UNIVERSIDAD DE JAÉN Departamento de Física
Prácticas de Física Para la asignatura FÍSICA MECÁNICA
TITULACIONES:
Grado en Ingeniería Civil
Grado en Ingeniería en Tecnologías Mineras
Grado en Ingeniería de Recursos Energéticos
Grados Dobles
Alumno:
Grupo: 1 2
Pareja:
Curso 2017-2018
RELACIÓN DE PRÁCTICAS PARA LA ASIGNATURA “FÍSICA MECÁNICA”
M3 - Conservación de la Energía
M4 – Composición de Momentos de Fuerza
M5 – Oscilador Armónico
M7- Péndulo de Torsión.
M8 - Estudio Experimental de la Flexión de una Viga
M9 – Determinación Experimental de la Ventaja Mecánica de un Polipasto
M11 – Determinación del coeficiente de Restitución Mediante una Rueda de Maxwell
F1 – Determinación de Densidades de Sólidos con el Picnómetro
PROGRAMACIÓN CURSO 2017/2018:
Nº Pareja
de cada
grupo
Semana
1ª
Semana
2ª
Semana
3ª
Semana
4ª
Semana
5ª
Semana
6ª
Semana
7ª
Resto de semanas
1 Presentación
M5 M5 M4 F1 M11 M3 Recuperación y
ampliación
2 Presentación
M5 M5 M8 M3 M9 M11 Recuperación y
ampliación
3 Presentación
M4 F1 M5 M5 M3 M7 Recuperación y
ampliación
4 Presentación
F1 M11 M5 M5 M7 M4 Recuperación y
ampliación
5 Presentación
M8 M4 F1 M7 M5 M5 Recuperación y
ampliación
6 Presentación
M9 M8 M11 M4 M5 M5 Recuperación y
ampliación
7 Presentación
M7 M3 M9 M8 M4 F1 Recuperación y
ampliación
8 Presentación
M3 M9 M7 M11 F1 M8 Recuperación y
ampliación
9 Presentación
M11 M7 M3 M9 M8 M4 Recuperación y
ampliación
LABORATORIO DE FÍSICA GRADOS I. CIVIL, TEC. MINERAS Y
RECURSOS ENERGÉTICOS
Grupos A y B
HORARIOS:
Grupo 1: Miércoles de 9:30 h a 10:30 h
FECHAS:
1ª Semana: 14 de febrero 5ª Semana: 21 de marzo
2ª Semana: 21 de febrero 6ª Semana: 4 de abril
3ª Semana: 7 de marzo 7ª Semana: 11 de abril
4ª Semana: 14 de marzo
LUGAR:
Todas las sesiones programadas en la tabla anterior se realizarán en el laboratorio de
Física de la Escuela Politécnica Superior de Linares (Campus Científico Tecnológico),
dependencia L-122.
Fdo: José Alberto Maroto Centeno
Dpto. Física (U. Jaén)
Fecha y hora límite de entrega: 18/05/2018 (9:30 horas)
cuaderno de prácticas
Entregar en mano al profesor de prácticas en la dependencia
D - 160
MEDIDAS Y ERRORES
1.-Introducción.
La Física y la mayoría de las ciencias persiguen la descripción cualitativa y cuantitativa
de los fenómenos que ocurren en la naturaleza. Para conseguir este objetivo un aspecto básico es
la medida de las magnitudes que intervienen en el fenómeno.
Cuando se mide una cierta cantidad de una magnitud, el resultado es un número. Si
repetimos varias veces la medida (en las mismas condiciones) los resultados serán en general
diferentes. Esto indica que toda medida tendrá una cierta imprecisión, debida a multitud de
factores, instrumentos, agentes físicos como la temperatura, presión atmosférica, etc.
Nuestro trabajo en el laboratorio será establecer los límites dentro de los que se
encuentra el valor real de la magnitud medida. Este es el objetivo del Cálculo de errores, indicar
el valor más probable de la medida con el margen de error que estamos cometiendo. Por tanto,
toda medida deberá ir acompañada de su error de forma que sepamos su calidad y su exactitud.
