7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
1/31
UNIDAD 2SUBTEMA 2.1: ECUACIONES DIFERENCIALES Y DE DIFERENCIA2.1.1: ECUACIONES DIFERENCIALES
En ingeniera, ciencias naturales y sociales hay muchos problemas de inters que,cuando se plantean, exigen la determinacin de una funcin la cual debe verificaruna ecuacin que involucra derivadas de la funcin desconocida. Dichasecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Tal ve el e!emplo m"sconocido es la ley de #e$ton%&
'()*+T#-'
'saac #e$ton se daba cuenta de la importancia que tenan las ecuacionesdiferencialespara el an"lisis de los fenmenos de la naturalea. )or algo susrenombrados )rincipios matem"ticos de la filosofa natural /&0123 que englobanmec"nica ne$toniana, arrancan con la ecuacin diferencial del movimiento. Estaecuacin se considera como axioma, mientras que los planteamientos posterioresde la mec"nica son, de hecho, teoremas que se derivan de dicho axioma, ascomo de la ley de gravitacin universal que se desga!a de los hechosexperimentales /leyes de 4epler3 y del mencionado axioma% md 56dt57 8.5
9na ecuacin diferencial ordinaria /ED*3 puede plantearse, siendo Funa relacin
o funcin, como
/&a3
... para representar la ED* en que la funcin incgnita /tambin conocida comovariable dependiente3, lo es de una :nica variable independiente.
En general, una ecuacin diferencial linealde orden npuede formularse, siendocada una funcin dependiente de t, como%
/&b3
9na solucin de la ecuacin /&a3 o /&b3 ser" una familia de curvas o funciones
del tipo que substituida dentro de la ecuacin la convierte en unaigualdad en la que todos los trminos son conocidos.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Eqnref_1ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Eqnref_1bhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Equation_1ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Equation_1bhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Eqnref_1ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Eqnref_1bhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Equation_1ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Equation_1bhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#cite_note-17/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
2/31
En la formulacin m"s simple, la funcin incgnita es una funcin para cierto valorreal o comple!o pero con mayor generalidad, puede serlo para el valor de unvector o matri, lo que lleva a considerar un sistema de ecuaciones diferencialesordinarias /ED*3 para una :nica funcin.
DE8'#'-'*#E;
E-9-'*# D'8E+E#-'< *+D'#+'
;i yes una funcin desconocida%
Dexsiendo la ensima derivadade y, entonces una ecuacin de la forma
/&3
Es llamada una ecuacin diferencial ordinaria /ED*3 de orden n. )ara funcionesvectoriales,
,
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
3/31
;iendo, tanto ai/x3 como r/x3 funciones continuas dex. la ecuacindiferencial lineal es llamada homognea, de lo contrario es llamada nohomognea.
;oluciones
Dada una ecuacin diferencial
9na funcin u% I+ ? + es llamada la solucin, y su gr"fica se llama curva
integralde F,@si ues nveces derivable en I, y
Dadas dos soluciones u% J+ ? + y v% I+ ? +, ues llamadauna extensin de vsi IJ, y
9na solucin que no tiene extensin es llamada una solucin general
9na solucin general de una ecuacin de orden nes una solucin quecontiene nvariables arbitrarias, correspondientes a nconstantes de integracin.9na solucin particulares derivada de la solucin general mediante la fi!acin devalores particulares para las constantes, a menudo elegidas paracumplir condiciones iniciales. 9na solucin singulares la que no puede derivarsede la general.
Solucin de una EDO de primer orden
;ea yA 7 f/x, y3 /&3
9na ecuacin de primera orden resuelta con respecto a la derivada, se llamasu solucin general de la ecuacin diferencial /&3 una funcin
y 7 B/x, -3,
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial#Soluci.C3.B3n_de_una_ecuaci.C3.B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#cite_note-3http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_integraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial#Soluci.C3.B3n_singularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial#Soluci.C3.B3n_de_una_ecuaci.C3.B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#cite_note-3http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_integraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial#Soluci.C3.B3n_singular7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
4/31
Cue depende de una constante arbitraria -. ;atisface la ED* /&3 para cualquiervalor de la constante -. dem"s cualquiera que sea la condicin inicial
//x>3 7 y>3 /53,
;iempre se puede asignar un valor ->a la constante -, tal que la funcin y 7 B/x,->3 satisfaga la condicin inicial dada. ;e presume que el punto /x >, y>3 est" en laregin donde se cumplen las condiciones de existencia y de unicidad de lasolucin.
