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< S > =1
2 ε 0 c E 20
la energía promedio por metro cuadrado por
unidad de tiempo que pasa a través de unasuperfcie normal a la dirección de propagación.
< S > Es tam!ién llamado la intensidad "#$.
E 0 Es la amplitud del campo eléctrico de la
onda incidente.
< S > =12 ε 0 c E 20
E = E0 e %&t
Fig.3.10 Incidente onda plana radiaciónde frecuencia ω.
Cuando un 'tomo caracteri(ado por una)recuencia de resonancia ω0 * es colocado enuna región donde +a, una radiación
electromagnética* el campo eléctrico deradiación E = E0 e %&t impulsar' el 'tomo de
carga qe +asta , a!a%o- es decir *se acelerar'
1
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la carga +aciendo así que el 'tomo para volver
a emitir radiación electromagnética .Este
proceso *se produce con cualquier )recuencia
&*la cual se denomina dispersión .Es decir*a dispersión es el proceso por el cual la
energía es a!sor!ida por un 'tomo de la
radiación incidente /1 campo , re3emitida en
todas las direcciones.
Fig.3.11 La luz incidente es absorbida y(re-eitida! dispersada por un "too entodas las direcciones.
#amos a calcular la energía a!sor!ida/por lotanto re3emitida por la carga.
En realidad* la energía emitida por la cargaacelerada ,a se +a calculado en la e4presión
anterior/5*e4cepto que tenemos que
averiguar la amplitud de la oscilación 60- este$
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7ltimo depender' de la amplitud de campo
eléctrico* así como la )recuencia & de la
radiación incidente. En otras pala!ras* vamos
a calcular la relación entre el E0*&* , 60.
Fig.3.1$ %odelo del "too coo unoscilador de frecuencia natural ω0 .Lacapacidad del oscilador para absorber la
energ&a de la radiación incidentedepende de ω.
Encontrar 60* vamos a modelar el 'tomo como
un oscilador armónico amortiguado. En
consecuencia* la ecuación del movimiento de
la carga qe viene dada por*
med
2 x
d t 2 +me
dx
dt +kx=qe E0e
jωt /8
3
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9quí* el término me dx
dt representa la
presencia de una energía de disipación )uente*
que en nuestro caso *se pueden identifcar en
la pérdida de energía de!ido a la radiación
electromagnética por la carga acelerada.:na solución estacionaria de /8 est' dada
por* 4= ; x0e
jωt ¿e jω /onde
x= x0( ω)=
[( qeme ) E0]
[(ω02−ω2 )2+ 2ω2 ]1 /2
'plitud de oscilación coo una funciónde la frecuencia ($0!
=tan
−1( − ω
ω02−ω2
) ($0!)
La e4presión /20 indica que la amplitud deoscilación 60 /, por tanto la aceleración de la
carga depende de la )recuencia de la radiación
incidente &.?amos a proceder a+ora para calcular la
potencia total que irradie por la cargaacelerada de!ida a la in@uencia de una
amplitud de campo eléctrico E0 , )recuencia.
*
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Aeempla(ando el valor de 60 dada en /20
para 60 en la e4presión de la potencia de
radiación < B > =qe
2 x0
2
12 π ε0c3 ω
4
dada en /5* se
o!tiene*
< B > =qe2
12 π ε0c3 ω
4( qeme )2
E02
(ω02−ω2 )
2
+( ω)2
*reordenando las condiciones*
=
ε0 c E02
1
2 ¿8 π
3 ( qe2
4 π ε0me c
2 )¿¿
/2
E4presión /2 da la energía media total
emitida por la carga qe cuando se somete a un
campo eléctrico armónico / dado en lae4presión /C de la amplitud E0 , la
)recuencia &.
