UN ACERCAMIENTO A LA MODELACIÓN DE DERIVADOS
CLIMÁTICOS EN COLOMBIA
Diego Bolívar Arias
Categoría Posgrado
ii
UN ACERCAMIENTO A LA
MODELACIÓN DE
DERIVADOS CLIMÁTICOS EN
COLOMBIA
Bogotá, Colombia
2015
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 1
CAPÍTULO 1. Revisión literaria.............................................................................................. 2
CAPÍTULO 2. Tratamiento de la variable climatológica como un commodity ...................... 6
2.1 La función de producción .............................................................................................. 6
2.2 La variable de estudio: Precipitaciones ........................................................................ 8
CAPÍTULO 3. La valoración ................................................................................................... 8
CAPÍTULO 4. El mercado .................................................................................................... 19
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ........................................................................ 26
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 28
ANEXOS ............................................................................................................................... 32
Anexo A. Código en MATLAB para la valoración de opciones europeas climatológicas,
mediante simulaciones de Monte Carlo ............................................................................... 32
Anexo B. Código en MATLAB para la valoración de opciones climatológicas tipo lookback
con Strike fijo, mediante simulaciones de Monte Carlo ....................................................... 33
1
INTRODUCCIÓN
El clima es una variable que incide directamente en las economías, hoy día se habla
en términos de calentamiento global y cambio climático, asimismo se presentan
repetitivamente los fenómenos de El Niño y La Niña. Situaciones que generan
catástrofes sobre la población y que recae en sus propias economías. Para este tipo de
situaciones, típicamente los mercados cuentan con productos financieros estructurados
y que son estudiados en el ámbito de los bonos catastróficos.
Si bien, estas son situaciones extremas es necesario darle importancia a los puntos
intermedios, los cuales afectan positiva o negativamente el día a día de los
inversionistas privados, población y la gestión de los gobiernos nacionales y
municipales. En estos eventos, los mercados financieros desarrollados cuentan con
derivados climatológicos, instrumentos mediante los cuales es posible mitigar los
efectos de las variaciones climatológicas.
Esta rama de investigación tiene origen en una iniciativa privada, cuando en el año
1996 la extinta ENRON Corporation y Florida Power & Light, se enfrentaron a la
incertidumbre sobre el comportamiento del clima en la temporada de invierno de 1997
en Milwaukee, Wisconsin. Con el apoyo de Koch Industries se estructuró el primer
contrato OTC denominado Temperature Swap, el cual tenía como subyacente un
índice denominado Heating Degree Day – HDD, basado en la temperatura para un
rango de días específico. Este gran invento evolucionó rápidamente y tres años más
tarde se comenzaron a tranzar en el Chicago Mercantile Exchange contratos
estandarizados, se establecieron nuevos índices como el Cooling Degree Days – CDD y
el instrumento fue adoptado por otros países del mundo.
Este estudio es una contribución a los escasos trabajos que lo anteceden en
Colombia e intenta dejar una provocación para quienes estén interesados en
profundizar al respecto o en seguir innovando en esta línea de estudio, la cual toma
prestadas herramientas de ingeniería financiera para modelar variables meteorológicas
y sus contratos derivados. Como aporte adicional se realizan algunas propuestas para
que un mercado de estas características pueda funcionar, así como las instituciones que
deben intervenir en éste.
La variabilidad climática es una medida con la cual se puede estimar el
comportamiento de elementos tales como niveles de temperatura, precipitaciones,
velocidad del viento y brillo solar, entre otros. Esta variable afecta los sistemas
productivos de distintos sectores tales como construcción, transporte, salud,
energético, agropecuario y pesquero, entre los más destacados.
Para los sectores mencionados anteriormente, se puede identificar que la oferta
agropecuaria depende de una equilibrada distribución de los niveles de lluvia y la
intensidad del brillo solar, de acuerdo con las condiciones de cada cultivo o sistema
pecuario. Por su parte, el éxito de las obras de construcción y el cumplimiento en los
contratos de transporte aéreo y terrestre es inversamente proporcional a los niveles de
2
las precipitaciones. La probabilidad de la propagación de enfermedades en los seres
humanos aumenta, a medida que baja la temperatura o aumentan los niveles de lluvias.
Y finalmente, se puede observar que una planta hidroeléctrica puede aumentar su
producción con el aprovechamiento hidráulico de los ríos, lo cual depende de la
cantidad de recurso hídrico que se genera en las zonas altas de las montañas.
A su vez, las ventas en otros sectores como el turístico y energético se ven afectadas
por el comportamiento de estas variables.
Además de las normales y cotidianas variaciones del clima, tenemos que los casos
extremos son catastróficos para los sectores de la economía, como se ha podido
evidenciar en años anteriores con el fenómeno de El Niño en el cual se intensifican las
horas de sol durante el día y con el fenómeno de La Niña en donde las precipitaciones
crecen muy por encima del promedio histórico.
En Colombia no existen estimaciones sobre las pérdidas ocasionadas por estos
fenómenos climáticos, sin embargo, una variable proxy para halla este valor lo
podríamos observar con las partidas presupuestales destinadas por el Gobierno
Nacional para atender la situación de emergencia social y económica ocasionada por el
Fenómeno de la Niña 2010-2011, los cuales se ubicaron en los $4.4 billones, según
reportes del Ministerio de Hacienda y Crédito Público.
Con lo anteriormente expuesto, es necesario advertir que se requiere del diseño de
un sistema mediante el cual se puedan mitigar los riesgos climáticos extremos e
intermedios. Así, podría reducirse el gasto público como consecuencia de políticas
reactivas y a su vez los demás agentes de la economía podrán estabilizar sus flujos de
caja que estén directamente correlacionados con dichas variables.
CAPÍTULO 1. Revisión literaria
Dentro el estudio del mercado de derivados, los climatológicos corresponden a una
línea de investigación con bajo desarrollo, tanto en Colombia como a nivel mundial. Sin
embargo, teniendo en cuenta que este proyecto de investigación tiene como objetivo
principal establecer un marco teórico para el estudio de los derivados climáticos en
Colombia, es prudente realizar un análisis contextualizado, que rescate los avances de
la literatura y de la experiencia de otros países, para poder realizar un acercamiento a la
modelación.
Alaton y Stillberger (2002) realizan un trabajo en el cual examinan el
comportamiento de la temperatura del aeropuerto de Bromma en Suecia e intentan
establecer el valor de un Call, usando el HDD para determinar el valor intrínseco del
derivado, como se desarrolla en (1):
𝐻𝐷𝐷𝑖 = max(𝐾 − 𝑇𝑖; 0) donde, 𝑇𝑖 =𝑇𝑖
𝑚𝑎𝑥+𝑇𝑖𝑚𝑖𝑛
2
(1)
Donde,
3
𝑇𝑖 = Temperatura observada en °C
El pago de la opción está determinado en (2):
𝒳 = 𝛼 max {𝐻𝑛 − 𝐾, 0} (2)
donde 𝐻𝑛 = ∑ 𝐻𝐷𝐷𝑖𝑛𝑖=1 y 𝐾= Strike Price
El trabajo de Alton y Stillberger intenta realizar un pronóstico de la temperatura, sin
embargo esta no es determinística. El trabajo concluye que lo más importante en estos
ejercicios es contar con un buen modelo de pronóstico para el clima.
Para el caso colombiano, González y Nave (2010) realizaron un trabajo similar en el
aeropuerto El Dorado de Bogotá, utilizando el mismo índice HDD, ajustando la
temperatura a un modelo gaussiano Ornstein-Uhlenbeck de reversión a la media para
comprobar su validez mediante técnicas de simulación.
La temperatura que estudian comprende el periodo 1979 – 2006, done 𝑇𝑖𝑚𝑎𝑥 y 𝑇𝑖
𝑚𝑖𝑛
son examinadas separadamente, encontrando que ambas presentan comportamientos
muy distintos. 𝑇𝑚𝑖𝑛presenta mayores volatilidades y velocidades de reversión a la
media que las máximas. A su vez, realiza la valoración combinando 𝑇𝑖𝑚𝑎𝑥 y 𝑇𝑖
𝑚𝑖𝑛 y
determina el precio de un forward con simulaciones Burn Analysis. A partir de este
resultado, estima los precios Call y Put para 𝑇𝑚𝑎𝑥, 𝑇𝑚𝑖𝑛 y 𝑇𝑖, bajo las técnicas de Monte
Carlo, Burn Analysis y fórmula cerrada.
Los resultados del trabajo de González y Nave establecen que el peor método de
valoración se obtiene bajo fórmula cerrada y el mejor método se obtiene con
simulaciones de Monte Carlo debido a que arroja menores errores, sin embargo
simulaciones Burn Analysis arroja los mejores resultados cuando 𝑇𝑖𝑚𝑎𝑥 y 𝑇𝑖
𝑚𝑖𝑛 se
estudian separadamente. En resumen, el modelo Ornstein-Uhlenbeck combinado con
una técnica de simulación arroja los menores errores de valoración.
Entre los adelantos actuales, se tiene el de Spicka y Hnilica (2013) quienes toman
como punto de partida el agente coberturista, para este caso se miden los rendimientos
de la producción agropecuariaria y se estructura el derivado con el cual se puedan
normalizar los ingresos del inversionista. Para su desarrollo se realiza un análisis de la
correlación entre los rendimientos de la producción y las variables climatológicas en
algunas regiones de la República Checa, sin embargo el modelo de valoración no es
desarrollado y solamente plantea el establecimiento de un derivado. Sin embargo, los
resultados del análisis son muy importantes:
a) En la República Checa el índice climático explica hasta el 48% de la variabilidad
del promedio de los rendimientos de la producción de cereales, así, mas del 50% de los
riesgos sistémicos no serían cubiertos por un derivado.
b) Se pueden presentar limitaciones en el uso de derivados climatológicos en la
República Checa ya que existen condiciones de producción hetereogéneas que reducen
la correlación entre el clima y los rendimientos de las cosechas a nivel regional. A su
4
vez, el hecho de que los riesgos base sean tan altos, desincentiva a los agricultores al
uso de este tipo de instrumentos ya que solamente estabilizan entre el 5% y 6% de sus
ingresos.
c) Se proponen los derivados climatológicos como mecanismo de reaseguro, sin
embargo enfatizan en que es primordial establecer los aspectos legales y regulatorios
para su funcionamiento, asimismo construir alianzas entre el sector privado y público
para su funcionamiento.
