7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
Adjunta de una representación lineal
Ejemplos. Propiedades
Jana Rodriguez Hertz
GAL2
IMERL
12 de octubre de 2010
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
definición
definición: adjunta
definición (clase pasada)
V , W e.v. sobreK
con producto interno
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
definición
definición: adjunta
definición (clase pasada)
V , W e.v. sobreK
con producto internoT : V → W transformación lineal
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
definición
definición: adjunta
definición (clase pasada)
V , W e.v. sobreK
con producto internoT : V → W transformación lineal
cualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
definición
definición: adjunta
definición (clase pasada)
V , W e.v. sobreK
con producto internoT : V → W transformación lineal
cualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si
T (v ), w = v , T
∗
(w ) ∀v ∈ V w ∈ W
dj d f ió li l j l i d d
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
existencia y unicidad de la adjunta
teorema de existencia y unicidad
teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V , W e.v. sobre K de dimensión finita
dj t d t f ió li l j l i d d
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
existencia y unicidad de la adjunta
teorema de existencia y unicidad
teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V , W e.v. sobre K de dimensión finita
toda T : V → W tranformación lineal
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
existencia y unicidad de la adjunta
teorema de existencia y unicidad
teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V , W e.v. sobre K de dimensión finita
toda T : V → W tranformación lineal
tiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )calculemos T ∗ : R3 → R
3,
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )calculemos T ∗ : R3 → R
3, alcanza con base canónica
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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j j p p p
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica
(x , y , z ), T ∗(1, 0, 0) =
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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j j p p p
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica
(x , y , z ), T ∗(1, 0, 0) = T (x , y , z ), (1, 0, 0)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica
(x , y , z ), T ∗(1, 0, 0) = T (x , y , z ), (1, 0, 0) =x − y + 2z
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica
(x , y , z ), T ∗(1, 0, 0) = T (x , y , z ), (1, 0, 0) =x − y + 2z = (x , y , z ), (1, −1, 2) ∀(x , y , z )
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica
(x , y , z ), T ∗(1, 0, 0) = T (x , y , z ), (1, 0, 0) =x − y + 2z = (x , y , z ), (1, −1, 2) ∀(x , y , z )
⇒ T ∗(1, 0, 0) = (1, −1, 2)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica
⇒ T ∗(1, 0, 0) = (1, −1, 2)
(x , y , z ), T ∗(0, 1, 0) =
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica
⇒ T ∗(1, 0, 0) = (1, −1, 2)
(x , y , z ), T ∗(0, 1, 0) = T (x , y , z ), (0, 1, 0)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica
⇒ T ∗(1, 0, 0) = (1, −1, 2)
(x , y , z ), T ∗(0, 1, 0) = T (x , y , z ), (0, 1, 0) = 4x − 3z
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica
⇒ T ∗(1, 0, 0) = (1, −1, 2)
(x , y , z ), T ∗(0, 1, 0) = T (x , y , z ), (0, 1, 0) = 4x − 3z =(x , y , z ), (4, 0, −3) ∀(x , y , z )
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica
⇒ T ∗(1, 0, 0) = (1, −1, 2)
(x , y , z ), T ∗(0, 1, 0) = T (x , y , z ), (0, 1, 0) = 4x − 3z =(x , y , z ), (4, 0, −3) ∀(x , y , z )
⇒ T ∗(0, 1, 0) = (4, 0, −3)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1, 0, 0) = (1, −1, 2)
⇒ T ∗(0, 1, 0) = (4, 0, −3)
(x , y , z ), T ∗(0, 0, 1) =
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1, 0, 0) = (1, −1, 2)
⇒ T ∗(0, 1, 0) = (4, 0, −3)
(x , y , z ), T ∗(0, 0, 1) = T (x , y , z ), (0, 0, 1)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1, 0, 0) = (1, −1, 2)
⇒ T ∗(0, 1, 0) = (4, 0, −3)
(x , y , z ), T ∗(0, 0, 1) = T (x , y , z ), (0, 0, 1) =
x + 5y + z
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗
: R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1, 0, 0) = (1, −1, 2)
⇒ T ∗(0, 1, 0) = (4, 0, −3)
(x , y , z ), T ∗(0, 0, 1) = T (x , y , z ), (0, 0, 1) =
x + 5y + z = (x , y , z ), (1, 5, 1) ∀(x , y , z )
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )
calculemos T ∗
: R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1, 0, 0) = (1, −1, 2)
⇒ T ∗(0, 1, 0) = (4, 0, −3)
(x , y , z ), T ∗(0, 0, 1) = T (x , y , z ), (0, 0, 1) =
