1
Transformada de Laplace
Con el objeto de un mejor entendimiento de los temas centrales de nuestro
desarrollo es conveniente recordar algunos conceptos previos, ya vistos, ellos
son:
Continuidad Seccional
Una funcin real f (t) es
seccionalmente continua en un
intervalo [a, b], si una particin del mismo en numero finito de
partes, en cada una de las cuales la
funcin es continua y adems tiene
limites laterales finitos en los
extremos de cada subintervalos.
Es consecuencia de esta definicin
que toda funcin continua en un
intervalo [a, b], es seccionalmente
continua.
En efecto, si se divide el intervalo [a, b], en dos o ms partes se comprueba
fcilmente que en cada una de ellas la funcin es continua y adems verifica las
condiciones enunciadas anteriormente.
Funciones de Orden Exponencial
Se dice que una funcin f (t) es de orden exponencial cuando t tiende a
infinito , o simplemente que es de orden exponencial, si dos constantes
reales M y mayores que cero, tales que a partir de un cierto valor de tH,
es : f (t) M . e t
Se dice tambin que la funcin f (t) est dominada por la funcin M . e t
que
esta, es mayorante.
Si la funcin es de orden exponencial t H , se verifica la doble desigualdad
-M . e t
f (t) M . e t
La grafica de la funcin f (t), a partir de t H se encuentra entre las curvas
simtricas de las funciones exponenciales M . e t
y - M . e t
En el grafico siguiente aparecen algunos ejemplos de funciones de orden
exponencial.
0
f (t)
t
a b
2
f(t)=sen a.t
H
M.e
-M.e
f(t)=K
f(t)=a.t
M
K
-M
f(t)
t
f(t)=A.cos a.t
Vemos para la funcin f (t) = k que t H es k M . e t
Transformada de Laplace
Definicin:
Sea f (t) una funcin definida t R0*+. Si la integral dttfets )(
0
.
existe,
es decir, si esta integral converge para algn valor de s , ser una funcin del parmetro S. La funcin as obtenida recibe el nombre de Transformada de
Laplace de la funcin f (t)
Denotaremos a la transformada de Laplace de f (t) con cualquiera de las
siguientes formas:
{ f (t)} = F (s) ( se lee: la transformada de f (t) es F (s) )
f (t) F (s) ( se lee : f (t) tiene por transformada a F (s) )
3
En la definicin { f (t)} = )(.).(0
. sFdtetf ts
se llaman
f (t) : es la funcin ORIGINAL
F (s): es la IMAGEN o TRANSFORMADA
e-st
: es el NCLEO DE TRANSFORMACIN
S : VARIABLE SIMBOLICA (que puede ser compleja)
Criterio de Existencia de la Transformada de Laplace
Si una funcin es seccionalmente continua en un intervalo 0 t H, y de orden
exponencial t H, entonces existe la transformada de Laplace de
f (t) S .
Demostracin:
Por las propiedades de los modulos de las integrales, sabemos:
0 0
..
0
. )()(.)(. dttfedttfedttfe tststs , ya que es
tsts ee .. y como f (t) M e.t , resulta :
dteMdteMedttfe tsttsts 0
).(
0
.
0
. .).(
resolviendo
= -
0)(lim. eeS
M Ps
P expresin en la que si S
Pse )( 0 cuando p . Esto indica que la integral converge para
valores de s , que la transformada existe y adems que F (s) M / s - .
Si la funcin fuera de orden exponencial en un intervalo (H, ) y seccionalmente continua en [0, H], podemos generalizar el resultado anterior
descomponiendo el intervalo de integracin [0, ] en dos partes por el punto H
En el primer intervalo [0, H] la integral existe por ser f (t) seccionalmente continua y en el intervalo [H, ] se repite el razonamiento anterior con lo que
queda demostrado.
4
Condiciones Suficientes para la existencia de la Transformada
Para que la transformada de Laplace de una funcin f (t) exista, y para que
f (t) se pueda volver a encontrar a partir de su transformada F (s), es suficiente
que:
a) Que sea f (t) seccionalmente continua en el intervalo (0, H) y tenga a lo mas un numero finito de mximos y de mnimos y un numero finito de
discontinuidades finitas.
b) Que exista una constante real a tal que la integral impropia
dttfe ta ).(.0
.
0
. )(. dttfe ta , sea convergente.
Frecuentemente la condicin b) es reemplazada por otra ms exigente, es decir
por otra mas restrictiva:
b) Si existen constantes reales , M, H tales que :
e-.t
f (t) M vlido t H bien f (t) M .e.t
t H
Esta ltima condicin restrictiva, no es otra cosa que la definicin vista de
funciones de orden exponencial.
Es evidente, que en adelante la deduccin de las propiedades fundamentales de
las transformadas de Laplace implica, el operar con la integral
0).(. dttfe st
Esta es claramente impropia, ya que su lmite superior es infinito, y tambin
podra resultar impropia debido a las condiciones que puede presentar la funcin
a transformar, en uno o ms puntos del intervalo de integracin. Sin embargo en
tanto y en cuanto supongamos que f (t) sea seccionalmente continua, estas
discontinuidades sern en el peor de los casos, saltos finitos, que se salvan
fcilmente descomponiendo el intervalo de integracin en intervalos parciales
cuyos extremos son precisamente los puntos de discontinuidad. Por tanto, no
prestaremos una atencin especial a los posible saltos de f (t) . Pero los que
requieren mayor observacin, por ser mas serios, son los problemas relacionados
con el limite superior infinito de la integral.
