Tiempo Discreto:Uso en Matlab
Jorge Rodrıguez E. Adriana Rojas M. Josue Rojas V.
Instituto Tecnologico de Costa RicaEscuela de Ingenierıa Electronica
EL5409 - Laboratorio de Control Automatico
7 de mayo de 2020
Sistemas DiscretosEstabilidad de los sistemas en tiempo discreto
Metodos para probar la estabilidad absolutaBibliografıa
Contenidos
1 Sistemas Discretos
Discretizaciones aplicadas
Respuestas a entradas en lazo cerrado
2 Estabilidad de los sistemas en tiempo discreto
Lugar de Raıces
3 Metodos para probar la estabilidad absoluta
Metodo de Jury
Criterio de Routh Hurwitz
4 Bibliografıa
Jorge Rodrıguez E., Adriana Rojas M., Josue Rojas V. Tiempo Discreto: Uso en Matlab
Sistemas DiscretosEstabilidad de los sistemas en tiempo discreto
Metodos para probar la estabilidad absolutaBibliografıa
Discretizaciones aplicadas
Sistemas Discretos
Las variables dependientes estan definidas solamente en momentosespecıficos de tiempo. Su modelo se basa en ecuaciones de diferen-cias. Se pueden subdividir en:
Sistema de control de datos muestreados (senales en forma depulsos).
Sistema de control digital (senales estan en codigo digital).
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Metodos para probar la estabilidad absolutaBibliografıa
Discretizaciones aplicadas
Tratamiento de funciones de transferencia en Matlab
Discretizacion de un modelo en tiempo continuo, cuya funcion detransferencia viene dada por los polinomios numerador y denomi-nador. Como tercer parametro se especifica el periodo de muestreo[1].
El comando a utilizar es:
[Nz,Dz] = c2d (N,D, Ts,metodo)
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Discretizaciones aplicadas
Metodos
En el comando anterior, el ultimo parametro proporciona una cade-na de caracteres que indica el metodo de discretizacion [1] [2], lasposibilidades son:
Metodo Usozoh Discretizacion utilizando mantenedor de orden cero (ZOH)
foh Discretizacion utilizando mantenedor de orden uno (FOH)
tustin Discretizacion mediante aproximacion trapezoidal
prewarp Discretizacion trapezoidal con prewarping
impulse Discretizacion de Impulso invariante
least-squares Metodo de mınimos cuadrados
matched Discretizacion mediante emparejamiento de polos y ceros
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Discretizaciones aplicadas
Mantenedor de orden cero (ZOH)
Mantiene constante la senal entre muestra y muestra. Es el mas usa-do por su sencillez y porque suele venir incluido en los convertidoresanalogico-digital. [3]
Mantenedor de orden uno (FOH)
La interpolacion entre periodos de muestreo se hace en forma trian-gular, se basa en obtener la derivada en la muestra exacta, paracalcular la pendiente entre muestra y muestra el cual crea una rectacon la pendiente obtenida anteriormente.[3]
Aproximacion trapezoidal (Tustin)
Se hace la aproximacion de la integral por el area del trapecio.[3]
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Discretizaciones aplicadas
Ejemplo:
Utilizando la Funcion de Transferencia en Lazo Abierto G(s) definidacomo:
Figura 1: Funcion de Transferencia en lazo abierto, en tiempo continuo
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Discretizaciones aplicadas
Mantenedor de orden cero (ZOH)
Figura 2: Funcion de Transferencia en lazo abierto, en tiempo discretopor mantenedor de orden cero (ZOH)
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Discretizaciones aplicadas
Mantenedor de orden uno (FOH)
Figura 3: Funcion de Transferencia en lazo abierto, en tiempo discretopor mantenedor de orden uno (FOH)
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Discretizaciones aplicadas
Aproximacion trapezoidal (Tustin)
Figura 4: Funcion de Transferencia en lazo abierto, en tiempo discretopor aproximacion trapezoidal (Tustin)
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Discretizaciones aplicadas
Otras funciones a considerar [2]:
Metodo Uso
dstep(Nz,Dz)Calcula la respuesta temporal de un sistema discreto a una secuencia escalon. Esta funcion dibuja directamente la respuesta.Esta representacion no tendra en el eje horizontal valores temporales absolutos, sino que apareceran multiplos del periodo de muestreo.
stairs(y)Para obtener una respuesta con la forma escalonada tıpica de sistemas digitales, simulando que la salida se mantieneconstante entre dos periodos de muestreo, basta con reemplazar la instruccion plot(y,’.’) por stairs(y)
dimpulse(Nz,Dz) Version discreta de impulse
dlsim(Nz,Dz) Version discreto de lsim
[mag,phase] = dbode(Nz,Dz,Ts,w)Calcula el diagrama de bode de un sistema en tiempo discreto. Siendo w un vector con las frecuenciasdonde queremos que se evalue en magnitud y fase de la funcion de transferencia
rlocus (Nz,Dz);zgrid
Se calcula igual que en dominio s, usando rlocus. Sin embargo, usa una rejilla distinta para que la representacion tenga encuenta el cırculo de radio
dnyquist y dnichols
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Lugar de Raıces
Analisis de estabilidad en sistemas de lazo cerrado
Figura 5: Diagrama de bloques en lazo cerrado
Considere la siguiente ecuacion la cual describe el sistema realimen-tado:
C(z)
R(z)=
G(z)
1 +G(z)H(z)(1)
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Lugar de Raıces
Ası como su ecuacion caracterıstica:
P (z) = 1 +G(z)H(z) = 0 (2)
La estabilidad de un sistema como el anterior, se puede determinarpor la localizacion de los polos, por las raıces de las ecuaciones 1 y3.
