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Mrida,Diciembre2010.
Cartas de Control CUSUM, EWMA.Monitoreo y control de procesos convariables mltiplesMtodos Estadsticos II
AnyerCastellano
C.I.16.528.334
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CAPITULO 8. Cartas de control CUSUM y EWMAEjercicio 8.1
Los datos siguientes representan observaciones individuales del peso molecular
tomadas cada hora en un proceso qumico.
Numero deObservacin
X
1 10452 10553 10374 10645 10956 10087 10508 10879 112510 114611 113912 116913 115114 112815 1238
16 1125
17 1163
18 1188
19 1146
20 1167
El valor objetivo del peso molecular es 1050 y se piensa que la desviacin
estndar del proceso es aproximadamente =25.
a) Establecer una cusum tabular para la media de este proceso. Disear la
cusum para detectar con rapidez un corrimiento de aproximadamente 1 enla media del proceso.
=1050
=25
k=1/2 K=k=1/2(1075-1050)=12.5
h=5 H=5=125
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Las cusum unilaterales superior e inferior vienen dadas por:
0,
0, Donde los valores iniciales son: 0Para la primera muestra, sera:
0,1045 105012.5 0 0 0, 105012.5 10450 0
La siguiente tabla muestra el clculo de las cusum unilaterales para cada
observacin:
Tabla1.ClculosdelaCUSUMdelejercicio81
Observacin Xi Xi 1062,5 Ci+ N
+ 1037,5Xi Ci
N
0 0
1 1045 17,5 0 0 7,5 0 0
2 1055 7,5 0 0 17,5 0 0
3 1037 25,5 0 0 0,5 0,5 1
4 1064 1,5 1,5 1 26,5 0 0
5 1095 32,5 34 2 57,5 0 0
6 1008 54,5 0 0 29,5 29,5 1
7 1050 12,5 0 0 12,5 17 2
8 1087 24,5 24,5 1 49,5 0 0
9 1125 62,5 87 2 87,5 0 0
10 1146 83,5 170,5 3 108,5 0 0
11 1139 76,5 247 4 101,5 0 0
12 1169 106,5 353,5 5 131,5 0 0
13
1151
88,5 442 6
113,5
0
014 1128 65,5 507,5 7 90,5 0 0
15 1238 175,5 683 8 200,5 0 0
16 1125 62,5 745,5 9 87,5 0 0
17 1163 100,5 846 10 125,5 0 0
18 1188 125,5 971,5 11 150,5 0 0
19 1146 83,5 1055 12 108,5 0 0
20 1167 104,5 1159,5 13 129,5 0 0
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La figura 1 muestra la representacin grafica de la cusum tabular calculada
anteriormente.
Figura
1.CUSUM
TABULAR
EJERCICIO
8.1
Los clculos de las cusum de la tabla 1 indican que la cusum del lado superior en
el periodo 10 es 170,5. Puesto que se trata del primer periodo en el que 125, se concluira que el proceso est fuera de control en ese punto. Elcontador N
+registra el nmero de periodos consecutivos desde que la cusum del
lado superior subi por encima del valor cero. Puesto que en N+=3 en elperiodo 10, se concluira que la ltima vez que el proceso estuvo bajo control fue
en el periodo 10-3=7, por lo que el corrimiento ocurri posiblemente entre los
periodos 7 y 8.
b) La estimacin de usada en el inciso a) de este problema es razonable?
RM
10
18
27
31
87
42
200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
CUSU
M
CUSUM
CUSUMSuperior
CUSUMInferior
LSC
LIC
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5/31
37
38
21
7
30
18
23
110
113
38
25
42
21
73819 38,8421 38,84211.1280 34,4335
Ejercicio 8.2
Resolver de nuevo el ejercicio 8-1 usando una cusum estandarizada.
=1050
=25
k=1/2 K=k=1/2(1075-1050)=12.5
h=5 H=5=125
Para esta cusum se estandariza la variable:
Por lo tanto las cusum unilaterales se definen como:
0, 0,
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En la tabla 2 se muestran los clculos para cada observacin.
