TRABAJO FIN DE ESTUDIOS
Matemáticas y ajedrez
Raquel Villar Pajares
MÁSTER UNIVERSITARIO EN PROFESORADO DE ESO, BACHILLERATO, FPY ENSEÑANZA DE IDIOMAS
Tutor: Clara Jiménez GestalFacultad de Letras y de la Educación
Curso 2010-2011
MATEMÁTICAS
© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2012
publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]
Matemáticas y ajedrez, trabajo final de estudiosde Raquel Villar Pajares, dirigido por Clara Jiménez Gestal (publicado por la Universidad
de La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los
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Índice.
1. Marco teórico de los procesos enseñanza-aprendizaje en las Matemáticas....pág. 1-13
1.1. Marco teórico general............................................................................pág. 1-7
1.1.1. Idea inicial................................................................................pág. 1
1.1.2. Elementos del proceso.............................................................pág. 1-2
1.1.3. Pautas previas..........................................................................pág. 3-4
1.1.4. Organización del proceso enseñanza-aprendizaje................pág. 4
1.1.5. Selección de medios y recursos...............................................pág.5
1.1.6. Proceso de aprendizaje cognitivo...........................................pág. 5-7
1.2. Marco teórico en las Matemáticas........................................................pág. 7-13
1.2.1. Antecedentes en la investigación............................................pág. 8-9
1.2.2. Desarrollo del pensamiento matemático de los niños..........pág. 9-11
1.2.3 Tipos de competencia matemática..........................................pág. 11
1.2.4 Aproximaciones al estudio del desarrollo de conceptos matemáticos..11-12
1.2.5 Dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas...............pág. 12-14
2. Elementos fundamentales de la Memoria de Prácticas.....................................pág. 14-52
2.1 Unidad Didáctica.....................................................................................pág. 14-50
2.2 Reflexión y conclusiones.........................................................................pág. 50-52
3. Proyecto de Innovación Educativa......................................................................pág. 53
3.1 Problema............................................................................................pág. 53-54
3.2 Exploración........................................................................................pág. 54-55
3.3 Fundamenación.................................................................................pág. 55-59
3.4 Trabajo de campo..............................................................................pág. 59-72
3.5 Innovación..........................................................................................pág. 72-75
3.5.1 Objetivos..............................................................................pág. 72
3.5.2 Metodología........................................................................pág. 73-74
3.5.3 Evaluación..........................................................................pág. 74-75
3.5.4 Anexo...................................................................................pág. 76
4. Bibliografía............................................................................................................pág. 77
1. Marco teórico de los procesos de enseñanza-aprendizaje enlas Matemáticas.
1.1 Marco teórico general.
1.1.1 Idea inicial.
Enseñanza y aprendizaje son conceptos que forman parte de un único proceso que tiene
como fin la formación del estudiante. La referencia etimológica de ambos términos puede servirnos
de apoyo inicial: Enseñar es instruir, amaestrar, señalar algo a alguien. No es enseñar cualquier
cosa, es mostrar lo que se desconoce. Por otra parte, el término aprender hace referencia a la
adquisición del conocimiento de algo por medio del estudio o de la experiencia.
1.1.2 Elementos del proceso.
Podemos distinguir por tanto dentro del proceso a un sujeto que conoce (el que puede
enseñar), y otro que desconoce (el que puede aprender). El primero se trata del profesor, el cual no
sólo debe de poder enseñar, también tiene que querer y sabe hacerlo. El segundo es el alumno, que
no sólo debe de poder aprender, si no que además debe de querer y saber cómo hacerlo. Por tanto,
es necesario que exista una disposición previa por parte de ambos.
Los contenidos que se transmiten, aquello que quiere enseñarse y aprenderse, son los
elementos curriculares, y el conjunto de herramientas y procedimientos empleados para ello
quedan definidos como los medios.
El fin o la meta fijada que se desea alcanzar cuando se enseña algo son los objetivos, los
cuales quedan enmarcados bajo ciertas condiciones físicas, sociales y culturales, que conforman el
contexto del proceso enseñanza-aprendizaje.
De acuerdo con lo expuesto, consideraremos el proceso de enseñar como el acto mediante
el cual el profesor, el cual no debe de ser considerado como mera fuente de información si no como
un catalizador que motive e incremente las posibilidades de éxito del proceso, muestra o suscita
contenidos educativos (conocimientos, habitos, habilidades) al alumno, a través de unos medios, en
función de unos objetivos y dentro de un contexto.
Por otra parte, el proceso de aprender es el proceso complementario Aprender es el acto
por el cual un alumno intenta captar y elaborar los contenidos expuestos por el profesor, o por
cualquier otra fuente de información, a través de unos medios (técnicas de estudio o de trabajo
intelectual). Este proceso de aprendizaje es realizado en función de unos objetivos, que pueden o no
identificarse con los del profesor y se lleva a cabo dentro de un determinado contexto.
El siguiente esquema recoje una visión general de los elementos definidos en torno a ambos
procesos, que unidos en uno solo forman el proceso de enseñanda-aprendizaje:
1.1.3 Pautas previas.
Para poder llevar a cabo con éxito el proceso de enseñanza-aprendizaje, es necesario conocer
de antemano la situación real del alumno. Generalmente tendemos a suponer lo que el alumno sabe,
es y hace, por el hecho de pertenecer a un determinado curso, sin pararnos a pensar en que cada
alumno tiene una capacidad cognitiva, una forma de comportarse y en definitiva una serie de
características que lo hace diferente a los demás, y por tanto único.
A la hora de enseñar, siempre tenemos que tener presente que los objetivos del aprendizaje
se fundamentan a partir de las conductas y las capacidades del alumno, y no en base a las
habilidades o conductas que posee por el mero hecho de encontrarse en un nivel académico u otro.
Cuanto mayor y más preciso sea el conocimiento, más acertadas serán las decisiones tomadas
durante el proceso.
Definir lo que se quiere conseguir del alumno no es tarea fácil. Para ello hay que tener
claro qué es lo que se quiere conocer, y debe de ser la primera actividad de quien programa la
acción educativa directa, convertir las metas imprecisas en conductas observables y evaluables. Es
la forma óptima de medir la distancia que debemos cubrir entre lo que el alumno es y lo que debe
ser, organizando de forma sistemática los aprendizajes mediante la formulación de los objetivos a
alcanzar, de forma que una vez llevado a cabo el proceso de aprendizaje podamos observar si
realmente tuvo efecto y en qué medida
Una vez definidas las distintas conductas a alcanzar por el alumno, es fundamental
ordenarlas de forma secuencial, en vistas a establecer un aprendizaje que siga un desarrollo
lógico en el espacio y en el tiempo.
A partir de aquí, formularemos los objetivos, los cuales son imprescindibles para llevar a
cabo la programación de un proceso de aprendizaje, ya que nos permite fijar la conducta final en
términos operativos con claridad, da la posibilidad al propio alumno de conocer lo que se espera de
él, lo cual sirve como elemento motivador y centra de alguna manera su esfuerzo y dedicación, y es
la única forma consistente de que el profesor y el alumno puedan en cualquier momento observar y
evaluar los logros conseguidos y en qué fase del proceso enseñanza-aprendizaje se encuentran.
1.1.4 Organización del proceso de aprendizaje.
Para poder programar el proceso de aprendizaje es necesario tener claros los recursos
económicos, medios, espacio, tiempo y por supuesto seres humanos de los que se dispone,
entendiendo a estos últimos no sólo como personas físicas que parten de un nivel académico
determinado, si no como seres diferentes entre sí.
El número de alumnos óptimo para llevar a cabo el proceso en las matemáticas es variable y
difícil de fijar. Habrá actividades para las que lo ideal sería disponer de una atención
individualizada, otras requerirán trabajo en grupos reducidos y otras, de carácter más teórico,
podrán elaborarse de forma satisfactoria simultáneamente a toda la clase. Por ello es necesario
definir previamente las actividades que se llevarán a cabo y en base a estas establecer los grupos
óptimos para el desarrollo de las mismas.
En un proceso de interacción profesor-alumno, los roles de ambos deben poder cambiar de
forma flexible. La idea tradicional del profesor que imparte conocimientos y el alumno que recibe
pasivamente evoluciona hacia una multiplicidad de actividades que requieren un cambio de actitud
en los participantes.
La importancia de la motivación en el proceso de aprendizaje está más que demostrada. Es
indispensable organizar las actividades del mismo con la idea de conseguir despertar el interés del
alumno, para que éste se centre y le dedique un esfuerzo mayor, y en consecuencia obtenga mejores
resultados.
1.1.5 Selección de medios y recursos.
A la hora de elegir los medios y recursos que se van a emplear durante el proceso de
enseñanza-aprendizaje, bien para transmitir determinados contenidos, para utilizarlos como
actividad práctica o para emplearlos como instrumento de evaluación, los medios que se
seleccionan deben permitir obtener el tipo de respuesta esperado en el alumno para comprobar si se
han alcanzado los objetivos previstos. Además deben de ser adecuados al propósito para el que se
transmiten los datos, y ajustables a las limitaciones del medio en el que se van a emplear (personal,
tiempo, materiales...).
1.1.6 Proceso de aprendizaje cognitivo
Las corrientes cognitivas del aprendizaje, presentan el modo en el que se desarrolla el
aprendizaje individual, denominado Modelo de la teoría cognitiva, que viene representado en el
siguiente esquema:
Control ejecutivo: Aquello que hace referencia a los aprendizajes anteriores, a la retroalimentación,
al estudio de necesidades de los alumnos y de la sociedad, etc.
Entorno: Todo lo que envuelve el proceso educativo.
Receptores: Son los sentidos afectados por los estímulos exteriores que le permiten al sistema
nervioso recibir la información.
Registro sensorial: Donde se da la primera codificación, codificación simple o representación.
Memoria a corto plazo: Donde se da la segunda codificación o conceptualización.
Memoria a largo plazo: En ella se almacenan algunas de las representaciones yconceptualizaciones.
Recuperación: Proceso por el que sale a flote lo almacenado tanto en la memoria a corto plazo
como a largo plazo. Sin este proceso no podríamos tener ningún tipo de comportamiento.
Generador de respuestas: Los comportamientos, conocimientos y habilidades recuperadas que
pueden salir al exterior.
Efectores: Los sentidos que permiten que lo almacenado salga al exterior, manifestándose así los
comportamientos.
Proceso:Los estímulos afectan a los receptores entrando en el Sistema nervioso a través
del Registro sensorial. A partir de ahí se produce:
Primera codificación: Codificación simple es una mera Representación.
Segunda codificación: Conceptualización al entrar en Memoria a corto plazo.
Almacenamiento en la Memoria a largo plazo.
Recuperación: por parte de la Memoria a corto plazo.
Conductas: Paso al Generador de respuestas.
Etapas:
Motivación: Expectativa establecida previamente al aprendizaje.
Atención o percepción selectiva: Selección de los estímulos recibidos.
Repaso: Permanencia por más tiempo en la Memoria a corto plazo. Sirve para relacionar
una información con la precedente y posterior.
Codificación: Paso a la Memoria a largo plazo.
-Relacionar la nueva información con cuerpos informativos más amplios.
-Transformar la información en imágenes.
-Transformar las imágenes en conceptos.
Búsqueda y recuperación: El material almacenado se hace accesible volviendo a la
Memoria a corto plazo.
Transferencia del aprendizaje a nuevas situaciones.
Generación de respuestas: Los contenidos se transforman en actuaciones del que aprende.
Retroalimentación: El que aprende recibe información sobre su actuación. Si es positiva,
sirve de refuerzo.
1.2 Marco teórico en las Matemáticas.
Lo primero que debemos tener claro es que el objetivo del proceso enseñanza-aprendizaje de
las matemáticas no se limita a que los niños aprendan las cuatro reglas aritméticas básicas, trabajen
con las unidades de medida y conozcan los conceptos geométricos tradicionales, sino que sean
capaces de resolver problemas por sí mismos y empelar las nociones aprendidas y destrezas
matemáticas adquiridas en su vida cotidiana. Al margen de las dificultades que se les pueden
presentar a los alumnos con problemas o trastornos psicológicos como la discalculia a la hora de
aprender matemáticas, el fracaso escolar en esta materia es con diferencia de los más elevados en la
enseñanza en nuestro país.
