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CALCULO MATRICIALDE ESTRUCTURAS DE BARRAS
(Articuladas 2D-3D)F. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs
GMNI — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
Departamento de Metodos Matematicos y de RepresentacionEscuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
Universidad de A Coruna, Espana
e-mail: [email protected] web: http://caminos.udc.es/gmni
UNIVERSIDAD DE A CORUNA — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
INDICE
I Ejemplos
I Ejes Locales y Globales
I Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad
I Ecuaciones de Equilibrio
I Numeracion Global: Matriz de Conectividad
I Equilibrio Elemental en Numeracion Global
I Equilibrio Global
I La Matriz de Rigidez es Semi-Definida Positiva
I La Matriz de Rigidez Coaccionada es Definida Positiva
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Ejemplos (I)
Veanse los ejemplos siguientes:
Estructura Articulada 2D• Descripcion: ejemplo2.pdf
• Codificacion: ejemplo2.dat
Estructura Articulada 3D• Descripcion: ejemplo3.pdf
• Codificacion: ejemplo3.dat
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Ejemplo (II)
Algunas variables importantes. . .
npoin=* (numero de nodos)
ndime=* (numero de coordenadas por nodo: 2 en 2D, 3 en 3D)
nelem=* (numero de elementos→ barras)
nnode=2 (2 nodos por elemento)
ndofn=* (NUMERO DE GDL POR NODO: 2 en 2D, 3 en 3D)
nprop=1 (numero de propiedades por material→ EA)
. . .
(*) Veanse ejemplos de codificacion de este tipo de problemas en los archivosejemplo2.dat y ejemplo3.dat.
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Ejes Locales y Globales
Cambio de Base
r =
Q˜Te︷ ︸︸ ︷ cosα ∗ ∗cos β ∗ ∗cos γ ∗ ∗
r′,r′ =
cosα cos β cos γ
∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗
︸ ︷︷ ︸
Q˜ er,
pues(Q˜ e)−1
= Q˜Te .
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Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (I)
Vector de desplazamientoselementales en ejes globales:
ue =
{u1,e
u2,e
}
u1,e =
u1,e
v1,e
w1,e
, u2,e =
u2,e
v2,e
w2,e
.
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Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (II)
Vector de desplazamientoselementales en ejes locales:
u′e =
{u′1,eu′2,e
}
u′1,e =
u′1,e
v′1,e
w′1,e
, u′2,e =
u′2,e
v′2,e
w′2,e
.
u′e = T˜eue, T˜e =
[Q˜ e O˜O˜ Q˜ e
].
(T˜e)−1 = T˜Te =⇒ ue = T˜Te u′e.UNIVERSIDAD DE A CORUNA — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (III)
Vector de deformacioneselementales:
εe = {∆Le} ,
∆Le = u′2,e − u′1,e.
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Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (IV)
Relacion desplazamientos—deformaciones:
εe = E˜ eu′e, E˜ e = [−1 0 0 +1 0 0 ] .
Luego,
u′e = T˜eueεe = E˜ eu′e
}=⇒ εe = E˜ e(T˜eue) =
B˜ e︷ ︸︸ ︷(E˜ eT˜e) ue.
ECUACION DE COMPATIBILIDAD:
εe = B˜ eue, B˜ e = [− cosα − cos β − cos γ +cosα +cos β +cos γ ].
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Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (V)
Vector de tensioneselementales:
σe = {Ne} ,
Ne =
(EAeLe
)∆Le.
ECUACION CONSTITUTIVA:
σe = D˜ eεe, D˜ e = [ EAeLe] .
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Ecuaciones de Equilibrio (I)
Vector de fuerzaselementales en ejes globales:
fe =
{f1,e
f2,e
}
f1,e =
fx1,e
fy1,e
fz1,e
, f2,e =
fx2,e
fy2,e
fz2,e
.
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Ecuaciones de Equilibrio (II)
Vector de fuerzaselementales en ejes locales:
f ′e =
{f ′1,e
f ′2,e
}
f ′1,e =
fx′
1,e
fy′1,e
fz′
1,e
, f ′2,e =
fx′
2,e
fy′2,e
fz′
2,e
.
f ′e = T˜efe, T˜e =
[Q˜ e O˜O˜ Q˜ e
].
(T˜e)−1 = T˜Te =⇒ fe = T˜Te f ′e.UNIVERSIDAD DE A CORUNA — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
Ecuaciones de Equilibrio (III)
Relacion tensiones—fuerzas elementales:
f ′e = E˜Te σe, E˜Te =
−100
+100
.Luego,
f ′e = E˜Te σefe = T˜Te f ′e
}=⇒ fe = T˜Te (E˜Te σe) =
(T˜Te E˜Te )σe =
(E˜ eT˜e)T︸ ︷︷ ︸B˜ Te
σe.
ECUACION DE EQUILIBRIO
fe = B˜Te σe, B˜ e = [− cosα − cos β − cos γ +cosα +cos β +cos γ ].
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Ecuaciones de Equilibrio (IV)
Luego,
εe = B˜ eueσe = D˜ eεefe = B˜Te σe
=⇒
σe = D˜ e(B˜ eue) =
S˜e︷ ︸︸ ︷(D˜ eB˜ e) ue,
fe = B˜Te (S˜eue) =(B˜Te S˜e)︸ ︷︷ ︸K˜ e
ue.