Dótese la e4presión1
2 ε
0c E
0
2
/Energía incidente
por unidad de 'rea por segundo * es decir* la
intensidad incidente #0 +a sido un )actor )ueraen la e4presión /2. Esto es conveniente *por
lo que permite interpretar /2 de la siguiente
+
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manera uera de la intensidad incidente lo
presente en la cavidad* una ")racción$ de ella
igual a8π
3 ( qe2
4 π ε0me c
2 )2
ω4
(ω
0
2−ω2
)
2
+( ω )2 est' presente en la
)orma de poder dispersa. ecimos ")racción$*
porque las unidades de esa 7ltima e4presión
es 'rea /no es un n7mero de )racción
simple.Bor lo tanto * es me%or para interpretar
/2 en términos de "Sección efca( de
dispersión$.Dota /)ec+a 03202.a e4presión /2 cuantifca la cantidad de
energía que el 'tomo es capa( de re3irradiar
/de!ido al +ec+o de que es un suplemento
so!re la incidencia de un campo eléctrico
armónico de amplitud E0 , )recuencia &.Do tiene nada que ver con la capacidad del
'tomo de capturar la energía de radiación en
la cavidad /como el concepto de sección efca(
de dispersión puede erróneamente sugerir.Bor
lo tanto* tenga cuidado con la interpretación
adecuada de la "dispersión concepto sección
transversal$. 'ndr,s
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l concepto de la sección e/caz dedispersiónSi consideramos una sección transversal de la
super)icie F +ipotética intersección incidentede radiación * la cantidad de energía por
segundo que golpea esa (ona sería
=; 1
2 ε
0c E
0
2¿σ =#F /22
Fig.3.13 epresentación pictórica de la
sección trans2ersal de dispersión . arsecuenta 4 esto no tiene nada 5ue 2er conel taa6o de los "toos ni lo espacialdistribución de los "toos dentro de laca2idad. s sipleente una edida dela capacidad del "too (una 2ez laradiación incide sobre el iso ! paraeitir energ&a en todas las direcciones.
7
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8/37
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9/37
Fig.3.1* 9os5ue:o de la sección e/caz dedispersión del "too.
Dota /)ec+a 03202 Fdispersión
es un indicador
de la capacidad de la dispersión del 'tomo una
ve( que la lu( es e4citado por un campo
eléctrico armónico de amplitud E0 , )recuencia
&. Do podemos pedir* no podemos esperar *el
'tomo de dispersar m's /o menos que #0F
/donde #0 es la intensidad presentado en el'tomo.a e4presión /25 indica que la & es m's cerca
&0* la ma,or ser' la re3emitida energía.
3.1.9.c La radiación electroagn,tica de
aortiguación ;Cu"l es el 2alor de
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En e)ecto *
Bor un lado* la energía se disipe por un osilador
est' dada por
;)uer(aH4;velocidadH= [me dxdt ]( dxdt )= [me ( jωx ) ] ( jωx )=−me ω2 x2 .
9quí nosotros utili(amos la e4presión para 4/t
dada en / x=[ x0 e jφ ] e jωt .
El valor medio de la potencia disipada ser'*
−(12 )me ω
2 x0
2
.
3 Bor otra parte *de acuerdo con /5 *la
potencia electromagnética emitida es*
=q
2 x0
2
12 π ε0c3 ω
4
as dos 7ltimas e4presiones de!en ser
iguales.
−¿ x
0
−¿
12 π ε0c3 ω
4
q¿
( 12 )m ω2 x02=¿
Esto permite identifcar = q6 π ε0 m c3 ω2
Aecordando los términos*
10
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= 2
3c
qe2
4 π ε0me c
2 ω
2
Aadiación electromagnética amortiguada.
/2C
Bara fnes pr'cticos* sin em!argo /dado el anc+o
de !anda mu, estrec+a de la sección transversal
F/& se muestra en la ig G.0 anteriormente *
se suelen terminar siendo evaluado en & = &0/i.e. es decir el anc+o de !anda estrec+a de F/&
nos dice que la ma,oría de )ísica sucede alrededor& = &0 .