Los alumnos tienden a sentir respeto, incluso rechazo, por la asignatura, considerándola en
muchas ocasiones la más difícil de todas las que tienen que superar. Para comprender la naturaleza
de las dificultades es necesario conocer cuáles son los conceptos y habilidades matemáticas que
deben ser consideradas básicas, cuál es la forma óptima de enseñarlos para que éstos sean
adquiridos por el alumno y qué procesos cognitivos subyacen a la ejecución matemática.
1.2.1 Antecedentes en la investigación.
A lo largo de la historia de la psicología, el estudio de las matemáticas se ha realizado desde
perspectivas muy diversas. Ya desde un periodo inicial se estableció un enfrentamiento entre los
partidarios de un aprendizaje de las habilidades matemáticas elementales basado en la práctica,
fijando su enseñanza en la mecánica del ejercicio continuo, y los que defendían el aprendizaje de
una serie de métodos de razonamiento básicos antes de pasar a la práctica, centrando así su
enseñanza en la comprensión de los conceptos.
Entre las diversas teorías desarrolladas sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje
matemático, cabe destacar la Teoría del aprendizaje de Thorndike, basada en el asociacionismo, y
cuya ley del efecto fue de gran influencia para el diseño del currículo de las matemáticas
elementales en la primera mitad de este siglo, y las teorías conductistas, que defendían un
aprendizaje pasivo, producido por la repetición de asociaciones estímulo. A estas teorías se opuso
Browell, que defendía un aprendizaje cuyo objetivo principal debía centrarse en la comprensión y
no los procedimientos mecánicos. Por otra parte, Piaget, reaccionando también contra los
postulados asociacionistas, estudiando las operaciones lógicas que subyacen a muchas de las
actividades matemáticas básicas. Aunque no se centra en los problemas de aprendizaje de las
matemáticas, muchas de sus aportaciones siguen vigentes en la enseñanza de las mismas y
constituyen un legado que se ha incorporado al mundo educativo de manera consustancial. Sin
embargo, su afirmación de que las operaciones lógicas son un requisito previo para construir los
conceptos numéricos y aritméticos ha sido contestada desde planteamientos más recientes que
defienden un modelo de integración de habilidades, donde son importantes tanto el desarrollo de los
aspectos numéricos como los lógicos. Otros autores como Ausubel, Bruner Gagné y Vygotsky,
también se preocuparon por el aprendizaje de las matemáticas y por desentrañar que es lo que
piensan realmente los niños y adolescentes cuando llevan a cabo una actividad matemática.
1.2.2 Desarrollo del pensamiento matemático de los niños:
Durante mucho tiempo se ha creído que los niños pequeños carecen del pensamiento
matemático en esencia. Definiremos a continuación diferentes tipos de conocimiento en el campo
de la matemática:
Conocimiento intuitivo:
-Sentido natural del número: Para ver si un niño pequeño pude distinguir conjuntos de cantidades
distintas, se realiza un experimento que consiste en mostrar al niño 3 objetos. Pasado un tiempo, se
le añade o se le quita uno de ellos, y si el niño no presta atención será porque no se ha percatado de
la diferencia. Por el contrario, si se ha dado cuenta del cambio prestará más atención, respondiendo
al estímulo que le provoca la aparición o desaparición de algo. Tanto el alcance como la precisión
del sentido numérico de un niño pequeño son limitados. No son capaces de distinguir entre
conjuntos mayores como cuatro y cinco, en el sentido de que no son capaces de ordenarlos en
función de su magnitud, aunque si pueden hacer compraciones gruesas entre magnitudes.
-Nociones intuitivas de magnitud y equivalencia: El sentido numérico básico de los niños
constituye la base del desarrollo matemático. Cuando los niños comienzan a andar, no sólo
distinguen entre conjuntos de tamaño diferente sino que, como ya hemos mencionado, pueden hacer
comparaciones gruesas entre magnitudes. Ya a los dos años de edad aproximadamente, aprenden
palabras para expresar relaciones matemáticas que pueden asociarse a sus experiencias concretas.
Pueden comprender términos como "igual", "diferente" y "más". Respecto a la equivalencia, existen
investigaciones recientes que confirman que cuando a los niños se les pide que determinen cuál de
dos conjuntos tiene más, los niños de tres años de edad, los preescolares atrasados y los niños
pequeños de culturas no alfabetizadas pueden hacerlo de forma rápida y sin necesidad de contar.
-Nociones intuitivas de la adición y la sustracción: los niños reconocen muy pronto que añadir un
objeto a un conjunto hace que sea más y que quitar un objeto hace que sea menos. El problema
surge con la imprecisión de la aritmética intuitiva. Un niño pequeño cree que 5 + 4 es más que 9 + 2
porque para él se añaden más objetos en el primer caso que en el segundo.
Conocimiento informal:
Llega un momento en su etapa de desarrollo en el que los propios niños encuentran que el
conocimiento intuitivo, simple y llanamente, no es suficiente para abordar tareas cuantitativas. Por
tanto, se apoyan cada vez más en instrumentos más precisos fiables: numerar y contar. En realidad,
poco después de empezar a hablar, los niños comienzan a aprender los nombres de los números.
Hacia los dos años, emplean la palabra dos para designar todas las pluralidades; hacia los dos años y
medio, ya empiezan a utilizar la palabra tres para designar a muchos objetos. Por tanto, contar se
basa en el conocimiento intuitivo y lo complementa en gran parte. Así, descubren de forma natural
que las etiquetas numéricas como tres no están ligadas a la apariencia de conjuntos y objetos, y que
resultan útiles para especificar conjuntos equivalentes. Contar coloca el número abstracto y la
aritmética elemental al alcance del niño. Pero a medida que los números aumentan, el contar y la
aritmética informal se hacen cada vez menos útiles. Los métodos informales van siendo cada vez
más propensos al error.
Conocimiento formal:
La matemática formal ofrece mediante los símbolos escritos un medio para anotar números
grandes y trabajar con ellos. Así, es importante que los niños asimilen los términos de unidades,
decenas, centenas...fomentando el pensamiento abstracto y generando una forma eficaz de trabajar
con cantidades grandes.
1.2.3 Tipos de competencia matemática.
La mayor parte de las teorías psicológicas comparten el objetivo de comprender el
comportamiento del alumno a la hora de enfrentarse a las matemáticas, pero difieren en los niveles
de análisis que adoptan (que puede ser conductual, fisiológico y cognitivo) y en las tres áreas de
conducta (social, emocional e intelectual).
El alumno no puede dividirse física ni psicológicamente, por lo que deben intentar analizar
al mismo tiempo su estado social, emocional e intelectual, utilizando los tres niveles de análisis,
para poder comprender cómo se ha producido el aprendizaje o por qué se ha producido el no-
aprendizaje.
Cuando hablamos del aprendizaje matemático debemos distinguir entre los aspectos
computacionales de las matemáticas y los aspectos conceptuales. Asi, podemos diferenciar en la
competencia matemática tres componentes: aspectos procedimentales, aspectos conceptuales y
aspectos simbólicos.
1.2.4 Aproximaciones al estudio del desarrollo de conceptos matemáticos.
El lenguaje humano está íntimamente ligado a los conceptos y a la formación de los mismos,
por lo que un aspecto fundamental en ellos es su denominación. A los niños les cuesta
especialmente separar un concepto de su nombre. La diferenciaes se trata de algo esencial, aunque
no tan intuitivo en un primer momento para ellos como nos puede resultar a nosotros. Gran parte de
nuestro conocimiento cotidiano es aprendido directamente a partir de nuestro entorno, y los
conceptos que se emplean no son muy abstractos. Un concepto es una idea; el nombre de un
concepto es un sonido, o una marca sobre el papel asociada con él.
Uno de los problemas de los conceptos matemáticos consiste en su gran capacidad de
abstracción y generalidad, lograda por generaciones sucesivas de sujetos especialmente inteligentes,
por lo que las matemáticas no pueden aprenderse directamente del entorno cotidiano sino que es
necesaria la existencia de un profesor que establezca el vínculo adecuado, controlando en todo
momento qué es lo que el alumno sabe y a qué objetivo lo quiere llevar.
Podemos señalar que existen dos marcos teóricos generales para explicar la caracterización del
término concepto:
- Teoría Clásica: Considera a los conceptos como entidades abstractas representativas de la
realidad que nos rodea. Están claramente definidos en función de un conjunto de cualidades
y de las relaciones que se establecen entre ellos.
- Teoría probabilística : Mantiene que los conceptos o categorías naturales han de analizarse
en relación con la noción de prototipo o modelo.
1.2.5 Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas.
Factores de riesgo en el desarrollo matemático.
Los factores de riesgo son una serie de variables que aumentan la probabilidad de que se
produzcan dificultades en el desarrollo del aprendizaje matemático. La vulnerabilidad y el grado de
resistencia ante las adversidades y los problemas varían de unos alumnos a otros. La siguiente lista
muestra algunos de los factores principalemente influyentes:
-Constitucionales: Influencias hereditarias y anomalías genéticas; complicaciones
prenatales y durante el nacimiento; enfermedades y daños sufridos después del nacimiento;
alimentación y cuidados médicos inadecuados.
-Familiares: Pobreza; malos tratos, indiferencia; conflictos, desorganización,
psicopatología, estrés; familia numerosa.
-Emocionales e interpersonales: Patrones psicológicos tales como baja autoestima,
inmadurez emocional, temperamento difícil; Incompetencia social; rechazo por parte de los
iguales.
-Intelectuales y académicos: Inteligencia por debajo de la media. Trastornos del
aprendizaje. Fracaso escolar.
-Ecológicos: Vecindario desorganizado y con delincuencia. Injusticias raciales, étnicas y de
género.
-Acontecimientos de la vida no normativos que generan estrés: Muerte prematura de los
progenitores. Estallido de una guerra en el entorno inmediato.
Discalculia.
El principal problema o dificultad en el aprendizaje matemático es la Discalculia: Se trata
de un trastorno en el aprendizaje que afecta a la correcta adquisición y ejecución de las habilidades
aritméticas y del conocimiento numérico. Puede afectar tanto al rendimiento académico del alumno
como a situaciones de su vida cotidiana, pero es un problema totalmente independiente de su
capacidad intelectual. En algunos casos se asocia a otras alteraciones como la dislexia, el TDAH, o
diversos problemas cromosómicas (X frágil).
Es importante detectar este tipo de problemas en edades tempranas, para que el niño
comience a ejercitar sus carencias lo antes posible. Un niño con discalculia puede presentar
dificultades para memorizar las tablas de multiplicar, operar con números sencillos e incluso a la
hora de distinguir los propios grafos de los mismos. Por ello, necesita una enseñanza más intensiva
y práctica sobre el sentido numérico, y un periodo de tiempo más extenso en el aprendizaje de los
conocimientos básicos, además de tratamientos específicos en función del grado de gravedad del
problema, ya que no todos los niños con discalculia se encuentran al mismo nivel.
2. Elementos fundamentales de la Memoria de
Prácticas.
2.1 Unidad Didáctica.
1ºBACHILLERATO: Funciones.
1. Introducción
Cuando hablamos del concepto de función, el nombre del matemático suizo Leonhard Euler
(1707-1783) clama a gritos ser mencionado. Fue quien precisó el concepto en sí y realizó un estudio
sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales. No obstante,
la idea de funcíón venía siendo estudiada desde los orígenes de las matemáticas por las culturas
babilónica, egipcia y china.
A lo largo de los años se han descubierto numerosos fenómenos sobre los que aplicarlas en
diferentes campos como la física, la tecnología el arte o la naturaleza, que nos dejas ejemplos como
la relación entre un gas a temperatura constante y la presión o la fuerza de atracción entre dos
cuerpos, la masa de los mismos y la distancia que les separa.
La representación de funciones, tanto de forma algebraica como gráficamente resulta
esencial para su estudio e interpretación. El objetivo principal de esta unidad es que los alumnos, a
partir del recordatorio del concepto de función y de la observación e interpretación de las funciones
calificadas como elementales, conozcan y aprendan de manera progresiva las diferentes propiedades
de las mismas, existentes también en el resto de funciones, y sean capaces de localizarlas y
definirlas.
