7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
1/20
119
Trigonometra
18IdentidadesTrigonomtricasI
sen csc = 1 csc = ; n ; n Z1
sen
tg ctg = 1 ctg = ; n ; n Z2
1tan
cos sec = 1 sec = ; (2n+1) ; n Z1
cos 2
sen2+cos2=1; R
csc2=1 + ctg2
ctg2 =csc2 - 1csc2- ctg2=1;n; nZ
sec2=1 + tg2sec2- tg2=1;(2n+1) nZ
2 tg2 =sec2 - 1
sen2=1 - cos2a
cos2 =1 - sen2
Son las diferentes relaciones de igualdad que se establecen
entre las razones trigonomtricas de una cierta variable;
las cuales se verifican para todo valor admisible de dicha
variable. Entendemos como valor admisible, aquel valor
que toma la variable y que permite que sus razones
trigonomtricas tomen valores definidos. Estas identidades
trigonomtricas se clasifican de la siguiente manera:
I I.T. DE RECPROCAS
IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS
II I.T. POR DIVISIN
III I.T. PITAGRICAS.
tg = , (2n+1) ; n Z2
sen cos
ctg = ; n; n Zcos sen
Algunas demostraciones:
Trabajamos en la circunferencia trigonomtrica:i) Ubicamos un arco ""; luego su extremo "M" tendra
por coordenadas (cos; sen) y OM = 1Para el ngulo cannico
AM = rad, tenemos:
csc rad ry
=
csc 1
sen
= sencsc = 1
tambin, decimos:
sec rad rx
=
sec 1
cos= cossec = 1
Adems:
tg rad
tg sencos
= ctg =cossen
tg =sencos
yx
=
y
cos
cos
radsen
A'
B'
A
B
P 0
r=1
M
x
C.T.
y
(cos; sen)x y
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
2/20
120
4to Secundaria
ii) MPO: OP2+ PM2= OM2
sen2cos2
sen2cos2
cos2sen2
1sen2
+ =
1+ctg2= csc2
cos2cos2
1cos2
+ =
tg2+1= sec2
sen2+cos2 = 1
sen2cos2 1
De la ltima identidad: sen2+ cos2 = 1
dividido entre "cos2" :
dividido entre "sen2" :
Para demostrar la igualdad, tomamos el miembro de la
igualdad ms complicado y lo reducimos hasta que sea
idntico al otro miembro. Adems, uno de los primeros
criterios a aprender y aplicar para reducir expresiones
ser el de colocar la expresin en trminos de senos y
cosenos; para despus con mayor prctica utilizaremos
mtodos alternativos.
1. Demuestra que:sen tg (1 -sen2) sec = sen2
Resolucin:
En la igualdad
sen tg (1 -sen2) sec = sen2
Vea: P = sen tg (1 -sen2) sec
Ojo: 1 -sen2 = cos2
sec = ;tg =
P = sen cos2
1cos
sencos
Reduciendo
P = sen.sen P = sen2 Lqqd
2. Demuestra que:(1 +tg) cos + (1 ctg )sen = 2sen
Resolucin:
En la igualdad, sea:
P = (1 +tg )cos+ (1-cot)sen
sencos
cossen
Ojo: tg = ; ctg=
P = (1 + )cos+ (1- ) sen
sencos
sencos
P = cos +
sen
(cos + sen)cos
(sen -cos)sen
sen
cos
1
cos
P
Quedara:P=Cos+sen + sen - cos
P = 2sen Lqqd
3. Demuestra que:(sen + 2cos)2 + (2sen + cos )2=5 + 8 sencos
Resolucin:
En la igualdad, sea:
P = (sen+2cos)2+ (2sen+cos)2
Ojo: (a+b)2= a2+2ab+b2
Desarrollando los binomios al cuadrado:P = sen2+4sencos + 4cos2 + 4sen2 + 4sen cos + cos2
