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Universidad NacionalAutónoma de México
Colegio de Ciencias &Humanidades, Plantel “Azcapotzalco”
Matemáticas II
Raquel Trejo Martínez
Trabajo escrito
Solano Nava Karina
Flores Martínez Adai Brizeida
Panamá Méndez Gloria Magali
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Índice
Desarrollo:
• Contexto Histórico
• Doctrinas básicas
• Teoría de los números
• Astronomía
• Los números perfectos
• Los números triangulares
• Las números cuadrados y pentagonales
• Números amigos
• La armonía musical
• Teorema de Pitágoras
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Introducción
La demostración del teorema de Pitágoras así mismo como comprender el
funcionamiento o procedimiento de este, también el origen de Pitágoras de
Samos, quien fue el, que fue lo que descubrió, también nos profundizaremos
en el tema de congruencia y semejanza, mostraremos postulados, pero
Pitágoras es el centro de este trabajo.
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Desarrollo
Contexto Histórico:
Pitágoras de Samos (en griego antiguo Πυθαγόρας) (ca. 580 a. C. – ca. 495 a.
C.) fue un filósofo y matemático griego, considerado el primer matemático puro.
Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la
geometría y la aritmética derivada particularmente de las relaciones numéricas,
aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o
la astronomía. Es el fundador de la hermandad pitagórica, una sociedad que, si
bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en
medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas; el
pitagorismo formuló principios que influenciaron a tanto a Platón como a
Aristóteles, y de manera más general, al posterior desarrollo de la matemática y
la filosofía racional en Occidente.
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Doctrinas básicas
Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los
enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de
consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del
autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la transmigración
del alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido
Euforbo, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido
traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas.
Teoría de los números
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se
encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números
primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este
punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser
para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el
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universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las
matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el
teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece
que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados.
Astronomía
La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance en el
pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la
tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego
central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos
moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad
sencilla y omnicomprensiva. Como los pitagóricos pensaban que los cuerpos
celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a
longitudes de cuerdas armónicas, mantenían que el movimiento de las esferas
da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas.
Los números perfectos
- El número 496 es un número perfecto
- ¿Y qué quiere decir un número perfecto?, preguntó el poeta. ¿En qué
consiste la perfección del número?
- Número perfecto, explicó Beremiz, es el que presenta la propiedad de ser
igual a La suma de sus divisores, excluyéndose, claro está, de entre ellos elpropio número. Así, por ejemplo, el número 28 presenta 5 divisores menores
que 28; 1, 2, 4, 7, 14
La suma de esos divisores es precisamente igual a 28. Luego 28 pertenece a la
categoría de los números perfectos. El número 6 también es perfecto. Los
divisores de 6, menores que 6, son : 1, 2, 3, cuya suma también es 6. Al lado
del 6 y el 28 puede figurar el número 496, que también es perfecto.
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Los números triangulares
Los números triangulares se generan a partir de la serie de tos números
naturales puestos en línea, y por continuas adiciones de los términos
sucesivos, uno a uno, desde el principio, de manera que por sucesivas
combinaciones y adiciones de otro término a la suma, los números triangulares
se van completando en orden regular.
Los números triangulares son, pues, suma de La serie de Los naturales hasta
uno determinado: Por ejemplo 28 = 1 + 2 -e- 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Por eso decimos
que el 28 es número triangular de lado 7.
En lo que sigue designaremos abreviadamente Los números triangulares con
eL número de que se trate seguido de su lado entre paréntesis. Así eL 28, que
es número triangular de lado 7, se expresara como 28(7).
Otros números triangulares son: 120(15), 153(17), 276(23), 666(36).
Los números cuadrados y pentagonales
EL concepto es similar aL de los números triangulares. El 1, 4, 9, 16, el 25…
son números cuadrados, eL 1, 5, 12, 22, 35, ... son números pentagonales.
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Números Amigos
Cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores propios del otro, por
ejemplo 12 y 16, 220 y 284.