Como se mencionó anteriormente, esta unidad está desarrollada a partir de otra creada
previamente para 4º de ESO, de manera que los contenidos y objetivos tengan un enfoque
propedéutico, incluyendo también las competencias de la misma.
2. Objetivos.
2.1 Objetivos generales.
La lista presentada a continuación refleja de manera general los objetivos que se pretende
que los alumnos alcancen con esta unidad, y que en el siguiente apartado serán mencionados de
manera más específica:
1.- Utilizar las formas de pensamiento lógico en los distintos ámbitos de la actividad humana.
2.- Aplicar en nuestra vida diaria las herramientas aprendidas de manera adecuada y con soltura.
3.- Utilizar el lenguaje matemático de manera clara y precisa con el fin de comunicarse
correctamente.
4.- Utilizar con soltura y sentido crítico los distintos recursos tecnológicos (calculadoras, programas
informáticos…) de forma que supongan una ayuda en el aprendizaje y en las aplicaciones
instrumentales de las Matemáticas.
5.- Resolver problemas matemáticos, utilizando diferentes estrategias, procedimientos y recursos,
desde la intuición hasta los algoritmos.
6.- Aplicar los conocimientos sobre la representación geométrica de funciones para comprender y
analizar mejor el mundo físico que nos rodea.
7.- Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que el alumno debe adquirir a
lo largo de la Educación Secundaria Obligatoria.
8.- Desarrollar técnicas y métodos relacionados con los hábitos de trabajo, la curiosidad y el interés
para investigar y resolver problemas, la responsabilidad y colaboración en el trabajo en equipo con
la flexibilidad suficiente para cambiar el propio punto de vista en la búsqueda de soluciones.
2.1 Objetivos Específicos.
Los objetivos específicos desarrollados a partir de los objetivos generales para esta unidad
didáctica son los siguientes:
1.- Estudiar el dominio y el recorrido de una función a través de su expresión algebraica y de su
representación gráfica.
2.- Conocer y estudiar los conceptos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos, puntos de
inflexión, acotación, simetría y periodicidad de una función expresada gráficamente.
3.- Dadas las expresiones algebraicas de f(x) y g(x), obtener la expresión algebraica de (f+g)(x) y
(f-g)(x) e interpretar los resultados que se obtienen.
4.- Dadas las expresiones algebraicas de f(x) y g(x), obtener la expresión algebraica de (f*g)(x) y
(f/g)(x) e interpretar los resultados que se obtienen.
5.- Obtener e interpretar las asíntotas de una función dada, introduciendo la idea de tendencia y de
límite de una función.
6.- Obtener la expresión algebraica de la función recíproca de una dada e interpretar los resultados
que se obtienen.
7- Calcular la imagen de puntos en una función definida a trozos y representarla gráficamente.
8.- Calcular la imagen de los puntos de una función valor absoluto y representarla gráficamente.
9.- Reconocer y representar la gráfica de funciones lineales y cuadráticas.
10.- Reconocer y representar la gráfica de funciones de proporcionalidad inversa y funciones
racionales.
11.- Reconocer y representar la gráfica de funciones logarítmicas y exponenciales.
12.- Reconocer la función exponencial como la inversa de la logarítmica y viceversa.
13.- Reconocer y representar la gráfica de las funciones trigonométricas.
14.- Partiendo de funciones más sencillas de las que se conoce su gráfica, mediante traslaciones,
dilataciones, contracciones y simetrías, elaborar la gráfica de funciones más complejas.
3. Contenidos.
A continuación se exponen los conceptos, conocimientos y aptitudes que se pretenden
alcanzar con esta unidad didáctica.
3.1 Conceptos.
1.- Concepto de función.
2.- Dominio de una función. Restricciones al dominio.
3.- Crecimiento y decrecimiento de una función. Máximos y mínimos.
4.- Discontinuidad y continuidad de una función. Puntos de inflexión.
5.- Periodicidad. Funciones periódicas. Función par y función impar.
6.- Funciones definidas a trozos.
7.- Función valor absoluto.
8.- Funciones recíprocas o inversas.
9.- Operaciones con funciones(suma, resta, producto, cociente, composición).
10.- Concepto de función lineal. Concepto de pendiente.
11.- Función cuadrática. Parábola. Vértice.
12.- Función de proporcionalidad inversa.
13.- Función racional.
14.- Función exponencial.
15.- Función logarítmica.
16.- Funciones trigonométricas.
3.1 Procedimientos.
1.- Visualización del grafo de una función para comprender la misma.
2.- Relación entre la expresión analítica de una función y su gráfica.
3.- Representación de funciones.
4.- Reconocimiento de discontinuidades, de máximos y mínimos, de intervalos de crecimiento y de
periodicidades.
5.- Dibujo de la gráfica de una función para estudiarla e interpretarla.
6.- Estudio de las propiedades de las funciones más habituales.
7.- Dibujo de la gráfica de funciones más complejas a partir de funciones sencillas.
3.3 Actitudes.
1.- Reconocimiento de la utilidad de la representación gráfica para un estudio rápido de una
función.
2.- Apreciar ventajas e inconvenientes que tiene la representación analítica frente a la representación
gráfica.
3.- Valoración crítica ante el uso de las nuevas tecnologías (calculadora, ordenador…) a la hora de
estudiar las funciones.
4.- Interés y valoración del lenguaje gráfico que aparece en el mundo cotidiano.
5.- Reconocimiento de la utilidad del conocimiento de las funciones más habituales en matemáticas.
6.- Apreciar ventajas e inconvenientes que encontraremos al dibujar de forma intuitiva las gráficas
de una función.
7.- Identificación y asociación de las funciones estudiadas en el mundo real.
4.Competencias.
Las competencias básicas consideradas en esta unidad didáctica son las siguientes:
4.1 Competencia matemática.
1.- Interpretar una función a través de su gráfica.
2.- Reconocimiento del grafo de una función a partir de la expresión analítica de la misma.
3.- Reconocer y utilizar las características de los tipos de funciones en situaciones
problemáticas que se les presenten a los alumnos.
4.1 Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico.
1.- Interpretar una función a través de su gráfica.
2.-Reconocer y utilizar las características de los tipos de funciones en situaciones
problemáticas que se les presenten a los alumnos.
3.- Utilización de la gráfica de una función para estudiar experimentos o situaciones
cercanas a los alumnos.
4.2 Competencia social y ciudadana.
1.- Reconocer y utilizar las características de los tipos de funciones en situaciones
problemáticas que se les presenten a los alumnos.
4.3 Competencia para aprender a aprender.
1.- Utilización de la gráfica de una función para estudiar experimentos o situaciones
cercanas a los alumnos que posteriormente ellos mismos puedan analizar y autoinstruirse.
5. Estrategias de Intervención y adaptaciones curriculares.
Es necesario exponer una gran cantidad de ejemplos para que los alumnos entiendan bien el
concepto de función, enfatizando la diferencia entre variable dependiente e independiente y de
dominio y recorrido. Ejemplos propios de la vida cotidiana resultan muy útiles para que los
alumnos comprendan mejor los conceptos de crecimiento y decrecimiento, así como la periodicidad
y la acotación.
La combinación de funciones que posean máximos y mínimos con aquellas que no los
posean resulta muy práctica.
En el cálculo de funciones recíprocas, es interesante que los alumnos comprueben siempre la
veracidad del resultado obtenido, independientemente del orden de composición que empleen.
6. Metodología.
El desarrollo de esta unidad se llevará a cabo de manera un poco diferente a la convencional.
Tras introducir como recordatorio el concepto de función, estudiaremos las características básicas
que los alumnos deben conocer sobre funciones a partir del estudio de las funciones elementales,
intentando desarrollar al mismo tiempo su capacidad intuitiva para reconocerlas simplemente con
ver la fórmula que las define y su capacidad para operar y definir las características de las mismas a
través de un estudio más detallado. No estudiarán primero todas las características como tal para
posteriormente definirlas en las funciones elementales, si no que partiremos de las funciones
elementales, e iremos introduciendo en cada una de ellas una o varias características, teniendo en
cuenta siempre qué funciones nos facilitan el reconocimiento de las mismas más intuitivamente.
Utilizaremos hojas de cálculo y nos apoyaremos en una herramienta informática, el programa
Geogebra, para representar las diferentes funciones y construir animaciones que les ayuden a
entender el comportamiento de las funciones en diferentes entornos de su dominio de una forma
más visual, que les ayudará a retener una visión general de la forma que tienden a adoptar las
funciones elementales sin necesidad de hacer cálculos previamente.
7. Actividades.
7.1 Sesiones.
La unidad queda dividida en 8 sesiones, en las que se explicarán los conceptos teóricos que
aparecen a continuación y se realizarán ejercicios como los de los ejemplos expuestos,
deteniéndonos en cada detalle para que lleguen a entender los contenidos y sean capaces de aplicar
los conocimientos adquiridos en la resolución de ejercicios relacionados con los mismos. El estudio
de algunos tipos de funciones es mucho más completo si nos apoyamos en animaciones y
representaciones gráficas, por lo que emplearemos la mayor parte del tiempo el programa
Geogebra. Como generalmente suelen dedicarse dos unidades didácticas al estudio de Funciones y
hemos fusionado ambas en una, se dedicará una tercera semana de 4 sesiones más a realizar
ejercicios en la línea de los ejemplos aquí propuestos, así como a resolver dudas o cuestiones que
puedan surgirles a los alumnos.
1. Concepto de Función (Una sesión).
Idea:
Supongamos que tenemos una máquina que podemos programar de tal forma que al meter
un objeto en ella nos calcule una característica del mismo, como su peso, su altura, su edad...
devolviéndola como resultado, o no devolviendo nada en caso de que no pueda calcularla.
Supongamos ahora que además podemos programar nuestra máquina para que introduzcamos en
ella el valor que le damos a una incógnita(variable independiente) perteneciente a una expresión
algebraica, el cual es sustituido en la ecuación dentro de la máquina, que nos devuelve el resultado
obtenido para ese valor concreto (variable dependiente). Esa especie de máquina en la que
introducimos un valor "x" y nos devuelve como máximo otro valor "y", y que siempre que
introduzcamos un valor concreto "x" nos devolverá el mismo valor "y", nos define de forma
intuitiva el concepto de función.
Definición:
Llamamos Función real de variable real (f) a una correspondencia que asocia, dentro de un
determinado conjunto de números reales, a cada elemento del mismo, un único número real, que
por tanto depende de éste y se denota por y=f(x).
Llamamos variable independiente (x), a la variable de entrada, cuyo valor fijamos
previamente.
Llamamos variable dependiente (y), a la variable cuyo valor se deduce a través de la
función y por tanto depende de la variable independiente.
Llamamos Dominio de la fución (D(f)), al conjunto de todos los valores que puede tomar la
variable independiente.
Llamamos Recorrido o imagen de la función (R(f), Im(f)), al conjunto de todos los valores
que toma la variable dependiente (imágenes).
Características básicas:
A la hora de estudiar y representar una función, hay una serie de características básicas que
debemos conocer y que iremos definiendo a lo largo de la unidad. Éstas son:
Crecimiento y decrecimiento.
Acotación.
Simetría.
Operaciones (Suma, resta, producto y cociente).
Máximos y mínimos.
Reciprocidad(función inversa).
Periodicidad.
Asíntotas.
Composición.
Funciones Elementales.
Existen una serie de funciones que comparten una serie de características que determinan su
representación gráfica de forma que podamos realizar una clasificación de las mismas.
Estudiaremos una por una estas funciones, definiendo a partir de ellas las características
mencionadas antes. Estas funciones son:
Funciones polinómicas.
Funciones logarítmicas y exponenciales.
Funciones Trigonométricas.
Funciones racionales.
Funciones definidas a trozos.
2. Funciones Polinómicas. (Una sesión)
Llamamos funciones lineales a las funciones polinómicas de grado 1. Tienen la forma y =
mx+n, y su representación gráfica es la recta.
m es la pendiente de la recta. Si m>0, la función es creciente, y si m<0 decimos que la
función es decreciente.
n es la ordenada en el origen, es decir, el valor de y cuando x = 0.