Aquellas magnitudes físicas que se puedan medir con algún dispositivo se llaman
magnitudes directas. Las que se deban calcular con ecuaciones matemáticas serán indirectas
Es conveniente advertir que el fin de un experimentador no es solo procurar que sus
errores sean mínimos, sino que sean lo suficientemente pequeños para que no afecten a los
cálculos o resultados y a las conclusiones que se puedan inferir de las medidas experimentales.
En lo que respecta a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy importantes que
vamos a definir: exactitud, precisión y sensibilidad.
- Un aparato será exacto si las medidas que se realizan con él son todas muy próximas al
valor cierto de la magnitud medida.
- Un aparato será preciso si la diferencia entre diferentes medidas de la misma magnitud
es muy pequeña.
La exactitud implica normalmente precisión, pero la inversa no es cierta, ya que pueden
existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a errores sistemáticos.
- La sensibilidad de un aparato es la división más pequeña de su escala o la última cifra
de su pantalla. Este valor se asocia con el llamado Error Instrumental del aparato.
Si medimos una magnitud física cuyo valor exacto es x0, obteniendo el número x,
definimos el Error Absoluto de la medida, ∆x = | x - x0 |
Y el Error Relativo como εr = ∆x / x0 Que multiplicado por 100, quedará expresado en %.
Ahora bien, como es imposible conocer el valor cierto de la magnitud, lo único que
podemos hacer es tomar siempre varias medidas repetitivas, lo que permite reducir posibilidades
de errores accidentales y, más importante, permitirá tomar como valor exacto (x0) de la medida,
la Media Aritmética de las mismas
x0 = ∑ xi / N siendo xi cada medida tomada
N el número total de medidas.
2
2.- Medidas Directas.
En las medidas directas para conocer el número de repeticiones que debemos realizar
tendremos en cuenta lo siguiente:
En general se realizarán tres medidas (x1, x2, x3). A partir de éstas se calcula la media
(xm).
También se calcula la dispersión (D) que es la diferencia entre los valores extremos de
las medidas realizadas:
D = Max [x1, x2, x3] - Min [x1, x2, x3] (1)
Y el tanto por ciento de la dispersión: m
Dx
DT
100= (2)
Si TD < 2 %, se tomará como valor cierto de la medida x0, la media y como error
absoluto ∆x, la sensibilidad del aparato de medida usado.
Si 2 % < TD < 8 %, se realizaran otras 3 medidas más, tomando como valor x0, la
nueva media de esas medidas, y como error absoluto:
∆x = Mayor de {D/4, error instrumental}.
3.- Expresión de las medidas. Redondeo.
Para expresar el error, dado el significado de cota que tiene, debemos poner como mucho
2 cifras significativas, entendiendo por significativas aquellas cifras distintas de cero (sin
importar que estén antes o después de la coma decimal).
Se admite por convenio, que el error se expresará con dos cifras si la primera
significativa es "1" o "2". En todos los demás casos solo se dará una cifra significativa.
Para despreciar el resto de cifras del error deberemos redondear según el valor de la
siguiente cifra que vamos a despreciar (si es mayor de "5" se añade una unidad a la anterior). Por
ejemplo 83 y 246 se redondean a 80 y 250.
El valor de la magnitud medida está acotada por su error, por tanto debe tener sólo las
cifras necesarias para que su última cifra significativa sea del mismo orden decimal que la última
del error. Para despreciar las restantes cifras se procederá a redondear también su valor.
Por tanto toda medida se debe dar con su número correcto de cifras ± su cota de error,
seguido de las unidades correspondientes de la magnitud de la medida.
4.- Medidas Indirectas.
Las medidas indirectas son aquellas que se obtienen a través de ecuaciones que las
relacionan con medidas directas.
