1
Teoría de Hamilton-Jacobi
Ecuación de Hamilton-Jacobi
La función acción calculada a lo largo de un extremal , que conecte los
puntos y , puede ser considerada, para fijado, una
función de las variables si los extremales que parten de no se
intersectan en ningún otro sitio:
0 0( , )q t ( , )q t 0 0( , )q t( , )q t 0 0( , )q t
0 0
( , )
( , )
( , ) ( , , ) ,
t q
t q
S q t L d 0 0 0
( ); 0,,
( ) , ( )
d L L
d
t q t arbitrario
d
d
0t
0q
t
q
,S S
S q tq t
Sea el extremal que va hasta
y el extremal que va hasta 1
2( , )t q
( , ).t t q q
t
q
2 1
S Ld Ld
0 0 1
( , ) ( , )
( , ) ( , )
q h t q q t t
t q q h t
Ld Ld Ld
0 0
( , )
( , )
t q q t tt
t q q tt
L d L Lhd h Ld
d
( )ph t L t
( )h t
( )p q q t L t ( , , ) ,p q H q p t t
, ( , , ),S S
p H q p tq t
( , , ) 0,
S SH q t
t q
, ( , , ),
1, ,
j
j
S Sp H q p t
q t
j n
1
1
( , , , , , , ) 0,n
n
S S SH q q t
t q q
12
Método de Hamilton-Jacobi para la integración de
las ec. canónicas de Hamilton con Hamiltoniana .
1
1
( , , , , , , ) 0,n
n
S S SH q q t
t q q
(E.H.J)
• Se busca una solución de la E.H.J llamada integral completa: una solución de la
ecuación que contenga tantas constantes independientes como variables
independientes existan, es decir n+1. Una de dichas constantes (al aparecer sólo
las derivadas de S) será siempre aditiva y la descartamos. La integral llamada
completa será una solución del tipo
1 1( , , , , , , ).n nS S t q q
H
, , , ( 1, , ),i i
i i
S S Sp Q H H i n
q P t
• En el sistema de ecuaciones canónicas con Hamiltoniana , efectuamos una
transformación canónica usando como función generatriz (tipo 2) la integral completa, y
las magnitudes como los nuevos momentos , :
( , , )H q p t
1 1( , , , , , , )n nS t q q P Pi iP
• Como S verifica la E.H.J, , y en las nuevas variables: 0H 0, 0,i i
i i
H HQ P
P Q
,
,
1, , ,
i i
i i
Q const
P const
i n
( , , ),
( , , ),
i
i
i
i
S t qp
q
S t q
( , , ),
( , , ),
i i
i i
q q t
p p t
0 0
0 0
( ) ( , , ),
( ) ( , , ),
i i
i i
q t q t
p t p t
1
1
( , , , , , ) 0,n
n
S S SH q q
t q q
(E.H.J)
( ) ( ),S W q T t
Caso particular en el que la Hamiltoniana es independiente del tiempo: . ( , )H q p
0 0
( , ) ( , )
, , 0, ( 1, , ),i i
q p Q Pi i i
S W S Sp Q H H E E i n
q q P t
,
,
1, , ,
i i
i i
Q const
P const
i n
0
( , ),
( , ),
i
i
i
i i
W qp
q
W q Et
( , , ),
( , , ),
i i
i i
q q t
p p t
Se ensaya una
solución del tipo: ( , ) ,
W dTH q
q dt
0 ,
dTconst E
dt
1 0
1
( , , , , , ) ,n
n
W WH q q E
q q
La solución, , contendrá n constantes no aditivas,
entre las cuales estará (H se conserva). 0EW
• En lugar de tomar como una de las constantes a veces es preferible tomarla
como una cierta función de las , , y expresar la solución como i0E
i 0 0 1( , , )nE E
1 1 0 1( , , , , , ) ( , , ) ,n n nS W q q E t
0 ,T E t
La función se denomina
acción reducida
W
• A partir de aquí el método de Jacobi se aplica igual que antes si tomamamos S
como función generatriz (tipo 2) y las como los nuevos momentos iPi
separación de variables
, ,i i
i i
W W Wp Q H H
q P t
0 1
( , ) ( , )
( , ), ( 1, , ),n
q p Q P
E P P i n
0
( , ),
( , ),
i
i
i i
i i
W qp
q
E W qQ t
( , , ),
( , , ),
i i
i i
q q t
p p t
• Una pequeña variante del método consiste en tomar la acción reducida W como
