TEORIA DE
COLAS
TEORIA DE COLAS
Definición, elementos de un modelo de colas, tipos.
Características: Distribución de llegadas,
distribución de tiempos de servicio,
Canales de servicio, disciplina del servicio, número
máximo de clientes permitidos,
Fuente o población. Notación de Kendall.
Sistemas de colas M/M/1, M/M/1/K, M/M/C.
Parámetros y medidas de rendimiento.
Se define como una línea de clientes en espera,que requieren atención de uno o más servidores.
Esta se forma además en aquellas situaciones enlas que la demanda excede la capacidad delsistema para atenderla, pues los servidores estánocupados y los clientes que entren al sistema nopueden ser atendidos en ese instante.
Cola
Conociendo el tamaño de la población que desea acceder alservicio, es necesario conocer la longitud del intervalo detiempo entre llegadas, pues este es un factor importante en eldesempeño del servicio y el tamaño de las colas.
Generalmente, la distribución que sigue la variable querepresenta el tiempo entre llegadas es la exponencial deparámetro λ .
Tasa de llegadas = Tiempo entre llegadas de los clientes
Tasa de llegadas
Tasa de llegadas = λ
Este elemento está referido a la duración del tiempo deatención de cada cliente.
Dependerá no solo del tipo de transacción o servicio que serecibe, sino de la eficiencia de la persona encargada debrindarlo. Esta puede ser consecuencia tanto de la experiencia(o falta de esta) como de la situación del sistema en eseinstante, pues un servidor suele realizar la operación demanera más rápida al notar la existencia de una cola detamaño considerable, aunque esto pueda tener efectosnegativos en la calidad del servicio mismo (por ejemplo, no serealiza de la forma adecuada, con errores, o la percepción delcliente refiere a que la atención fue demasiado impersonal).
Tasa de servicio
Tasa de servicio = u
Las Líneas de espera, filas de espera o colas de espera, sonrealidades cotidianas:
• Personas esperando para realizar sus transaccionesante una caja en un banco.
• Estudiantes esperando por obtener copias en lafotocopiadora.
• Vehículos esperando pagar en una estación de peajeo continuar su camino, en un semáforo en rojo.
• Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.
Terminología para las líneas de espera
Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tantoen las áreas de Manufactura como en las de Servicio.
Los Análisis de Colas relacionan:
- La longitud de la línea de espera (cola).- El tiempo promedio de espera.- La conducta de los usuarios a la llegada y en la cola.
Los análisis de colas ayudan a entender el comportamiento deestos sistemas de servicio (la atención de los cajeros de unbanco, actividades de mantenimiento y reparación demaquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).
Terminología para las líneas de espera
Desde la perspectiva de la Investigaciónde Operaciones, los pacientes que esperan seratendidos por el odontólogo o las prensasdañadas esperando reparación, tienen mucho encomún. Ambos (gente y máquinas), requierende recursos humanos y recursos materialescomo equipos para que se los cure o se los hagafuncionar nuevamente.
Terminología para las líneas de espera
Terminología para las líneas de espera
Situación Clientes Servidores Servicio
Espera de clientes en un supermercado
Clientes que esperan para pagar
Cajas registradoras
Cobro de la compra
Automóviles en un taller
Automóviles averiados
Mecánicos o equipos de mecánicos
Reparación del automóvil
Servicio de mantenimiento
industrial
Máquinas averiadas o en mantenimiento
Equipos de mantenimiento
Reparación de la máquina
ClientesSalida
Tasa deLlegadas:
λ Configuración /Disciplina / Capacidad
Tasa de
Servicio: u
Abandono
RenunciaPOBLACIÓNPOTENCIAL
COLA SERVICIO
Si
No
SISTEMA
Terminología para las líneas de espera
¿NecesidadFutura?
Terminología para las líneas de espera
Centro Emisor
(finito/infinito)
Ley de
llegada
Ley de
servicioSistema
Fila
(finita/infinita)
Servicio
(varios servidores)
Un proceso básico de filas se tipifica por:
• Fuente de entrada o población potencial.
• Cliente.
• Capacidad de la fila.
• Disciplina de la fila.
DEFINICIONES
Los clientes arriban (llegan) para ser atendidos de unamanera programada o de una manera aleatoria.
Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos
son independientes de otros y su ocurrencia no puede serpredicha exactamente.
Frecuentemente el número de arribos por unidad de tiempopuede ser estimado por medio de la Distribución dePoisson.