3
Supongamos que una magnitud física "y", depende de un conjunto de magnitudes
directas x1, x2, x3, …, xn, es decir:
y = f (x1, x2, x3, …, xn)
donde conocemos: xi = x0i ± ∆xi i = 1, …. N
el valor cierto y0, viene dado por: y0 = f (x01, x02, x03, …, x0n)
y el error absoluto: i
n
i i
xx
fy ∆
∂∂=∆ ∑
=1
(3)
El valor absoluto evita que los errores se puedan restar o salir negativos.
Ejemplos: 1) y = a x ∆y = a ∆x
2) y = x/z ∆y = (1/z) ∆x + (x/z2) ∆z
5.- Representación Gráfica.
En la práctica es útil representar gráficamente los resultados experimentales, debido a
que una gráfica permite destacar el conjunto del fenómeno en el intervalo en que se han hecho
las medidas, permite conocer otros valores de la variable dependiente sin necesidad de
determinación experimental y pone de manifiesto medidas afectadas de un error anormal.
Ahora bien, para que de la representación gráfica se obtenga la máxima información ha
de ajustarse a ciertas normas que vamos a dar a continuación:
1) La gráfica debe representarse en papel milimetrado o logarítmico. Y llevar un título
suficientemente explícito en la parte superior y, sobre los extremos de los ejes la indicación de la
magnitud representada en cada uno de ellos, así como sus unidades. También puede anotarse
una tabla de valores de las variables obtenidos en la experiencia.
2) Deben escogerse las escalas correspondientes a ambos ejes, de forma que comprendan
solamente los intervalos dentro de los cuales se van a representar las medidas realizadas. Por
tanto, puede ocurrir que las escalas no comiencen en cero o no sean iguales en los dos ejes.
3) Sobre los ejes sólo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de
la escala. No deben escribirse sobre ellos los valores correspondientes a las medidas realizadas.
4) Los valores medidos se representan por un punto, correspondiente a sus dos
coordenadas y rodeados por el llamado rectángulo de error cuya base abarca desde (x0 - ∆x) hasta (x0 + ∆x) y cuya altura va desde (y0 - ∆y) hasta (y0 + ∆y). Si alguno de los errores es
despreciable en comparación con la escala utilizada, el rectángulo de error se reduce a un simple
segmento vertical u horizontal, e incluso a un punto cuando ambos errores sean despreciables.
4
5) Cuando la representación de un conjunto de N puntos experimentales (xi , yi) se ajuste
a una línea recta, se trazará la recta de regresión lineal con ajuste por el método de Mínimos
Cuadrados. Este método consiste en ajustar los valores por la ecuación teórica de una recta:
Y = a X + b (4)
donde a y b son la pendiente de la recta y la ordenada en el origen, respectivamente;
parámetros que se determinan con la condición de que se ajuste la recta lo mejor posible a los
datos experimentales. De esta forma se obtienen las siguientes expresiones:
)x( - xN
yx - yxN = a
2
i2i
iiii
∑∑
∑∑∑
)x( - xN
yxx - yx = b
2
i2i
iiii2i
∑∑
∑∑∑∑ (5)
Y se define el factor de correlación, r, como:
( ) ( ) 2/1222/122 )()( yyNxxN
yx x yN= r
iiii
iiii
∑−∑∑−∑
∑∑−∑ (6)
este parámetro nos proporciona información acerca de la validez del ajuste; cuanto más se
aproxime (en valor absoluto) a la unidad, tanto mejor se ajusta la recta al conjunto de puntos
experimentales.
Los errores cometidos en la determinación de estos parámetros son los siguientes:
2/12
()2(
)(
∑−−∑
∆)x - xN
bx a - y = a
2
i
ii (7)
2/12/1
2
)2(
(·
(
1
−−∑
∑+∆
N
)bxa - y
)x -x
x
N = b
2
ii
2
i
Con ayuda del análisis de regresión ya no es necesario trazar la recta en la gráfica de
forma aproximada. Para eso se eligen dos valores de abscisas (eje x) dentro del intervalo de
valores experimentales, con ellos y con la expresión (4), usando los valores obtenidos de a y b,
se calculan sus correspondientes ordenadas (eje y). Con estos dos puntos ya podemos trazar la
recta que mejor ajusta al experimento.