Ejercicio resuelto: Representa y estudia las funciones f(x)=2x+1; g(x)=-x-4.
Crecimiento y decrecimiento:
Definimos tasa de variación de una función f al pasar del punto a al punto b como :
TV[a,b]=f(b)-f(a). Así, una función es creciente en un intervalo si para cualquier par de
valores del mismo, siendo el primer valor menor que el segundo, la tasa de variación es
positiva, y es decreciente si la tasa de variación es negativa.
Observando la representación, podemos ver que la primera función es creciente y la segunda
es decreciente. Además, notar que cuando el coeficiente que acompaña a x es positivo, las rectas
son crecientes, mientras que cuando son negativos, son decrecientes.
Acotación:
Una función f está acotada inferiormente/superiormente si existe un número real k tal
que para todo x f(x)<=k/ f(x)>=k. El número k se llama cota inferior/superior. Así, una
función estará acotada si lo está inferior o superiormente.
Estas funciones son rectas con pendiente no nula, es decir, rectas no horizontales, y por tanto
no están acotadas.
Simetría:
Una función f es par o simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del
dominio se verifica que f(-x) = f(x).
Una función f es impar o simétrica respecto del origen cuando para todo x del dominio
se verifica que f(-x) = f(x).
Esta recta no es par ni impar.
Suma y resta:
La suma de dos funciones f y g es otra función (f+g) que a cada x del dominio común de
ambas le hace corresponder f(x) mas g(x).
La diferencia de dos funciones f y g es otra funcón (f-g) que a cada x del dominio
común de ambas le hace corresponder f(x) menos g(x).
En este caso, se trata de funciones polinómicas, por lo que su suma será otra función
también polinómica, x-3, y su diferencia 3x+5.
Producto:
El producto de dos funciones f y g es otra función f*que a cada x del dominio común de
ambas le hace corresponder f(x)*g(x).
El producto de un número real k por una función f es una función kf que asocia, a cada
x, k veces el valor de f(x).
En este caso, el producto de la función f por la función g se trata de un producto de
polinomios, que da como resultado −x2−9x−4 . Se trata de un polinomio de segundo grado,
que ya no es una recta; es una parábola.
Llamamos funciones polinómicas de segundo grado o funciones cuadráticas a aquellas
de la forma ax2bxc . Sus gráficas son parábolas. Si a>0, la parábola se abre hacia
arriba, y si a <0, se abre hacia abajo. El eje de la parábola es la recta x = -b/2a y el vértice es el
punto de la parábola que tiene abscisa x = -b/2a.
La función está acotada superiormente, tiene un máximo en su vértice. Notemos que el
vértice de toda parábola será un máximo, y por tanto la parábola irá hacia abajo, si el coeficiente de
la x elevada al cuadrado es negativo, y por el contrario su vértice será un mínimo si el coeficiente de
la x elevada al cuadrado es positivo, luego estará acotada inferiormente.
Además, toda parábola cuyo vértice esté situado en el eje de ordenadas será simétrica con
respecto al mismo.
Notar también que el crecimiento y decrecimiento de este tipo de funciones cambia al llegar
a su vértice, pasando de creciente a decreciente cuando el vértice es un máximo, y de decreciente a
creciente cuando el vértice es un mínimo.
A continuación veremos unos ejemplos de funciones polinómicas de grado mayor que
dos, en este caso de grado tres y de grado cuatro, y a partir de su representación deduciremos
sus propiedades y la forma que de manera intuitiva podemos decir que tienen:
c) f x = x−2x−2 x2x2
Notar que las funciones polinómicas SIEMPRE son continuas.
3. Funciones de Proporcionalidad Inversa (Una sesión).
Son aquellas funciones de la forma y=k/x. Sus gráficas son curvas llamadas hipérbolas.
Su dominio y su recorrido es el conjunto de números reales, salvo el cero.
A medida que x se aleja del origen, por la izquierda o por la drecha, los valores
correspondientes de y se aproximan a cero.
A medida que x se acerca al origen, por la izquiera o por la derecha, los valores
correspondientes de y se alejna de cero.
Si x>0, la función es siempre decreciente, y si k<0, creciente.
Ejercicio resuelto: Representa y estudia la función y=−4 / x−2 :
Una asíntota de una función es una recta cuya distancia a la función tiende a cero
cuando x tiende a infinito o bien x tiende a un punto concreto. Así, dependiendo de la posición
de dicha recta, la denominaremos asíntota horizontal, vertical, u oblicua.
El cociente de dos funciones f y g es otra función f:g que, a cada x del dominio común
de ambas, le hace corresponder f(x) entre g(x).
En este caso, podemos decir que tenemos el cociente de dos funciones, una polinómica de
grado cero y otra polinómica de grado uno, y que queda definida una asíntota vertical en x=2, así
como una asíntota horizontal en y=0 (eje de abscisas).
4. Funciones racionales (Una sesión).
Llamamos funciones racionales a las funciones de la forma y =p(x)/q(x) , con p y q
funciones polinómicas y q x ≠0 . Así, su domino será toda la recta real salvo aquellos
valores que anulen el denominador.
Ejercicio resuelto: Estudiar y representar las siguientes funciones :
(x-2)/(x-2):
Vemos de nuevo un cociente de dos funciones polinómicas, esta vez ambas de primer grado.
Aunque podríamos haber pensado que la función se trataba de la recta y =1, esta función tiene un
agujero en el punto x=2, en el cual no está definida.
(x+1)/(x-2):
La función tiene una asíntota vertical en x = 2, y una vertical en y = 0.
5. Funciones exponenciales (Una sesión).
Las funciones de la forma y=a x , donde a es un número real positivo distinto de 1, se
denominan funciones exponenciales. Su dominio es toda la recta real, y su recorrido los
números reales positivos. Son funciones continuas en todo su dominio.
Si a>1, la función es creciente en todo su dominio. Estas funciones tienen como asíntota
horizontal en −∞ a la recta y =0.
Si 0<a<1, la función es decreciente en todo su dominio. Estas funciones tienen como
asíntota horizontal en ∞ a la recta y=0.
Ejercicio resuelto: Representa las funciones y=e x ; y=e−x ; y=3x ; y=3−x ; y=10x :
Estas dos primeras funciones son especialmente importantes porque aparecen en la
descripción de múltiples procesos naturales, como el crecimiento de poblaciones de
microorganismos( e x , en verde) o las desintegraciones radiactivas ( e− x , en rojo).
La función exponencial 10 x también se trata de una función que describe multitud
de procesos naturales. Suelen emplearse para medir magnitudes que tienen un rango de
variación muy grande, como por ejemplo, la energía que es liberada en un terremoto.
Ambas funciones tienen una asíntota horizontal en la recta y = 0 (eje de abscisas).
Conforme aumente o disminuya el valor de la base, la rama tendrá una forma más o menos
abierta respectivamente.
6. Funciones Logarítmicas (Una sesión).
Las funciones de la forma f(x) = log x, que asocian a cada número real positivo x el
valor de u logaritmo en base a, se denominan funciones logarítmicas.
Su dominio está formado por el conjunto de números reales positivos, y su recorrido
por todos los números reales. Estas funciones son continuas en todo su dominio.
Ejercicio resuelto: Representa y estudia las funciones y = logx; y = ln x:
Teniendo en cuenta que:
Si a>1, la función es negativa para valores de x menores que 1 y positiva para valores de x
mayores que 1, siendo creciente en todo su dominio.
Si a<1, la función es positiva para x<1 y x>1, siendo decreciente en todo su dominio.
En ambos casos la base es mayor que 1. Luego la función es negativa para valores de x menores que
1 y positiva para valores de x mayores que 1, siendo creciente en todo su dominio.
Decimos que dos funciones f y g son recíprocas si se verifica que la composición de f
con g es igual a la composición de g con f, y a la vez es igual a la función identidad. Las
gráficas de una función (f) y su recíproca ( f −1 ) son simétricas respecto a la bisectriz del
primer cuadrante.
Así, la función logarítmica (azul) y la función exponencial (verde) son funciones recíprocas:
(Animación Geogebra)
7. Funciones Trigonométricas (Una sesión).
Intuitivamente, podemos considerar que una función es periódica cuando su
representación gráfica se repite de forma constante indefinidamente. Decimos que una
función f es periódica de período T si, para todos los puntos del dominio, se verifica que f
(x+T) =f(x).
Ejemplos de funciones periódicas son las funciones trigonométricas, que son aquellas
funciones que representan al seno de un ángulo cualquiera (f(x) = senx), al coseno de un
ángulo cualquiera (f(x) = cosx) y a la tangente de un ángulo cualquiera (f(x) = tg x), así como
sus funciones inversas, que no estudiaremos en este curso. El periodo de las funciones seno y
coseno es T=2 , mientras que el de la función tangente es T = .
(Aplicación Geogebra)
8. Funciones definidas a trozos (Una sesión).
Mientras que algunas funciones quedan definidas por una única fórmula, otras se
definen aplicando diferentes fórmulas en función de en qué parte del dominio de la misma nos
encontremos. Este tipo de funciones se conocen como Funciones a trozos.
Ejemplo: Representar la siguiente función:
si x <= 1, f(x) = -x
si 1< x < 4, f(x) = x2−2
si x>= 4, f(x) = x-2
Los tres trozos por separado vienen representado por las lineas negras, mientras que las líneas rojas
representan la función f(x).
Función valor absoluto: La función valor absoluto puede considerarse como un tipo
particular de función definida a trozos. Sabemos que el valor absoluto de un número real es el
propio número sin tener en cuenta su signo. Así, la representación gráfica de los valores reales
que toma una función real de variable real siempre tomará valores positivos, por lo que todos
aquellos valores negativos se representarán sin tener en cuenta su signo.
Ejemplo:
f x =x2−2
La función f(x) representada como tal es la que aparece en negro. Si queremos representar la
función |f(x)| tendremos que eliminar los valores que están por debajo del eje de abscisas y
representarlos sobre él. Estos valores son los representados en rojo en el dibujo.
Es importante no confundir las funciones definidas a trozos con la composición de
funciones. Dadas dos funciones, f y g, llamamos función compuesta de f con g a la función
fºg(x) = g(f(x)). Notar que (gºf)(x) y (fºg)(x) son funciones diferentes.
Intuitivamente, podemos verlo con el siguiente dibujo:
Ejemplo propuesto: Dadas las funciones: f x =x21 ; g x =2x−3 , calcula el valor de:
a) (gºf)(x)
b) (fºg)(x)
c) (gºf)(2)
d) (fªg)(-2)
8. Evaluación.
A continuación voy a definir los tres tipos de evaluación que voy a seguir:
8.1 Evaluación inicial.
Para conocer el nivel que tienen nuestros alumnos sobre esta unidad didáctica, les haremos
una pequeña prueba sobre el reconocimiento y la representación de funciones elementales. Esta
prueba no intenta realmente calificar al alumno, si no saber cuál es la base de la que parte, qué
carencias puede presentar, y dónde conviene detenerse más o menos tiempo a lo largo de la unidad
didáctica.
8.2 Evaluación formativa o continua.
Su objetivo es la reorientación del proceso de enseñanza-aprendizaje, que permite cambiar
sobre la marcha determinados elementos de la unidad en función de la capacidad de aprendizaje de
nuestros alumnos.
A lo largo de las clases, se evaluará a los alumnos el trabajo a diario realizado tanto en el
aula como en casa con la realización de ejercicios propuestos o voluntarios. Sumado al
comportamiento del alumno en el aula, podrá afectar hast aun 30% en la nota final del alumno.
8.3 Evaluación sumativa ó final.
Se aplica al final de la unidad didáctica como comprobación de los objetivos marcados. Se
trata de un examen escrito y su puntuación máxima es 10 puntos. Para concretar la final de
evaluación se tendrá en cuenta: el trabajo diario realizado por el alumno, las notas de los exámenes
de las unidades didácticas y el comportamiento del mismo.
Al trabajo diario le daremos un valor del 30% y el 70% restante será una media de los
exámenes realizados en la evaluación. Estos porcentajes son valores estimados, que podrán variar
ligeramente en función del criterio de evaluación del profesor.
