Captulo Pg.
I. Funciones trigonomtricas reales de variable real II .......................................................... 129
II. Funciones trigonomtricas inversas I ............................................................................... 141
III. Funciones trigonomtricas inversas II .............................................................................. 151
IV. Miscelnea sobre funciones trigonomtricas ..................................................................... 165
V. Ecuaciones trigonomtricas ............................................................................................. 169
VI. Resolucin de tringulos oblicungulos ............................................................................. 183
VII. Lmites trigonomtricos .................................................................................................. 193
VIII. Derivadas trigonomtricas .............................................................................................. 205
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
NDICE
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Funciones trigonomtricasreales de variable real II
Captulo I
Determinacin del periodo principalSabemos que las funciones trigonomtricas son
peridicas (sen, cos, sec, csc: 2 ; tan, cot: ); sin embargoeste periodo es susceptible de ser modificado cuando sobrela funcin se efecte algn tipo de operacin o sobre lavariable. Aqu vamos a dar un criterio de anlisis del periodode una funcin:
Se define:
++==
R
}0{Zn
RC
}0{RB
}0{RA
C)0Bx(T.F.A)x(fy n
Donde su periodo es T; el cual slo va a depender de"n" y "B"; mediante el siguiente criterio:
nF.T. PAR IMPAR
sen; cos;sec; csc
tan; cot
T = piB
T =
T =
2Bpi
piB
A : Indica "estiramiento" o "encogimiento" vertical de lagrfica bsica.
C : Indica "desplazamiento" vertical de la grfica bsica.: Indica "desplazamiento" horizontal de la grfica
bsica.B : Indica "estiramiento" o "encogimiento" horizontal de
la grfica bsica (esto significa el periodo)
Por ejemplo:
y = f(x) = 2sen4x + 1 T =42pi
T =2pi
y = f(x) = 4cos25x - 1 T =5pi
y = f(x) = 3sen3(4x +2pi
) T =42pi
T =2pi
y = f(x) = 4tan7(5x -8pi
) + 3 T =5pi
y = f(x) = 2sen46x
+ 1 T =61pi
T = 6
Ahora bien, si la funcin a analizar no tiene lascaractersticas de la mostrada en la frmula, se deberusar la definicin matemtica de funcin peridica; es decir;dada: y = f(x), x, x + T, x - T Df. Se debe cumplir:f(x + T) = f(x); T : periodo principal de la funcin.
Por ejemplo, seale el periodo de:
y = f(x) = sen(cos2x), decimos: f(x + 1)
sen(cos2(x + 1)) = sen(cos2x)
sen(cos(2x + 2T)) = sen(cos2x)
2
Luego: 2T = 2 T =
1. Seale verdadero (V) o falso (F) en:
I. En la funcin: y = senx, posee un mximo.
II. En la funcin: y = senx, es decreciente.
III. En la funcin: y = senx, es creciente.
a) VVF b) FVV c) VVVd) VFV e) FVF
Resolucin:* Graficando la funcin: y = senx
diremos:
x
y
3pi2pi
pi2
pi2
-1
1
0
I. verdadera: mx. = 1
II. Verdadera:
III. Verdadera:
Problemas resueltos
Aplicacin:Seale verdadero (V) o falso (F) en:
I. En la funcin: y = cosx, es decreciente.
II. En la funcin: y = cosx, posee un mximo.
III. En la funcin: y = cosx, es creciente y
decreciente.
Rpta.: VFV
2. Seale si las funciones: y = f(x) = senx.cos2x; y = g(x) = tan3xcosx2sen|x|son pares (P) o impares (I).
a) P, P b) P, I c) I, Id) I, P e) No se puede precisar
Resolucin:
Recuerde que: f(x) = f(x) : par y f(-x) = -f(x) : impar
i. f(x) = senx.cos2x f(-x) = sen(-x) cos(-2x)
f(-x) =)x(fx2cos.senx
)x(f
=
f : es imparii. g(x) = tan3x.cosx2sen|x|
g(-x) = tan(-3x)cos(-x)2 sen|-x|
g(-x) =)x(g|x|senxcos.x3tan
)x(g
2=
g : impar I, I
Aplicacin:
Seale si son pares o impares:y = f(x) = senx3
y = g(x) = tanx2 + cosx
Rpta.: I, P
3. Grafique en [0; 2pi], la funcin: y = tanx.cosx
a) x
y
b) x
y
c) x
y
d) x
e) x
y
Resolucin:* En la funcin:
y = tanx.cosx y =xcos
senx.cosx
recuerde que:cosx 0 x 90 y 270
x 2pi
;23pi
quedara:
x
y1
-1
2pipi2
32pi
0
y = senx; x 2pi
;23pi
Aplicacin:Grafique en , la funcin: y = f(x) = cotx.senx
4. Grafique en [0; 2pi], la funcin: y = f(x) = sen2x.secx + senx
a) x
y3
-3b) x
y3
-3
c) x
y3
-3d) x
y2
-2
e) x
y2
-2
Resolucin:
* En la funcin:
y = sen2x.secx + senx y = sen2xxcos
1 + senx
Note que:
cosx 0 x 2pi
;23pi
Reduciendo:
y = 2senx.cosx .1
cosx + senx
sen2x = 2senx.cosx
y = 2senx + senx y = 3senx
Note que esta funcin triplica los valores del senx;lo que se va a reflejar en la grfica como un estiramientode la curva: y = senx. As:
x
y
0-1
-3
1
3
pi2
3pi2
2pi
Aplicacin:Grafique en , la funcin:
y = h(x) = sen2x.cscx + 2cosx
5. Acerca de la funcin: y = f(x) = 2senx + |senx|se afirma:
I. Su valor mximo es 3.II. Su valor mnimo es -1.III. Su periodo es 2pi.
Cules son verdaderas?
a) Slo I b) I y III c) I y IId) Slo III e) Todas
Resolucin:En este caso, recuerde:
|x| =
+ es inyectiva
En < - ; + > no es inyectiva
yx
y = x2 1
y
x- pi pi2
32pi 5
2pipipi
22pi
-1
En < - ; 0 ] es inyectiva
En [ 0 ; + > es inyectiva
En < - ; + > no es inyectiva
En es inyectiva
En es inyectiva
En es inyectiva
pi2
pi2
;
pi2
3pi2
;
3pi2
; 5pi2
Cuando una funcin: y = f(x) es inyectiva en todo su dominioy deseamos obtener su inversa; cambiamos: y x; x y;por ejemplo as:
y = f(x) = 3x + 2 : es inyectiva en todo su dominio.
y
x
Luego: y = 3x + 2
x = 3y + 2 x - 2 = 3yx - 2
3= y
y = f* = es la inversa de: y = f(x)(x)x - 2
3
Cuando revisamos las funciones trigonomtricas,podemos notar que todas ellas son peridicas y enconsecuencia no son inyectivas; por lo que es necesarioredefinirlas restringiendo su dominio a un intervalo dondes sea inyectiva, sin alterar su rango.
y
x
1
pi2
pi2
0 32pi
32pi
2pipi
-1
y
x2pipipi2
pi2
y
x
y = x
f
f*
y
x
y = x
f*
f
Observacin: Para graficar la inversa de una fun-cin "F", se refleja la curva de "F" respecto ala recta y = x; de manera simtrica. Por ejemplo:
Definicin de las funciones trigonom- tricas inversasI. F.T. seno inverso o arco seno:
Partimos de: y = f(x) = senx
tomamos: Df:
pipi
2;
2
Rf : [-1 ; 1]
Hallamos su inversa:
y = senx
x = seny y = f*(x) = Arcsenx
Cumplindose adems:
D*f = Rf : [-1; 1]
R*f = Df :
pipi
2;
2
Verificndose que: Arcsen(-x) = -Arcsenx
x32pi 5
2pipi 2pipi
232pi pi
2
y
1
-1
pi
y
x1-1
pi2
pi2
II. F.T. coseno inverso o arco coseno:
Partimos de: y = f(x) = cosxtomamos: Df : [0; ]
Rf : [-1; 1]
Hallamos su inversa:y = cosx
x = cosy y = f*(x) = Arccosx
Cumplindose adems:
D*f = Rf : [-1; 1]R*f = Df : [0; ]
Verificndose que:Arccos(-x) = -Arccosx +
x52pi2pipi
2
y
1
-1
- pi pi2
pi 32pi 3pi
y
x
pi
1-1
III. F.T. tangente inverso o arco tangente:
Partimos de: y = f(x) = tanx
tomamos: Df : 2;
2pipi
Rf = Hallamos su inversa:y = tanx
x = tany y = f*(x) = Arctanx
Cumplindose adems:
D*f = Rf :
R*f = Df : 2;
2pipi
Verificndose que:Arctan(-x) = -Arctanx
Los problemas que vamos a ver a continuacin, tienenque ver con la obtencin del dominio, rango y grfico defunciones; y para anlisis adicionales.
32pi
y
x2pipipi
2pi2
52pi
y
x
pi2
pi2
1. Seale el dominio de la funcin:y = f(x) = 2Arcsen(2x - 1) + pi
a) [0; 1] b) [-1; 1] c) [0; 2]
d)
21
;21
e) [-1; 2]
Resolucin:
Recuerde que si: = Arcsena ; para que tenga sentido:-1 a 1 ya que: a = sen y -1 sen 1 (C.T.)
Luego en la funcin: y = f(x) = 2Arcsen a
)1x2( + ;
-1 a 1-1 2x - 1 10 2x 2 (sumando 1)0 x 1 (dividiendo entre 2)
Df : [0; 1]
Aplicacin:Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 2Arcsen(x + 3) + 2pi
Rpta.: [-4; -2]
2. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 2Arccos(x - 3) + 3pi
a) [1; 2] b) [-1; 1] c) [-1; 2]d) [2; 3] e) [2; 4]
Resolucin:
Recuerde que si: = Arccosa; para que tenga sentido:-1 a 1; ya que : a = cos y : -1 cos 1 (C.T.)Luego en la funcin:
y = f(x) = 2Arccos 3)3x(
a
pi+ ; -1 a 1
-1 x - 3 12 x 4 (sumando 3) Df : [2; 4]
Aplicacin:Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 3Arccos(3x - 2) + 4pi
Rpta.:
1;31
3. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = Arcsen 43x
pi+
a) [2; 3] b) [2; 4] c) [3; 4]d) [0; 3] e) [1; 3]
Resolucin:
Recuerde que: 0a ; para todo: a 0
En el problema: y = f(x) = Arcsen ;3xa 0 a 1
)3sumando(4x3)cuadradoalelevando(13x0
13x0
Df : [3; 4]
Aplicacin:Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 2arcsen 61x
pi++
Rpta.: [-1; 0)
4. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 2Arccos ( ) 222x pi+a) [1; 5] b) [3; 7] c) [4; 11]d) [3; 11] e) [6; 11]
Resolucin:Tenemos en la funcin:
)2sumando(11x3)cuadradoalelevando(92x1
)2sumando(32x1
122x1
Df : [3; 11]
Aplicacin:Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 31
Arccos ( ) pi++ 31xRpta.: [3; 15]
5. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = Arctan 314x3x2
pi+ +
Problemas resueltos
a) b) c) d) e)
Resolucin:
En la funcin:
y = f(x) = Arctan 314x3x2
pi+ +
x2 - 3x - 4 0(x - 4) (x + 1) 0 (factorizando)
Por puntos crticos:
+ - +-1 4 +
x
-
D : < - ; - 1] [4 ; + >f
Aplicacin:Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 2Arctan
+
13x1x
Rpta.:
c) 34
;32 pipi
d) pipi
;32
e) 34
;3
pipi
Resolucin:
Partimos de:
2xtanArc
2pi
Resolucin:
Recuerde que: a IR : a2 0
En el problema: y = 2Arcsenx2 0 x2 1
Luego: 0 Arcsenx22pi
0 y
2Arcsenx2 pi (multiplicando por 2)
Rf : [0 ; ]
Aplicacin:
Seale el rango de la funcin: y = f(x) = 3Arcsenx2 +
2pi
Rpta.:
pi
pi2;
2
12.Seale el rango de la funcin:
y = f(x) = 2Arcsen 621
x2pi
+
+
a)
pipi35
;2 b)
pipi
32
;2 c)
pipi
;2
d)
pipi
34
; e)
pipi65
;2
Resolucin:
En la funcin: y = f(x) = 2Arcsen 621
x2pi
+
+
Recuerde que: x2 0 y que: -1 x2 +21
1 .... (1)
pero:21
21
x2 + ........ (2)
Luego, de (1) y (2): 121
x21 2 +
2)
21
x(Arcsen6
2 pi+pi
pi+pi )21
x(Arcsen23
2 (multiplicando por 2)
65
6)
21
x(Arcsen22
y
2 pipi++pi
(sumando 6pi
)
Rf :
pipi65
;2
Aplicacin:Seale el rango de la funcin:
y = f(x) = 2Arcsen(2x2 +
23
) + 6pi
Rpta.:
pipi67
;65
13.Grafique: y = f(x) = 2Arcsen 22x pi
+
a) b)
32pi
pi2
y
x-2 2
32pi
pi2
y
x-2 2
c) d)
32pi
pi2
y
x1/21/2
32pi
y
x1/2pi2
1/2
e)
32pi
pi2
y
x1-1
Resolucin:
En la funcin: y = f(x) = 2Arcsen 22x pi
+
Hallamos el dominio:
2x212x
1
Hallamos el rango:22
xArcsen2
2pipi
pipi2x
Arcsen2
23
y22
322
xArcsen2
2y
pipipipi+pi
Ubicamos en el plano cartesiano:
y
x2-2
32pi
pi2
Aplicacin:
Grafique: y = f(x) = 3Arcsen 23x pi
+
y
x3-3
2pi
pi
14.Grafique a la funcin: y = f(x) = Arcsenx + 2Arccosx
a) b)
y
x
y
x
c) d)
y
x
y
x
e)
y
x
Resolucin:En la funcin:
y = f(x) = Arcsenx + 2Arccosx
y = f(x) = xcosArcxcosArcArcsenx
2
++
pi
y = f(x) = 2pi
+ Arccosx
Hallamos el dominio: -1 x 1
Hallamos el rango: 0 Arccosx
23
y22
3xcosArc
22y
pipipi+pipi
llevndolo al plano cartesiano:
y
x
pi2
32pi
-1 1
Aplicacin:
Grafique la funcin: y = f(x) = 2Arcsenx + 3Arccosx
y
x
15.Cuntos valores de "x" cumplen: x - Arccosx = 0
a) ninguno b) 1 c) 2d) 3 e) 4
Resolucin:
De la igualdad: x = Arccosxhacemos: y = x ; y = ArccosxGraficamos las dos funciones:
y
x
y = Arccosx
y = x
Note que slo hay un punto de corte; esto significa quelas dos funciones son iguales: x = Arccosx, en un solovalor de x; por lo tanto podemos afirmar que slo unvalor de "x" verifica la igualdad.