función generatriz de la transformación canónica (tipo 2) en lugar de la S,
y en la nueva Hamiltoniana H’, todas las coordenadas Q son cíclicas
'0,
',
1, , ,
i
i
i
i
HP
Q
HQ
P
i n
0
,
,
i i
i i
i
P const
EQ t
1
1 1
2 ,
( ) 2 ,
p
x t
Ejemplos (resolver aplicando el método de Jacobi)
1 1
1 1
,
,
P const
Q const
1) Partícula libre moviéndose sobre el eje X: 212
,L M x21
2, ( , )H p x p
2
12
0,S S
t x
0( ) ,S W x E t
2
02 ,dW
Edx
02 ,W x E 0 02 , ,S x E E t
• Tomando S como función generatriz, H’=0,
Solo hay una constante. Podemos tomar 0 1 1( ) ,E f
11
1 01
1 1 1
( , )2 ,
( , ),
2
W xp
x
W x E xt t
• Tomando W como función generatriz, 0 1 1 1( ) , ,H E f H P
1 1
1 1 1
1
,
'1, ,
P const
HQ Q t
P
1
1 1
1 1
2 ,
,2
Wp
x
W xQ t
1
1 1
2 ,
( ) 2 ,
p
x t
2) Partícula libre moviéndose sobre el plano XY: 2 212
( ),L M x y 2 21
2( ), ( , , , )x y x yH p p x y p p
22
1 12 2
0,S S S
t x y
0( ) ( ) ,x yS W x W y E t
22
1 102 2,
yxdWdW
Edx dy
2 2 ( ) ,x x x yS x y t
• Tomando S como función generatriz, H’=0,
2 ,
2 ,
,2
,2
x x
y y
x
x x
y
y y
Sp
x
Sp
y
S xt
S yt
2 , 2 ,
( ) 2 , ( ) 2 ,
x x y y
x x y y
p p
x t y t
separación de variables
2
12
2
10 02
, 2 ,
, , 2 ,
xx x x
y
x y x y y y
dWconst W x
dx
dWE E W y
dy
, , , ,x x y y x x y yP P Q Q
3) Partícula libre moviéndose sobre el plano XY en coordenadas polares :
2 2 212
( ),L M 2 2 2 21
2, , ( / ), ( , , , ),
L Lp p H p p p p
2 2
21 12 2
0,S S S
t
0( ) ( ) ,S W W E t
2 2
21 102 2,
dW dWE
d d
• Tomando S como función generatriz, H’=0,
separación de variables
2
2 , ,dW
Wd
( , )
2
2 21 102 2,
dWE
d
2 2
02 ,W E d
2 2
0 02 ,S E d E t
0 1 2( , ) ( , ),E P P
1 2, ,Q Q
1 2 0
1 2 0
, ,
, ,
P const P const E
Q const Q const
2 2
02 ,dWS
p Ed
,S dW
pd
02 2
0 0
,2
S dt
E E
2
2 2
0
,2
S d
E
0 0( , , ),E t
0( , , , ),E
02 2
0
,2
dt
E
2
2 2
0
,2
d
E
2 2 2
0 0
02 2 2
0 00 0
2 2( / )
2 22 ( / ) 2
/
E x Ed dxt
E x EE x E x
x
2
2 2 2 2
0 0 0
( / ) ( / )arctan ,
2 2 ( / ) 2 ( / )
d d
E E E
22
0 0
0
( ) ,2
E tE
2
0
( / )tan( ) ,
2 ( / )E
1
1
( , , , , , ) 0,n
n
S S SH q q
t q q
(E.H.J)
1 1 1 0 1
1
( , , , , , , ) ( , , , ) ( , , ) ,n
n n k k n n
k
S q q t W q E t
Sistemas separables: . ( , )H q p
La solución de la
EHJ es de la forma:
• Casos triviales de separación:
( , ) , ( , ),kk k k k k k k
k
dWH q W W q
dq
, , 0, ,kk k k k k
dHH H H H H const
dt
0 ,k
k
H const E
cada una de las es una
constante del movimiento: kH
1) Hamiltoniana separable: 1
( , ) ( , ),n
k k k
k
H q p H q p
1 1
( , ) ,n n
k k k k
k k
S W q t
2) Cualquier coordenada cíclica es separable:
2 1( , , , , , )n nH q q p p1 1
1
,W
p constq
1 1 2( , , , ),nW q W q q
2 1 0
2
( , , , , , , ) ,n
n
W WH q q E
q q
3) La coordenada, por ejemplo la , se dice que es separable si la variable y la
aparecen solo mediante una combinación de la forma :
2 2 1 1 1 1 0, , , / , , / , ( , / ), ,n nH q q W q W q f q W q E
1q1q
1/W q 1 1 1( , / )f q W q
si es separable buscamos una solución de la forma
0 2 1 1( , , ) ( ),nS E t W q q W q
para la EHJ, la cual se escribirá
(*) Una solución de esta ecuación es:
1 1 1 1 1 2 2 1 0( , / ) , , , , / , , / , , ,n nf q W q H q q W q W q E
Si las coordenadas restantes son también separables el sistema total es separable y
una solución completa de la EHJ se puede obtener.