x + 5y + z = (x , y , z ), (1, 5, 1) ∀(x , y , z )⇒ T ∗(0, 0, 1) = (1, 5, 1)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )calculemos T ∗ : R3 → R
3, alcanza con base canónica
⇒ T ∗(1, 0, 0) = (1, −1, 2)
⇒ T ∗(0, 1, 0) = (4, 0, −3)
⇒ T ∗
(0, 0, 1) = (1, 5, 1)∴ T ∗(x , y , z ) = x (1, −1, 2) + y (4, 0, −3) + z (1, 5, 1)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z ) = (x − y + 2z , 4x − 3z , x + 5y + z )calculemos T ∗ : R3 → R
3, alcanza con base canónica
⇒ T ∗(1, 0, 0) = (1, −1, 2)
⇒ T ∗(0, 1, 0) = (4, 0, −3)
⇒ T ∗
(0, 0, 1) = (1, 5, 1)∴ T ∗(x , y , z ) = x (1, −1, 2) + y (4, 0, −3) + z (1, 5, 1) =(x + 4y + z , −x + 5z , 2x − 3y + z )
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2
V = Mn (R) con producto interno A, B = tr(B t .A)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2
V = Mn (R) con producto interno A, B = tr(B t .A)
T : Mn (R) → Mn (R) tal que T (A) = M .A (M matriz fija)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2
V = Mn (R) con producto interno A, B = tr(B t .A)
T : Mn (R) → Mn (R) tal que T (A) = M .A (M matriz fija)
calculemos T ∗
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
j l 2
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2
V = Mn (R) con producto interno A, B = tr(B t .A)
T : Mn (R) → Mn (R) tal que T (A) = M .A (M matriz fija)
calculemos T ∗
A, T ∗(B ) =
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
j l 2
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
http://slidepdf.com/reader/full/transpuesta-de-una-transformaciom 34/85
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2
V = Mn (R) con producto interno A, B = tr(B t .A)
T : Mn (R) → Mn (R) tal que T (A) = M .A (M matriz fija)
calculemos T ∗
A, T ∗(B ) = T (A), B
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
http://slidepdf.com/reader/full/transpuesta-de-una-transformaciom 35/85
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2
V = Mn (R) con producto interno A, B = tr(B t .A)
T : Mn (R) → Mn (R) tal que T (A) = M .A (M matriz fija)
calculemos T ∗
A, T ∗(B ) = T (A), B = M .A, B
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
http://slidepdf.com/reader/full/transpuesta-de-una-transformaciom 36/85
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2
V = Mn (R) con producto interno A, B = tr(B t .A)
T : Mn (R) → Mn (R) tal que T (A) = M .A (M matriz fija)
calculemos T ∗
A, T ∗(B ) = T (A), B = M .A, B = tr(B t .(M .A))
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2
V = Mn (R) con producto interno A, B = tr(B t .A)
T : Mn (R) → Mn (R) tal que T (A) = M .A (M matriz fija)
calculemos T ∗
A, T ∗(B ) = T (A), B = M .A, B = tr(B t .(M .A)) =tr((B t .M )A)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
http://slidepdf.com/reader/full/transpuesta-de-una-transformaciom 38/85
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2
V = Mn (R) con producto interno A, B = tr(B t .A)
T : Mn (R) → Mn (R) tal que T (A) = M .A (M matriz fija)
calculemos T ∗
A, T ∗(B ) = T (A), B = M .A, B = tr(B t .(M .A)) =tr((B t .M )A) = tr((M t .B )t A)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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eje p o
ejemplo 2
ejemplo 2
V = Mn (R) con producto interno A, B = tr(B t .A)
T : Mn (R) → Mn (R) tal que T (A) = M .A (M matriz fija)
calculemos T ∗
A, T ∗(B ) = T (A), B = M .A, B = tr(B t .(M .A)) =tr((B t .M )A) = tr((M t .B )t A) = A, M t .B ∀A
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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j p
ejemplo 2
ejemplo 2
V = Mn (R) con producto interno A, B = tr(B t .A)
T : Mn (R) → Mn (R) tal que T (A) = M .A (M matriz fija)
calculemos T ∗
A, T ∗(B ) = T (A), B = M .A, B = tr(B t .(M .A)) =tr((B t .M )A) = tr((M t .B )t A) = A, M t .B ∀A
⇒ T ∗(B ) = M t .B
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto
p , q = 1
0 p (x )q (x ) dx
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto
p , q = 1
0 p (x )q (x ) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto
p , q = 1
0 p (x )q (x ) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p
si D tuviera adjunta, entonces
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto
p , q = 1
0 p (x )q (x ) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p
si D tuviera adjunta, entoncesp , D ∗q =
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto
p , q = 1
0 p (x )q (x ) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p
si D tuviera adjunta, entoncesp , D ∗q = Dp , q
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto
p , q = 1
0 p (x )q (x ) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p
si D tuviera adjunta, entoncesp , D ∗q = Dp , q = p (1)q (1) − p (0)q (0) − p , Dq