Aplicacin:
Cuntos valores de "x", cumplen: cosx = Arcsenx?
Rpta.: 1
Bloque I
1. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 2Arcsen 41
2x pi
+
a) [0; 2] b) [-2; 2] c) [0; 4]d) [1; 4] e) [-2; 4]
2. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 31
Arccos(2x + 3) - 5pi
a) [-2; -1] b) [-2; 0] c) [-1; 1]d) [-1; 2] e) [0; 2]
3. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 3Arctan ( ) 513x pi++a) IR b) IR+ c) d) e) [3; + >
4. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 41
Arcsen(x2 - 3) + 6pi
a) [- 2 ; 2]
b) [-2; - 2 ] [ 2 ; 2]
c) [-2; - 2 ] [ 2 ; 4]d) [-4; -2] [2; 4]e) [-4; 4]
5. Seale el dominio de la funcin:
y = 2Arccos ( )21
21x +
a) [1; 10] b) [-1;1] c) [2; 10]d) [3; 10] e) [2; 9]
6. Seale el rango de la funcin:
y = f(x) = 2Arcsenx + 3pi
a)
pipi
3;
3 b)
pipi
34
;32
c)
pipi
32
;3 d)
pipi
65
;6
e)
pipi
32
;32
7. Seale el rango de la funcin: y = f(x) = 3Arccosx -
a) [0; 2pi] b) [- pi; pi] c) [- pi; 3pi]d) [- pi; 2pi] e) [- pi; 4pi]
Problemas para la clase
8. Seale el rango de la funcin: y = f(x) = 4Arctanx + pi
a) b) c)
d) e)
9. Seale el rango de la funcin:
y = f(x) = Arcsenx2 + 6
pi
a)
pi
pi;
6 b)
pipi32
;6 c)
pipi
65
;6
d)
pipi34
;3 e)
pipi
35
;6
10.Seale el rango de la funcin:
y = f(x) = 2Arccos 3x
pi+
a)
pi
pi;
6 b)
pipi32
;6 c)
pipi
32
;3
d)
pi
pi;
3 e)
pipi34
;3
11.Seale el rango de la funcin:y = f(x) = 3Arcsenx + 4Arccosx
a)
pipi25
;2 b)
pipi
25
;23
c)
pipi23
;2
d)
pipi
25
; e)
pi
pi2;
2
12.Seale el rango de la funcin:y = f(x) = 2Arcsenx - 5Arccosx
a) [-2pi; 4pi] b) [- pi; 6pi] c) [- 3pi; 2pi]d) [-6pi; pi] e) [- 3pi; 2pi]
13.Grafique: y = f(x) = 2Arcsen 42x pi
+
a) b)
y
x
54pi
34pi
-2 2
y
x
54pi
34pi-2 2
c) d)
y
x
5pi4
34pi
-1 1
y
x
5pi4
-1 134pi-
e)
y
x
5pi4
34pi1/21
2
14. G r a f i q u e l a f u n c i n : y = f (x) = 3Arccos(2x - 1) -
a) b)
y
x1
2pi
pi
0
-
y
x1
2pi
pi
0
c) d)
y
x-1
pi
0
2piy
x
pi
0
- 2pi
e)
y
x-1 1
15.Cuntos valores de "x" cumplen la igualdad: 2Arcsenx + x2 = 1
a) ninguno b) 1 c) 2d) 3 e) 4
Bloque II
1. Seale el dominio de la funcin:
y = h(x) = 3Arcsen 41
3x pi
+
a) [-2; 0] b) [-6; 0] c) [-6; 6]d) [-1; 1] e) [-3; 3]
2. Seale el dominio de la funcin:
y = h(x) = 21
Arccos(4x - 3) +
a) [1; 2] b) [21
; 2] c) [21
; 1]
d) [41
; 2] e) [ 31
; 1]
3. Seale el dominio de la funcin:
y = h(x) = 2Arctan ( ) 411x pi++a) [1; + > b) [-1; + > c) [2; + >d) [0; + > e) [-2; + >
4. Seale el dominio de la funcin:y = h (x) = Arcsen(x
2 - 2) +
a) [1; 3]
b) [- 3 ; -1] [1; 3 ]c) [-3; -1] [1; 3]
d) [- 3 ; - 2 ] [ 2 ; 3 ]
e) [- 2 ; -1] [1; 2 ]
5. Seale el dominio de la funcin:
y = h(x) = 3Arccos ( ) 312x pi+a) [1; 3] b) [1; 4] c) [2; 4]d) [2; 6] e) [4; 6]
6. Seale el rango de la funcin:
y = h(x) = 3Arcsenx - 2pi
a) [- ; 2 ] b) [- ; ] c) [-2 ; ]
d) [-2 ; 2 ] e) [-2pi
;23pi
]
7. Seale el rango de la funcin:
y = h(x) = 2Arccosx - 2pi
a)
pipi
23
;2 b)
pipi
25
;2
c) [- ; 2 ] d)
pipi
2;
2
e)
pipi
2;
23
8. Seale el rango de la funcin:
y = h(x) = 2Arctanx - 2pi
a) b)
c) d)
e)
9. Seale el rango de la funcin: y = h(x) = 2Arccosx2 +
a) [0; 2 ] b) [0; ] c) [ ; 3 ]d) [ ; 2 ] e) [ ; 4 ]
10.Seale el rango de la funcin:
y = h(x) = 3Arcsen 2x
pi+
a)
pi
pi;
2 b)
pi
pi2;
2 c) [ ; 2 ]
d)
pipi25
;2 e)
pipi
3;2
11.Seale el rango de la funcin:y = h(x) = 2Arcsenx + 4Arccosx
a)
pipi23
;2 b)
pipi
25
;2 c) [pi; 2pi]
d) [pi; 3pi] e)
12.Seale el rango de la funcin:y = h(x) = Arcsenx - Arccosx
a)
pi
pi ;
23
b)
pipi
2;
23
c)
pipi
23
;2 d)
pipi
;2
e) [ ; 2 ]
13.Grafique la funcin:
y = h(x) = 3Arcsen 23x pi
+
a) b)
y
x3
2pi
-3
-pi
y
x3
2pi
-3
-pi
c) d)
y
x13
2pi
-pi
13
y
x13
2pi
-pi
13
e)
y
x
2pi
-pi
1-1
14.Seale la grfica de la funcin:
y = h(x) = 2Arccos 21
2x pi
+
a) b)
y
x
52pi
40
y
x
52pi
40
pi2
c) d)
y
x
52pi
40
pi2
y
x
52pi
pi2
e)
y
x
52pi
pi2
4
15.Cuntos valores de "x" verifican la igualdad:
41
Arccosx = x2
a) ninguno b) 1 c) 2d) 3 e) 4
Bloque III
1. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 2Arcsen 2x
+ 3Arccos(2x - 3)
a) [-2; 2] b) [-1; 2] c) [0; 2]d) [-1; 1] e) [1; 2]
2. Seale el dominio de la funcin:
y = h(x) = 3Arcsen 3x
- 2Arccos
1
2x
a) [-3; 3] b) [-3; 4] c) [-3; 0]d) [0; 3] e) [0; 4]
3. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 2Arcsen pi+
x2x
a) b) [1; +> c) [2; +>d) e) [4; +>
4. Seale el dominio de la funcin:
y = h(x) = 31
Arccos21x
1x pi
+
14.Cuntos valores de "x" cumplen:Arccos(cosx) = cosx; en
a) ninguno b) 1 c) 2d) 3 e) 4
15.Seale el rango de la funcin:
y = f(x) = xcosArcArcsenx
a) [0; + > b) [-1; + > c) [-21
;+ >
d) [- 31
; + > e) [-2; + >
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Miscelnea sobre funcionestrigonomtricas
Captulo IV
Problemas para la clase
Bloque I
1. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 1x2cossenx
a) IR - {2
n; n ZZ }
b) IR - {npi ; n ZZ }
c) IR - {(2n + 1)2
; n ZZ }
d) IR - {2npi ; n ZZ }
e) R - {(4n + 1)2
;n ZZ }
2. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 1x3senx3cos
a) IR - {3n
; n ZZ }
b) IR - {6
n; n ZZ }
c) IR - {(2n + 1)6
;n ZZ }
d) IR - {(2n + 1)3
; n ZZ }
e) IR - {(4n + 1)6
; n ZZ }
3. Seale el rango de la funcin:
y = f(x) = senx + 3 cosx + 1
a) [-2; 2] b) [-1;3] c) [-3;1]d) [-3;3] e) [-1;1]
4. Seale el rango de la funcin:y = f(x) = senxcosxcos2x
a) [-1; 1] b) [-21
;21
] c) [-41
;41
]
d) [-4
3;
4
3] e) [-
81
;81
]
5. Seale el rango de la funcin:y = f (x) = senx(senx + cosx)
a) [-1;2] b) [1- 2 ; 1 + 2 ]
c) [2
21 ;
221
] d) [4
21 ;
421
]
e) [2
12 ;
2
12 ]
6. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = arcsen
5
1x3
a) [-31
; 1] b) [-31
;2] c) [-34
;1]
d) [-3
4;2] e) [-
3
2;2]
7. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = xarccosarcsenx
a) [-1 ; 1] b) c) [-1 ; 1] - {0} d) [-1 ; 1>e) [-1 ; 1> - {0}
8. Calcular:
P = sen(2arctan21
) . cos(2arctan31
)
a) 0,24 b) 0,32 c) 0,48d) 0,64 e) 0,72
9. Reducir:
)x1
x(arctansen
1)arcsenx2cos(Q
2
a) x b) - x c) 2xd) - 2x e) - 2x2
10.Cuntas races presenta la ecuacin: 3cosx - x2 = 2
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) ninguna
Bloque II
1. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 1x4senx2cos
a) IR - {(4n + 1)2
; n ZZ }
b) IR - {(2n + 1)4
; n ZZ }
c) IR - {(4n + 1)4
; n ZZ }
d) IR - {(4n + 1)8
; n ZZ }
e) IR - {(2n + 1)8
; n ZZ }
2. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 1x5cosx3sen
a) IR - {5n
; n ZZ }
b) IR - {5
n2 ; n ZZ }
c) IR - {(2n + 1)5
; n ZZ }
d) IR - {10n
; n ZZ }
e) IR - {(2n + 1)10
; n ZZ }
3. Seale el rango de la funcin:
y = f(x) = 3(senx + 1) + 7 cosx
a) [-3;3] b) [-4;4] c) [-1;7]d) [-7;1] e) [-3;7]
4. Seale el rango de la funcin:y = f(x) = senxcosxcos2xcos4x
a) [-1;1] b) [-2
1;2
1] c) [-
4
1;4
1]
d) [-8
1,8
1] e) [-
16
1;16
1]
5. Seale el rango de la funcin:y = f(x) = cosx(cosx - 2senx)
a) [2
51 ;
2
51 ]
b) [2
15 ;
2
15 ]
c) [1 - 5 ; 1 + 5 ]
d) [ 5 - 1; 5 + 1]
e) [4
51 ;
4
51 ]
6. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = 2arcsen
5
1x2+
3
a) [-2;3] b) [-3;2] c) [-1;2]d) [-2;2] e) [-3;3]
7. Seale el dominio de la funcin:
y = f(x) = arcsenxxarccos
a) [-1;1] b) c) [-1;1] - {0}d) [-1;1> e) - {0}
8. Calcular:
P = 5tan(3arctan2) +11
1
a) 1 b) 2 c) 3
d)11
9e)
11
6
9. Reducir:
1;0x;)xcos(arccos2
)xsec(arctan)arcsenx2(senQ
a) 1 b) 1 - x2 c) 2x1
d) 4x1 e) 2x1
10.Cuntas races tiene la ecuacin:4x2 + arccosx = 2
a) ninguna b) 1 c) 2d) 3 e) 4
Bloque III
1. Seale el perodo principal de:y = f(x) = 2sen
43x - 1
a)3
b)
3
2c) 3pi
d) 2pi e) pi
2. Seale el periodo principal de la funcin:y = f(x) = 2cos
54x - 1
a) 2pi b) pi c)2
d)4
e) 4pi
3. Seale el perodo principal de:y = f(x) = sen(|sen4x|)
a) pi b)2
c)
4
d) 2pi e) 4pi
4. Seale el perodo principal de:y = f(x) = cos(|tan3x|)
a) pi b)3
c)
6
d)2
e)