?elocidad a la que el oscilador pierde energía
/una descripción m's detallada de esta
sección se da en el apéndice
complementario 3G de este capítulo.e%ar
W =W t
ser la energía media de una oscilante cargue
en un momento dado ;2IH Si la carga oscilante se de%a sólo a oscilar* la
amplitud de la vi!ración se e4tinguir'progresivamente a medida que el oscilador
11
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pierde su energía mec'nica mediante la
emisión electromagnética radiación.Si el movimiento del oscilador est'
alternativamente modelado por unaecuación de la mec'nica de movimientome
d2 x
d t 2+me
dx
dt +kx=qe E0e
jωt
* se puede calcular que la velocidad a la que
la carga oscilante pierde energía est' dada
por*dW dt =− W (27)
Jon su solución correspondiente W t =W 0 e
− t (28)
Jomo un e%emplo* un 'tomo que tiene una
)recuencia de resonancia correspondiente a
K=I00 nm * tendría una constante deamortiguamiento de L08 s3.Es decir *la
radiación tiende efca(mente después de L
038 s/ o después de L 01 oscilaciones.3.1.c adiación y el e5uilibrio t,rico Jonsideremos un 'tomo encerrado en una
ca%a +ec+a de paredes de espe%o que contieneradiación electromagnética. a radiación re3
emitida por el 'tomo permanece dentro de la
1$
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ca%a someterse a m7ltiples re!ota en las
paredes del espe%o .?amos a suponer * adem's
*que la temperatura de todo el sistema es M.
Fig. 3.1+ epresentación es5ue"tica deun "too coo un oscilador arónico5ue irradia energ&a. Los "toos absorbenenerg&a de la radiación electroagn,ticae>istente en el interior de la ca:a (este?ltio supone 5ue estar @ec@a de
paredes perfectaente reAectantes!.
Jómo +acer que la temperatura M intervenga
en una e4presión como /5 que da la potencia
dispersada por un 'tomo en la )orma
¿ P¿scattering= qe
2| x0|2
12 π ε0c3ω
4?
Es posi!le suponer que la temperatura de
equili!rio de!e corresponder a un valor
apropiado de la amplitud del campo eléctrico*
13
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E0 *,a que a ma,or valor de E0* ma,or ser' la
amplitud de la carga de 60 vi!ración* ma,or la
temperatura que se asocia con el 'tomo /es
decir* la amplitud del oscilador de!e aumentarcon la temperatura .Si nuestra +ipótesis )uera
correcta *entonces cómo encontrar el valor
apropiado de E0 correspondiente a una
temperatura dada MNJon el o!%etivo de encontrar una respuesta
adecuada que vamos a !osque%ar algunasconsideraciones 3Si un oscilador atómico no tenía ning7n
cargo *que oscilaría siempre. Mendría una
energía media O compati!le con la
temperatura en la ca%a - es decir
P=P/M . En otras pala!ras* sería oscilarsiempre con una amplitud resuelta por la
temperatura M en el cuadro1
2 k x
0
2=1
2 kT ó
1
2 mω
0
2 x
0
2=1
2 kT .
3 Sin em!argo* nuestro oscilador atómico est'
cargada. Si se de%a solo *su amplitud de
vi!ración 60 morirían de )orma progresiva*como el oscilador pierde su energía que
emita radiaciones electromagnéticas.
1*
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3 Si nuestro oscilador atómico cargado +a,an
estado en contacto con otros 'tomos *
energía en la cantidad adecuada ser'
suministrada por sus colisiones mutuas encuanto a mantener la misma temperatura
entre ellos. 9quí *sin em!argo * vamos a
considerar que la energía se suministra a
través interacción electromagnética el
'tomo e4trae energía del e4istente radiación
en la cavidad para compensar la energía quese pierde por la radiación /acelerar partículas
cargadas emiten radiación. Juando est'
compensación de la energía partidos
*entonces estamos en una situación de
equili!rio* que de!e in+erentemente ocurrir
a una temperatura dada /la 7ltima solución
de la amplitud de la carga de oscilación a un
valor correspondiente. ?amos a retomar el
tema de la dependencia de la temperatura
de 60 en la sección G..c.! a continuación .3.1.C.a ensidad espectral de laintensidad de la luz I(ω! en el e5uilibrioBara )ormali(ar la situación de equili!rio quetenemos que tener en cuenta que la
1+
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radiación de di)erentes )recuencias pueden
estar presentes en la cavidad. Es
conveniente* pues* introducir el concepto de
densidad espectral#/&= #ntensidad espectral de la densidad de
lu( .#/& d& = #ntensidad de lu( de )recuencia &
dentro de un rango /&* & Q d& dentro de la
ca%a.