Un trabajo similar fue adoptado en Colombia, de una forma muy sutil, por parte de
Cruz y Llinás (2010) quienes analíticamente establecen que a partir de la producción
del agricultor se debe estructurar el derivado. Es muy valioso rescatar el enfoque de
economía neoclásica con el cual deja abierta una ventana de posibilidades para esta
línea de investigación, en el cual se pueda articular la función de producción y las
técnicas de valoración existentes. Si bien su metodología de valoración es aplica sobre
datos hipotéticos, el paper busca resultados analíticos. Finalmente, los autores
concluyen el clima y la lluvia deben medirse en un lugar determinado durante un
tiempo definido y por una estación meteorológica definida para no tener problemas de
selección adversa.
Siguiendo en la línea de productos agrícolas, Cyr et al. (2010) examina que
anualmente la viticultura ha enfrentado adversidades ocasionados por la excesiva lluvia
en Canadá, especialmente en los meses de septiembre y octubre. Este fenómeno se ha
presentado como consecuencia del cambio climático. Este exceso de humedad retrasa
las cosechas y desmejora la calidad de las cosechas ya que los niveles de grados Brix se
ven afectados. Para desarrollar este trabajo Cyr, Kusy y Shaw toman la información de
la principal región productora de vino en Canadá, Niagara Peninsula Appellation.
En su desarrollo toman la variable Cumulative Harvest Rainfall (CHR) de dicha
zona y notan que en los años 1977 y 1996 hay dos datos atípicos, estadísticamente
conocidos como Outliers, en los cuales las precipitaciones se ubicaron muy por encima
del promedio, efectos causados por los fenómenos de El Niño y La Niña. Para valorar el
derivado, establecen que el payout del Call es (3):
𝑋 = 𝛼 max [𝐶𝐻𝑅𝑖 − 𝐾, 0] (3)
Donde, 𝛼= Tick Size1 y 𝐾= Strike Value
Inicialmente se contempla utilizar la técnica Burn Rate Analysis. Si bien es una
aproximación muy importante, esta metodología tiende a subvalorar las opciones ya
que asigna un valor de cero para los estados Out of the Money y no incorpora la
verdadera volatilidad del subyacente CHR. Así las cosas, se realiza la valoración por el
método de Monte Carlo con diferentes Strike values y bajo tres casos con supuestos
distintos, a saber 1) CHR sigue un proceso gaussiano, las observaciones son
independientes y con distribución normal, corrigiendo el efecto de los Outliers; 2)
Mismos supuestos del caso 1 sin corregir los Outliers; y 3) Los Outliers indican que
1 También conocido como Factor Monetario.
5
existe un proceso mixto de difusión con saltos (Movimiento Browniano). Los resultados
son los que muestran el Cuadro 1.
Cuadro 1 Resultados valoración de CHR
Del Cuadro 1 se puede deducir que al no corregir el efector del Outlier se obtienen
primas más altas, debido al aumento de la volatilidad (Caso 2). Los resultados del Caso
3 son similares con los del Caso 2 para un Strike Value de 150 mm, sin embargo a
medida que aumenta el Strike Value el Caso 3 se reduce a menor velocidad que el Caso
2, así es que el proceso de difusión establece primas más altas. Finalmente, se puede
concluir que para el estudio del clima, corregir el efecto del Outlier puede ser
contraproducente ya que reduce significativamente el valor de la opción además que los
agenten intentan cubrirse frente a este tipo de riesgos que muestran los datos atípicos.
Por su parte se destaca la tesis de Riveros (2012) en el cual selecciona la metodología
desarrollada por Baryshnikov et al. (2001) para la valoración de bonos catastróficos,
con la ventaja de su adaptabilidad a la realidad. Sin embargo, los bonos catastróficos
corresponden a otra rama de estudio, ya que solamente aplican en situaciones extremas
en las que el comportamiento de la variable alcanza valores muy por encima del
promedio o muy por debajo del promedio. Los seguros catastróficos y los derivados
climatológicos coinciden en que utilizan el miso subyacente, sin embargo presentan
grandes diferencias como el Cuadro 2 muestra las diferencias que existen entre ambos
productos, lo que radica principalmente en la relación riesgo – pérdida esperada.
Cuadro 2 Diferencias entre seguro y derivado climatológico
Variable Seguro Derivado
Probabilidad de
ocurrencia Baja Alta
Pérdida esperada Alta Baja
Objetivo Mitigar el riesgo
de default
Estabilización
del flujo de caja
Los trabajos descritos anteriormente son tenidos como punto de referencia para el
desarrollo de los objetivos presente trabajo, ya que las conclusiones y sugerencias de
los autores son tenidas en cuenta tanto para la valoración como para la estructura de
mercado propuesta.
150 175 200 225 250
Caso 1 - Normalidad sin Outlier $23.696,09 $8.117,82 $1.995,38 $338,65 $38,65
Caso 2 - Normalidad con Outlier $38.865,17 $18.265,00 $7.059,55 $2.194,16 $538,22
Caso 3 - Normal mixta y saltos de Poisson $38.283,82 $20.686,96 $11.528,23 $7.179,65 $4.141,21
Supuestos de DifusiónStrike Values (mm)
6
CAPÍTULO 2. Tratamiento de la variable climatológica como un
commodity
Los desarrollos de este mercado tuvieron origen al estudiar la temperatura,
asimismo los escasos estudios realizados para el caso colombiano retoman el
comportamiento de esta variable. Es el caso de los acercamientos realizados por
González y Nave (2010) y Cruz y Llinás (2010), al intentar replicar el comportamiento
de la variable HDD.
Podemos preguntarnos cuál es la intención de hacer énfasis en su estudio, y
encontramos que al igual que la TRM o cualquier variable del mercado financiero, la
complejidad del modelo radica en el pronóstico del subyacente. Que es, sin duda, lo que
da origen al mercado de derivados climatológicos en el mundo.
Si bien es cierto que el clima es una variable exógena para los agentes económicos, al
tomarla como un factor de producción podemos darnos cuenta que realmente puede
llegar a determinar el éxito de un proyecto.
Con base en la teoría neoclásica, la función de producción Cobb-Douglas de 1934, se
puede explicar la incidencia del clima en el nivel de producto, asimismo, nos induce a
que al igual que los demás factores de producción, el clima podría tener un precio o una
disponibilidad a pagar. Apoyado en los avances de Castro (2009) así como los aportes
de Cruz y Llinás (2010), tenemos lo siguiente:
2.1 La función de producción
Defínase la función de producción como:
𝑌 = 𝐴𝐾𝛼𝐿𝛽𝑊𝜃 (4)
Donde; Y es la cantidad producida, A es el Intercepto, K el capital, L el trabajo, W la
variable climatológica, y los coeficientes α, β y θ son los coeficientes de elasticidad de la
producción respecto a los factores de producción correspondientes.
Linealización de la función
Aplicando la ley del logaritmo natural a la ecuación (4), obtenemos una
transformación monótona creciente, obtenemos la siguiente forma lineal.
𝑙𝑛𝑌 = 𝑙𝑛𝐴 + 𝛼𝑙𝑛𝐾 + 𝛽𝑙𝑛𝐿 + 𝜃𝑙𝑛𝑊 (5)
Variación de la producción frente a variaciones en los factores
Derivando la ecuación (5) frente a cada factor obtenemos los siguientes resultados.
𝜕𝑌
𝜕𝐾= 𝛼
𝑌
𝐾 ;
𝜕𝑌
𝜕𝐿= 𝛽
𝑌
𝐿 ;
𝜕𝑌
𝜕𝑊= 𝜃
𝑌
𝑊 (6)
Variación de la producción frente a variaciones conjuntas de los factores
7
Teniendo en cuenta que nuestra variable e estudio es el clima (W), a continuación
examinaremos el efecto de la variación de W conjuntamente con los otros factores de
producción. Con lo cual obtenemos (7):
𝜕2𝑌
𝜕𝑊 𝜕𝐾= 𝜃𝛼
𝑌
𝑊𝐾 ;
𝜕2𝑌
𝜕𝑊 𝜕𝐿= 𝜃𝛽
𝑌
𝑊𝐿 (7)
Condiciones para que exista mercado de derivados climatológicos
Al intentar realizar una maximización de beneficios y la minimización de los costos
de producción mediante un proceso de optimización tenemos que el costo del capital
(K) lo podemos definir como r y el costo del trabajo (L) como w. Sin embargo, para el
factor de producción clima (W) no se tiene un precio debido a que es una variable
exógena que depende de un fenómeno natural el cual no puede ser comercializado.
Bajo este escenario, la ecuación (4) no puede ser optimizar.
Bajo la premisa de que W es un proceso estocástico, podemos pensar que el
productor enfrenta un riesgo, el cual puede ser transferido a un mercado que esté
dispuesto a asumirlo, en este orden de ideas, podemos establecer que para que exista
un mercado al cual se pueda transferir el riesgo las ecuaciones (6) y (7) deben cumplir
las siguientes condiciones:
𝜕𝑌
𝜕𝑊≠ 0 ;
𝜕2𝑌
𝜕𝑊 𝜕𝐾≠ 0 ;
𝜕2𝑌
𝜕𝑊 𝜕𝐿≠ 0
(8)
Las ecuaciones ilustradas en (8) indican que la función de producción realmente
debe ser afectada por el clima, y puede ser vista como la condición necesaria para que
un mercado de derivados exista. Es decir que únicamente cuando el productor
incorpore W a su función de producción y que esta tiene algún efecto sobre el nivel de
Y, se podrá encontrar que existe una necesidad por transferir este riesgo2.
Ahora bien, teniendo en cuenta que el clima el clima se incorpora a la función de
producción, que sigue un proceso estocástico y que es homogéneo, a esta variable
podemos darle el tratamiento de commodity3. Gracias a esta connotación será el activo
subyacente del modelo de valoración que se desarrollará en los siguientes capítulos.
