Ing. Fernando
Montesinos Andreses
CICLO 2013-I Módulo: II Unidad: 03 Semana: 06
MÉTODOS NUMÉRICOS Y
PROGRAMACIÓN DIGITAL
ORIENTACIONES
Para llegar a donde deseas necesitas una
meta, que tu meta sea pasar este curso con
un buen resultado, es decir que puedas
lograr aprender a aprender. Para llegar a
ello debes tener un plan, el cual debe
incluir los puntos siguientes:·
• Prepararse para la clase.
• Asistir a clase.
• Solicitar ayuda especial cuando la
necesites·
CONTENIDOS TEMÁTICOS
DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA
• Particularidades de la derivación numérica.
• Fórmulas elementales de la integración numérica.
• Fórmula de Newton-Cotes.
• Fórmulas compuestas de integración numérica.
Motivación
• Definición del diccionario de diferencias: marcar por diferencias,
distinguir, percibir la diferencia en o entre
• En el contexto de las matemáticas, LA DERIVADA que sirve
como vehículo fundamental para la diferenciación, representa la
razón de cambio de una variable dependiente con respecto a
una independiente
• La definición matemática de la derivada empieza con una
aproximación por diferencias
• Si se permite que Δx se aproxime a cero la diferencia se
convierte en una derivada
x
xfxxf
x
y ii
x
xfxxf
dx
dy ii
x
0lim
Motivación
• En cálculo el proceso inverso de la diferenciación es la
integración
• Definición del diccionario de integrar: llevar junto, como partes,
en un todo; unir; indicar la cantidad total
• Matemáticamente, la integración se representa por
integral de la función f(x) con respecto a la variable
independiente x, evaluada entre los límites a y b
• La integral es el valor total, o sumatoria de f(x)dx sobre el rango
x=a hasta b
• Para funciones que están por encima del eje x, la integral
corresponde al área bajo la curva de f(x) en a y b
b
a
dxxfI
Motivación
• La discriminación de la diferenciación y el llevar junto de la
integración se vinculan en forma estrecha con procesos que
están inversamente relacionados
• Por ejemplo, si se tiene una función dada y(t) que específica la
posición de un objeto como función del tiempo, la
diferenciación proporciona un medio para determinar su
velocidad,
• De manera inversa, si se tiene la velocidad como función del
tiempo, la integración se usará para determinar su posición
dt
tdytv
t
dttvty0
Motivación
• De esta manera, podemos generalizar que la evaluación de la
integral
es equivalente a resolver la ecuación diferencial
para una y(b) dada la condición inicial y(a) = 0
xfdx
dy
b
a
dxxfI
Métodos empleados antes de la era de las
computadoras
• La función que será diferenciada o integrada estará usualmente
en una de las siguientes tres formas:
1. Una función simple continua tal como un polinomio, una
exponencial, o trigonométrica
2. Una función continua complicada que es difícil o imposible de
diferenciar o integrar de manera directa
3. Una función tabulada donde los valores de x y f(x) están dados
en un número de puntos discretos (datos experimentales)
• En los casos 2 y 3 se deben usar métodos aproximados
Métodos empleados antes de la era de las
computadoras
Diferenciación gráfica por áreas desiguales
• Se tabulan los datos (x,y), para cada intervalo se calcula una
diferencia dividida simple Δy/Δx para estimar la pendiente
• Estos valores se grafican como una curva de paso contra x
• Luego, se dibuja una curva suave que intenta aproximar el área
bajo la curva de pasos, equilibrando las áreas negativas y
positivas
• Las derivadas para valores dados de x pueden leerse de la
curva
Métodos empleados antes de la era de las
computadoras x Y Δy/Δx
0 0 66,7
3 200 50
6 350 40
9 470 30
15 650 23.3
18 720 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
10
20
30
40
50
60
70
x Δy/dx
0 76.5
3 57.5
6 45
9 36.25
15 25
18 21.5
Métodos empleados antes de la era de las
computadoras
Integración gráfica
• Se gráfica la función sobre una cuadricula y se cuentan el
número de cuadros que aproximan el área
• En número de cuadros multiplicado por el área de los cuadros es
una aproximación del área bajo la curva
Barras
• Se divide el área en barras verticales, con una altura igual al
valor de la función en el punto medio de cada barra. La suma del
área de los rectángulos es una aproximación del área bajo la
curva
Diferenciación numérica
• De la expansión de la serie de Taylor hasta el término de primer
orden
• Se puede obtener la primera diferencia hacia delante
• Esta diferencia dividida hacia delante no es sino una de tantas que
se pueden desarrollar mediante serie de Taylor para la aproximación
de derivadas numéricas
111 ' Rxxxfxfxf iiiii
ii
ii
iii xxO
xx
xfxfxf
1
1
1'
Diferenciación numérica
Aproximación a la primera derivada con diferencia hacia atrás
• La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular
un valor anterior a partir de un valor actual
• Truncando la expansión después de la 1ra derivada y
ordenando
2
1!2
''' h
xfhxfxfxf i
iii
h
xfxfxf ii
i1'
f(b)
xi-1 xi
Diferenciación numérica
Aproximación a la primera derivada con diferencias centrales
• Una tercera forma de aproximar la 1ra derivada es restando la
expansión de serie de Taylor hacia atrás de la expansión hacia
delante para obtener
• Despejando
3
11!3
''''2 h
xfhxfxfxf i
iii
23
11
62' h
xf
h
xfxfxf iii
i
La diferencia central es la representación más
exacta de la derivada
f(b)
xi-1 xi
Diferenciación numérica
Aproximaciones por diferencias finitas de derivadas de orden
superior
• Escribiendo la expansión en serie de Taylor hacia delante para
f(xi+2) en términos de f(xi)