Reduciendo trminos semejantes:
P = 5sen2+5cos2 + 8sen cos
P = 5(sen2+cos2) + 8sen cos
1
P = 5 + 8sencos Lqqd
4. Demuestra que:(sec -tg)(1+ sen) (1+ tg2)=sec
Resolucin:
En la igualdad, sea:
P = (sec- tg)(1+ sen)(1+ tg2)
sec2
P = ( ) (1+sen)sec21
cossencos
-
P = ( ) (1+sen)1 -sen
cos1
cos2
pero: (1 - sen)(1+ sen)=1 -sen2
P = . =cos2cos
1cos2
1cos
P = sec Lqqd
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
3/20
121
Trigonometra
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Reduce:L = (1 -cos2)csc ctg
Resolucin:
Reduce:
C = (1 -sen2x)(sec2x -1)cscx
Resolucin:
Simplifica:
C = + senx - cosx
Resolucin:
tgx -ctgxsecx -cscx
Simplifica:
L = sen4x -cos4x + cos2x
Resolucin:
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
4/20
122
4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Simplifica:
C = (msenx + ncosx)2+(nsenx -mcosx)2
Resolucin:
Simplifica:
L = ( 2 senx + 3 cosx)2 + ( 3 senx - 2 cosx)2
Resolucin:
7. Simplifica:
C =(secx +tgx)(1 -senx)(cscx +ctgx)(1 -cosx)
8. Simplifica:
L =1
secx +tgx +
1secx - tgx
9. Simplifica:
C =1
cscx +ctgx +
1cscx - ctgx
10. Simplifica:
L =1
secx +tgx + tgx
11. Simplifica:
C = {(secx +tgx)2-(secx -tgx)2}cosx
12. Simplifica:
L = (csc+ctg)2+(csc-ctg)2 +2
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
5/20
123
Trigonometra
1. Reduce:
L =ctgsensec2
a) sen b) cos c) csc
d) sec e) 1
2. Reduce:
C =senx cos2x tg2x
a) senx b) sen2x c) sen3x
d) sen4x e) 1
3. Reduce:
L =cossen2ctg2
a) cos b) cos2 c) cos3
d) cos4 e) 1
4. Reduce:
C =secx cscx tgx
a) cos2x b) sec2x c) sen2x
d) csc2x e) 1
5. Reduce:
L =secx cscx ctgx
a) cos2x b) sec2x c) sen2x
d) csc2x e) 1
6. Reduce:
C = (1 -sen2x)secx tg x
a) senx
b) cosx c) ctgxd) cscx e) secx
7. Reduce:
L=(1 -cos2)(csc2-1)sec
a) 1 b) sen c) cos
d) sec e) csc
8. Reduce:
C=(1 +tg2)(1 + sen2)-sec2
a) 1 b) tg2 c) ctg2
d) sen2 e) cos2
9. Reduce:
L=(1 +ctg2)(1 + cos2)-csc2
a) 1 b) tg2 c) ctg2
d) sen2 e) cos2
10. Reduce:
C=tgx(1+ctgx)+ctgx(1- tgx)-tgx
a) 1 b) cosx c) cos2x
d) ctgx e) tgx
11. Reduce:
L= tgx(1+ctg2x)+ctgx(1-tg2x)
a) 0 b) tgx c) 2tgx
d) 2ctgx e) 2
12. Reduce:
C=(1+tg)(sen+ cos)
a) 1
b) sen c) cosd) sec e) csc
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
6/20
124
4to Secundaria
19IdentidadesTrigonomtricasII
IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS AUXILIARESSon relaciones adicionales a las ya conocidas, quepermitirn resolver un determinado problema sin recurrirnecesariamente al pasar a senos y cosenos la expresin. Vana destacar las siguientes relaciones:
sencos
(sen+cos)2=1+2sencos
tg+ctg=seccsc
sen4+cos4=1-2sen2cos2
(sen-cos)2=1 -2sencos
sen6+cos6=1-3sen2cos2
sec2+csc2=sec2.csc2
Cada una de las cuales se verifica en su respectivo campode valores admisibles.
