7/25/2019 Teoria de armnicas y series de fourier
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INTRODUCCIN
Una interpretacin simple del teorema de Fourier es que cualquier funcinque cumpla ciertas condiciones se puede expresar como una combinacin
lineal de senos y cosenos !s"# estas combinaciones se pueden con$ertir enun instrumento que permitan anali%ar el comportamiento de funciones quede otro modo ser"a complicado &acer 'in embar(o se debe estudiaradecuadamente el teorema de Fourier relacion)ndolo con los temas $istosanteriormente
*ste traba+o tiene el ob+eti$o de resumir y exponer una in$esti(acinbiblio(r),ca de tres temas que permiten comprender me+or del teorema de
Fourier- funciones de periodo . # funciones pares e impares# armnicas
pares e impares y aplicaciones
/rimeo se desarrollar) el tema de funciones de periodo . que sonfunciones cuya frecuencia fundamental es i(ual a 0 1ue(o# se abordar)n lasfunciones pares e impares# que re,eren a funciones con comportamientossim2tricos y anti sim2tricos respecto del e+e $ertical del ori(en Como tercerpunto# las armnicas pares e impares que son los t2rminos del desarrollo dela serie de Fourier y por tanto son m3ltiplos de la fundamental4 asimismo seabordan aplicaciones en in(enier"a del estudio de las armnicas en lossistemas el2ctricos !s" tambi2n# se desarrollaran los e+ercicios propuestos5#6# 7 y 8 de la seccin correspondiente a 'eries de Fourier en el libro
Anlisis Matemtico III del In( 9oracio Urtea(a : teniendo en cuenta losconocimientos adquiridos con esta in$esti(acin
Finalmente# es importante se;alar que como complemento en la reali%acinde este traba+o se &an empleado los softatlab
0
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0 FUNCION*' D* /*RIODO .?
00 FUNCION /*RIODIC!-
'e dice que una funcin
RRf :
es peridica# si existe un n3mero positi$o
@TA tal que-RtTtftf += ),()(
Dnde- T recibe el ombre de periodo de la funcin)(tf
BFuncin peridica
Frecuencia-
1a frecuencia
es el n3mero de ciclos completos &ec&os en un inter$alo
de lon(itud2
OBSERVACION: 1as funciones)(cos)( tytsen
son peridicas y de periodo2
'u frecuencia es y su frecuencia circular es 0
.
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*Funcin seno
'i el periodo T de una funcin peridica)(tf
es .? entonces1=y la serie
I de,nida por
=
=
++=11
0 cos2
1)(
n
n
n
n tsennbtnaatf
se con$ierte en-
=
=++=
11
0 cos2
1)(
n
n
n
n senntbntaatf
Donde los coe,cientesnn ba est)n dados por-
.0,1,2,3,..n;cos)(1
== +Td
d
n ntdttfa
.0,1,2,3,..n;)(1
==
+Td
d
n ntdtsentfb
Ejemplo N1.- Hallar la expansin de la serie de o!rier de la
"!n#in peridi#a)(tf
$ de periodo %&$ de"inida por:20;)( = tttf
'olucin-
E
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0 *n la ,(ura se muestra la (r),ca de la funcin)(tf
sobre el inter$alo 44 t
Como la funcin es peridica solo necesitamos dibu+ar unperiodo y el patrn se repetir) en otros periodos
. 9allemos los coe,cientes de Fouriernaya 0-
22
11)(
12
0
22
0
2
0
0 =
===
ttdtdttfa
===
2
0
2
0
cos1
.0,1,2,3,..n;cos)(1
ntdttantdttfa nn
E Inte(rando por partes obtenemos-
0
0cos
2cos
1
2
21cos122
2
02 =
+=
+= nn annnnsennnnt
n
nttsen
a
*n este caso obser$amos la necesidad de resol$er0aseparadamente
dena
9allemosnb-
===
2
0
2
0
1
.0,1,2,3,..n;)(1
ntdttsenbntdtsentfb nn
5 Inte(rando por partes obtenemos-
nbn
nn
ntsennt
n
tb nn
22cos
21cos
12
02
=
=
+=
6 1ue(o de-
=
=
++=11
0 cos2
1)(
n
n
n
n ntdtsenbntdtaatf
# la expansin en
serie de Fourier es-
=
=1
)(2
)(n
ntsenn
tf
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O# en su forma expandida-
+++++= ......