Transformadas de funciones elementales
Demostraremos a continuacin las transformadas de las funciones elementales
de uso mas frecuente:
5
Si f (t) = 1 {1} = s
1 s 0
Demostracin :
{1} =
pps
p
P ts
p
ts
S
edtedte
0
.
0
.
0
. limlim.1.
ss
e
s
e sps
p
10lim
0..
si S 0
Si f (t) = t {t} = 21
s s 0
{t} = dttedttep ts
p
ts ..lim..0
.
0
.
haciendo :
u = t du = dt
dv = e-s.t. dt v = e-s.t/-s resulta reemplazando:
{t} = dtess
et tsp
ts
P.
1.lim
0
.
0
.
analicemos el primer trmino
s 0 psP
Ps
P es
P
s
eP.
.
.lim
.lim
aplicando L Hopital
= 0.
1lim
.2
psP eS y cuando t = 0 0
. .
s
et ts
en consecuencia la integral dada ser igual a:
{t} = .1
..1
0
.
sdte
s
tS
{1} = 2
1
s s 0
6
Generalizando {t n} = n ! s 0 con n = 1, 2, 3, . S n+1
Ya hemos demostrado la regla para n = 1, supongamos se cumple para un valor
de n = k , o sea se verifica que
{t k} = 1!kS
k para un valor de n = k +1 tendremos :
{t k+1}= dttekts .. 1
0
. resolviendo por partes
= dtte
s
k
s
et ktstsk
..1.
0
.
0
.1
procediendo a un anlisis similar al del
punto anterior vemos que el primer termino es cero, de donde nos queda
{t k+1}= s
k 1. {t k} =
s
k 1. 1
!kS
k =
2
!1
KS
kAs por el principio de
induccin completa, queda probada la validez, de la formula para todo n
natural.
Si f (t) = tae . {
tae . } = as
1 s a. Demostracin
{tae . } = dtee
tats .. .0
.
= dteast .
0
).(
= -
0
)(
as
e ast
cuando s a s a 0 0).(
1limlim
)(
)(
astt
ast
t easas
e
{tae . }= -
asas
e
10
0
s a
Veamos ahora algunas transformadas de funciones trigonomtricas.
7
Si f (t) = sen a t { sen a.t } = 22 as
a
s a
Demostracin : { sen a.t } = dttasenets ...
0
.
, podramos realizar la
demostracin resolviendo en forma directa esta integral, pero recordemos que
sen a.t = i
ee taitai
.2
.... y aplicando la propiedad lineal de las transformadas,
tendremos
{ sen a.t } =
i
ee taitai
.2
....
= i.2
1[ {
taie .. } - { taie .. } ] =
= ..2
1
i
aisais .
1
.
1
=
i.2
122
..2
as
ai
= 22 as
a
s a
Si f (t) = cos a.t { cos a.t } = 22 as
s
s a
Para la demostracin recordemos que cos a.t = 2
.... taitai ee
y aplicando las mismas propiedades que en punto anterior
{ cos a.t } = 2
1[ {
taie .. } + { taie .. } ] = .2
1
aisais .
1
.
1
=
= 2
122
.2
as
s
= 22 as
s
s a
- Si f (t) = Ch .at { Ch . at } = 22 as
s
s a
para la demostracin recordamos que Ch . at = 2
.. tata ee
{Ch. at} = 2
1[ {
tae . } + { tae . }] = .2
1
asas
11= 22
.2
2
1
as
s
8
- Si f (t) = Sh .at { Sh . at } = 22 as
a
s a
sabemos que Sh. at = 2
.. tata ee por lo que su transformada ser:
{Sh. at} = 2
1[ {
tae . } - { tae . }] = .2
1
asas
11
= 2222.2
2
1
as
a
as
a
si s a
Es posible, con el objeto de facilitar la bsqueda y calculo de las transformadas,
confeccionar una tabla para las funciones elementales de uso frecuente :
f (t) F (s) s
1 ; u (t) s
1 s 0
t 2
1s
nt
1
!ns
n Nn
ate as
1 s a
sen at 22 as
a
s 0
cos at 22 as
s
Sh.at 22 as
a
s a
Ch.at 22 as
s
Propiedades de la transformacin de Laplace
Propiedad Lineal
Si f (t) F (s) g (t) G (s) , siendo A y B ctes. arbitrarias se demuestra
9
{A. f (t) B. g (t)} = A . F(s) B .G(s)
esta propiedad como una consecuencia inmediata de la definicin de la transformada, en razn de las propiedades lineales de las integrales.
Ejemplo :
Hallar { 2.5 .22 tett } = { 2t } 5 { t } + { te .2 } 2 {1} =
= ssss
2
2
15223
Propiedad de translacin
Si f (t) F (s) { )(.. tfe ta } = F (s - a)
Demostracin : por definicin tenemos
{ )(.. tfe ta } =
0
.. ).(.. dttfee tats =
0
)( )().(. asFdttfe ast
Si la transformada de f (t) existe, esta ultima integral define una transformada
de variable simblica (s a), por lo que la propiedad queda demostrada, veamos un ejemplo prctico :
Hallar: { tet .32 . }
calculamos { 2t } = 32
s {
tet .32. } = 3)3(
2
s
otro ejemplo Hallar { tChet .3... }
calculamos { Ch 3 t}= 22 3s
s { tChe
t .3... } = 9)(
)(2
s
s
Cambio de Escala
Si f (t) F (s) { f (a.t)} = asFa .1
Demostracin: aplicando la definicin
{f (t.a)} = dtatfets )..(.
