MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 1.º BACHILLERATO © Material fotocopiable / GRUPO EDELVIVES
UNIDAD 10. LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES C-07-01
1.
a) 2
lim fx
x
7
b) 0
lim fx
x
3
c) 4
lim fx
x
4
d) 4
lim fx
x
5
e) 3
lim fx
x
+
f) 3
lim fx
x
–
2.
a) 2
lim 32x
x
2
b) 1
2 1lim
3 2x
x
x
c) 3 2
1lim 2x
x x
–3
d) 3 2
50
2 3lim
1 2x
x x
x x
–3
e) 3
1lim 3x
x x
2
f) 4 1
0
1lime
e
x
x
g) 5
52
lim log 7x
x
2
h) 2lim 3lnx e
x
–6
i) 3 2
limcos4 2 2x
x
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3.
a) 0
1lim f
2xx
b) 3
lim fx
x
1
c) 1
lim fx
x
–4
d) 1
lim fx
x
1
e) 1
1lim f
3xx
f) 1
lim fx
x
–1
4.
a) 1 1
lim f , lim fx x
x x
b) 1 1
lim f , lim fx x
x x
c) 0 0
lim f , lim fx x
x x
d) 3 3
lim f , lim fx x
x x
e) 2 2
lim f , lim fx x
x x
f) 2 2
lim f , lim fx x
x x
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5.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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LÍMITES DE FUNCIONES EN EL INFINITO C-07-02
1.
a) lim fx
x
0
b) lim fx
x
–2
c) lim gx
x
–6
b) lim gx
x
2.
a) 3 2lim 2
xx x
b) 3 5lim 5 3
xx x
c) 4 3lim 5 2
xx x
d) 3lim 3
xx x
e) 3 2lim
xx x
f) 3 2
5
3lim
1x
x x
x x
0
g)
5 2
5lim
1x
x x
x x
1
h) 3 2
3
6lim
1 3x
x x x
x
2
i) 4
3 2
5lim
3x
x
x x
3. d < c < e < a < b < f
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4.
a) lim ex
xx
b) lim ex
xx
0
c) 3 2
limxx
x x
e
0
d) 3 2
limxx
x x
e
e) 5ln
lim3x
x
x 0
f) 5
3lim
ln 2x
x
x
g)
35 2 1
3 2lim
1
x
x
x
x x
x x
h) 2
5limx
xx x
i)
11
lim1
x
x x
0
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INDETERMINACIONES C-07-03
1.
a) 4 2
3 20
2 2lim
5 5x
x x
x x
b) 2
21
2 1limx
x x
x x
0
c) 2
4
4lim
8 2x
x x
x
–2
d) 21
1lim
3 2x
x
x x
–1
e) 2
3 21
1lim
2 7 7 2x
x
x x x
0
f) 4 3 2
5
13 57 95 50lim
5x
x x x x
x
0
g)
2
2 23
2 23
23
9lim
9 6 9lim
6 9 9lim
6 9
x
x
x
x
x x x
x x x
x x
h)
2
2 22
2 22
22
5 6lim
5 6 4 4lim
4 4 5 6lim
4 4
x
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x
2.
a)
2 26lim
1 1x
x x
x x
2
b)2 3
2
1 2 1lim
3x
x x
x x
–
c)
3 2
2
1lim
2 1x
x x
x x
0
d)
2
4 3
6 3 1lim
4 3x
x x
x x
3
e) 3 2lim 1 2x
x x x
+
f) 2 1
lim 12x
x x x
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3.
a) 3
3 3lim
3 6x
x
x
b) 1
2 3 1lim
1 4x
x
x
c) lim cosx
x
–1
d)
2
lim tgx
x
+
CONTINUIDAD C-07-04
1. Discontinua de salto finito en x = –4 y discontinua de salto infinito en x = 3.
2.
a) Continua en por ser un polinomio.
b) Discontinua de salto infinito en x = 0.
c) Discontinua de salto infinito en x = –2 y en x = 2.
d) Discontinua de salto infinito en x = –1 y en x = 3.
3.
a) 1 1
lim f 3 1 lim fx x
x x
Discontinuidad de salto finito
b) 0 0
1lim f lim f
2x xx x
Continua
c) 1 1
lim f lim f 1 1 f 1x x
x x
Discontinuidad evitable
d) 2 2
lim f lim f 0x x
x x
Discontinuidad de salto infinito
4.
a) k = 7
2
b) k = 4
17
5.
a) a = 1, b = 2
b) a = 6
, b = –
3
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APLICACIONES DE LOS LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES A LAS CIENCIAS
SOCIALES C-07-05
1. Como lim ( ) ( ) 1t
t td p
podemos afirmar que la diferencia se estabilizará, por lo que no
habrá peligro de extinción de estas especies.
2. Calculamos el límite:
2 2 2
2
1 2 3 3 2 3lim ( ) lim lim 1,5
1 2 5 2 7 5 2t t t
t t t t
t t t tB t
Es decir, a largo plazo el beneficio tenderá a estabilizarse en 1,5 millones de euros anuales. 3. La función no puede calcularse para t = 3, pero sí podemos hallar el límite cuando nos acercamos a 3 (por la izquierda).
2 2 33 3 3
5 35 15 5lim ( ) lim lim lim
6 9 ( 3) ( 3)tt t t
ttt
t t t tP
La presión aumentará indefinidamente conforme nos acercamos a los 3 minutos, por lo que el recipiente estallará. 4. a) Si estacionas “algo menos de una hora”:
1 1lim ( ) lim1,2 1,2x x
x xf
Si estacionas «algo más de una hora»:
2
1 1lim ( ) lim 0,1 0,3 0,6 1x x
x x xf
Hay una incoherencia en el resultado: Además de no ser un precio continuo, el precio del estacionamiento por «algo menos de una hora» sería mayor que el precio por estacionar «algo más de una hora».
b) Como 3 3
lim ( ) lim ( ) 2,4x x
x xf f
en este caso sí existe coherencia y continuidad en el
precio al cambiar la tarifa.
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VOCABULARIO MATEMÁTICO C-07-06
Todos los apartados admiten varias soluciones. Ejemplos:
1.
a)
b)
c)
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d)
•
a) 1
f2
xx
b) 2 si 3
f 1si 3
3
x
xx
x
c) 1
0f
0
si xx x
x si x
o f exx x
d) f1
xx
x
2.
A
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B
3.
A
B
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LÍMITES CON WIRIS C-07-07
1.
a) 2
lim 32x
x
2
b) 3 2
limcos4 2 2x
x
c)3 2lim 2
xx x
+
d) 4
3 2
5lim
3x
x
x x
–
e) 4 2
3 20
2 2lim
5 5x
x x
x x
f) 3 2lim 1 2x
x x x
+
2. Discontinua de salto finito.
TEST MATEMÁTICO C–07–08
1. d
2. a
3. c
4. c
5. d
6. b
7. a
8. d
9. d
10. c
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