3
3
2
22)(
n
ntsentsentsentsentf
Ejemplo N%.- 'ada la "!n#in peridi#a
,)( 2 += ttttf$ de
periodo2
$ (ra")*!ela en el in+er,alo
[ ] 3,3 l!e(o alle s!
expansin en serie de o!rier.
'olucin-
0 (ra,ca de la funcin)(tf
en el inter$alo GE? H t H E?
. Calculo de los coe,cientes de la serie de Fourier-
( ) 202
0
232
03
2
23
11)(
1
=
+=+==
att
dtttdttfa
( ) .0,1,2,3,..n;cos1cos)(1 2 =+==
ntdtttntdttfan
Inte(rando por partes obtenemos-
nn
ntn
ntsenn
tntsen
nntsen
n
tntsen
n
tan cos
41cos
1
2
2
12232
2
=
+++=
( )nnn
a 142 =
9allemosnb-
5
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( ) ,...3,2,1;1)(1 2 =+==
ndtntsenttdtntsentfbn
Inte(rando por partes obtenemos-
+++= ntsennntnt
ntnntsenn
t
ntn
t
bn
1
coscos
2
2
cos
1232
2
( )nnnn
bnn
b 12
cos2 ==
Finalmente la expansin en serie de Fourier de f t est) dada por-
( ) ( )
=
=
+=11
2
2 12
cos14
3
1)(
n
n
n
nntsen
nnt
ntf
O en forma expandida-
+++
+++= ...
3
3
2
22...
3
3cos
2
2coscos4
3
1)(
2222
2 tsentsensenttt
ttf
E >2todo alternati$o- usandojn te
+==+
dtettdtetfjba jntjntnn )(1
)(1 2
( ) ( )
+
+
+=
+
+=+ 32
22 2121121
jn
ee
jn
te
jn
ttdte
jn
te
jn
ttjba
jntjntjntjntjnt
nn
Como-( )njnt nsenjne 1cos =+=
( )njnt nsenjne 1cos ==
jj
=1
( )32
2
32
22212121
nj
nnj
nj
nnjjba
n
nn
+++
++
=+
=+
nj
njba nnn
24)1(
2
I(ualando la parte real e ima(inaria lle(amos a los resultadosanteriores-
( ) ( )nnn
nn
bn
a 12
142
==
.G FUNCION*' CONTINU!' /OR TR!>O' 'O:R* UN /*RIODO
6
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Una funcin peridica)(tf
puede estar especi,cada por tramos sobre unperiodo o# inclusi$e# puede ser continua por tramos sobre un periodo# comose muestra en la (r),ca
/ara calcular los coe,cientes de Fourier# en tales casos# es necesariodescomponer el inter$alo de inte(racin utili%ando frmulas de *uler4 paraque correspondan a las distintas componentes de la funcin
/or e+emplo la funcin)(tf
# de la ,(ura anterior# est) de,nida en el
inter$alo t
# por-
=
,)(
-,)(-,)(
)(
3
2
1
tqtf
qtptfpttf
tf
es peridica de periodo2
1as frmulas de *uler para los coe,cientes de Fourier del tema anterior# secon$ierten en-
++=
p q
p q
n ntdttfntdttfntdttfa
cos)(cos)(cos)(1
321
++=
p q
p q
n ntdtsentfntdtsentfntdtsentfb
)()()(1
321
7
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Ejemplo N1.- /na "!n#in peridi#a)(tf
de periodo2
es+0
denida$ den+ro del periodo20 t
$ por:
=
2,2
2,
2
20,
)(
tt
t
tt
tf
2ra*!e la "!n#in)(tf
para 32 t
en#!en+re s! expansinen serie de o!rier.
