UNIDAD 12
ÍNDICE
• OBJETIVO 1
• OBJETIVO 2
• OBJETIVO 3
• OBJETIVO 4
• OBJETIVO 5
• OBJETIVO 6
OBJETIVO 1
ÍNDICE
1. Gráficamente ¿qué puntos tienen abscisa 3?
• Como la abscisa es constante, son todos los puntos que se encuentran a 3 unidades a la derecha del eje y, en una recta paralela a él.
2. ¿Donde quedan situados los puntos que tienen la abscisa igual a la ordenada?
• Si la abscisa y la ordenada son siempre iguales, se trata de una recta a 45º que cruza los cuadrantes I y III
3. Tres vértices de un rectángulo son A(-3, 0), B(3, 0) y C(3, 3) ¿cuáles son las coordenadas del cuarto vértice y cuál es su perímetro y su área?
• Para completar el rectángulo, el otro vértice tiene que encontrarse al desplazarse en ángulo recto a partir de los dos extremos, de modo que:
• D(-3, 3)
• Perímetro:
2(6) + 2(3) =
12 + 6 = 18 unidades.
• Área: b x h =
6 x 3 = 18 unidades cuadradas.
Índice
OBJETIVO 2
ÍNDICE
a) Distancia entre dos puntos.
1. Encuentra la distancia del origen al punto A(a, b)
SOLUCIÓN:
22 00 bad
22 ba
2. Encuentra el valor de x necesario para que el punto P(x, 3) sea equidistante de los puntos A(3, –2) y B(7, 4).
22 323 xdPA 253 2 x
22 347 xdPB 17 2 x
Para que P equidiste de A de B:
PBPA dd
253 2x 17 2 x
253 2x 17 2 x
114492569 22 xxxx
25914914622 xxxx
168 x
2x
El punto P(2, 3) equidista de los puntos A(3, –2) y B(7, 4).
3. Si los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2, 3) y B(5, 8), calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo que limita.
22 3825ABd 22 53 34Diámetro =
d 34
unidades 18.3185 menteaproximada;341416.3
2
34r
4342 r
Circunferencia =
2r 4
34 menteaproximada ,u 26.70364
341416.3 2Área del círculo =
b) Coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada.
1. Si A(2, 3) es un extremo del segmento cuyo punto medio es P(5, 4), encuentra las coordenadas del otro extremo, B.
221 xx
x
2
25 2x
2210 x 82 x
221 yy
y
2
34 2y
238 y 52 y
de modo que: B(8, 5)
2. Encuentra la longitud de la mediana del lado del triángulo cuyos vértices son A(–2, –2), B(6, 0) y C(2,8). (La mediana es la recta que une el punto medio de un cateto del triángulo con el vértice opuesto).
Coordenadas del punto medio del segmento AB
2
21 xxx 2
2
62
221 yy
y 12
02
P(2, -1)
Distancia del punto P al vértice C
22 8122PCd 290 981
La mediana del cateto AB al vértice C tiene una longitud de 9 unidades.
3. Los extremos de un segmento son los puntos A(7, 4) y B(-1, -4) . Encuentra la razón en que el punto P(1, –2) divide al segmento.
PB
AP
r
rxxx
1
21 211 rxxrx 12 xrxrxx
xxxxr 12
2
1
xx
xxr
11
17r 3
2
6
La razón en que el punto P(1, –2) divide al segmento .3esAB
Índice
OBJETIVO 3
ÍNDICE
Se aplican los problemas de los objetivos siguientes
OBJETIVO 4
ÍNDICE
1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–2, –3) y B(5, 1)
112
121 xx
xx
yyyy
2
25
313
xy
225
313
xy 27
43 xy
2437 xy 84217 xy
1347 xy
2. Encuentra la ecuación de la recta que intersecta al eje de las ordenadas 7 unidades hacia abajo del origen y tiene una pendiente de
5
2
;7;5
2 bm
bmxy
75
2y
3. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos A ,B(0, 5) y C(–5, 8). Encuentra las ecuaciones de los lados que pasan por AB y por BC.
