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Trigonometrıa: Funciones Trigonometricasde Numeros Reales
Carlos A. Rivera-Morales
Precalculo 2
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas
Tabla de Contenido
ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas deNumeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas
Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas
Objetivos:
Discutiremos:
la circunferencia unitaria
funciones trigonometricas de numeros reales
dominios y rangos de las funciones trigonometricas denumeros reales
identidades trigonometricas fundamentales
otras identidades trigonometricas
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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas
Objetivos:
Discutiremos:
la circunferencia unitaria
funciones trigonometricas de numeros reales
dominios y rangos de las funciones trigonometricas denumeros reales
identidades trigonometricas fundamentales
otras identidades trigonometricas
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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas
Objetivos:
Discutiremos:
la circunferencia unitaria
funciones trigonometricas de numeros reales
dominios y rangos de las funciones trigonometricas denumeros reales
identidades trigonometricas fundamentales
otras identidades trigonometricas
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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas
Objetivos:
Discutiremos:
la circunferencia unitaria
funciones trigonometricas de numeros reales
dominios y rangos de las funciones trigonometricas denumeros reales
identidades trigonometricas fundamentales
otras identidades trigonometricas
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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas
Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Circunferencia Unitaria
Definicion: La circunferencia unitaria es la circunferenciacon centro en el origen del plano cartesiano y radio r = 1.
Figura: Ecuacion de la circunferencia unitaria: x2 + y2 = 1Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas
Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Nota: Para definir las funciones trigonometricas denumeros reales, tambien llamadas funciones circulares, acada numero real t le asignaremos un punto P (t) = (x, y) de lacircunferencia unitaria. Dado t ∈ R, recorremos t unidadessobre (a lo largo) de la circunferencia unitaria, comenzando enel punto (1, 0), en sentido contrario de las manecillas del reloj,si t es positivo. Si t es negativo, entonces nos movemos a favorde las manecillas del reloj. Usaremos las coordenadas del puntoP (t) = (x, y) para definir las funciones trigonometricas delnumero t.
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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas
Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Figura: Movimiento a lo largo de la circunferencia unitaria
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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Definicion: Sea t un numero real y sea P (x, y) el punto de lacircunferencia unitaria correspondiente al numero t. Si lafuncion esta definida, entonces
sen(t) = y csc(t) = 1y
cos(t) = x sec(t) = 1x
tan(t) = yx cot(t) = x
y
Nota: Si el punto correspondiente al numero t esta en uno delos ejes de coordenadas, entonces habra dos funcionestrigonometricas que no estan definidas.
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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Definicion: Sea t un numero real y sea P (x, y) el punto de lacircunferencia unitaria correspondiente al numero t. Si lafuncion esta definida, entonces
sen(t) = y csc(t) = 1y
cos(t) = x sec(t) = 1x
tan(t) = yx cot(t) = x
y
Nota: Si el punto correspondiente al numero t esta en uno delos ejes de coordenadas, entonces habra dos funcionestrigonometricas que no estan definidas.
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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Figura: En el contexto de la circunferencia unitaria, los valorestrigonometricos del numero real t se definen en terminos de las
coordenadas x y y del punto P .Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Dominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas deNumeros Reales
Funcion Dominio Rango o Imagen
sen < [-1, 1]
cos < [-1, 1]
tan <− {π2 + nπ, n entero} <cot <− {nπ, n entero} <sec <− {π2 + nπ, n entero} (−∞,−1] ∪ [1,+∞)
csc <− {nπ, n entero} (−∞,−1] ∪ [1,+∞)
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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas
Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Figura: Relacion entre los diferentes tipos de funcionestrigonometricas
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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Nota: Las funciones trigonometricas del angulo estandarizado θcon medida t en radianes, que esten definidadas, corresponden alas mismas funciones trigonometricas definidas en terminos delpunto sobre la circunferencia unitaria determinado por elnumero real t.
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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Ejercicio: Calcule los valores trigonometricos de t = 5π3 .
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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Ejercicio: Calcule los valores trigonometricos de t = −3π4 .
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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Ejercicio: Calcule las coordenadas exactas del punto P (29π6 ) dela circunferencia unitaria.
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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Ejercicio: En los ejercicios del 1 al 8, para el numero real tdado (a) localice el punto P (t) = (cos(t), sen(t)) en lacircunferencia unitaria y (b) determine las coordenadas exactasdel punto P (t). No use la calculadora.
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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Ejercicio: En los ejercicios del 9 al 16, para el numero real tdado (a) localice el punto P (t) = (cos(t), sen(t)) en lacircunferencia unitaria y (b) use la calculadora para aproximarlas coordenadas exactas del punto P (t).
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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Ejercicio: En los ejercicios del 17 al 24 determine el valorexacto de cada funcion trigonometrica dada en el contexto de lacircunferencia unitaria.