3
2
5. Del grfico, calcular:C = cot + cot ; si OPQR es un cuadrado.
y
y = arccosx
P Q
RO x
a) 1 b) 2 c) pi - 1d) pi - 2 e) pi + 1
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Ecuaciones trigonomtricas
Captulo V
Definicin
Son aquellas ecuaciones, donde la incgnita est afectadade operadores trigonomtricos, como toda igualdadcondicional se verificar para ciertos valores de la variable(incgnita) presente; denominndose a estos valoressoluciones de la Ecuacin Trigonomtrica. Por ejemplo:
senx + cosx = 1 s es E.T.tanx + sec2x = 3 s es E.T.3x + tanx = 2 no es E.T.
Qu es resolver una ecuacin trigonomtrica?
Resolver una ecuacin trigonomtrica significa encontrartodos los valores que toma la incgnita; que verifican laecuacin convirtindola en una igualdad absoluta. Pero,debido al carcter peridico de las Funciones Trigo-nomtricas; no slo se encontrarn una o dos soluciones,sino que generalmente existir una cantidad ilimitada desoluciones, motivo por el cual se hace necesario el uso defrmulas que permitan encontrar el conjunto global desoluciones de la Ecuacin Trigonomtrica, llamada SolucinGeneral de la Ecuacin Trigonomtrica.Por ejemplo, si tuviramos que resolver una ecuacinsencilla como:
......;150;30x21
senx ==
estas son slo dos soluciones; pero si quisiramos encontrarsoluciones adicionales, tan slo tendramos que sumarle orestarle mltiplos de 360, de la siguiente manera, a los yaindicados.
Esto es:
x = 30; 150; 390; 510; 750; 870; ........
+360 +360
+360 +360
tambin:
x = ......; -570; -330; -210; 30; 150
-360-360
-360
es decir:
x = ...; -570; -330; -210; 30; 150; 390; 510;750; ...
stas seran slo algunas soluciones particulares de laEcuacin Trigonomtrica, y en lo sucesivo tendremos queaplicar este criterio para determinarlas. (La explicacin espor que los ngulos a obtener son coterminales con losprimeros)
Cmo resolver una ecuacin trigonomtrica?
I. Ecuaciones Trigonomtricas Elementales (E.T.E.):
R.T.(x) = n
Para este tipo de ecuaciones se encuentrangeneralmente dos primeras soluciones; y se les vaagregando o restando mltiplos de 360; como en elapunte anterior.
Por ejemplo:
22
senx = x = 45; 135; 405; 495; 765; ......
+360 +360
+360 +360
x = ....; -585; -315; -225; 45; 135
-360
-360-360
Pero la pregunta evidente es, cmo determino las dosprimeras soluciones?, se aplica el siguiente criterio:
I.1. Si la E.T.E. es:
R.T.(x) = n; n > 0
Normalmente habr una solucin para x IC, aguda;si esta es "", entonces la otra solucin dependerdel cuadrante en el que se ubique; esto es:Si la solucin aguda es: x = y si hubiera otra en el:
IIC sera: x = 180 - IIIC sera: x = 180 + IVC sera: x = 360 -
Por ejemplo:
i. tanx = 3 x = 60Como la tanx es positiva, la otra solucindebera ser del IIIC, es decir:
x = 180 + 60 x = 240
luego: x = 60; 240; ..... aqu le agregamos orestamos mltiplos de 360.
ii.21
xcos = x = 60
Como el cosx es positivo; la otra solucindebera ser del IVC, es decir:
x = 360 - 60 x = 300luego:
x = 60; 300; 420; 660; .......
+360
+360
iii. cotx = 3 x = 30La otra solucin debe ser del IIIC (ya que cotxes positivo), es decir:
x = 180 + 30 x = 210
luego:
x = 30; 210; 390; 570; .......
+360
+360
I.2. Si la E.T.E. es:
R.T.(x) = n; n < 0
En este caso; resuelva, a modo de ayuda; la ecuacinR.T.(x) = |n| y calcule la solucin aguda de dichaecuacin. Con esa solucin se calculan las verdaderascon la misma idea anterior, slo que ahora la R.T.(x)es negativa. Por ejemplo:
i.23
-senx =
Resolvemos:
60x23
senx ==
Pero como el "senx" es negativo, las dos primerassoluciones deberan ser del IIIC y IVC, luego:
IIIC: x = 180 + 60 x = 240IVC: x = 360 - 60 x = 300
luego:
x = 240; 300; 600; 660; .......
+360
+360
ii.22
-xcos =
Resolvemos:
45x22
xcos ==
Como el "cosx" es negativo en el IIC y IIIC,tendramos:
IIC: x = 180 - 45 x = 135IIIC: x = 180 + 45 x = 225
luego: x = 135; 225; 495; 585; ......
+360
+360
iii.33
-xtan = ;
resolvemos: 30x33
xtan ==
Como la "tanx" es negativa en el IIC y IVC,tendramos:
IIC: x = 180 - 30 x = 150IVC: x = 360 - 30 x = 330
luego: x = 150; 330; 510; 690; .......
* Observacin:
Cuando el valor de la R.T.(x) corresponde al de unngulo cuadrantal; se debe recordar el cuadro:
sen
cos
tan
cot
sec
csc
0
1
0
N
1
N
0;360
1
0
N
0
N
1
90
0
-1
0
N
-1
N
180
-1
0
N
0
N
-1
270
Por ejemplo:
* senx = 1 x = 90(note que entre 0 y 360, no hay otro)
x = 90; 450; 810; .......
+360 +360
* cosx = 1 x = 0; 360; 720; .......
* senx = 0 x = 0; 180; 360; 540; .......
+360
* cotx = 0 x = 90; 270; 450; .........
+360
* cosx = -1 x = 180; 540; .........
+360
II. Ecuaciones trigonomtricas no elemen- tales
Las ecuaciones trigonomtricas no elementales sonaquellas que operan diferentes razones trigonomtricasde la incgnita o de variables que involucran a dichaincgnita. En estos casos, la idea es simplificar laecuacin aplicando toda la teora del curso yadesarrollado (identidades de una misma variable, de lasuma y/o diferencia de variables, de la variable doble,mitad, triple; as como transformaciones trigonomtricasy la teora de funciones trigonomtricas inversas);reducindola a la forma Elemental o quizs de la forma:
R.T.(Bx + ) = n
para aplicar lo ya expuesto en la resolucin de una E.T.Elemental. Por ejemplo; resolver e indicar algunassoluciones de:
i. tan2x (1 - sen2x)cscx =21
Por identidades trigonomtricas, reducimos:
21
senx1
.xcos.xcos
xsen 22
2=
quedara: ;21
senx = note que: cosx 0 senx 0
luego: x = 30; 150; 390; .......180 - 30
ii. sen3x.cos2x - sen2x.cos3x = 1Reconozca el desarrollo:
sen( - ) = sen.cos - sen.cosluego:
1)x2-x3(senx3cos.x2sen-x2cos.x3sen ==
senx = 1 x = 90; 450; ........
iii.23
)15-x3(sen =
En este caso no hay nada que reducir, pues laecuacin tiene la forma Elemental, as que se resuelvede manera similar; pero tenga en cuenta como sedespeja la incgnita:
3x - 15 = 60; 120; 420; 480; ...
+360
+360
3x = 60 + 15; 120 + 15; 420 + 15; 480 + 15; ...
3x = 75; 135; 435; 495; ...
;...3
495;
3435
;3
135;
375
x =
x = 25; 45; 145; 165; ...
iv.22
)10-x5cos( =
5x - 10 = 45; 315; 405; 675; ...
+360
+360
5x = 55; 325; 415; 685; ...x = 11; 65; 83; 137; ...
v.83
x2cos.xcos.senx =
Tenemos que reducir la expresin, pero recuerdeque:
sen2 = 2sen.cos
tenemos:
2.83
x2cos.xcos.senx.2 = (multiplicando 2)
43
x2cos.x2sen = (otra vez 2)
2.43
x2cos.x2sen2 = 23
x4sen =
luego:4x = 60; 120; 420; 480; .....x = 15; 30; 105; 120; ......
* Observacin:
Las consideraciones algebraicas acerca de la resolucinde ecuaciones, que tienen que ver con el perdersoluciones o agregar soluciones; se mantienen, as quedebemos tener cuidado con la simplificacin de trminosque contienen a la incgnita.
vi. 1 + sen2x = senx + cosx
En este caso recuerde que:(senx + cosx)2 = 1 + sen2x
luego la ecuacin, quedara as:(senx + cosx)2 = senx + cosx
cancelando: (senx + cosx)
1xcossenx =+ 2 (senx. 45cos
2
1+ cosx.
45sen
2
1) = 1
2 ( xcos.45sen45cos.senx + ) = 1
2 sen(x + 45) = 1
22
2
1)45x(sen ==+
luego:
x + 45 = 45; 135; 405; 495; ...
+360
+360
x = 0; 90; 360; 450; ...
pero! para no perder soluciones, el factor canceladose debe igualar a cero (0), esto es:
senx + cosx = 0senx = - cosx
xcossenx
= -1 tanx = -1 (x II C IV C)
recuerde que primero resuelva:tanx = 1 x = 45
luego las soluciones seran:x = 180 - 45; 360 - 45
x = 135; 315; .....
vii. senx + cos2x = 1
En este ejemplo, homogenizamos la variable, estoes, colocamos la expresin en trminos de una mismavariable (x), para ello recuerde que:
cos2 = 1 - 2sen2luego; quedara as:
1x2cossenx =+ senx + 1 - 2sen2x = 1
reduciendo:senx = 2sen2x
cancelando:
1 = 2senx 21
senx =
x = 30; 150; 390; ...
pero! como cancelamos "senx", lo igualamos a cero(0) para no perder soluciones, esto es:
senx = 0 x = 0; 180; 360; ...
Obtencin de la solucin general
Generalmente vamos a tener que resolver ecuacionestrigonomtricas no elementales; as que la idea central esreducir la ecuacin dada y llevarla a la forma elemental;para ello es bueno recordar:
1. Es preferible una sola variable a diferentes variables
2. Es preferible una R.T. a diferentes R.T.
3. Cancelar trminos que involucran a la incgnita ennumeradores de miembros diferentes, implica igualarloa cero para no perder soluciones.
4. Si hay varios senos y/o cosenos de mltiplos muy grandesde la variable; hay una posibilidad de aplicartransformaciones trigonomtricas para reducirla.