Tabla2.ClculosdelacusumEstandarizada.Ejercicio82
Periodo Yi Yi0,5 Ci+
N+
0.5yi Ci
N
0 0 0 0
1 0,2 0,7 0 0 0,3 0 0
2 0,2 0,3 0 0 0,7 0 0
3 0,52 1,02 0 0 0,02 0,02 1
4 0,56 0,06 0,06 1 1,06 0 0
5 1,8 1,3 1,36 2 2,3 0 0
6 1,68 2,18 0 0 1,18 1,18 1
7 0 0,5 0 0 0,5 0,68 2
8 1,48 0,98 0,98 1 1,98 0 0
9 3 2,5 3,48 2 3,5 0 0
10 3,84 3,34 6,82 3 4,34 0 0
11 3,56 3,06 9,88 4 4,06 0 0
12 4,76 4,26 14,14 5 5,26 0 0
13 4,04 3,54 17,68 6 4,54 0 0
14 3,12 2,62 20,3 7 3,62 0 0
15 7,52 7,02 27,32 8 8,02 0 0
16 3 2,5 29,82 9 3,5 0 0
17 4,52 4,02 33,84 10 5,02 0 0
18 5,52 5,02 38,86 11 6,02 0 0
19 3,84 3,34 42,2 12 4,34 0 020 4,68 4,18 46,38 13 5,18 0 0
Los clculos de las cusum de la tabla 2 indican que la cusum del lado superior en
el periodo 10 es 6,82. Puesto que se trata del primer periodo en el que 5, se concluira que el proceso est fuera de control en ese punto. Elcontador N+=3 en el periodo 10, por lo tanto se concluye que la ltima vez que el
proceso estuvo bajo control fue en el periodo 10-3=7, por lo que el corrimiento
ocurri posiblemente entre los periodos 7 y 8.
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108479 13,7215
13,72151.128 12,1645
b) Establecer y aplicar una cusum tabular para este proceso, utilizando los
valores estandarizados de h=5 y k=1/2. Interpretar esta carta.
H=5=5(12,1645)=60,8223
Tabla3.ClculosdelacusumTabular.Ejercicio87
Observacin Xi Xi 956,08 Ci+
N+
943,92Xi Ci
N
0 0
1 953 3,08 0 0 9,08 0 0
2 945 11,08 0 0 1,08 0 0
3 972 15,92 15,92 1 28,08 0 0
4 945 11,08 4,84 2 1,08 0 0
5 975 18,92 23,76 3 31,08 0 0
6 970 13,92 37,68 4 26,08 0 0
7 959 2,92 40,6 5 15,08 0 0
8
973 16,92 57,52 6 29,08 0 09 940 16,08 41,44 7 3,92 3,92 1
10 936 20,08 21,36 8 7,92 11,84 2
11 985 28,92 50,28 9 41,08 0 0
12 973 16,92 67,2 10 29,08 0 0
13 955 1,08 66,12 11 11,08 0 0
14 950 6,08 60,04 12 6,08 0 0
15 948 8,08 51,96 13 4,08 0 0
16 957 0,92 52,88 14 13,08 0 0
17 940 16,08 36,8 15 3,92 3,92 1
18 933 23,08 13,72 16 10,92 14,84 2
19 965 8,92 22,64 17 21,08 0 0
20 973 16,92 39,56 18 29,08 0 0
21 949 7,08 32,48 19 5,08 0 0
22 941 15,08 17,4 20 2,92 2,92 1
23 966 9,92 27,32 21 22,08 0 0
24 966 9,92 37,24 22 22,08 0 0
25 934 22,08 15,16 23 9,92 9,92 1
26 937 19,08 0 0 6,92 16,84 2