0
.
resolviendo
10
u = t .a t = a
u dt =
a
1.du
{ f (a.t) } = )(1
.1
).(.0
.
asF
adu
aufe a
su
Transformada de Laplace de Derivadas
Si f (t) F (s) y posee derivadas sucesivas en cero se demuestra que:
{ )(
)(
n
zf } = )1(
)(
)2(
)(
321 ........)()()(.)(. non
o
nnnn ffSofSfSofSsFS
a) Demostraremos en primer termino para la primera derivada
Si f (t) F (s) { f (t).} = S. F(s) f (o)
{ f (t).} = dttfedttfep ts
P
ts ).(.lim).(.0
.
0
.
resolviendo
u = tse . du = - dtes
ts .. .
dv = f (t) dt v = f (t)
{ f (t).} =
P tsP
ts
Pdttfestfe
0
.
0
. ).(.)(.lim =
=
P ts
P
ps
PofsFsdttfesofepfe
0
.0. )()(.).(.lim.)()(.lim
nos queda por demostrar 0)(.lim.
pfe ps
P, recordemos que f (t) es de
orden exponencial, cuando t o sea que )(tf teM .. tambin
)(.. pfe ps )(.. ... sppsp eMeeM
11
si s el segundo miembro tiende a cero cuando p
o sea 0)(.lim.
pfe ps
P
b) Transformada de la derivada segunda
Si f (t) F (s) { f (t)} = s 2. F(s) s. f (o) f (o)
Aplicando el concepto demostrado en el punto anterior y pensando que f (t) es
la primitiva de f (t) tendremos
{ f (t)} = s. { f (t)} f (o) = s [ s. F(s) f (o)] f (o)
= s 2. F(s) s .f (o) f (o) con lo que queda demostrado
Supongamos la regla se verifica para la derivada ensima
{)(
)(
n
tf } = )1(
)(
)2(
)(
21 .......)(.)()(. non
o
nnn ffsofsofssFs
aplicando el procedimiento sabiendo que la primitiva de )1(
)(
n
tf es )(
)(
n
tf
{)1(
)(
n
tf } = s. {)(
)(
n
tf } - )(
)(
n
of reemplazando los valores
{)1(
)(
n
tf } = s . [1
)(
1 ......)(.)(. nonn fofssFs ] -
)(
)(
n
of
{)1(
)(
n
tf } = )(
)0(
)1(
)0(
11 ......)0()0()(. nnnnn ffsfsfssFs
como vemos la regla se verifica para el orden (n+1)
Transformada de Laplace de Integrales
Si f (t) F(s) t
duuf0
).( )(.1
sFs
lo demostramos :
Supongamos que g (t) = t
duuf0
).( y sea p (u) una funcin de variable
independiente u tal que su derivada sea p(u) = f (u)
g (t) = t t
optpcupduuf0 0
)()()().( derivando :
g (t) = p(t) y como p(u) = f (u) g(t) = p(t) = f (t) adems
12
la funcin g (t) en el punto cero ser g (o) = 0
00).( duuf
si hallamos la transformada de la igualdad g(t) = f (t)
{ g(t)} = s. { g (t)} g (o)}
{ f (t)} = F(s) s. { g (t)} = F(s) despejando
{ g (t)} = s
1 .F(s) {
t
duuf0
).( } = s
1 .F(s)
Ejemplo: Hallar { t
dusenau0
. }
Sabemos que sen au 22 as
a
t
as
a
sduausen
0 22.
1...
Divisin por t
Si f (t) F (s) t
tf )(
SduuF ).( , lo demostramos
Llamemos a t
tf )(= g (t) o sea f (t) = t . g (t)
{ f (t)} = { t . g (t)} supongamos que G(s) = { g (t)}, adems
{f (t)} = F(s) ; { t . g(t)} = (-1)1. ds
d.G(s) , por lo tanto:
F(s) = - )(sGds
d o tambin F(u) = - ),()(. uGuG
du
d integrando
s s
p
s
pPPs suGudGuGdduuGduuF )(lim)(lim)(.)().(
= G(s) - )()(lim sGpGp
como este ultimo miembro es la transformada de
g(t) = t
tf )( se deduce que :
t
tf )(=
sduuF ).( siendo F(s) f (t)
en esta demostracin hemos supuesto que 0)(lim
pGp
, en efecto
13
la funcin G(u) =
t
tf )(=
0
. .)(
. dtt
tfe ts por definicin, adems
t
tf )( es de orden exponencial y se verificar
t
tf )(
teM .. y M 0
dtt
tfedt
t
tfe tsts
)(..
)(.
0
.
0
.
M . )(.0
).( sGdte ts
0
).(. dteM ts
como
0
).( 0)(lim0.lim sGdtes
ts
s
0)(lim
pG
p
Calculo de Integrales impropias
Si f (t) F(s)
0 0
).(..
)(duuFdt
t
tf
Demostracin : Por el teorema anterior resulta:
0
. ).(.)(
.s
ts duuFdtt
tfe tomando limites para s o+
SS
tS
SduuFdt
t
tfe )(lim
)(.lim
00
.
0 como 1. tSe si s 0+
0 0
)(.)(
duuFdtt
tf veamos una aplicacin :
0 020
..lim1
p
pStgarc
s
dsdx
x
xsen
20...lim
tgarcPtgarc
p
Transformada de Funciones Peridicas
Sea f (t) peridica de periodo primitivo p, ser:
f (t) = f (t+p) t R y si f (t) es Laplace transformable:
14
entonces )(tf =
Pts
psdttfe
e 0.
.).(..
1
1
Demostracin :
Por definicin ser : )(tf =
0
. ).(. dttfe ts
Descomponiendo el intervalo de integracin (0, )
=
P P
P
tsP
P
tsts dttfedttfedttfe0
3
2
.2
.. ...........).(.).(.).(.