Demostraciones:
i) Tenemos que: (sen+cos)2=sen2+2sencos+cos2
1
(sen+cos)2= 1+2sencos
Tambin: (sen-cos)2=sen2-2sencos+cos2
(sen-cos)2= 1-2sencos
ii) Tenemos que: tg+ctg= + =
tg+ctg=seccsc
cossen
sen2+cos2cossen
tg+ctg= 1
cossen
Adems: sec2+csc2= + =1
cos21
sen2sen2+cos2cos2sen2
sec2+csc2= sec2+csc2=sec2csc21
cos2sen2
ii) Tenemos que: sen2+cos2=1 (sen2+cos2)2=12
Desarrollando: sen4
+2sen2
cos2
+cos4
=1
sen4+cos4=1-2sen2cos2
1
Tambin: sen
2
+cos
2
=1 (sen
2
+cos
2
)
3
=1
3
Desarrollando: sen6+3sen4cos2+3sen2cos4+cos6=1
Quedara: sen6+3sen2cos2+cos6=1
sen6+cos6=1-3sen2cos2
3sen2cos2(sen2+cos2)
1
1. Demuestra que: (sen+cos+1)(sen+cos-1)tg=2sen2
Resolucin:
En la igualdad, sea:P=(sen+cos+1)(sen+cos-1)tg
Nota la diferencia de cuadrados:P={(sen+cos)2-12}tgP=(1+2sencos-1) P=2sencos.
P=2sen2 Lqqd.
sencos
sencos
2. Demuestra que: 3secxcscx+2tgx+ctgx=5tgx+4ctgx
Resolucin:
En la igualdad, sea:P=3secx cscx+2tgx+ctgx
P=3tgx+3ctgx+2tgx+ctgx
P=5tgx+4ctgx Lqqd.
(tgx+ctgx)
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
7/20
125
Trigonometra
Arqumedes y Pi
Arqumedes de Siracusa (287 a.C.) marca un antes y
un despus tanto en la bsqueda de una aproximacin
del valor de F como en la comprensin del significadode esta constante. Hacia el 216 a.C. escribi sobre la
medida del crculo, en la que utilizando la reduccin
al absurdo y el mtodo de exhaucin de Eudoxo
llega a calcular sin calculadora! una aproximacin
de un crculo por un polgono de nada menos que
96 lados y concluye que PI est entre 6,336/2.017 y
29.376/9.347, es decir, entre 3,1412989 y 3,1428265 la
mejor aproximacin de su tiempo y una de las mejores
de toda la historia.
3. Demuestra que:(sen4+cos4-1)(sec2+csc2)=-2
Resolucin:
En la igualdad, sea:P=(sen4+cos4-1)(sec2+csc2)
P=(1-2sen2cos2-1)sec2csc2P=-2sen2cos2.sec2csc2
P=-2 Lqqd.11
sen4+cos4=1-2sen2cos2
sec2+csc2=sec2csc2
4. Siendo: sen+cos= 4/3 ; calcula: C=tg+ctg
Nos piden determinar: C=tg+ctg=seccsc= .
C= ...(1)
De la condicin:
sen+cos= 4/3(sen+cos)2=
1+2sencos= sencos=
C=6
1cos
1sen
1sencos
43
43
16
Resolucin:
5. Siendo: sen6+cos6=n ; halla: L=sen4+cos4
De la condicin: sen6+cos6=n 1-3sen2cos2=n
=sen2cos2
Luego, piden: L=sen4+cos4=1-2sen2cos2
L=1-2( )=
L=
1-n3
1-n3
3-2+2n3
2n+1
3
Resolucin:
6. En la igualdad:sec2csc2-sec2=nctg2, determina n.
En la igualdad:
sec2csc2-sec2=nctg2
sec2+csc2-sec2=nctg2 csc2=nctg2
=
Reduciendo:1=ncos2 =n
n=sec2
1sen2
ncos2sen2
Resolucin:
1cos2
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
8/20
126
4to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Siendo: tgx+ctgx=3;calcula: C=senxcosx
Resolucin:
Siendo: tgx+ctgx=4;
calcula: C=cos2x-cos4x
Resolucin:
Reduce:
C=sec2xcsc2x-csc2x
sec2xcsc2x-sec2x
Resolucin:
Reduce:
L=sec2xcsc2x-ctg2x
1+cos2x
Resolucin:
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
9/20
127
Trigonometra
Rpta:
5
Rpta:
6Siendo: tgx+ctgx=3 2;
calcula:
L=csc2x+tg2x
Resolucin:
Reduce:
L=sen6x+cos6x-1
cos2x
Resolucin:
7. Sabiendo que: sen+cos= 3/2; calcula:
C=tg+ctg
8. Sabiendo que: sen2x=n+sen4x; determina:
C=tgx+ctgx
9. Sabiendo que: cos2=1/6+cos4; determina:
L=sec2+ctg2
10. Sabiendo que: sen4x+cos4x-1=mtg2x; determina m.
11. Siendo: tg+ctg=4; determina el valor de:
L=sen4tg+cos4ctg
12. Halla m en la igualdad:
(sen+cos)4+(sen-cos)4+ 6=m(1+sen2cos2)
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
10/20
128
4to Secundaria
1. Siendo: sen+cos= 7/6 ; calcula: C=sencos
a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3
d) 1/6 e) 1/12
2. Siendo: sen-cos= 2/3 ;
calcula: L=sencos
a) 1/3 b) 1/6 c) 1/12
d) 2/3 e) 1/2
3. Siendo: tg+ctg=2 3 ;
calcula: C=tg2+ctg2
a) 4 b) 8 c) 6
d) 10 e) 12
4. Siendo: tg-ctg= 6;
calcula: L=tg2+ctg2
a) 6 b) 4 c) 8
d) 10 e) 12
5. Siendo: tgx+ctgx= 6;
calcula: L=sen2x-sen4x
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/6
d) 1/12 e) 1/18
6. Siendo: tgx+ctgx=3;
calcula:
L=senxcos3x+sen3xcosx
a) 1/3 b) 1/6 c) 1/9
d) 1/12 e) 1/18
7. Siendo: tgx+ctgx=2 7; calcula:
C=sec2x+ctg2x
a) 26 b) 27 c) 28
d) 29 e) 30
8. Reduce:
C= sen4x+cos4x-1
sen2x
a) cos2x b) 2cos2x c) -2cos2xd) -cos2x e) -2
9. Siendo: tgx+ctgx=2 2;
calcula:
C=sen4x+cos4x
a) 1/2 b) 1/4 c) 3/4
d) 3/8 e) 1/8
10. Sabiendo que:
sen-cos=1/2;
calcula:
L=tg+ctg
a) 4 b) 4/3 c) 7/3
d) 8/3 e) 3
11. Sabiendo que:
tgx+ctgx = 6;
calcula:
C=sen6
x+cos6
x
a) 1 b) 1/2 c) 1/3
d) 1/6 e) 1/12
12. Sabiendo que:
tg2x+ctg2x =4;
calcula:
L=sen4x+cos4x
a) 1/3 b) 2/3 c) 1/6
d) 5/6 e) 1/2
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
11/20
129
Trigonometra
20IdentidadesTrigonomtricasdelaSuma y Diferencia de ngulos
I d e n t i d a d e s t r i g o n o m t r i c a s d e l a s u m a ydiferencia de ngulos
Frmulas Bsicas:
Partimos de la C.T. mostrada y ubicamos los arcosay .
I.- PARA LA SUMA:
cos( + )=cos co s -sensen
cos(20+)=cos20cos-sen20sencos(10+x)=cos10cosx-sen10senxcos42cos12-sen42sen12=cos(42+12)
sen(+)=sencos+sencossen(10+)=sen10cos+sencos10sen(40+)=sen40cos+sencos40sen70cos+sencos70=sen(70+)
tg(+)=tg+tg1-tgtg
tg(20+)=
=tg(40+20)tg40+tg201-tg40tg20
tg20+tg1-tg20tg
II.- PARA LA DIFERENCIA:
sen(-)=sencos-sencos
sen(40-x)=sen40cosx-senxcos40sen(-10)=sencos10-sen10cossen43cos6-sen6cos43=sen(43-6)
cos(-)=coscos+sensen cos(-14)=coscos14+sensen14cos(-18)=coscos18+sensen18
cos30cosx+sen30senx=cos(30-x)
tg(-)=tg-tg
1+tgtg
tg(10-)=
=tg(17-10)tg17-tg10
1+tg17tg10
tg10-tg1+tg10tg
Demostracines:
i) d(M; N)= (cos-cos)2+(sen-sen)2
d(M; N)= 2-2coscos-2sensen
ii) construimos el OPM: PM=sen
OP=cos
M(cos; sen)
1
cos-
1
N
(cos; sen)
C.T.