27 946 10,08 0 0 2,08 14,76 3
28 952 4,08 0 0 8,08 6,68 4
29 935 21,08 0 0 8,92 15,6 5
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30 941 15,08 0 0 2,92 18,52 6
31 937 19,08 0 0 6,92 25,44 7
32 946 10,08 0 0 2,08 23,36 8
33 954 2,08 0 0 10,08 13,28 9
34 935 21,08 0 0 8,92 22,2 10
35 941 15,08 0 0 2,92 25,12 11
36 933 23,08 0 0 10,92 36,04 12
37 960 3,92 3,92 1 16,08 19,96 13
38 968 11,92 15,84 2 24,08 0 0
39 959 2,92 18,76 3 15,08 0 0
40 956 0,08 18,68 4 12,08 0 0
41 959 2,92 21,6 5 15,08 0 0
42 939 17,08 4,52 6 4,92 4,92 1
43 948 8,08 0 0 4,08 0,84 2
44 958 1,92 1,92 1 14,08 0 045 963 6,92 8,84 2 19,08 0 0
46 973 16,92 25,76 3 29,08 0 0
47 949 7,08 18,68 4 5,08 0 0
48 942 14,08 4,6 5 1,92 1,92 1
49 965 8,92 13,52 6 21,08 0 0
50 962 5,92 19,44 7 18,08 0 0
51 948 8,08 11,36 8 4,08 0 0
52 937 19,08 0 0 6,92 6,92 1
53 955 1,08 0 0 11,08 0 0
54 927 29,08 0 0 16,92 16,92 1
55 940 16,08 0 0 3,92 20,84 2
56 962 5,92 5,92 1 18,08 2,76 3
57 963 6,92 12,84 2 19,08 0 0
58 943 13,08 0 0 0,92 0,92 1
59 950 6,08 0 0 6,08 0 0
60 938 18,08 0 0 5,92 5,92 1
61 958 1,92 1,92 1 14,08 0 0
62 955 1,08 0,84 2 11,08 0 0
63 947 9,08 0 0 3,08 0 0
64 941 15,08 0 0 2,92 2,92 1
65 938 18,08 0 0 5,92 8,84 2
66 945 11,08 0 0 1,08 7,76 3
67 963 6,92 6,92 1 19,08 0 068 967 10,92 17,84 2 23,08 0 0
69 969 12,92 30,76 3 25,08 0 0
70 981 24,92 55,68 4 37,08 0 0
71 952 4,08 51,6 5 8,08 0 0
72 931 25,08 26,52 6 12,92 12,92 1
73 928 28,08 0 0 15,92 28,84 2
74 937 19,08 0 0 6,92 35,76 3
75 950 6,08 0 0 6,08 29,68 4
76 970 13,92 13,92 1 26,08 3,6 5
77 933 23,08 0 0 10,92 14,52 6
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10/31
78 960 3,92 3,92 1 16,08 0 0
79 934 22,08 0 0 9,92 9,92 1
80 927 29,08 0 0 16,92 26,84 2
Figura3.CUSUMTabularejercicio8.7
Los clculos de las cusum de la tabla 3 indican que la cusum del lado superior en
el periodo 12 es 67,2. Puesto que se trata del primer periodo en el que 60,8223, se concluira que el proceso est fuera de control en esepunto. El contador N+=10 en el periodo 12, por lo tanto se concluye que la ltima
vez que el proceso estuvo bajo control fue en el periodo 12-10=2, por lo que el
corrimiento ocurri posiblemente entre los periodos 2 y 3.