Sustituyendo en la primera integral t = u ; en la segunda t = u+p , en la tercera
t = u + 2p, en la cuarta t = u + 3p ---------y en la n-sima integral a t = u + (n-
1).p
tendremos :
= ..........).2().()(
0
)2(
0
)(
0
. dupufedupufeduufeP
PUSP
PUSP
US
= ............).(.)(.).(.
0
.2
00duufeeduufeeduufe
PUSSP
PSUSP
PSU
= ........)1.().(32
0
SPSPSPP
SU eeeduufe este ultimo factor en
la integral que no depende de u, representa la serie geomtrica de razn SPeq , de valor absoluto 1 s 0 y primer termino a = 1, suma que
converge a SPeq
aS
1
1
1 cuando n , como limite de esta
)(tf =
Pus
psduufe
e 0.
.).(..
1
1 y como u = t en (0, P)
queda as demostrada
Transformada de la Funcin Escaln Unidad
Conceptos Previos : Definicin
Una funcin escaln unidad de variable real t queda definida mediante la expresin :
15
u (t - a) = 0 si t a
1 si t a
a R su grafica es :
Como caso particular de esta funcin si a = 0, ser :
u (t) = 0 si t 0
1 si t 0
Propiedades
Si una funcin f (t) est definida en R , se verificar :
f (t) . u (t) = 0 si t 0 (1)
f (t) si t 0
f (t a).u (t) = 0 si t 0 (3)
f (t a) si t 0
f (t) .u (t a) = 0 si t a (4)
f (t) si t a
f (t a). u (t a) = 0 si t a (2)
f (t a) si t a
veamos algunos ejemplos grficos de estas situaciones
u
0 t
1
a
t0
u
1
16
y
0 t
f (t - a) . u (t)
a
(1) y
0 t
f(t)
y
0
f(t).u(t)
t
f (t - a)
(2)
a0 t
y
f (t - a) .u (t - a)
y
a0
f (t - a)
0 a t
y(3)
y
(4)
f(t)
0
y
f (t ) . u (t - a)
a t0
17
1
0
u(t).sen t
1
0
y y
tt
f(t)=sen t
y
u(t).sen (t- )
0
y
u.(t- ).sen (t- )
0
sen (t- )
0
y
u.(t-a).sen t
a
sen (t- )
0
y
0
y
sen t
y
t t
tt
En algunos problemas suele suceder que sobre un sistema que, debido a alguna
perturbacin seal inicial, entra en actividad en el instante t = 0 , acta luego,
por ejemplo en el instante t = a, otra perturbacin. La representacin analtica de
18
estas funciones y la naturaleza de su transformada de Laplace constituyen por lo
tanto cuestiones de cierta importancia.
Veamos algunos ejemplos en las que intervienen combinaciones de funciones
escalones entre si, y con otras :
Caso de funcin impulso rectangular funcin filtro
f
a b0
A 1
ab
1 -u(t-b)
t
u(t-a)
B
0
f(t) f(t)
t1
Como vemos la funcin impulso del grafico A puede interpretarse como la suma
algebraica de dos funciones escalones sugeridas en B f (t) = u (t - a) u (t b) Sea ahora una g (t) una funcin de variable t y f (t) el impulso
0 1
f
g
a b
t
a b
g . f
0t
g = g (t) f (t) = u (t a) u (t b) g . f = g (t).[ u (t a) u (t b)]
0 si t a
g . f = g (t) si a t b
0 si t b
Veamos entonces sus transformadas :
Si f (t) = u (t a) sae
satu .
1)(
19
Demostracin :
Por definicin ser :
dtatueatu ts ).(.)(0
.
= dtatuedtatuea
tsa
ts ).(.).(. .0
.
como u (t a) = 0 si t a
1 si t a
=
a
sa
at
tsts e
ss
edte .
.. .
1.1.
s 0
como caso particular se verificar : si a = 0
u (t a) = u (t) u (t) = 0 si t 0 luego ser :
1 si t 0
{ u (t)} = s
1 , ya que 1
. sae cuando a = 0
Si f (t) F (s) f (t a) . u (t a) F (s). sae .
Demostracin :
Como el producto f (t a) . u (t a) = 0 si t a
f (t a) si t a
{f (t a) . u (t a)} = dtatfedtea
tsa
ts )(..0. .0
.
si t a = v
= )(.).(..).(..
0
..
0
)( sFedvvfeedvvfe asvsasavs
Ejemplos: Dado un impulso rectangular, hallar su transformada
Ser : f (t) = 1 t (a, b)
0 t (a, b)
f (t) = u (t a) u (t b)
f
0 a b
t
1
20
{ f (t)} = { u (t - a)} - { u (t - b)}= )(1 .. sbsa ees
Definir y hallar la transformada de :
f (t) = t (0, a)
0 t (0, a)
la podemos definir tambin f (t) = (u (t) u (t a))
{ f (t)} = [ { u (t )} - { u (t - a)}=
saess
.11= sae
s
.1
a la misma expresin llegaramos si aplicamos la definicin :
{ f (t)} =
a ats
a
tststs dtedtedtedttfe0 0
...
0
. ..0...).(.
que resolviendo ser : = asats e
se
s
.
0
. 1
Definir y hallar la transformada de :
F(t)= )2(2
1
2
3
2
11
2
1
2
1
2
1
tutututu
{ f (t)} =
s
s
s
s
eeees
22
3
2
.2
1
Definir y hallar su transformada
f (t) = u (t -1) 2 u (t -2) + u (t -3)
t
f
0 a
1/2
1
0 1/2 1 3/2 2
t
f
21
{ f (t)} = sss eees
32.21
Multiplicacin por t n Propiedad
Si f (t) F (s) )()(.)1()(. nnn sFtft *Nn
Demostraremos primero para n =1. Por definicin tenemos:
dttfesF ts ).(.)(0
. , si derivamos ambos respecto de s :
dttftedttftedttfeds
dsF tststs )).(.().(..)(.)(
0
.