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto
p , q = 1
0 p (x )q (x ) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p
si D tuviera adjunta, entoncesp , D ∗q = Dp , q = p (1)q (1) − p (0)q (0) − p , Dq por
partes
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
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transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto
p , q = 1
0 p (x )q (x ) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p
si D tuviera adjunta, entoncesp , D ∗q = Dp , q = p (1)q (1) − p (0)q (0) − p , Dq por
partes
⇒ p , (D ∗ + D )q = p (1)q (1) − p (0)q (0)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
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transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto
p , q = 1
0 p (x )q (x ) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p
si D tuviera adjunta, entoncesp , D ∗q = Dp , q = p (1)q (1) − p (0)q (0) − p , Dq por
partes
⇒ p , (D ∗ + D )q = p (1)q (1) − p (0)q (0)
⇒ p , (D ∗
+ D )(x − 1) = p (0)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
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transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto
p , q = 1
0 p (x )q (x ) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p
si D tuviera adjunta, entoncesp , D ∗q = Dp , q = p (1)q (1) − p (0)q (0) − p , Dq por
partes
⇒ p , (D ∗ + D )q = p (1)q (1) − p (0)q (0)
⇒ p , (D ∗
+ D )(x − 1) = p (0)⇒ la aplicación Tp = p (0) tendría un representante de
Riesz
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
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transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto
p , q = 1
0 p (x )q (x ) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p
si D tuviera adjunta, entoncesp , D ∗q = Dp , q = p (1)q (1) − p (0)q (0) − p , Dq por
partes
⇒ p , (D ∗ + D )q = p (1)q (1) − p (0)q (0)
⇒ p , (D ∗
+ D )(x − 1) = p (0)⇒ la aplicación Tp = p (0) tendría un representante de
Riesz
la clase pasada vimos que no tiene
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
f ió i dj
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transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto
p , q = 1
0 p (x )q (x ) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p
si D tuviera adjunta, entoncesp , D ∗q = Dp , q = p (1)q (1) − p (0)q (0) − p , Dq por
partes
⇒ p , (D ∗ + D )q = p (1)q (1) − p (0)q (0)
⇒ p , (D ∗
+ D )(x − 1) = p (0)⇒ la aplicación Tp = p (0) tendría un representante de
Riesz
la clase pasada vimos que no tiene
⇒ D no tiene adjunta
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
i ió 1
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proposición 1
proposición 1
Sean V , W , U e.v. sobre K con producto interno
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
i ió 1
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proposición 1
proposición 1
Sean V , W , U e.v. sobre K con producto interno
T 1, T 2 : V → W , T : V → W , S : W → U
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
i ió 1
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proposición 1
proposición 1
Sean V , W , U e.v. sobre K con producto interno
T 1, T 2 : V → W , T : V → W , S : W → U
entonces
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
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proposición 1
proposición 1
Sean V , W , U e.v. sobre K con producto interno
T 1, T 2 : V → W , T : V → W , S : W → U
entonces1 (T 1 + T 2)∗ = T ∗1 + T ∗2
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
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proposición 1
proposición 1
Sean V , W , U e.v. sobre K con producto interno
T 1, T 2 : V → W , T : V → W , S : W → U
entonces1 (T 1 + T 2)∗ = T ∗1 + T ∗22 (α.T )∗ = α.T ∗
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
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proposición 1
proposición 1
Sean V , W , U e.v. sobre K con producto interno
T 1, T 2 : V → W , T : V → W , S : W → U
entonces1 (T 1 + T 2)∗ = T ∗1 + T ∗22 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S ∗
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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proposición 1
proposición 1
Sean V , W , U e.v. sobre K con producto interno
T 1, T 2 : V → W , T : V → W , S : W → U
entonces1 (T 1 + T 2)∗ = T ∗1 + T ∗22 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S ∗
4 Id ∗ = Id
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
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demostración
ejercicio
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 2