= Jontri!ución a la energíaelectromagnética promedio por metro
cuadrado por unidad de tiempo que pasa a
través de una superfcie normal a la
dirección de propagación a partir de
componentes de radiación de )recuencia &
dentro de una gama d&. :nidades de ;#/&H=;#ntensidadHR; &H = /TR/m2sR/Rs
=TRm2.9ntes de esta!lecer la condición de
equili!rio* vamos a +acer dos pertinente
o!servaciones
1
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3 e acuerdo con /2 , /22 *la potencia total
que el 'tomo es capa( de emitir /ispersión
est' dada por *
¿ P>(ω) dω=¿∫0
∞
I (ω )σ (ω)dω;
∫0
∞
¿
Es una integral porque el 'tomo se e4pone a
todas las )recuencias & e4istentes en la
cavidad. Sin em!argo* la emisión m'4ima de
potencia &0 /porque F/& tiene un pico
agudo en &0.3Bor otro lado *esta misma cantidad de energía
emitida /i.e. ∫0
∞
I ( ω) σ (ω)dω * puede ser visto desde
la perspectiva de un sistema de perder
energía de!ido a un proceso de
amortiguaciónd [W (ω ) ]
dt =−
(ω)[W (ω)]
caracteri(ada por una constante de
amortiguamiento /&. Bor otro parte* la e4igencia
de compati!ilidad entre i el poder de re3radiada
por el 'tomo *, ii :n modelo simple de oscilador
armónico de amortiguación.
17
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med
2 x
d t 2 +me
dx
dt +kx=qe E0e
jωt ,
conduce a la e4presión /2C
(ω )= 2
3c
qe2
4 π ε0me c
2 ω2
.
Bero puesto que toda la din'mica que ocurre
en &= &0 *que es P/& L 0 para
*nosotros podemos usardW
dt =− (ω0 )W ,
con la interpretación de que P es la energía
total del 'tomo.
Foralización de la condición dee5uilibrio t,rico
3 a cantidad de intensidad de la lu( de
densidad espectral #/& que e4ista dentro de
la ca%a en temperatura M para *3 a energía electromagnética re3emitida por
el oscilador /que de!erían venir del !aUo de
la radiación en la cavidad por unidad de
tiempodW
dt =
∫0
∞
¿ P>(ω )dω=
∫0
∞
I (ω ) σ (ω) dω
/2Bara que sea igual*a energía perdida por el
oscilador por unidad de tiempo*
18
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dW
dt =− W (30)
Energía media de la oscilador a la
temperatura M
9o> a la teperatura
Fig.3.1 Dtoo de frecuencia natural ω0
en un ba6o de radiaciónelectroagn,tica de densidad espectralI(ω!.#amos a evaluar la integral que aparece en/2.
- ado que la e4presión de F/& o picos a && luego e4tendiendo la integral +asta ω=−∞
no causa ning7n cam!io signifcativo/esto se
+ace sólo para )acilitar el c'lculo.
∫0
∞
I ( ω) σ (ω) dω=∫−∞
∞
I ( ω) σ (ω) dω
onde *
σ disersión=8π 3 (
qe2
4 π ε0me c
2 )2
ω4
(ω02−ω2 )
2
+( ω )2 .
1=
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- Bor la misma ra(ón por la que sólo losvalores de & mu, cerca de &0 de contri!uir
de manera signifcativa a la integral
podemos imaginar en nuestra mente que*∫−∞
∞
I (ω )σ (ω ) dω! ∫ω0−
ω0+
I (ω )σ (ω ) dω
Fig.3.17 9os5ue:o de la sección e/cazde dispersión del "too y lo espectraldensidad de intensidad de luz presenteen el lado de la ca2idad .e acuerdo con las siguientesapro4imaciones pueden considerarse
apropiada*
• ω
2−ω02=(ω+ω0 ) (ω−ω0 )! (2ω0 ) (ω−ω0 )
• ω
4
(ω02−ω2 )
2
+ ( ω)2
! ω0
4
[ω02−ω2 ]2
+( ω0 )2
!