'olucin-
0 =ra,ca de la funcinf
-
. 9allemos los coe,cientes de Fourier-
8
5
22
1)(
12
0 2
22
0
0 =
++= dt
tdtdttdttfa
.0,1,2,3,..n;cos)(1
2
0
==
ntdttfan
++=
2
0 2
2
cos2
cos2
cos1
ntdtt
ntdtntdttan
2
22
2
02 2
cos
2
2
2
cos
1
+
+
+
+=
n
nt
n
ntsentntsen
nn
ntntsen
n
tan
( )[ ]
=
+=
imparesnsi
n
paresnsinan
n
na
n
nn
,2
,111
cos32
cos22
1
2
22
2
8
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9allemosnb-
.0,1,2,3,..n;)(1
2
0
==
ntdtsentfbn
++=
2
0 2
2
2
2
1
ntdtsent
ntdtsenntdttsenbn
2
22
2
02 2
cos
2
2cos
2
cos
1
+
+
+=
n
ntsen
n
nttnt
nn
ntsennt
n
tbn
( )
== imparesnsi
n
paresnsi
bn
senn
b nnn,
1
,0
)2
(1
2
2)1(
2
E 'e(3n la ecuacin $ista en el tema de funciones de periodo .?# la
expansin en serie de Fourier de)(tf
esta dada por-
...7
7
5
5
3
31
...10
10cos
6
6cos
2
2cos2...
5
5cos
3
3coscos
2
6
5)(
222
22222
++
+
+++
+++=
tsentsentsensent
tttttttf
J
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E '*RI*' D* FOURI*R /!R! FUNCION*' /!R*' * I>/!R*'D*'!RRO11O CO'*NOID!1 O '*NOID!1
E0 FUNCION*' /!R*' * I>/!R*'*n el mane+o de series de Fourier es muy 3til obser$ar dos tipos defunciones con las que podemos &acer simpli,caciones de las frmulas de*uler K Fourier *stas son las funciones pares e impares que(eom2tricamente se caracteri%a por la propiedad de simetr"a con respectoal e+e y al ori(en# respecti$amente
E00 FUNCIN /!R
'e dice que una funcin f :R R # es par si satisface la condicin
f(t)=f( t) , tR 1a (ra,ca de una funcin par es sim2trica respecto del
e+e @yA
*+emplos-
a f(x )=x4x2+7
=r),ca
b f(x )=cos (x )
=r),ca
0L
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E0. FUNCION I>/!R
'e dice que una funcin
f :R R
# es impar si satisface la condicinf(t)=f( t) , tR 1a (ra,ca de una funcin par es sim2trica respecto
del ori(en
*+emplos-
a f(x )=x3
=r),ca
b f(x )=sen(x )
=r),ca
00
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E. /RO/I*D!D*' D* 1!' FUNCION*' /!R*' * I>/!R*'
a3 4a s!ma de dos "!n#iones impares es !na "!n#in impar.
Demostracin
'i f1(x )y f2 (x ) sonimpares y ademas g (x )=f1 (x )+ f2(x )entonces, g (x )es impar -
*n efecto si g (x ) es impar se debe cumplir que- g (x )=g(x )
g (x )=f1(x )+f
2(x )
/ero como f1(x )+ f2(x ) son impares
g (x )=f1(x ) f
2(x )
f
[1 (x )+ f2(x )]=g (x)g (x )=
53 El prod!#+o de dos "!n#iones pares es !na "!n#ion par
Demostracin
f1(x )y f
2(x ) son pares y ademas g (x)=f
1(x )f
2(x ) entonces ,g (x ) es par
'i g (x ) es una funcin impar se debe cumplir que- g (x )=g(x)
g (x )=f1(x )f
2(x )
/ero como f1(x )+ f2(x ) son pares
0.
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g (x )=f1(x )f
2(x )
f
[1 (x )f2 (x ) ]=g (x)g (x )=
#3 El prod!#+o de dos "!n#iones impares es !na "!n#in par
Demostracin
f1(x )y f2 (x ) sonimpares yademas g (x )=f1 (x )f2 (x ) entonces,g (x ) es par
'i g (x ) es una funcin par se debe cumplir que- g (x )=g(x)
g (x )=f1 (x )f2 (x )
/ero como f1(x )+ f2(x ) son impares
g (x )=f1(x )f
2(x )
f
[1 (x )f2 (x ) ]=g (x)g (x )=
d3 El prod!#+o de !an "!n#in impar !na par es !na "!n#ion impar
Demostracin
f1(x )es impar y f
2(x ) es par y g (x)=f
1(x )f
2(x ) entonces ,g (x ) es par
'i g (x ) es una funcin par se debe cumplir que- g (x )=g(x)
g (x )=f1 (x )f2 (x )
/ero como f1(x )es impar y f2 (x ) es par
g (x )=f1(x )f
2(x )
g (x )=[ f1 (x )f2(x ) ]=g(x )
e3 4a deri,ada de !na "!n#in par es !na "!n#in impar
0E
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14/41
Demostracin
/ara demostrar esta propiedad utili%amos la re(la de la cadena
'ea f(x ) una funcio par entonces- f(x )=f(x)
Deri$ando
[ f(x )]'=[ f(x )]
' f
'(x )=1 [ f(x )]0f'(x )
f' (x )=f' (x )
"3 4a deri,ada de !na "!n#ion impar es !na "!n#ion par.