• La expansión en serie de Taylor hacia delante para f(xi+1) puede
multiplicarse por dos y restarse a esta ecuación para obtener
• Despejando
2
2 2!2
''2' h
xfhxfxfxf i
iii
hOh
xfxfxfxf iii
i
2
12''
2
12 ''2 hxfxfxfxf iiii
2da diferencia finita
hacia adelante
Diferenciación numérica
• 2da diferencia finita hacia atrás
• 2da diferencia finita central
hOh
xfxfxfxf iii
i
2
212''
2
2
11 2'' hO
h
xfxfxfxf iii
i
Métodos numéricos de integración
• fórmulas de Newton-Cotes
– Regla trapezoidal
– Regla 1/3 de Simpson
– Regla 3/8 de Simpson
• Cuadratura de Gauss
Fórmulas de Newton-Cotes
• Se basan en la estrategia de reemplazar una función
complicada o datos discretos con una función
aproximada que sea fácil de integrar
donde fn(x) es un polinomio de la forma
• La integral se puede también aproximar mediante
una serie de polinomios aplicada por pedazos a la
función o datos sobre segmentos de longitud
constante
b
a
n
b
a
dxxfdxxfI
n
n
n
nn xaxaxaxaaxf
1
1
2
210
Fórmulas de Newton-Cotes
• Se dispone de formas cerradas y abiertas de
fórmulas de Newton-Cotes
• FORMAS CERRADAS: son aquellas donde los
datos al inicio y al final de los limites de integración
son conocidos
• FORMAS ABIERTAS: tienen limites de integración
que se extienden más allá del rango de los datos
– No se usan por lo general para integración definida
– Sin embargo, se utilizan para evaluar integrales
impropias y en la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias
Regla Trapezoidal
• Corresponde al caso donde el polinomio es de primer orden
• El área bajo esta línea recta es un estimado de la integral de f(x)
entre los limites a y b
• El resultado de la integración es
b
a
b
a
dxxfdxxfI 1
axab
afbfafxf
1
b
a
dxaxab
afbfafI
2
bfafabI
Regla Trapezoidal
Regla Trapezoidal • Geométricamente, la regla trapezoidal es
equivalente a aproximar el área del
trapezoide bajo la línea que conecta f(a) y
f(b)
• La fórmula para calcular el área de un
trapezoide es la altura por el promedio de
las bases. En nuestro caso el trapezoide
esta de lado y la integral se representa
como
I = ancho x altura promedio
o
I = (b - a) x altura promedio
• Todas las fórmulas cerradas de Newton-
Cotes pueden expresarse en el formato
general de la ecuación anterior, y sólo
difieren con respecto a la formulación de
la altura promedio
2
bfafabI
f(a)
f(b)
a b
Error de la regla Trapezoidal
• Una estimación para el error de truncamiento local de una sola
aplicación de la regla trapezoidal es
• donde está en algún lugar en el intervalo de a hasta b
• Esta ecuación indica que si la función sujeta a integración es
lineal, la regla trapezoidal es exacta
• Para funciones con curvatura puede ocurrir un error
3''
12
1abfEt
Aplicación múltiple de la regla
Trapezoidal • Una forma de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es
dividir el intervalo de integración [a,b] en un número de segmentos y aplicar el método a cada uno de ellos
• Las integrales de los segmentos se suman para obtener la integral de la función en [a,b]
• Si hay n+1 puntos base igualmente espaciados (x0, x1, x2,… xn), entonces hay n segmentos de igual anchura; h = (b-a)/n
• Si a y b son designados como x0 y xn, respectivamente la integral total se representa como
n
n
x
x
x
x
x
x
dxxfdxxfdxxfI
1
2
1
1
0
Aplicación múltiple de la regla
Trapezoidal • Sustituyendo la regla trapezoidal se obtiene
• Agrupando términos se obtiene
• También se puede expresar como
222
12110 nn xfxfh
xfxfh
xfxfhI
n
n
i
i xfxfxfh
I1
1
0 22
n
xfxfxf
abIn
n
i
i
2
21
1
0
Aplicación múltiple de la regla
Trapezoidal • Un error para la regla trapezoidal de múltiple aplicación se
puede obtener al sumar los errores individuales de cada segmento para dar
• Este resultado se puede simplificar al estimar la media de la segunda derivada para todo el intervalo como
• Quedando el error de truncamiento como
• Así, si el número de segmentos se duplica, el error de truncamiento disminuirá a un cuarto
n
i
it fn
abE
13
3
''12
n
f
f
n
i
i 1
''
''
''
12 2
3
fn
abEa
Conclusiones - Regla Trapezoidal
• Para aplicaciones individuales con buen comportamiento de las
funciones, la regla trapezoidal de múltiples segmentos es casi
fina para obtener el tipo de exactitud requerido en muchas
aplicaciones de ingeniería
• Si se requiere de alta exactitud, la regla trapezoidal demanda un
gran esfuerzo computacional
• Los errores de redondeo presentan una limitación en nuestra
habilidad para determinar integrales. Esto se debe tanto a la
precisión de la máquina como a los diversos cálculos
involucrados en técnicas simples como la regla trapezoidal de
múltiples segmentos
Seudo código para la regla trapezoidal
FUNCTION Trapezoidal(h,n,f)
sum = f0
DO i = 1,n-1
sum = sum + 2*fi
END DO
sum = sum + fn
integral = h * sum / 2
END Trapezoidal
Reglas de Simpson
• Otra forma de obtener una estimación más
exacta de un integral es con el uso de
polinomios de orden superior para
conectar puntos
Regla de Simpson 1/3
• Usa interpolación polinomial de segundo orden
• Si a y b se designan como x0 y x2, y f2(x) es representada por un
polinomio de Lagrange de 2do orden, la integral se transforma en
• Integrando se obtiene
donde a = x0; b = x2 y x1 = punto a la mitad de camino entre a y b
b
a
b
a
dxxfdxxfI 2
2
0
2
1202
201
2101
200
2010
21
x
x
dxxfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxI
210 43
xfxfxfh
I
6
4 210 xfxfxfabI
2
abh
Error de la regla de Simpson 1/3
• La regla de Simpson 1/3 tiene un error de truncamiento de