ω04
[ (2ω0 ) (ω−ω0 ) ]2
+ ( ω0 )2
! ω0
2
4 (ω−ω0 )2
+ 2
$0
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•
ω0
¿¿¿
I (ω)! I ¿
odas las apro>iaciones dan lugar a E∫0
∞
I (ω )σ (ω)dω!∫−∞
∞
I (ω )σ (ω)dω
= ∫−∞
∞
I ( ω) [ 8 π 3 ( qe2
4 π ε0m
0c2 )
2
ω4
(ω02−ω2)
2
+ ( ω)2 ] dω
= ∫−∞∞
I ( ω)[ 8 π
3 ( qe2
4 π ε0m
0c2 )
2 ω02
4 (ω−ω0 )2
+ 2 ]dω
ω
1
(ω−ω0 )2+( 2 )
2
¿
(¿¿ 0)2π
3
(
qe2
4 π ε0m
0c2
)
2
ω0
2∫−∞
∞
¿
I ¿
Hd&
(utilizando ∫ dx
x2+a2
=1
a arctang
x
a !
¿ I ( ω0)2 π
3 ( qe2
4 π ε0me c
2 )2
ω02 1
2
(π
2−(−π 2 ))
¿ I ( ω0)2 π
3 ( qe
2
4 π ε0me c
2 )2
ω02 2π
$1
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∫0
∞
I (ω )σ (ω)dω= I ω0(2 π )2
3
( qe2
4 π ε0me c
2 )2
ω02 (31!
n el equili!rio que de!emos tener*dW
dt =∫
0
∞
I (ω)σ ( ω) dω=|dW dt |= W * lo que lleva a
I ( ω0)(2 π )2
3
( qe2
4π ε0me c
2 )2
ω02=
W
ω
(¿¿0
)=
3
(2π )2
(qe 4 π ε0 me c
2
qe2
)2
2
ω0
2 W
I ¿
El uso de la e4presión /2C para el valor de=
2
3c
q2
4 π ε0m c
2 ω
2
evaluada en &= ω 0 se o!tiene*
I
(ω0
)=
3
( 2π )2
(4 π ε0me c
2
qe2
)
2
( 2
3c
q2
4 π ε0mc 2
)
2
ω02W
*o
ω
(¿¿ 0)= 3
(2π )2 ( 23c )
2
ω0
2W ,
I ¿
I ( ω
0)= 1
3π 2c2ω
0
2W
energía media del oscilador. . . . . . . . . . . . .. .
. /G2#/&0 es la densidad espectral de la lu( en
&= &0 .
$$
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23/37
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3 E4presión /G2V se +a mantenido
indiscuti!le .Es decir * todavía se considera
correcta *incluso cuando se introducen los
nuevos conceptos de la mec'nica cu'ntica.3 Es en el c'lculo del promedio de energía
P *donde lo cl'sico , cu'ntico los en)oques
)undamentalmente divergen.
3.1.C.b C"lculo cl"sico de G.energ&a
edia del "tooEn la Wec'nica estadística cl'sica e4iste unresultado mu, general llamado "Meorema de
equipartición$* que esta!le que el valor
medio de un término cuadr'tico de la
energía igual a
X Y Z M. 9quí Y Z es la constante de Zolt(mann, M es la temperatura a!soluta.La distribución de 9oltzannEl teorema de equipartición puede o!tenerse
a partir de la pro!a!ilidad de Zolt(mann
distri!ución para un sistema pequeUo 9 en
equili!rio con una /gran depósito atemperatura distri!ución M . El Zolt(mann
esta!lece que la pro!a!ilidad de que el
$*
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sistema S se encuentra en una estado de
energía E es proporcional a e− Ek "T -es
decir* P
( E) ∞e− Ek "T
¿# e− Ek " T [[[[[[[/GG
a pro!a!ilidad de encontrar el sistema .9
un estado de energía E.