Demostracin
/ara demostrar esta propiedad utili%amos la re(la de la cadena
'ea f(x ) una funcin impar entonces- f(x)=f(x )
Deri$ando
[f(x )]'= [ f(x )]'
f '(x )=1 [ f(x )]0f'(x )
f(x )=f'(x )
(3 Si la "!n#in f:R R es par se #!mple:
a
a
f( t) dt=2a
a
f( t) dt
Demostracin-
!plicando la propiedad de inte(ral inde,nida-
a
a
f( t) dt=a
0
f( t)dt+0
a
f(t) d t (1)
9aciendo t M Gx# en la primera inte(ral-
a
0
f( t) dt=a
0
f(x ) (dx)=a
0
f(x ) dx=0
a
f(x ) dx
Como f( t) es par, es decir f(x )=f(x ) ,dedonde
0
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a
0
f( t) dt=0
a
f(x ) dx=0
a
f(x ) dx=0
a
f(t) dt.(2)
!l reempla%ar dos . en 0 se tiene
a
a
f( t) dt=a
0
f( t)dt+0
a
f( t) dt=0
a
f( t)dt+0
a
f(t) dt=20
a
f( t) dt
a
a
f( t) dt=20
a
f(t) dt
3 Si la "!n#in f:R R es imapar se #!mple:
a
a
f( t) dt=0
Demostracin
!plicando la propiedad de la inte(ral inde,nida
a
a
f( t) dt=a
0
f( t)dt+0
a
f( t) dt=0
a
f( t)dt+0
a
f(t) dt ..(1)
Como f( t) es impar entonces f(t)=f(t) .
!l reempla%ar . en 0 se obtiene
a
a
f( t) dt=a
0
f( t)dt+0
a
f( t) dt=0
a
f(t) dt+0
a
f( t)dt=0
a
f( t) dt+0
a
f( t) dt
a
a
f( t) dt=0
EE '*RI* D* CO'*NO'
Usando las propiedades anteriores y &aciendo d=1
2T en la ecuacin
an=2
T
d
d+T
f( t)cosndt tenemos-
'i f( t) es una funcion periodica par# de periodo T# entonces-
05
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an=2
TT/2
T/2
f( t)cos ntdtan=4
T
0
T/2
fcosntdt
bn=2
TT/2
T/2
f( t) senntdtb n=0
/or la tanto la expresin en serie de Fourier de una funcion peridica par# deperiodo T# consiste de t2rminos en cosenos solamente y se(3n-
f( t)=12
a0
+n=1
( an cosnt)+n=1
bn sennt
*st) dada por-
f(x )=1
2 a0+n=1
an cosnt
Donde
an=4
T
0
T/2
f( t)cos ntdt;n=0,1,2,3 .
E '*RI* D* '*NO'
'i f( t) es una funcion periodica impar# de periodo T# entonces-
an=2
TT/2
T/2
f( t)cos ntdt=0
bn=2
TT/2
T/2
f( t) senntdt b n=4
T0
T/2
f(t) senntdt
/or la tanto la expresin en serie de Fourier de una funcion peridica par# deperiodo T# consiste de t2rminos en cosenos solamente y se(3n-
f(x )= 12
a0
+n=1
(an cosnt)+n=1
bn sennt
*st) dada por-
06
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f( t)=n=1
bn sennt
Donde
bn=4
T
0
T/2f( t) senntdt ; n=0,1,2,3.
Ejemplo N 1:
Dada la funcion peridica f( t)=t2
con periodo 2 # de,nida dentro del
periodo
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t2dt=
2 3
3;n=1,2,3, ..
f( t)dt=20
a0= 2
0
t2cosntdt=
2
[ t2
nsennt+
2 t
n2
cosnt2
n3
sennt]f(t) cosntdt= 2
0
an=2
0
an=2
( 2n2 cosnt)=4
n2(1 )n
1ue(o la expasin de Fourier de f( t) es-
f( t)=1
3
2+4n=1
(1 )n
n2 cosnt
!R>NIC!'