5. Si el valor de la R.T. encontrada no es notable, se aplicala notacin de F.T. inversas.
Ahora, para la determinacin de la solucin general; seaplicarn las siguientes frmulas:
senx = a
cosx = a
tanx = a
g
g
g
x = 180n + (-1) x
x = 360n
x = 180n +
ng p
g p
g p
x
x
Encontramos Hacemos Donde
x = arcsena
x = arccosa
x = arctana
p
p
p
n Z
n Z
n Z
donde:
xp valor principalxg es la incgnita o una variable que contiene a la
incgnita, de donde se la despeja
Tambin se emplean las mismas frmulas en radianes:
senx = a
cosx = a
tanx = a
g
g
g
x = n + (-1) x
x = 2n
x = n +
pi ng p
g p
g p
pi
pi
x
x
x = arcsena
x = arccosa
x = arctana
p
p
p
Encontramos Hacemos Donde
n Z
Z
Z
n
n
Por ejemplo, resolver y dar la solucin general de:
i.21
x2sen =
tenemos:
3021
arcsenxp == (en sexagesimales)
xg = 2x
xg = 180.n + (-1)n xp 2x = 180.n + (-1)
n30
x = 90.n + (-1)n15
si queremos algunas soluciones, le damos valoresenteros a "n".
n = 0
n = 1
n = 2
n = -3
x = 0 + 15 = 15
x = 90 - 15 = 75
x = 180 + 15 = 195
x = -270 - 15 = -285
todos estosvalores sonsoluciones dela ecuacin
ii. cos3x = 1
tenemos:xp = arccos1 = 0
xg = 3x
luego:xg = 360.n xp 3x = 360.n 0
x = 120.n
en radianes:xp = arccos1 = 0
xg = 3x
luego:xg = 2npi xp 3x = 2npi
3n2
xpi
=
Observacin: Normalmente se trabaja en radianes.
iii. tan5x = 1tenemos:
xp = arctan1 = 4pi
xg = 5x
luego:
xg = npi + xp 5x = npi + 4pi
205n
xpi
+pi
=
iv.22
-x3sen =
tenemos:
4-
22
arcsen-)22
-(arcsenxppi
===
xg = 3x
luego: xg = npi + (-1)nxp 3x = npi - (-1)
n4pi
12)1-(-
3n
x npipi
=
v. sen2x = senxEn este caso habra que reducir la ecuacin, para ellorecuerda que:
sen2 = 2sen.cosen la expresin:
sen2x = senx2senx.cosx = senx
cancelando "senx" queda:2cosx = 1
21
xcos = ;32
1arccosxp
pi==
xg = x
3n2x
pipi=
pero el factor cancelado se iguala a cero, esto es:senx = 0; xp = arcsen0 = 0
xg = x
x = npi + (-1)n xp x = npi
luego la solucin general es:
}Zn,n{}Zn;3
n2{x pipi
pi=
vi. sen5x = senxaplicamos transformaciones trigonomtricas de estamanera:
0senx-x5sen = ;recuerde:
)2
cos()2-
(sen2sen-sen+
=2sen2x.cos3x = 0 sen2x.cos3x = 0
en este caso, cada factor se iguala a 0; as:
sen2x = 0; xp = arcsen0 = 0 xg = 2x2x = npi + (-1)n xp 2x = npi
2n
xpi
=
cos3x = 0; xp = arccos0 = 2
xg = 3x
3x = 2npi xp 3x = 2npi 2pi
63n2
xpi
pi
=
luego la solucin general es:
}Zn;63
n2{}Zn;
2n
{x pi
+pi
pi
=
1. Resolver: (senx + cosx)2 = 1 + cosxindicando la suma de las tres primeras solucionespositivas.
a) 180 b) 270 c) 360d) 450 e) 720
Resolucin:Del dato:
2)xcossenx( + = 1 + cosx1 + 2senx.cosx = 1 + cosx
quedara:2senx.cosx = cosx
reduciendo:
2senx = 1 senx =21
x = 30; 150; ...
Pero:cosx = 0 (factor cancelado, se iguala a cero)
x = 90; 270; ...Las tres primeras soluciones seran:
30; 90; 150 = 270
Aplicacin:
Seale la suma de las tres primeras soluciones positivasde:
(senx - cosx)2 = 1 - senx
Rpta.: = 540
2. Seale la suma de las tres primeras soluciones positivasde la ecuacin:
2secx.cscx + 3tanx = 2cotx + 5 3
a) 360 b) 540 c) 270d) 720 e) 450
Resolucin:En la condicin:
2secx.cscx + 3tanx = 2cotx + 5 3Primero recuerde:
secx.cscx = tanx + cotxLuego, tenemos:
2(tanx + cotx) + 3tanx = 2 cotx + 5 32tanx + 2cotx + 3tanx = 2cotx + 5 3
5tanx = 5 3 tanx = 3x = 60; 240; 420
= 720
Aplicacin:
Seale la suma de las tres primeras soluciones positivasde la ecuacin:
3tanx + 2secx.cscx = 5tanx + 2
Rpta.: = 675
3. Resolver: 1 + cosx = 2sen2x ; indicando la suma de susdos primeras soluciones positivas.
a) 180 b) 120 c) 200d) 240 e) 360
Resolucin:Como la variable es la misma, vamos a colocar todo entrminos de una sola razn trigonomtrica, as:
1 + cosx = 2sen2x 1 + cosx = 2(1 - cos2x)factorizando:
1 + cosx = 2(1 + cosx) (1 - cosx)cancelando "1 + cosx", quedara:
1 = 2(1 - cosx)1 = 2 - 2cosx 2cosx = 1
21
xcos = x = 60; 300
pero el factor cancelado se iguala a cero (0) para noperder soluciones:
1 + cosx = 0cosx = -1 x = 180
las dos primeras soluciones positivas son: 60 y 180 suma = 240
Aplicacin:
Sume las tres primeras soluciones positivas de:2cos2x - 1 = senx
Rpta.: 450
4. Resolver: sec2x = 3 tanx + 1 ; indicando el nmerode soluciones positivas menores que una vuelta
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Resolucin:Recuerde que: sec2 = 1 + tan2En la ecuacin:
1xtan3xsec2 += 1 + tan2x = 3 tanx + 1quedara:
tan2x = 3 tanxcancelando "tanx", queda:
tanx = 3 x = 60; 240; 420; 600; ...pero el factor cancelado:
tanx = 0 x = 0; 180; 360; 540; ...pero piden soluciones positivas y menores que unavuelta, las cuales son:
x = 60; 180; 240 Rpta.: 3
Problemas para la clase
Aplicacin:
Seale el nmero de soluciones positivas y menoresque una vuelta, de la ecuacin:
tan2x = secx + 1
Rpta.: 3
5. Resolver:
3-xcsc
1-
xsec1
-xcot
1-
xtan1
-xcos
1-
xsen1
222222=
indicando el nmero de soluciones positivas y menoresque una vuelta.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
Resolucin:Transformando la ecuacin; recuerde que:
xcotxtan
1;xsec
xcos1
;xcscsenx
1===
senxxcsc
1;xcos
xsec1
;xtanxcot
1===
luego quedara:csc2x - sec2x - cot2x - tan2x - cos2x - sen2x = -3
agrupando:
3-)xsenxcos(-)xtanx(sec-xcot-xcsc1
2222
1
22=++
-(sec2x + tan2x) = -3 sec2x + tan2x = 3
recuerde que:sec2 = 1 + tan2
luego:1 + tan2x + tan2x = 3 2tan2x = 2tan2x = 1 tanx = 1 tanx = -1
si:tanx = 1 x = 45; 225
tanx = -1 x = 135; 315 hay 4 soluciones
Aplicacin:
Seale el nmero de soluciones positivas y menoresque una vuelta de la ecuacin:
4sen4x - 5sen2x + 1 = 0
Rpta.: 6
6. Resolver: senx - 3 cosx = 1 ; indicando el menorvalor positivo que cumple.
a) 30 b) 60 c) 90d) 135 e) 180
Resolucin:En el dato: senx - 3 cosx = 1
senx.
60cos21
- cosx.
60sen23
=21
tendramos:
21
xcos.sen60-60cos.senx =
sen(x - 60) =21
Luego:x - 60 = 30; 150
x = 90; 210 xmenor = 90
Aplicacin:
Seale el menor valor positivo de x que verifica laecuacin: 3senx + 4cosx = 5
Rpta.: x = 37
7. Seale el menor valor positivo de x que cumple:
2 2 sen(x + 45) + senx = 23xcos4 +
a) 30 b) 15 c) 60d) 150 e) 45
Resolucin:
En el dato: 2 2 sen(x + 45) + senx = 23xcos4 +
2 2 (senx.cos45 + sen45.cosx) + senx = 24
cosx +23
2 2 (senx.2
1 +
2
1cosx) + senx = 2cosx +
23
2(senx + cosx) + senx = 2cosx +23
3senx + 2cosx = 2cosx + 23
3senx =23
senx =21
x = 30
Aplicacin:Seale el menor valor positivo de x que cumple:
2sen(x + 30) = cosx +23
tanx
Rpta.: 60
8. Hallar el menor valor positivo de x que cumple:
33
xcosx5cossenxx5sen
=
+
+
a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25
Resolucin:
En el dato:
33
xcosx5cossenxx5sen
=
+
+
transformando a producto:
33
x2cos.x3cos2x2cos.x3sen2
=
reduciendo:
tan3x =33
3x = 30 x = 10
Aplicacin:
Hallar el menor valor positivo de x que cumple:
3xcosx7cos
senx-x7sen=
+Rpta.: x = 20
9. Resuelva: sen2x = cosx
a) npi + (-1)n6pi
; n ZZ b) 2npi 2pi
; n ZZ
c) 2npi 4pi
d) a b
e) a c
Resolucin:
En la ecuacin:sen2x = cosx
2senx.cosx = cosxreduciendo:
2senx = 1 senx =21
; xp = arcsen 21
=6pi
x = npi + (-1)nxp x = npi + (-1)n
6pi
pero, el factor cancelado:
cosx = 0; xp = arccos0 = 2pi
x = 2npi xp x = 2npi 2pi
x {npi + (-1)n6pi
; n ZZ} {2npi 2pi
; n ZZ}
Aplicacin:Resuelva: sen2x = senx
Rpta.: x {npi; n ZZ} {2npi 3pi
; n ZZ}
10.Resolver:sen3x.cscx = 2 (n ZZ)
a)3
npi
pi b)3
n2pi
pi
c)6
npi
pi d)12
npi
pi
e)4
npi
pi
Resolucin:En la ecuacin recuerde: sen3 = sen (2cos2 + 1)luego: senx(2cos2x + 1).cscx = 2; pero: senx.cscx = 1queda:
2cos2x + 1 = 2 cos2x =21
xp = arccos 21
=3pi
xg = 2xluego:
xg = 2npi xp 2x = 2npi 3pi
x = npi 6
Aplicacin:Resuelve: cos3x.secx = 1
Rpta.: npi; n ZZ
11.Resolver: sen5x + senx = sen3xsealando un conjunto solucin (n ZZ)
a)6npi
b)6
npi
pi c)3npi
d) a b e) b c
Resolucin:En la ecuacin, recuerde:
)2-
cos()2
(sen2sensen+
=+sen5x + senx = sen3x2sen3x.cos2x = sen3x
cancelando "sen3x", quedara:2cos2x = 1
;21
x2cos =32
1arccosxp
pi== xg = 2x
luego:
3n2x2
pipi=
6nx
pipi=
pero el factor cancelado se iguala a 0; esto es:sen3x = 0; xp = arcsen0 = 0
xg = 3x3x = npi + (-1)n xp 3x = npi
3n
xpi
=
x = {npi 6pi
; n ZZ} {3npi
; n ZZ}
Aplicacin:Resuelve:
sen7x - senx = sen3x (n ZZ)
Rpta.: {3npi
; n ZZ} {2npi
12pi
; n ZZ}
12.Resolver:
3xcosx3cos
senxx3sen=
+
+
a)3
npi
+pi b)62
n pi+
pi
c)3
npi
pi d)62
n pi
pi
e)12
npi
pi
Resolucin:Transformando numerador y denominador a producto:
3xcosx3cos
senxx3sen=