Ejemplos de sistemas separables de esta manera son:
(*)Nota: Obsérvese que es una constante del movimiento 1 1 1( , )f q p
1 1 11
1 1 1 1
1 12 2 2 2 1
1 1 1 1
, ,
( , , , , , , ) , ( , , , , , , ) , , 0,n n n n
df f H f Hf H
dt q p p q
H f H fA q q p p A q q p p f H
p p q q
Partícula moviéndose sobre un plano (coordenadas polares) y sometida a un
potencial central
2 2 2 21 12 2
( ) ( ) ( ),L v U U
( )U
, ,L L
p p
2 2 212( / ) ( ),H p p U 0, . ,
Hp const
0 ( ),S E t W
2
2 2 2 210 02
/ ( ) , 2 / 2 ( ) ,dW
U E W E U dd
Partícula moviéndose en un triedro (coordenadas esféricas) y sometida a un
potencial central
2 2 2 2 2 2 21 12 2
( ) ( sin ) ( ),L v U r r r r U r
( )U r
, , ,r
L L Lp p p
r
2
2 212 2 2
1( ) ( ),
sinr
pH p p U r
r
0, . ,
Hp const
0 ( , ),S E t W
2 2
02 / 2 ,rW E r U dr
2 2 2
1 102 2 2 2
1( ) ,
sin
W WU r E
r r
( , ) ( ) ( ),rW r W r W
2 2
2
2,
sin
W
2 2
1 102 2 2
( ) ,rWU r E
r r
2
2
2,
sinW dr
¡Los sistemas hamiltonianos separables son integrables por
cuadraturas!
¡Las n constantes se corresponden con n constantes
del movimiento o integrales primeras !
¿Cuando es integrable un sistema Hamiltoniano?
• Teorema de Liouville de la integrabilidad:
Sea el sistema de n grados de libertad con Hamiltoniana .
Si se conocen n integrales del movimiento, ,
independientes y que estén en involución, es decir el corchete de Poisson de
cualquier pareja de integrales del movimiento es identicamente nulo, ,
entonces el sistema es integrable por cuadraturas (ver apuntes pag. 32).