T')*; DE ED*s 8*+(; DE +E;*
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
5/31
)ara las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales no existen mtodosgenerales.
;oluciones numricas
lgunos de los mtodos de solucin numrica de ecuaciones diferenciales sonel mtodo de +unge4utta,los mtodos multipaso y los mtodos de extrapolacin.
E-9-'*#E; D'8E+E#-'
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
6/31
9na ecuacin de la forma%
;e dice exacta si existe una funcin Fque cumpla%
;u solucin es entonces%
ED* de primer orden y homognea
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
7/31
-*()+-'*#
2.1.3 DEFINICIN DE ECUACIN DE DIFERENCIAS (PRIMERA DIFERENCIAPROGRESIVA DE LA FUNCIN)8*+(9.9na diferencia regresiva, atrasada o anterior
8inalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores yposteriores.
+elacin con las derivadas
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
8/31
;in embargo, la diferencia central lleva a una aproximacin m"s a!ustada. ;u errores proporcional al cuadrado del espaciado /si fes dos veces continuamentediferenciable3.
-"lculo de diferencias finitas
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
9/31
*tro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientesdiferenciales a medida que hse acerca a cero. s que se pueden usar diferenciasfinitas para aproximar derivadas. Esta tcnica se emplea a menudo en an"lisisnumrico, especialmente en ecuaciones diferenciales numricas ordinarias,ecuaciones en diferencias y ecuacin en derivadas parciales.
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
10/31
+E
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
11/31
Donde Ddenota el operador derivada, que hace corresponder con su derivada
, es decir,
8ormalmente, invirtiendo la exponencial,
Esta frmula sigue siendo v"lida en el sentido de que ambos operadores dan el
mismo resultado cuando se aplican a unpolinomio. 'ncluso para funciones
analticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede
tratarse de una serie asinttica. ;in embargo, pueden emplearse para obtener
aproximaciones m"s precisas de la derivada. )or e!emplo,
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
12/31
*tro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes
diferenciales a medida que hse acerca a cero. s que se pueden usar diferencias
finitas para aproximar derivadas. Esta tcnica se emplea a menudo en an"lisis
numrico, especialmente en ecuaciones diferenciales numricas
ordinarias, ecuaciones en diferenciasy ecuacin en derivadas parciales.
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
13/31
De /&[email protected] y /&[email protected] obtenemos
Cue s es lineal y la podemos resolver con el uso de la frmula /&[email protected]. 3 no aparece entonces llamamos y por lo tanto nuestroproblema se reduce al sistema de dos ecuaciones de orden uno
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
14/31
E!emplo 3 se convierte en el sistema
E!emplo
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
15/31
Entonces tenemos%
De /&.@.&@3 obtenemos
Derivamos en /&.@.&M3 y obtenemos
;upongamos que la cuerda es homognea, esto es% una constante,entonces reescribimos /&.@.&F3 as%
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
16/31
Existe una funcin denominada transformada de Laplaceque toma como
argumento y produce una funcin de los comple!os en los comple!os.
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
17/31
Existe una funcin denominada transformada que toma como
argumento F( t) y produce una funcin F(s) de los comple!os en los
comple!os.
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
18/31
!ransformada de
Laplace
!ransformada
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
19/31
M.
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
20/31
-onvolucin% -onvolucin%
5.5.@ )are!as de transformadas
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
21/31
Tabla 5.0% Tabla de pare!as de transformadas elementales multiplicadas por eltiempo
!ransformada de
Laplace!ransformada
iterar
iterar
Tabla 5.2% 9bicacin de los polos en los planos comple!os y funciones en el tiempo
"aso "ontinuo "aso Discreto
9bicacinde lospolos
8uncin 9bicacinde los polos
8uncin
*rigen
escaln escaln
;emi exponen 'ntervalo series
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
22/31
e!erealpositivo
cialescrecientes
dele!e real
geomtricascrecientes noalterna
ntes'ntervalo
del e!e real
seriesgeomtricascrecientesalternantes
;emie!e
realnegativo
exponenciales
decrecientes
'ntervalo
dele!e real
seriesgeomt
ricasdecrecientesnoalternantes
'ntervalo
dele!e real
seriesgeomtricasdecreci
entesalternantes
E!eimaginario
sinusoidales
circunferencia unitaria
;inusoidales.