0
.
0
.
F(s) = - {t .f (t)} tambin que {t .f (t)} = - F(s)
podemos derivar nuevamente a la ultima integral respecto de s, aplicando el mismo procedimiento, supongamos que la regla se cumple para un valor
de n = k se verificar entonces que :
{t kf (t)} = (-1) k. )(
)(
k
sF es decir : )(
)(0
. .)1().(..ks
kkts Fdttfte
Derivando esta ultima, respecto de la variable s:
)1()(0
. .)1().(.. ks
kkts Fdttfteds
d
dttftedttftte ktSktS ).(.).(... 10
.
0
. pasando el signo
)1(
)(11
0
. .)1().(. ks
kkts Fdttfte
{t k+1 .f (t)} = (-1) k+1. )1(
)(
k
sF y generalizando
{t n .f (t)} = (-1) n. )(
)(
n
sF con lo que queda demostrada.
Ejemplo : Hallar la transformada de la funcin tsent .3..2
sabemos que
22
9
3.3
2 s
tsen , aplicando la propiedad :
32
2
22
222
)9(
18.18
9
3.)1(.3..
s
s
sds
dtsent
Transformada Inversa de Laplace
Si : {f (t)} = F(s) -1{F (s)} = f (t) Esto expresa que f (t) es la transformada inversa de F(s)
donde -1 se denomina Operador transformada inversa. Veamos un ejemplo: Sabemos que
{ te .3 } = 3
1
s -1
3
1
s =
te .3
podramos expresar lo mismo con la siguiente notacin :
F(s) f (t) y se lee F(s) tiene por transformada inversa a f (t) Con el objeto de facilitar la bsqueda de las antitransformadas de una dada
f (t) se confeccionan tablas al efecto, pero en realidad las tablas de
transformadas son de doble entrada :
F(s) f(t)= -1{F (s)}
s1 1
21s
t
ns1 t
n-1/(n-1)!
as 1 tae .
221
as sen a.t /a
22 ass
cos a.t
221
as sh a.t /a
22 ass
Ch a.t
23
Propiedades de la Transformada Inversa
1- Linealidad
Sean a y b constantes, F(s) = -1{f (t)} G(s) = -1{g (t)}
Se demuestra que : -1{a .F (s) b .G(s)}= a . f (t) b . g (t)
En efecto dado que {a . f (t) b . g (t)}= a. F(s) b. G(s)
resulta que se verificar que -1{a .F(s) b .G(s)}= a . f (t) b . g (t) Ejemplo : calclese la transformada inversa de la funcin
F(s) = 4
2
16
.3
2
422
ss
s
s aplicando la propiedad
: -1{F (s)}= 4 -1 .321
s -1 .
162
s
s -1
4
22s
=
= tsentet .2.4.cos.3.4 .2
2- Primera Propiedad de Traslacin
Si F(s) = { f (t) } -1{F (s - a)}= )(.. tfe ta
En efecto, por la propiedad de traslacin de la transformada directa vimos
que { )(.. tfe ta } = F (s a) en consecuencia se verificar que
-1{F (s - a)}= )(.. tfe ta
3- Segunda Propiedad de Traslacin
f (t a) si t a
Si F(s) f (t) -1{ )(.. sFe sa } = 0 si t a
o sea -1{ )(.. sFe sa } = u (t a).f (t a)
sabemos que si f (t) F(s) f (t - a).u(t a) )(. sFe sa por tanto
-1{ )(.. sFe sa }= f (t - a).u (t a) siendo a 0 y t a
24
4- Cambio de Escala
Si F(s) f (t) -1{ F(ks)} =
k
tf
k
1 ; demostracin :
Por definicin sabemos que : F(s) =
0
. ).(. dttfe ts para una variable
simblica sk ser F(sk) =
0
. ).(. dttfe tsk haciendo un cambio de variable
y llamando kt = u t = u/k dt = du/k , reemplazando
F(sk) =
0
. .1
)/(. duk
kufe us =
0
. )./(1
dukufek
us
por lo tanto
F(sk) )/(1
ktfk
Transformadas Inversas de la Forma P(s) / Q(s)
Primer caso: Q(s) tiene races reales simples Suponemos en todos los casos que Q(s) es de grado superior a P(s) ya que en
caso contrario se podr realizar el cociente indicado.
Tambin suponemos Q(s) polinmica de grado n, con coeficiente igual a uno en su termino de mayor grado. Si Q(s) se anula para s = a ; s = b ; s = c ; .........
1) hacemos P(s) / Q(s) = cs
C
bs
B
as
A
donde los numeradores A, B, y C
son coeficientes a determinar, por ejemplo por reduccin a comn denominador
y eliminando luego a estos resulta :
P(s)= A (s-b) (s-c) +B (s-a) (s-c) + C (s-a) (s-b) , dando a s tres valores distintos cualesquiera se obtienen A, B y C, pero si hacemos en particular
s = a P(a) = A (a-b) (a-c) A = P(a) / (a - b) (a - c)
s = b P(b)= B (b-a) (b-c) B = P(b) / (b-a) (b-c)
s = c P(c) = C (c-a) (c-b) C = P(c)/ (c-a) (c-b) Obtenidos as los coeficientes, aplicamos la prop. Lineal
-1{P(s)/Q(s)} = A . -1
as
1+ B . -1
bs
1+ C . -1
cs
1=
-1{P(s)/Q(s)} = tctbta eCeBeA ... ...