sen
O x
y
P
iii) NPM: MN2=NP2+PM2
=(1+cos)2+sen2
MN2=1+2cos+cos2+sen2 ;
Pero: +(-)=180
cos=-
cos(-
) MN2=2-2cos(-)=d
2-2cos(-)=2-2coscos-2sensen
2(M, N)
1
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
12/20
130
4to Secundaria
Ordenando: cos(-)=coscos+sensen
Hacemos: =-cos(-(-))=coscos(-)+sensen(-)
cos(+)=coscos-sensen
cos(-)=cossen(-)=-sen
Si hacemos: = +
cos(+ +)=coscos( +)-sensen( +)
cos( ++)=cos(-sen)-sen(cos)
-sen(+)=-sencos-sencos
2
2
2
2
sen(+)=sencos+sencos
2
cos( +)=-sen
sen( +)=cos
22
Hacemos: =- sen(+(-))=sencos(-)+sen(-)cos
sen(-)=sencos-sencos
Sabemos: tg(+)= =sen(+)cos(+)
sencos+sencoscoscos-sensen
Dividimos entre coscos:
tg(+)=sencoscoscos
coscos
coscos
sencoscoscos
sensen
coscos
+
-
Reduciendo:
tg(+)=tg+tg1-tgtg
Hacemos: =- tg(+(-))= ; tg(-)=-tg
tg+tg(-)1-tgtg(-)
tg(-)=tg-tg
1+tgtg
Resolucin:
1) Demuestra que:
=tgx+tgysen(x+y)cosxcosy
En la igualdad, sea:
P= =
P= +
P=tgx+tgy
sen(x+y)cosxcosy
senxcosy+senycosxcosxcosy
senxcosy
cosxcosy
senycosx
cosxcosy
Resolucin:
2) Demuestra que:
=ctgx-tgycos(x+y)senxcosy
En la igualdad, sea:
P= =
P= -
P=ctgx-tgy
cos(x+y)senxcosy
cosxcosy-senxsenysenxcosy
cosxcosysenxcosy
senxsenysenxcosy
Resolucin:
3) Demuestra que:sen(x+)sen(x-)=sen2x-sen2
En la igualdad, sea:
P=sen(x+)sen(x-)P=(senxcos+sencosx) (senxcos-sencosx)P=sen2xcos2-sen2cos2xP=sen2x(1-sen2)-sen2(1-sen2x)
Desarrollando:
P=sen2x-sen2xsen2-sen2+sen2sen2x
P=sen2x-sen2
Resolucin:
4) Reduce:
C= + +
Analizando el primer trmino:
= -
=tg-tgLuego, por analoga, en la expresin:
C=tg-tg+tg-tg+tg-tg
C=0
sen(-)coscos
sencoscoscos
sencoscoscos
Resolucin:
5) Sabiendo que: +=45; tg=2/3, calcula: tg
Como: +=45 =45-Luego: tg=tg(45-)
tg=
tg= =
tg=1/5
tg45-tg1+tg45tg
23
1 -
2
3
1+1.
135
3
sen(-)coscos
sen(-)coscos
sen(-)coscos
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
13/20
131
Trigonometra
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Calcula: sen 52.
Resolucin:
Calcula: cos 22.
Resolucin:
Reduce:C= 2cos(x-/4)-senx
Resolucin:
Si: tg20=m; determina:
L=tg55-tg35
Resolucin:
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
14/20
132
4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Determina el valor de:
C=tg2
tg46-tg44
Resolucin:
Si: x+y=/4; determina:
L= 1tgx+tgy
- 1ctgx+ctgy
Resolucin:
11. Calcula:
L=(1+ 3tg20)(1+ 3tg40)
12. Del grfico, calcula tg
4 1B C
A D
E
10. Calcula el valor de:
C = tg50+tg10+ 3tg50tg10(1+tg20)(1+tg25)