La Armonía Musical
Pitágoras descubrió que exisitía una estrecha relación entre la armonía musicaly la armonía de los números. Si pulsamos una cuerda tirante obtenemos una
nota, cuando la longitud se la cuerda se reduce a la mitad es decir en relacion
1:2 obtenemos 1/8. Si la longitud era 3:4 obtenemos la cuarta y si es 2:3
tenemos las quinta.
Teorema de Pitágoras:
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Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°) y pones un cuadrado sobre cada uno
de sus lados, entonces el cuadrado más grande tiene exactamente la misma
área que los otros dos cuadrados juntos.
En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:
Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de
90º.
En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa
y los otros dos lados se llaman catetos.
Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
De esta fórmula se obtienen las siguientes:
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus
lados homólogos son proporcionales.
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Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la
hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de
los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales:
todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por
ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia
dichos triángulos son semejantes.
• De la semejanza entre ABC y AHC:
y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.
• De la semejanza entre ABC y BHC:
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Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:
Pero , por lo que finalmente resulta:
La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado
de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para
demostrar su teorema
Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación
entre las superficies de figuras semejantes.
Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:
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Siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la
relación entre sus superficies:
Obtenemos después de simplificar que:
Pero siendo la razón de semejanza, está claro que:
Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al
cuadrado de la razón de semejanza".
Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH
tenemos que:
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Que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:
(1)
Y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:
Pero según (1) , así que:
Y por lo tanto:
Quedando demostrado el teorema de Pitágoras.
Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas
equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda
demostrado.
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Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas
equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda
demostrado.
Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica
del teorema.
Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c,
y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se
construyen dos cuadrados diferentes:
• Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos,
más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
• El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro
triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.
Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el
área del cuadrado gris ( ) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul
( ), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.
Congruencia
En geometría, dos conjuntos de puntos son congruentes (o también, están
relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una
transformación que es combinación de translaciones, rotaciones y reflexiones.
Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño,
aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las
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figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes. En la geometría
euclidiana, la congruencia es fundamental; es lo equivalente a igualdad en
números. En geometría analítica, la congruencia puede ser definida así: dos
figuras determinadas por puntos sobre un sistema de coordenadas cartesianas
son congruentes si y solo si, para cualquier par de puntos en la primera figura,
la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los
puntos correspondientes en la segunda figura.
Una definición mas formal: dos subconjuntos A y B de un espacio euclídeo Rn
son llamados congruentes si existe una isometría f : Rn → Rn (un elemento del
grupo euclideo E(n)) con f(A) = B. Congruencia es una relación de
equivalencia. Se denomina ángulos congruentes a aquellos ángulos que tienen
la misma medida.
Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ángulos congruentes.
Las diagonales de un paralelogramo configuran ángulos opuestos por el vértice
congruentes.
La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos
presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma
longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.
Los ángulos α y β son
congruentes y opuestos
por el vértice
Los ángulos opuestos de
un paralelogramo son
congruentes. En esta
imagen podemos ver
que están marcados por
el mismo color
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Si el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación puede ser
escrita matemáticamente así:
En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres partes
correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para deducir la
congruencia de dos triángulos.
Criterios de congruencia de triángulosLas condiciones mínimas que deben
cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de
congruencia, los cuales son:
Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente
congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con
dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los
triángulos son congruentes.
Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente
congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos soncongruentes.
Criterio AAL: Si dos ángulos y el lado que no esta entre ellos son
respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son
congruentes.
Semejanza
Dos triángulos son semejantes si existe una relación de semejanza o similitudentre ambos.
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Una semejanza, es la composición de una materia (una rotación y una posible
reflexión o simetría axial). En la rotación se puede cambiar el tamaño y la
orientación de una figura pero no se altera su forma.
Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.
En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el
caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero
cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del
cociente base / altura).
Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus
ángulos son iguales dos a dos.
En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para
denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF,
donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se
corresponden con D, E y F, respectivamente.
Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la
longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen /
longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los
triángulos semejantes:
Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientesson congruentes.
Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:
Corolarios
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• Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
• Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son
iguales.