M-3 1
OBJETIVO: Comprobar la ley de
conservación de la energía mecánica
mediante la utilización de un disco de
Maxwell.
MATERIAL: Disco de Maxwell, contador
digital, barrera fotoeléctrica, cinta métrica,
cables de conexión, soportes, nueces.
Un disco de Maxwell es un sistema
compuesto por un disco rígido de masa m
solidariamente unido a un eje (de radio r)
perpendicular a su plano y que pasa por su
centro de masas; el disco cuelga de un
soporte mediante dos cuerdas inextensibles y
de masa despreciable. Las cuerdas se
enrollan en torno al eje del disco, sujetándose
éste a una cierta altura mediante algún dispositivo de fijación (en nuestro caso nuestras
propias manos). Cuando se deja libre el disco, éste cae a medida que se van desenrollando
las cuerdas que lo sujetan, como si fuese un yoyó, describiendo su centro de masas un
movimiento de traslación (caída) simultáneo con la rotación del disco en torno al eje que
pasa por su centro de masas. En esta práctica analizaremos el proceso de transformación
de energía potencial gravitatoria a cinética de traslación y rotación que tiene lugar durante
el descenso del disco de Maxwell y, más concretamente, llevaremos a cabo una
verificación de la ley de conservación de la energía mecánica.
Para este disco, m = (0.5007 ± 0.0001) kg, el diámetro interior del disco viene dado por
Din = (98.35 ± 0.05) mm y el diámetro exterior del disco viene dado por
Dex = (128.00 ± 0.05) mm. El eje del disco tiene un diámetro d = (4.49 ± 0.01) mm.
Evidentemente d =2r.
FUNDAMENTO TEÓRICO Aplicando la ley o teorema de conservación de la energía
mecánica se llega a la siguiente expresión que relaciona la velocidad del centro de masas
del disco de Maxwell, vcm, con la distancia vertical recorrida, h.
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA M-3
ADVERTENCIAS: 1) NO ALTERES LA CONEXIÓN DE LOS CABLES SIN AYUDA DEL PROFESOR. 2) El enrollado de los hilos en el eje del disco ha de ser uniforme. Evita que los hilos se enrollen unos sobre otros.
)1(2
2/1
2
+=
r
Im
mghvcm
M-3 2
Donde I es el momento de inercia del disco de Maxwell respecto a su eje generatriz. Para
llevar a cabo su evaluación podemos aproximar el disco Maxwell de que disponemos (de
color naranja) a un cilindro hueco de pared gruesa, así como despreciar la masa de los
radios que lo unen a su eje, al igual que la masa del mencionado eje. Una vez llevada a
cabo esta razonable aproximación, el momento de inercia del disco de Maxwell, I, viene
dado por:
Evidentemente, con la aproximación realizada al utilizar la expresión (2) estamos
sobrevalorando ligeramente el momento de inercia del disco de Maxwell.
PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS
Antes de enrollar los hilos al disco de Maxwell se debe nivelar horizontalmente el eje.
Pregunta a tu profesor de prácticas de laboratorio si el eje está nivelado. Por otro lado,
los hilos se deberán enrollar hacia dentro del eje y con cierta habilidad para así evitar
cabeceos durante el movimiento descendente del disco de Maxwell. Esta habilidad se
adquiere con la experiencia; no obstante, puedes pedir ayuda a tu profesor de prácticas de
laboratorio.
Los pasos a seguir en esta experiencia son:
1.- La célula fotoeléctrica inferior (de color negro y con forma de U) no debe desplazarse
en ningún momento; es decir, su posición es fija. Por el contrario, sitúa la pequeña barra
metálica indicadora de la posición a una distancia h de 20 cm. Utiliza una cinta métrica
para realizar esta operación. Para determinar la velocidad que lleva el disco cuando pasa
por la célula inferior mediremos el brevísimo intervalo de tiempo t durante el cual su eje
obstruye el paso de luz. Para medir ese tiempo hay que proceder de la siguiente forma:
1.1.- Primero asegúrate que el cable de la salida de la célula fotoeléctrica inferior
está conectado a ‘START/STOP’.