Centro emisor: patrón de llegada o arribo
La tasa de llegadas aleatoria sigue una ley deprobabilidad, denominada ley de llegada.
En ocasiones, puede ser más conveniente definir laley de llegada por los tiempos entre llegadas.
En un caso general, la tasa media de llegadas alsistema puede ser función de los “n” clientes que seencuentran en el interior del sistema y se representa
por λ.
Centro emisor: patrón de llegada o arribo
Población infinita o ilimitada
Cuando el número de clientes o arribos en unmomento dado es una pequeña parte de losarribos potenciales.
Ejemplo
Vehículos que pasan por una caseta de peaje;clientes que ingresan a un supermercado.
Centro emisor: tamaño de la población
Población finita o limitada
Cuando se tienen muy pocos servidores y elservicio es restringido.
Ejemplo
Pacientes hospitalizados en un pabellón de unaclínica; máquinas fotocopiadoras que esperanrecibir mantenimiento en una empresa.
Centro emisor: tamaño de la población
La mayoría de los modelos de colas asume que losclientes son personas pacientes, o sea queesperan en la cola hasta ser servidos. En lapráctica, la gente se aburre. Aquellas personas quese impacientan por la espera, se retiran de la colasin iniciar su transacción.
Esta situación sirve para acentuar la necesidadde estudiar los sistemas de colas y el análisis de laslíneas de espera, ya que un cliente no servido esun cliente perdido y da malas referencias delnegocio.
Centro emisor: comportamiento de las llegadas
En el servicio son importantes:
• La configuración del sistema de servicio.
• El patrón del tiempo de servicio.
Servicio
Los sistemas de servicio se clasifican enfunción de:
• El número de canales (servidores).
• El número de fases (número de paradas quedeben hacerse durante el servicio).
Servicio: configuración del sistema de servicio
Según el número de canales:
• Sistema de cola de un solo canal.
• Sistema de cola multicanal.
Según el número de fases:
• Sistema de cola de una sola fase.
• Sistema de colas multifase.
Servicio: configuración del sistema de servicio
Sistema de un canal y una fase
Llegadas
Unidades
servidasDispositivo
de servicio
Cola
Sistema de servicio
Bahía
Línea de espera de
los barcos
Barcos en
el mar
Sistema de descarga de barcos Barcos
vacíos
Sistema de un canal y varias fases
Coches y
comida
Llegadas
Unidades
servidasDispositivo
de servicio
Cola
Sistema de servicio
Coches en cola
Coches
en el área
Ventanilla de servicio a automóviles de McDonald´s
Pago
Dispositivo
de servicio
Recojo
Sistema de varios canales y una fase
Llegadas
Unidades
servidasDispositivo
de servicio
Cola
Sistema de servicio
Ejemplo: los clientes del banco esperan en una única cola para ser
atendidos en alguna de las diferentes ventanillas.
Dispositivo
de servicio
Dispositivo
de servicio
Dispositivo
de servicio
Sistema de dos canales y dos fases
Dispositivo
de servicio
Llegadas
Unidades
servidasDispositivo
de servicioCola
Sistema de servicio
Dispositivo
de servicio
Ejemplo: en una lavandería, los clientes utilizan una de las
diferentes lavadoras y después, una de las diferentes
secadoras.
Dispositivo
de servicio
Un sistema de líneas de espera se tipifica por:
• Capacidad del sistema
• El centro emisor de los clientes a servir (fuente de entradao población potencial).
• Las condiciones en las que se desarrolla el proceso deespera en la fila (capacidad, disciplina).
• Las características del servicio (número de canales y deetapas)
• Patrones o leyes de llegada y de servicio que gobiernan elsistema de colas.
DEFINICIONES
Los patrones de tiempos de servicio son similares a lospatrones de tiempo de llegada. Pueden ser constantes oaleatorios.
Si el tiempo de servicio es constante, toma la mismacantidad de tiempo atender a cada cliente. Es comúncon servicios dados por medio de máquinas.
Ejemplo.- lavadora automática de carros.
Servicio: patrón del tiempo de servicio
Proceso de espera
Entrada
Fila única
Clientes
Servidores
Ejemplo:
- Cines- Bancos- Cajas rápidas
Proceso de espera
Filas múltiples
Clientes
Servidores
Ejemplo:
- Peaje- Cajas de supermercado- Dispensadores de combustible en gasolineras- Atención en farmacias
Proceso de espera
Serviciocon ticket de
atención
3 4
8
2
6 10
12
115
79
Servidores
Clientes
Ejemplo:
- Cajas de los bancos- Módulos de atención en entidades
públicas (Sunat, Sunarp, etc.)
