Enseñanza media
Guía número 1 Matematica
III° Medio
Nombre de alumno/a: ……………………………………………………………………….. Curso: …………..……..
Asignatura: Matemática. Nivel: Tercero medio.
Unidad: Números y función cuadrática. Contenido: Raíces, logaritmos y función cuadrática.
OA2: Mostrar que comprenden las relaciones entre potencias, raíces enésimas y logaritmos.
OA 3: Mostrar que comprenden la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; 𝑎 ≠ 0
Transformación de Potencia a Raíz
Primero, recordemos el cálculo de una raíz:
➢ √25 = 5
➢ √83
= 2
➢ √15
= 1
➢ √273
=
➢ √81=
➢ √164
=
➢ √13
=
➢ √36=
❖ Toda potencia que posee un exponente fraccionario o decimal, se puede transformar en
una raíz, de la siguiente forma.
𝑎𝑥
𝑦 = √𝑎𝑥𝑦 Ejemplo1: 7
2
3 = √723 √49
3
Ejemplo2: 53
2 = √532 √125
Ahora, toda raíz se puede transformar en una potencia, en donde su exponente será un número
fraccionario o decimal.
√𝑎𝑥𝑦
= 𝑎𝑥
𝑦 Por ejemplo: √827= 8
2
7
Ejercicios:
1. Transformar a raíz las siguientes potencias (en caso de tener raíz exacta, calcular).
i. 53
2 = _______
ii. 67
2 = _______
iii. 21
4 = _______
iv. 42
3 = _______
v. 81
3= _______
vi. 22
5= _______
vii. 491
2=_______
2. Transformar a potencia las siguientes raíces.
i. √5=_______
ii. √153
=_______
iii. √657=_______
iv. √104=_______
v. √1265=_______
vi. √1576=_______
vii. √3155=_______
Transformación
de potencia a logaritmo y de logaritmo a potencia.
Los logaritmos conocidos también como anti-potencias son unas de las funciones más utilizadas en matemáticas y otras ciencias. Esta función está directamente relacionada con todas las potencias, tanto de exponente entero como racional (fraccionario).
Se lee Logaritmo en base b de a es igual a c
Por ejemplo:
1) 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟗 = 𝟐 expresado como potencia 𝟑𝟐 = 𝟗 2) 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟏𝟐𝟓 = 𝟑 expresado como potencia 𝟓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓
Actividades:
1. Expresar como potencia los siguientes logaritmos.
I. log2 4 = 2
II. log3 27 = 3
III. log5 25 = 2
IV. log4 32 = 3
V. log2 32 = 5
2. Identificar el valor faltante en los siguientes logaritmos.
I. log2 = 3
II. log9 = 2
III. log 100 = 2
IV. log7 49 = ____
V. log 216 = 3
3. Expresar como logaritmos las siguientes potencias.
I. 103 = 1000
II. 43 = 64
III. 34 = ______
IV. 17 = ______
V. 25 = ______
Propiedades de los logaritmos
• Logaritmo de un producto:
El logaritmo de un producto de factores es la suma de los logaritmos de los
factores:
Ejemplo: log5(5 ∙ 4) log5 5 + log5 4 1 + log5 3
• Logaritmo de un cociente:
El logaritmo de un cociente es el logaritmo del numerador menos el logaritmo del
denominador.
Ejemplo: log6 (13
6) log6 13 − log6 6 log6 13 − 1
• Logaritmo de una potencia:
El logaritmo de una potencia es el logaritmo de la base de la potencia
multiplicado por el exponente.
Ejemplo: log3 27 log3 33 3 ∙ log3 3
Ejercicios. Utilizar las propiedades del logaritmo:
I. log7(7 ∙ 5)=
II. log4(6 ∙ 3)=
III. log9 (7
9)=
IV. log15 (6
11)=
V. log8 85=
VI. log2 16=
VII. log3 27=
Función cuadrática.
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la
forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde a y b son términos dependientes y c es el
termino independiente. Importante destacar que a≠ 0.
Por ejemplo:
𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 8𝑥 − 4 Completa; tiene los 3 términos.
Coeficientes 𝑎 = 5 𝑏 = 8 𝑐 = −4
𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 6𝑥 Incompleta; tiene 2 términos.
Coeficientes 𝑎 = 4 𝑏 = −6 𝑐 = 0
𝑓(𝑥) = −6𝑥2 + 7 Incompleta; tiene2 términos.
Coeficientes 𝑎 = −6 𝑏 = 0 𝑐 = 7
• Representación gráfica de una función cuadrática:
•
• Orientación o concavidad
Puntos de cortes con el eje 𝒙 (soluciones)
Punto de corte con el eje 𝒚
Vértice
Puntos de cortes con el 𝒙
Ejemplo: Calcular los cortes con el eje 𝑥 de la siguiente función.
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑥1 =−2 + √22 − 4 ∙ 1 ∙ −3
2 ∙ 1
𝑥2 =−2 − √22 − 4 ∙ 1 ∙ −3
2 ∙ 1
𝑥1 =−2 + √4 + 12
2
𝑥2 =−2 − √4 + 12
2
𝑥1 =−2 + √16
2
𝑥2 =−2 − √16
2
𝑥1 =−2 + 4
2
𝑥2 =−2 − 4
2
𝑥1 =2
2
𝑥2 =−6
2
𝑥1 = 1
𝑥2 = −3
Actividades:
I. Determinar los valores de 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 de las siguientes funciones:
𝑓(𝑥) = 8𝑥2 + 4𝑥 + 1 a= b= c=
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 41 a= b= c=
𝑓(𝑥) = −4𝑥2 − 3𝑥 a= b= c=
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 7 a= b= c=
𝑓(𝑥) = 6𝑥2 + 3𝑥 a= b= c=
𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 5𝑥 − 17 a= b= c=
II. Usando fórmula general calcular el corte con el eje x de las siguientes
funciones:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 4
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 − 2
3) 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 𝑥 + 4
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − 10
5) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6
III. Determinar el corte con el eje 𝑦 de las siguientes funciones:
Función Corte con el eje 𝑦
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 − 2
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 17
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 − 14
𝑓(𝑥) = 10𝑥2 − 𝑥
IV. Calcular el vértice de las siguientes funciones cuadráticas:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 2
2) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 3
3) 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 𝑥 + 2
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 5
V. Determinar que tipo de concavidad tienen las siguientes funciones
cuadráticas. Cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.
𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 4𝑥 + 3
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 − 3
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 7
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 3
𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 8𝑥 + +15
𝑓(𝑥) = −9𝑥2 + 7𝑥 − 10