*l concepto de armnico se puede deducir del Teorema de Fourier se(3n elcual ba+o ciertas condiciones anal"ticas# una funcin peridica cualquierapuede considerarse inte(rada por una suma de funciones seno o coseno#incluyendo un t2rmino constante en caso de asimetr"a respecto al e+e de lasabscisas 1a se;al fundamental# del mismo periodo y frecuencia que lafuncin ori(inal es la primera armnica y el resto ser)n funciones cuyasfrecuencias son m3ltiplos de la fundamental que son denominadasarmnicas de la funcin peridica ori(inal
0 !R>ONIC!' /!R*' * I>/!R*'
00 !R>ONICO' /!R*'
08
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@Son los trminos del desarrollo de una serie de Fourier que tienenfrecuencias que son mltiplos pares del componente fundamental
'i f(t)es una funcin peridica tal que-
f(t+ 12 T)=f( t)
*ntonces tiene periodo T/2 y frecuencia =2(2/T) y slo las
armnicas pares est)n presentes en su expansin en serie de Fourier /ara npar tenemos-
an=4
T0
T/2
f( t)cos ( nT) dt
bn=4
T
0
T/2
f( t) sen (nT) dt
0. !R>ONICO' I>/!R*'
Son los trminos del desarrollo de una serie de Fourier que tienenfrecuencias que son mltiplos impares del componente fundamental
'i f(t)es una funcin peridica tal que-
f(t+ 12 T)=f( t)
*ntonces tiene periodo T/2 y frecuencia =2(2/T) y slo las
armnicas impares est)n presentes en su expansin en serie de Fourier/ara n impar tenemos-
an= 4T0
T/2
f( t)cos ( nT) dt
bn=4
T
0
T/2
f( t) sen (nT) dt
B1as ondas sim2tricas contienen 3nicamente amnicos impares# mientrasque para ondas asim2tricas existir)n tanto armnicas pares como impares
**>/1O
0J
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C0l#!lo de las armni#as de !na se6al #!adrada
*sta se;al est) de,nida por
f( t)=1 , t
2
2t
f( t)=1 ,
2 t
2
B!nda cuadrada ("A) que alterna su #alor entre dos #alores e$ternos% Se emplea
&eneralmente para la &eneracin de pulsos elctricos%
!l anali%ar la se;al se obser$a que T=2 # adem)s f(t+T2)=f( t) sobreel inter$alo mostrado /or tanto# solo las armnicas impares est)n presentesen la expansin en series de Fourier
Calculamos los coe,cientes de la serie-
/ara esta se;al se cumple-a
0=0
bn=0
/or tanto# solo calculamos an
an=2
T
f(t) cos (nt) dt Donde 0=2
T=
2
2=1
.L
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an=2
T
f(t) cos (nt)dt
an=1
[
2
cos (nt) dt+2
2
cos (nt)dt+2
cos (nt) dt
]an=
1
2(2sen( n2)sen (n))
n
an=
2(2 sen( n2)sen (n))n =
{1
4 sen
(
n
2
)n ,sinesimpar
0 , sin es par
*$aluando lo t2rminos de la serie-
f( t)=4
[cos0t
1
3cos30 t+
1
5cos50 t
1
7cos70t+]
Interpretacin
1a interpretacin de esta serie es la si(uiente# la se;al cuadrada mostradaen la ,(ura tiene EEP del EQ armnico# .LP del 5Q armnico# 0.JP del 7Qarmnico# etc
1a comparacin en porcenta+es espectro de onda de las ma(nitudes de losarmnicos con respecto a la ma(nitud fundamental se muestra acontinuacin-
.0
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B'a composicin de frecuencias de una seal e$presada por la serie de Fourier se llamaespectro de frecuencias de la seal% ste espectro se &ra+ca con las frecuencias armnicasen el e,e de las a-scisas . sus amplitudes en las ordenadas%
. !/1IC!CION*'.0 !R>ONICO' R*D*' *1CTRIC!'1a ener("a el2ctrica com3nmente se (enera en las (randes centralesutili%ando m)quinas rotatorias s"ncronas cuyo campo es excitado con un$olta+e de CD corriente directa e impulsado mec)nicamente por una
turbina# produciendo una tensin senoidal trif)sica en las terminales de suarmadura Dic&a forma de onda es caracter"stica del dise;o de la m)quina yde la disposicin de sus de$anados Cuando un $olta+e senoidales aplicadoa un circuito lineal las corrientes que Suyen en el sistema y ca"das de $olta+etambi2n son senoidales%
Cuando la onda de corriente o de tensin medida en cualquier punto de unsistema se encuentra distorsionada con la relacin a la onda senoidal queidealmente deber"amos encontrar# se dice que se trata de una ondacontaminada con componentes armnicos
..