9. Del grfico, calcula tg.
A D
B C2
3
5
8. Si: sen(x+)=3sen(x-) Calcula: C=tgxctg
7. Del grfico, calcula tg
B
E C
DA
2 5
3
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
15/20
133
Trigonometra
1. Siendo yngulos agudos tales que: tg=1/3;tg=1/4. Calcula: sen(+)
a) 1/ 170 b) 2/ 170 c) 3/ 170d) 6/ 170 e) 7/ 170
2. Siendo y ngulos agudos tales que:tg=2; tg=4. Calcula: sen(-)
a) 1/ 85 b) 2/ 85 c) 3/ 85
d) 4/ 85 e) 5/ 85
3. Determina el valor de:
C=sen32cos5+sen5cos32
a) 0,2 b) 0,3 c) 0,6d) 0,7 e) 0,8
4. Determina el valor de:
L=sen40cos5+sen5cos40
a) 1 b) 2 c) 3/2d) 2/2 e) 1/2
5. Reduce:
C=sen(x+)cosxcos
-tg
a) tgx b) tg c) 2tgxd) ctgx e) 1-tg
6. Reduce:
L= sen(x-y)cosxcosy
+ sen(y-z)cosycosz
a) tgy b) 2tgy c) tgzd) tgx+tgz e) tgx-tgz
7. Siendo un ngulo agudo, tal que: tg=3;calcula: cos(45-)
a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6d) 0,8 e) 0,75
8. Siendo un ngulo agudo, tal que: ctg=4;calcula: cos(45+)
a) 1/ 34 b) 2/ 34 c) 3/ 34d) 4/ 34 e) 5/ 34
9. Determina el valor de:C=cos24cos21-sen24sen21
a) 1/2 b) 3/2 c) 3/5d) 4/5 e) 2/2
10. Determina el valor de:
L= cos70cos4+sen70sen4cos60cos6-sen60sen6
a) 1 b) 2 c) 1/2d) -1/2 e) -1
11. Reduce:
C=[cos(x-)senxcos
-tg] [ cos(x+)sencosx-ctg]
a) 1 b) -1 c) tg2xd) -tg2x e) -ctg2x
12. Simplifica:
L=(cos(x+)cosxcos
-1) ( cos(x-)senxsen-1)
a) 1 b) -1 c) tg2xtg2
d) -tg
2
xtg
2
e)-
ctg
2
xctg
2
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
16/20
134
4to Secundaria
21 IdentidadesTrigonomtricasdel ngulo Doble
IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL NGULODOBLE
Demostraciones:
Frmulas Bsicas (2)
sen2=2sencos sen4=2sen2cos2 sen40=2sen20cos20
2sen10cos10=sen20
2sen3xcos3x=sen6x
sen2=2sencos cos2=cos2-sen2 tg2=2tg
1-tg2
cos2=cos2-sen2 cos4=cos22-sen22 cos80=cos240-sen240
cos224-sen224=cos48
cos24x-sen24x=cos8x
tg2=
tg20=
=tg802tg40
1-tg240
2tg101-tg210
2tg1-tg2
Si hacemos: ==En(1): sen(+)=sencos+sencos
En(2): cos(+)=coscos-sensen
En(3): tg(+)= tg+tg1-tgtg
sen2=2sencos
cos2=cos2-sen2
tg2=2tg
1-tg2
ii.- Ampliando nuestros horizontes vamos a realizar unademostracin geomtrica. Partimos de la C.T. mostradadonde ubicamos y 2, as:
y
SR
O T x
N sen2
Msen
cos
cos2
1
sencos
cos2
2
sen2
sencos
2
Q
OQN: QN=sen OQ=cos
OTQ: TQ=OQ.sen
TQ=sencos
OT=OQ.cos
T=coscos=cos2
NRQ: NR=QN.sen
NR=sensen=sen2
QR=QN.cosQR=sencos
OSN: OS=sen2 NS=cos2
Pero: OS=TQ+QR
NS=SR-NR
OT
cos2=cos2-sen2
sen2=2sencos
i- Una demostracin sencilla, es partiendo de la frmulabsica:
sen(+)=sencos+sencos ...(1) cos(+)=coscos-sensen ...(2)
tg(+)= ...(3)tg+tg1-tgtg
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
17/20
135
Trigonometra
Propiedades:
Demostracines:
i- Tenemos: (sen cos)2=sen2 2sencos+cos2sen2
ii- Tambin: 1-cos2=1-(cos2-sen2) 1-cos2=1-cos2+sen2
Ahora: 1+cos2=1+(cos2-sen2) 1+cos2=1-sen2+cos2
(sencos)2=1sen2
1
1-cos2=2sen2
sen2
cos2
1+cos2=2cos2
Resolucin:
1) Demuestra que: sen2(1+tg2)=2tg
En la igualdad, sea:P=sen2(1+tg2) P=sen2sec2
sec2 P=2sencos.