• La regla de Simpson 1/3 es más exacta que la regla trapezoidal
• El error es proporcional a la cuarta derivada
• El término del coeficiente de tercer orden se hace cero durante la
integración de la interpolación polinomial
• En consecuencia la regla de Simpson 1/3 tiene una precisión de
tercer orden aún cuando se basa en sólo tres puntos
• Da resultados exactos para polinomios cúbicos aún cuando se
deriva de una parábola
45
90
1fhEt
4
5
2880f
abEt
Aplicación múltiple de la regla de
Simpson 1/3 • La regla de Simpson 1/3 se puede mejorar al dividir el intervalo de
integración en un número de segmentos de igual anchura,
h = (a-b)/n
• La integral total se puede representar como
• Sustituyendo la regla de Simpson 1/3
• Combinando términos
n
n
x
x
x
x
x
x
dxxfdxxfdxxfI
2
4
2
2
0
6
42
6
42
6
42 12432210 nnn xfxfxf
hxfxfxf
hxfxfxf
hI
n
xfxfxfxf
abI
n
n
j
j
n
i
i
3
242
6,4,2
1
5,3,1
0
Se debe usar un
número par de
segmentos para
implementar el
método
Aplicación múltiple de la regla de
Simpson 1/3 • La regla de Simpson 1/3 está limitada a casos en los que los
valores son igualmente espaciados
• Además, está limitada a situaciones donde hay un número par
de segmentos y un número impar de puntos
• Un error estimado para la aplicación de la regla de Simpson 1/3
se obtiene sumando los errores individuales de los segmentos
y sacando el promedio de la derivada,
4
4
5
180f
n
abEa
Seudo código para la regla de
Simpson 1/3
FUNCTION Simpson13(h,n,f)
sum = f0
DO i = 1,n-1,2
sum = sum + 4*fi + 2*fi+1
END DO
sum = sum + 4*fi + 2*fi+1
integral = h*sum/3
END Simpson13
Regla de Simpson 3/8
• Se ajusta un polinomio de Lagrange de tercer orden
a cuatro puntos y se integra
para obtener
• La regla de Simpson 3/8 tiene un error de
b
a
b
a
dxxfdxxfI 3
3210 338
3xfxfxfxf
hI 3
abh
8
33 3210 xfxfxfxfabI
45
80
3fhEt
4
5
6480f
abEt
Esta regla es más exacta que la de 1/3
Regla de Simpson 3/8
• La regla de Simpson 1/3 es a menudo el método de
preferencia, ya que alcanza exactitud de tercer
orden con tres puntos más que los cuatro puntos
requeridos para la versión 3/8
• Sin embargo, la regla 3/8 tiene la utilidad cuando el
número de segmentos es impar
• Una estrategia para mantener precisión de 3er
orden a través de todo el intervalo de integración es
usar la regla de Simpson 1/3 en los primeros
segmentos y la regla de Simpson 3/8 en los últimos
tres
Seudo código para la estrategia de
integración usando la Regla de Simpson 1/3
y 3/8 FUNCTION SimpsonT(a,b,n,f)
H = (b - a)/n
IF n = 1 THEN
sum = trapezoidal(h,fn-1,fn)
ELSE
m = n
odd = n/2 – INT(n/2)
IF odd > n/2 AND n > 1 THEN
sum = sum + Simp38(h,fn-3,fn-2,fn-1,fn)
m = n - 3
END IF
IF m > 1 THEN
sum = sum + Simpson13(h,m,f)
END IF
END IF
integral = sum
END SimpsonT
Seudo código para la estrategia de
integración usando la Regla de Simpson 1/3
y 3/8
FUNCTION Simp38(h,f0,f1,f2,f3)
Simp38 = 3*h*(f0 + 3*(f1 + f2) + f3)/8
END Simp38
Integración con segmentos desiguales
• Para los casos donde los datos están separados por segmentos
desiguales un método para la integración es aplicar la regla
trapezoidal a cada segmento y sumar los resultados
hi = ancho del segmento i
• Si alguno de los segmentos adyacentes son de igual anchura, se
puede evaluar la integral aplicando las reglas de Simpson a estos
segmentos
222
1212
101
nnn
xfxfh
xfxfh
xfxfhI
Integración de ecuaciones
• Se estudiarán dos métodos para el cálculo de integrales cuando
se dispone de la función
1. INTEGRACIÓN DE ROMBERG: se basa en la extrapolación de
Richardson, el cual es un método que combina dos estimaciones
numéricas de la integral para obtener una tercera, que tiene un
valor más exacto. Puede usarse para generar una estimación de
la integral dentro de una tolerancia de error especificada
2. CUADRATURA DE GAUSS: las fórmulas de cuadratura de Gauss
emplean valores de x que están posicionados entre a y b de
forma tal que resulta una estimación de la integral mucho más
exacta
Integración de Romberg
• Está basada en aplicaciones sucesivas de la regla
trapezoidal
• Sin embargo, se alcanzan mejores resultados con
menos esfuerzo
Integración de Romberg
EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
• Usa dos estimaciones de la integral para calcular una tercera más
exacta
• El error estimado y asociado con una aplicación múltiple de la
regla trapezoidal puede representarse de manera general como
• Si hacemos dos estimaciones por separado usando los pasos h1
y h2 y considerando valores exactos del error, se tiene
hEhII I: valor exacto de la integral
I(h): estimación de I con n segmentos de la
regla trapezoidal
E(h): error de truncamiento
2211 hEhIhEhI
Integración de Romberg
EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
• El error de la regla trapezoidal puede representarse de manera
aproximada como
• Suponiendo f’’ constante sin importar el tamaño del paso, se
puede determinar la razón de los dos errores,
• Reordenando
• Sustituyendo,
''12
2 fhab
E
2
2
2
1
2
1
h
h
hE
hE De esta forma se remueve f’’
2
2
2
121
h
hhEhE
222
2
2
121 hEhI
h
hhEhI
Integración de Romberg
EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
• Luego,
• Esta estimación de error se puede sustituir en
2
2
1
212
1
hh
hIhIhE
Estimación del error de truncamiento en
términos de las estimaciones de la
integral y del tamaño de segmento
22 hEhII Para obtener una estimación mejorada de
la integral
122
2
1
2
1
1hIhI
hh
hII
Integración de Romberg
EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
• Se puede demostrar que el error de dicha estimación es O(h4).