8.4 Criterios de evaluación.
La evaluación puede conceptualizarse como un proceso dinámico, continuo y sistemático,
enfocado hacia los cambios de las conductas y rendimientos, mediante el cual verificamos los
logros adquiridos en función de los objetivos propuestos.
El Currículo de ESO de La Rioja, establece como criterios de evaluación para 4º ESO en el
tema Funciones: identificar relaciones cuantitativas en una situación y determinar el tipo de función
que puede representarlas. Este criterio pretende evaluar la capacidad de discernir a qué tipo de
modelo de entre los estudiados, lineal, cuadrático, de proporcionalidad inversa, exponencial ó
logarítmica, responde un fenómeno determinado y de extraer conclusiones razonables de la
situación asociada al mismo, utilizando para su análisis, cuando sea preciso, las tecnologías e la
información. Además, a la vista del comportamiento de una gráfica ó de los valores numéricos de
una tabla, se valorará la capacidad de extraer conclusiones sobre el fenómeno estudiado.
A partir de los criterios de evaluación definidos para la unidad de 4º de ESO y teniendo en
cuenta los establecidos para bachiller para saber en cuáles de ellos era conveniente profundizar y
qué conceptos era necesario ampliar, hemos elaborado los criterios de evaluación para la unidad de
1º de Bachiller, que es la que queda recogida en esta memoria.
Los criterios de evaluación se han seleccionado teniendo en cuenta los objetivos específicos
definidos anteriormente, como se puede observar en la siguiente tabla:
Objetivos Específicos Criterios de evaluaciónEstudiar el dominio y el recorrido de una
función a través de su expresión algebraica o su
representación gráfica.
Estudiar las características principales de una
función a través de su expresión algebraica ó su
representación gráfica.Conocer y estudiar los conceptos de
crecimiento, decrecimiento, máximos y
mínimos, puntos de inflexión, acotación,
simetría y periodicidad de una función
expresada gráficamente.
Estudiar las características principales de una
función a través de su expresión algebraica ó su
representación gráfica.
Dadas las expresiones algebraicas de f(x) y g(x),
obtener la expresión algebraica de (f+g)(x) y (f-
g)(x) e interpretar los resultados que se obtienen.
Dadas dos funciones, ser capaz de operar con
ellas e interpretar los resultados que se obtienen.
Dadas las expresiones algebraicas de f(x) y g(x),
obtener la expresión algebraica de (f*g)(x) y
(f/g)(x) e interpretar los resultados que se
obtienen.
Dadas dos funciones, ser capaz de operar con
ellas e interpretar los
resultados que se obtienen.
Obtener e interpretar las asíntotas de una
función dada, introduciendo la idea de tendencia
y de límite de una función.
Obtener la expresión algebraica de la
función recíproca de una dada e
interpretar los resultados que se obtienen.Obtener la expresión algebraica de la función
recíproca de una dada e interpretar los resultados
que se obtienen.
Dadas dos funciones, ser capaz de operar con
ellas e interpretar los resultados que se obtienen.
Calcular la imagen de puntos en una función
definida a trozos y representarla gráficamente.
Estudiar y representar funciones definidas en
varios trozos.Reconocer y representar la gráfica de funciones
lineales y cuadráticas.
Reconocer las funciones lineal y cuadrática, y
dominar las propiedades que las caracterizan.
Reconocer y representar la gráfica de funciones
de proporcionalidad inversa y funciones
racionales.
Reconocer las funciones de proporcionalidad
inversa y las funciones racionales, y dominar las
propiedades que las caracterizan..
Reconocer la función exponencial como la
inversa de la logarítmica y viceversa.
Reconocer las funciones logarítmica y
exponencial, y dominar las propiedades que las
caracterizan.Reconocer y representar la gráfica de las
funciones trigonométricas.
Reconocer las funciones trigonométricas y
dominar las propiedades que las caracterizan.
Partiendo de funciones más sencillas de las que
se conoce su gráfica, mediante traslaciones,
dilataciones, contracciones y simetrías, elaborar
la gráfica de funciones más complejas.
Construir la gráfica de funciones más complejas
a partir de la gráfica de otras funciones más
sencillas.
8.4 Modelos de exámenes.
A continuación, expongo un modelo de prueba inicial y otro de examen de evaluación:
-Examen previo.
1.- Observa la siguiente gráfica:
a) ¿Cuál es la pendiente de la recta?
b) ¿Cuál es la ordenada en el origen?
c) Escribe su ecuación.
2.- Por reparar una avería, un fontanero cobra 9 euros por el desplazamiento y 12 euros por
hora trabajada.
a) Calcula cuánto cobrará por reparar una avería en la que ha invertido 4 horas de trabajo.
b) ¿Cuánto tiempo le llevó reparar una avería por la que cobró 63 euros?
c) Escribe la función que determina el precio a cobrar dependiendo de las horas trabajadas.
3.- Se lanza una pelota al aire. La gráfica representa la altura alcanzada por la pelota en
función del tiempo. Contesta a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto estuvo en el aire?
b) ¿Cuál es la máxima altura que alcanzó la pelota?
c) Durante cuántos segundos subió y bajó la pelota.
4.- A la vista de la gráfica de la función f x =x4−4x2 :
a) Indica el dominio de la función.
b) ¿En qué intervalos crece y decrece?
c) ¿Cuáles son sus máximos y sus mínimos relativos?
d) Indica los puntos en que corta los ejes coordenados.
e) Señala si es simétrica.
f) Señala si es periódica.
g) Indica en qué puntos no es continua.
-Examen de evaluación.
1. Sea la función 4 21 36( )13 13
f x x x= - +
a) Justifica razonadamente cuál es el Dominio de ( )f x .
b) Justifica razonadamente si es simétrica respecto al eje de las Y.
c) Calcula el valor o valores que puedo introducir en la función ( )f x para obtener como
resultado: 0.
d) ¿Está -2 en el recorrido de la función ( )f x ?
e) ¿Qué valor o valores puedo introducir en la función ( )f x para obtener 3613
?
f) Justifica si es una función inyectiva y, por tanto, si puede tener función inversa.
g) Hacia dónde se acerca la función f(x) cuando x ®+¥ , es decir, cuál es lim ( )x
f x®+¥
h) Hacia dónde se acerca la función f(x) cuando x ®-¥ , es decir, cuál es lim ( )x
f x®-¥
i) Justifica, a la vista de los apartados anteriores, si podría ser ( )f x la función
representada abajo.
Ahora, suponiendo que tuvieras la gráfica de f(x), contesta a las siguientes preguntas
j) Razonando y sin hacer ninguna operación, como dibujarías 4 21 36( )13 13
g x x x= - + -
k) Razonando y sin hacer ninguna operación, cómo dibujarías 4 21 36( )13 13
h x x x= - +
2. Sea la función 2
1 2( )
8 15 2x si x
f xx x si x
- + <ì= í - + ³î
a) Represéntala en unos ejes coordenados
b) Indica por qué no es continua en x = 2
c) Indica si tiene algún máximo o mínimo relativo y/o absoluto.
d) Cómo podría modificar el trozo parabólico de la derecha para que fuese continua.
3. Sean la función 2 3( )3 3
xf xx+
=-
a) Calcula su Dominio
b) Calcula su Recorrido
c) Calcula su función inversa o recíproca
d) Estudia qué pasa con la función cuando x ®+¥
e) Estudia qué pasa con la función cuando x ®-¥
f) Estudia qué pasa con la función cuando 1x ®
g) Justifica, a la vista de lo que has obtenido, si alguna de las dos gráficas siguientes podría
ser la de ( )f x
h) Si la función dada hubiese sido 2
2
2 3( )3 3
x xg xx x
+=
- , cuál hubiese sido la diferencia con
f(x).
4. Con los siguientes apartados:
- Justifica adecuadamente si los pasos dados para razonar son correctos o incorrectos.
- Justifica adecuadamente si las conclusiones son correctas o no y, en caso de que el
razonamiento dado no sea correcto, haz tú un razonamiento adecuado.
a) Dadas 3 3( ) 2 3 , ( ) 2 6f x x g x x= - = + , cuando x ®+¥ , si tomamos valores de x
suficientemente grandes: 3 3
3 3
( ) 2 3 2 1( ) 2 6 2
f x x xg x x x
-= » =
+, por consiguiente
3
3
2 3lim 12 6x
xx®¥
-=
+
b) Dadas 3 3( ) 2 3 , ( ) 2 6f x x g x x= - = + , cuando x ®+¥ , si tomamos valores de x
suficientemente grandes: ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3( ) ( ) 2 3 2 6 2 2 0f x g x x x x x- = - - + » - = , por
consiguiente ( ) ( )3 3lim 2 3 2 6 0x
x x®¥
é ù- - + =ë û
c) Dada 3
3
2 3( )1
xf xx
-=
-, cuando x ®+¥ , si tomamos valores de x suficientemente
grandes tenemos que: 3 3
3 3
2 3 2 21
x xx x
-= =
-, por tanto, ( )f x tiene una asíntota horizontal
en 2y = .
5. Sean la función 4 21 36( )13 13
f x x x= - +
a) Justifica razonadamente cuál es el Dominio de ( )f x .
9. Materiales y recursos de apoyo.
Para alcanzar un desarrollo óptimo para esta unidad didáctica, es interesante utilizar como
material y recursos complementarios el programa Geogebra, el cual permite representar todo tipo de
funciones y estudiar con rapidez los posibles cambios y transformaciones realizables sobre las
mismas de una forma muy visual y sencilla de utilizar.
Las hojas de cálculo también resultan de gran ayuda, bien para dar valores con mayor
precisión o para dar grandes cantidades de los mismos.
La utilización de material recogido en prensa o revistas de actualidad puede reflejar muy
bien la aparición de las funciones en el mundo real, así como su gran utilidad y su constante
aplicación.
2.2 Reflexión y conclusiones.
Es complicado relacionar los contenidos recibidos de las clases teóricas del Master con las
prácticas, puesto que la idea que uno tiene en la cabeza de lo que va a ser entrar a un aula e impartir
clase antes de hacerlo no tiene nada que ver con la realidad. Hay actividades que pueden
aprovecharse y sirven de gran utilidad, sobre todo elaboradas en las asignaturas específicas, a la
hora de plantear problemas, herramientas y técnicas para resolverlos, y algunos conceptos
estudiados en las asignaturas genéricas se ven claramente reflejados en los alumnos y pueden servir
de pauta para saber cómo reaccionar, bien sea con alumnos con algún problema visto en la
asignatura de Psicología, con el funcionamiento del centro, el grupo en conjunto y sus reacciones
que pueden enmarcarse en conceptos estudiados en Pedagogía, o con la influencia de su entorno
social y familiar trabajado en Sociología. No obstante, el periodo de prácticas me parece
indispensable para este Master, ya que por mucho que se estudie de forma teórica el funcionamiento
de un centro, los diferentes comportamientos y actitudes de los alumnos y los recursos que pueden
resultar de mayor utilidad a la hora de impartir los contenidos básicos, hasta que no son puestos en
práctica no se aprecia la verdadera dificultad que todo ello supone. Trabajar con personas es una
labor realmente compleja, y más aún cuando se trata de personas en pleno proceso de cambio, como
son los adolescentes.
Cada alumno es único y necesita ser tratado como tal, lo cual es complicado teniendo en
cuenta que cada clase cuenta con más de 20 estudiantes diferentes a los que prestar atención al
mismo tiempo. A lo largo del período de prácticas fui anotando reflexiones sobre situaciones,
comentarios e intervenciones que me llamaron la atención, incluso sobre algunos de ellos en
concreto, que forman parte de la memoria de prácticas. Incluiré a continuación las más
significativas:
1. Presume de ser capaz, al igual que las mujeres, de hacer dos cosas a la vez: Lavarse los dientes y
hacer pis. Es de los más pequeños, quizás el más pequeño de todos, aunque juega a baloncesto, pero
eso es lo de menos, yo a su edad no creo que llegase al metro cuarenta. Para él su equipo es el
mejor, y sólo pierde cuando los otros son muy grandes o cuando tienen a algún negro. Se sienta a la
izquierda, en primera fila, y no es capaz de aguantar callado durante más de un par de minutos
seguidos, pero tiene la buena costumbre de levantar la mano para hablar. Se muerde los labios como
si las palabras estuvieran empujando contra sus dientes para salir de su boca, y estira el brazo como
si pretendiera tocar con su dedo índice el techo de la clase. Es un niño gracioso, de mucha
imaginación, demasiada, a veces, pero tiene algo que le diferencia de los demás: Siempre se ríe.
