GUIA DE APRENDIZAJE
1. Investiga y escribe la definición de límite:
Si f es una función, entonces se dice que
A es el limite de f(x) cuando x se aproxima a a
Si el valor de f(x) se acerca arbitrariamente a A cuando x se aproxima a a. En notación matemática esto se expresa así:
Lim f(x)=A
x→a
2. ¿Qué entiendes, cuando se dice que el valor de x tiende a cierto número en una función? Por ejemplo, en la función f(x)=3x+4, a qué valor tiende “y” cuando “x” tiende a 7.
Cuando el valor de y se obtiene a partir de los números que se van acercando al valor a cual tiende el valor de x. En este caso es a cual valor se acerca la función: 3x+4 cuando el valor de x se va acercando a 7.
3. Grafica la función anterior; tabula con valores cercanos al 7 por ambos lados.
x f(x) f (x)=3x+4
6 22 3(6)+4
6.5 23.5 3(6.5)+4
6.9 24.7 3(6.9)+4
6.999 24.997 3(6.999)+4
7.0001 25.0003 3(7.0001)+4
7.1 25.3 3(7.1)+4
7.5 26.5 3(7.5)+4
4. ¿Cuáles son las condiciones que debe cumplir una función para que podamos decir que es continua en cierto punto?
Una función es continua cuando en x0 si se cumplen las 3 condiciones siguientes:
F(x) esta definida
limx→x 0
f (x ) existe❑
limx→x 0
f (x )=f (x 0)❑
5. Busca una función donde se cumplan las condiciones de continuidad y otra donde no se cumplan. En los dos casos necesariamente debes realizar la gráfica.
EJERCICIOS:
1. Completa la tabla, grafica la función y encuentra el límite de las siguientes funciones:
a) f (x)=x2−4 , si x tiendea1
x y y=x2−4
-4 12 Y= (-4)2 -4
-3 5 Y= (-3)2 -4
-2 0 Y= (-2)2 -4
-1 -3 Y= (-1)2 -4
0 -4 Y= (0)2 -4
2 0 Y= (2)2 -4
3 5 Y= (3)2 -4
b) f (x)=2x3−1 , si x tiende a−2
x y y=2x3−1
3 53 Y=2(3)3 -1
2 15 Y=2(2)3 -1
1 1 Y=2(1)3 -1
0 -1 Y=2(0)3 -1
-1 -3 Y=2(-1)3 -1
-3 -55 Y=2(-3)3 -1
-4 -129 Y=2(-4)3 -1
c) f (x)=1
(x−1), si x tiende a1
x yy= 1
( x−1)
4 1/3y= 1
(4−1)
3 1/2y= 1
(3−1)
2 1y= 1
(2−1)
-2 -1/3y= 1
(−2−1)
-3 -1/4y= 1
(−3−1)
-4 -1/5y= 1
(−4−1)
-5 -1/6y= 1
(−5−1)
d) f (x)=ln ( x−2 ) , si x tiende a10
x y y=ln (x−2)
0 3 y=ln (x−2)
0.69 4 y=ln (x−2)
1.09 5 y=ln (x−2)
1.38 6 y=ln (x−2)
1.6 7 y=ln (x−2)
1.79 8 y=ln (x−2)
1.94 9 y=ln (x−2)
e) f (x)=senx , cuando x tiendeaπ2
x y y=senx
2. Para la siguiente función encuentra el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda, y haz lo mismo para cuando tiende por la derecha.
a) f(x)={x+3 si x<12 si x≥1
limn→−1
x+3=2
limn→1
2=2
3. Para la siguiente función encuentra el límite cuando x tiende a 2 por la izquierda, y haz lo mismo para cuando tiende por la derecha.
b) f(x)={x−4 si−2< x<2x2−6 si2<x≤4
4. En cada uno de los siguientes problemas definimos una función y se da su dominio. Determina si la función es discontinua para alguno o algunos valores de su dominio, indicando cuál de las tres condiciones no se cumple.
a) f(x)={x+3 si x<12 si x≥1
limn→1
x+3=¿4 ¿
limn→1
2=2
Los limites no coinciden por lo tanto la función no es continua
b) f ( x )={12 x+1 si x≤23−x si x>2
limn→2
12x+1=2
limn→2
3−x=1
Los limites no coinciden por lo tanto la función no es continua
c) f ( x )={ −2 x si x ≤2x2−4 x+1 si x>2
limn→2
−2x=−4
limn→2
x2−4 x+1=4−8+1=−3
Los limites no coinciden por lo tanto la función no es continua en x=2
d) f(x)={x−4 si−2< x<2x2−6 si2<x ≤5
La función está definida en el intervalo (-2,5). La función no esta definida en x=2 ya que ese valor no se incluye en ninguno de los dos criterios por lo tanto la función no será continua en x=2
e) f(x)={ 3x−2 si−3<x<1x2−2x+1 si1<x≤3
La función esta definida en ( -3,3) y al no estar incluido en ninguno de los dos criterios el valor de 1 la función no será continua en x=1