La estimación de la regla trapezoidal era O(h2)
• Para el caso especial donde el intervalo es la mitad, 2
12
hh
122212
1hIhIhII
123
1
3
4hIhII
Integración de Romberg
Ejemplo
• Calcule la integral de
a = 0, b = 0.8 5432 400900675200252,0 xxxxxxf
3674.11728.03
10688.1
3
4I
6405.1vI
n h I
1 0.8 0.1728
2 0.4 1.0688
4 0.2 1.4848
6235.10688.13
14848.1
3
4I
Integración de Romberg
• En este ejemplo calculamos dos integrales mejoradas con error
O(h4) sobre la base de tres estimaciones de la regla trapezoidal
• Esos dos cálculos mejorados pueden, a su vez, combinarse para
obtener un mejor valor con error O(h6)
• Para el caso especial donde las estimaciones del trapezoide
original están basadas sobre sucesivas mitades de tamaño de
segmento, la ecuación para obtener la exactitud de O(h6) es,
lm III15
1
15
16
Im: estimación mayor
Il: estimación menor
Integración de Romberg • De manera similar dos resultados O(h6) pueden combinarse
para calcular una integral que es O(h8),
• Se puede observar que los coeficientes en las ecuaciones de
extrapolación van aumentando hasta 1. Estos representan
factores ponderados que al aumentar la exactitud dan un peso
relativamente mayor sobre la estimación de la integral superior
• Estas formulaciones se pueden expresar en una forma general,
lm III63
1
63
64
Ij+1,k-1: integral más exacta
Ij,k-1: integral menos exacta
Ij,k: integral mejorada
k: el nivel de la integración
14
41
1,1,1
1
,
k
kjkj
k
kj
III k = 1 Regla trapezoidal O(h2)
k = 2 O(h4)
k = 3 O(h6)
Seudo código para la integración de
Romberg FUNCTION Romberg (a,b,maxit,es) LOCAL I(10,10) n = 1 I1,1 = TrapEq(n,a,b) iter = 0 DO iter = iter + 1 n = 2iter Iiter+1,1 = TrapEq(n,a,b) DO k = 2, iter+1 j = 2 + iter – k Ij,k = (4k-1 * Ij+1,k-1 – Ij,k-1)/(4k-1 – 1) END DO ea = ABS(I1,iter+1 – I1,iter)/I1,iter+1)*100 IF(iter ≥ maxit OR ea ≤ es) EXIT END DO Romberg = I1,iter+1 END Romberg TrapEq es una función que evalúa la integral de la función usando la regla trapezoidal
Cuadratura de Gauss
• Las fórmulas de cuadratura de Gauss emplean valores de x
que están posicionados entre a y b de forma tal que resulta una
estimación de la integral muchas más exacta
• Las fórmulas particulares de cuadratura de Gauss se
denominan fórmulas de Gauss-Legendre
Fórmula de Gauss-Legendre de dos
puntos • El objetivo de la cuadratura de Gauss es determinar los
coeficientes de una ecuación de la forma
donde: c0 y c1 son coeficientes desconocidos
x0 y x1 son valores de x posicionados entre a y b, desconocidos
• Tenemos un total de 4 incógnitas que deben ser evaluadas,
por lo que se requieren 4 condiciones para determinarlas con
exactitud
1. La ecuación (I) ajusta exactamente a la integral de una constante, f(x) = 1
2. La ecuación (I) ajusta exactamente a la integral de una función lineal, f(x) = x
3. Supongamos que también ajusta la integral de una función cuadrática , f(x) = x2
4. Supongamos que también ajusta la integral de una función cúbica, f(x) = x3
1100 xfcxfcI (I)
Fórmula de Gauss-Legendre de dos
puntos • Para hacer esto, determinamos las 4 incógnitas y en la
condición derivamos una fórmula de integración lineal que es
exacta para cúbicas
• Las 4 ecuaciones que habrán que resolverse son
• Resolviéndose simultáneamente se obtiene
1
1
1100 21dxxfcxfc
1
1
1100 0xdxxfcxfc
1
1
2
11003
2dxxxfcxfc
1
1
3
1100 0dxxxfcxfc
5773503.03
1
5773503.03
1
1
1
0
10
x
x
cc Sustituyendo se obtiene la fórmula de Gauss-
Legendre de dos puntos
3
13
1 ffI
Fórmula de Gauss-Legendre de dos
puntos
• Así, llegamos a un resultado interesante en que la simple
suma de los valores de la función en dan una
estimación de la integral que tiene una exactitud de tercer
orden
• Observe que se usaron los limites de integración desde -1 a 1,
con el objetivo de hacer la formulación tan general como sea
posible
• Se emplea un cambio de variable para trasladar otros límites
de integración a esta forma
31x
Fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos • Suponiendo que una nueva variable xd se relaciona con la
variable original x en una forma lineal, dada por
• Si el límite inferior, x = a corresponde a xd = -1, sustituyendo se
obtiene
• Si el límite superior, x = b corresponde a xd = 1, sustituyendo se
obtiene
• Resolviendo
• Sustituyendo
dxaax 10
110 aaa
110 aab
20
aba
21
aba
2
dxababx
ddx
abdx
2
