POLINOMIOS DE ZERNIKE
M. P. Cagigal, V. F. Canales
Optica adaptativa en astronomía y medicinaUniversidad de Laredo. Septiembre. 2000.
UC
UCCONTENIDO
- Descripción de los polinomios de Zernike.
- Simulación de frente de ondas ditorsionados por la atmósfera.
- Reconstrucción del frente de ondas a partir de los datos del sensor.
UCABERRACION DE ONDA
QQ’
P0
La función (r,t) = Q-Q’ definida sobre la pupila del sistema se denomina aberración de onda.Se puede desarrollar en polinomios de Zernike.
P’0
E(r,t) = E 0(r,t) exp(ik (r,t) )
UCPolinomios de Zernike
0)(R 1nZ
0)msen(2)(R 1nZ
0)mcos(2)(R 1nZ
0ni
mnimpar i
mnpar i
mr
mr
mr
2sn2/)mn(
0s
smn s]! m)/2[(n s]! m)/2[(n s!
)!sn()1()(R
rr
UC
0 1 2 3 4
0
Z1=1
Constante
1
Z2=2r cos
Z3=2r senTilts
2
Z4=31/2 (2r 2 -1)
Desenfoque
Z5=61/2 r 2 sen2
Z6=61/2 r 2 cos2Astigmatismo
3
Z7=81/2 (3r 3 -2r)
sen
Z8=81/2 (3r 3 -2r)
cosComa
Z9=81/2 r 3
sen3
Z10=81/2 r 3
cos3Coma de
curvatura 0
4
Z11=51/2 (6r 4-
6r 2 +1)Esférica
Z12=101/2(4r 4 -
3r 2 )cos2
Z13=101/2(4r 4 -
3r 2 ) sen2Astigm. 5º orden
Z14=101/2
r 4 cos4
Z15=101/2 r 4
sen4
Frecuencia acimutal (m)
ord
en r
adia
l (n
)Polinomios de Zernike
UC
m
piston
tilttilt
desenfoque astigmatismo
coma
esférica astigmatismo 5º orden
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
n
Z1
Z2 Z3
Z11
Z4 Z5Z6
Z10Z7Z8
Z12
Z9
Z14 Z15Z13
Polinomios de Zernike
UCDesarrollo en Pol. De Zernike
)(Za)( i
i
2ii
max
rr
3/5
0
2i
2
2i
2j )j(coefaa)(
r
Dr
jii
Índice del último modo corregido j Varianza residual j rad2
1 1.0299 (D/r0)5/3
2 0.582 (D/r0)5/3
3 0.134 (D/r0)5/3
4 0.111 (D/r0)5/3
5 0.0880 (D/r0)5/3
6 0.0648 (D/r0)5/3
7 0.0587 (D/r0)5/3
8 0.0525 (D/r0)5/3
9 0.0463 (D/r0)5/3
10 0.0401 (D/r0)5/3
11 0.0377 (D/r0)5/3
12 0.0352 (D/r0)5/3
UCVarianza residual
UCSIMULACION
- Obtención de datos realistas.
- Realización de aproximaciones.
- Separación de las distintas contribuciones.
- Manejo del ruido.
- Elevado número de muestras.
- Condiciones poco frecuentes.
UCSIMULACION
)(Za)( i
i
2ii
max
rr
Simulación de los valores de ia
UCPolinomios de Karhünen-Loève
- Base con coeficientes estadísticamente independientes.
- Funciones no analíticas.
- Desarrollable en modos de Zernike.
UC
2
/332n´n
2
/371nn´
2
17/3n´n
2n´-5/3n
δ K
aaC
3/5
0zzz´
i´iii´
rD
casos de resto elen 00m
parj'j siy m´m si1
δ z 1)1)(n´(n (-1) 2.2698K n´-2m)/2(nzz´
Covarianzas de los coef. de Zernike
UCMatriz de covarianzas-SVD
C = X S XT X DiagonalS Unitaria
0025.00000000000000
00025.0000000000000
000025.000000000039.0000
0000025.0000000039.00000
00000025.00000000039.000
000000063.000000000
0000000063.00000000
00000000063.0000000144.0
000000000063.00000144.00
0000039.0000000236.00000
000039.000000000236.0000
00000039.00000000236.000
000000000144.00004557.00
00000000144.0000004557.0
C
UCAlgoritmo simulación
1 - Estimación del número de polinomios NR en la simulación. Sin piston.
2 - Descomposición SVD de la matriz de covarianzas.
3 - Generación de NR variables gauss. bi (1 <i< NR). < bi >=0 y varianza Sii
4 - Cálculo de coef. de Zernike usando: A=XB. A: vector de coef. ai de Zer. B: vector de coef. bi de Karhünen-Loève. X matriz de cambio de base.
5 - Multiplicación de los ai por (D/r0)5/6 para incluir la atmósfera.
6 - Cálculo del frente de onda a partir de )(Za)( i
i
2ii
max
rr
Corrección:a1...aC = 0
Condiciones Atmosféricasai = ai*(D/r0)5/6
SVDdescomposicion de la matriz
de covarianxa de ZernikeCNxN = X S XT
N número de modos
Coeficientes Karhünen-Loève : B
(b1...bi...bN)Números Gaussianos
aleatorios, var Sii
Coef. Zernike.: A = X B
Frente de onda
Simulación de frentes de onda UC
Simulación de frentes de onda UC
Reconstrucción modal UC
)(Za)( i
i
2ii
max
rr
mm x
r
x
r
)(Za
)( ik
1ii
mmy
r
y
r
)(Za
)( ik
1ii
Reconstrucción de frentes de onda UC
aBS
2
2
1
2
2
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
M
M
y
r
y
r
y
r
x
r
x
r
x
r
S
ka
a
a
a
2
1
Matriz de derivadas UC
2
k
2
2
2
1
2
k
2
2
2
1
1
k
1
2
1
1
2
k
2
2
2
1
2
k
2
2
2
1
1
k
1
2
1
1
)(Z)(Z)(Z
)(Z)(Z)(Z
)(Z)(Z)(Z
)(Z)(Z)(Z
)(Z)(Z)(Z
)(Z)(Z)(Z
MMM
MMM
y
r
y
r
y
r
y
r
y
r
y
r
y
r
y
r
y
r
x
r
x
r
x
r
x
r
x
r
x
r
x
r
x
r
x
r
B
Reconstrucción modal UC
SBBBa TT 1
El uso de polinomios de Zernike permite encontrar de forma explícita los coeficientes de B
Conclusiones UC
- Descripción de la aberración de onda estableciendo conexión con las aberraciones clásicas.
- Simulación.
- Reconstrucción modal.