Hasta cuando hace algo mal, da igual lo que le digas, lo acepta con buena cara y con una sonrisa de
oreja a oreja o una carcajada. Y aunque todos incluido él te estén sacando de quicio, aunque ya no
sepas qué hacer para que entiendan que si el valor de X no es correcto es matemáticamente
imposible que al sustituirlo en la función se cumpla la igualdad, aunque tengas un día horrible y te
mueras de sueño...siempre acaba consiguiendo hacerte reír a ti también.
2. En conclusión: A esa edad el "demasiado" no existe. Por muy repetitivas que puedan sonar tus
palabras, nunca alcanza al "suficiente", siempre cabe una vez más. Siempre hay alguien que no te
escuchó, que no lo entendió, o que creyó que lo entendió pero estaba equivocado. Puedes pasarte
semana y media dibujando funciones y recordando cada 10 minutos que sólo hacen falta dos puntos
para representar una recta, pero llegará el día del examen y al corregir descubrirás que todavía
muchos le siguen dando tres, cinco, incluso siete valores a la incógnita, y no son capaces de
reconocer la ecuación a simple vista sin necesidad de pintarlos. Sin embargo dos puntos bastan. Dos
simples, pequeños e insignificantes puntos pueden representar la sorprendente y abrumadora
infinitud. Y es que no hay nada más triste que ver cuándo algo bueno se termina. Cuando al punto
final de los finales, no le quedan dos puntos suspensivos. Por eso cuando pregunto "¿es necesario
que los pinte?" Ellos siempre dicen sí. Ellos no quieren que termine, y aunque me quede sin tiza, yo
sigo pintando dos puntos.
3. Me recuerda tanto a él que en ocasiones he estado a punto de confundir su nombre al llamarle.
Muchas veces te mira, a veces interviene, y aunque podría decir más, mucho más, se permite el lujo
de desaparecer bajo su abrigo enorme y algún que otro comentario sobre su equipo de baloncesto.
Tras esos ojos marrones cargados de legañas, y bajo ese pelo medio rubio medio castaño casi
siempre despeinado, hay una cabeza a la que le sobra capacidad, pero le falta atención, que no
interés. Sólo es cuestión de disciplina, de que ordene sus ideas y se moleste en estudiar algo más.
Aun así sus resultados son buenos, pero si hay algo de lo que estoy convencida es de que podrían
ser mejores. Él es consciente, lo sabe, pero no parece darle demasiada importancia. Desinterés,
quizás, madurez, tal vez. No soy capaz de distinguirlo, y me preocupa, a veces, pero sin saber cuál
es el problema, no puedo encontrar la solución.
3. Proyecto de Innovación Educativa.
3.1 Problema.
El origen del problema a plantear surge de la dificultad mostrada por la mayor parte de los
alumnos a la hora de interpretar, reflexionar y resolver problemas matemáticos. Bien sea por la
carencia de instrucción adecuada o por tratarse de una técnica sobre la que no se le pueden
proporcionar al alumno pautas claras a seguir, numerosos estudios recientes muestran las
dificultades ,incluso la incapacidad, mostrada por los alumnos en la resolución de problemas
matemáticos.
Este tipo de carencias nace principalmente de la falta de interés mostrada por los alumnos en
las matemáticas y del respeto que sienten en general hacia ellas, considerándola una de las
asignaturas más complicadas a las que deben enfrentarse, por lo que parece necesario intentar
introducir técnicas o métodos de enseñanza-aprendizaje de carácter innovador, que de alguna
manera rompan con la rutina tradicional de las clases y despierten en los alumnos curiosidad y
entusiasmo, sin que los relacionen directamente con las mismas y evitando por tanto ese rechazo
que de primeras muestran.
A partir de aquí, profundizando en la idea reflejada y partiendo de qué es lo que requiere
enfrentarse con éxito a un problema matemático, se definen una serie de aspectos que el alumno
debe desarrollar para potenciar su capacidad de resolución de problemas: Ejercitación práctica,
planificación, creatividad, y capacidad de atención, concentración, reflexión y análisis.
Además, la ayuda y potenciación del razonamiento matemático desde edades tempranas
genera efectos considerablemente positivos sobre los procesos posteriores de conceptualización, y
de adquisición de hábitos de planificación y desarrollo a la hora de enfrentarse a una tarea.
Intención educativa.
En vista a todo ésto, parece necesario potenciar determinadas habilidades o estrategias
generales (competencia comunicativa, razonamiento, reflexión creativa...) y despertar el interés de
los alumnos por el aprendizaje de las matemáticas en general, y en concreto por la resolución de
problemas.
3.2 Exploración.
Gran parte de los errores cometidos por los alumnos en la resolución de problemas
matemáticos viene de la mala comprensión lectora de los mismos. Existe una tendencia general de
aplicar la mecánica aprendida en la parte operacional con los datos enunciados sin prestar
demasiada atención al contenido del mismo, y a no analizar los resultados obtenidos al finalizar el
problema, ni reflexionar sobre el sentido racional de los mismos, lo cual en varios casos puede
alertarnos de soluciones absurdas, en muchos casos provocados por meros errores de cálculo.
Los contenidos matemáticos establecidos en los curriculum oficiales de la enseñanza
obligatoria no llegan a ser comprendidos por todos los alumnos. Algunos porque no pueden, pues se
encuentran limitados por sus capacidades, y otros no quieren, y por tanto no muestran el mínimo
interés, pero tanto unos como otros necesitan cierta destreza en la comprensión de órdenes escritas y
fluidez en la utilizacion de los conceptos básicos necesraios a lo largo de su vida,
independientemente de que vayan a continuar sus estudios matemáticos o no en un futuro.
El tiempo que en general los alumnos dedican a resolver un problema es mínimo. Al margen
de las dificultades que una vez analizado y reflexionado sobre el enunciado puedan encontrar, la
mayor parte de los casos en los que son incapaces de dar con la solución parten de que no perdieron
el tiempo suficiente en comprender el enunciado. El hecho de enfrentarse a un problema en lugar de
a meras cuentas mecánicas les provoca "pereza", sobre todo cuando se enfrentan a enunciados
largos o con varias preguntas que resolver. Sin embargo son este tipo de problemas los que más les
ayudan a potenciar su capacidad de reflexión, análisis, estrategia y planificación, por lo que la
solución no es descartarlos, si no preparar al alumno para que los afronte con más interés y con la
idea de que está perfectamente capacitado para entenderlos y encontrar la solución de los mismos.
Los aspectos lúdicos de las matemáticas quedan ocultos tras la monotonía del formalismo
abstracto de su ejercicio, mientras que el ajedrez se muestra inicialmente como una actividad lúdica,
sirviendo de herramienta que conecta lo abstracto con lo concreto sin exponer directamente los
aspectos formales que lo forman. Así, puede utllizarse como un recurso que sirva de catalizador
para romper con la monotonía de los métodos tradicionales, donde siempre se utliza el mismo
patrón de problemas que tanto parecen aburrir a los alumnos, y con ello disminuir su atención e
interés, lo cual les lleva a la equivocada idea de que se trata de una tarea demasiado complicada
para resolver por sí solos.
Por tanto, la dimensión y hámbito desde el que se lleva a cabo trata de ofrecer una
modalidad alternativa para el aprendizaje, de presentar un nuevo enfoque o estrategia para los
enriquecer los procesos de enseñanza-aprendiaje.
3.3 Fundamentación.
El matemático inglés Stephen J. Turner dijo: "Quien solo haya hecho ejercicios de
matemáticas sin haber resuelto ningún problema, es igual a quien sabe mover las piezas del ajedrez
sin haber jugado nunca un verdadero juego; lo real en matemáticas es participar en el juego". A lo
largo de la historia han aparecido grandes matemáticos que a su vez han sido grandes ajedrecistas:
Adolf Anderssen fue profesor de matemática y campeón del mundo sin corona, Wilhelm Steinitz
fue un notable estudiante de matemáticas campeón de 1986 a 1904, Emanuel Lasker, Doctor en
Matemáticas, fue campeón de 1904 a 1921 y Max Euwe, también Doctor, de 1935 a 1937, y más
recientemente contamos con nombres como J. Nunn, J. Speelmann y E. Guik, entre otros.
No se sabe con certeza cual es su origen del ajedrez. Existen numerosas leyendas que lo
motivan, pero la más conocida de ellas es la siguiente: Una vez un rey ofreció cualquier cosa que se
le quisiera pedir a cambio de la invención de un juego que le agradase. Apareció un inventor que,
tras inventar el juego, sugirió como forma de pago tener suficiente trigo como para poner en la
primer casilla un grano, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta y así
sucesivamente, duplicando la cantidad de la casilla anterior hasta llenar todas las casillas del
tablero. El Rey ordenó inmediatamente que se hiciera el pago, llamó al matemático de la corte para
que calculara el número de granos necesarios, y tras efectuar los cálculos el matemático le dijo a su
Rey: "Su Majestad, el número total de granos es:
122223...264=265−1
No hay en todo el reino trigo suficiente ni lo habrá en muchos siglos de cosechas, para cumplir el
pago". Se trata de un número de 20 dígitos en el sistema decimal, sería necesario llenar de trigo un
cubo con 7 km de arista.
La parte menos conocida de la leyenda es la forma en la que el matemático, para salvar el
honor de su rey, resolvió la situación. Le propuso al inventor que le pagarían lo que pedía yademás
lo que se obtuviera de agregar sin fin, más y más casillas al tablero. El inventor aceptó esta nueva
forma de pago, dando por hecho que obtendría una mayor cantidad de trigo, pero cuando hicieron
lso cálculos para ver la cantidad de granos (G) obtuvieron lo siguiente:
G = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +...
G = 1+2(1 + 2 + 4 + 8 + 16 +...)
G = 1+2G
Resolviendo la última ecuación, obtenemos que T = -1, es decir, el inventor le debía un grano de
trigo al Rey. Esta leyenda pone de manifiesto que las matemáticas y el ajedrez han estado
relacionadas desde sus inicios. Podemos encontrar múltiples ejemplos de ello en campos como
Probabilidad, Geometría, Álgebra, Teoría de Números o Estadística, entre otros.
La práctica del ajedrez induce a la práctica de las matemáticas y viceversa. Este vínculo se
corresponde principalmente con los procesos dialécticos y ontológicos(abstracción, memoria,
análisis, creatividad, planificación, estratgia, intuición) generados a la hora de buscar soluciones en
los problemas que surgen en ambos casos.
Grandes matemáticos como Georg Pólya, Lindelöf, Carl Gauss, L. Euler, Landau o Donald
E. Knuth, se han interesado por los problemas matemáticos ocultos tras el ajedrez. Encontrar la
mínima cantidad de piezas del mismo tipo que cubran todo el tablero o el número máximo de piezas
del mismo tipo que se pueden colocar sin que se protejan entre ellas. El matemático suizo Leonard
Euler se planteó y resolvió el "problema del movimiento del caballo", que demuestra la posibilidad
de recorrer con el caballo todas las casillas del tablero sin pasar dos veces por ninguna de ellas. Otro
problema que ha apasionado tanto a matemáticos como a jugadores es la consturcción de los
"cuadrados mágicos de orden n (arreglo cuadrado de los números 1, 2, 3,...,n2, en donde la suma de
los elementos de cada fila, columna y diagonal suman lo mismo )". Euler logró dar una solución
simultánea a ambos problemas, representada en la figura expuesta a continuación, donde cada fila y
cada columna suma 260, cada fila y cada columna de cada uno de los cuatro subcuadrados de orden
4 suma 130 y tal que en este "tablero mágico" de orden 8 se describe la ruta del movimiento del
caballo por todo el tablero.