2) Otro mtodo consiste en multiplicar sucesivamente por cada uno de los
denominadores (s a); (s b); ......... a la igualdad
25
P(s) / Q(s) = cs
C
bs
B
as
A
y luego tomar limite cuando s a, s b; ......
As por ejemplo para hallar A, multiplicamos ambos miembros por (s a) obteniendo P(s).(s-a)/Q(s) = A + W (s).(s-a)
Notamos que el primer miembro de la ultima igualdad es una funcin continua
en a, ya que Q(s) contiene un solo factor (s-a) que se simplificar con el del numerador. Por otra parte W(s) es la expresin con la que representamos las
dems fracciones simples que no contienen a (s-a) en su denominador. Tomando
limite para s a ser : A = )(/)).((lim sQassPaS
3) Tomando como base el segundo mtodo podemos deducir un tercer mtodo :
como P(s).(s-a)/Q(s) tambin puede escribirse bajo la forma P(s)/ )(
)(
as
sQ
,
tomando limite s a
A = )(
)(/)(lim
as
sQsP
aS =
aSas
sQ
sP
)(
)(lim
)(lim pero )()(lim aPsP
aS
Adems )('1
)('lim
)(
)(lim aQ
sQ
as
sQ
aSaS
)('
)(
aQ
aPA
operando de igual manera con las races b, c, ..........obtenemos B, C, .......
Ejemplo : Hallar la transformada inversa de : -1
sss
s
6
123
a) Aplicando el primer mtodo
Para 0.623 sss 0)6.( 2 sss s1 = 0
de 062 ss s2 = 2 s3 = -3 por lo tanto
32)3(20.6
123
s
C
s
B
s
A
s
C
s
B
s
A
sss
s
s +1 = A (s - 2) (s + 3) + B s.(s + 3) + C.s.(s - 2)
si : s = 0 1 = -6A A = - 1/6
s = 2 3 = 10.B B = 3/10
s = -3 -2 = 15.C C = -2/15 reemplazando
26
)3.(15
2
)2.(10
3
.6
1
.6
123
ssssss
s por lo que su transformada
inversa ser :
-1 6
1
.6
123
sss
s -1
s
1+
10
3 -1
2
1
s - 15
2 -1
3
1
s
-1 tt eetf
sss
s .3.223 15
2
10
3
6
1)(
.6
1
b) Obtencin de los coeficientes por segundo mtodo
si 32)3).(2.(
1
s
C
s
B
s
A
sss
s
multiplicamos ambos miembros por el primer denominador S y luego tomamos limite para s 0, obtenindose as el coeficiente A
6
1
)3).(2(
1lim
0
ss
sA
s
multiplicamos ahora ambos miembros por (s 2) y tomamos limite para s 2 tendremos :
10
3
)3.(
1lim
2
ss
sB
s , finalmente para hallar C multiplicamos por (s+3) y
tomamos limite cuando s -3
15
2
)2.(
1lim
3
ss
sC
s
c) Aplicando el tercer mtodo tendremos : Q(s) = 3 s2 + 2.s 6
61
6.2.3
1
)(
)(
0
2
sss
s
aQ
aPA
103
6.2.3
1
)(
)(
2
2
sss
s
bQ
bPB
27
152
6.2.3
1
)('
)(
3
2
sss
s
cQ
cPC
Segundo Caso : Q (s) tiene races Complejas Simples Se trata de hallar la transformada inversa de una expresin P(s)/Q(s) cuyo
denominador tiene races complejas para Q(s)= 0 que llamaremos a = + i
b = - i . Se emplea cualquiera de los mtodos vistos anteriormente para el
caso de races reales simples as, P(s)/Q(s) = )(sWbs
B
as
A
siendo el
ultimo termino una funcin que contiene a todas las dems races posibles de
Q(s), no siendo ninguna de estas iguales: a b. Por lo tanto resolviendo
-1 tbta eBeAsQsP .. ..)(/)( -1{W(s)}, termino este ultimo que no consideraremos su resolucin; interesa para el calculo practico dar una forma
real a la primera parte del segundo miembro
as tittittititbta eeBeeAeBeAeBeA .....).().(.. ........
= )...(cos.)...(cos... tseniteBtseniteA tt
y agrupando: tseniBAtBAe t ..)(.cos)(. tsenCtCe t ..2.cos.1.
Ejemplo : Hallar la Transformada inversa : -1
9
2.62s
s
Si : s2 + 9 = 0 s1 = 3 i s2 = -3 i por tanto
is
B
is
A
s
s
339
2.62
por lo que -1
9
2.62s
s=
titi eBeA ..3..3 .. tambin
que titi eBeA ..3..3 .. (A+B) cos 3 t + (A-B) i sen 3 t , en forma real
determinamos entonces los valores de A y B
28
33
.2
2.6
)(
)(
.31
1 i
s
s
sQ
sPA
iS
33
.2
2.6
)(
)(
.32
2 i
s
s
sQ
sPB
iS
A + B = 6 (A - B) i = -2/3 reemplazando estos valores
f (t) = 6. cos 3 t - tsen .3.3
2 que es el resultado buscado.
Tercer Caso : Q (s) tiene races reales mltiples Supongamos P(s)/Q(s) donde Q(s) es de grado mayor que P(s) y Q(s) = 0
tiene una raz triple en s = a , podemos escribir :
P(s)/Q(s) = )()()( 23
sWas
C
as
B
as
A
, termino este ultimo que
contiene a todas las dems fracciones de las posibles races distintas de a. Multiplicando ambos miembros por la mayor potencia de (s - a) que aparece en
los denominadores, sea por (s a)3, obtenemos
P(s).(s - a)3/ Q(s) = )(.)().()(
32 sWasasCasBA .(1)
Llamando a la, funcin del primer miembro H(s) = P(s).(s-a)3/Q(s)
Obtendremos )(lim sHAaS
, ya que todos los dems trminos del segundo
miembro se anulan cuando s = a , excepto A.