Fig 3.18 Iz5uierda Hn sistea deinteractuar con un depósito t,rino.
erec@a 9oltzann la distribución deencontrar el sistea en un estado deenerg&a .
os valores de E podr'n ir de 0 a infnito /el
depósito es el encargado de mantener la
constante de la temperatura -Bero *comoindica la e4presión anterior *los estados de
menor energía tiene una pro!a!ilidad m's
$+
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26/37
alta .ado que para una energía dada puede
+a!er varios estados caracteri(ados por la
misma energía *es +a!itual para defnir*
g/EdE n7mero de estados conenergía E *dentro de un intervalo dE.
/G5dando así
# e
− Ek " T g( E)dE
pro!a!ilidad de encontrar el sistema de 9
en un estado de energía entre E , E QdE*o que sugiere para identifcar un lugar de
densidad de pro!a!ilidad B/E se defne de la
siguiente manera*
P( E) dE=# e− Ek " T g( E )dE
pro!a!ilidad de encontrar el sistema en un
estado de energía entre E , EQdE*
[[[[[[[[[[[./GConde C es una constante a deterinar.ado que las pro!a!ilidades aUadido so!re
todos los posi!les estados de!en ser iguales
a de!emos e4igir.
∫0
∞
# e
− E$
k " T g ( E$ )dE $ =1
lo que da *
$
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27/37
# −1=∫
0
∞
e
− E$
k "T g ( E$ )d E $ (36)
Bor tanto* una e4presión de autoconsistente
para B /E est' dada por*
P E dE= e
− Ek " T g ( E )dE
∫0
∞
e
− E $
k "T g ( E$ )d E$ /G1
/9viso en el denominador estamos utili(ando
un "maniquí$ varia!le EV.Bor la e4presión
/G1 podemos calcular )ormalmente la
energía media del sistema*
¿ E≥∫0
∞
Ee
− Ek "T g ( E ) dE /∫
0
∞
e
− E$
k " T g ( E$ )d E $ /G8
l teorea de 5uiparticiónAesulta que* mu, a menudo la energía del
sistema puede contener un términocuadr'tico. Jonsidere* por e%emplo*
E= x
2
2m+1
2k x
2+%,
\ nos gustaría para calcular* por e%emplo* el valor
promedio de la energía cinética.
$7
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28/37
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29/37
¿∫0
∞−'' &
e− & x
2
2m d x /∫0
∞
e
− & x2
2m d x
¿
−'' &∫0
∞
e
− & x2
2m d x
∫0
∞
e
− & x2
2m d x
¿ x
2
2m>¿−
'
' & ln [∫
0
∞
e
− & x2
2m d x ] /5
efnición de la varia!le) *√ &2m x ,¿ x
2
2m>¿− '
' & ln [
√2m & ∫
0
∞
e−)2
d)]
¿− '
' & ln [√ 1 & √ 2m∫0
∞
e−)2
d) ]
√ 2m
(√ 1 & )+ ln ¿ln ¿
¿− '' & ¿
∫0
∞
e−)2
d)¿¿
,rinoindependiente de ¿
x2
2m>¿−
'
' & [−12 +n& ]= 12 & ¿
x2
2m>¿
1
2k " T (41 ) $
Si +u!iéramos elegido cualquier otro término
cuadr'tico de la energía que +a!ríamos
$=
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o!tenido el mismo resultado. Este es el
teorema de equipartición. 9frma*Si la energía P del sistema tiene la )orma *
E=
x2
2m+
1
2 k x
2
+% /52 El valor medio de cada uno independiente
término cuadr'tico es igual a 1
2 k " T .
P= =1
2 kT +
1
2 kT +%
La cat"strofe ultra2ioleta 9sumamos que +a, ) di)erentes términoscuadr'ticos en la e4presión para el total P
de energía /movimiento de traslación*
movimiento de rotación*[[*etc. El teorema
de equipartición lleva a P= 1
2 - " T .:tili(ando
este resultado en la e4presión /G2V I (ω)=
1
3π 2c2 ω
2W
*se o!tiene I (ω)=
1
3π 2c2 ω
2 1
2 k " T ,∨,
I ( ω)=
k "T
6π 2c2 ω
2
la predicción cl'sica [ /5G
30
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Fig.3.1= La discrepancia gra2e entre losreultados e>perientales y lapredicción teórica se lllaa lacat"strofe ultra2ioleta.