1 48 31 50 33 16 63 1830 51 46 3 62 19 14 3547 2 49 32 15 34 17 6452 29 4 45 20 61 36 135 44 25 56 9 40 21 60
28 53 8 41 24 57 12 37
43 6 55 26 39 10 59 2254 27 42 7 58 23 38 11
Otro problema, bastante sencillo, conocido como "el rey intangible", plantea si es posible
que la dama blanca en ayuda de su rey, que tiene prohibido moverse, de mate al rey enemigo
solitario. Muchos ajedrecistas dijeron que no, pero el matemático Landau descubrió que se puede si
el rey blanco intangible está ubicado en una de las casillas c3, c6, f3 ó f6 con la dama blanca y el
rey negro en cualquier casilla, en no más de 23 movimientos. Podemos encontrar numerosos
problemas de optimización para plantear, como el que pide averiguar el recorrido máximo del
caballo en un tablero de n×n sin que estos se crucen. Knuth encontró que hay dos en el tablero de
orden 3, cinco en el de orden 4, cuatro en el de 5, uno en el de 6, catorce en el de 7, y cuatro en el de
8.
Además, existen competencias internacionales de resolución de problemas matemáticos en
el ajedrez. Cuestiones como cuántos movimientos tiene la partida más larga posible (5899
movimientos) o cuántas partidas diferentes de ajedrez existen (1018900 partidas diferentes) han sido
planteadas sin analizar su calidad. Preguntas que han provocado discusiones desde inicios de siglo,
y que la aparición de los ordenadores han ayudado a responder.
También en competiciones matemáticas reconocidas encontramos reflejados problemas
relacionados con el ajedrez y la exitosa participación de ajedrecistas en las mismas. En la Olimpíada
Costarricense de Matemática del año 1996, los ajedrecistas Fabián Carballo y David Rodríguez
obtuvieron medalla de bronce, Gustavo Madrigal medalla de plata y Mauricio Chicas medalla de
oro.
Pero no sólo problemas basados en las reglas, disposición y movimientos del juego resultan
útiles para el aprendizaje matemático, también la estrategia del juego en sí, el esfuerzo reflexivo que
supone el hecho de jugar una partida, tiene aportaciones muy positivas que favorecen el desarrollo
del aprendizaje del alumno y en especial de su capacidad para resolver problemas.
"La matemática, como un sistema puramente formal, se puede comparar con el ajedrez, los
elementos primitivos en ajedrez son las 32 piezas y el tablero; los axiomas son las descripciones de
los movimientos de las piezas, no son evidentes, no son ni verdaderos ni falsos, son así y se aceptan
sin discutir, las reglas del juego constituyen la lógica del sistema. Nadie se pregunta si el ajedrez es
verdadero o falso, lo único importante es saber si se siguen las reglas" ( Mariano Perero).
3.4 Trabajo de campo.
El ajedrez se trata de un juego de estrategia, con reglas bien definidas y con una gran riqueza
particular de movimientos, lo cual hace que se preste a un análisis intelectual cuyas características
son muy semejantes a las del desarrollo matemático. Al igual que el ajedrez, la matemática está
formada por un conjunto de piezas o partes, cada una con una función particular que a su vez
guarda relación con el resto, formando un conjunto. Podemos encontrar características semejantes
entre unas piezas y otras. Las reglas válidas de manejo de las mismas son dadas por sus definiciones
y por todos los procedimientos de rarazonamiento admitidos como válidos, los cuales pueden ser
simples y elementales o tremendamente complejos, en función del nivel y del conocimiento que se
posea.
La labor más compleja consiste en distinguir dónde termina el juego y dónde empieza la
matemática, en saber extraer aquello que resulte útil para potenciar en el alumno sus capacidades y
que de alguna manera vea las matemáticas reflejadas en el propio juego, comprenda su utilidad y la
aplique de forma adecuada, y a la vez, de manera inconsciente, potencie otras destrezas ya
mencionadas anteriormente.
Además, es conveniente realizar una prueba inicial a los alumnos para saber en qué nivel se
encuentran, qué conocimientos previos poseen sobre el ajedrez, y qué tipo de ejercicios serían los
más adecuados, así como el grado de dificultad de los mismos, teniendo en cuenta tamibén el curso
escolar en el que se encuentran. A continuación planteamos una serie de problemas de diferente
grado de dificultad.
PROBLEMAS BÁSICOS.
Una torre se mueve en el tablero de ajedrez siguiendo la fila o la columna en la que está.
Para que nos resulte más cómodo, utilizaremos la notación siguiente para nombrar a las casillas del
tablero:
En este caso, por ejemplo, tenemos que la torre está en la casilla D5.
Problema 1:
¿Es posible que una torre recorra todo el tablero de ajedrez pasando una sola vez por cada casilla,
empezando en lacasilla A1y terminando en la casilla H1?
Problema 2:
¿Es posible que una torre recorra todo el tablero de ajedrez pasando una sola vez por cada casilla,
empezando en la casilla A1y terminando en la casilla A8?
Problema 3:
¿Es posible que una torre recorra todo el tablero de ajedrez pasando una sola vez por cada casilla,
empezando en la casilla A1y terminando en la casilla H8?
Problema 4:
¿Es posible que una torre recorra todo el tablero de ajedrez pasando una sola vez por cada casilla,
empezando en la casilla C5 y terminando en la casilla H1?
Problema 5:
Reflexiona: ¿En qué se diferencian estos cuatro problemas? ¿Cuál te pareció más difícil?
Problema 6:
Un alfil se mueve en un tablero de ajedrez siguiendo sus diagonales, cualquier pieza que se
encuentre en su camino estará siendo atacada por él. ¿Podrías colocar, en un tablero de ajedrez,
doce alfiles sin que se ataquen entre sí?
Problema 7:
¿Podrías colocar, en un tablero de ajedrez, catorce alfiles sin que se ataquen entre sí?
Problema 8:
Reflexiona: ¿Cuál de los dos problemas de alfiles te ha resultado más difícil? ¿Crees que podrías
hacer ésto mismo con más de catorce alfiles? ¿Por qué?
PROBLEMA ITERATIVO
Dado un tablero de ajedrez, colocar 8 damas sin que se ataquen entre sí. Se trata de uno de
los problemas más complicados de su género, el cual el propio Gauss tardó varios meses en
resolver. Sería interesante no plantearlo como labor individual para los alumnos, si no exponerlo en
clase y dedicar una o varias sesiones a resolverlo con ellos, deteniéndose en los detalles y
relacionándolos con otros conceptos e ideas vistas. Así, se propone una actividad que de forma
iterativa y secuencial nos llevará al problema en cuestión, al alcance de estudiantes de cualquier
edad.
1. Dibujar en papel cuadriculado 8 tableros de ajedrez. Hay que recordar que estos tableros son
cuadrados de 8 x 8 casillas.
2. Explicar el movimiento de la dama, la cual puede considerarse la ficha más poderosa en el
tablero:
3. Elige una casilla del tablero en la que quieras dibujar una dama.Con el mismo color con el
que dibujaste la dama y ayudándote de una regla, marca todas las posibilidades que tiene la
dama para moverse. Cualquier pieza que quede en una de esas líneas estará atacada por tu
dama.
4. Ahora coloca, en el mismo tablero, una segunda dama de otro color, de tal manera que las
dos damas no se ataquen entre sí. ¿Cuántas lugares posibles existen para colocar la segunda
dama? Compara tu solución con la de tus compañeros.
5. En otro tablero dibuja las dos damas del paso uno, marcando con el color que les
corresponde las posibilidades que cada una tiene para moverse. Ahora trata de colocar una
tercera dama, de manera que las dos damas anteriores no la ataquen y viceversa, que ella no
ataque a las otras dos. ¿Tuvo la misma dificultad colocar la tercera dama, que colocar la
segunda? ¿Cuántas lugares posibles existen para colocar la tercera dama? Compara tu
solución con la de tus compañeros.
6. En un tablero nuevo dibuja las tres damas del paso anterior con sus respectivas líneas.
Ahora intenta colocar una nueva dama sin que ninguna de las cuatro damas se ataquen entre
sí.¿Piensas que el problema se va complicando?¿Por qué?
7. Siguiendo el mismo procedimiento, ve colocando cada vez una dama más hasta llegar a 8.
Si no lo consigues no te preoucpes, varios matemáticos y ajedrecistas han dedicado horas y
horas a intentar resolver este problema y muy pocos de ellos lo han logrado.
Una posible estrategia es ir cambiando la posición de la primera dama. Aquí te enseñamos un
tablero en el que hay colocadas 5 damas y ninguna de ellas ataca a las demás.
Las damas deberán colocarse tal y como se muestra en el dibujo. Con las flechas de colores puedes
comprobar que no se atacan mutuamente.
PROBLEMAS AVANZADOS.
Problema 1: Fichas en el tablero. Se dispone de un tablero de 64 casillas, cada una de 3 cm. de
lado, y de fichas de ajedrez cuya base es un círculo de 3 cm. de diámetro. ¿Cuántas fichas pueden
ponerse en el tablero sin colocar una encima de otra y sin sobrepasar sus bordes?
Problema 2: Rey y caballo. Tenemos nuestro rey en un ángulo del tablero de ajedrez; en el ángulo
diagonalmente opuesto, nuestro adversario tiene un caballo. No hay ninguna otra pieza en el
tablero. El caballo es el primero en jugar. ¿Durante cuántas jugadas podrá el rey ir eludiendo el
jaque?
Problema 3: Ajedrez y dominó. De un tablero de ajedrez que, como sabemos, tiene 64 casillas
cuadradas, suprimimos las dos del extremo de una diagonal. Tomemos ahora 31 fichas de dominó,
cada una de tamaño igual a dos casillas del tablero. Se trata de colocarlas de forma que cubran las
62 casillas que tiene el tablero tras la eliminación de las dos indicadas.
Problema 4: Colocando fichas de dominó. Carmen y yo jugamos a menudo al siguiente juego.
Sobre un tablero de ajedrez uno coloca una ficha de dominó (no importa la numeración) ocupando
dos casillas del tablero. luego el otro coloca otra; luego el otro;... El primero que no puede colocar
pierde. Carmen, que amablemente, me deja siempre colocar el primero... ¡Siempre me gana! ¿En
qué consiste su plan?
Problema 5: Jugar es grande . Vd. tiene un tablero de ajedrez con 4 millones de casillas de lado.
¿Cuántos saltos debe dar un caballo de ajedrez, como mínimo, para ir de un vértice del tablero al
vértice diagonalmente opuesto?
Problema 6: El paseo de la Torre. (visto en problemas básicos)¿Es posible que la torre recorra
todo el tablero de ajedrez pasando sólo una vez por cada casillero partiendo de A8 y terminando en
H1? ¿Y si parte de C5 y termina en H1? Razona y demuestra tu respuesta.
Problema 7: Mate en el centro . ¿Puedes encontrar un método en el que un caballo y dos torres
pueden dar mate a un rey solitario en el centro del tablero?
Problema 8: Los 12 y 14 alfiles. (visto en problemas básicos) En este tablero de ajedrez hemos
colocado 12 alfiles, de manera que ninguno de ellos ataca a ningún otro. ¿Hay más formas de
conseguirlo? ¿Podrás hacer lo mismo con 14 alfiles? Razona y demuestra tu respuesta.
Al Al . Al Al Al . . Al Al Al Al Al Al Al
Problema 9: El enroque. El enroque es el mecanismo mediante el cual el rey y una torres cambian
de posición para reforzar la defensa. El rey queda más protegido y la torre adopta una posición más
favorable, que le concede mayor libertad de movimiento. ¿Qué requisitos han de cumplirse para que
el enroque sea válido?
Problema 10: ¿Cuál fue la última jugada de las blancas? Las blancas acaban de mover. ¿Cuál
fue la última jugada?
RN . TB . AB . RB . .
Problema 11: Damas del mismo color. ¿Cuántas damas del mismo color pueden colocarse en un
tablero de ajedrez sin que se defiendan entre ellas? Por supuesto el tablero es de 8x8.
Problema 12: Mate en una fracción de jugada. En la siguiente partida, las blancas juegan y dan
mate en una fracción de jugada. ¿Cómo?
RN . CB AB TB DB RB .
Problema 13: Las tablas. Una partida finaliza en tablas cuando la victoria final no corresponde a
ninguno de los dos jugadores. ¿Por qué motivos puede acabar una partida en tablas?