0,
2
11
Ecuación del lado que pasa por A y B:
2
11a 5b 1
b
y
a
x 15
2
11
yx1
511
2
yx
Ecuación del lado que pasa por B y C: B(0, 5); C(–5, 8)
112
121 xx
xx
yyyy
005
585
xy
xy5
35
5
5
3 xy
4. Encuentra la ecuación de una recta perpendicular a eje y, que pase por el punto (h, k)
α = 0º; tan α = 0
11 xxmyy hxky 0
0 ky
ky Índice
OBJETIVO 5
ÍNDICE
1. Determina la posición relativa de las rectas:
011014:1 yxR
011014:1 yxR 3145
2:2 x
yR
Para
3145
2:2 x
yR
5
7
10
14m
Para 03214
5
yx
0143142
1414
514
y
x
04275 yx7
5
7
5
B
Am
21
1
RR m
m
Por lo tanto, las rectas son perpendiculares.
2. Demostrar que las siguientes rectas forman un cuadrado:
065 :R1 yx 0225 :R2 yx
0325:R3 yx 045:R4 yx
Posiciones relativas entre las rectas:
51
51
Rm
5
12 Rm 5
1
53
Rm
5
14 Rm
R1 y R3 son paralelas; R2 y R4, son paralelas. R1 es perpendicular con R2 y con R4; R3 es perpendicular con R2 y con R4.
• Punto de intersección entre R1 y R2:
065 yx
65 xy 0225 yx
022655 xx
0223026 x
2 26
52x
4) P1(2, 4 625 y
• Con el mismo procedimiento encuentras que otros puntos de intersección son:
R1 y R4: P2(1, –1)
R3 y R2: P3(7, 3)
R3 y R4: P4(6, –2)
• También puedes determinar otros punto para graficar:
0225 :R2 yx
0325:R3 yx
045:R4 yx
065 :R1 yx Si x = 3 y = 9 → P1(3, 9);
Si x = –3 y = 5 → P2(–3, 5);
Si x = 8 y = 8 → P3(8, 8);
Si x = 1 y = –1 → P4(1, –1)
Longitudes de los lados:
2221 1412PP 26251
2231 3472PP 26125
2242 2161PP 26125
2243 2367PP 26251
Los cuatro lados tienen la misma longitud, y las rectas forman un cuadrado. Índice
OBJETIVO 6
ÍNDICE
1. Calcula la longitud del radio de la circunferencia con centro en el punto (2, 3) y que es tangente a la recta 0334 yx
Radio de la circunferencia = distancia del centro de la circunferencia a la tangente.
22
11
BA
CByAxd
22 34
3)3(3)2(4
25
3984
5
20
radio = 4 (unidades de longitud)
2. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son P1(2, 1), P2(8, 2) y P3 (3, 6)
2 Área
hb
Base del triángulo: cualquiera de los tres lados, por ejemplo, 21PP
Usando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados:
228
121
xy 26
11 xy
266 xy
046 yx
Longitud de la base:
distancia 212
21221 )( yyxxPP
22 )12()28(
136 37Altura del triángulo: distancia del otro vértice, P3 (3, 6), a la base:
22
11
BA
CByAxd
22 )6(1
4)6)(6(3
37
4363
37
29
37
29
2
37
2937
triángulodel Área )superficie de (unidades 2
29
3. Si la abscisa de P es 2, encuentra su ordenada cuando la distancia dirigida de la recta a un punto P es -3. 01052 yx
Distancia dirigida: 22
11
BA
CByAxd
C < 0 signo del radical positivo, y para el punto P (2, y):
22 52
105)2(23
y
29
653
y 65)29)(3( y
29365 y La ordenada es:5
2936 y
y, por tanto:
5
2936,3
Índice