Ejercicio 8.13
Considerar una cusum estandarizada bilateral con k=0.2 y h=8. Usar el
procedimiento de Siegmund para evaluar el desempeo de la ARL bajo control de
este esquema. Encontrar la ARL1 para *=0.5
0
80
60
40
20
0
20
40
60
80
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77CUSUM
CUSUM
CUSUMSuperior
CUSUMInferior
LSC
LIC
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11/31
0 0.2 0.2
0 0.2 0.2
1.166 8 1.166 9.166 exp20.29.166 20.29.166 120.2 430.5561 1
1 2430.556
215.278Fuera de control 0.5 0.5 0.2 0.3 0.5 0.2 0.7 1.166 8 1.166 9.166
exp20.39.166 20.39.166 1
20.3 25.023
exp20.79.166 20.79.166 120.7 3817671 1
1 0.040 25.02
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Ejercicio 8.19
Considerar de nuevo los datos del ejercicio 8.9. Aplicar una carta de control
EWMA a estos datos utilizando =0.1 y L=2.7.
2 11
21 1
Observacin Xi Zi LSC LIC
950
1 953 950,3 953,2832 946,7168
2 945 949,77 954,417094 945,582906
3 972 951,993 955,155879 944,844121
4 945 951,2937 955,684338 944,315662
5 975 953,66433 956,078806 943,921194
6 970 955,297897 956,380472 943,619528
7 959 955,668107 956,614745 943,385255
8 973 957,401297 956,79859 943,20141
9 940 955,661167 956,943938 943,056062
10 936 953,69505 957,059476 942,940524
11 985 956,825545 957,151694 942,848306
12 973 958,442991 957,225528 942,774472
13 955 958,098692 957,284785 942,715215
14 950 957,288822 957,332431 942,667569
15 948 956,35994 957,3708 942,6292
16 957 956,423946 957,401732 942,598268
17 940 954,781552 957,426693 942,573307
18 933 952,603396 957,44685 942,55315
19 965 953,843057 957,463137 942,536863
20 973 955,758751 957,476304 942,523696
21 949 955,082876 957,486952 942,513048
22 941 953,674588 957,495566 942,504434
23 966 954,90713 957,502536 942,497464
24 966 956,016417 957,508177 942,491823
25 934 953,814775 957,512743 942,487257
26 937 952,133297 957,516439 942,483561
27 946 951,519968 957,519432 942,480568
28 952 951,567971 957,521855 942,478145
29 935 949,911174 957,523818 942,476182
8/7/2019 trabajo de metodos II_def
13/31
8/7/2019 trabajo de metodos II_def
14/31
78 960 950,502267 957,532177 942,467823
79 934 948,85204 957,532177 942,467823
80 927 946,666836 957,532177 942,467823
Valores de rgimen permanente o estable de los limites de control
2 957,532177
2 942,467823
Figura4.EWMAejercicio8.19
Ejercicio 8.20
Construir de nuevo la carta de control del ejercicio 8.19 utilizando =0.4 y L=3.
Comparar esta carta con la que se construyo en el ejercicio 8.19.
211
930
935
940
945
950
955
960
1 4 7 101316192225283134374043464952555861646770737679
EWMA
EWMA
Zi
Limitecentral
LSC
LIC
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15/31
2 1 1
Iteracini Xi Zi LSC LIC
950
1 953 951,2 964,592 935,408
2 945 948,72 967,01705 932,98295
3 972 958,032 967,809415 932,190585
4 945 952,8192 968,08617 931,91383
5 975 961,69152 968,184771 931,815229
6 970 965,014912 968,220137 931,779863