1.2.- Si es necesario, selecciona con el botón ‘Funktion’ la opción ‘TIMER’y pulsa
‘Trigger’ hasta que el led ilumine la última de las opciones.
2.- Eleva el disco de Maxwell hasta que quede justo a la altura del sensor de la célula
superior. Pulsa ‘RESET’ y ‘START’. Ya estamos en condiciones de realizar la
experiencia. Cuando lo desees y con sumo cuidado, para evitar cabeceos del disco, deja en
libertad el disco. Apreciarás que cuando el eje del disco cruza la célula fotoeléctrica
inferior, ésta registra el tiempo invertido por el eje del disco en la obstrucción del paso de
luz. En ese momento ya disponemos del tiempo t1 invertido en obstruir el paso de luz tras
caer una altura h. Ten en cuenta que si en el momento de atravesar la célula fotoeléctrica el
eje del disco de Maxwell roza con la mencionada célula (es decir, no la cruza
limpiamente, deberás repetir la experiencia). A continuación, debes repetir la experiencia
hasta tres veces obteniendo valores que denominaremos t1, t2 y t3; en ese momento
debemos decidir si con esas tres medidas bastan. Para ello calcula el tanto por ciento de
( ) )2(2
1 22inex RRmI +=
M-3 3
dispersión de las mismas. Si ese parámetro toma un valor inferior al 2% sabemos que las
tres medidas son suficientes. En caso contrario realiza otras tres nuevas medidas que
denominamos t4, t5 y t6. Finalmente, se determina el tiempo t que se desea medir y que será
la media de las medidas anteriores (3 o 6, según hayan sido necesarias).
3.- Repite los pasos 1 y 2 hasta completar la tabla 1 con 6 alturas diferentes.
h (cm) t1 (ms) t2 (ms) t3 (ms)
TD (tanto por
ciento de
dispersión
en t)
t4(ms) t5 (ms) t6 (ms) tmedia
(ms)
20
25
30
35
40
45
Tabla 1.
4.- A partir de los datos de la Tabla 1, calcula el error del tiempo asociado a cada una de
las alturas, ∆tmedia. Indícalo en la Tabla 2. Recuerda que este tiempo lo has obtenido
mediante un proceso de medición directa, por lo que deberá aplicar el protocolo de
tratamiento de datos experimentales explicado en clase. Escribe los resultados con el
número correcto de cifras significativas.
h (cm)
tmedia (ms) valor medio sin redondear
∆∆∆∆tmedia (ms) valor redondeado
tmedia ±±±± ∆∆∆∆tmedia (ms)
valor redondeado
20
25
30
35
40
45
Tabla 2.
M-3 4
5.- La velocidad de translación, vcm , que posee el disco de Maxwell una vez recorrida una
distancia h se puede obtener dividiendo el diámetro del eje (d = 0,490 ± 0,005) cm por el
tiempo tmedia que el eje impide el paso de luz, que es el tiempo que ha medido, es decir,
mediacm tdv /= . Realiza los cálculos correspondientes y apúntalos en la tabla 3. Para ello,
debes tener en cuenta que vcm es un parámetro que depende de dos variables afectadas por
errores, a saber, d y tmedia; por lo tanto, para su evaluación debes aplicar que:
h (cm) vcm (cm/s) valor sin redondear
∆∆∆∆ vcm (cm/s) valor redondeado
vcm ±±±± ∆∆∆∆ vcm (cm/s)
valor redondeado
(valor experimental)
vcm (cm/s) valor obtenido
teóricamente
(expresiones (1) y
(2))
20
25
30
35
40
45
Tabla 3.
