora aplicarás lo anterior para operaciones con números en base cinco.
Suma y resta en base cinco Realizar las siguientes operaciones:
a)
1 1*
234323
1112
cinco
cinco
cinco
Etc. 53 5
2 5
1 5
0
Etc. 125 25 5 1
0
1
2
3
4
1 0 cinco Representa al número 5
1 1 cinco Representa al número 6
1 2 cinco Representa al número 7
2 4 cinco Representa al número 14
3 0 cinco Representa al número 15
etc.
El número siete en base cinco es 12cinco, se pone por
eso el 2 y llevamos 1*
25 5 1
1 2cinco = 7
1 1 cinco = 6
4+3=7
1+3+2=6 El número seis en base cinco se escribe 11cinco, se
pone el uno y llevamos 1
1+2+3=6 Como es la última operación se escribe el seis en
base cinco completo.
234cinco+323cinco = 1112cinco
56
b) 4432444
cinco
cinco
1
443 244 4
3
cinco
cinco
cinco
1
44 324 44
33
cinco
cinco
cinco
1
4 432444
433
cinco
cinco
cinco
25 5 1
1 2cinco = 7
1 3 cinco = 8
1 4 cinco = 9
Al 2 no le puedo quitar 4, por lo tanto, el 2 “pide” 1 y se
convierte en 12cinco o sea 7
Si a 7 le resto 4 quedan 3
El uno que llevamos se lo sumaremos a 4, o sea, ten-
dremos 5
Al 3 no le puedo restar 5, por lo tanto, el 3 “pide” y se
convierte en 13cinco, o sea 8.
Si a 8 le resto 5, quedan 3 y llevo 1
Al 4 no le puedo restar 5=4+1, entonces “pide” 1 y se
convierte en 14cinco, o sea 9.
Al 9 le resto 5 y quedan 4, llevando uno
Si al 4 le resto uno quedan
3
Resultado:
4432444
3433
cinco
cinco
cinco
57
Multiplicación y División
c)
2
32 423
2
cinco
cinco
cinco
2
3 2 42 3
2
cinco
cinco
cinco
1*
324
23
32
cinco
cinco
cinco
32423
2032
cinco
cinco
cinco
Ahora multiplicamos 2 por cada uno de los elementos de 324
32423
2032
cinco
cinco
cinco
*1
32 423
20323
cinco
cinco
cinco
cinco
3 por 4 = 12, el 12 en base cinco es: 5 1
2 2cinco 12
2×3=6 más 2 que llevamos dan 8 el ocho en base 5 es:
5 1
1 3cinco 8
Se pone 3 y se lleva 1*
3×3=9 más uno que llevamos, nos da 10, o sea 20cinco
2×4=8, que se escribe 13cinco, ponemos 3 y llevamos 1*
2×2=4, más 1 que llevamos 5=10cinco
58
1
32 423
203203
cinco
cinco
cinco
cinco
32423
20321203
cinco
cinco
cinco
cinco
Finalmente 2×3=6, más uno que llevamos: 7=12cinco
Para concluir, realizamos la suma. Recuerda que es en base cinco:
32 423
20321203
2
cinco
cinco
cinco
cinco
cinco
El 2 baja tal cual
32 423
20321203
12
cinco
cinco
cinco
cinco
cinco
3+3=6 que se escribe como 11cinco, se pone 1 y llevo 1
32 423
20321203
1 12
cinco
cinco
cinco
cinco
cinco
0+0 = 0+1 (que llevaba) =1
32 423
20321203
14112
cinco
cinco
cinco
cinco
cinco
Ésta última suma es sencilla, pues no necesita transformación a base cinco
324cinco×23cinco = 14112cinco
59
EJERCICIOS DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN
1.- El número 10102 es un número en base________ y se pronuncia_______________
______________________________.
2.- El número 342 7 es un número en base_________ y se pronuncia_______________
______________________________.
3.- Convierta los siguientes números binarios a sus decimales equivalentes:
a) 00001110 b) 11100000 c) 10000011 d) 10011010
4.- Convierta los siguientes números decimales a sus equivalentes binarios:
a) 143 b) 248 c) 129 d) 342 e) 567 f) 94 g) 342
5.- Convierta los siguientes números decimales al sistema octal (base 8).
a) 345 b) 1234 c) 968
6.-Convierta los siguientes números decimales a los sistemas base 4, 5, 6, y 7
a) 342 b) 729 c) 1987 d) 2634
7.-Convierta los siguientes números decimales a los sistemas base 8, 12, 13 y 16
a) 125 b) 350 c) 568 d) 180
8.- Realizar la suma y el producto de los siguientes números binarios:
a) 111000 y 1100001 b) 10101010 y 111011011
c) 100100111 y 101111001 d) 1000011101 y 10110011001
9.-Realizar las siguientes operaciones binarias
111110011 1010100011100 110101111
101010 - 101011100111 x 111001
+ 1110011
1100
1100 111000111101011 1011 101100111101
101011111 1111101
- 1011001 x 10001
15.-Realizar las siguientes operaciones
a) 23456 + 123416 b) 26749 x 369 c) 1428 + 3578
d) 24527 - 13147 f) 32134 - 12134 g) 647358 - 36358
h) 3425 /125
i) 5468 / 238 j) 32134 / 314
k) 3426 / 216 l) 34345 / 225 m) 2347 / 247
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