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Lugar de Raıces
Condiciones:
1 Los polos de la ecuacion 1 o las raıces de la ecuacion 3 debenestar en el circulo unitario en el plano z
2 Un polo en z = 1 o si un par de polos conjugados sepresentan sobre el circulo unitario, se determina al sistemacomo crıticamente estable [4]
3 Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta
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Lugar de Raıces
Respuestas a entradas en lazo cerrado
Mediante el comando “feedback” se realiza una retroalimentacionunitaria. Ademas, los comandos “dstep” y “dimpulse” se determinala respuesta a una entrada escalon e impulso, respectivamente.
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Lugar de Raıces
Script para discretizacion
Figura 6: Comando para ZOH en lazo cerrado
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Lugar de Raıces
Respuesta al escalon para ZOH
Figura 7: Respuesta al escalon para ZOH en lazo cerrado
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Lugar de Raıces
Respuesta al escalon para FOH
Figura 8: Respuesta al escalon para FOH en lazo cerrado
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Lugar de Raıces
Respuesta al escalon para Tustin
Figura 9: Respuesta al escalon para Tustin en lazo cerrado
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Lugar de Raıces
Respuesta al impulso para ZOH
Figura 10: Respuesta al impulso para ZOH en lazo cerrado
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Lugar de Raıces
Respuesta al impulso para FOH
Figura 11: Respuesta al impulso para FOH en lazo cerrado
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Lugar de Raıces
Respuesta al impulso para Tustin
Figura 12: Respuesta al impulso para Tustin en lazo cerrado
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Lugar de Raıces
Lugar de Raıces
Mediante el comando “rlocus” se determina el lugar de las raıcespara cada metodo de discretizacion.
Solo se agrega zgrid en el Script [1].
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Lugar de Raıces
Lugar de Raıces para ZOH
Figura 13: Lugar de Raıces para ZOH
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Lugar de Raıces
Lugar de Raıces para FOH
Figura 14: Lugar de Raıces para FOH
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Lugar de Raıces
Lugar de Raıces para Tustin
Figura 15: Lugar de Raıces para Tustin
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Metodo de JuryCriterio de Routh Hurwitz
Estabilidad absoluta
Existen dos pruebas a las que se puede someter a la ecuacion carac-terıstica para determinar la estabilidad de un sistema:
Metodo de Jury
Criterio de Routh Hurwitz
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Metodo de JuryCriterio de Routh Hurwitz
Script para estos metodos
Figura 16: Comandos para los metodos de Jury [5] y Routh Hurwitz [6]
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Metodo de JuryCriterio de Routh Hurwitz
Metodo de Jury
Sea la ecuacion caracterıstica:
P (z) = a0zn + azn−1 + ...+ an (3)
Y la tabla para evaluar el criterio de Jury:
Figura 17: Tabla para evaluar el criterio de Jury
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Metodo de JuryCriterio de Routh Hurwitz
Metodo de Jury
Para el metodo de Jury se deben de satisfacer las siguientes condi-ciones para que el sistema sea estable[7]:
El polinomio caracterıstico evaluado en 1 es mayor que cero:p(1) > 0
El polinomio caracterıstico evaluado en -1 es positivo parapolinomios de orden par y negativo para polinomios de ordenimpar:
(−1)n p (−1) > 0
El coeficiente an del polinomio caracterıstico debe ser positivoy mayor que el valor absoluto del coeficiente a0:
|a0| < an > 0
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Metodo de JuryCriterio de Routh Hurwitz
Metodo de Jury
|bn−1| > |b0| , |cn−2| > |c0| , ...
Es decir, todos los coeficientes calculados de la columnaizquierda en las filas impares del arreglo deben tener unamagnitud mayor que el coeficiente mas a la derecha de lamisma fila.
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Metodo de JuryCriterio de Routh Hurwitz
Figura 18: Metodo de Jury (parte 1)
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Metodo de JuryCriterio de Routh Hurwitz
Figura 19: Metodo de Jury (parte 2)
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Metodo de JuryCriterio de Routh Hurwitz
Criterio de Routh Hurwitz
Se realiza el arreglo de Routh, en el cual, para que el sistema seaestable, las valores en las filas deben tener el mismo signo.
Figura 20: Criterio de Routh Hurwitz
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Bibliografıa I
MathWorks. (2020) Convert model from continuous to discrete time.[Online]. Available: https://la.mathworks.com/help/control/ref/c2d.html
M. V. Villanueva. Tutorial de anAlisis y control de sistemas usandomatlab. [Online]. Available:https://www.u-cursos.cl/usuario/f77fc7be176d9b7e1bf51e951eae2753/mi blog/r/Matlab Tutorial Control.pdf
J. Dorsey, Sistemas de Control Continuos y Discretos., 1st ed. McGrawHill, 2005.
K. Ogata, Sistemas de control en tiempo discreto, 2nd ed. PearsonEducation.
MathWorks. (2019, dec) Jury stability criterion by riccardo agnesi.[Online]. Available: https://la.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/72082-jury-stability-criterion
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Sistemas DiscretosEstabilidad de los sistemas en tiempo discreto
Metodos para probar la estabilidad absolutaBibliografıa
Bibliografıa II
MathWorks. (2015, oct) Routh’s array in symbolic wayby carlos m. velezs. [Online]. Available: https://la.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/33926-routh-s-array-in-symbolic-way
E. Interiano. (2020) Estabilidad de los sistemas en tiempo discreto.[Online]. Available: http://www.ie.tec.ac.cr/einteriano/control/clase/05.AnalisisenTiempoDiscreto.pdf
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