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*!nda de #olta,e senoidal ideal
.00 Distorsin armnicaCuando las armnicas se combinan con la frecuencia fundamental# ocurre la
distorsinde la onda 1a distorsin armnica es causada por dispositi$os no linealesconectados alsistema de potencia# en los cuales la corriente no es proporcional a latensin aplicada
Cuando se &acen mediciones de las ondas de corriente o $olta+e utili%andoanali%adores dearmnicas# el equipo efect3a inte(raciones mediante la t2cnica de latrasformada r)pida deFourier# dando como resultado la serie de coe,cientes !& que expresadascon relacin a la
amplitud !0 de la fundamental# constituye el espectro de corrientesarmnicas relati$o a la ondamedida Un e+emplo de este espectro fue $isto en el e+emplo anterior
.E
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*!nda fundamental . sus ondas armnicos/ 01 (234 56) 71 (044 56) . 81(9:4 56)
*!nda sumada con sus componentes armnicos (distorsionada)% "uando una onda peridicano tiene forma sinusoidal se dice que tiene un contenido armnico lo cual puede alterar supropio #alor pico .;o #alor
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*n circuitos# para caracteri%ar la distorsin su distorsin armnica# se aplicauna se;al sinodal a la entrada y se mide el contenido armnico de la se;al ala salida
Formas de >edir la distorsin armnica1a distorsin armnica se mide con los si(uientes par)metros-
a Distorsin total armnica T9D
1a distorsin armnica causada por un circuito o dispositi$o electrnico sede,ne como la relacin de la pocin total de la se;al de salida producida porla armnica con respecto a la proporcin de la se;al de salida producida porla frecuencia fundamental
THD=!made c!adrados de todas "as amp"it!des arm#nicas
$mp"it!d f!ndamenta" 100
a0 T9D olta+e e intensidad de corriente Cuando se trata de armnicos de tensin# la expresin para la
distorsin armnica total se con$ierte en-
THD%=
%22+%
3
2+%4
2+
%1 100
'i se traba+a con armnicos de intensidad de corriente-
THD&=&2
2+&32+&4
2+
&1100
Ejemplo:De la onda distorsionada (ra,cada anteriormente# podemos obtener el
si(uiente an)lisis para la THD% -
!rden de armnicas Frecuencia (=6) Amplitud de ondafundamental
Fundamental 6L ..LEQ 08L 7EEE5Q ELL 7Q .L E0.J
.5
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THD%=73.332+442+31.4292
220100
THD%=41.27
/or tanto# la onda distorsionada de la ,(ura contiene un 0.7 P dedistorsin armnica en $olta+e
Ejemplo
Un conductor conduce E ! a 6L 9%# 0#5 ! en la EQ4 .#0 ! en la 5Q4 0#7 ! enla 7Q y 0#L ! en la 00Q armnica Cual es la distorsin armnica total encorriente en el conductorV-
THD&=&2
2+&3
2+&4
2+
&1100
THD&=(1.5)
2+(2.1)2+(1.7)2+(1.0)2
34100
THD&=10.55
34
100
THD&=9.55
B!tra forma de medir la distorsin armnica es cuanti+car la resultante del#olta,e o intensidad de corriente de las diferentes frecuencias armnicas%
Corriente Total e,ca% -
armonicos
&
2
=1
n
&tota"=
olta+e total e,ca%
.6
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armonicos