+
+
3xcos.x2cos2xcos.x2sen2
=
recuerde:
=
tancossen
reduciendo:tan2x = 3 ; note que no hacemos: cosx = 0
xp = arctan 3 = 3pi
xg = 2x
luego:
xg = npi + xp 2x = npi + 3
62n
xpi
+pi
=
Aplicacin:Resolver:
1x7cos-xcos
senx-x7sen= (n ZZ)
Rpta.: {4npi
+16pi
; n ZZ}
13.Resolver: senx + sen2x + sen3x = cosx + cos2x + cos3x
a)42
n pi+
pi; n ZZ b)
3n2
pipi
c)32
n2pi
pi d) a b
e) a c
Resolucin:En la ecuacin, transformando a producto:
senx + sen2x + sen3x = cosx + cos2x + cos3x
x2cosxcosx3cosx2sensenxx3senxcos.x2cos2xcos.x2sen2
++=++
factorizando:sen2x(2cosx + 1) = cos2x(2cosx + 1)
cancelando, quedara:
sen2x = cos2x tan2x = 1; xp = arctan1 = 4pi
xg = 2xxg = npi + xp
2x = npi +2pi
42n
xpi
+pi
=
pero el factor cancelado se iguala a cero (0); as:
2cosx + 1 = 0 cosx =21
- ; xp = arccos )21
-(
xp = -arccos 21
+ pi
xp = 32
3-
pi=pi+
pi
xg = 2npi xp
32
n2xpi
pi=
x {2npi
+4pi
; n ZZ} {2n 32pi
; n ZZ}
Aplicacin:Resolver:
senx + sen3x + sen5x = 2cos2x + 1
Rpta.: {3npi
+ (-1)n6pi
; n ZZ} {npi 3pi
; n ZZ}
14.Resolver:sen5x + senx = 5(cos5x + cosx) (n ZZ)
a) 5arctan21
2n
+pi
b) 5arctan31
3n
+pi
c) n 4pi
d) a c
e) b c
Resolucin:Transformando a producto:
sen5x + senx = 5(cos5x + cosx)2sen3x.cos2x = 5.2cos3x.cos2x
reduciendo, queda:sen3x = 5cos3x (cancelamos: cos2x)
5x3cosx3sen
=
tan3x = 5; xp = arctan5
xg = 3xluego:
xg = npi + xp3x = npi + arctan5
5arctan31
3n
x +pi
=
pero, el factor cancelado se iguala a cero; as:
cos2x = 0; xp = arccos0 = 2
xg = 2xluego:
xg = 2npi xp
2x = 2npi 2
4nx
pipi=
}4
n{}5arctan31
3n
{xpi
pi+pi
= ; n ZZ
Aplicacin:Resolver:
sen2x = 3cos2x (n ZZ)
Rpta.: }23
arctann{}2
n2{ +pipi
pi ; n ZZ
15.Resolver: sen2x + sen22x = cos2x + cos22x
a)63
n2 pi
pib)
2n2
pipi
c)33
n2 pi
pid) a b
e) b c
Resolucin:Recuerde que:
cos2 - sen2 = cos2en la ecuacin:
sen2x + sen22x = cos2x + cos22x
x4cos
22
x2cos
22 x2sen-x2cosxsen-xcos0 +=
tendramos:cos4x + cos2x = 0
transforma a producto:2cos3x.cosx = 0
igualando a cero cada factor:
i. cos3x = 0; xp = arccos0 = 2pi
xg = 3x
xg = 2npi xp 3x = 2npi 2pi
63n2
xpi
pi
=
ii. cosx = 0; xp = arccos0 = 2pi
xg = x
xg = 2npi xp 2n2x
pipi=
}2
n2{}63
n2{x
pipi
pi
pi= ; n ZZ
Aplicacin:Resolver:
sen4x + sen42x + sen43x = cos4x + cos42x + cos43x
Rpta.: {2npi
8pi
; n ZZ} {npi 3pi
; n ZZ}
Bloque I
1. Seale un valor agudo de x que cumpla:senx.cotx + cosx = 1
a) 30 b) 45 c) 60d) 2230' e) 6730'
2. Seale un valor agudo de x que cumpla:
2sen2x + cos2x =23
Problemas para la clase
a)3pi
b)4pi
c)5pi
d)6pi
e)8pi
3. Seale un valor agudo de x que cumpla:
3 senx + cosx = 2
a) 30 b) 45 c) 60d) 15 e) 75
4. Seale un valor de x que cumpla: senx + cosx = 2
a) 45 b) 30 c) 135d) 120 e) 150
5. Seale un valor de x que verifica:3senx + 4cosx = 5
a) 30 b) 45 c) 37d) 53 e) 60
6. Sume las tres primeras soluciones positivas de laecuacin: sen2x = cosx
a) 180 b) 90 c) 150d) 270 e) 360
7. Sume las dos primeras soluciones positivas de laecuacin: sen3x - senx = cos2x
a) 60 b) 45 c) 75d) 105 e) 135
8. Sume las tres primeras soluciones positivas de laecuacin: sen2x - senx = 2cosx - 1
a) 360 b) 540 c) 450d) 270 e) 720
9. Sume las dos primeras soluciones positivas de laecuacin:
xcosx5cossenxx5sen
+
+ = 1
a) pi b)2pi
c)4pi
d)23pi
e)32pi
10.Sume las dos primeras soluciones positivas de laecuacin: sen5x + senx = cosx - cos5x
a)127pi
b)247pi
c)1211pi
d)2411pi
e)125pi
11.Seale la solucin general de la ecuacin:3cosx.tanx - senx = 1
a) npi + (-1)n4pi
b) npi + (-1)n3pi
c) npi + (-1)n6pi
d) n2pi
+ (-1)n4pi
e) n2pi
+ (-1)n6pi
12.Seale la solucin general de la ecuacin:3senx.cotx - cosx = 1
a) 2npi 6pi
b) 2npi 4pi
c) 2npi 3pi
d) 2npi 8pi
e) 2npi 5pi
13.Seale la solucin general de la ecuacin:
5senx.cotx - 3cosx = 3
a) 2npi 6pi
b) 2npi 4pi
c) 2npi 3pi
d) 2npi 8pi
e) 2npi 5pi
14.Resolver: 2sen2x = senx
a) npi b) 2npi arccos41
c) 2npi arccos31
d) a y b
e) a y c
15.Resolver:
xcosx3cossenxx3sen
+
+ = 2
a) npi + arctan2
b) npi +21
arctan2
c) n2pi
+21
arctan2
d) 2npi arctan2
e) 2npi 21
arctan2
Bloque II
1. Seale un valor agudo de x que cumpla:tanx.cosx + senx = 2
a) 30 b) 45 c) 60d) 2230' e) 6730'
2. Seale un valor agudo de x que cumpla:
4sen2x + cos2x =47
a)3pi
b)4pi
c)6pi
d)8pi
e)10pi
3. Seale un valor agudo de x que cumpla:
senx + 3 cosx = 2
a) 30 b) 15 c) 60d) 45 e) 75
4. Seale un valor de x que verifica: senx - cosx = 2
1
a) 15 b) 75 c) 30d) 45 e) 60
5. Seale un valor de x que verifica: 4senx - 3cosx =25
a) 37 b) 53 c) 67d) 83 e) 73
6. Sume las tres primeras soluciones positivas de laecuacin: sen2x = senx
a) 180 b) 360 c) 450d) 540 e) 720
7. Sume las dos primeras soluciones positivas de laecuacin: cos3x + cosx = cos2x
a) 45 b) 75 c) 105d) 135 e) 180
8. Sume las tres primeras soluciones positivas de laecuacin: sen4x + sen2x = 2cos2x + 1
a) 180 b) 225 c) 315d) 270 e) 135
9. Sume las dos primeras soluciones positivas de laecuacin:
x4cossenx-x7sen
= 1
a) pi b)2pi
c)3pi
d)32pi
e)65pi
10.Sume las dos primeras soluciones positivas de laecuacin:
senx - sen3x + sen5x = cosx - cos3x + cos5x
a)3pi
b)4pi
c)6pi
d)2pi
e) pi
11.Seale la solucin general de la ecuacin:
5cosx.tanx + senx = 3 2
a) npi + (-1)n4pi
b) npi + (-1)n3pi
c) npi + (-1)n6pi
d) npi + (-1)n8pi
e) npi + (-1)n5pi
12.Seale la solucin general de la ecuacin:
5senx.cotx - 3cosx = 3
a) 2n 6pi
b) 2n 4pi
c) 2n 3pi
d) n + 8pi
e) 2n + 5pi
13.Seale la solucin general de la ecuacin:secx.cscx - cotx = 1
a) npi +3pi
b) npi +4pi
c) npi +6pi
d) npi +10pi
e) npi +12pi
14.Resolver: 3sen2x = cosx
a) 2npi 2pi
b) npi + (-1)narcsen61
c) 2npi 4pi
d) a y be) b y c
15.Resolver:
2x2cosx4cosx2senx4sen
=
+
+
a) pip + arctan 2 b) n 3pi
+ arctan 2
c) npi +31
arctan 2 d) n 3pi
+31
arctan 2
e) n3pi
+ 3arctan 2
Bloque III
1. Resolver: sen3x.cscx + cos3x.secx = 2
a) npi 3pi
b) npi 6pi
c) npi 8pi
d) npi 4pi
e) npi 12pi
2. Resolver: sen2x + sen22x = sen23x + sen24x
a) n2pi
b) n5pi
c) 2npi 2pi
d) a b
e) a b c
3. Resolver:senx+sen3x+sen5x+sen7x = cosx + cos3x + cos5x + cos7x
a) n4pi
+16pi
b) 2npi 2pi
c) npi 4pi
d) a b
e) a b c
4. Resolver: secx = 6senx
a) npi +2)1-( n
arcsen61
b) n2pi
+2)1-( n
arcsen61
c) npi +2)1-( n
arcsen31
d) n2pi
+2)1-( n
arcsen31
e) n4pi
+2)1-( n
arcsen31
5. Resolver:
(sen3x - senx)(cos5x + cos3x) =41
a) npi + (-1)n24pi
b) npi + (-1)n48pi
c) n2pi
+ (-1)n48pi
d) n8pi
+ (-1)n24pi
e) n8pi
+ (-1)n48pi
6. Resolver: cotx - tanx - 2tan2x = 4
a) n4pi
+4pi
b) npi +4pi
c) n4pi
+16pi
d) n4pi
+8pi
e) n8pi
+16pi
7. Resolver el sistema:
senx.cosy =43
seny.cosx =41
a) x = 60 b) x = 30 c) x = 45y = 30 y = 60 y = 45
d) x = 45 e) x = 30y = 30 y = 45
8. Resolver el sistema:
cosx.cosy =43
senx.seny =43
a) x = 30 b) x = 30y = 30 y = 60
c) x = 60 d) a o by = 30
e) b o c
9. Resolver el sistema: |senx - 1| + cos2y = 0
a) x = n pi + (-1)n2pi
b) y = 2npi 2pi
c) x = npi +4pi
d) a be) b c
10.Resolver el sistema: 2senx = tany + coty
a) y = npi +4pi
x = npi + (-1)n2pi
b) y = npi -4pi
x = npi + (-1)n2pi
c) y = npi +3pi
x = npi + (-1)n6pi
d) a b
e) b c
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Resolucin de tringulosoblicungulos
Captulo VI
Objetivo
El objetivo del presente captulo es determinar las medidasde los elementos bsicos de un tringulo; es decir sus treslados y tres ngulos, a partir de ciertos datos conocidos,utilizando propiedades geomtricas y otras que son propiasdel curso, tales como:
I. Teorema de los senos
En todo tringulo se cumple que sus lados sonproporcionales a los senos de los ngulos al cual seoponen; siendo la constante de proporcionalidad, eldimetro de la circunferencia circunscrita a dichotringulo.
En el tringulo ABC del grfico se cumple:
CA
c
a
b
R
B
R: circunradio
R2senC
csenB
bsenA
a===
De donde:
a senB = b senA a = 2R senAb senC = c senB b = 2R senBc senA = a senC c = 2R senC
II. Teorema de los cosenos
En todo tringulo se cumple que el cuadrado de un ladoes igual a la suma de los cuadrados de los otros dosmenos el doble producto de los mismos multiplicadospor el coseno del ngulo que forman.
B
CA
ac
b
a = b + c - 2bc.cosA2 2 2
b = a + c - 2ac.cosB2 2 2
c = a + b - 2ab.cosC2 2 2
III. Teorema de las proyecciones
En todo tringulo se cumple que un lado es igual a lasuma de los productos de cada uno de los otros ladoscon el coseno del ngulo que forman con el primer lado.