1 1( , , , , , )n nH q q p p
1 2( , ) , ( , ), , ( , )nF q p H F q p F q p
, 0j kF F
Método de Jacobi en variables ángulo-acción: ( , )H q p
0( , ) ,H q p const E
• 1 grado de libertad:
0, ( , ) ,dW dW
p H q const Edq dq
0( , ),W q E
¡En lugar de la constante usamos otra constante, función de ! 0E0E
OSCILACIÓN
q
p 0( , )H q p E
q
p
0 0 0
1( , ) , ( ), ( ), ,
2 2
AI p q E dq I E E I I
ROTACIÓN
0( , )H q p E
q q
0 0
1, ( ), ( ),
2 2
q
q
AI pdq I E E I
2 0 2
2
1
0
1
2
2 0 2
2
1
0
1
2p
x
z
M g
R
rotación
oscilación
A
A
Tq
0,I const t
0( , ) ( , ), ( ),
q p I
W Wp H H E I
q I
• Usamos como función generatriz, y las nuevas variables
canónicas ( , ),W q I
( , ) ( , )Q P I0 ( ),
0,
d H dEI
dt I dI
dI H
dt
• Propiedades de la transformación canónica
1 1,
2 2 2
cicloWW
I pdq dqq
2 2
, (2 ) 2 ,ciclo
W W Wd dq dq pdq I
I q I q I q I I
Oscilación:
Rotación:
son funciones periódicas de con período . 2,p q
son funciones periódicas de con período . 2, ( / 2 )Tp q q
¡Funciones periódicas de t con período ! 2 /
La acción reducida, ,
se incrementa en ,
en m ciclos completos
W2 mI
Frecuencia de
oscilación/rotación
Ejemplo 1: Obtener la solución del movimiento de un oscilador armónico con
Hamiltoniana , utilizando las variables ángulo-acción. 2 2 21 102 2
H p q
p
q
2 2 21 10 02 2
p q E 0
0
2
2 2 00 0
00
1 14 2 ,
2 2 2
E
A EI pdq E q dq
0 0( )E I I
0 0 0 0, 0, ., , ,dI d H
H I I const tdt dt I
2
2 2 2 21 10 0 0 02 2
, 2 ,dW
q I W I q dqdq
2 2 00 0 0
2 2
0 0
( , ) ( , )2 , arcsin ,
22
W q I W q I dqp I q q
q I II q
0 0 0 0 0
0
2sin( ), 2 cos( ),
Iq t p I t
Ejemplo 2: Obtener la frecuencia de oscilación del oscilador no lineal con
Hamiltoniana , en función de la energía del oscilador. 21 12 2
, ( 0)n
H p q n
p
q
21 102 2
np q E
1/0(2 )
0
0
1 42
2 2 2
nE
nAI pdq E q dq
1/0
1 1 1 1(2 ) 12 2
0 0
1/ 1/
0 00 0
2(2 ) 2(2 )1 1 ,
(2 ) (2 )
n nEn n
n
n n
E q q Ed x dx
E E
1
0
1
3 12
((1 )
, ,) 1( )2
0n
n
n n nn x dx
2 3222
0
2,
nnn
nI E
2
0 202 3
2
2,
2 (2 )
n
nn
n
dE nE
dIn
2 0 2
2
1
0
1
2
2 0 2
2
1
0
1
2p
x
z
M g
R
rotación
oscilación
Ejemplo 3: Obtener la frecuencia de oscilación del péndulo simple.
2 210 02
cos , ,g
LR
2102
cos ,H p const E
2102
cos , ,L t t 0 1E
0 1E
0 0
0
1 4 2cos , cos ,
2 2
m
mI pdq E d E
• Oscilación: 01 1,E
0 0
0
1 2 2cos , 1,
2 2I pdq E d E
• Rotación: 0 1,E
1 1 1 010 0 0 02 1
0 02
( ) 4 2 1 cos ( ),2( 1) , ,2 ( 1)
dEI E E E E E
dI K E
1 000 0
0 0
0
12( ) 2 2( 1) , ,
1 22
1
EdEI E E E
E dIK
E
,E K ¡las correspondientes funciones elípticas ! 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0E
0/
Método de Jacobi en variables ángulo-acción: 1 1( , , , , , )n nH q q p p
• n grados de libertad (movimiento finito con respecto a todas las
coordenadas y:
1, ( , , ), ( 1, , )ii i i i n
i i
W Wp p p q i n
q q
1
1
( , , , ),n
k k n
k
W W q
ROTACIÓN (¡algún !) ipOSCILACIÓN
iq
ip 1 , n
iq
ip
1, ( 1, , )
2i i iI p dq i n
iqiq
0 1( , ) ( , )' ( , , ),nq p I
H H E I I
A
A
iTq
1 , n
Ciclo ( , )i iq p Ciclo ( , )i iq p
En lugar de las constantes usamos las variables acción:
1( , , ),i i nI I 1
1
( , , , ),n
k k n
k
W W q I I
1
, ,n
i ki i
ki i i
W W Wp
q I I
00
.,
, ,
i
i i i i i
i
I const
Et
I
1
, ,n
i ki i
ki i
W Wp
q I
T. canónica:
1 1
,n n
ki k k kI
k ki k i
Wd dq p dq
I q I
• Significado geométrico del ángulo
Integramos sobre la superficie n-dimensional
sobre una curva cerrada
volviendo al mismo punto inicial: ciclos
completos de cada pareja
1( , , ) ,nI I const
km( , ).k kq p
1 1
( 2 ) 2 ,n n
i k k k k iIk ki i
p dq m I mI I
En cada ciclo completo de la pareja , se incrementa en ( , )i iq p i 2
,i iq p son funciones del tiempo multi-periódicas a n frecuencias 1, , ,n
,i iq p son funciones multi-periódicas de de período 1 2, , , ,n 2
• En el movimiento para unas condiciones iniciales dadas:
,i iq p son funciones del tiempo multi-periódicas a n frecuencias 1, , ,n
• En el movimiento para unas condiciones iniciales dadas:
• Supongamos que n=2:
1 2
1 2
, 1 1 2 2, , exp ( ) ,i i k k
k k
q p A i k k t
El movimiento, en general, no será periódico (la trayectoria no se
cierra en el espacio de fases).