7 959 962,608947 968,232852 931,767148
8 973 966,765368 968,237427 931,762573
9 940 956,059221 968,239074 931,760926
10 936 948,035533 968,239667 931,760333
11 985 962,82132 968,23988 931,76012
12 973 966,892792 968,239957 931,760043
13 955 962,135675 968,239984 931,760016
14 950 957,281405 968,239994 931,760006
15 948 953,568843 968,239998 931,760002
16 957 954,941306 968,239999 931,760001
17 940 948,964783 968,24 931,76
18 933 942,57887 968,24 931,76
19 965 951,547322 968,24 931,76
20 973 960,128393 968,24 931,76
21 949 955,677036 968,24 931,76
22 941 949,806222 968,24 931,76
23 966 956,283733 968,24 931,76
24 966 960,17024 968,24 931,76
25 934 949,702144 968,24 931,76
26 937 944,621286 968,24 931,76
27 946 945,172772 968,24 931,76
28 952 947,903663 968,24 931,76
29 935 942,742198 968,24 931,76
30 941 942,045319 968,24 931,76
31 937 940,027191 968,24 931,76
32 946 942,416315 968,24 931,76
33 954 947,049789 968,24 931,76
34 935 942,229873 968,24 931,76
8/7/2019 trabajo de metodos II_def
16/31
35 941 941,737924 968,24 931,76
36 933 938,242754 968,24 931,76
37 960 946,945653 968,24 931,76
38 968 955,367392 968,24 931,76
39 959 956,820435 968,24 931,76
40 956 956,492261 968,24 931,76
41 959 957,495357 968,24 931,76
42 939 950,097214 968,24 931,76
43 948 949,258328 968,24 931,76
44 958 952,754997 968,24 931,76
45 963 956,852998 968,24 931,76
46 973 963,311799 968,24 931,76
47 949 957,587079 968,24 931,76
48 942 951,352248 968,24 931,76
49 965 956,811349 968,24 931,76
50 962 958,886809 968,24 931,76
51 948 954,532085 968,24 931,76
52 937 947,519251 968,24 931,76
53 955 950,511551 968,24 931,76
54 927 941,10693 968,24 931,76
55 940 940,664158 968,24 931,76
56 962 949,198495 968,24 931,76
57 963 954,719097 968,24 931,76
58 943 950,031458 968,24 931,76
59 950 950,018875 968,24 931,76
60 938 945,211325 968,24 931,76
61 958 950,326795 968,24 931,76
62 955 952,196077 968,24 931,76
63 947 950,117646 968,24 931,76
64 941 946,470588 968,24 931,76
65 938 943,082353 968,24 931,76
66 945 943,849412 968,24 931,76
67 963 951,509647 968,24 931,76
68 967 957,705788 968,24 931,7669 969 962,223473 968,24 931,76
70 981 969,734084 968,24 931,76
71 952 962,64045 968,24 931,76
72 931 949,98427 968,24 931,76
73 928 941,190562 968,24 931,76
74 937 939,514337 968,24 931,76
75 950 943,708602 968,24 931,76
76 970 954,225161 968,24 931,76
77 933 945,735097 968,24 931,76
8/7/2019 trabajo de metodos II_def
17/31
78 960 951,441058 968,24 931,76
79 934 944,464635 968,24 931,76
80 927 937,478781 968,24 931,76
Limites de control de estado estable:
2 968,24
2 931,76
Figura5.EWMAejercicio8.20
Ejercicio 8.32
Considerar los datos de la falla de la valvula del ejemplo 6.6. Establecer una carta
cusum para monitorear el tiempo entre los eventos utilizando el enfoque de la
variable transformada que se ilustro en ese ejemplo. Usar los valores
estandarizados de h=5 y k=1/2.