6.- Dibuja en una gráfica los valores de velocidad obtenidos experimentalmente
acompañados de su error (cuarta columna de la Tabla 3) en función de la altura. Utiliza,
al tratarse de valores experimentales, puntos sin unir. Los errores asociados (∆vcm)
aparecerán en la forma de barra de error. Representa también los valores que predice la
teoría (quinta columna de la Tabla 3). Utiliza para su evaluación las ecuaciones (1) y
(2). En este caso, como sabes, la predicción teórica no aparecerá en la gráfica en la
forma de puntos, sino como una curva continua que pasa por ellos.
)3(mediamedia
cmcmcm t
t
vd
d
vv ∆
∂∂+∆
∂∂=∆
M-3 5
vcm (cm/s)
h(cm)
CUESTIONES 1.- Aplica la ley de conservación de la energía mecánica al movimiento descendente de
un disco de Maxwell y obtén la expresión (1).
2.- Desarrolla la expresión (3) y obtén la expresión explícita para ∆vcm.
3.- A la vista de la gráfica obtenida: ¿consideras que se cumple en esta experiencia la ley
de conservación de la energía mecánica?
4.- Razona sobre las razones que pueden explicar las discrepancias observadas entre los
valores experimentales y teóricos de vcm.
M-4 1
OBJETIVO: Estudiar experimentalmente las leyes
que satisfacen las fuerzas que actúan sobre un
cuerpo en equilibrio.
MATERIAL: Tablero cuadriculado, barra con pivote para fijar en el tablero, dinamómetro con
perno de sujeción al borde del tablero, cuerda larga,
cuerda corta, portapesas de 0.5 N, portapesas de 5
N, pesas de 5 N (4), pesa de 0.5 N, pesas de 1 N
(2), pesa de 2 N, medidor de ángulos.
FUNDAMENTO TEÓRICO
Las condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido
sobre el que actúa un sistema de N fuerzas
aplicadas iFr (i=1,2,..,N) en los puntos cuyos vectores de posición son ir
r son
∑=
=N
i
iF1
0r
(1)
∑=
=×N
i
ii Fr1
0rr
(2)
Observa que ha ecuación (2) establece que la resultante de los momentos de fuerza debe
ser nula. En la discusión de las diversas experiencias se particularizarán estas expresiones.
PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS Experiencia 1.
En la primera de las experiencias estudiarás qué ocurre si se varía una de las fuerzas que
actúan sobre la barra sin variar su punto de aplicación. Procede de la siguiente manera:
1.- La barra debe fijarse al pivote que le permite girar por su centro y situarse en
horizontal. En principio, deberás encontrarla en este estado y no deberás hacer nada salvo
comprobar este extremo.
COMPOSICIÓN DE MOMENTOS DE FUERZA M-4
M-4
2.- El dinamómetro debe unirse a la hendidura
de la barra que está separada de su ce
(entre cada dos hendiduras hay 5 cm) mediante
la cuerda más corta, de forma que haya un
ángulo de 90º entre la cuerda tensa y la barra.
Las fuerzas que se lean en el dinamómetro se
designarán por F1 y la distancia
de la barra donde se ajusta
dinamómetro hasta el centro de la barra
designa por r1 (que vale 25 cm en este caso)
3.- Coloca el portapesas de 5 N en la hendidura
que se encuentra a 15 cm del centro de la barra
en el mismo lado de la barra donde se ha
ajustado la cuerda del dinamómetro
manera, se ejerce una fuerza
distancia r2 = 15 cm. Anot
observa en el dinamómetro (
4.- Añade pesas de 5 N al portapesas
hasta que se alcance un peso total de
Anota los valores que se leen en el dinamómetro (
largo de toda la experiencia, la barra
mantenga este ángulo de 90º. De esta manera, las fuerzas
la barra.
Anota los resultados de esta experiencia en la tabla
experimental. Para ello, observa cuidadosamente las divisiones del dinamómetro.
F
Tabla 1
A continuación, representa
El dinamómetro debe unirse a la hendidura
de la barra que está separada de su centro 25 cm
(entre cada dos hendiduras hay 5 cm) mediante
la cuerda más corta, de forma que haya un
ángulo de 90º entre la cuerda tensa y la barra.