Para que la trayectoria se cierre en el espacio de fases es necesario
que las frecuencias cumplan una condición (de resonancia):
1 2 1 2 1 2/ / , ,m m m m
1 11 1 2 2 1 1 2 2
1 1
exp ( ) exp ( ) , 2 ,m
i k k t i k m k m t tm
periodo
Geometría de los sistemas Hamiltonianos integrables (con n
integrales primeras independientes en involución).
sin , cos , ( 1, , )j j j j j jQ I P I j n
Se demuestra que también se pueden introducir las variables ángulo-acción.
Una segunda transformación canónica conveniente a variables (Q,P) es:
La trayectoria está situada sobre una superficie toroidal n-dimensional :
2 2 2( , ) : 0, 1, ,n n
j j jT Q P Q P I j n
1
2
1 1 10 2 2 20, ,t t
Si un irracional, la
trayectoria rellena
densamente la superficie
del toro
1 2/
Ejercicio 1: Una partícula de peso mg se mueve en un plano vertical sometida
a la acción de dos muelles de constante elástica k y longitud natural
despreciable. Se pide:
a) Hamiltoniana (usar coordenadas generalizadas x, z).
b) Expresar la Hamiltoniana en función de las variables acción.
c) Obtener la solución, x(t), z(t), usando las variables ángulo-acción.
x
z 2 2 2 2 2 21 1 12 2 2
( ) ( ) (( ) )L m x z mgz k x z k x z
Dividimos por la Lagrangiana: 2m / , / ,x x z z
2 2 2 2 2 21 1 12 2 2( ) ( ) (( 1) )
g k kL x z z x z x z
m m
2
p 2
m2
m
Dividimos por la Lagrangiana: 2
m2 2, /m p mt t
2 2 2 21 12 2( ) ( ) ( ),L x z z z x x 2 2 2 21 1
2 2( ) ( ) ( ),x zH p p z z x x
( , ) ( , ),x x z zH H x p H z p
2 2 2 21 12 2( ) ( ) ( ),x zH p p z z x x ( , ) ( , ),x x z zH H x p H z p
2 21 12 2x x xH p x x const
2 212
,z z zH p z z const
x
xp
1(2 )x xI p dx
2( ) .x z x zH I I const
14x
14
2 x
z
zp
214 z
214
2 z
1 214
2(2 ) ( ),
2z z zI p dz
2, 2,x z
x z
H H
I I
0 0, ,x x x z z zt t ,x zW W W
2
2 21 1 1 12 2 4 2
( ) ( ) ( ) ,xx x
dWx x x
dx
212
2 2 ( )xx
dWI x
dx
14
2( ),
2x
0 0, ,x x x z z zt t ,x zW W W
2 21 12 2
2 2 ( ) , 2 2 ( )xx x x
dWI x W I x dx
dx
12
212
arcsin ,2 ( ) 2
xx
x xx x
xWW dx
I I I x I
12
2 sin ,x xx I
22 sin ,z zz I
……………………………………………………………………
Ejercicio 2: Sea el Hamiltoniano de 2 grados de libertad
Se pide:
a) Una solución completa de EHJ.