910
920
930
940
950
960
970
980
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 4 9 5 2 5 5 5 8 61 64 67 70 73 76 79
EWM
A
EWMA
Zi
LSC
LIC
LC
8/7/2019 trabajo de metodos II_def
18/31
h=5
k=0,5
Falla Xi Yi RM
1 286 4,80986
2 948 6,70903 1,89917
3 536 5,7265 0,98253
4 124 3,81367 1,91283
5 816 6,43541 2,62174
6 729 6,23705 0,19836
7 4 1,46958 4,76747
8 143 3,96768 2,49819 431 5,39007 1,42239
10 8 1,78151 3,60856
11 2837 9,09619 7,31468
12 596 5,89774 3,19845
13 81 3,38833 2,50941
14 227 4,51095 1,12262
15 603 5,9169 1,40595
16 492 5,59189 0,32501
17 1199 7,16124 1,56935
18
1214
7,18601
0,02477
19 2831 9,09083 1,90482
20 96 3,55203 5,5388
1 2,35921105Para n=2 d2 = 1,128
2,0914406Clculo de la media y K
5,3866235 12 2,0914406 1,0457203
8/7/2019 trabajo de metodos II_def
19/31
5 2,0914406 10,457203Para construir la cusum se necesita:
6,4323438 4,3409032A continuacin se muestran los clculos de la cusum
Ci+ N+ Ci N0 0
1,6224838 0 0 0,4689568 0 0
0,2766862 0,2766862 1 2,3681268 0 0
0,7058438 0 0 1,3855968 0 0
2,6186738 0 0 0,5272332 0,5272332 1
0,0030662 0,0030662 1 2,0945068 0 0
0,1952938 0 0 1,8961468 0 0
4,9627638 0 0 2,8713232 2,8713232 1
2,4646638 0 0 0,3732232 3,2445464 2
1,0422738 0 0 1,0491668 2,1953796 3
4,6508338 0 0 2,5593932 4,7547728 4
2,6638462 2,6638462 1 4,7552868 0 0
0,5346038 2,1292424 2 1,5568368 0 0
3,0440138 0 0 0,9525732 0,9525732 11,9213938 0 0 0,1700468 0,7825264 2
0,5154438 0 0 1,5759968 0 0
0,8404538 0 0 1,2509868 0 0
0,7288962 0,7288962 1 2,8203368 0 0
0,7536662 1,4825624 2 2,8451068 0 0
2,6584862 4,1410486 3 4,7499268 0 0
2,8803138 1,2607348 4 0,7888732 0,7888732 1
8/7/2019 trabajo de metodos II_def
20/31
Figura6.CUSUMTABULAREJERCICIO8.32
15
10
5
0
5
10
15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20CUSUM
CUSUM
CUSUMSuperior
CUSUMInferior
LIC
LSC
LC
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CAPITULO 10. Monitoreo y control de procesos con variables mltiplesEjercicio 10.1
Los datos que se muestran abajo provienen de un proceso de produccin con dos
caractersticas de calidad observables, x1 y x2, los datos son las medias
muestrales de cada caracterstica de calidad, con base en muestras de tamao
n=25. Suponer que los valores medios de las caractersticas de la calidad y la
matriz de covarianza se calcularon a partir de 50 muestras preliminares:
5530 200 130130 120Construir una carta de control T2 usando estos datos. Usar los lmites de la fase 2.
n= 25
m= 50
p= 2
F0,001;2;1199= 6,94770598
Limites de control de la fase 2:
,,
Por lo tanto los lmites de control son:
LSC= 14,1851411
LIC= 0
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Clculos para el grafico T2
Muestrai
1 58 32 1,12676056
2 60 33 3,16901408
3 50 27 3,16901408
4 54 31 2,04225352
5 63 38 13,5211268
6 53 30 1,69014085
7 42 20 22,8169014
8 55 31 0,70422535
9 46 25 10,6338028
10 50 29 6,69014085
11 49 27 5,07042254
12 57 30 1,69014085
13 58 33 1,90140845
14 75 45 52,8169014
15 55 27 6,33802817
La grafica para la carta T2 es la siguiente:
Figura7.CartaT2ejercicio10.1
0
10
20
30
40
50
60
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
T2
CARTAT2
T^2
LSC
LIC
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Ejercicio 10.3
Considerar de nuevo la situacin del ejercicio 10.1. suponer que el vector de la
media muestral y la matriz de covarianza muestral proporcionados fueron los
verdaderos parmetros poblacionales. Qu limite de control seria apropiado para
la fase 2 de la carta de control? Aplicar este limite a los datos y discutir cualquier
diferencia que se encuentre en los resultados en comparacin con la eleccin
original del lmite de control.