CA
B
ac
b
a = b cosC + c cosB
b = a cosC + c cosA
c = a cosB + b cosA
Algunas demostraciones
I. T. de los senos:
A C
B
Pac
b
H
En el grfico tenemos:
AHB: BH = c senA
BHC: BH = a senC c senA = a senC senCc
senAa
=
De modo similar:
APB: AP = c senB
APC: AP = b senC c senB = b senC senCc
senBb
=
Luego:
senCc
senBb
senAa
== ... (1)
RR
S
A
B
C
c
En la circunferencia, trazamos el dimetro AS y noteque:
BSA = BCA = C
ABS:R2c
= senC senC
c = 2R ... (2)
Igualando (1) y (2):
R2senC
csenB
bsenA
a===
II. T. de los cosenos
A C
B
ac
b
H
c senA
b - c cosAc cosA
Note que en:
AHB: BH = c senAAH = c cosA
BHC: a 2 = (c senA)2 + (b - c cosA)2
a2 = c2 Asen2 + b2 + c2 Acos2 - 2bc.cosA
a2 = b2 + c2( 1
22 AcosAsen + ) - 2bc.cosA
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
Anlogamente:
b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
III. T. de las proyecciones
A C
B
ac
b
H a cosCc cosA
Tenemos:
AHB: AH = c cosABHC: HC = a cosC
Luego:b = AH + HC
b = c cosA + a cosC
Anlogamente:
a = b cosC + c cosB c = a cosB + b cosA
1. En un tringulo ABC: A = 60; b = 2; B = 45. Calculara.
a) 2 3 b) 2 2 c) 4d) 6 e) 2 6
Resolucin:
Graficando el problema, tenemos:
60 45A B
C
2 a
senBb
senAa
=
=
=
45sen60sen2
a45sen
260sena
2
2.
2
32
22
23
2
a =
= a = 6
Problemas resueltos
Aplicacin:En un tringulo ABC: a = 4; B = 105 y C = 60.Calcular c.
Rpta.: c = 2 6 ( 3 + 1)
2. En un tringulo ABC: A = 60; C = 45; a = 3 - 1.Calcular b.
a) 2 b) 32
c)26
d)36
e)66
Resolucin:
Graficando, tenemos:A = 60 y C = 45 B = 75
60 45A C
B
3 - 175
b
pero:
=
60sen1-3
75senb
b = ( 3 - 1)
60sen75sen
234
)26(
)1-3(b
+
=
Operando:
32
1)-3(2
32
)13)(1-3(2
32
)26()1-3(b =
+=
+=
3
3.
3
2b = b =
36
Aplicacin:
En un tringulo ABC: A = 75; B = 30; b = 2 2 .Calcular c.
Rpta.: 2( 3 + 1)
3. En un tringulo ABC: a = 2b;hallar:
senBsenA
E =
a) 1 b) 2 c)21
d) 4 e)41
Resolucin:
Del grfico:
c
BC
A
b
ase tiene:
senBb
senAa
=
EsenBsenA
ba
=
E = =ab
2bb
E = 2
Aplicacin:
En un tringulo ABC: a2 = nbc; hallar:
senC.senBAsen
L2
=
Rpta.: L = n
4. En un tringulo ABC: a = 6 y A = 30, cunto mide elcircunradio del tringulo ABC?
a) 2 b) 3 c) 6d) 9 e) F.D.
Resolucin:
Del grfico:
a = 6
CA
B
c
b30
tenemos que:
R2senA
a= R2
30sen6
=
213
30sen3
R ==
R = 6
Aplicacin:
En un tringulo ABC: b = 12, B = 45, cunto mide sucircunradio?
Rpta.: 12 2
5. En un tringulo ABC: a = 2 3 , A = 60; B = 45.Calcular b.
a) 2 b) 2 2 c) 3 2d) 2 e) 4
Resolucin:
Del grfico:
BA
C
b
60 45
a = 2 3
se tiene que:
senBb
senAa
= senAasenB
b =
reemplazando valores:
23
22
.32
60sen45sen.32
b == b = 2 2
Aplicacin:
En un tringulo ABC: a = 2, A = 30, b = 2 ; calcularsenB.
Rpta.:42
6. En un tringulo ABC; simplificar:
csenAasenCbsenAasenB
E+
+= ; si: b = 3c
a) 3 b)31
c) 6
d)61
e) 9
Resolucin:
Por propiedad:
=
=
csenAasenCbsenAasenB
E =csenAcsenAbsenAbsenA
+
+=
2bsenA2csenA
cb
E =
pero: b = 3c cc3
E = E = 3
Aplicacin:
En un tringulo ABC, reducir:
senBcsenCbsenAcsenCa
L+
+= ; si: a = 2b
Rpta.: L = 2
7. En un tringulo ABC; reducir:
J =senC.senB.senA
CcoscBcosbAcosa ++
si su circunradio es R.
a) R b) 2R c) 4R
d)2R
e)4R
Resolucin:
Sabemos que:a = 2RsenA; b = 2RsenB; c = 2RsenC
Luego:
J =senC.senB.senA
CcosRsenC2BcosRsenB2AcosRsenA2 ++
J =senC.senB.senA
C2RsenB2RsenA2Rsen ++
J =senC.senB.senA
)C2senB2senA2sen(R ++
Pero, como: A + B + C = 180 sen2A + sen2B + sen2C = 4senA.senB.senC
J =senC.senB.senAsenC.senB.senA4
R
J = 4R
Aplicacin:
En un tringulo ABC, reducir:
J = )C-B(senc-Bcosa2
si su circunradio es R.
Rpta.: J = 2R
8. En un tringulo ABC:7c
5b
3a
== ; calcular C
a) 60 b) 120 c) 135d) 30 e) 45
Resolucin:
Graficando:
CA
B
a = 3kc = 7k
b = 5k
aplicando el teorema de los cosenos:
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC 49k2 = 9k2 + 25k2 -2.3k.5kcosC
49 = 25 + 9 - 30cosC 15 = -30cosC
21
-Ccos = C = 120
Aplicacin:
En un tringulo ABC:
7c
5b
3a
==
Calcular B.
Rpta.:1411
arccos
9. En un tringulo ABC:a2 = b2 + c2 + bc
hallar A
a) 60 b) 120 c) 135d) 150 e) 30
Resolucin:
De la condicin:a2 = b2 + c2 + bc
b2 + c2 - 2bc cosA = b2 + c2 + bc -2bc cosA = bc
21
-Acos = A = 120
Aplicacin:
En un tringulo ABC:
b2 = a2 + c2 -21
ac
Calcular "B"
Rpta.: arccos41
10.En un tringulo ABC:
4senC
3senB
2senA
==
Calcular B.
a) arccos167
b) arccos117
c) arccos1611
d) arccos1511
e) arccos157
Resolucin:
Graficando:
AB
C
2k 3k
4k
4senC
3senB
2senA
==
=
=
=
=====
k4ck3bk2a
k4c
3b
2a
4RsenC2
3RsenB2
2RsenA2
Luego:(3k)2 = (4k)2 + (2k)2 - 2(4k)(2k)cosB9 = 16 + 4 - 16cosB 16cosB = 11
cosB =1611
B = arccos1611
Aplicacin:
En un tringulo ABC:
4senC
3senB
2senA
==
Calcular C.
Rpta.: arccos
241
-
11.En un tringulo ABC; reducir:
222
222
b-ca
c-baJ
+
+=
a)BtanAtan
b) c)
d) e)
Resolucin:
Del teorema de los cosenos:
c2 = a2 + b2 - 2abcosC 2abcosC = a2 + b2 - c2b2 = a2 + c2 - 2accosB 2accosB = a2 + c2 - b2
En la expresin:
pero; por el teorema de los senos:b = 2RsenBc = 2RsenC
en la expresin:
J = =
ordenando:
Aplicacin:
En un tringulo ABC, reducir:
Rpta.: 2secA
12.En un tringulo ABC, reducir:
E = - cosA
a) cosA b) 2cosA c) - cosAd) - 2cosA e) -1
Resolucin:
En la expresin:
E = - cosA
se conoce:
b2 + c2 - a2 = 2bc.cosALuego:
E = - cosA
E = 2cosA - cosA E = cosA
Aplicacin:
En un tringulo ABC, reducir:
E =
Rpta.: E = 2a
13.El coseno del mayor ngulo de un tringulo cuyaslongitudes de sus lados son tres nmeros enteros yconsecutivos es igual a 1/5. Calcular el permetro dedicho tringulo.
a) 15 b) 10 c) 20d) 18 e) 19
Resolucin:
Segn los datos:
cos =
pero sabemos por el teorema de los cosenos:
( n + 1 )
2 = (n - 1)2 + n2 - 2(n - 1)n cos2(n - 1)n cos = (n - 1)2 + n2 - (n + 1)2
2(n - 1)n. = n2 - 2n + 1 + n2 - (n2 + 2n + 1)
(n - 1) = n2 - 4n
Ordenando:
(n - 1) = (n - 4) 2(n - 1) = 5(n - 4)
2n - 2 = 5n - 20 3n = 18Piden el permetro:
2p = n + n + n = 3n 2p = 18
Aplicacin:
En un tringulo, los lados son tres nmeros enterosconsecutivos y el ngulo mayor es el doble del menor.Cul es el permetro del tringulo?
Rpta.: 2p = 15
14.En un tringulo ABC; reducir:
J =
si su permetro es 20 cm.
a) 10 cm b) 20 c) 40d) 8 e) N.A.
Resolucin:
Como:a = bcosC + ccosB a - b cosC = c cosBb = acosC + ccosA b - c cosA = a cosCc = acosB + bcosA c - a cosB = b cosA
Luego:
J = J = 20 cm
Aplicacin:
En un tringulo ABC:
y
Hallar C.
Rpta.: C = 75
15.En un tringulo ABC de permetro 20 cm, calcular:K = (a + b)cosC + (b + c)cosA + (c + a)cosB
a) 10 cm b) 20 c) 30d) 40 e) 50
Resolucin:
Operando en la expresin:K = acosC + bcosC + bcosA + ccosA + ccosB + acosBordenando:
K = a + b + c = 2p K = 20
Aplicacin:
En un tringulo ABC, su permetro es 2p y adems:
a cosB + b cosC + c cosA = kHallar:
J = a cosC + c cosB + b cosA
Rpta.: 2p - k
Bloque I
1. En un tringulo ABC: A = 30; C = 45 y c = 2 .Calcular a.
a) b) 2 c) 4d) 1 e) 4
2. En un tringulo ABC: A = 60; a = 2 yb = 1. Calcular B.
a) arcsen b) arcsen
c) arcsen d) arcsen
e) 30
3. En un tringulo ABC: a = 2 y b = 3. Calcular:
Q =
a) b) 3 c)
d) e) 5
4. En un tringulo ABC, reducir: (R: circunradio) Q = a(senB - senC) + b(senC - senA) + c(senA - senB)
a) R b) 2R c) 0
d) e) 1
5. En un tringulo ABC: (R: circunradio)a2 + b2 + c2 = nR2
Hallar:Q = sen2A + sen2B + sen2C
a) n b) c)
d) e)
6. En un tringulo ABC: a = 3; c = 2 y B = 60.Calcular b.
a) 7 b) 19 c)d) e) 2
7. En un tringulo ABC: a = 3; b = 4 y C = 120.Calcular c.
a) 13 b) c) 37d) e)
8. En un tringulo ABC: ; calcular B..
a) arccos b) arccos
Problemas para la clase
c) arccos d) arccos
e) arccos
9 En un tringulo ABC: a2 = b2 + c2 - bc; calcular A..
a) arccos b) arccos
c) arccos d) arccos
e) arccos
10.En un tringulo ABC, reducir:
Q =
a) b) c)
d) e)
Bloque II
1. En un tringulo ABC: A = 30; B = 53 y a = 5.Calcular b.
a) 6 b) 8 c) 10d) 4 e) 6
2. En un tringulo ABC: a = 2; c = 3 y C = 53.Calcular A.
a) arcsen b) arcsen
c) arcsen d) arcsen
e) arcsen
3. En un tringulo ABC: a = 3 y b = 4. Calcular:
Q =
a) 1,2 b) 2,1 c) 2,2d) 2,3 e) 2,4
4. En un tringulo ABC, reducir:
Q =
a) b)
c) d)
e)
5. En un tringulo ABC: (R: circunradio)a b + b c + c a = n R
2
Hallar:Q = senA.senB.senC(cscA + cscB + cscC)
a) n b) c)
d) e)
6. En un tringulo ABC: a = 2; b = 5 y C = 53.Calcular c.
a) 7 b) c) 17d) e)
7. En un tringulo ABC: a = 2 ; c = 3 y B = 150.Calcular b.
a) 3 b) c) 13d) e)
8. En un tringulo ABC: ; calcular B..
a) arccos b) arccos
c) arccos d) arccos
e) arccos
9. En un tringulo ABC: b2 = a2 + c2 - ac; calcular B.
a) 30 b) 60 c) 45d) 37 e) 53
10.En un tringulo ABC, reducir:
Q =
a) b) c)
d) e)
Bloque III
1. En un tringulo ABC: (R: circunradio)a secA + b secB + c secC = 5R
calcular:Q = tanA.tanB.tanC
a) 5 b) c)
d) e)
2. En un tringulo ABC, reducir:
Q =
(R: circunradio)
a) R2 b) 2R2 c) 2R-2
d) R-2 e) R-2
3. En un tringulo ABC: A = 2 B; a = 3 y b = 2.Calcular B.
a) arccos b) arccos
c) arccos d) arccos
e) arccos
4. En un tringulo ABC: A = 3 C; a = 5 y c = 3.Calcular C.
a) arccos b) arccos
c) arccos d) arccos
e) arccos
5. En un tringulo ABC: a2 + b2 + c2 = mR2(R: circunradio)Hallar: Q = cos2A + cos2B + cos2C
a) b) c)
d) e)
6. Si el tringulo ABC es equiltero, calcular , si adems:
a) arccos b) arccos
c) arccos d) arccos
e) arccos
7. En un tringulo ABC, de lados enteros consecutivos, elngulo mayor es igual al doble del menor. Calcular elpermetro del tringulo.