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Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales
Sea t un numero real cualquiera. Si ambos lados de la ecuacionestan definidos, entonces:
Identidades recıprocassen(t) = 1
csc(t) cos(t) = 1sec(t) tan(t) = 1
cot(t)
csc(t) = 1sen(t) sec(t) = 1
cos(t) cot(t) = 1tan(t)
Identidades cocientetan(t) = sen(t)
cos(t) cot(t) = cos(t)sen(t)
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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas
Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales
Sea t un numero real cualquiera. Si ambos lados de la ecuacionestan definidos, entonces:
Identidades recıprocassen(t) = 1
csc(t) cos(t) = 1sec(t) tan(t) = 1
cot(t)
csc(t) = 1sen(t) sec(t) = 1
cos(t) cot(t) = 1tan(t)
Identidades cocientetan(t) = sen(t)
cos(t) cot(t) = cos(t)sen(t)
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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas
Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales
Sea t un numero real cualquiera. Si ambos lados de la ecuacionestan definidos, entonces:
Identidades recıprocassen(t) = 1
csc(t) cos(t) = 1sec(t) tan(t) = 1
cot(t)
csc(t) = 1sen(t) sec(t) = 1
cos(t) cot(t) = 1tan(t)
Identidades cocientetan(t) = sen(t)
cos(t) cot(t) = cos(t)sen(t)
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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas
Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales (Continuacion)
Identidades pitagoricassen2(t) + cos2(t) = 1 1 + tan2(t) = sec2(t)cot2(t) + 1 = csc2(t)
Identidades Par/Imparsen(−t) = − sen(t) cos(−t) = cos(t) tan(−t) = − tan(t)csc(t) = − csc(t) sec(−t) = sec(t) cot(−t) = − cot(t)
Nota: coseno y secante son funciones pares; las restantes sonfunciones impares.
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Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales (Continuacion)
Identidades pitagoricassen2(t) + cos2(t) = 1 1 + tan2(t) = sec2(t)cot2(t) + 1 = csc2(t)
Identidades Par/Imparsen(−t) = − sen(t) cos(−t) = cos(t) tan(−t) = − tan(t)csc(t) = − csc(t) sec(−t) = sec(t) cot(−t) = − cot(t)
Nota: coseno y secante son funciones pares; las restantes sonfunciones impares.
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Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales (Continuacion)
Identidades de Cofuncionessen(π2 − t) = cos(t) tan(π2 − t) = cot(t) sec(π2 − t) = csc(t)cos(π2 − t) = sen(t) cot(π2 − t) = tan(t) csc(π2 − t) = sec(t)
Nota: En el ejercicio que sigue se le pide que demuestre lasidentidades de cofunciones .
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Funciones Trigonometricas
Identidades Trigonometricas Fundamentales (Continuacion)
Identidades de Cofuncionessen(π2 − t) = cos(t) tan(π2 − t) = cot(t) sec(π2 − t) = csc(t)cos(π2 − t) = sen(t) cot(π2 − t) = tan(t) csc(π2 − t) = sec(t)
Nota: En el ejercicio que sigue se le pide que demuestre lasidentidades de cofunciones .
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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Ejercicio: Identidades de Cofunciones En el triangulorectangulo que se muestra, explique por que α = π
2 − β.Ademas, explique como se pueden obtener las seis identidadesde cofunciones a partir de este triangulo para 0 < α < π
2 .
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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Ejercicio: Exprese cada una de las siguientes expresionestrigonometricas en terminos de seno y coseno y luegosimplifique:
1 tan(t) sen(t) + cos(t)
2 sen(−u) + cot(−u) cos(−u)
3sen(x)csc(x) + cos(x)
sec(x)
4cot(t)
csc(t)−sen(t)
5cos2(t) + 4 + sen2(t)
5 sec2(−t)
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Identidades Trigonometricas
Muchas identidades provienen de las identidades fundamentales.Para comprobar que una ecuacion trigonometrica es unaidentidad, transformamos un lado de la ecuacion en el otromediante una serie de pasos, cada uno de los cuales da lugar auna identidad. Sin embargo, no se puede efectuar lasmismas operaciones en ambos lados de la igualdad. Porejemplo, si comenzamos con una ecuacion que no es unaidentidad, como
sen(x) = − sen(x)
y elevamos cada lado al cuadrado, obtenemos la ecuacion
sen2(x) = sen2(x)
la cual es una identidad.Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados
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Identidades Trigonometricas
Sugerencias para demostrar identidades trigonometricas
1 Comenzar con una lado de la ecuacion y transformarlo enel otro lado. Generalmente, se recomienda comenzar con ellado mas complicado.
2 Use algebra e identidades que conozca para tranformar ellado con el que comenzo. Combine fracciones usandodenominadores comunes, factorice y simplifique.
3 Si llega a un punto de tranque, exprese todas las funcionesen terminos de senos y cosenos.
4 Siempre tenga en mente lo que desea obtener. Eso ayudapara decidir pasos posteriores.
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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales
Ejercicio: Demuestre las identidades trigonometricassiguientes.
1cot(x) sec(x)
csc(x) = 1
2 tan2(x)(1 + cot2(x)) = 11−sen2(x)
3sec(x)+csc(x)tan(x)+cot(x) = sen(x) + cos(x)
41+sen(x)1−sen(x) −
1−sen(x)1+sen(x) = 4 tan(x) sec(x)
5cos(u)
1−sen(u) = sec(u) + tan(u)
6sec(t)+tan(t)sec(t)−tan(t) = 1+2 sen(t)+sen2(t)
cos2(t)
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