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proposición 2
proposición 2
V , W e.v. de dimensión finita
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 2
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proposición 2
proposición 2
V , W e.v. de dimensión finita
T : V → W transformación lineal
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 2
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proposición 2
proposición 2
V , W e.v. de dimensión finita
T : V → W transformación lineal
⇒(T ∗)∗ = T
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
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demostración
Para todo x ∈ W , y ∈ V
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
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demostración
Para todo x ∈ W , y ∈ V
x , (T ∗)∗y = T ∗x , y
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
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demostración
Para todo x ∈ W , y ∈ V
x , (T ∗)∗y = T ∗x , y
= y , T ∗x
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
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de ost ac ó
Para todo x ∈ W , y ∈ V
x , (T ∗)∗y = T ∗x , y
= y , T ∗x
= Ty , x
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
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Para todo x ∈ W , y ∈ V
x , (T ∗)∗y = T ∗x , y
= y , T ∗x
= Ty , x
= x , Ty
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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Para todo x ∈ W , y ∈ V
x , (T ∗)∗y = T ∗x , y
= y , T ∗x
= Ty , x
= x , Ty
⇒ (T ∗)∗ = T
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
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Para todo x ∈ W , y ∈ V
x , (T ∗)∗y = T ∗x , y
= y , T ∗x
= Ty , x
= x , Ty
⇒ (T ∗)∗ = T
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 3
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p p
proposición 3
V , W e.v. de dimensión finita
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 3
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proposición 3
V , W e.v. de dimensión finita
sea T : V → W transformación lineal
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 3
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proposición 3
V , W e.v. de dimensión finita
sea T : V → W transformación linealentonces T invertible ⇔ T ∗ invertible
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 3
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proposición 3
V , W e.v. de dimensión finita
sea T : V → W transformación linealentonces T invertible ⇔ T ∗ invertible
y
(T ∗)−1 = (T −1)∗
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
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Supongamos que T es invertible
v 1, v 2 =
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
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Supongamos que T es invertible
v 1, v 2 = T −1Tv 1, v 2
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
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Supongamos que T es invertible
v 1, v 2 = T −1Tv 1, v 2
= v 1, T ∗(T −1)∗v 2
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
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Supongamos que T es invertible
v 1, v 2 = T −1Tv 1, v 2
= v 1, T ∗(T −1)∗v 2
⇒ T ∗ invertible
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 4
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proposición 4
V , W e.v. de dimensión finita
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 4
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proposición 4
V , W e.v. de dimensión finita
T : V → W transformación lineal
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 4
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proposición 4
V , W e.v. de dimensión finita
T : V → W transformación linealentonces
λ valor propio de T ⇐⇒ λ valor propio de T ∗
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
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λ valor propio de T
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
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λ valor propio de T
⇔ T − λI no invertible
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demostración
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λ valor propio de T
⇔ T − λI no invertible
⇔ (T − λI )∗ = T ∗ − λI no invertible
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
7/24/2019 Transpuesta de Una Transformaciom
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λ valor propio de T
⇔ T − λI no invertible
⇔ (T − λI )∗ = T ∗ − λI no invertible
⇔ λ valor propio de T ∗
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