%2
=1
n
%tota"=
Ejemplo
Un conductor conduce E ! a 6L 9%# 05 ! en la Ea armnica# .0 ! en la 5ta#07 ! en la 7a y 0L ! en la 00$a armnica Cual es la corriente armnicatotal en el conductorV-
armonicos
&2
=1
n
&tota"=
&tota"=342+152+212+172+102
&tota"=221
&tota"=47.02
. FU*NT*' D* !R>NICO'
1os armnicos son el resultado de car(as no lineales# las cuales ante una
se;al de tipo sinusoidalpresentan una respuesta no sinusoidal 1as principales fuentes de armnicosson-
9ornos de arco y otros elementos de descar(a de arco# tales comol)mparas Suorescentes1os &ornos de arco se consideran m)s como (eneradores dearmnicos de $olta+e que decorriente# apareciendo t"picamente todos los armnicos .W# EW# W# 5W# pero predominandolos impares con $alores t"picos con respecto a la fundamental de-
G .LP del Eer armnico
.7
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G 0LP del 5W
G 6P del 7W
G EP del JW
N3cleos ma(n2ticos en transformadores y m)quinas rotati$as querequieren corriente de tercer armnico para excitar el &ierro 1a corriente Inrus& de los transformadores produce se(undo y cuarto
armnico Controladores de $elocidad a+ustables usados en $entiladores#
bombas y controladores de procesos '
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5 UI1ID!D D* 1! DI'TOR'IN !R>NIC!1os circuitos que producen distorsin armnica con todo propsito seemplean como-
>ultiplicadores de frecuencia Circuitos sintoni%adores 'inteti%adores de frecuencias =eneradores de funciones de alta frecuencia
5 **RCICIO' /RO/U*'TO'
73Una funcin peridica de periodo 2 est) de,nida# en el inter$alo
0t 2 # por-
f( t)={2t
, 0t
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1ue(o reempla%ando# en la respuesta# t por t/2 demuestra que la
funcin peridica f(t 2 )3/2 est) representada por una serie de senos#de armnicas impares
'O1UCIN
f( t)=
{2
t
, 0t
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a0=
1
[0
t+2
dt+0
2t
dt]
a0=
1
[(t
2
22 t) 0
+(2tt2
/2)
0
]a
0=
1
[(02 +2)+(220)]a
0=1
[3 ]
a0=3
an=2
TT/2
T/2
f(t) cos (n(0t)dt
an= 2
2
f(t) cos (n (0t) dt
an=1
[0
(t
+2)cos (n(0t)dt+
0
(2t)cos (n (0 t)dt] ,(0=22=1
an=1
[0
(t
+2)cos (nt)dt+
0
(2t)cos ( nt) dt]cos (nt)+n(t+2)sen (nt)
cos (nt)+ntsen (nt)2n
((n2 )0
]( n2 )0 +
an=1
an=1
[(cos (n)+nsen (n)1)n2 +(cos(n)+nsen (n)2n2 21)
n2 ]
an=1
[(cos (n)+nsen (n)1)
n2
]E0
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1
(n1)
2a
n
=
bn=2
TT/2
T/2
f(t) sen(n(0t)dt
bn=1
[0
(t
+2)sen(nt)dt+
0
(2t)sen(nt)dt]bn=
1
[0 ]
bn=0
1ue(o-
1
( n1)
(nt)
2(n2
)cos
f( t)=32+
n=1
6 9alle la expansin en serie de Fourier de la funcin peridicaf( t)=t ,"
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*!1U!CIN D* 1O' CO*FICI*NT*'
a0=
2
TT/2
T/2
f(t) dt,T=2"
a0=
2
2 ""
"
f(t) dt
a0=
1
"[""
tdt]
a0=1
"[( t2
2)""
]a0=1
"[0 ]
a0=0
an=2
TT/2
T/2
f(t) cos (n(0t)dt,(0=2
T=
2
2 "=
"
an=1"[""
tcos (n(0 t)dt]an=
1
"[(cos (nt( )n2 (2 + tsen (nt( )n( )""
] , (0=(
an=1
"[0 ]
an=0
bn=2
TT/2
T/2
f(t) sen(n(0t)dt
EE
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bn=1