Vale la pena resaltar que el análisis de Zeng (2000) indica que el derivado
climatológico es una herramienta efectiva para a administración del riesgo que se
desprende del comportamiento del clima, para distintos tipos de negocios.
Si bien no existe una única forma de establecer un precio para el factor de
producción clima, a través de los derivados climatológicos los empresarios podrían
2 Al otro lado del mostrador, tenemos que el mercado puede hacer exigible algunas condiciones, lo cual
es examinado en el capítulo 6 del documento. 3 Los commoodities son productos uniformes y estandarizados con muy poca diferenciación, lo cuales
típicamente son clasificados como materia prima al cual el mercado se asigna un valor.
8
establecer un valor a dicho factor, el cual se desprende del riesgo inherente a su
comportamiento.
2.2 La variable de estudio: Precipitaciones
En el desarrollo de esta investigación, se utilizará la variable climatológica
precipitaciones, la cual mide los milímetros (mm) de espesor de la lámina de agua que
se forma sobre una superficie plana y que equivale a los litros de agua por metro
cuadrado (L/m2), generado por las lluvias en una zona específica.
La escogencia de esta variable es una iniciativa para mitigar los efectos de las olas
invernales en el país y pretende dar continuidad al estudio de Hernández (2013).
De acuerdo con Jewson y Brix (2005) en el mundo son usadas múltiples variables
distintas al HDD y CDD, para construir derivados climatológicos, tales como
Precipitaciones, Espesor de nieve, Caída de nieve, Velocidad de los ríos y Viento.
CAPÍTULO 3. La valoración
En primer lugar, se debe precisar que las series presentadas en el capítulo 4 no son
valores per se. Cada dato (mm) se convierte en valor al ser incorporada en la función de
producción de la ecuación (4). Mediante un análisis de causalidad como el realizado
por Spicka y Hnilica (2013), entre la variable mm y Y, se puede establecer el valor
monetario de las precipitaciones, el cual será requerido por cualquier agente
coberturista.
Para realizar la modelación de derivado climatológico, inicialmente puntualicemos
en que los pay-off de las opciones europeas sobre precipitaciones se denotan de la
siguiente forma:
𝑃𝑎𝑦 𝑂𝑓𝑓 𝐶𝑚𝑚
𝐸 = 𝛼 max [𝑚𝑚 − 𝐾, 0]
(9)
𝑃𝑎𝑦 𝑂𝑓𝑓 𝑃𝑚𝑚𝐸 = 𝛼 max [𝐾 − 𝑚𝑚, 0]
(10)
Donde:
𝛼 = Factor monetario
𝑚𝑚 = Nivel de precipitaciones
𝐾 = Strike en mm
A partir de (9) y (10) y aplicando el modelo Black-Scholes, se obtienen los siguientes
precios de las opciones.
𝐶𝑚𝑚𝐸 = 𝛼 𝑚𝑚0 𝑁(𝑑) − 𝛼 𝐾𝑒−𝑟𝑇𝑁(𝑑 − 𝜎√𝑇)
(11)
𝑃𝑚𝑚𝐸 = 𝛼 𝐾 𝑒−𝑟𝑇𝑁(𝜎√𝑇 − 𝑑) − 𝛼 𝑚𝑚0𝑁(−𝑑) (12)
9
Donde,
𝑑 =ln (
𝑚𝑚0
𝐾 ) + (𝑟 +𝜎2
2 ) 𝑇
𝜎√𝑇
Las ecuaciones (11) y (12) son la solución cerrada para la valoración de opciones
climatológicas europeas. Ahora bien, si el subyacente alcanza algún valor extremo,
probablemente el agente se enfrentará al riesgo de default, con lo cual es pertinente
explorar otro tipo de opciones las cuales contemplen estos valores mínimos y máximos,
como es el caso de las Lookback.
En este sentido, se hace necesario extender los pay-off (9) y (10), y
consecuentemente el valor de los precios de las opciones (11) y (12).
El modelo que se presenta a continuación, se apoya en el desarrollo de Goldman et
al. (1979) en el cual organizan un modelo analítico para valorar opciones tipo
Lookback4utilizando aquellas en las que se establece un Strike fijo.
Para esta clase de opciones, el pay-off dependerá de los niveles máximo o mínimo
que haya alcanzado el subyacente mm durante la vigencia del contrato, según se
describe en (13) y (14).
𝑃𝑎𝑦 𝑂𝑓𝑓 𝐶𝑚𝑚𝐿 = 𝛼 max [𝑚𝑚max[0,𝑇] − 𝐾, 0]
(13)
𝑃𝑎𝑦 𝑂𝑓𝑓 𝑃𝑚𝑚𝐿 = 𝛼 max [𝐾 − 𝑚𝑚min[0,𝑇], 0]
(14)
Con base en (13) y (14), el valor de las opciones climatológicas tipo Lookback con strike
fijo, se denota como:
𝐶𝑚𝑚𝐿 = 𝛼 𝑒−𝑟𝑇𝐸 [{𝑚𝑎𝑥(𝑚𝑚𝑚𝑎𝑥[0,𝑇] − 𝐾)}
+]
(15)
𝑃𝑚𝑚𝐿 = 𝛼 𝑒−𝑟𝑇𝐸 [{𝑚𝑎𝑥(𝐾 − 𝑚𝑚𝑚𝑖𝑛[0,𝑇])}
+]
(16)
Para poder hallar el valor de esta clase de opciones Conze y Vizwanathan (1991)
desarrollaron una valoración analítica, bajo los supuestos de Black-Scholes. Sin
embargo, bajo esta metodología se obtienen diferentes resultados dependiendo del
valor intrínseco. En este sentido, analíticamente los precios de las opciones
climatológicas Lookback quedarían se desarrollan de la siguiente forma.
Precios Out the Money y At the Money
4 También corresponden a la familia de las opciones exóticas con dependencia de la trayectoria.
10
La ecuación (17) representa el precio de una opción climatológica Call Lookback con
Strike fijo y la ecuación (18) representa el precio de una opción climatológica Put
Lookback con Strike fijo.
𝐶𝑚𝑚𝐿 = 𝛼 𝑚𝑚0 𝑁(𝑑) − 𝛼 𝑒−𝑟𝑇𝐾𝑁(𝑑 − 𝜎√𝑇)
+ 𝛼 𝑒−𝑟𝑇𝜎2
2𝑟𝑚𝑚0 [− (
𝑚𝑚0
𝐾)
−2𝑟𝜎2
𝑁 (𝑑 −2𝑟
𝜎√𝑇) + 𝑒𝑟𝑇𝑁(𝑑)]
(17)
𝑃𝑚𝑚𝐿 = 𝛼 𝑚𝑚0 𝑁(−𝑑) + 𝛼 𝑒−𝑟𝑇𝐾𝑁(−𝑑 + 𝜎√𝑇)
+ 𝛼 𝑒−𝑟𝑇𝜎2
2𝑟𝑚𝑚0 [(
𝑚𝑚0
𝐾)
−2𝑟𝜎2
𝑁 (−𝑑 +2𝑟
𝜎√𝑇) − 𝑒𝑟𝑇𝑁(−𝑑)]
(18)
Donde,
𝑑 =ln (
𝑚𝑚0
𝐾 ) + (𝑟 +𝜎2
2 ) 𝑇
𝜎√𝑇
Precios In the Money
La ecuación (19) representa el precio de una opción climatológica Call Lookback (ITM)
con Strike fijo y la ecuación (20) representa el precio de una opción climatológica Put
Lookback (ITM) con Strike fijo.
𝐶𝑚𝑚𝐿 = 𝛼 𝑒−𝑟𝑇(𝑚𝑚𝑚𝑎𝑥[0,𝑇] − 𝐾) + 𝛼 𝑚𝑚0𝑁(𝑑′)
− 𝛼 𝑒−𝑟𝑇𝑚𝑚𝑚𝑎𝑥[0,𝑇]𝑁(𝑑′ − 𝜎√𝑇)
+ 𝛼 𝑒−𝑟𝑇𝜎2
2𝑟𝑚𝑚0 [− (
𝑚𝑚0
𝑚𝑚𝑚𝑎𝑥[0,𝑇])
−2𝑟𝜎2
𝑁 (𝑑′ −2𝑟
𝜎√𝑇)
+ 𝑒𝑟𝑇𝑁(𝑑′)]
(19)
Donde,
𝑑′ =
ln (𝑚𝑚0
𝑚𝑚𝑚𝑎𝑥[0,𝑇]) + (𝑟 + 𝜎2/2)𝑇
𝜎√𝑇
11
𝑃𝑚𝑚𝐿 = 𝛼 𝑒−𝑟𝑇(𝐾 − 𝑚𝑚𝑚𝑖𝑛[0,𝑇]) − 𝛼 𝑚𝑚0𝑁(𝑑′′)
+ 𝛼 𝑒−𝑟𝑇𝑚𝑚𝑚𝑖𝑛[0,𝑇]𝑁(−𝑑′′+ 𝜎√𝑇)
+ 𝛼 𝑒−𝑟𝑇𝜎2
2𝑟𝑚𝑚0 [(
𝑚𝑚0
𝑚𝑚𝑚𝑖𝑛[0,𝑇])
−2𝑟𝜎2
𝑁 (−𝑑′′ +2𝑟
𝜎√𝑇)
+ 𝑒𝑟𝑇𝑁(−𝑑′′)]
(20)
Donde,
𝑑′′ =
ln (𝑚𝑚0
𝑚𝑚𝑚𝑖𝑛[0,𝑇]) + (𝑟 + 𝜎2/2)𝑇
𝜎√𝑇
Las ecuaciones (17), (18), (19) y (20) son soluciones cerradas para la valoración de
opciones Lookback. Como se pude apreciar, bajo esta metodología no es posible inferir
sus precios sin dejar a un lado el valor intrínseco del derivado. Con el fin de alcanzar el
objetivo del presente trabajo y siguiendo la modelación de Richardson (2009), Cyr et
al. (2010) y González y Nave (2010), se realizarán aproximaciones de Monte Carlo,
tanto para las opciones europeas como para las tipo lookback, y posteriormente se
compararán sus resultados.