LSC = 13,8155106
1,12676056
3,16901408
3,16901408
2,04225352
13,5211268
1,69014085
22,8169014
0,70422535
10,6338028
6,69014085
5,07042254
1,69014085
1,90140845
52,8169014
6,33802817
2
0.001,2
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Figura8.CartaT2ejercicio10.3
En conclusin, el valor del lmite superior de control utilizando la chi-cuadrado est
razonablemente cerca del lmite calculado en el ejercicio 10.1. Sin embargo, el
limite apropiado para la fase 2 seria el calculado en el ejercicio 10.1 (14,1851411).
Ejercicio 10.7
Considerar una carta de control T2 para monitorear p=10 caractersticas de la
calidad. Suponer que el tamao del subgrupo es n=3 y que se cuenta con 25
muestras preliminares para estimar la matriz de covarianza muestral.
a) Encontrar los limites de control de la fase 2 suponiendo que =0.005
p= 10
n= 3
m= 25
= 0,005
m*n-m-p+1=41
3,100711
0
10
20
30
40
50
60
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
T2
CARTAT2
T^2
LSC
LIC
41;10;005,0F
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25/31
,, ,
b) Comparar los limites de control del inciso a) con el lmite de control ji-
cuadrada. Cul es la magnitud de la diferencia en los dos lmites de
control?
25,18818
Magnitud de diferencia = 14,13791
El lmite de la segunda fase es 56,13% mayor que el lmite chi-cuadrado.
c) Cuntas muestras preliminares tendran que tomarse para asegurar que el
lmite de control ji-cuadrada esta dentro del 1% del lmite de control exacto
de la fase 2?
dentro del 1% del lmite de la fase 2 seria=1.01*(25.188)= 25,44006
m num den F LSC
25 520 41 3,100711 39,32609
50 1020 91 2,767197 31,01693
100 2020 191 2,634495 27,86219
150 3020 291 2,594209 26,92272
200 4020 391 2,574735 26,4717
250 5020 491 2,563256 26,20682
300 6020 591 2,555688 26,03255
350 7020 691 2,550322 25,9092
400 8020 791 2,546319 25,8173
450 9020 891 2,543219 25,74617
500 10020 991 2 ,540747 2 5,68949
550 11020 1091 2,53873 2 5,64327
600 12020 1191 2,537053 25,60485
650 13020 1291 2,535636 25,57241
700 14020 1391 2,534424 25,54466
750 15020 1491 2,533374 25,52064
800 16020 1591 2,532457 25,49966
10;005,02
8/7/2019 trabajo de metodos II_def
26/31
850 17020 1691 2,531649 25,48117
900 18020 1791 2,530931 25,46475
950 19020 1891 2,530289 25,45008
1000 20020 1991 2,529712 25,43688
El valor est entre 950 y 1000.
m num den F LSC
950 19020 1891 2,530289 25,45008
960 19220 1911 2,530169 25,44733
970 19420 1931 2,530051 25,44463
980 19620 1951 2,529935 25,442
990 19820 1971 2,529822 25,439411000 20020 1991 2,529712 25,43688
El valor est entre 980 y 990.
m num den F LSC
980 19620 1951 2,529935 25,442
981 19640 1953 2,529924 25,44173
982 19660 1955 2,529913 25,44147
983 19680 1957 2,529901 25,44121
984 19700 1959 2,52989 2 5,44096
985 19720 1961 2 ,529879 25,4407
986 19740 1963 2,529867 25,44044
987 19760 1965 2,529856 25,44018
988 19780 1967 2,529845 25,43992
989 19800 1969 2,529834 25,43967
990 19820 1971 2,529822 25,43941
Esto indica que el valor de m que asegura que el lmite de control chi-cuadrado
este dentro del 1% del lmite de control de la segunda fase es 988.
Ejercicio 10.8
Resolver de nuevo el ejercicio 10.7, suponiendo que el tamao del subgrupo es
n=5.
a) Encontrar los limites de control de la fase 2 suponiendo que =0.005
8/7/2019 trabajo de metodos II_def
27/31
p= 10
n= 5
m= 25
= 0,005
m*n-m-p+1=91
.,, 2,767197 ,, ,
b) Comparar los limites de control del inciso a) con el lmite de control ji-
cuadrada. Cul es la magnitud de la diferencia en los dos limites de
control?