Luego derivando sucesivamente la expresin (1) y tomando limite para s a, encontraremos los dems coeficiente B, C,.......; ejemplo
H(s) = B +2.C (s a) + [(s a)3. W(s)] B = )('lim sHaS
H(s) = 2 ! c + [(s a)3.W(s)] C = !2
)(''lim
sH
aS
Podemos generalizar el mtodo para un grado multiplicidad n
)()(
............)()(
)()(1
sWas
N
as
B
as
AsQsP
nn
siendo H(s)= )()).(( sQassPn ;A= H(a); B = H(a),C=
!2
)('' aH;
)!1(
)1(
)(
n
HN
n
a
29
Ejemplo : Hallar la transformada inversa de 345 .2
2)(
sss
ssF
para 0.2345 sss tendremos :
0)1.2.( 23 sss s1 = s2 = s3 = 0 s4 = s5 = 1 luego
)1()1(.2
2223345
s
E
s
D
s
C
s
B
s
A
sss
s
para hallar los tres primeros coef. multiplicaremos por s 3 ambos miembros de la
igualdad, y para hallar los restantes lo hacemos por (s 1)2 y luego tomamos los limites correspondientes.-
Para la raz triple s = 0 tenemos:
)1.2.(
).2(
)(
)).(()(
23
3
sss
ss
sQ
assPsH
n
=1.2
22
ss
s por lo que
21.2
2)(lim
0
20
SS ss
ssHA
5)1(
5
)1(
2.lim)('lim
0
3200
SSS s
s
s
s
ds
dsHB
8)1.(2
)5.()1.(3)1(
)1(
2lim
2
1
!2
)(''lim
0
6
23
22
2
00
SSS s
sss
s
s
ds
dsHC
Para la raz doble s = 1 tendremos :
323
2 2
)1.(
)1).(2()()).(()(
s
s
ss
sssQbssPsL n
los coeficientes
sern 32
lim)(lim311
s
ssLD
SS
86.2
lim)('lim411
s
ssLE
SS
f (t) = -1
345 .2
2
sss
s=
tt eettt .8..38.52
Cuarto Caso: Q(s) tiene races complejas mltiples El procedimiento en estos casos, es el mismo que se utiliz para el caso de
races reales mltiples, teniendo cuidado de darle al resultado final la forma
de una funcin real.
30
Ejemplo: Supongamos la ecuacin diferencial, con valores iniciales
y+ y = 2.cos t con y(o) = 0 y(o) = 0, aplicamos transformada
{y} + {y} = 2 . {cos t} resolviendo estos trminos
.2s {y} s. y(o) y(o) + {y} = 1
.22 s
s aplicando las condiciones iniciales del
problema y(o) = 0 y(o) = 0 tendremos
s2 . {y} + {y} = 1
.22 s
s despejando {y} {y} = 22 )1(
.2
s
s como
vemos cuando 0)1(22 s tendremos races complejas repetidas a = i ;
b = - i ; c = i ; d = -i
(1)
Determinacin del valor de los coeficientes
Multiplicamos (1) por (s i)2 y tomando limites para s i tenemos
2).2(
.2
)(
.2lim
22
i
i
i
is
sA
iS
0)(
.4).(2
)(
.2lim
32
iSiS is
sis
is
s
ds
dC
Multiplicamos ahora (1) por (s+i)2
y tomamos limite cuando s -i
2)(
.2lim
2i
is
sB
iS
; derivando respecto de s , ser :
)()()()()1(
.22222 is
D
is
C
is
B
is
A
s
s
31
0)(
.4).(2
)(
.2lim
32
iSiS is
sis
is
s
ds
dC
Por lo que -1
22 )1(
.2
s
s A . -1 .
)(
12
Bis
-1
2)(
1
is
y (t) = ...tieA -1
2
1
s +
tieB .. -1
2
1
s = titi eBeAt .. ...
debemos dar a esta expresin una forma real equivalente
y(t) = t. [A.(cos t + i. sen t) + B (cos t i sen t) ]= = t. [(A+B) cos t + i.(A-B).sen t] = t . sen t
y(t) = t . sen t ya que A + B = 0 i (A - B) = 1
Veamos otro mtodo de resolucin : Convolucion
De gran inters tanto terico como practico son los resultados relativos al
producto de transformadas, cuando se trata de hallar transformadas inversas de
la forma -1 {F(s). G(s)} donde F(s) G(s) son conocidas. Veamos:
Dada las funciones f (t) y g (t) definidas t 0 se llama Convolucion de f y g y lo representamos por f * g , a la funcin de t dada por la expresin
t
dgtfgf0
).().(* ; la Convolucion goza de las propiedades,
asociativas y conmutativa, as :
f * (g * h) = (f *g)*h
f * g = g * f sea tt
dftgdgtf00
)().().().(
bajo estas condiciones se demuestra :
Si : {f (t)} = F(s) {g (t)} = G(s)
-1 {F(s) . G(s)} = f * g -1{F(s) .G(s)} = t
dgtf0
).().(
tambin suele encontrarse bajo la forma :
{f (t)} . {g (t)} = {f * g}
Demostracin : Por definicin de transformada tenemos :
{f * g} = t
dgtf0
).().( =
t
t
tS dtdgtfe00
. .).().(.
la doble integracin define una regin del plano t ; donde
32
0 t 0 t , se puede representar tambin por las siguientes
inecuaciones equivalentes de la
misma regin de integracin:
0 t de modo que la transformada de la
convolucion es
0
.