Para examinar la utilidad del modelo de valoración se estimarán opciones Put y Call,
tanto Europeas como Lookback, de acuerdo con los pay-off de las ecuaciones (9), (10),
(13) y (14). En este sentido, las simulaciones de Monte Carlo estarán definidas por (23)
y (24) para el caso de las Europeas y (28) y (29) para el caso de las Lookback con strike
fijo.
El método de Monte Carlo para calcular opciones europeas
En un mercado neutral al riesgo, el precio del Call Europeo está determinado por
(21) y el precio del Put Europeo determinado por (22).
𝐶𝑚𝑚𝐸 = 𝐸 [𝛼 𝑒−𝑟𝑇 (𝑚𝑚0𝑒𝜎𝑍+(𝑟−
12
𝜎2)𝑇 − 𝐾)+
] (21)
𝑃𝑚𝑚𝐸 = 𝐸 [𝛼 𝑒−𝑟𝑇 (𝐾 − 𝑚𝑚0𝑒𝜎𝑍+(𝑟−
12
𝜎2)𝑇)+
] (22)
Donde,
𝑍~𝑁(0, 𝑇)
De la ecuación (21), el valor de la opción mediante la aproximación de Monte Carlo
se denota como.
12
𝐶𝑚𝑚𝐸 = 𝑒−𝑟𝑇
1
𝑛∑ 𝐶(𝑖)
𝑛
𝑖=1
(23)
Donde,
𝐶(𝑖) = 𝛼 (𝑚𝑚(𝑖)(𝑇) − 𝐾)+
De igual manera, a partir de la ecuación (22) el valor del Put Europeo mediante la
aproximación de Monte Carlo se denota de la siguiente forma.
𝑃𝑚𝑚𝐸 = 𝑒−𝑟𝑇
1
𝑛∑ 𝑃(𝑖)
𝑛
𝑖=1
(24)
Donde,
𝑃(𝑖) = 𝛼 (𝐾 − 𝑚𝑚(𝑖)(𝑇))+
Para las ecuaciones (23) y (24) 𝑚𝑚(𝑖)𝑇 se puede expresar así:
𝑚𝑚(𝑖)(𝑇) = 𝑚𝑚0𝑒𝜎𝑍𝑖+(𝑟−12
𝜎2)𝑇 (25)
Donde,
𝑍𝑖 = 𝑋𝑖 √𝑇
𝑋𝑖 representa la generación de variables aleatorias independientes y distribuidas normalmente
El método de Monte Carlo para calcular opciones Lookback, con strike
fijo
Bajo el supuesto de neutralidad al riesgo, tenemos que la aproximación de Monte
Carlo para las opciones Lookback con strike fijo, está definida por las ecuaciones (26) y
(27).
𝐶𝑚𝑚𝐿 = 𝐸 [𝛼 𝑒−𝑟𝑇 (𝑚𝑎𝑥 {𝑚𝑚0𝑒𝜎𝑊+(𝑟−
12
𝜎2)𝑇} − 𝐾)+
] (26)
𝑃𝑚𝑚𝐿 = 𝐸 [𝛼 𝑒−𝑟𝑇 (𝐾 − 𝑚𝑖𝑛 {𝑚𝑚0𝑒𝜎𝑊+(𝑟−
12
𝜎2)𝑇})+
] (27)
Donde,
𝑊~𝑁(0, 𝑇)
De la ecuación (26), el valor de la opción mediante la aproximación de Monte Carlo
se denota como.
13
𝐶𝑚𝑚𝐿 = 𝑒−𝑟𝑇
1
𝑛∑ 𝐶𝐿
(𝑖)
𝑛
𝑖=1
(28)
Donde,
𝐶𝐿(𝑖)
= 𝛼 (𝑚𝑚𝑚𝑎𝑥[0,𝑇](𝑖) (𝑇) − 𝐾)
+
Poor su parte, a partir de la ecuación (27) el valor del Put tipo Lookback mediante la
aproximación de Monte Carlo se denota de la siguiente forma.
𝑃𝑚𝑚𝐿 = 𝑒−𝑟𝑇
1
𝑛∑ 𝑃𝐿
(𝑖)
𝑛
𝑖=1
(29)
Donde,
𝑃𝐿(𝑖)
= 𝛼 (𝐾 − 𝑚𝑚𝑚𝑖𝑛[0,𝑇](𝑖) (𝑇))
+
Para las ecuaciones (28) y (29) 𝑚𝑚(𝑖)𝑇 se puede expresar así:
𝑚𝑚(𝑖)(𝑇) = 𝑚𝑚0𝑒𝜎𝑊𝑖+(𝑟−12
𝜎2)𝑇 (30)
Donde,
𝑊𝑖 = 𝐴𝑖 √𝑇
𝐴𝑖 representa la generación de variables aleatorias independientes y distribuidas normalmente
Las soluciones numéricas para las ecuaciones (21), (22), (26) y (27) se realizan en
MATLAB mediante la codificación realizada en los anexos A y B, en los que se establece
10.000.000 de iteraciones para las opciones europeas y 90.000 para las tipo lookback,
esta diferencia obedece a la capacidad de memoria del equipo.
Por otra parte, son modelos con volatilidad constante y suponen un factor monetario
de $5.000 por cada mm de la estación meteorológica escogida, este factor será distinto
dependiendo del perfil del tomador de la opción y de su función de demanda o su
función de producción, como se mencionó en el capítulo 2.
Estimación de las opciones
Se tomará como caso de estudio el Departamento del Valle de Cauca, para lo cual se
tomará la información de una estación meteorológica específica en un tiempo
determinado, con el fin de evitar problemas de selección adversa.
La estación seleccionada, está ubicada en el sur del departamento, en el cual se
ubican los principales ingenios azucareros (y producción de caña de azúcar), se
encuentra ubicado el Centro Internacional de Agricultura Tropical, sus carreteras son
de alto tránsito y se encuentra el Aeropuerto Internacional Alfonso Bonilla Aragón,
entre otros aspectos. El Cuadro 3 las características técnicas de la estación.
14
Cuadro 3 Características de la estación a implementar
Propiedad Descripción Nombre ZAPATA LA Código 26070110 Clase Meteorológica Categoría Pluviométrica Estado Activa Entidad IDEAM Departamento Valle del Cauca Municipio Palmira Latitud 3 31 37,9 N Longitud 76 12 38,5 W Altura 1.120
Se tomó la serie mensualizada desde enero del año 1990 hasta marzo de 2015, la cual se muestra en el Gráfico 1. Al igual que el ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. es notoria la incidencia de los fenómenos naturales, como se señala en los círculos rojos y la estacionalidad mes a mes. La media móvil anual indica que cada cuatro años se presenta un ciclo distinto con forma senoidal. En este sentido, se esperaría que durante el resto del 2015 incrementen las precipitaciones en mayor proporción al año 2014, obedeciendo a este parámetro de tendencia de largo plazo.
Gráfico 1
Precipitaciones Estación ZAPATA LA
Media 130,84 Varianza 9.255,33 Mediana 113 Range 499 Máximo 499 IQR 123,5 Mínimo 0 Skewness 1,1007 Desv. Est. 96,2046 Kurtosis 4,4741 n 303
Intuitivamente, se podría decir que la serie tiene algunos valores atípicos, como se marcó en el Gráfico 1, los cuales fueron más frecuentes en los meses de noviembre. La recopilación de la información de noviembre se ilustra en el Gráfico 2, en donde se puede comparar las observaciones de dicho mes.
Gráfico 2
0
100
200
300
400
500
600
ene.
-90
jul.
-90
ene.
-91
jul.
-91
ene.
-92
jul.
-92
ene.
-93
jul.
-93
ene.
-94
jul.
-94
ene.
-95
jul.
-95
ene.
-96
jul.
-96
ene.
-97
jul.
-97
ene.
-98
jul.
-98
ene.
-99
jul.
-99
ene.
-00
jul.
-00
ene.
-01
jul.
-01
ene.
-02
jul.
-02
ene.
-03
jul.
-03
ene.
-04
jul.
-04
ene.
-05
jul.
-05
ene.
-06
jul.
-06
ene.
-07
jul.
-07
ene.
-08
jul.
-08
ene.
-09
jul.
-09
ene.
-10
jul.
-10
ene.
-11
jul.
-11
ene.
-12
jul.
-12
ene.
-13
jul.
-13
ene.
-14
jul.
-14
ene.
-15
Pre
cip
ita
ció
n (
mm
)
Fecha (mes-año)
mm
Media móvil 12 meses
15
Precipitaciones Estación ZAPATA LA – Histórico noviembre
Media 212,35 Desv. Est. 111,54 Mediana 190 Varianza 2.442,17 Med. Geom 187,68 Range 439 Med. Harm 165,78 IQR 113,31 Máximo 499 Skewness 1,1 Mínimo 60 Kurtosis 3,54 n 25
Del Gráfico 2 se tiene que para los años 1993, 1994, 2002 y 2010 se presentaron
movimientos muy distantes del promedio, sin embargo estos datos sospechosamente se
podrían catalogar como outliers. Basado en Iglewicz y Hoaglin (1993) a continuación se
realizaran las pruebas Z-Score y Z-Scoree modificado, con el fin de determinar cuáles
son los datos atípicos.
Z-Score
Este método consiste en determinar la presencia de outlier utilizando la media
aritmética y la desviación estándar así:
Definamos el Z-Score (𝑍𝑖) como (31)
𝑍𝑖 =𝑥𝑖−�̅�
𝜎 donde 𝑋𝑖~𝑁(𝜇, 𝜎2) (31)
Si |𝑍𝑖| > 3 entonces 𝑋𝑖 es outlier
Debido a que el tamaño de la muestra no es tan grande (n=25), es necesario hacer el
test con otro criterio para determinar la presencia de datos atípicos.
Z-Score Modificado
En esta técnica se emplea una medida de tendencia central diferente a la utilizada en
el Z-Score. Para este caso utilizaremos la mediana y la desviación absoluta mediana,
como se muestra a continuación.