a) 15 cm b) 18 c) 30d) 36 e) 24
8. En un tringulo ABC:
p(p - c) =
Calcular C. (p: semipermetro)
a) 60 b) 30 c) 90d) 120 e) 150
9. En un tringulo ABC; mb es la mediana relativa al ladob. Reducir:
Q =
a) 1 b) 2 c) -2
d) -1 e) -
10.En un paralelogramo, sus diagonales miden m y n(m > n) y uno de los ngulos del paralelogramo mide ( es agudo). Hallar el rea del paralelogramo enfuncin de m, n y .
a) (m2 - n2)tan b) tan
c) tan d) cot
e) cot
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Lmites trigonomtricos
Captulo VII
IntroduccinEn la figura se muestra el grfico de: y = f(x) = 2x
2 - 1
Note que cuando "x" se aproxima a 2; f(x) se aproxima a7. Esto va a significar que el lmite de f(x) cuando "x"tiende a 2 es igual a 7; lo cual se va a representar as:
En una funcin trigonomtrica, tambin podemosanalizar:
Ahora bien, si tenemos en cuenta el grfico siguiente;tenemos que cuando:
Ahora bien, para que el exista, los lmites
laterales deben existir y ser iguales; es decir:
Si los lmites laterales son diferentes, el no
existe ( : )
Por ejemplo:
Entendamos entonces el lmite de una funcin; comoaquel valor al que tiende una funcin, conforme suvariable independiente se aproxima a otro. Recordemosalgunas propiedades sobre lmites de funciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. Si: f(x) < g(x) < h(x)
(en un intervalo abierto que contiene a "xo")
Lmites trigonomtricos
Algunos lmites de funciones trigonomtricas, son unaporte valioso para el clculo de funciones mscomplejas. Los principales lmites trigonomtricos autilizar son:
Una demostracin muy conocida es la siguiente:
i) AM > AMd(AM); M(cosx; senx)
x A(1;0)
x >
x >
x >
x2 > 2 - 2cosx
cosx > 1 -
Pero: cosx 1 (teora)
)
Luego:
Como:
ii) SOMA < SMOA < SOAT .... (S : reas)
Pero:
iii) De (): senx < x < tanx
cosx < < 1
Como:
A partir de los lmites anteriores se puede deducir lossiguientes:
Por ejemplo:
;
;
Funciones continuas
Una funcin y = f(x) es continua en el punto "xo", si:
Por ejemplo, en los grficos:
1. Calcular:
a) 2 b) 5 c) 10d) 6 e) 8
Resolucin:
En el lmite:
J = 3 + 2 J = 5
Aplicacin:
Calcular:
Rpta.:
2. Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Resolucin:
Desdoblando en fracciones homogneas:
J = 1 + 3 - 1 J = 3
Aplicacin:
Halle:
Rpta.: J = 2
3. Calcular:
a) 5 b) 10 c) 100d) 20 e) 40
Resolucin:
En la expresin:
Desdoblando el lmite:
J = 5.2 J = 10
Aplicacin:
Halle:
Rpta.: J = 6
4. Calcular:
a) 5 b) 2 c) 0,4d) 2,5 e) 0,25
Resolucin:
En la expresin:
Problemas resueltos
Dando forma a la expresin para aplicar propiedad:
..... dividimos entre "x"
Desdoblamos el lmite:
Aplicacin:
Hallar:
Rpta.: J = 6
5. Calcular:
a) 12 b) 8 c) 24d) 10 e) 16
Resolucin:
En la expresin:
Transformando a producto el numerador:
Desdoblando el lmite:
J = 2 . 3 . 4 J = 24
Aplicacin:
Hallar:
Rpta.: J = 8
6. Calcular:
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e)
Resolucin:
De la expresin:
Transformando a producto el numerador:
...... (sen2x = 2senx.cosx)
Ordenando: J = J = 4
Aplicacin:Calcular:
Rpta.: J = 6
7. Calcular:
a) 5 b) 10 c) 25d) 625 e) 100
Resolucin:
Recuerde que: 1 - cos = 2sen2
Luego en la expresin:
Por propiedad:
J =
J =
Evaluando los lmites: J = J = 9
Aplicacin:
Calcular:
Rpta.: J = 25
8. Calcular:
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16
Resolucin:En la expresin:
J = 2(2)2 J = 8
Aplicacin:
Hallar:
Rpta.: J = 18
9. Calcular:
a) 9 b) 2 c) 10d) 18 e) 20
Resolucin:
En la expresin, factorizando "tanx"
J = 2
J = 2 . 1. 9 J = 18
Aplicacin:
Calcular:
Rpta.: J = 32
10.Calcular:
a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e)
Resolucin:
Note que a diferencia de los ejercicios anteriores, "x"no tiende a cero, sino a /2; entonces la idea es hacerun cambio de variable:
Como: x 0 ; sea: x - = h
x = h +
Luego:
Recuerde que: cos = senh .... (por reduccin
al IC)
Luego: J = 1
Aplicacin:
Hallar:
Rpta.: J = -1
11.Calcular:
a) 1 b) -1 c)
d) - e) 2
Resolucin:
Hacemos un cambio de variable: x pi (x - ) 0 ;sea: x - = y
x = + y
Luego:
; pero: cos = -sen
J =
Aplicacin:
Hallar:
Rpta.: J = -3/2
12.Calcular:
a) 1 b) 2 c) 4
d) e)
Resolucin:
Hacemos un cambio de variable como:
x 0 ; sea:
Luego:
J = J = 2
Aplicacin:Hallar:
Rpta.: J = 4
13.Calcular:
a) 1 b) -1 c)
d) - e) no existe
Resolucin:
Cuando hay valor absoluto, lo mejor es trabajar conlmites laterales
i)
ii)
Como:
Aplicacin:
Hallar:
Rpta.: J = no existe
14.Si la siguiente funcin:
Es continua en todo su dominio, calcular: J = A2 + B2
a) b) c) 5
d) 10 e)
Resolucin:
Como es continua en todo su dominio, lo es en cada
punto de l, as que vamos a analizar en
i) ; donde existe si sus lmites
laterales son iguales; es decir:
4sen - 1 = Acos + B 1 = A + B ..... (1)
ii) donde: existe si sus lmites
laterales son iguales;
es decir:
Acos + B = sen +1 B - A = 2 ........(2)
Luego, de (1) y (2):
A + B = 1
B - A = 2
Aplicacin:
Si la funcin:
y = f(x) =
es continua, hallar "A".
Rpta.: A = -2
15.Calcular:
a) e b) e2 c) e-1d) e-2 e) e3
Resolucin:
Para este tipo de problemas, debemos recordar que si:
es de la forma: 1 ; entonces se hace el
siguiente cambio:
e : base de los logaritmos neperianos
En el problema:
Hacemos el cambio:
............... ( )
En el lmite:
Reemplazando en ( ):
Aplicacin:
Hallar:
Rpta.: e-3/2
Problemas para la clase
Bloque I
1. Calcular:
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
2. Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Calcular:
a) 14 b) 7 c) 28d) 2 e) 49
4. Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 4
5. Calcular:
a) 5 b) c)
d) e)
6. Calcular:
a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32
7. Calcular:
a) 2 b) 6 c) 12d) 8 e) 24
8. Calcular:
a) 6 b) 25 c) 12d) 2 e) 3
9. Calcular:
a) 2 b) 4 c) 8
d) e)
10.Calcular:
a) 1 b) -1 c)
d) - e) No existe
11.Calcular:
a) 1 b) -1 c)
d) - e) No existe
12.Calcular:
a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e) -
13.Calcular:
a) 5 b) c) -
d) -5 e)
14.Calcular:
a) 1 b) 2 c) -1
d) -2 e)
15.Si la funcin:
y = f(x) =
es continua en todo su dominio; calcular "A"
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
Bloque II
1. Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
2. Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Calcular:
a) 5 b) 15 c) 10d) 12 e) 24
4. Calcular:
a) 2 b) 4 c) 8d) 24 e) 12
5. Calcular:
a) 3 b) 4 c) 12
d) e)
6. Calcular:
a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32
7. Calcular:
a) 10 b) 20 c) 40d) 80 e) 160
8. Calcular:
a) 3 b) 4 c) 5d) 7 e) 10
9. Calcular:
a) 1 b) 2 c)
d) 4 e)
10.Calcular:
a) 1 b) 2 c) -2d) -1 e) No existe
11.Calcular:
a) 3 b) c) -
d) -3 e) No existe
12.Calcular:
a) 1 b) 2 c) -1
d) -2 e)
13.Calcular:
a) 3 b) -3 c)
d) - e) -
14.Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3
d) e)
15.Si la funcin:
y = f(x) =
Es continua en todo su dominio; calcular "A".
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) -1
Bloque III
1. Hallar:
a) b)
c) d)
e) sen2
2. Hallar:
a) sen2 b) cos2 c) csc2d) sec2 e) cot2
3. Hallar:
a) e b) e2 c)
d) e4 e)
4. Hallar:
a) 15sen cos14 b) -15sen cos14c) 30sen cos14 d) -30sen cos14e) sen cos14
5. Hallar:
a) 5sen5 cos b) 5sen4 cosc) 5sen3 cos2 d) 5sen2 cos3e) 5sen cos4
6. Calcular:
a) e b) -e c) e2d) e1/2 e) e4
7. Calcular:
a) e b) 1 c) e2d) e-2 e) e-1
8. Calcular:
a) e b) e2 c) e-2d) e-1 e) 2e
9. Cul debe ser el valor de para que la funcin:
y = f(x) = ; sea continua en el intervalo
?
a) b) - c)
d) - e) -
10.Dada la funcin: y = f(x) = ; continua en , cul debera ser el valor de f(0) y f(1) para que f(x)sea continua en [0; 1]?
a) f(0) =2 b) f(0) = f(1) = 2
2
f(1) = 22
c) f(0) = f(1) =2 d) f(0) = f(1) = 3
2
e) f(0) = 22
f(1) =2
11.Hallar:
J = cos cos cos cos ..."n" factores
Si: n
a) b) c)
d) e)
12.Hallar:
J = (2cos -1) (2cos -1) (2cos -1)..... "n" factores
Si: n
a) b)
c) d)
e)
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA
Derivadastrigonomtricas
Captulo VIII
Introduccin
En el anlisis matemtico, el concepto de derivada deuna funcin ha sido abordado de distintas formas. Vamos arevisar el concepto, empezando desde el manejo de lasrectas secantes y tangentes a una curva; y que mejor conu n a f u n c i n c o n o c i d a : y = f (x) = x
2
* Tenemos la recta LS secante a: y = x2; que pase por
y Q, definido por un incremento "h" en "x",
como: (x + h; f(x + h))* La pendiente de esta recta es: m = tan que se calcu-
lara as:
m = tan =
* Si hacemos variar "h" sin dejar de pasar por el punto"P", de modo que h 0; la recta LS se convierte enrecta tangente y"m" pasara a convertirse en la pen-diente de la recta tangente a la curva: y = x2 enel punto "P".