b) Reducir a cuadraturas el movimiento del sistema usando el método de HJ
2 2 2 21 1 1 12 2 1 12 2 2 2
( ).H p q p q
2 2
2 21 1 1 12 1 02 2 2 2
2 1
,W W
q q Eq q
1 1 2 2( ) ( ),W W q W q
2 2
2 2 2 21 21 1 1 11 1 2 1 02 2 2 2
1 2
, ,W W
q q Eq q
2 2 2 2
1 1 1 1 2 0 2 1 22 , 2 ,W q dq W E q dq
2 2 2 2
0 1 1 1 0 2 1 22 2 ,S E t q dq E q dq
22 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 12 2 2 2
1 1 1 1 0 2 1
2 2 22 0 2 1 2 2
2 22 0 0 2 1
22 , ,
2 2
2 , ,2
q dqS Sp q Q dq
q q E q
dqS Sp E q Q t
q E E q
2 1 2 1 22
2 2 2 21 1 00 2 1 2 1
0
1 1arcsin ,
222 1
2
dq dq qt
EE q qE
E
2
1 2 1 21 1
2 2 2 2
1 1 0 2 1
2
2 2
q dqdq
q E q
2
01 2 1 2 1 2 11 12 22
0 0 011
2arcsin 1 arcsin
2 2 2 2
Eq q q q
E E E
22
2
1 11 arcsin
2 21
x dxx x x
x
01 1 11 2 1 1 2 1 1 22 22
11
2arcsin sin cos ( ) ,
2
Eqt t t
0 1 11 1 1 1 2 1 1 24 22
1
22 sin sin 2 2 ( ) ,
Eq t t
0
2 1 2 1
1
2sin ,
Eq t
c) Frecuencias del movimiento
2 2 2 2 2 21 1 1 11 1 1 2 2 1 02 2 2 2
, ,p q p q E
1
1 1 1 1(2 ) ,I p dq 1 0
2 2 2 0 1 2
1
(2 ) ,E
I p dq E I I
0 01 2 2 1
1 2
, ,E E
I II I
¡El movimiento, en general no es periódico, salvo que los valores de
verifiquen una condición de resonancia!: 1 2,I I
1 1 2 2 ,n I n I para enteros 1 2,n n
x
y
a
b
0v
Ejercicio 3: Una partícula se mueve libremente en el interior de una caja
rectangular, realizando choques elásticos con las paredes. Usando las
variables ángulo-acción, investigar el conjunto de condiciones iniciales
para las que la trayectoria en el interior de la caja es cerrada.
2 21 12 2
( ) ( ),x yL x U x y U y
0, (0, ),
, (0, ),x
x aU
x a
0, (0, ),
, (0, ),y
y bU
y b
2 21 12 2
( ) ( ) ,x x y y x yH p U x p U y H H
( , ) (0, ) (0, ) , ,x x y yx y a b p p
x
xp
a
x xp
x xp
,xx
aI
y
yp
b
y yp
y yp
,y
y
bI
x
y
a
b
0v
, ,x x y yI Ia b
22 22 21 1
0 2 2 2 2. ,
2
yxx y
IIH const E
a b
2 2
0 0
2 2, ,x x x y y y
x y
E EI I
I a a I b b
La trayectoria es cerrada (también en el espacio físico) si se da
la condición de resonancia:
, ,y y y
y x
x x x
nan n
b n
0 0cos , sin ,x yv v
tan , ,y
y x
x
nan n
b n
tan , ,y
y x
x
nan n
b n / 2a b
2, ,
4 1
y
x
n
n
1arctan( / ), ,
1
y
x
nb a
n
3,
2
y
x
n
n
1,
3
y
x
n
n
Ejercicio 4: Estudiar aplicando la misma técnica que en el ejercicio anterior,
las trayectorias cerradas de una partícula en un billar circular de radio
unidad. 2
212 2
0, 1,( ), ( )
, 1,r
rpH p U r U r
rr
221
02 2. ,rH const p E
r
0, ,H
p
2
0
1 1,
2 2I p d d
1
2r rI p dr
r
rp2
2
0 22 ,rp E
r
12
min
0
,2
rE
min min
1 12 20 min
0 2 2
0 2 minmin
0
212 1
2tan (tan ),
cos
m
r r
m m
E rE dr dr
r r
E I rr d r
2 2
min 0 2
0
cos ,2 2cos
tan ,
m
m
rm m
I Ir E
E
I
I
minr
1r
0022 2
,sin2 2sin
r
r m m
EE I
I t
0 2 1, ,
sin(2 ) 2
m m
m r r
E I n
I n
34
1
3r
n
n
1
4r
n
n
2
5r
n
n
1
5r
n
n
3
7r
n
n
3
8r
n
n
Ejercicio 5: Usando variables ángulo-acción resolver el movimiento de una
partícula de masa unidad sometida al peso, que está obligada a
permanecer sobre la superficie de un cilindro vertical de radio R, apoyado
sobre el suelo, realizando choques elásticos con éste.