Las características de las filas deespera son:
• Longitud de la cola.
• Disciplina de la cola.
Proceso de espera
• Cola limitada es aquella que porconsideraciones físicas no puedeincrementarse a tamaños mayores.
Ejemplo.- una peluquería que tiene pocospeluqueros y sillas para atender.
• Cola ilimitada es aquella que tiene un tamañono restringido.
Ejemplo.- una caseta de peaje que atiende a losvehículos que transitan por una carretera.
Proceso de espera: longitud de la cola
• El comportamiento de los clientes que alobservar una larga cola abandonan lasinstalaciones.
Ejemplo.- cines.
• Negocios con capacidad limitada.
Ejemplo.- un taller de reparación deautomóviles.
Mediante modelos de cola limitadapodemos representar:
Es el orden en que se seleccionan susmiembros para recibir el servicio. Puede ser:
FIFO
LIFO
PROCESSOR SHARING (el sistemaes el que atiende a sus clientes deacuerdo a las prioridades programadas)
DISCIPLINA DE LA COLA
La mayoría de los sistemas usan la regla FIFO(Primero en Entrar Primero en Salir).
Ejemplo.- las cajas rápidas en lossupermercados.
Pero no siempre se emplea la regla FIFO.
Ejemplo.- área de emergencia de un hospital,donde la atención depende de la gravedad delas lesiones de la persona que arribó porauxilio médico.
Proceso de espera: disciplina de la cola
En muchos sistemas de colas se establece unsistema de prioridades.
Ejemplo.- en un aeropuerto internacional,las autorización para el despegue o aterrizajedependen de la torre de control.
Proceso de espera: disciplina de la cola
Para definir un sistema de prioridades esnecesario:
• Definir varios grupos de clientes a servir.
• Cada cliente que llegue al sistema debeasignarse a uno de los grupos establecidos.
• Establecer prioridades.
Existen dos tipos de prioridades:
• Sin interrupción.
• Con interrupción.
Proceso de espera: disciplina de la cola
o Prioridad sin interrupción
En primer lugar, se atenderán los clientes delprimer grupo que tiene la prioridad más alta.Sólo cuando no haya ningún cliente de esegrupo por atender, se pasará a atender a losclientes del segundo grupo, y asísucesivamente.
Proceso de espera: disciplina de la cola
o Prioridad con interrupción
Si se están atendiendo clientes de grupos dedeterminadas prioridades y llega un cliente deun grupo de prioridad más alta, se interrumpeel servicio del cliente de baja prioridad paraatender a la de alta. Una vez atendida ésta, sesigue sirviendo al cliente de baja prioridad, sino llegan más clientes de prioridad más alta.
Proceso de espera: disciplina de la cola
(1/2/3/4/5/6)
Notación Kendall-Lee
Kendall (1951) propuso una notación parasistemas de colas que ha sido adoptadouniversalmente.
Esta notación está basada en el formato siguiente:
(1/2/3/4/5/6)
Notación Kendall-Lee
1. LEY DE LLEGADA
Y el valor medio de la tasa de llegadas cuando hay n
clientes en el sistema n.
Los tiempos entre llegadas son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y regidos por una Distribución exponencial (M), determinística (D), Erlang con parámetro de forma K (Ek) o general (G).
(1/2/3/4/5/6)
Notación Kendall-Lee
2. LEY DEL SERVICIO
Y el valor medio de la TASA DE SERVICIO cuando hay
n clientes en el sistema n .
Los tiempos entre llegadas son variables aleatoriasindependientes e idénticamente distribuidas y regidos poruna Distribución exponencial (M), determinística (D),Erlang con parámetro de forma K (Ek) o general (G).
(1/2/3/4/5/6)
Notación Kendall-Lee
3. N° SERVIDORES EN PARALELO
(1/2/3/4/5/6)
Notación Kendall-Lee
4. DISCIPLINA DE LA COLA
• PEPS (Primero en Entrar Primero en Salir)
• UEPS (Último en Entrar Primero en Salir)
• SOA (Servicio en Orden Aleatorio)
• DG (Disciplina General)
(1/2/3/4/5/6)
Notación Kendall-Lee
5. TAMAÑO MÁXIMO DEL SISTEMA DE COLAS (k)
Infinito (∞) si el modelo es de cola infinita.