Estas dos últimas ecuaciones podrán sustituirse para x y dx, respectivamente,
en la ecuación que se habrá de integrar
Fórmula de Gauss-Legendre de dos
puntos Ejemplo
• Integre
entre 0 y 0.8
• Primero se realiza el cambio de variable
5432 400900675200252,0 xxxxxxf
dxx 4.04.0 ddxdx 4.0
1
1
5432
8.0
0
5432
4.04.04.04004.04.09004.04.06754.04.02004.04.0252,0
400900675200252,0
dddddd dxxxxxx
dxxxxxx
822578.1305867.1516741.0
305867.13
13
1
516741.03
13
1
I
fxxf
fxxf
dd
dd
Fórmulas de Gauss-Legendre de punto
superior • Más allá de la fórmula de dos puntos descrita en la sección
anterior, se puede desarrollar versiones de punto superior en
la forma general
donde n = número de puntos
• Los valores de las c y las x incluyendo la fórmula con seis
puntos se resumen en la siguiente tabla
111100 nn xfcxfcxfcI
Factores de peso c y argumentos de la función
x usados en las fórmulas de Gauss-Legendre
Puntos Factores de peso Argumentos de la función Error de truncamiento
2 c0 = 1.0 x0 = -0.577350269
≈ f(4)(ξ) c1 = 1.0 x1 = 0.577350269
3
c0 = 0.5555556 x0 = -0.774596669
≈ f(6)(ξ) c1 = 0.8888889 x1 = 0.0
c2 = 0.5555556 x2 = 0.774596669
4
c0 = 0.3478548 x0 = -0.861136312
≈ f(8)(ξ) c1 = 0.6521452 x1 = -0.339981044
c2 = 0. 6521452 X2 = 0. 339981044
c3 = 0. 3478548 X3 = 0. 861136312
5
c0 = 0.2369269 x0 = -0.906179846
≈ f(10)(ξ)
c1 = 0.4786287 x1 = -0.538469310
c2 = 0.5688889 x2 = 0.0
c3 = 0.4786287 x3 = 0.538469310
c4 = 0.2369269 x4 = 0.906179846
6
c0 = 0.1713245 x0 = -0.932469514
≈ f(12)(ξ)
c1 = 0.3607616 x1 = -0.661209386
c2 = 0.4679139 x2 = -0.238619186
c3 = 0.4679139 x3 = 0.238619186
c4 = 0.3607616 x4 = 0.661209386
c5 = 0.1713245 X5 = 0.932469514
Fórmulas de Gauss-Legendre de punto
superior • Debido a que la cuadratura de Gauss requiere evaluaciones de
la función en puntos espaciados uniformemente dentro del
intervalo de integración, no es apropiada para casos donde la
función se desconoce
• Así, no es adecuada para problemas con datos tabulados
• Sin embargo, cuando se conoce la función, su eficiencia
puede ser una ventaja decisiva, en particular cuando se deben
realizar muchas evaluaciones de la integral
Análisis de error para la cuadratura de
Gauss • El error para las fórmulas de Gauss-Legendre se especifica por
lo general con
donde n = número de puntos menos uno
y f(2n+2)() = la (2n+2)-ésima derivada de la función después del
cambio de variable con localizada en algún lugar sobre el
intervalo desde -1 a 1
• Al comparar esta ecuación con la tabla queda expuesta la
superioridad de la cuadratura de Gauss sobre las fórmulas de
Newton-Cotes, contando con que las derivadas de orden
superior no aumenten sustancialmente con un incremento en n
22
432
!2232
!12
n
n
t fnn
nE
Integración Numérica
• Justificación del problema y conceptos
generales
• Fórmulas de cuadratura con paso
adaptativo
• Cuadratura de Gauss
• Integración sobre intervalos finitos
• Integración sobre intervalos infinitos
• Integración en varias variables
Introducción
• Justificación del problema
– Integral elíptica de segunda clase
– Definición de funciones especiales:
• Función de Bessel
• Función error
– Discretización de ecuaciones integrales
J z z n dn ( ) cos( sen ) 1
0
erf x e dttx
( )
2 2
0
• Partición del intervalo [a,b,
a=x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b
x0,x1,x2,...,xn-1,xn nodos
b0, b1, b2,,..., bn coeficientes o pesos
• Error de integración.
– Grado de precisión: mayor n N tal que
En(xk)=0, k=0,1,...,m
En(xm+1) 0
Conceptos generales
I f f x dxa
b
( ) ( )
I f f xn j j
j
n
( ) ( )
b 0
E f I f I fn n( ) ( ) ( )
Fórmulas de Newton-Cotes
• Fórmulas de cuadratura cerradas
• Fórmulas de cuadratura abiertas
• Fórmula de Trapecios para N subintervalos
• Fórmula de Simpson para N subintervalos
Fórmulas de cuadratura cerradas
Dados n+1 puntos equiespaciados de [a,b], xj=a+jh,
j=0,...,n h=(b-a)/(n+2). Entonces $ h ]a,b[ tal que
– n par y f Cn+2 [a,b], s=(x-x0)/h
– n impar y f Cn+1 [a,b], s=(x-x0)/h
dsnsssfn
h
xfdxxf
nn
n
n
j
jj
b
a
)()1()()!2(
)( )(
0
2)2(3
0
b
dsnsssfn
h
xfdxxf
nn
n
n
j
jj
b
a
)()1()()!1(
)( )(
0
)1(2
0
b
• n=1 Regla del Trapecio
• n=2 Regla de Simpson
• n=3 Regla de Simpson 3/8
• n=4 Newton-Cotes (5 puntos)
10
''3
10
)(12
)()(2
)(
xxfh
xfxfh
dxxfb
a
20
)(5
210
)(90
)()(4)(3
)(
xxfh
xfxfxfh
dxxf
iv
b
a
30
)(5
3210
)(80
3
)()(3)(3)(8
3 )(