Coordenadas polares cilíndricas: , , 0,R z
22 2 21 1 1
2 2 2 2( ) , , 0,z
pL z R gz H p gz z
R
0, . , ( ) ,z
Hp const W W z
2 2
1 102 2 2, 0,zdW
gz E zdz R
22 2 ,zz z
dWp gz
dz
z
zp
22 z2
maxzz
g
2
0
1 1,
2 2I p d d
max
max
0
3/22 2
0
2 2/3 2/312
1 12
2 2
1 12 2 2 ,
3
(3 ) ,
z
z z z
z
z z
z z
I p dz p dz
gzdzg
g I
22/3 2/31
0 2 2(3 )
2z
IE g I
R
2
212
, 0,zz
dWgz z
dz
22 1
0 2 2,zE
R
36
2/3 1/30 0 132
, (3 ) ,z z
z
E I Eg I
I R I
Variables ángulo-acción: ( , ), ( , )z zI I
0 ,W
tI
max
max max
max
2
0 2
0
2 2
20
0
2 2
2 20
12 2 2 , ( 0)
2 2
12 2 2 , ( 0)
2 2 2 2
z zz z z
z z z
z z
z z
z
z z z z
z z
zz z
W Wt
I I
dzgz z
ggz
dz dzgz z
ggz gz
2 2 2
0 2 ( ) 2 2 2 1 ( ) 1 / ,zz z z z z zt sign z gz sign z gz
g
¡Notar que se incrementa en ( es multivaluada) en cada ciclo completo! z 2 zW
22
01 1 , mod22
z zz z zz t
g
37
Ejercicio 6: La Hamiltoniana de una partícula de un grado de libertad es
, siendo (x,p) la coordenada y momento canónico
respectivamente. El potencial U es la siguiente función de x definida a
trozos:
212
( )H p U x
212
, 1 ;
( ) 1, 1 2;
, 2 .
x x
U x x
x
x
U
1/ 2
1
212 1
Se pide:
a) Un dibujo esquemático en el plano de fases (x,p) de los tres tipos de trayectorias
que tiene el sistema.
b) La acción I en función de la energía de la partícula
c) La frecuencia del movimiento en función de la energía de la partícula
d) Obtener x(t) usando variables ángulo acción, , para el caso particular
( ).I E
( ).E
( , )I 0 1/ 2.E
38
212
( ) .p U x const E
212
, 1 ;
( ) 1, 1 2;
, 2 .
x x
U x x
x
x
U
1/ 2
1
212 11, 2 , 0 1,E p E U x
1, 2 , 0 2,E p E U x
x
p
0 1/ 2E
1/ 2 1E
1E 1,
2I pdx
2
20 1/ 2 ,
2
EE I E
1
2
0
11
2 1 2 cot( 2 1),
/ 2 1 4 22
E I
E E arc
E
E
x dx
2 21 12 2
1
2
0
1 (1 ) 1, 2( 1),
1
2 1 2 cot
4( 1)4 2
2 2
2 2( ) ( )1 2 1,
E p U E p p E
pI
E E arc
E x dx
E E
p
39
Ejercicio 7: Se considera el sistema Hamiltoniano con función de Hamilton: 3 2
2 2 22 11 1 12
1
1 1 ( ) 1( 1 ) .