0
100
200
300
400
500
600
199
0
199
1
199
2
199
3
199
4
199
5
199
6
199
7
199
8
199
9
20
00
20
01
20
02
20
03
20
04
20
05
20
06
20
07
20
08
20
09
20
10
20
11
20
12
20
13
20
14
Pre
cip
ita
ció
n (
mm
)
Año
16
Definamos el Z-Score modificado (𝑀𝑖) como (32)
𝑀𝑖 =0,6745(𝑥𝑖 − �̃�)
𝑀𝐴𝐷 (32)
donde, 𝑀𝐴𝐷 es la desviación absoluta mediana5 y se define como
𝑀𝐴𝐷 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎|𝑥𝑖 − �̃�|
Si |𝑀𝑖| > 3,5 entonces 𝑋𝑖 es outlier
Basado en los criterios anteriores, en el Cuadro 4 presenta los resultados de la
estimación del Z-Score y Z-Score Modificado, para validar la presencia de outliers.
Cuadro 4 Estimación presencia de outliers
Dato Sospechoso Resultados
Año Valor
(mm) Z-Score
Z-Score
Modificado Conclusión
1993 411 1,78 2,69 No es Outlier
1994 499 2,56 3,77 Es Outlier
2002 60 1,36 1,58 No es Outlier
2010 442 2,06 3,07 No es Outlier
�̅� =212,35 �̃� =190
𝜎 =111,54 𝑀𝐴𝐷 =55,237
Con la presencia del dato estadísticamente atípico, al igual que en el trabajo de Cyr
et al. (2010) se valorarán los derivados con y sin outlier, con el fin de comparar sus
resultados y revisar su incidencia sobre la volatilidad y por supuesto sobre la
valoración.
En el Cuadro 5 se presentan los resultados de la valoración de los derivados
climatológicos por simulaciones de Monte Carlo, con la codificación de los anexos A y
B, en MATLAB. Esta valoración se realizó para cinco strikes diferentes, los cuales se
determinaron teniendo en cuenta el máximo valor registrado, el medio, el mínimo y los
puntos intermedios. De igual forma, se realizó la valoración sin suavizar y suavizando el
efecto del año 1994.
Cuadro 5 Valoración de opciones climatológicas – Precios en COP
5 Teniendo en cuenta que n es impar en esta serie de tiempo, utilizamos �̃� = 𝑥
(𝑛+1
2)
17
Como se esperaba, los resultados del Cuadro 5 indican que a medida que el strike
crece, el precio de los Call se reduce y el de los Put aumenta. Por otra parte, las
opciones tipo lookback son más costosas que las plain vanilla. Al pasar de Opciones
Europeas a Lookback, los precios se incrementan entre 19% y 53%, debido a que al
tomar los valores extremos se aumentan las probabilidades de estar In the Money.
Por su parte, al suavizar el dato observado en 1994, el precio de las opciones
disminuye, ya que la volatilidad es menor, tanto para el caso de las plain vanilla como
para las lookback.
Para la valoración se estableció un factor monetario de $5.000 por cada mm. El
strike en mm lo podríamos representar en COP, multiplicándolo por el factor
monetario 𝛼, obteniendo los resultados del Cuadro 6. Los cuales pueden servir de
punto de comparación frente a los precios de las opciones del Cuadro 5.
Cuadro 6
Strike en COP
Strike en mm 60 136 212 356 499
Strike en COP 300.000 680.000 1.060.000 1.780.000 2.495.000
Si quisiéramos asegurarnos sobre el valor promedio de las precipitaciones, es decir
212 mm o $1.060.000 en COP, la prima como porcentaje del strike oscila entre 17% y
43% (ver Cuadro 7).
Cuadro 7 Prima de las opciones como porcentaje del Strike
Min K2 Media K4 Max
(60) (136) (212) (356) (499)
Call 694.801,93 395.7 50,80 212.222,59 66.383,18 22.913,7 4
Put 1.532,69 58.567 ,19 231.124,62 7 59.97 3,7 8 1.386.507 ,58
Call 693.697 ,87 37 6.451,43 17 8.87 4,22 40.680,7 9 9.969,06
Put 401,10 39.241,19 197 .7 49,62 7 34.244,7 7 1.37 3.536,26
Call 1.156.853,64 800.7 68,01 451.994,31 134.263,27 44.7 7 1,38
Put 2.854,7 1 104.819,38 404.115,31 1.07 8.803,89 1.7 48.807 ,12
Call 1.07 0.7 7 5,93 7 14.67 3,66 366.37 6,32 7 9.214,67 18.7 39,16
Put 7 96,16 7 2.424,93 358.080,81 1.032.7 69,38 1.7 02.7 7 2,62
Eu
ro
pe
aL
oo
kb
ac
k
T ipo
Strike (m m )
NO
SI
NO
SI
Suav
Suav
Strike
212 m m
1.060.000 COP
Call 20,0%
Put 21,8%
Call 16,9%
Put 18,7 %
Call 42,6%
Put 38,1%
Call 34,6%
Put 33,8%Lo
ok
ba
ck NO
SI
T ipo
Eu
ro
pe
a NO
SI
18
Finalmente, examinando el efecto del outtlier sobre el valor de las opciones tenemos
que el dato recolectado en el año 1994, incide con mayor fuerza en el valor de las Put
con strike pequeño. El Cuadro 8 muestra la diferencia entre el valor de las opciones
controlando y sin controlar por outlier. En strike promedio, el outlier tiene un efecto
entre el 11,39% y 18,94%.
Cuadro 8 Efecto del outlier sobre la valoración – Diferencia en COP
Opción Strike (mm)
60 136 212 356 499
Call Europea 1.104,06 19.299,37 33.348,37 25.702,39 12.944,68
0,16% 4,88% 15,71% 38,72% 56,49%
Put Europea 1.131,59 19.326,00 33.375,00 25.729,01 12.971,32
73,83% 33,00% 14,44% 3,39% 0,94%
Call Lookback 86.077,71 86.094,35 85.617,99 55.048,60 26.032,22
7,44% 10,75% 18,94% 41,00% 58,14%
Put Lookback 2.058,55 32.394,45 46.034,50 46.034,51 46.034,50
72,11% 30,91% 11,39% 4,27% 2,63%
Al graficar los resultados del Cuadro 8, observamos el comportamiento de esta
variación porcentual a medida que va incrementando el strike, el cual es decreciente
para las Put y creciente para las Call (ver Gráfico 3).
Gráfico 3
19
Efecto del outlier sobre la Valoración
Los resultados de este trabajo de valoración son muy interesantes. El ejercicio
muestra que al incluir la variable climatológica “precipitaciones” como un factor de
riesgo en las actividades económicas, es posible darle un precio a la incertidumbre por
el nivel necesario del factor de producción W de la fórmula (4).
Si bien en la teoría económica neoclásica los factores de producción K y L tienen un
precio v y s, respectivamente, este ejercicio de valoración nos permite establecer que
ahora la minimización de la función de costes del productor debe partir desde la
ecuación (33).
𝐶𝑇 = 𝑠𝐿 + +𝑣𝐾 + 𝛼 𝑒−𝑟𝑇1
𝑛∑ 𝐷𝑐
(𝑖)
𝑛
𝑖=1
(33)
Donde,
𝐷𝑐(𝑖)
es el pay-off del derivado climatológico asociado a la función de producción
Este ejercicio enseña los posibles precios de las opciones, sin embargo es un
producto que en Colombia hoy en día no existe. Razón por la cual el capítulo 6 intenta
proponer los principios básicos a tener en cuenta para el establecimiento de un
mercado para este producto.
CAPÍTULO 4. El mercado
En el mercado de commodities, Colombia ha dado pasos significativos en el
establecimiento de un escenario de negociación. Inicialmente la Bolsa Nacional
Agropecuaria S.A. – BNA fue creada en el año 1979 con el objetivo principal de brindar
condiciones favorables para el desarrollo de un mercado público de productos
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
60 136 212 356 499
Va
ria
ció
n
Strike (mm)
Call Europea
Put Europea
Call Lookback
Put Lookback
20
agropecuarios y así dinamizar la comercialización de productos agropecuarios en
Colombia. Inicialmente el mercado organizado de commodities tenía un enfoque
netamente agropecuario, sumado a el capital suscrito de la BNA estaba compuesto por
un 49,6% del Gobierno6 y un 50,4% por organizaciones privadas7.
Este mercado se fue reorganizando paulatinamente, desde mayo del año 2010 este
escenario tiene un espectro más amplio en la negociación de commodities y se convirtió
en la Bolsa Mercantil de Colombia – BMC, en donde se realiza registro de facturas y
operaciones de mercado abierto, principalmente. De acuerdo con cifras oficiales, es la
tercera bolsa de commodities en Latinoamérica con un volumen negociado cerca de los
$16,4 billones de pesos, después de Brasil (BM&FBOVESPA) y Argentina (BCR).
Como es sabido, en las principales bolsas de commodities del mundo se realizan
múltiples tipos de negociaciones como se resume en el Cuadro 9, sin embargo, es una
plataforma en la cual se realizan dos tipos de transacciones que son registro de facturas
y operaciones de mercado abierto.
Cuadro 9 Principales negociaciones realizadas en las bolsas de commodities
Tipo Bienes, productos o commodities de origen o destinación
Agropecuarios y pesqueros Minería Industrial
Otros commodities Energéticos Hidrocarburos Climáticos
Unidades de referencia de emisión de gases Bienes y servicios de características técnicas uniformes y de común utilización
Servicios, documentos de tradición o representativos
Mercancías Títulos Valores Derechos Derivados
Fuente: Bolsa Mercantil de Colombia
En el caso de commodities climatológicos, el Instituto de Hidrología, Meteorología y
Estudios Ambientales de Colombia – IDEAM es un actor fundamental para el
establecimiento del mercado, el cual fue creado mediante la Ley 99 de 1993 y
organizado como un establecimiento público de carácter Nacional adscrito al
Ministerio del Medio Ambiente encargado del levantamiento y manejo de la
información meteorológica del país.