Las fuerzas que se lean en el dinamómetro se
y la distancia desde el punto
e se ajusta la cuerda del
centro de la barra se
25 cm en este caso).
el portapesas de 5 N en la hendidura
que se encuentra a 15 cm del centro de la barra y
en el mismo lado de la barra donde se ha
ajustado la cuerda del dinamómetro. De esta
ejerce una fuerza F2 de 5 N a una
= 15 cm. Anota la reacción que se
observa en el dinamómetro (F1).
al portapesas para ir aumentando progresivamente la fuerza
que se alcance un peso total de 25 N (es decir, hasta añadir 4 pesas adicionales)
los valores que se leen en el dinamómetro (F1) en la tabla 1. Es importante
largo de toda la experiencia, la barra no se desvíe notablemente de la hor
e 90º. De esta manera, las fuerzas 1Fr y 2F
rserán perpendiculares a
los resultados de esta experiencia en la tabla 1 y no olvides añadir el error
Para ello, observa cuidadosamente las divisiones del dinamómetro.
F2 (N) F1 ±±±± ∆∆∆∆F1 (N)
5
10
15
20
25
a la gráfica F1-F2 y obtén (mediante un ajuste por mínimos 2
para ir aumentando progresivamente la fuerza F2
(es decir, hasta añadir 4 pesas adicionales).
importante que, a lo no se desvíe notablemente de la horizontal y que se
perpendiculares a
1 y no olvides añadir el error
Para ello, observa cuidadosamente las divisiones del dinamómetro.
(mediante un ajuste por mínimos
M-4 3
cuadrados) la recta F1 = a F2 + b que mejor se aproxima a los resultados experimentales
(dibújala también). No olvides los errores y unidades que deben acompañar a los
coeficientes a y b y apúntalos en la tabla 2. Incluye en esta tabla también, y a efectos de
futuras discusiones, el valor del cociente r2 / r1.
a = ±
b = ±
r =
r2 /r1 =
Tabla 2.
F1 (N)
F2 (N)
Como las fuerzas F1 y F2 se encuentran en el mismo plano y son perpendiculares a la
barra, se puede demostrar que, en el equilibrio y aplicando la expresión (2) tomando el
pivote como punto de reducción de momentos de fuerza, quedan relacionadas mediante:
M-4 4
2
1
21 F
r
rF = (3)
Esta ecuación predice que F1 es proporcional a F2, y la constante de proporcionalidad
viene dada por el cociente r2/r1. ¿Cuánto tiene que valer el coeficiente b según la ecuación
teórica (3)?
¿Se ajustan los resultados experimentales a esta predicción?
Sí � No �
Experiencia 2.
En la experiencia anterior se ha mantenido fijo el punto de aplicación de la fuerza F2,
mientras que se ha ido variando su módulo. Ahora se pretende mantener fija la fuerza, y
cambiar su punto de aplicación. Para ello, sitúa el portapesas con un peso total de 20 N en
las distintas hendiduras que hay en la barra desde su centro hasta uno de sus extremos. De
esta manera se tendrá que r2 tomará los siguientes valores r2 = 5, 10, 15 y 20 cm. Anota las
correspondientes fuerzas que mide el dinamómetro en cada configuración, F1. De nuevo,
procure que la barra no se desvíe apenas de la horizontal a lo largo de toda la experiencia.
Anota los resultados en la tabla 3.
r2 (cm) F1 ±±±± ∆∆∆∆F1 (N)
5
10
15
20
Tabla 3.
Representa la gráfica F1-r2 y obtén (mediante un ajuste por mínimos cuadrados) la recta
F1 = a r2 + b que mejor se aproxima a los resultados experimentales (dibújala también). No
olvides tampoco los errores y unidades (si las tienen) de los coeficientes a y b y apúntalos en la tabla 4.
La ecuación (3) también predice que F1 es proporcional a r2, pero ¿cuál es ahora la
M-4 5
constante de proporcionalidad según esta ecuación y qué valor toma?
¿Verifican los resultados experimentales esta predicción?
