8/17/2019 Teste5 Asa
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n .?
5
atemática A
uração do teste: 90 minutos
Ano de Escolar idade
GRUPO I
s cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das q
ma está correta.
screva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente
à
opção que
ar para responder a esse item.
e apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontec
e a letra transcrita for ilegível.
ão apresente cálculos, nem justificações.
Num determinado dia, de uma turma com 28 alunos só
±
fez o trabalho de casa da disciplina de M
tica. A professora vai ver ao acaso o caderno de seis destes alunos.
Qual é a probabilidade de apenas um deles ter feito o trabalho de casa?
21 21 1
A) ~ B) 7x C
s
C) _
~~ ~~
O)_7_
28
C6
De duas funçõesje g sabe-se que j(x xy)
=
j( x)+ j(y ) e g(x+ y)
=
g(x)xg (y ), para quaisque
números reais positivos x e
y.
Quais das seguintes expressões podem representar as expressões analíticas de je g?
A) j(x)= e
x
e g(x)=lnx
(B)
j(x)= lnx
e
g (x)= e
x
O
j(x)= .Jx
e
g(x)= x2
C)
j(x)= x2
e
g(x)= .Jx
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Na figura está parte da representação gráfica de uma função
fde
domínio
1R \{ 0 }.
y
As retas de equação x = O,x = 1 e
y
= x são assíntotas do gráfico de
Seja a . = l n [ 1 + ~ r ] .
o
valor de
Ilmf a.)
é
A O 8 -00
(C) 1 (O) +00
Sejafuma
função de domínio
1R+ .
Sabe-se que a reta de equação
y
=
-2
é uma assíntota do grá
l n ~ )
de Então, pode concluir-se que lim _ x é igual a:
x-++oo
x
(A) +00
8) -00
C ) O
O) -3
Na figura está representada a função
e a reta
r
tangente ao seu gráfico y
no ponto de abcissa 1.
Sabendo que g(x )=-(2-x)2 , qual é o valor de (~ )'(1)?
A) 2
8) -2
C)~
4
(O)~
4
RUPO
Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos
tiver de efetuar e todas as justificações necessárias .
tenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.
Na inauguração de uma perfumaria ofereciam-se amostras de um determinado perfume. Preten
saber se este facto teria influência na sua compra. Fez-se uma sondagem e concluiu-se que:
• 40% das pessoas não sabiam desta iniciativa;
• 55% das pessoas compraram o perfume;
• duas pessoas em cada três das que sabiam da iniciativa compraram o perfume.
Qual
é
a probabilidade de uma pessoa, que não saiba desta iniciativa, comprar o perfume?
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
Numa prateleira dessa mesma perfumaria encontravam-se 2 frascos de perfume da marca A,
cos da marca 8 e 4 frascos da marca C, todos distintos entre si.
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Considere a funçãoj, de domínio ]-oo,e[\{O}, definida por:
x ) = l
e
- ~ + x
1-lnx
se
x
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Sem recorrer à calculadora, estude a função h quanto à monotonia e conclua daí que, tal co
figura sugere, é num ponto equidistante das duas colunas que a altura da rampa é mínima. .-
Mostre, analiticamente, que
h - X ) = = h + X ) .
Interprete esta igualdade no contexto da sit
descrita.
Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função g.
x
Sabe-se que:
• g
é
uma função contínua em ]R;
• g não tem zeros;
• a primeira derivada,j', de uma certa função
jtem
domínio ]R e
é
definida por:
j x ) g x ) x _ x 2 + S x - 4 )
• j 1 ) x j 4 ) < O .
Apenas uma das opções seguintes pode representar a função
(I)
1 1
y
y
x
x
1 1 I (IV) y
x
y
Elabore uma composição na qual:
• indique a opção que pode representar j,
• apresente as razões que o levam a rejeitar as restantes opções.
Apresente três razões, uma por cada gráfico rejeitado.
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roposta de resolução
GRUPO I
o
número de casos possíveis
é
28 C
6
.
O número de casos favoráveis
é
7 x
21C5 ,
pois 7
é
o número de maneiras diferentes de
escolher um de entre os sete alunos que fez
o trabalho de casa; e por cada uma dessas
maneiras existem
21
C
5
maneiras distintas de
escolher 5 alunos de entre os 21 que não fez
os trabalhos de casa.
21
Assim, a probabilidade pedida é
7 ; 8
C
5.
C
Resposta B
Sejaj(x) = lnx. Então:
j x x y ) = l n x x y )
= l n x + l n y
= j x ) + j y ) , v x , y E jR+
Seja g
(x ) = e
X
• Então:
g x + y ) = e
X
+
Y
=
g x )
x
g y ) , v x , y E jR+
Resposta B
1 + ~ r ~e-
l n 1 + ~ r ~ 1 -
A sucessão de termo geral 1 + ~
r
tende para 1 ,
por valores inferiores a 1, pelo que
4. Dado que a reta de equação y = -2
é
as
do gráfico deje Df jR+, conclui-se que
l i m j x )
=
-2.
x
Assim:
l n l ) l i m l n l ) l n _ 1 ) l n
1
. x _ x -- ++ oo
X _ 00_
1m --- - ---
x -- ++oo
j x )
l i m
j x )
-2
x
-00
= - = + 0 0
Resposta A
5 . K ) 1 ) = g 1 ) x j 1 ) - g 1 ) x j 1 )
j [ j 1 ) t
_ 2x2- -1 x -1 4-1_~
4 4 4
Cálculo auxiliar:
g x )
= -2 2-
x ) - 1 )
= 2 2 - x )
= 4 - 2 x
g 1 ) = 4 - 2 = 2
g 1 ) = - 2 - 1 ) 2 = - 1
j 1 ) = m t = 0 - 2 = _ 1
3-1
Resposta O
GRUPO 11
1.1. Considere os acontecimentos:
S: saber da iniciativa
c:
comprar o perfume
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• p
c) = 0,55,
logo p C
= 0,45.