6 Principalmente entidades adscritas y vinculadas al Ministerio de Agricultura y Desarrollo Rural. 7 Gremios del sector agropecuario.
21
De acuerdo con información suministrada por el IDEAM, Colombia cuenta con
4.438 estaciones de las cuales 2.711 se encuentran activas (Ver Cuadro 10) y divididas
en tres clases según los Cuadro 11 y Cuadro 12.
Cuadro 10 Estaciones IDEAM por Departamento
Nota: HID: Est. Hidrológicas. MET: Est. Meteorológicas. HMT: Est. Hidrometeorológicas Fuente: IDEAM
Resulta interesante que Colombia cuente con 2.711 estaciones en Colombia, en las
cuales se logra recopilar los datos meteorológicos de todos sus departamentos en un
territorio continental que asciende a 1.141.748 km². Intuitivamente se podría pensar
que puede ser suficiente información para poder establecer un derivado climatológico
en cualquier parte del país. Dependiendo del índice subyacente sobre el cual se
requiera realizar el derivado se debe escoger el tipo de estación (Pluviometría,
temperatura, vientos, etc.); para el caso colombiano podemos ver que se cuenta con
mayor información disponible sobre precipitaciones según las estaciones de los Cuadro
11 y Cuadro 12.
Cuadro 11 Estaciones IDEAM por Clase
Fuente: IDEAM
Cuadro 12 Estaciones IDEAM por Categoría
Fuente: IDEAM
DEPART AMENT O CLASE DEPART AMENT O CLASE DEPART AMENT O CLASE
HID 30 HID 27 HID 14
MET 31 HMT 1 MET 32
HID 52 MET 69 HID 2
HMT 10 HID 18 MET 5
MET 17 6 HMT 6 HID 9
HID 3 MET 43 HMT 2
HMT 1 HID 26 MET 27
MET 12 HMT 5 HID 4
HID 3 MET 60 MET 9
HMT 1 HID 5 HID 33
MET 29 MET 7 HMT 3
HID 1 HID 7 MET 118
MET 32 MET 6 HID 9
HID 38 HID 29 MET 42
HMT 3 HMT 3 HID 46
MET 7 5 MET 117 HMT 8
HID 54 HID 20 MET 123
MET 136 HMT 3 HID 12
HID 31 MET 61 HMT 1
HMT 5 HID 22 MET 83
MET 154 HMT 3 HID 6
HID 15 MET 7 0 MET 9
MET 38 HID 22 HID 13
HID 14 HMT 3 MET 22
HMT 2 MET 68
MET 22 HID 26
HID 19 HMT 4
MET 32 MET 7 5
HID 43 HID 20
HMT 1 HMT 4
MET 108 MET 7 8
T OT ALES
177
VICHADA
T OT AL 2.7 11
96
15
35
SAN ANDRES
SANT ANDER
SUCRE
T OLIMA
VALLE DEL
CAUCA
VAUPES
HUILA
LA GUAJIRA
MAGDALENA
MET A
NARINO
NORT E DE
SANT ANDER
CESAR
CAUCA
CHOCO
CORDOBA
GUAINIA
GUAVIARE
BOLIVAR
BOYACA
CUNDINAMARCA
CALDAS
CAQUET A
CASANARE
T OT ALES
AMAZONAS
ANT IOQUIA
ARAUCA
AT LANT ICO
BOGOT A D.C.
16
33
33
T OT ALES
7
38
13
154
51
84
95
93
105
102
4697
67
91
12
152
PUT UMAYO
QUINDIO
RISARALDA
13
149116
190
190
53
38
51
61
238
CLASE T OT AL
HID 67 3
HMT 69
MET 1969
T OT AL 2.7 11
CAT EGORÍA T OT AL
Pluviométrica 117 8
Limnigráfica 337
Limnimétrica 335
Climatológica ordinaria 289
Climatológica principal 222
Pluviográfica 130
Agrometeorológica 63
Otras 157
T OT AL 2.7 11
22
Hay que tener en cuenta que más del 80% de las estaciones fueron instaladas antes
del año 1960, lo que es un importante volumen de información para el muestreo
estadístico. Como es sabido, el tamaño de la muestra cobra relevancia para obtener la
distribución muestral de la variable dependiente y los estimativos de las variables
independientes, la asignación de intervalos de confianza y la reducción del sesgo de los
estimadores, entre otros aspectos, según Stock y Watson (2012) y Wooldridge (2010).
Si bien es muy importante contar con un gran volumen de información, en esta
ocasión es necesario hacer énfasis en la calidad de la misma y lo que de allí se deriva. Al
intentar trabajar la información recopilada por el IDEAM, es alarmante que se pueda
poner en duda su confiabilidad al momento de establecer un producto financiero y su
modelación. Quien se enfrente a estas series de tiempo puede encontrar que las mismas
podrían poner en riesgo o desmotivar la estructuración de los derivados, teniendo en
cuenta las causas descritas en el Cuadro 13.
A pesar de que en algunas estaciones existen problemas con la recopilación de los
datos, se pueden realizar correcciones de tipo estadístico para poder trabajar las series
y es establecer una valoración que puede llegar a ser útil, pero sesgada. Sin embargo,
podrían surgir conflictos de tipo legal si al momento del vencimiento del derivado no se
cuenta con la información que permite determinar si se ejerce la opción, situación que
pone en riesgo su convertibilidad.
Los rezagos en la obtención de la información, así como la información preliminar
impiden desarrollar su bursatilidad, debido a que contar con los datos en tiempo real es
de vital importancia para la toma de decisiones. Asimismo, se podrían crear
oportunidades de arbitraje para aquellos que puedan acceder más rápidamente a la
información meteorológica o aquellos que estén en la capacidad de establecer
medidores para variables proxy del índice subyacente. Es decir, el mercado contaría
con información asimétrica.
Cuadro 13 Análisis de la calidad de la Información del IDEAM
Causas Consecuencias
1.
Las bases de datos del IDEAM tienen problemas de accesibilidad. Los usuarios deben pagar por obtener las series, o son entregadas en un lapso de más de un mes por el Grupo de Archivo Técnico8.
Se desincentiva a la comunidad académica y empresarial para que pueda realizar estudios y estimaciones sobre las variables meteorológicas. A su vez, contar con información desactualizada impide tomar decisiones de forma inmediata.
2.
Las series de tiempo no son definitivas. Los datos tienen cuatro estados: a) Preliminares IDEAM. b) Definitivos IDEAM. c) Preliminares Otra Entidad. d)
No contar con información definitiva genera desconfianza en el mercado para tomar decisiones. Si bien es importante contar con datos aproximados, no sería posible honrar los contratos que se basen en variables climatológicas aproximadas como subyacente.
8 La Ley 1712 de 2014 crea la Ley de Transparencia y del Derecho de Acceso a la Información Pública
Nacional, en la cual establece que este tipo de información debe ser entregada a quien la solicite. Se aclara que el IDEAM atiende los requerimientos en orden de llegada, razón por la cual demora más de un mes en ser entregada.
23
Definitivos Otra Entidad.
3.
Las series presentan ausencia de datos por diferentes causales, de igual forma algunos son registrados como dudosos e incompletos.
Si bien que para los casos en los que se presenta ausencia de datos, así como datos dudosos e incompletos, se pueden realizar reconstrucciones y subsanaciones bajo técnicas de inferencia estadística (véase en Gómez, Palarea y Martín, 2006), el mercado asimila esta información con un alto grado de desconfianza. Por su parte, gracias a que podemos completar los datos completar los datos, es posible simular el comportamiento futuro de la variable meteorológica. Sin embargo el error de pronóstico se altera, lo cual implica mayor riesgo para los agentes del mercado. De igual manera, si nos encontramos que al vencimiento de un derivado, no es posible contar con el valor del subyacente, el contrato puede ser nulo o se derivarían otras circunstancias de carácter legal.
A partir de todo lo anterior puede hacerse un planteamiento con el cual los agentes
cuenten con la misma información oficial al mismo tiempo. Asimismo una estura en la
que se pueda autorizar a quienes deseen tranzar y mitigar el riesgo de contraparte.
Si bien la información climatológica proviene de una fuente primaria, esta puede no
resultar ser eficaz en su aplicabilidad, con lo cual en primera instancia es necesario
asegurar la calidad de la información, el cual es el insumo principal (subyacente) sobre
el cual se estructuran los derivados y se ejercen.
Si bien los derivados climatológicos pueden ser tranzados en el mercado OTC, es de
gran utilidad acudir a un mercado organizado como el de la BMC, el cual según sus
estatutos tiene por objeto “[…] servir de foro de negociación de commodities sin la
presencia física de los mismos, así como de servicios, documentos de tradición o
representativos de mercancías, títulos, valores, derechos, derivados y contratos que
tengan como subyacente commodities y demás bienes susceptibles de ser transados
conforme a las leyes y a los reglamentos que regulan su actividad”.
Sin embargo, si la BMC quisiera que se utilizara su plataforma para que sean
tranzados estos derivados, esta debe velar por su transparencia. Para tal fin es sensato
pensar que dicha institución pueda realizar un seguimiento a la captura de la
información realizada por el IDEAM, específicamente sobre las estaciones en las cuales
se estructuran los productos. De igual forma, la plataforma debe velar por la
funcionalidad de las estaciones. El
24
Esquema 1 se especifica el mecanismo propuesto para el control de la información y
establecimiento del escenario para la negociación.
25
Esquema 1 Actores en el Mercado
Supervisión
Est. 1
Est. 2
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.
.
Est. n
Distintos sectores de la economía que se ven afectados por la variabilidad
climatológica, asimismo podemos pensar que el sector Gobierno (Nacional y
municipal) también puede acudir al mercado para transferir el riesgo climatológico, de
igual forma puede esperarse el surgimiento de especuladores y arbitrajistas que actúen
en el mercado.
Al pensar en este tipo de estructura, la BMC debería cumplir un papel regulatorio,
especificando las condiciones para tranzar estos títulos en su plataforma,
principalmente en aspectos como:
1. Filtro de estaciones meteorológicas sobre las cuales pueden estructurarse los
productos.
2. Análisis y filtro de los agentes que pueden intervenir directamente en este
mercado.