25,18818
Magnitud de diferencia = 6,436925
El lmite de la segunda fase es 25,56% mayor que el lmite chi-cuadrado.
c) Cuntas muestras preliminares tendran que tomarse para asegurar que el
lmite de control ji-cuadrada esta dentro del 1% del lmite de control exacto
de la fase 2?
dentro del 1% del lmite de la fase 2 seria=1.01*(25.188)= 25,44006
m num den F LSC
25 1040 91 2,767197 31,625150 2040 191 2,634495 28,13806
100 4040 391 2,574735 26,6034
150 6040 591 2,555688 26,11904
200 8040 791 2,546319 25,88168
250 10040 991 2 ,540747 2 5,74077
300 12040 1191 2,537053 25,64745
350 14040 1391 2 ,534424 25,5811
400 16040 1591 2 ,532457 25,5315
450 18040 1791 2,530931 25,49302
10;005,02
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28/31
500 20040 1991 2,529712 25,46229
550 22040 2191 2,528715 25,43719
El valor est entre 500 y 550
m num den F LSC
500 20040 1991 2,529712 25,46229
505 20240 2011 2,529603 25,45956
510 20440 2031 2,529497 25,45687
515 20640 2051 2,529392 25,45425
520 20840 2071 2,52929 2 5,45167
525 21040 2091 2,52919 2 5,44914
530 21240 2111 2,529091 25,44666535 21440 2131 2,528995 25,44423
540 21640 2151 2,5289 25,44184
545 21840 2171 2,528807 25,43949
550 22040 2191 2,528715 25,43719
El valor est entre 540 y 545.
m num den F LSC
540 21640 2151 2,5289 25,44184
541 21680 2155 2,528881 25,44137
542 21720 2159 2,528862 25,44089
543 21760 2163 2,528844 25,44043
544 21800 2167 2,528825 25,43996
545 21840 2171 2,528807 25,43949
Esto indica que el valor de m que asegura que el lmite de control chi-cuadrado
este dentro del 1% del lmite de control de la segunda fase es 544.
Ejercicio 10.9
Considerar una carta de control T2 para monitorear p=10 caractersticas de la
calidad. Suponer que el tamao del subgrupo es n=3 y que se cuenta con 25
muestras preliminares para estimar la matriz de covarianza muestral. Calcular los
limites de control tanto de la fase 1 como de la fase 2 (utilizar=0.01)
p= 10
n= 3
m= 25
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29/31
= 0,01
m*n-m-p+1=41
F0,01;10;41= 2,78787
Fase 1:
LSC= 32,6385
Fase 2:
LSC= 35,3584
Ejercicio 10.11
Suponer que se tiene p=3 caractersticas de calidad y que en la forma de
correlacin las tres variables tienen varianza unitaria y que todos los coeficientes
de correlacin por pares son 0.8. el valor bajo control del vector de la media del
proceso es 0 0 0.a) Escribir la matriz de covarianza de 1 0.8 0.80 .8 1 0 .80.8 0.8 1 b) Cul es el lmite de control ji-cuadrada para la carta, suponiendo que
=0.05?
., 7,814728c) Suponer que una muestra de observaciones resulta en el vector de
observaciones estandarizadas 1 2 0. Calcular el valor delestadstico T2. Se genero una seal fuera de control? 1 120
000 1 0.8 0.80 .8 1 0.80.8 0.8 1
120 000=11,154
Dado que T2=11,154 > LSC=7,8147, se genero una seal fuera de control.
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30/31
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31/31
5,000
5,000
4,444Por lo tanto:
1,538 1,538 2,094
En (e) no se ha generado una fuera de la seal de control. Esto se comprueba yaque ninguno de los di supera el LSC.
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