xxfh
xfxfxfxfh
dxxf
iv
b
a
40
)(5
43
210
)(945
8)(7)(32
)(12)(32)(745
2 )(
xxfh
xfxf
xfxfxfh
dxxf
vi
b
a
Fórmulas de cuadratura abiertas
• Dados n+1 puntos equiespaciados de [a,b], xj=a+(j+1)h,
j=0,...,n h=(b-a)/(n+2). Entonces $ h ]a,b [ tal que
– Si n es par y f Cn+2 [a,b], s=(x-x0)/h
– Si n es impar y f Cn+1 [a,b], s=(x-x0)/h
dsnsssfn
h
xfdxxf
nn
n
n
j
jj
b
a
)()1()()!2(
)( )(
1
1
2)2(3
0
b
dsnsssfn
h
xfdxxf
nn
n
n
j
jj
b
a
)()1()()!1(
)( )(
1
1
)1(2
0
b
• n=0 Regla del Punto Medio
• n=1
• n=2
• n=3
11
''3
0 )(3
)( 2 )( xxfh
xfhdxxfb
a
21
)(3
10
)(4
3)()(
2
3 )(
xx
fh
xfxfh
dxxf iib
a
41
)(5
3210
)(144
95
)(11)()()(1124
5 )(
xxfh
xfxfxfxfh
dxxf
iv
b
a
31
)(5
210
)(45
14
)(2)()(23
4 )(
xxfh
xfxfxfh
dxxf
iv
b
a
• Fórmula de Trapecios para N subintervalos
h=(b-a)/N, xk=a+kh k=0,1,2,...,N
• Fórmula de Simpson para N subintervalos
h=(b-a)/(2m), xk=a+kh k=0,1,2,...,2m
)('')(12
)()(2)(2
)(
2
1
1
0
fabh
E
xfxfxfh
dxxf
T
N
k
Nk
b
a
)()(180
)()(4)(2)(3
)(
)(4
1
1
2
1
1220
iv
S
m
k
m
m
k
kk
b
a
fabh
E
xfxfxfxfh
dxxf
• Error de la Fórmula de Simpson
• Extrapolación de Richardson
Eh
b a f ChS
IV
4
4
180( ) ( )
][14
]2[][4
]2[][16)116(
][
)2(]2[
2
2
4
4
hIhIhI
I
hIhII
ChhII
hChII
Rdef
SS
SS
S
S
Integración de Romberg
• Expresión general:
• Error de orden h2j
• Exacta para polinomios de grado 2j-1
II I
kj
j
k j k j
j
4
4 1
1
1 1 1
1
, ,
Tabla de Romberg
I h
I h I h
I h I h I h
I h I h I h I h
T
T S
T S R
T S R Q
[ ]
[ / ] [ / ]
[ / ] [ / ] [ / ]
[ / ] [ / ] [ / ] [ / ]
2 2
4 4 4
8 8 8 8
Algoritmo ROMBERG
Datos de entrada: a, b, n, tol
• Proceso: Construcción de la tabla de Romberg
k = 1, I(1,1) = trapecio(a,b,n);% Fila 1
mientras error > tol
k = k+1 % Fila k
I(k,1) = trapiter(a,b,2k-1n)
para j = 2 : k % Aplica el método de
Romberg
I(k,j) = (4^(j -1)*I(k,j -1) - I(k -1,j -1)) /
/(4^(j -1) -1)
fin para
error = abs(I(k,j) - I(k,j -1))
fin mientras
Fórmulas de cuadratura con paso adaptativo
• Métodos adaptativos de cuadratura: Regla
compuesta de Simpson
• Algoritmo de cuadratura adaptativa
implementado en MATLAB (quad.m)
Métodos adaptativos
• Variaciones funcionales irregulares en el intervalo de
integración
• Combinamos la Regla compuesta de Simpson, h=(b-
a)/2, con la Regla de Simpson para m=2, de paso
h/2=(b-a)/4:
)()(4)(3
:),(
,
)(90
)()(4)(3
)( )(5
bfhafafh
baS
ba
fh
bfhafafh
dxxf ivb
a
)()2
3(4)(
6,
2
)()2
(4)(62
,
, )(180
)(
16
)()2
3(4)(2)
2(4)(
6 )(
)(4
bfh
afhafh
bba
S
hafh
afafhba
aS
bafabh
bfh
afhafh
afafh
dxxf
iv
b
a
Estimación del error: si
Si
entonces
y será una buena
aproximación a I.
En otro caso, se aplica reiteradamente a los
subintervalos [a,(a+b)/2[ y [(a+b)/2,b[ (tolerancia TOL/2.)
bba
Sba
aSbaS
bba
Sba
aSdxxfb
a
,22
,),(15
1
,22
, )(
f fiv iv( ) ( )( ) ( )
f x dx S aa b
Sa b
b TOLa
b
( ) , ,
2 2
S a b S aa b
Sa b
b TOL( , ) , ,
2 215
S aa b
Sa b
b, ,
2 2
Simpson con paso adaptativo function I = adapsimp(f,a,b,tol,nivel)
% Integra f en [a,b] por el método de
% Simpson de paso adaptativo
% tol: error admitido (estimación)
% nivel: profundidad máxima de la recursión
h = (b-a)/2; % Paso inicial
c = a+h; % Punto medio
fa = feval(f,a);
fc = feval(f,c);
fb = feval(f,b);
int = h/3*(fa+4*fc+fb); % Simpson simple
tol = 10*tol;
I = refina(f,a,c,fa,fc,fb,int,tol,nivel);
Recursión sobre los intervalos function I = refina(f,a,c,fa,fc,fb,int,tol,nivel);
h = (c-a)/2;
d = a+h; e = c+h; % Puntos medios
fd = feval(f,d);
fe = feval(f,e);
int1 = h/3*(fa+4*fd+fc); % Simpson %
intervalo izq.
int2 = h/3*(fc+4*fe+fb); % Simpson %
intervalo der.
if abs(int-int1-int2)<tol
I = int1+int2;
elseif nivel = = 0
error('Nivel excedido')
else
I = refina(f,a,d,fa,fd,fc,int1,tol/2,nivel-1) +
refina(f,c,e,fc,fe,fb,int2,tol/2,nivel-1);
end
Cuadratura de Gauss
• Elección de nodos apropiados
• Casos particulares
– Gauss-Legendre
– Gauss-Chebyshev
– Gauss-Laguerre
– Gauss-Hermite
Cuadratura de Gauss
OBJETIVOS:
• Elección de nodos x1 , x2 ,..., xn para aumentar el grado de precisión.
• Máximo grado de exactitud.
CONCLUSIONES:
• Una fórmula de cuadratura con n nodos es exacta
para polinomios de grado 2n-1 si y sólo si:
– la fórmula es interpolatoria, y
– los nodos son las raices del n-esimo polinomio
ortogonal respecto del producto escalar inducido
por w(x) en [a,b.
• No existe ninguna fórmula con n nodos exacta para
todos los polinomios de grado 2n.