3. Establecimiento de un sistema de información en el cual muestre la
calificación de los actores que intervienen, asimismo, alimentar el sistema
con calificaciones sobre el cumplimiento de los contratos.
4. Establecimiento de montos mínimos y topes en las transacciones.
5. Velar por la constitución de las garantías por parte de los vendedores de los
derivados climatológicos, en caso de ser necesario.
6. Políticas para el manejo de la información.
7. Establecimiento de un código de conducta aplicable a las sociedades
comisionistas miembros de la Bolsa y de las personas naturales vinculadas a
éstas.
8. Establecimiento de reglas en el uso de información privilegiada, de
confidencialidad y reservada por parte del IDEAM, las sociedades
Superfinanciera
Comparte Información
Vigilancia y Seguimiento
Vigilancia y seguimientoVerificación calidad de la informacón
26
comisionistas miembros de la Bolsa y de las personas naturales vinculadas a
éstas.
9. Reglamentación para el manejo del conflicto de interés y manipulación del
mercado.
Se aclara que la BMC únicamente podría establecer o modificar la reglamentación
con previa autorización de la Superintendencia Financiera de Colombia, al ser una
entidad vigilada, y por su junta directiva de acuerdo con sus estatutos. De esta forma se
genera un control adicional sobre la calidad de la información y se establecen reglas
operativas, conservando la institucionalidad tanto de la BMC y del IDEAM.
A estos requerimientos funcionales se le suma el capital humano que debe absorber
el mercado. Si pensamos en modelos de predicción sobre variables climatológicas, a
través de modelos econométricos con múltiples predictores, o si se encuentra que
además del proceso estocástico de la variable “clima” se deben incorporar al modelo los
choques o cambios estructurales (Stock y Watson, 2012), es necesario calibrar los
modelos de valoración con los aportes de los meteorólogos. De igual forma los choques
exógenos ocurran y que se logren identificar, pueden generar bursatilidad en el
mercado.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
La bibliografía utilizada se contextualiza principalmente en el mercado
internacional, por lo que únicamente se puede recoger la modelación analítica de los
autores. Esta diferenciación se centra en elementos como la cultura en la mitigación de
riesgos por parte de los agentes económicos y la volatilidad de las variables
meteorológicas (estaciones climáticas).
Este estudio permite identificar que efectivamente es posible valorar las opciones
climatológicas sobre precipitaciones en Colombia. Tanto las opciones europeas como
las lookback se deben establecer strikes cercanos al promedio con el fin de que sean
instrumentos financiaros funcionales y con un precio apropiado. Para los casos en los
que se tienen Call con Strikes muy pequeños o Put con Stikes muy altos se recomienda
el uso de Bonos CAT, ya que las primas de las opciones resultan ser mayores al precio
de los seguros.
El estudio revela que un solo outlier puede alterar significativamente la valoración,
en hasta un 18,94% para el strike promedio. Al no corregir este efecto se abren
oportunidades de arbitraje, ya que se sobrevalora la opción.
En los modelos tradicionales para valoración de opciones, tenemos que sigma (𝜎) se
mide como la volatilidad de los rendimientos del subyacente. Sin embargo,
conceptualmente el clima no genera rendimientos per se. Como se examinó en el
capítulo 2, el clima afecta los rendimientos de una actividad productiva principal, la
cual podría variar dependiendo del sector y principalmente de la función de
producción. Por otra parte es común que en las series de tiempo climatológicas en
27
estaciones meteorológicas, se tengan observaciones igual a cero, obteniendo resultados
como en (34).
𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑏𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 =𝑚𝑚𝑡
0− 1 = ∞ (34)
Al trabajar con derivados climatológicos nos encontramos con que el riesgo moral se
minimiza. A diferencia de los seguros, encontramos que con los derivados no hay
incentivos para emprender actividades que puedan alterar la probabilidad de incurrir
en pérdida. Se podría plantear constituir un instrumento de política pública para
sustituir productos como el seguro agropecuario el cual viene siendo subvencionado y
en el cual el Gobierno Nacional gastó más de $45 mil millones entre el 2010 y el 2014.
Fue necesario utilizar una valoración por Monte Carlo para calcular las posibles
trayectorias del subyacente mm y así poder hallar sus valores máximo y mínimo,
utilizados en la valoración de las opciones lookback. De igual forma también se podrían
realizar pronósticos con modelos de econometría en series de tiempo, adicionando
variables exógenas u otro tipo de regresores (Jewson y Brix, 2005).
La modelación analítica microfundamentada llega hasta el planteamiento de la
nueva función de costos (33). Se recomienda que para su continuidad se realice un
estudio econométrico, en donde los datos de producción de una industria (o mejor aún
una empresa específica) es la variable dependiente 𝑌𝑡 y las observaciones de mano de
obra 𝐿𝑡 , tecnología 𝐾𝑡 y clima 𝑊𝑡 funcionan como regresores del modelo. Esto, con el
fin de hallar los niveles adecuados de 𝛼 y 𝐾 que determinan los pay-off. Asimismo,
para este análisis es necesario rezagar los regresores de tal forma que sean
concordantes con los ciclos productivos, especialmente para el caso de 𝑊𝑡. Con este
estudio,también es posible determinar si la variable precipitaciones necesita algún tipo
de transformación, o también se podría concluir que se requiere otro tipo de opción o
estrategia de negociación (productos personalizados).
Los resultados en la ecuación (33) obedecen a que se planteó una función de producción Cobb Douglas, en relación con los movimientos de la oferta descritos en el capítulo 2.2. Además de la extensión del modelo sugerida en el párrafo anterior, de igual forma se recomienda realizar un modelo analítico desde la demanda para determinar los niveles de 𝛼 y 𝐾 según el análisis del capítulo 2.1.
Si bien es notorio el patrón de estacionalidad en todas las series de precipitaciones,
podría ser interesante examinar cómo afecta el comportamiento del mes
inmediatamente anterior al pronóstico de la variable en cuestión. Para nuestra variable
de estudio 𝑚𝑚𝑡𝑛𝑜𝑣 se propone que el pronóstico no solamente tome en cuenta los meses
de noviembre, sino que absorba el efecto de octubre, toda vez que esta observación
puede explicar 𝑚𝑚𝑡+1𝑛𝑜𝑣. Es decir pasando de un proceso estocástico (35) a un proceso
(36).
𝑚𝑚𝑡+1𝑛𝑜𝑣 = 𝑓(𝑚𝑚𝑡
𝑛𝑜𝑣, 𝑚𝑚𝑡−1𝑛𝑜𝑣, 𝑚𝑚𝑡−2
𝑛𝑜𝑣, … , 𝑚𝑚𝑡−𝑛𝑛𝑜𝑣) (35)
28
𝑚𝑚𝑡+1𝑛𝑜𝑣 = 𝑓(𝑚𝑚𝑡
𝑛𝑜𝑣, 𝑚𝑚𝑡−1𝑛𝑜𝑣, … , 𝑚𝑚𝑡−𝑛
𝑛𝑜𝑣, 𝑚𝑚𝑡𝑜𝑐𝑡, 𝑚𝑚𝑡−1
𝑜𝑐𝑡 , … , 𝑚𝑚𝑡−𝑛𝑜𝑐𝑡 ) (36)
Se utilizó un modelo de valoración con volatilidad constante. Si bien se corrigió el
efecto del outlier, resultaría de gran utilidad retomar el estudio de estas series con
volatilidad estocástica, con el fin de no subestimar la probabilidad de ocurrencia de los
valores extremos. A su vez se invita a la comunidad académica involucrada en los
estudios meteorológicos a que realicen sus aportes, estudiando con mayor
detenimiento el subyacente, y así lograr un engranaje con la teoría financiera.
La confianza y la seguridad jurídica son los principales elementos para lograr el
implementar un mercado de derivados climatológicos en el país, por lo cual se
recomienda el acompañamiento del mercado organizado. De ser posible, no es
necesario cambiar los estatutos de la BMC, no obstante se requiere crear una
reglamentación especial para su funcionamiento, así como absorber el capital humano
adecuado para realizar la supervisión que pretende.
Para que el mercado opere de una forma segura, se deben escoger las estaciones con
mejor calidad de captura de información.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Alaton, P., Djehiche, B. y Stillberger, D. (2002). On modelling and pricing weather
derivatives. Applied Mathematical Finance, Vol. 9, No. 1, pp. 1- 22
Arango, C., Dorado, J., Guzmán, D., y Ruiz, J. F. (2001). Climatología trimestral de
Colombia. IDEAM. Disponible en: www.ideam.gov.co
Benth, F.E, Šaltytė, J. y Koekebakker, S. (2007). Putting a Price on Temperature.
Scandinavian Journal of Statistics, Vol. 34, No. 4, pp. 746 - 767.
Black, F., and Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities.
Journal of Political Economy, Vol. 81, No. 3, pp. 637-654.
Boshell J., P. Téllez, y Gómez, R. (2000). Análisis agroclimático del trapecio
amazónico. Meteorología Colombiana. No. 1, pp. 83 - 94.
Bruner, R., (2000). Enron Corporation's Weather Derivatives. Darden Business
Publishing, Version 1.2.
Caicedo, E. (2007). El fenómeno de El Niño y su posible impacto en Colombia.
Reportes del Emisor, No. 92.
Campbell, S. y Diebold, F. (2005). Weather Forecasting for Weather Derivatives.
Journal of the American Statistical Association. Vol. 100, No. 469, pp. 6 –16.
Castro, M. (2009). Managing Weather Risk with Rainfall Option. Documento de
trabajo. Universidad Torcuato di Tella.
29
Cerveny, R. (2010). Hedging your weather bets: The science of weather futures trading.
WEATHERWISE, nov/dec, pp. 38 – 43.
Conze, A. y Viswanathan, R. (1991). Path Dependent Options: The Case of Lookback
Options. Journal of Finance, Vol. 46, No. 5, pp. 1893-1907
Cruz, J. S. y Llinás, A. (2010). Modelo analítico de derivados de clima para eventos
específicos de riesgo en la agricultura en Colombia. Cuadernos de Desarrollo Rural.