3.1. l naciiento de la f&sica cu"ntica Jipótesis de BlancK para calcular Gproedio de energ&a del "too.Bara llevar la predicción teórica m's cerca
de los resultados de la e4perimentación
Blanc^ considera la posi!ilidad de una
violación de la le, de equipartición de la
energía descrita por encima de* la e4presión
/52. a e4presión a partir de la siguiente
e4presión /G2 I (ω )1
3 π 2c2 ω
2
W *
Sin em!argo* con la energía media del
oscilador P no es constante /como el
31
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teorema de equipartición predice * sino m's
!ien una )unción de la )recuencia *P/&*con
los siguientes requisitos-ω
2W (ω)−−−−−−.
ω2W (ω)=¿=¿=¿=¿0
ω=¿>0
, /55ω
2W (ω)=¿=¿=¿=¿0
ω=¿>∞
Bara el c'lculo estadístico de P *Blanc^ n
puso en duda la cl'sica de Zolt(mann
Estadísticas descritas en el apartado
anterior- que Meoría todavía sería
considerado v'lido[[[[../5CBlanc^ cuenta de que podía o!tener el
comportamiento deseado e4presado en /55
si *3 ugar de tratar a la energía del oscilador
como un proceso continuo varia!le*los
estados de energía del oscilador de!en
tomar 7nico paso discreto valores0*ε *2ε*Gε*[[[[ /5I3 os pasos de energía serían di)erentes para
cada )recuencia.
3$
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ε = ε/& /51onde la dependencia especí)ica de ε en
términos de & se determina *
adiación incidente
Blanc^ postuló que la enregía del osciladorest' cuanti(ada.Fig .3.$0 Hn "too recibe radiación defrecuencia ω 4 puede ser e>citadosolaente por 2alores discretos deenerg&a 04 4$434MMMM
Seg7n Blanc^* en la e4presión integralcl'sica /G1
Pcl'sico = =∫0
∞
E e
− E - " T g( E)dE
∫0
∞
e
− E / - " T g( E / )dE /
*+a!ría que reempla(ar
da el n7mero de estados
con energía E dentro de un intervalo ;dEHdE 333333 ε
33
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∫0
∞
dE−−−∑n=0
∞
E
Bor lo tanto o!tener*
PBlanc^/& = =∑n=0
∞
En e− En - " T
∑n=0
∞
e
− En
- " T
[[[[./58
onde En=nε(ω ) - n=*2*G*[..
3 :na ilustración gr'fca puede a,udar a
entender por qué esta +ipótesis podría de
+ec+o )uncionar3 En primer lugar se muestra cómo la )ísica
cl'sica evaluar la energía media.
cl'sico ¿∫0
∞
E [ P ( E ) ] dE=0rea1aj2+ac)r3a
de E B /E ?S E .
3*
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Fig.3.$1 Las representaciones
es5ue"ticas para el c"lculo de energ&aedia de el oscilador de ba:o unenfo5ue de la f&sica cl"sica.
3 :sando la +ipótesis de Blanc^
Blanc^ = ∑0∞
En P( En) *
- Caso Los 2alores ba:os de frecuenciade ω
- Bara este caso* Blanc^ asumido ε de!eríatener un valor pequeUo /por las ra(ones
e4plicado en la ig.G.1. ε= caso valor /para valores pequeUos de
& ../5
3+
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Fig.3.$$ Las representacioneses5ue"ticas para el c"lculo de laenerg&a edia de la oscilador suponiendo
5ue el oscilador puede aditir sólo2alores discretos de energ&a4 para el casoen el 5ue la separación entre los ni2elesde energ&a contiguos siendo un 2alorrelati2aente ba:o.
e +ec+o *la comparación de la ig.G.2 , igG.22 se o!serva que si ε es pequeUo *entonces
el valor de
∑0
∞
En P( En) estar' mu, cerca del valor cl'sico.e
+ec+o *es desea!le que los resultados de
Blanc^ est'n de acuerdo con los resultadoscl'sicos en !a%a )recuencias* ,a que las
predicciones cl'sicas , los resultados
3
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