Problema 14: ¿Cómo evitar dar mate en una? Hallar un movimiento de las piezas blancas que no
acarree el mate inmediato del rey negro.
AB RB TB TN AB TB AN PN PN PB RN PB PN PB PN PB PB PB CB CB
Problema 15: Ajedrez y estrellas (1 ) Demuestra que en un tablero de 4x4 es posible poner siete
estrellitas de manera tal que si se borran dos filas y dos columnas cualesquiera del tablero, queda al
menos una estrellita.
Problema 16: Ajedrez y estrellas (2). Demuestra que en un tablero de 4x4 si hay menos de siete
estrellitas, siempre es posible borrar dos filas y dos columnas de manera tal que todas las casillas
queden vacías.
Problema 17: Muchos cuadrados. ¿Cuántos cuadrados hay en el tablero de ajedrez de 8x8
casillas? ¿Y, en un tablero de 6x6 casillas?
Problema 18: El tablero de ajedrez y los granos de trigo. Según la leyenda, el inventor del juego
de ajedrez pidió como recompensa un grano de trigo para la primera casilla, más dos granos para la
segunda, más 22 para la tercera y así sucesivamente, duplicando cada vez la cantidad de la casilla
anterior. A la última casilla corresponden 263 granos de trigo. Aparentemente se contentaba con
poco. Pero hagamos el cálculo. El número de granos de trigo solicitado sería: S = 1 + 2 + 22 +
23+ ... + 263 Para calcular esta suma, observemos que multiplicando ambos miembros por 2 resulta
2S = 2 + 22+ 23+ 24+ ... + 263+ 264= 264+ S - 1
y por lo tanto S = 264- 1. Este número, pesado de calcular (se puede hacer con una calculadora) es:
S = 1.844.674.407.370.955.165 o sea que es un número de 20 cifras. Lo podemos aproximar por el
menor número de 20 cifras que es 1019. Para dar una idea de la cantidad de trigo que esto
representa, supongamos que cada gramo pesa un miligramo, o sea 10-3 gramos. El peso total será:
10-3. 1019 gr = 1016 gr = 1013 kg = 1010 toneladas.
La producción anual de la Argentina en los últimos años ha sido del orden de los 10 millones de
toneladas. Suponiendo que se mantuviera esa cantidad, o sea 107 toneladas por año, resulta que la
cantidad de trigo solicitada por el inventor del juego de ajedrez es equivalente a la producción de
trigo de la Argentina durante 1000 años.
Problema 19: El torneo de mi prima Sonia. El verano pasado mi prima Sonia participó en un
torneo de ajedrez que se celebró en Valencia. Se jugó por el sistema todos contra todos solamente
una vez. La suma de los puntos obtenidos por todos los jugadores, excepto mi prima, fue de 100
puntos. ¿Cuántos puntos obtuvo mi prima Sonia?
Problema 20: Mate en una. Las blancas juegan y dan mate en una jugada. ¿Qué jugada deben
hacer? Este problema (de Sam Loyd) apareció publicado en 1876 en el American Chess Journal. La
solución requiere hacer una marcha atrás en la partida, para deducir jugadas anteriores.
AN TB RN PN PN PB PB PN PN PB PN RB PB PB PN PB PB .
Problema 21: Para no ganar. Problema de Karl Faber. En él las blancas han de mover una pieza y
no dar mate al adversario.
AB RB TB TN AB TB AN PN PN PB RN PB PN PB PN PB PB PB CB CB
Problema 23: Cubrir rectángulos con caballos de ajedrez. En el JRM 23 volumen 4 de 1991
Jackson y Pargas daban soluciones de cubrir tableros cuadrados atacando todas las casillas,
utilizando la menor cantidad de caballos de ajedrez. Dieron una solución con 54 caballos para el
tablero de 18x18. Se considera atacada una casilla cubierta por un caballo. ¿Puede Vd. superarla?
PROBLEMA DE AMPLIACIÓN.
Problema 24: El ajedrez ha sido una fuente de problemas matemáticos, por ejemplo, en la
Olimpíada Húngara de Matemática del año 1926 se planteó el siguiente problema: "Pruebe que, si a
yb son enteros dados, el sistema de ecuaciones
x+y+ 2z+ 2t = a2x- 2y+z-t = b
tiene soluciones enteras para x,y,y t". Con un poco de ayuda del álgebra se obtienen las soluciones x
= a-b, y = -b, z = -a+b y t=a, que se pueden verificar por simple sustitución. Más que la solución,
nos interesa ver de dónde nace este problema. Suponga que se tiene un tablero infinito de ajedrez,
como el del desesperado Rey, sobre este tablero sobreponemos un plano cartesiano de manera que
cada par ordenado (a, b), con a y b enteros, se encuentre en el centro de cada escaque. Si llamamos
a (0, 0) como el origen del sistema podemos ver que los 8 movimientos posibles del caballo, a partir
del origen, se pueden representar por:
u1= (1, 2) u2= (1, - 2) u3= (2, 1) u4= (2, - 1)
-u1= (- 1, - 2) -u2= (- 1, 2) -u3= (- 2, - 1) -u4= (- 2, 1)
ui y -ui son opuestos en el sentido de que si movemos y retrocedemos, llegamos de nuevo al origen.
En este sentido, efectuar x veces el movimiento u1 se representa por (x, 2x), efectuar y veces el
movimiento u2 se representa por (y, - 2y), efectuar z veces el movimiento u3 se representa por (2z,z)
y efectuar t veces el movimiento u4 se representa por (2t, -t), así al efectuar todos los movimientos
juntos se obtiene de la suma vectorial y se puede representar como (x+y+ 2z+ 2t, 2x- 2y+z-t) y las
soluciones del sistema de ecuaciones, describen los movimientos para llegar con el caballo al
escaque (a,b), es decir se prueba que el caballo puede visitar todas las casillas del tablero y da su
recorrido.
3.5 Innovación.
3.5.1 Objetivos.
A pesar de las múltiples similitudes que encontramos entre las matemáticas y el
ajedrez, es importante saber distinguir el juego de la matemática como tal. Se trata de una actividad
complementaria, lo que se pretende introduciendo el ajedrez en la enseñanza de las matemáticas es
añadir un elemento nuevo que motive a los alumnos y refuerce su aprendizaje, rompiendo con la
rutina a la que están acostumbrados y ofreciéndoles un recurso más para ejercitar sus capacidades,
especialmente a la hora de resolver problemas. El objetivo principal no es que los alumnos aprendan
las reglas básicas del juego y se limiten a jugar partidas de ajedrez, ni tampoco que sin entender la
estrategia sean capaces de resolver problemas matemáticos. La idea se fundamenta en enlazarlos
adecuadamente, en fusionar ambos elementos, partiendo del nivel que el alumno dispone en ambos
campos y estableciendo una conexión entre ellos para que el aprendizaje se desarrolle
paralelamente de forma progresiva.
El objetivo de este proyecto sigue un enfoque trasversal. Aunque sirve de gran utilidad para
la unidad didáctica que presento desarrollada en este trabajo, no se trata de utilizar el ajedrez como
complemento o como recurso para una unidad didáctica en concreto, si no de aprovechar la gran
relación que guarda con las diferentes ramas de las matemáticas e introducirlo a lo largo del curso
en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las diferentes unidades didácticas, fundamentalmente a
la hora de resolver problemas, pero también como método para "desconectar" del desarrollo
tradicional de las clases mediante partidas organizadas de forma eventual, que aunque
aparentemente no guarden una relación directa o pueda resultar menos intuitiva verla, existen
numerosos estudios que demuestran que el simple hecho de jugar al ajedrez ya está reforzando y
ejercitando muchas de las capacidades necesarias para el estudio matemático.
3.5.2 Metodología.
Lo primero que se necesita conocer es la base de la que partir. Lo más normal es que la
mayoría de los alumnos de la clase no sepa jugar al ajedrez, entendiendo "jugar al ajedrez" como
algo más complejo que el mero hecho de conocer los posibles movimientos de cada ficha,
tratándose también ésto último de algo que no necesariamente tienen por qué conocer todos. Por
ello, salvo en casos excepcionales en los que grupos enteros dispongan de una base mínima, se
dedicarán unas primeras sesiones (en principio debería de ser suficiente con un par de horas), a
explicar las reglas básicas del juego y jugar una primera partida de prueba.
A partir de aquí, se elaborarán ejercicios acordes con el curso en el que se trabaje,
compaginándolos con partidas en común en las que se estudiarán los movimientos realizados, el por
qué de los mismos y la reflexión conjunta de si es o no el más adecuado, y con partidas por parejas
en las que los alumnos jugarán entre ellos exponiéndolo como un "descanso" que realmente aporta
mucho más, pues pone en práctica la capacidad individual de decisión del alumno, además de
potenciar el resto de capacidades. El número de sesiones de ajedrez a lo largo del curso en la
asignatura de matemáticas se repartirá de forma homogénera, dedicándole una sesión a la semana y
pudiendo dejar alguna semana libre en caso de que se necesite más tiempo para impartir los
contenidos de la materia, consiguiendo finalmente que el ajedrez abarque alrededor de un 20% de la
asignatura.
Los problemas planteados tratarán de guardar alguna relación con la unidad didáctica que se
está impartiendo, aunque no necesariamente deberá ser siempre así, y seguirán una evolución en
cuanto a su nivel de dificultad, comenzando en las primeras sesiones por ejercicios de ingenio
relativamente sencillos, que despierten la curiosidad del alumno por resolverlos sin que les resulten
demasiado complejos, y conforme su capacidad reflexiva y analítica vaya mejorando iremos
profundizando en el nivel de dificultad de los mismos, siempre teniendo presente en qué curso nos
encontramos y que no podemos exigir lo mismo a unos alumnos que a otros, pues se trata de una
actividad en la que las capacidades individuales del niño o adolescente influyen considerablemente
en los objetivos que éste puede llegar a alcanzar.
Lo ideal para impartir esta parte de la asignatura sería disponer de un tablero de ajedrez para
cada pareja de alumnos en el centro, que evite que sean éstos los que tengan que traerlo de sus
propias casas cada día.
3.5.3 Evaluación.
La evaluación se llevará a cabo conjuntamente con la asignatura en general y con cada
unidad didáctica en particular. Las pruebas de evaluación de cada unidad contará con un problema
del estilo de los planteados en las sesiones de ajedrez de clase a lo largo del desarrollo de la unidad
que se está evaluando. No se evaluará si el alumno conoce las reglas del juego o las estrategias
básicas, si no su capacidad para plantear y resolver los problemas correctamente, estudiándose si ha
progresado o no en los diversos aspectos mencionados a reforzar.
A modo de prueba inicial, llevé a la práctica un par de sesiones con alumnos de 1º de ESO
en el IES Cosme García (centro en el que realicé las prácticas del Master), en las que tras explicar
de forma rápida las reglas básicas del ajedrez, proporcioné una colección de los 8 problemas básicos
incluídos anteriormente, e invité a los alumnos a que intentaran resolverlos.
Los resultados obtenidos fueron bastante satisfactorios. Teniendo en cuenta que más de la
mitad no había jugado nunca una partida de ajedrez, y varios de ellos no sabían ni si quiera cuál era
el movimiento de las piezas, el 80% de los alumnos consiguió dar con la solución de los problemas
de la torre y cerca de un 30% consiguió colocar 12 alfiles en el tablero. Además, la reacción
mostrada por los alumnos y su opinión sobre el nuevo recurso resultó muy satisfactoria,
considerándolo la gran mayoría como una forma entretenida y diferente de ver las matemáticas, y
demostrando un interés y entusiasmo por encima de lo habitual, en vista de lo cual creo que puede
tratarse de un tema interesante sobre el que profundizar e investigar, y cuya incorporación a la
asignatura de Matemáticas en la enseñanza secundaria puede resultar positiva para los alumnos.
6 Bibliografía.
Apuntes de las asignaturas de Psicología y Pedagogía del primer cuatrimestre.
Artículos encontrados en Internet sobre el proceso enseñanza-aprendizaje en las Matemáticas.
Historia e Historias de Matemáticas, Perero, Mariano, Grupo Editorial Iberoamérica, 1994.
Ajedrez, maestro contra amateur, M.Euwe y W. Meiden, Editorial hipano europea.