Calculndose ahora de esta manera:
Para esta curva:
Si "P" fuese: (2; 4) m = 2(2) = 4(1; 1) m = 2(1) = 2(3; 9) m = 2(3) = 6
Definicin
Sea "f" una funcin definida en un intervalo I, se diceque "f" es derivable en un punto xo I respecto dela variable "x", si la funcin de "h":
es bien definida y tiene un lmite determinado (finito)cuando: h 0. Si es as, escribiremos:
y se llama derivada de la funcin "f" en el punto
xo.
Por ejemplo; si tuvisemos:
*
f'(x) = 3x2
*
f'(x) = 4x3
No podemos olvidar las diferentes propiedades sobrederivadas de funciones:
1. Si: f(x) = xn f'(x) = nx
n-1
2. Si: f(x) = g(x) h(x) f'(x) = g'(x) h'(x)
3. Si: f(x) = k f'(x) = 0; k : constante
4. Si: f(x) = kg(x) f'(x) = kg'(x)
5. Si: f(x) = g(x) . h(x) f'(x) = g'(x) h(x) + g(x) h'(x)
6. Si: f(x) = f''(x) =
As como tambin, algunas derivadas de ciertas funcionesconocidas:
1. Si: f(x) = f''(x) =
2. Si: f(x) = ex f'(x) = e
x
3. Si: f(x) = ax f'(x) = a
x.lna
4. Si: f(x) = lnx f'(x) =
5. Si: f(x) = logbx f'(x) =
Derivadas trigonomtricas
A partir de la definicin de la derivada de una funcinse pueden hallar las derivadas de las funcionestrigonomtricas, y a partir de ellas deducir propiedadesadicionales. Por ejemplo:
* Derivada de la F.T.: y = senx
Sabemos que dada:
para:
Transformando a producto el numerador:
f'(x) = cosx
* Derivada de la F.T.: y = cosx
Sabemos que dada:
Para:
Transformando a producto el numerador:
f'(x) = -senx
* Derivada de la F.T.: y = tanx
Tambin podemos derivar funciones, aplicandopropiedades generales sobre derivacin; por ejemplo;si:
En la funcin:
f'(x) =
Luego, reemplazando:
f'(x)= =
f'(x) = f'(x) = sec2x
De manera anloga se puede demostrar las derivadasde las dems funciones trigonomtricas; las cuales estnresumidas en el cuadro adjunto:
As tambin se pueden derivar funciones trigonomtricasms complejas; ya sea por definicin o por propiedadesgenerales. Por ejemplo derive:
1. y = f(x) = sen4x
Transformando:
f'(x) = 4cos4x
2. y = f(x) =
Por propiedad:
f'(x) =
Pero:
(senx + cosx)' = (senx)' + (cosx)' = cosx - senx(senx - cosx)' = (senx)' - (cosx)' = cosx - (-senx)
= cosx + senx
Luego:
f'(x) =
f'(x) = =
f'(x) =
Propiedades adicionales de deriva-cin y aplicaciones de las derivadas
Funcin compuesta
Por ejemplo:
1.
2.
3.
4.
5.
Casos particulares
Si: y = [f(x)]n y' = n[f(x)]
n-1 . f'(x)
Por ejemplo:
1. y = sen2x y' = 2(senx)1 .
y' = 2senx.cosx y' = sen2x
2. y = 4sen3x y' = 4.3(senx)2 .
y' = 12sen2xcosx
3. y = 2tan5x y' = 2.5(tanx)4 .
y' = 10tan4x.sec2x
4. y = sen3(x2 + x3)
y' = 3[sen(x2 + x3)]2 .
y' = 3sen2(x2 + x3) . (x2 + x3)' . [sen(x2 + x3)]'... (por el caso anterior)
y' = 3sen2(x2 + x3) . (2x + 3x2) cos (x2 + x3)y' = 3(2x + 3x2) sen2 (x2 + x3) cos (x2 + x3)
5. y =
y = (senx)1/3
y' = (senx)1/3-1(senx)'
y' = (senx)-2/3.cosx =
y' =
Si: y = Ln (f(x)) y' = . f''(x)
Por ejemplo:
1. y = Ln(senx) y' = .(senx)' = .cosx
y' = cotx
2. y = Ln(tanx) y' = . (tanx)' = . sec2x
y' =
y' =
y' = 2csc2x
Si:
Por ejemplo:
1. y = esenx y' = esenx . (senx)' y' = esenx.cosx
2. y = etanx y' = etanx . (tanx)' y' = etanx.sec2x
3. y = ecos2xy' = ecos2x.(cos2x)'y' = ecos2x . 2(-sen2x) y' = -2ecos2xsen2x
Recta tangente a una curva
Por ejemplo en la figura tenemos la curva: y = f(x) = x3 y la
recta tangente LT a ella en el punto de abscisas 2.
Hallamos: f'(x) = 3x2
Evaluamos: f'(2) = 3(2)2 = 12
Luego, la pendiente de LT es: mT = 12Si queremos hallar la ecuacin de LT aplicamos:
y - yo = mT (x - x0), donde:(xo; yo) es un punto de paso de la recta, que puede ser elpunto de tangencia mismo, por ejemplo:
En la figura el punto es (2;8), luego la ecuacin es:y - 8 = 12(x - 2)
LT : y = 12x - 16
Veamos ahora otro ejemplo con la funcin:y = f(x) = 4sen2x; y la recta tangente en el punto: x = /6(Hallaremos su ecuacin)
i. f(x) = 4sen2xf'(x) = 4(2cos2x) = 8cos2x
ii) mT =
mT = 4
iii) Tomando como punto de pasoLa ecuacin sera:
y -
y - LT : y = 4x +
Regla de L'HospitalLa regla de L'Hospital reduce la determinacin del lmite de
una funcin de la forma: ; en los casos de
indeterminacin de los tipos : , al clculo del lmite
de Evidentemente, si este es tambin indeterminado
de una de esas dos formas, su lmite a su vez, se reduce al
de y as sucesivamente.
Esto es:
Siempre que los lmites sean del tipo :
Por ejemplo, calcular:
1. (que ya sabemos que es 5)
Note que es de la forma :
Luego:
A = 5
2.
Al tomar el lmite resulta:
Luego:
Al tomar el lmite resulta:
Luego:
Tomando el lmite: B =
3.
Al tomar el lmite resulta:
Luego:
C =
Aproximaciones:
Cuando un nmero "x" tiende a 0, se puede confundir (suvalor) con su seno o su tangente; es decir:
Por ejemplo, si quisiramos calcular: cos6030'
cos6030' = cos(60 + 30') = cos60.cos30' - sen60.sen30'; 30' = 0,5 = 0,0087 rad.
cos6030' = -
cos6030' = 0,5 - 0,865 (0,0087) cos6030' = 0,49247
Otro ejemplo; calcular: tan4545'
tan4545'=tan(45+45')=
Pero:
45' = 0,75 = 0,01309 rad
tan45' = tan0,01309 0,01309
Luego:
tan4545' =
tan4545' = 1,0265
Problemas resueltos
1. D e r i v e : y = f (x) = senx + cosx
a) cosx + senx b) senx - cosxc) cosx - senx d) -senx - cosxe) senx + 1
Resolucin:
En la funcin: f(x) = senx + cosx
f'(x) = (senx)' + (cosx)'
f'(x) = cosx - senx
Aplicacin:
Derive: y = f(x) = senx - cosx
Rpta.: f'(x) = senx + cosx
2. Derive: y = f(x) = secx + tanx
a) tanx.f(x) b) senx.f(x) c) secx. f(x)d) cotx.f(x) e) -tanx.f(x)
Resolucin:
En la funcin:f(x) = secx + tanx
f'(x) = (secx)' + (tanx)'
f'(x) = sec2x + secx.tanx
f'(x) = secx f''(x) = secx.f(x)
Aplicacin:
Derive: y = f(x) = cscx - cotx
Rpta.: f'(x) = -cotx.f(x)
3. Siendo: y = f(x) = senx - cosx; hallar:J = f'(x) + f"(x) + f"'(x)
a) senx + cosx b) senx - cosxc) cosx - senx d) 2senx - cosxe) senx - 2cosx
Resolucin:
Como:f(x) = senx - cosx
f'(x) = (senx)' - (cosx)' f'(x) = cosx + senx
f"(x) = (cosx)' + (senx)' f"(x) = -senx + cosx
f"'(x) = (-senx)' + (cosx)' f"'(x) = -cosx - senx
J = cosx - senx
Aplicacin:
Si: y = f(x) = senx + cosx; hallar: J = f'(x) + f"(x) - f"'(x)
Rpta.: J = cosx - 3senx
4. Derive: y = f(x) =
a) b)
c) d)
e)
Resolucin:
En la funcin: y = f(x) =
y' = f'(x) =
y' = f'(x) =
y' = f'(x) =
y' = f'(x) =
Aplicacin:
Derive: y = f(x) =
Rpta.: f'(x) =
5. Dada: y = f(x) = 2senx - cosx; halle un valor de "x" queverifique: f'(x) = 2f"(x)
a) 0 b) c)
d) e)
Resolucin:
Como: f(x) = 2senx - cosx f'(x) = 2cosx + senx
f"(x) = -2senx + cosx
Luego: f'(x) = 2f"(x)2cosx + senx = 2(-2senx + cosx)2cosx + senx = -4senx + 2cosx5senx = 0 senx = 0
x = 0Aplicacin:
Si: y = f(x) = senx + cosx; halle un valor de "x" queverifique: f'(x) = f"(x)
Rpta.: x =
6. Derive: y = f(x) = Ln(sen2x)
a) tanx b) cotx c) 2cotxd) 2tanx e) 2tan2x
Resolucin:
Como:f(x) = Ln(sen
2x)
f'(x) =
f'(x) = . 2senx(senx)' = . 2senx.cosx
Ordenando: f'(x) = f''(x) = 2cotx
Aplicacin:
Derive: y = f(x) = Ln(cos2x)
Rpta.: f'(x) = -2tanx
7. Derive: y = f(x) = senx.tanx
a) senx + tanx b) secx + tanxc) secx + tanx.senx d) senx + secxe) senx + tanx.secx
Resolucin:
Como:
f(x) = senx.tanx = senx.
f(x) =
f(x) = secx - cosx
Luego: f'(x) = (secx)' - (cosx)'
f'(x) = secx.tanx + senx
Tambin:
f(x) = senx.tanx
f'(x) = (senx)' . tanx + senx(tanx)' ... (derivada de un producto)
f'(x) = cosx.tanx + senx.sec2x
f'(x) = cosx . +
f'(x) = senx + tanx.secx
Aplicacin:
Derive: y = f(x) = cosx.cotx
Rpta.: f'(x) = -cosx - cscx.cotx
8. Derive: y = f(x) = sen(tanx)
a) sen2x.cos(tanx) b) cos2x.cos(tanx)c) sec2x.cos(tanx) d) -sec2x.cos(tanx)e) csc2x.cos(tanx)
Resolucin:
Por funcin compuesta:f(x) = sen(tanx)
f'(x) = (tanx)' [sen(tanx)]'
f'(x) = sec2x . cos(tanx)
Aplicacin:
Derive: y = f(x) = cos(secx)
Rpta.: f'(x) = -secx.tanx.sen(secx)
9. Derive: y = f(x) =
a) b)
c) d)
e)
Resolucin:
Como:
f(x) =
f'(x) =
f'(x) = 2senx. (senx)' .
f'(x) = f''(x) = sen2x.
Aplicacin:
Derive: y = f(x) =
Rpta.: f'(x) = -sen2x .
10.Halle la ecuacin de la recta tangente a la curva de lafuncin: y = f(x) = tan2x; en el punto de abscisa: x = /8
a) y = 4x + 1 - pi b) y = 4x + 1 + pi
c) y = 4x + 1 - d) y = 4x - 1 +
e) y = 4x - 1 -
Resolucin:
Como la abscisa es: x = su ordenada sera:
y = tan = tan = 1
luego el punto de tangencia sera:
Ahora bien, la pendiente de la recta tangente mT secalcula as:
i) f(x) = tan2x f'(x) = 2sec22x
Luego la ecuacin sera: y - yo = mT (x - xo)
y - 1 =
y - 1 = 4x -
LT : y = 4x + 1 -
Aplicacin:
Halle la ecuacin de la recta tangente a la curva de lafuncin:
y = f(x) = cos3x ; en el punto de abscisa: x =
Rpta.: LT : y = -3x +
11.Calcular:
a) 1 b) 2 c) -2 2d) - 2 e) 0
Resolucin:
Al tomar el lmite:
Aplicamos L'Hospital:
Tomando lmite: A = - A = 0
Aplicacin:
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