"[""
tsen(n(0t)dt],(0=(
bn=
1
"
[(sen (nt( )
n2 (2 +
tcos (nt( )
n(
)""
]bn=
1
[ 2 sen (n(" )2n("cos (n(" )n2(2 ]
bn=2 sen (n(")
"n2(
2
2cos (n(" )n(
1ue(o-
+( 2sen ( n(")"n2(2 2cos (n(")
n( ) sen(n(t)0
f( t)=0
2+
n=1
Donde
(0=(=
"
f( t)=n=1
(0+(2 sen ( n)
" n2( ")
2sen(
n
" t)
2cos (n)
2
"
sen(n
" t)))
/ara n par o impar
f( t)=n=1
(2cos (n)sen( nt
" )
2/" )
Como cos (n)=[1 ]n
E
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f( t)=
{
n=1
( 2 sen (nt
" ) "
2 ),n par
n=1
(2sen(
nt
"
)"
2 ) ,nimpar
7 Una funcin peridica de periodo 0L est) de,nida en el periodo5 t 5 # por-
f( t)={0 ,5< t
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a0=
1
TT/2
T/2
f(t) dt
a0=
1
10
[5
0
0dt+
0
5
3dt
]a0=
1
10 [c1+ (3 t)50]a0=
1
10[15+c1 ]
an=1
TT/2
T/2
f(t) cos (n(0t)dt,(0=2
10
an=1
10 [50
0dt+0
5
3cos (n(0t)dt],(0= 22=1
an=1
10 [c2+3 sen (5n (0 )n (0
]
an=1
10
[c2+
3 sen (n)n2
10 ]an=
1
10[c2 ]
bn=1
TT/2
T/2
f(t) sen(n(0 t)dt
E6
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bn=1
10 [50
0dt+0
5
3 sen(n(0t)dt]
3
+
33cos (5n (0 )n(0
c
bn= 1
10
3+33cos (n)
n
5
c
bn=
1
10
Como cos (n)=[1 ]n
3+33(1)n
n
5
c
bn=
1
10
1ue(o-
f( t)=
[15+c1 ]10
+n=1
(c210cos (n (0 t)+c
3
10sen (n (0t)) ,n par
[15+c1 ]10
+n=1
(c210cos (n (0t)+ 110 [c3+ 302]sen ( n (0 t)) ,nimpar
Donde (0=210
O simplemente quedar"a-
f( t)=[15+c1 ]
10+
n=1
(c210 cos (n (0 t)+ 110 [c3+ 33(1)n
n
5 ]sen (n(0 t))
E7
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8 !l pasar u $olta+e senoidal $ sent , a tra$2s de un recti,cador de
media onda se produce una onda como la que se indica en la ,(ura 9alle laexpansin en serie de Fourier
'O1UCIN
Datos-
T=2
f( t)=
{ 0,
t 0
$sen (t) ,0t
*X/!N'IN *N '*RI*' D* FOURI*R
(n(0t)+bn sen(n(0 t)an cos
f(t)= a02 +n=1
a0=
1
TT/2
T/2
f(t) dt
a0=1
T [
0
0 dt+0
$sen(t)dt]E8
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a0=
1
T[c1+ 2$]
a0=
1
T
[c1+2a
]a0=
2 [c1+ 2a]
EJ
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an=1
TT/2
T/2
f(t) cos (n(0t)dt,( 0=2
2
=
an=
2 [0
0dt+0
$sen(t)cos ( n (0 t) dt] , (0=2
2=1
an=
2 [c2+1 [( $2 (n+1 ) $2 (n1 ))cos (n )+ $2 (n+1 ) $2(n1 )]]an=
c2
2+
$
2
[(
1
2
(n+1
)
1
2
(n1
))(1)n+
1
2
(n+1
)
1
2
(n1
)]an=
c2
2+
$
2( 12 (n+1 ) 1
2 (n1 )) (1n+1 )
an={ c2
2+
$
( 12 (n+1 ) 12 (n1 )) ,n par c
2
2 ,nimpar
bn=1
TT/2
T/2
f(t) sen(n(0t)dt
bn=
2 [
0
0dt+0
$sen(t)sen(n (0 t)dt]3+ $ (
1
2 (n+1 ) 1
2 (n1 ))sen(n)
c
bn=
2
/ara n par o impar
bn=c
3
2
1ue(o-
L
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(n(t) c2
2+
$
2( 12 (n+1 ) 1
2 (n1 )) (1n+1)cos (n(t)+ c3
2 sen
f( t)=
c1
2 +$
+n=1
R*F*R*NCI!'
*spino%a# R .LL. Anlisis Matemtico I>% *ditorial 'er$icios
=r),cos- 1ima /p 77.G776 ames# = .LL. Matemticas a#an6adas para in&enieros% /earson
*ducation- >2xico# /p .J5GELL Urtea(a# 9 .L05Anlisis Matemtico III% Reyes# = 0JJ6 Armnicas en sistemas de distri-ucin elctrica%
Tesis de =rado U!N1 Dariel# sf Armnicos en sistemas elctricos% Disponible-
&ttp-YYin(enierosesY,lesYproyectosY!rmonicosZenZsistemasZelectricos