Matriz de Rigidez de Elemento:
K˜ e = B˜TeD˜ eB˜ e.ECUACION ELEMENTAL (Constitutiva+Compatibilidad+Equilibrio):
K˜ eue = fe.
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Numeracion Global: Matriz de Conectividad
Vector de Desplazamientos Nodales:
u =
...
uipoin...
, uipoin =
uipoin
vipoin
wipoin
, ipoin = 1, . . . , npoin.
CAMBIO DE NUMERACION LOCAL A NUMERACION GLOBAL
Matriz de Conectividad: lnods(nnode,nelem) (*)
ipoin=lnods(inode,ielem) =⇒
ielem = elemento
inode = numeracion local {1,2} del nodo
ipoin = numeracion global del nodo
(*) Veanse ejemplos de codificacion de este tipo de problemas en los archivosejemplo2.dat y ejemplo3.dat.
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Equilibrio Elemental en Numeracion Global
ielem
K˜ ielemuielem = fielem =⇒ K˜ ielemu = fielem.
La matriz de rigidez elemental expandida K˜ ielem se genera a partir de lamatriz de rigidez elemental K˜ ielem mediante el paso de numeracion local aglobal, de forma identica a como se realizo este proceso en el caso delcalculo matricial de circuitos.
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Equilibrio Global (I)
El equilibrio de cada nodo estagobernado por la
LEY DE NEWTON:
La fuerza externa aplicada a cadanodo es igual a la suma de lasfuerzas elementales de todas lasbarras que confluyen en el.
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Equilibrio Global (II)
Vector de Fuerzas Nodales:
f =
...
Fipoin...
, Fipoin =
Fxipoin
Fyipoin
F zipoin
, ipoin = 1, . . . , npoin.
ECUACIONES DE EQUILIBRIO GLOBAL (Leyes de Newton):∑lnods(inode,ielem)=ipoin
finode,ielem = Fipoin
⇓∑ielem
fielem = f .
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Equilibrio Global (III)
Las ecuaciones de equilibrio global pueden reescribirse en la forma matricial
K˜ ielemu = fielem∑ielem
fielem = f
=⇒
(∑ielem
K˜ ielem)
︸ ︷︷ ︸K˜
u = f .
Matriz de Rigidez Global:
K˜ =
(∑ielem
K˜ ielem)
︸ ︷︷ ︸ENSAMBLAJE DE LAS K˜ ielem
.
ECUACION DE EQUILIBRIO GLOBAL:
K˜ u = f .
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Equilibrio Global (IV)
Luego, el sistema que hay que resolver es el siguiente:
K˜ u = f + R, K˜ = K˜ T ,con las condiciones de vinculacion
uV = pV ,
donde V es cada uno de los grados de libertad coaccionados (*).
(*) Para cada g.d.l. coaccionado V sera preciso indicar;
de que nodo se trata (ipoin),cual de sus g.d.l. esta coaccionado (idofn) ycual es el valor prescrito pV .
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Equilibrio Global (V)
NOTA IMPORTANTE:
Observese que en estructuras articuladas 2D las componentes segun eleje z se anulan por lo que no es preciso tenerlas en cuenta, lo quepermite simplificar ligeramente la formulacion.
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La Matriz de Rigidez es Semi-DEF. POS.
uTK˜ u =∑e
uT K˜ eu con K˜ =∑e
K˜ e=∑e
uTeK˜ eue donde K˜ e = B˜TeD˜ eB˜ e=∑e
uTe(B˜TeD˜ eB˜ e) ue
=∑e
(B˜ eue)T D˜ e (B˜ eue)=∑e
εTeD˜ eεe con εe = B˜ eue≥ 0, pues D˜ e = [EAe/Le] es SEMI-DEF +.
Luego uTK˜ u ≥ 0 ∀u =⇒ K˜ es SEMI-DEFINIDA POSITIVA.
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La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (I)
Sea K˜ V la matriz que se obtiene al ignorar las filas y columnas de la matrizK˜ correspondientes a g.d.l. coaccionados.
K˜ =
kv,v
, K˜ V =
.
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La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (II)
Sea u 6= 0 un vector en el que todos los componentes correspondientes ag.d.l. coaccionados son nulos.
Sea uV 6= 0 el vector que se obtiene al ignorar las filas del vector ucorrespondientes a g.d.l. coaccionados.
u =
0
, uV =
.
En estas condiciones uTVK˜ V uV = uTK˜ u, pues. . .
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La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (III)
uTVK˜ V uV = [ ]
,
uTK˜ u = [ 0 ]
kv,v
0
.
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La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (IV)
REDUCCION AL ABSURDO:
Supongamos que K˜ V no es definida positiva. . .
Luego ∃uV 6= 0 tal que uTVK˜ V uV = 0.
Entonces uTK˜ u = 0 con u 6= 0.
Luego (ver el apartado anterior) εTeD˜ eεe = 0 ∀e =⇒ εe = 0 ∀e, lo queindica que ninguna de las barras se deforma.
Por tanto, los componentes de u corresponden a los de un movimientode solido rıgido.
Pero los componentes de u correspondientes a los g.d.l. coaccionadosson nulos, por lo que (SI LA ESTRUCTURA ESTA CORRECTAMENTEMONTADA Y APOYADA), los movimientos de solido rıgido sonimposibles, y por tanto uV = 0 =⇒ CONTRADICCION.
Por tanto, K˜ V es DEFINIDA POSITIVA.
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