)x(fc)x(fc)x(fcdx)x(f)x(w nn2211
b
a
Fórmula de cuadratura
w x f x dx c f xa
b
i i
i
n
( ) ( ) ( )
1
n,1,2,=i
b
ai
n
in
i dx)x(wxx
)x(T
)x('T
1c
<ba<
dx)x(w)x(T)!n2(
)(f)f(E
b
a
2
n
)n2(
CUADRATURA INTERVALO F. PESO
Gauss-Legendre [a,b]=[-1,1] w(x)=1
Gauss-Chebyshev [a,b]=[-1,1] w(x)=1/(1-x2)1/2
Gauss-Jacobi [a,b]=[-1,1] w(x)=(x-1)a(x+1)b
Gauss-Laguerre [a,b]=[0,+[ w(x)=xae-x
Gauss-Hermite [a,b]=]- , +[2
)( xexw
Gauss-Legendre
• En [-1,1], los polinomios de Legendre forman una
familia ortogonal:
pn(x) tiene n raices reales distintas,
y los coeficientes de la fórmula de cuadratura,
)x(pn)x(px1n21n
1)x(p
,2,1nx)x(p1)x(p
1nn1n
10
n,1,2,=k
4
32k nO2n4
1k4cos
n8
1
n8
11x
n,,2,1i
)x(px1
2dx
xx
xxc
2
i
'
n
2
i
1
1
n
ij1j ji
j
i
n nodos coeficientes
2 0.5773502692 1.0000000000
3 0.7745966692 0.5555555556
0.0000000000 0.8888888889
4 0.8611361159 0.3478548451
0.3399810436 0.6521451549
Polinomios de Legendre
Si [a,b [-1,1, el cambio de variable es:
y la fórmula de cuadratura queda:
xb a
tb a
dxb a
dt
2 2 2,
b
a
n
1i
ii )f(E2
abx
2
abfc
2
abdx)x(f
• EJEMPLO:
– cambio de variable a [-1,1
– Gauss-Legendren=2
– Gauss-Legendre n=3
I f e dxx( ).
2
1
1 5
e dx e dxx
t
2
2
1
1 55
16
1
11
4
.( )
1094003.0ee4
1)f(I 16
)55773.0(
16
)55773.0( 22
1093642.0
e555556.0e888889.0
e5555556.04
1)f(I
16
)5774596.0(
16
)50(
16
)5774596.0(
22
2
Gauss-Chebyshev
• En [-1,1], los polinomios de Chebyshev forman una
familia ortogonal,
y Tn(x) tiene n raices reales distintas,
,3,2 )()(T 2)(
)(
1)(
21
1
0
nxTxxxT
xxT
xT
nnn
1-n,0,1,2,=k
2
12cos
n
kxk
f x
xdx
nf xi
i
n( )( )
1 21
1
1
En [0,+[, los polinomios de Laguerre son una familia
ortogonal,
Tn(x) tiene n raices reales y distintas,
,2,1n
)x(Ln)x()x1n2()x(L
x1)x(L1)x(L
1n
2
n1n
10
L
Gauss-Laguerre
1,n-,2,1,0k=
)O(n
2
1n48
j21
2
1n4
jx 5-
2
2
k0
2
2
k0
k
+
e f x dx c f xx
i i
i
n
( ) ( ) 1
0
ni
xL
xnc
in
ii ,,2,1
)(
!2
1
2
Gauss-Hermite
En ,, los polinomios de Hermite forman una
familia ortogonal,
Hn(x) tiene n raices reales y distintas en - ,+[, y
los coeficientes son:
,2,1,0n
)x(H)1n(2)x(x2)x(H
x2)x(1)x(H
n1n2n
10
H
H
n
i
ii
x xfcdxxfe1
)()(2
ni
xH
nc
in
n
i ,,2,1 )(n
!22
1
2
1
Integrales impropias
• Carácter de las integrales impropias.
• Resolución numérica.
• I. impropias I. propias
– cambio de variable,
– desarrollo por series,
– eliminación de la singularidad.
Integrales Impropias
• Sea f(x) una función contínua con una
asíntota vertical en [a,b]. La integral
es una integral impropia
Si entonces
)(xflimbx
b
adxxf )(
b
b-e
f(x)
a
)(xflimbx
e
e
b
a
b
adxxflimdxxf )()(
0
Si entonces
Cuando estos límites existen, decimos que la integral impropia es convergente.
En otro caso, se dice que es divergente.
)x(flimax
b a a+e
)(xflimax
b
a
b
adxxflimdxxf
ee)()(
0
• EJEMPLO
e =0.01
aplicando cuadratura de Gauss, n=5:
e =0.0001 y cuadratura de Gauss, n=5:
no tiende a cero cuando e 0 , luego
2
0dx)x(tanI
56666746051534 2
00102
00102
0102
2
0102
..dx)x(tan
dx)x(tandx)x(tan
.
.
..
e2
2
dx)x(tan
2
0dx)x(tan
2
0102
2
0102
0102
0
6051874.
.
.
dx)x(tan.
dx)x(tandx)x(tanI
5666504
12
010010
22
010 1
1
2
0102
.
dtt.
.tan.
dx)x(tan.
• EJEMPLO
e =0.01
aplicando cuadratura de Gauss, n=5:
e =0.0001 y cuadratura de Gauss, n=5:
1
0
1dx
xI
8.1111 01.0
0
1
01.0
01.0
0 dx
xdx
xdx
xI
1841600
10050
1
2
0101 5
1
010
0
.
)t(.c
.dx
x i i
i
.
1800184160
111 010
00010
00010
0
010
0
..
dxx
dxx
dxx
.
.
..
9984616181180018416011
0....dx
x
I. Impropias I.Propias
• Cambio de variable
• Desarrollo por series
• Eliminación de la singularidad
1
0
2
1
0
1
2
dt)t(ftnI
tx
ndx)x(fxnn
n
n
1
00010
23
1
00010
23
1
00010
3
21
21
.
x
..
x
dxx
xex
dxx
xxdxex
x
t
t
edx
x
xcos
0
1
0 1
Integrales Infinitas
• Integrales infinitas convergentes y
divergentes.
• Métodos de aproximación:
– Descomposición en suma de integrales
– Cambio de variable
Integrales Infinitas:
Métodos de Aproximación
• Integrales sobre intervalos no acotados: [a,+[, -
,b, -,+[.
Convergencia existe el límite y es un número real.
b b
aa
a
b
ab
dx)x(flimdx)x(f
dx)x(flimdx)x(f
Descomposición en suma de integrales
Resulta conveniente doblar el intervalo en cada iteración: rn=2n
TOLdx)x(f
rrrra
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
n
n
r
r
n
r
r
r
aa
1
2
1
1
I
n
321
n In
0 0.57202582
1 0.62745952
2 0.63043990
3 0.63047761
4 0.63047766
Valor exacto 0.63047783
• EJEMPLO
n
n
rx
n rdxx
eI
n
2 10 4
0 4
1dx
x
eI
x
• Cambio de variable
– Depende de la función a integrar.