(1/2/3/4/5/6)
Notación Kendall-Lee
6. TAMAÑO DEL CENTRO EMISOR (m)
Infinito (∞) si el modelo es de población infinita.
(1/2/3/4/5/6)
Notación Kendall-Lee
(M/M/1/DG//): Tiempos entre llegadas y
tiempos de servicio sondistribuidosexponencialmente.
Un único servidor.
Disciplina de la cola esGeneral.
Capacidad de colailimitada.
Llegadas de una poblacióninfinita.
Notación Kendall-Lee
Medidas de eficacia de un sistema de colas
Definiciones imprescindibles:
: El número promedio de clientes que llegan al sistema por unidad de tiempo.
: El número promedio de clientes que son servidos por unidad de tiempo. : Tasa de utilización L : Número promedio de clientes en el sistema. Lq : Número promedio de clientes en la cola. Ls : Número promedio de clientes en el servicio. La relación entre las cantidades de clientes es: L = Lq + Ls W : Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema. Wq : Tiempo promedio que cada cliente permanece en la cola. Ws : Tiempo promedio de permanencia en el servicio. La relación entre los tiempos es: W = Wq + Ws Po = Probabilidad de hallar el sistema vacío u ocioso.
DEFINICIONES Y FORMULAS DE TEORIA DE COLAS
DEFINICIONES Y FORMULAS DE TEORIA DE COLAS
PROBLEMA RESUELTO
Problema
La cola rápida de un supermercado atiende sólo clientes
con 10 artículos o menos, y como resultado, es mucho más
veloz para los clientes preferenciales que las colas
normales. El gerente ha estudiado esta cola y ha
determinado que los clientes llegan de acuerdo a un
proceso Poisson con tasa media de 30 clientes por hora
y que, el tiempo necesario para que un cliente sea
atendido tiene una distribución Exponencial con media de
1 minuto.
PROBLEMAS
Se pide calcular:
a) Número promedio de clientes en el sistema y haciendo
fila.
b) La fracción de clientes que deben esperar en la cola.
c) Tiempo total que consume un cliente en el sistema.
d) El tiempo medio de estancia de los clientes en la cola.
e) Fracción de tiempo que los clientes deben esperar en la
cola.
f) El porcentaje de tiempo que el sistema está ocupado y
desocupado.
g) Probabilidad de que se encuentre tres clientes en el
sistema.
PROBLEMAS
SOLUCIÓN:
PROBLEMAS
PROBLEMAS
PROBLEMAS
PROBLEMAS
Adicionalmente se pide:
h) En promedio, ¿A cuántos clientes se está
atendiendo o se están esperando?
i) En promedio ¿Cuánto debe esperar un cliente antes
de poder retirarse?
PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema 1
En el mostrador de libros de una biblioteca, los estudiantes que se
retiran deben abrir sus mochilas, maletines, bolsas, portafolios, etc.,
para que el vigilante verifique si no hay robos de libros, revistas o
documentos. El tiempo que se requiere para hacer esta verificación
tiene una distribución Exponencial con media de 0.75 minutos. Se ha
determinado que los estudiantes llegan de acuerdo a un proceso de
Poisson con una tasa media de 15 por hora.
a) Hallar los valores de y .
b) ¿Qué tiempo le llevará a un estudiante pasar por la revisión?
c) ¿En promedio, cuántos estudiantes se encuentran esperando en
cola en cualquier momento?
d) Durante qué fracción de tiempo estará libre el vigilante que revisa
las bolsas para poder dedicarse a estudiar?
PROBLEMAS
Problema 2
Un autocinema tiene 3 taquillas, cada una de las cuales atiende
una cola de clientes. Los automóviles llegan al autocinema de
acuerdo a un proceso de Poisson con tasa media de 60 por hora
y cada taquilla tiene un tiempo de atención de acuerdo a una
distribución Exponencial con media 0.75 minutos.
Responder:
a) ¿Qué tipo de cola es este?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que, si consideramos una sola de
las taquillas se encuentre desocupada? ¿Cuál es la probabilidad
de que se esté atendiendo a 2 automóviles?
PROBLEMAS
c) ¿Cuál es el número promedio de automóviles en cada una de
las taquillas?
d) ¿Cuál es el tiempo promedio que un automóvil espera antes
de llegar a la taquilla?
e) Si el autocinema decide utilizar una sola cola para la venta de
todos los boletos de las tres taquillas, ¿Qué característica de
operación esperaría usted que cambiará más?