Vol. 7, No. 64, pp. 121 – 147.
Cyr, D., Kusy, M. y Shaw, A. (2010). Climate Change and the Potential Use of Weather
Derivatives to Hedge Vineyard Harvest Rainfall Risk in the Niagara Region. Journal
of Wine Research, Vol. 21, Nos. 2-3, pp. 207 – 227.
Dischel, R. (2002). Climate Risk and the Weather Market: Financial Risk Management
with Weather Hedges. The Journal of Risk and Insurance, Vol. 71, No. 3 (Sep.,
2004), pp. 550-552.
Goldman, M. B., Sosin, H. B. y Gatto, M. A. (1979). Path Dependent Options: “Buy at
the Low, Sell at the High”. The Journal of Finance, Vol. 34, No. 5, pp. 1111-1127.
Gómez, G., Palarea, J. y Martín, J. A. (2006). Métodos de Inferencia estadística con
datos faltantes. Estudio de simulación sobre los efectos en las estimaciones.
Estadística Española, Vol. 48, No. 162, pp. 241 – 270.
González, M. y Nave, M. (2010). Valoración de derivados de clima a partir de la
modelización estocástica de la temperatura en el Aeropuerto El Dorado de Bogotá.
Cuadernos de Administración, Vol. 23, No. 41, pp. 241 – 283.
Hernández, J. (2013). Contratos financieros derivados del clima como estrategia de
cobertura en Colombia. Aplicación a una central de generación hidroeléctrica. Tesis.
Medellín: Universidad Nacional de Colombia.
Hull, J. (2002). Introducción a los Mercados de Futuros y Opciones. Prentice Hall.
Madrid, 4ªed.
Iglewicz, B., Hoaglin, D. (1993). How to Detect and Handle Outliers. Technometrics,
Vol. 36, No. 3, pp. 315-316.
Jewson, S., Brix, A. y Ziehmann, C. (2005). Weather Derivative Valuation: The
Meteorological, Statistical, Financial and Mathematics Foundation. Cambridge
University Press. Cambridge, UK.
Juárez, M. y Sánchez, L. (2012). Effectiveness of Weather Derivatives as a Cross-
Hedging Instrument against Climate Change: The Cases of Reservoir Water
Allocation Management in Guanajuato, Mexico and Lambayeque, Peru. Inter-
American Development Bank, working paper series 328.
30
Karl, W. y Osipenko, M. (2012). Spatial Risk Premium on Weather Derivatives and
Hedging Weather Exposure in Electricity. The Energy Journal, Vol. 33, No. 2, pp.
149 - 170.
Ramírez, V. H., Jaramillo, Á., y Arcilla, J. (2010). Rangos adecuados de lluvia para el
cultivo del café en Colombia. Av. Téc. Cenicafé. No. 395.
Ramírez, V. H., Jaramillo, Á., Peña, A. J., y Valencia, J. A. (2012). La lluvia como factor
de amenaza para el cultivo del café en Colombia. Av. Téc. Cenicafé. No. 415.
Randalls, S. (2010). Weather profits: Weather derivatives and the commercialization of
meteorology. Social Studies of Science. Vol. 40, No. 5, pp. 705 – 730.
Richardson, M. (2009). Numerical Methods for Option Pricing. Tesis Doctoral. Oxford:
Mathematical Institute, University of Oxford.
Riveros, A. (2012). Implementación de métodos cuasi Montecarlo para la valoración de
bonos catastróficos siguiendo la metodología Baryshikov, Mayo & Taylor. Tesis de
Maestría. Bogotá: Universidad Externado de Colombia.
Salice, M. J. (2012). “Derivados climáticos: perspectiva institucional y financiera” en
XVII Congreso Internacional del CLAD sobre la Reforma del Estado y de la
Administración Pública. Cartagena, Colombia.
Spicka, J. y Hnilica, J. (2013). A Methodical Approach to Design and Valuation of
Weather Derivatives in Agriculture. Advances in Metereology, Vol. 2013, pp. 1-8.
Stock, J. H. y Watson, M. W. (2012). Introducción a la econometría. Pearson. Madrid,
3ªed.
Thorarinsdottir, T. y Gneiting, T. (2010). Probabilistic forecast of wind speed:
ensemble model output statistics by using heteroscedastic censored regression.
Journal of the Royal Statistical Society, Vol. 173, No. 2, pp. 371 - 388.
Turvey, C. (2001). Weather Derivatives for Specific Event Risks in Agriculture. Review
of Agricultural Economics. Vol. 23, No. 2, pp. 333 – 351.
Wooldridge, J. M. (2010). Introducción a la econometría. Un enfoque moderno.
Cengage Learning. México, 4ªed.
Xu, W., Odening, M. y Musshoff, O. (2008). Indifference Pricing of Weather
Derivatives. American Journal of Agricultural Economics, Vol. 90, No. 4, pp. 979 –
993.
Yongheon, L. y Oren, S. (2008). An Equilibrium Pricing Model for Weather Derivatives
in a Milti-commodity Setting. Coleman Fung Risk Management Research Center,
Working Paper No. 4.
Zapranis, A. y Alexandridis, A. (2008). Modelling the Temperature Time-dependent
speed of Mean Reversion in the Context of Weather Derivatives Pricing. Applied
Mathematical Finance, Vol. 15, No. 4, pp. 355 - 386.
31
Zeng, L. (2000). Weather Derivatives and Weather Insurance: Concept, Application
and Analysis. Bulletin of the American Metrological Society. Vol. 81, pp. 2075 –
2082.
32
ANEXOS
Anexo A. Código en MATLAB para la valoración de opciones europeas
climatológicas, mediante simulaciones de Monte Carlo
% VALORACION_DERIVADO_CLIMATOLOGICO_EUROPEAS_MC.m %------------------------------------------------------------------------ %Este código valora las opciones europeas climatológicas, mediante
simulaciones de Monte Carlo %------------------------------------------------------------------------ %Datos de entrada 1: Estacion_ZAPATA_LA_nov_mm.xlsx
%Datos de entrada 2: Estacion_ZAPATA_LA_nov_mm_suavizada.xlsx
Deben ser importados como vectores en columnas %------------------------------------------------------------------------
S = nov_mm(length(nov_mm)); % Valor de subyacente. Último valor observado K = round(mean(nov_mm)); % Strike. También se usa en la estimación
K = round(min(nov_mm))
K = round(max(nov_mm))
K = round((min(nov_mm)+mean(nov_mm))/2) y
K = round((mean(nov_mm)+max(nov_mm))/2)
r = 0.065; % Tasa libre de riesgo. Tomado de: Informe Renta Variable
Bancolombia sigma = std(nov_mm)/S % Volatilidad alpha = 5000; %Factor monetario T = 1; % Vencimiento. El próximo noviembre.
% Parámetros para la aproximación
M=10000000; % Número de trayectorias
% Estimación del modelo RN = randn(M,1); % Geeneración de números aleatorios
% Cálculo de las trayectorias de mm ruta_mm = S*exp((r-0.5*sigma^2)*T + sigma*sqrt(T)*RN);
% Pay-off de las opciones europeas pay_off_call=alpha*max(ruta_mm-K,0); % Pay-off Call pay_off_put=alpha*max(K-ruta_mm,0); % Pay-off Put
% Calculando el promedio de los valores finales
media_call=mean(pay_off_call); media_put=mean(pay_off_put);
% Resultado final del ejercicio de valoración % Trayendo a valor presente - Bajo neutralidad al riesgo
Precio_call = exp(-r*T)*media_call % Valor del Call Precio_put = exp(-r*T)*media_put % Valor del Put
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Anexo B. Código en MATLAB para la valoración de opciones climatológicas
tipo lookback con Strike fijo, mediante simulaciones de Monte Carlo
% VALORACION_DERIVADO_CLIMATOLOGICO_LOOKBACK_MC.m %------------------------------------------------------------------------ %Este código valora las opciones climatológicas tipo lookback
con Strike fijo, mediante simulaciones de Monte Carlo %------------------------------------------------------------------------ %Datos de entrada 1: Estacion_ZAPATA_LA_nov_mm.xlsx
%Datos de entrada 2: Estacion_ZAPATA_LA_nov_mm_suavizada.xlsx
Deben ser importados como vectores en columnas %------------------------------------------------------------------------
S = nov_mm(length(nov_mm)); % Valor de subyacente. Último valor observado K = round(mean(nov_mm)); % Strike. También se usa en la estimación
K = round(min(nov_mm))
K = round(max(nov_mm))
K = round((min(nov_mm)+mean(nov_mm))/2) y
K = round((mean(nov_mm)+max(nov_mm))/2)
r = 0.065; % Tasa libre de riesgo. Tomado de: Informe Renta Variable
Bancolombia sigma = std(nov_mm)/S % Volatilidad alpha = 5000; %Factor monetario T = 1; % Vencimiento. El próximo noviembre.
% Parámetros para la aproximación
M=90000; % Número de trayectorias n=1000; % Número de pasos dt=T/n; % Tiempo sobre pasos
% Estimación del modelo dW=sqrt(dt)*randn(M,n); % Movimiento browniano W=cumsum(dW,2); % Suma acumulativa - Proceso de Wiener t=0:dt:T; W=[zeros(M,1),W]; % Matriz de ceros con tamaño de acuerdo a las
trayectorias tt=repmat(t,M,1); % Creación de matriz para los valores t ruta_mm=S*exp((r-0.5*sigma^2)*tt+sigma*W); % Calculando el máximo y mínimo valor que alcanza mm durante la vigencia
del contrato max_val=max(ruta_mm,[],2); min_val=min(ruta_mm,[],2); % Pay-off del Call tipo lookback pay_off_call=alpha*(max(max_val-K,0));
% Pay-off del Put tipo lookback pay_off_put=alpha*(max(K-min_val,0)); % Promedio de los pay-off media_call=mean(pay_off_call); media_put=mean(pay_off_put);
% Resultado final del ejercicio de valoración - Bajo riesgo neutral Precio_Call = exp(-r*T)*media_call) %Precio Call Precio_Put = exp(-r*T)*media_put) %Precio Put
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