– El cambio transforma el intervalo
en .
• EJEMPLO
cambio
aplicando cuadratura de Gauss, n=5.
tex t0 1t0
0
dxexI x
886240862649002327300003190
1
1
1
1
1
010
010
00010
00010
0
1
0
1
00
....
dtt
logdtt
logdtt
log
dtt
logdttlogdxexI
.
.
.
.
x
dtt
dxtlogx1
• EJEMPLO
cambio
aplicando Romberg.
1
2 2
dxexI x
dttdxt
x 23
2
1
1
0.25364
0
2
1
2
11
0
25
1
1
0 25
1
1
0
231
1
2 2
I
t
e)t(g
dtt
e
dttet
dxexI
tt
t
tx
Integración Indefinida
• Integral definida sobre un rango
variable
– Subdividir el intervalo de integración y
aplicar cuadraturas
• Solución del problema de valor inicial
asociado
x
abxadttfxF )()(
0)( , )( aFxfdx
dF
Ejercicio
• Calcúlese la función error como la integral
de la función de distribución gaussiana de
0 a x:
y como solución del problema de valor
inicial:
xt dte
xxerf
0
22)(
0)0( ,2
)('2
yexy x
Integración Múltiple
• Integración múltiple sobre recintos
rectangulares
• Integración múltiple sobre regiones
no rectangulares
• Algoritmo de Integración Múltiple
Integracion Múltiple
sobre recintos rectangulares
Aplicamos la Regla de Simpson a la integral
considerando x como parámetro.
b
a
d
cRdxdyyxfdAyxfI ),(),(
d
cdyyxf ),(
b
a
b
am
m
j
b
aj
m
j
b
aj
b
a
b
a
d
c
dxy
),x(fk
)cd(dx)y,x(f
k
dx)y,x(fk
dx)y,x(fk
dx)y,x(fk
dxdy)y,x(f
4
44
2
1
12
1
1
2
0
180
3
3
4
3
2
3
Aplicamos Simpson a cada una de estas integrales:
)y,x(f)y,x(f
)y,x(f)y,x(fh
dx)y,x(f
jn
n
i
ji
b
a
n
i
jijj
2
1
12
1
1
20
4
2 3
4
4
4
180 x
)y,(fh
ab jj
m,n
n
i
m,i
n
i
m,im,
m
j
m
j
j,n
n
i
j,i
m
j
n
i
j,i
m
j
j,
m
j
j,n
m
j
n
i
j,i
m
j
n
i
j,i
m
j
j,,n
n
i
,i
n
i
,i,
b
a
d
c
ffff
ff
fff
ffff
fffhk
dxdy)y,x(f
22
1
212
1
1
2220
1 1
122
1
1212
1
1
1
122
1
120
1
1
22
1
1 1
212
1
1
1
1
22
1
1
20 02
1
012
1
1
0200
4 2 2
4 16
84 2
842
4 2 9
Expresión del error:
R
180 4
44
4
44
ˆ,ˆ,,
ˆ,ˆy
fk,
x
fh
)ab)(cd(E
Coeficientes de la fórmula de cuadratura:
m
dck
n
abh
m,,,,jjkcy
n,,,,iihax
i
i
2
2
2210
2210
b=x2n
d=y2m y2m-1
y2
y1
c=y0 a=x0 x1 x2 x3 x4 x2n-2 x2n-1
1
1 1 2 2 2
2 2 2 1
4 4 4
4 4 4
4 4
4 4 4
4 4
2
8 8 8
8 8 8
8
16 16 16
16 16 16
2 8 8
Integración Múltiple
sobre recintos no rectangulares
h=(b-a)/2 k=k(x)
d
c
xb
xa
b
a
xd
xcdxdyyxfdydxyxf
)(
)(
)(
)( ),( ),(
))(,())()(,(4))(,(3
)(
))(,())(
)(,(4))(,(3
)(4
))(,( ))()(,(4))(,(3
)(
3
h
))(,())()(,(4))(,(3
)(
),()(
)(
bdbfbkbcbfbcbfbk
hadhafhak
hachafhachafhak
adafakacafacafak
dxxdxfxkxcxfxcxfxk
dydxyxfI
b
a
b
a
xd
xc
Algoritmo de la
integral múltiple
• Entrada: f(x,y), c(x), d(x), a, b, m, n.
• Salida: aproximación I
– PASO 1: dividir [a,b] en 2n subintervalos
– PASO 2: en cada nodo xi,
• evaluar la función
• calcular (d(xi )-c(xi ))/(2m)
– PASO 3: aplicar la regla compuesta de Simpson respecto a
y
– PASO 4: sobre el resultado obtenido del PASO 3 aplicar
Simpson respecto a la variable x I
b
a
xd
xcdydxyxf
)(
)( ),(
Integrales de Contorno
• Casos Particulares
• Método de MonteCarlo
Integrales de Contorno
• Llamamos integral de contorno a una integral de
la forma:
siendo C una curva en el plano XY.
• Si C está parametrizada, es posible transformar
una integral de contorno en una integral
ordinaria de una variable.
),(
,),( , ),(
C
CC
dsyxf
dyyxfdxyxf
Método de Monte Carlo
• El valor medio de la función f(x) en el
intervalo [a,b] es
• Sean x1, x2, …xn n puntos cualesquiera en
[a,b], resulta previsible que
Cuando los valores de xi son aleatorios, éste
método es conocido como Método de Monte
Carlo
)(1
b
adxxf
ab
)(1
)(1ˆ
1
b
a
n
i
in dxxfab
xfn
f
Ejemplo
a b Valor aprox. Valor exacto
1.0 0.8 1.4180830 1.4180834
1.0 0.4 1.1506554 1.1506556
1.0 0.2 1.0505019 1.0505022
1.0 0.1 1.0159888 1.0159935
Calculamos el perímetro de elipses de distintas excentricidades utilizando
en todos los casos 60 puntos.
GRACIAS
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