P=2
P=2tg
1cos2
sencos
tg
Resolucin:
2) Demuestra que:
=tg
En la igualdad, sea:
P= 1-cos2+sen21+cos2+sen2
1-cos2+sen21+cos2+sen2
2sen2+2sencos2cos2+2sencos
2sen+(sen+cos)
2cos(cos+sen)
Resolucin:
3) Demuestra que:cos4-sen4=cos2
En la igualdad, sea:
P=cos4-sen4=(cos2)2-(sen2)2
P=(cos2+sen2)(cos2-sen2)
P=cos2cos21
Resolucin:
4) Sabiendo que: sen-cos=1/3; calcula: sen2
De la condicin:
sen-cos=1/3 (sen-cos)2=(1/3)2
1-sen2=1/9
sen2=8/9
(sen10+cos10)2=1+sen20
(sen3x-cos3x)2=1-sen6x
(sen2+cos2)2=
1+sen4x=(sen2x+cos2x)2
1-sen40=
1-cos20=2sen210 1-cos4=2sen22
1-cos6= 2sen218=1-cos36 2sen23x=
1+cos20=2cos210 1+cos8=2cos24
1+cos4= 2cos240=1+cos80 2cos27=
(sen cos)2=1 sen2 1-cos2=2sen2 1+cos2=2cos2
=
Factorizando:
P=
P=tg
Resolucin:
5) Reduce: C=sencoscos2cos4
En la expresin:C=sencoscos2cos42C=2sencoscos2cos4
2C=sen2cos2cos4
4C=2sen2cos2cos4
4C=sen4cos4
8C=2sen4cos4
8C=sen8
C=
sen2
sen4
sen8
sen88
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
18/20
136
4to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3 Calcula:
C=[(sen+cos)2-1]tg
Resolucin:
Reduce:
C =1+cos2+sen2
sen+cos
Resolucin:
Reduce:
C=1-cos2-sen2sen-cos
Resolucin:
Calcula:
L=[(sen-cos)2-1]ctg
Resolucin:
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
19/20
137
Trigonometra
Rpta:
5
Rpta:
6Reduce:
C=ctg-tg
cos2
Resolucin:
Calcula:
L=(ctg+tg)cos2
Resolucin:
7. Si: msenx-ncosx=0; halla:
C=msen2x-ncos2x
8. Siendo: 3senx-4cosx=0; determina:
L=4sen2x+3cos2x
9. Si: sen+cos= 1+tg y adems que: cos4=asec2-btg2 Calcula: ab
10. Reduce:
C=csc2+ctg2
11. Reduce:
L=csc2-ctg2
12. Reduce:
C=csc20+csc40+csc80+ctg80
7/25/2019 Trigo4to(18 - 21)Corregido
20/20
4to Secundaria
1. Siendo un ngulo, tal que: tg=4; calculasen2.
a) 4/17 b) 6/17 c) 8/17
d) 10/17 e) 16/17
2. Siendo un ngulo, tal que: ctg=6; calcula
sen2.
a) 3/37 b) 4/37 c) 6/37
d) 12/37 e) 18/37
3. Reduce:
C=sen2(tg+ctg)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 1/2
4. Reduce:
L=sen22(sec2+csc2)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 16
5. Siendo: sen+cos= 5/4
calcula sen2.
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4
d) 1/6 e) 1/8
6. Siendo: sen-cos= 4/5
calcula sen2.
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4
d) 1/5 e) 1/10
7. Reduce:
C=sencoscos2; =/24
a) 20 b) 2-1 c) 2-2
d) 2-3 e) 2-4
8. Reduce:
L=sencoscos2cos4; =/48
a) 20 b) 2-1 c) 2-2
d) 2-3 e) 2-4
9. Reduce:
L=1-cos2+sen21+cos2+sen2
a) tg b) tg2 c) ctg
d) ctg2 e) seccsc
10. Si: tg2tg=m-1; determina m.
a) sec b) cos c) cos2
d) sec2 e) sen2
11. Si: tg2ctg=n+1; determina n.
a) sec b) cos c) sec2
d) cos2 e) sen2
12. Si: ctg-tg=mcos2; halla m.
a) sen2 b) 2sen2 c) csc2
d) 2csc2 e) 2