2 2 1 2
p qH p q q
q
Se pide:
a) Plantear explícitamente las ecuaciones canónicas de Hamilton.
b) Obtener 2 leyes de conservación.
c) Plantear explícitamente la ecuación de Hamilton-Jacobi para la acción
d) Obtener una integral completa
e) Reducir a cuadraturas el movimiento el sistema utilizando el método de
Hamilton-Jacobi y usando como función generatriz.
f) Obtener la función Lagrangiana correspondiente a la Hamiltoniana.
.S
1 2 1 2( , , , , ).S q q t
S
a) 3
2 2 11 1 2
1 2 1
1 , ,1
H H p qp q
p p q
2 3 3 22 1 2 1 1 2 1
1 1 1 1 2 2 2
1 1 1 2
1 6 ( ) 2 ( )2 ( 1 ) , 0,
2 1 (1 )
H q p q q p q Hq p q q
q q q q
2
1 1 1
1
2 3 3 22 1 2 1 1 2 1
1 1 1 1 1 2 2 2
1 1 1
1 ,
1 6 ( ) 2 ( )2 ( 1 ) ,
2 1 (1 )
Hq p q
p
H q p q q p qp q p q q
q q q
3
2 12 2
1
2
,1
0,
p qq
q
p
1 2 2, . ,H cte p const b)
c) 2
32 1
2 22
1 12
1 1
1 1 11 0.
2 2 1 2
Sq
qS Sq q
t q q
c) 1 2 2 1 1( ),S t q W q
22 3
2 12 211 1 12
1 1
1 1 11 0.
2 2 1 2
qdWq q
dq q
2 2
3 3
2 1 2 12 2 2 211 1 1 1 1 1 1 12 2
1 1 1
2 1 , 2 1 ,1 1
q qdWq q W q q dq
dq q q
d) 1 1 2 2 1 1 2 2( , , , ) ( , , , )q p q p Q Q Usamos S como función generatriz (tipo 2)
2
3
2 1 2 211 1 1 12
1 1 1
2 2
2
2 1 ,1
,
qS dWp q q
q dq q
Sp
q
41
1 11 1
231 1
2 1 2
1 12
1
3
1 2 1 12 2 2 2
232 2
2 12 2
1 1 12
1
,
21
( ),
(1 ) 21
S W dqQ t t
q
S W q dqQ q q
qq q
q
e) 3
2 2 11 1 2 2 1 1 1 2 2
1 2 1
, 1 , ,1
H H p qL q p q p H q p q q
p p q
2 2 3
1 1 1 2 2 1 1
2 2 2 2
1 2 1 1
2 2 2 2 3 2
1 2 1 1 1 2 1 1
( 1 ) ( (1 ) )
1 1 1(1 )
2 2 2
1 1 1(1 ) (1 ) ,
2 2 2
L q q q q q q q
q q q q
q q q q q q q q
3 22 2 22 1
1 1 12
1
1 1 ( ) 1( 1 ) .
2 2 1 2
p qH p q q
q
42
Ejercicio 8: Una partícula de masa unidad (y peso despreciable) se mueve
en el interior de un cilindro de radio unidad y longitud h, realizando choques
elásticos con las paredes. Usando variables ángulo-acción estudiar las
condiciones para obtener trayectorias cerradas en el interior de cilindro.
Coordenadas polares cilíndricas: , , ,z
22 21
2 2
0, 1, 0, (0, ),( ) ( ), ( ) ( )
, 1, , (0, ),z z z
z hpH p p U U z U U z
z h
0, . ,H
p const
22 2 2 2
2. , , 0 , 1;z zp const p const z h
2 210 2
. ( ),zH const E
2
0
1 1,
2 2I p d d
0
1 1,
2
h
zz z z
hI p dz dz
min
1
p
22 2
2,p
12
min 2,
min
1 22
2
1 1
2
(tan ),m m
I p d d
I
2 22
0 2 2,
2cos 2z
m
IE I
h
43
tan ,m m
I
I
2 22
0 2 2,
2cos 2z
m
IE I
h
0 2,
sin2 m
E I
I
1,
2
m n
n
2
0
2,z z z
z
EI
I h h
0 2,
sin(2 )
m
m
E I
I
sin 2,
2
z mz zn
hI n