0
. ..).(.)(.).().(.
dtdetfgdtdgtfet
tS
t
tS
haciendo t - = t - = dt = du si t = u = 0
t = + si t u
{f * g} =
0 0
.
0
.
0
)( .).(.).(.).()(
u
uSS
u
uS dduufeegdudufeg
F(s)
= F(s) .
0
. .).(
deg S = F(s) . G(s) por lo tanto :
si : {f * g} = F(s) . G(s) -1 {F(s) . G(s)} = f * g
con lo que queda demostrado.
Ejemplo:
1.- Hallar la transformada inversa -1
)1.(
12ss
; consideramos
-1 11
s; -1 tsen
s.
1
12
entonces aplicando convolucion -1 tsenss.*1
)1.(
12
1*sen t = t t
dsen0 0
.cos...1 = 1 cos t -1 cos1)1.(
12
sst
2.- Hallar -1
)1(
122 ss
consideramos :
0 t
t =
33
-1 ts
2
1 -1 tsen
s.
1
12
as :
-1
t
dsenttsentss 022
.).(.*)1.(
1 resolviendo :
t
dsent0
..).( = tsentdtt
...cos.cos).(0
-1 tsentss
.)1.(
122
3.- Hallar -1
222 3)2(
1
s; aplicando prop. Traslacin
-1 .
3)2(
1 .2222
tes
-1
222 3
1
s ahora bien
)3(
1.
)3(
1
)3(
12222222 sss
3
.3. tsen.
3
.3. tsen por lo que
-1
t
dsentsentsentsens 0222
..3.).(3.9
1.3.
3
1*.3.
3
1
)3(
1
tt
ttsendtt
00
.3.cos.6
).36(
18
1
2
..3.cos)..3.6cos(
9
1
tt
tsen.3.cos.
3
.3.
18
1 ).3.cos..3.3.(
54)(
.2
tttsene
tft
Este ejemplo muestra como en ciertos casos, cuando el denominador de la
transformada tiene factores cuadrticos repetidos, se puede utilizar el teorema de
convolucin, en lugar del mtodo para races con repeticin, considerndolo de
la forma P(s)/Q(s)
34
- Teorema de Unicidad de la Transformada Inversa
Si para una dada funcin F(s), existe una f (t) tal que {f (t)}= F(s), entonces
llamamos a f la transformada inversa de Laplace de la funcin F.- Esta relacin
en la transformacin entre f y F se describe simblicamente mediante:
f (t) = -1{F(s)}, esto significa solamente que si cumple que
f (t) = -1{F(s)} {f (t)} = F(s) ; por ejemplo, hemos demostrado que
{1} = s
1 por lo que es correcto decir que -1 1
1
s. Sin embargo, nos
enfrentamos an con la cuestin de si este resultado encontrado es nico o hay
otras, cuyas transformadas inversas existen y es igual a uno.
Es difcil encontrar ejemplos prcticos de funciones, laplace-transformables f
g tales que {f (t)} = {g (t)}
Veamos
Sea la funcin de variable t , g (t) tal que:
g (t) = 1 t 2
2 t = 2
Entonces {g (t)} = dttgedttgetsts ).(.).(.
2
.2
0
. como g (t) = 1
en esos intervalos ser :
{g (t)} = dtedtedte tststs ..1..1.0
.
2
.2
0
. {1} =
s
1
Lo que demuestra que no tiene importancia el valor de g en t =2 y su transformada es la misma que la transformada de la funcin constante, continua
f (t) = 1, o que la funcin Escaln Unidad u(t)
luego -1
s
1 no es nica
Para describir esta carencia de unicidad de la transformada inversa, necesitamos
de otras definiciones como ser :
g
1
0 2
2
g(t)
t
35
Funcin Nula : Definicin. Es una funcin N, tal que para todo valor de T se
verifica que T
dttN0
0).( ; los ejemplos mas simples de ellas, lo
constituyen todas aquellas que en un numero finito de puntos de su dominio no
se hacen cero, siendo nula para los dems, veamos dos casos grficamente :
N1
0
P1P2
t1 t2 t
t1
t2
t3
t4 t5 t
P1
0
P2
P3
P4
P5
N2
Si la diferencia entre dos funciones integrables f g es una funcin nula, de manera que : f (t) = g (t) + N (t) , toda integracin en un intervalo 0; T de
esta igualdad ser por supuesto T T
dttgdttf0 0
0).().( T 0. El
resultado bsico sobre la falta de unicidad de la transformada inversa se enuncia
mediante:
Teorema de Lerch
Si f (t) = -1 {F (s)} g (t) = -1 {F (s)} f (t) = g (t) + N (t) ; t 0
Esto es, dos transformadas inversas f g de una misma F, pueden diferir cuando
mas, en una funcin nula N(t) t 0
Una consecuencia inmediata es que si f g son continuas y a su vez
transformada inversa de una misma F(s), entonces las funciones f g son
idnticas t 0 . Adems si f g son seccionalmente continuas con idnticos intervalos de continuidad, y con la misma transformada, entonces
pueden tener valores diferentes, solo en los puntos de discontinuidad.
En la mayora de las aplicaciones reales esas condiciones de continuidad se
imponen a la solucin del problema, de tal manera de que para un gran numero de propsitos prcticos la transformada inversa puede considerarse nica. As, estas apreciaciones practicas, nos permiten construir las tablas de
transformadas inversas, uno a uno.