-omple!osen elsemip
lanoderecho
funcionessinusoidales
amplificadaspor unaexponencialcreciente
-omple!osfuera delcrculounitario
sinusoidalesamplificadas
por unaseriegeomtricacreciente
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
23/31
-omple!osen elsemiplano
iquierdo
sinusoidalesamplificadaspor una
exponencialdecreciente
-omple!osdentro delcrculounitario
sinusoidalesamplificadaspor una
seriegeomtricadecreciente
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
24/31
5.5.M 9tiliacin de la tabla de pare!as de transformadas
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
25/31
)ara emplear las tablas 5.Fy5.0para obtener la transformada inversa de unafuncin, primero hay que expresar sta :ltima como alguno de los casos queaparecen en dichas tablas. ;uele ser :til recordar que las transformaciones de
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
26/31
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
27/31
&. ;i entonces se realia la divisin hasta obtener una fraccin en laque el grado del polinomio del denominador sea mayor al del numerador=en los siguientes puntos se traba!a slo con la fraccin.E!emplo 5.F
5. 'dentificar las races del polinomio del denominador / 3, y cu"ntas veces se
repite cada una de ellas / , o multiplicidad de la ra3.
Evidentemente la suma de las multiplicidades ser" , el grado del
polinomio@. Escribir la fraccin como suma de fracciones parciales%
M. *btener los coeficientes
Este sencillo procedimiento tiene dos puntos de dificultad, el primero de los cuales
es cmo encontrar las races de , y el segundo cmo obtener los coeficientes
.
)ara la obtencin de las races suponemos que disponemos de alg:n tipo deprocedimiento /analtico o computacional3 para ello. )ara la obtencin de los
coeficientes , por su parte, pueden seguirse los siguientes procedimientos,seg:n sea el caso%
&. )olos de multiplicidad & ;i el polo tiene multiplicidad , el coeficiente
de la expansin podr" calcularse como%/5.&F3
5.
@. E!emplo 5.0
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
28/31
M.
F.
0.2. )olos de multiplicidad mayor que &
;i el polo tiene multiplicidad , el coeficiente de la expansin podr"calcularse como%
/5.&03
Esta expresin tambin es v"lida para , si se considera que , yque la derivada de orden cero es la misma funcin.E!emplo 5.2
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
29/31
El procedimiento anterior tambin es v"lido cuando las races del denominadorson comple!as%
E!emplo 5.1
Las fracciones comple,as pueden sumarse )ntese (ue los numeradores y
denominadores de una fraccin son los con,ugados de la otra*%
T+#;8*+(D Q '#IE+; )*+ (ED'* DE ER)#;'S# E# ;E+'E; DE)*TE#-'
G ;e expande R/3 en una serie de potencias que converge en la +*- de R/3, dela forma%
G Este es el caso particular de series de G Este mtodo es :til para obtener Q & UR/3V para R/3 no racional
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
30/31
;eries de )otencias&. ;i la regin de convergencia est" dentro de un crculo, la divisin polinomial esde la forma &W a&X& y se obtiene una expansin en potencias positivas de 5. ;i la regin de convergencia es el exterior de un crculo, la divisin polinomial es
de la forma &W& a& y se obtiene una expansin en potencias negativas de ;istemas en tiempo discretoG 9n sistema discreto transforma entradas de variable discreta en salidas devariable discreta. yYnZ7T UxYnZV
G Tipos de sistemas en tiempo discretoG ;istemas 'nvariantes y Iariantes en el tiempoG ;istemas Z
RYnZ RYQZ
RYn&Z Q&RYQZ
RYn5Z Q5RYQZ
RYn@Z Q@RYQZ
RYnMZ QMRYQZ
Ejemplo 1% +esuelva la siguiente ecuacin en diferencias. R
YnX5ZX@RYnX&ZX5RYnZ7> con RY>Z7>, RY&Z7&
;olucin
7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas
31/31
l tomar la transformadas Q de ambos miembros de la ecuacin en diferencias
dadas, se obtiene% Q5RYQZ Q5RY>Z QRY&Z X @QRYQZ @QRY>Z X 5RYQZ7>
l sustituir las condiciones iniciales y simplificar, se obtiene%
)or tanto, RYnZ7Y/&3\/53\Z9YnZ
Ejemplo 2 +esuelva la siguiente ecuacin en diferencias% RYnX5Z7RYnX&ZXRYnZ
-on RY>Z7>, RY&Z7&
;olucin l tomar la transformada Q de esta ecuacin en diferencias, se obtiene%
Q5RYQZ Q5RY>Z QRY&Z7QRYQZ QRY>Z X RYQZ. l resolver para RYQZ se obtiene%
l sustituir la condicin inicial se obtiene%
por tanto,
Recommended