2
• p c l S =-
3
( )
_ 2 p C
n
S) _ ~
P
Cls 3Ç=} p s -
3
2 6
Ç=}p cns =-x-
3 10
2
Ç=}p Cn s) = 5
Ç=}p cn s) =0,4
Organizando os dados numa tabela, obtém-se:
C
C Total
S
0,4
0,6
S -Q ,1 5\
0,4
-
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b= x~Jt(x)-x]= X ~ ., [e- ;+x-x
1
=lime
x
=1
x~-oo
A reta da equação
y
=
x
+ 1 é uma assíntota
oblíqua do gráfico
dej
quando
x --
-00 .
é contínua em
]-00
O [ por, neste intervalo,
se tratar da soma de duas funções contínuas,
uma que é a composta de uma função expo-
nencial com uma função racional e a outra
que é uma função polinomial.
Em particular,f é contínua em [-2, -1].
1 1
f( -2 )= e -
2
+ (-2 )= e
2
-2= ); -20
f( -2 )x f ( -1)
00
X x->
00 g
X )
X
X x->
00 g
=
lim
_1_=_1_=2
x->+oo g (x )
O,S
x
b
=
lim [ h ( x ) - 2 x ]
=
lim [ x (2 ) - 2 X ]
x->
00
x->
00 g X
=
lim x
2
-2 xg (x )
= _
lim 2 x (g (x )-~ x
x->+oo g
x
x-> 00 g
x
=-2
lim ~ x lim [ g ( x )-O ,Sx ]
x->
00 g
X x-> +00
=-2
lim _ 1 x lim
[ g ( x )-O ,Sx]
x-> 00 g
X
x-> +00
x
1
=-2x-xO=0
O,S
y = 2 x
é uma assíntota não vertical do
de h.
4.
h(x )= 6-2 ln ( -x
2
+ Sx+ 6)
Dh
=[O
-2 ( -x 2 + 5x+ 6) -2 ( -2 x+ 5)
h ( x ) =
2
=
-----,2~-...
-x + 5x+ 6 -x + 5x+
4x -10
=
_x
2
+ 5x+ 6
4.1.
h (x )= O
4x -10 =O /\ _x
2
+Sx+ 6 ;t: O
10
Ç= }X = - /\ (x ; t :- 1 /\ x ; t :6)
4
S
Ç= }X = -
2
Cálculo auxiliar:
_x
2
+ Sx+ 6
= O
Ç=}
x
= -S ± ~r-2S---4-x- ( ---6--:-)
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5
O
2
5
4x-10
-
-
O
+
+
-x+ 5x+ 6
+ +
+ +
+
Sinal de h
-
-
O
+
+
Sentido de
- ,
M
m
M
variação de
h
A função atinge o mínimo em
x
=
.
Confirma-se assim que é num ponto equidis-
tante das duas colunas que a altura da rampa
é mínima.
h
é estritamente decrescente em [O, ] .
h é estritamente crescente em [%,5}
Para qualquer
x
E
[O, ] , tem-se que:
h - X ) = h + X )
~
- 2 m [ - - x r + 5 - + +
=
- 2 m [ - + x r
+ 5 + X
H
Ç::> _ 2ln[ _(2:
-5x+x
2
)+
2;
-5x+
6 ]
=
= -21n[ -( 2:
+5x+x
2
)+
22
5
+
5x+
6 ]
Ç::> ln (- ~5 + ~ -
x2
+ 22
5
- ~ + 6) =
= ln (- 24
5
- ~ -
x
2
+ 22
5
+ ~ + 6)
Ç::> ln -x2 +
24
5
+
6)
=
ln(
_x
2
+
2:
+
6)
49
49
Esta igualdade é sempre verdadeira, ta
se queria mostrar.
A igualdade h - X ) = h + X ) traduz
seguinte facto:
Pontos equidistantes (para a esquerda
a direita) do meio da rampa estão à
altura.
Aopção que pode representar a funçãojé
Pode-se excluir a opção (A), pois, pelo f
f estar definida em R em particular,j é
vel, logo contínua.
A opção (C) também
é
excluída porq
respeita o sentido de variação da funç
sentido de variação da função
é obtid
estudo do sinal da primeira derivada
Pelo facto da parte do gráfico de g visu
estar acima do eixo das abcissas, tem-
g x > O \fx E I R .
Assim, o sinal de
j
é dado pelo sinal
_x2 + 5x -
4 )
obtido no seguinte esboço
Assim, rejeita-se a opção (C), pois, po
plo, no intervalo
[1,4],
e função é estrita
decrescente e o esboço apresentado
que deveria ser estritamente crescente.
Exclui-se a opção (D), visto que, por
zação gráfica, as imagens de 1 e 4 têm
iguais, logo j 1)xj 4»0, o que con
condição dada, j 1)xj 4)
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