Una semejanza es la composición de una isometría (una rotación y una posiblereflexión o simetría axial) con una homotecia. En la semejanza se puede
cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por
lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del
triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un
rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma
puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base /
altura). Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes sisus ángulos son iguales dos a dos. En la figura, los ángulos correspondientes
son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son
semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia
entre los ángulos: A, B y C se corresponden con A', B' y C', respectivamente.
Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas las
longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen /
longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los
triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los
lados correspondientes son congruentes Propiedad reflexiva, refleja o idéntica
Todo triángulo es semejante a sí mismo. Propiedad idéntica o simétrica Si un
triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero. Propiedad
transitiva Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un
tercero, el primero es semejante al tercero. Estas tres propiedades implican
que la relación de semejanza entre dos triángulos es una relación de
equivalencia.
Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice
opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un
triángulo semejante al dado.
H)
ABC; r || AC
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r corta AB en L
r corta BC en M
T)
D)
Podrán presentarse 3 casos:
Primer caso
r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.
Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos
(1):
por carácter reflejo
por ser correspondientes entre r || BC, secante AB
por ser correspondientes entre r || BC, secante AC
Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:
Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto
N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:
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Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN,
reemplazando en se obtiene:
De y se obtiene la consideración que llamaremos (2):
Luego de (1) y (2), resulta:
por definición de semejanza.
Segundo caso
r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las
semirrectas de origen B que los contienen.
Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y
por el caso I de la demostración, es:
por carácter simétrico
Tercer caso
r corta a las rectas de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a lassemirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.
Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y
por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la
recta de BC por O.
Quedan entonces por el caso I, semejanza que llamaremos .
Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:
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• BN=BM por construcción
• α=α' por ser opuestos por el vértice.
• β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante MN
Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM por el primer corolario de la definición.
De y , y por carácter transitivo:
BAC ~ BLM BLM ~ BAC
La posibilidad de aumentar el tamaño de una figura sin modificar su forma es
tan obvia y natural que durante milenios se pensó que era una consecuencia
de los axiomas de la geometría, y se trató en vano de demostrarlo desde laGrecia antigua. Sin embargo, al estudiar otras geometrías, las no euclidianas,
los matemáticos del siglo XIX, entre ellos Bernhard Riemann y Nikolái
Lobachevski se dieron cuenta que esto sólo sucedía en los espacios euclídeos,
es decir, sin curvatura.
Se puede definir una geometría sobre la esfera, por
ejemplo: Los segmentos son los caminos más cortos que unen sus extremos y
las rectas son las líneas geodésicas, a semejanza de los ecuadores de la
esfera. El análogo de una homotecia se construye así: se escoge un punto O
de la superficie como centro de la homotecia, y para definir la imagen de otro
punto A se traza la geodésica que pasa por O y A (que es única si A no es el
punto diametralmente opuesto a O ), consideramos que O es el origen de esta
línea y A el punto de abscisa 1. La imagen A' será el punto de abscisa k , donde
k es la razón de la homotecia. En la figura se ha tomado k = 3 y se han
construido las imágenes de B y C también.
Se observa que la imagen del "triángulo" ABC es el "triángulo A'B'C', es decir
que los catetos A'B', A'C' y B'C' son segmentos de líneas geodésicas, y que
A'B'C' merece ser llamado triángulo semejante (por no decir homotético) al
triángulo ABC .
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Al aplicar la construcción precedente al pequeño triángulo ABC de la superfice
de la esfera (pequeño en comparación con el diámetro), la suma de sus
ángulos será ligéramente superior a π radianes (180º), pero el triángulo A'B'C'
tendrá ángulos de mayor amplitud, siendo su suma mucho mayor que π
radianes, como se ve en la figura. El aumento de tamaño implica aquí
claramente un cambio de forma.
En conclusión, los triángulos semejantes permiten saber en que clase de
espacio nos hallamos, uno euclidiano, o con curvatura positiva (como la
esfera), o con curvatura negativa (espacio hiperbólico), y la doble
caracterización de los triángulos similares (mismos ángulos y cocientes de los
lados iguales) en la geometría usual no es ni anecdótico ni anodino.
Triángulos semejantes en la geometría de Riemann.