Sí � No �
F1 (N)
r2 (cm)
a = ±
b = ±
r =
Constante de
Proporcionalidad =
(valor cuantitativo)
Tabla 4.
M-4
Experiencia 3.
En esta ocasión repetiremos la experiencia 1 pero
aplicando una tercera fuerza
en la barra, F3 = 5 N, a una distancia
cm, del centro de la barra.
ayudaremos del portapesas de 0.5 N y de las
pesas más pequeñas. Anot
obtenidos en la tabla 5.
Representa de nuevo F1-F2 y obt
= a F2 + b que mejor se aproxima a sus resultados experimentales (dibúj
olvides tampoco los erroresen la tabla 6.
En esta ocasión se puede demostrar que
tomando el pivote como punto de reducción de momentos de fuerza,
¿Se obtiene en este caso el mismo coeficiente experimental
Sí �
¿Cómo interpretas ahora el coeficiente
corresponde?
F2 (N)
5
10
15
20
25
n esta ocasión repetiremos la experiencia 1 pero
aplicando una tercera fuerza de valor constante
a una distancia fija, r3 = 20
del centro de la barra. Para ello nos
ayudaremos del portapesas de 0.5 N y de las
pesas más pequeñas. Anota los resultados
Tabla 5.
y obtén (mediante un ajuste por mínimos cuadrados) la recta
que mejor se aproxima a sus resultados experimentales (dibúj
errores y unidades (si las tienen) de los coeficientes
En esta ocasión se puede demostrar que (en equilibrio), y aplicando
tomando el pivote como punto de reducción de momentos de fuerza, se cumple que:
3
1
3
2
1
2
1 Fr
rF
r
rF +=
el mismo coeficiente experimental a que en la experiencia 1?
No
ahora el coeficiente b?. Es decir: ¿Con qué valor teórico se
F1 ±±±± ∆∆∆∆F1 (N)
6
(mediante un ajuste por mínimos cuadrados) la recta F1 que mejor se aproxima a sus resultados experimentales (dibújala también). No
(si las tienen) de los coeficientes a y b y apúntalos
(en equilibrio), y aplicando la expresión (2)
se cumple que:
(4)
que en la experiencia 1?
No �
Es decir: ¿Con qué valor teórico se
M-4 7
Tabla 6.
F1 (N)
F2 (N)
CUESTIONES 1.- Demuestra razonadamente las ecuaciones (3) y (4). ¿Por qué en ninguna de ellas
aparece el peso de la barra?
2.- El pivote que sujeta la barra por su centro ejerce una fuerza sobre ella. ¿Por qué esta
fuerza no aparece tampoco en las ecuaciones anteriores? ¿Cómo podrías calcularla?.
Ilustra la respuesta a esta última cuestión con un ejemplo (calcula dicha fuerza para uno
de los casos analizados en la experiencia 1).
a = ±
b = ±
r =
r2 /r1 =
3
1
3 Fr
r =
M-5 1
OBJETIVOS: Determinación de a constante elástica
de un muelle mediante los métodos estático y
dinámico.
MATERIAL: Trípode, tabla vertical con dos
correderas, cinta métrica, muelles, pesas, cronómetro.
FUNDAMENTO TEÓRICO
Cuando a un muelle se aplica una fuerza F
experimenta una deformación, x, que viene dada por la
ley de Hooke:
kxF = (1)
donde k es una constante característica del muelle que recibe el nombre de constante
de recuperación. Observe que en la expresión (1) sólo se tienen en cuenta los módulos de
las magnitudes (habitualmente encontrará dicha expresión con un signo menos). Si del
muelle colgamos una masa m y la desplazamos de su posición de equilibrio, se puede
demostrar que el periodo de la oscilación viene dado por:
k
mT π= 2 (2)
PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS
Seleccionaremos dos muelles que evidencien una distinta constate elástica (es decir,
que se requiera distinta fuerza para estirarlos). Para cada uno de esos muelles vamos a
determinar su constante elástica siguiendo dos métodos distintos (estático y dinámico).
Evidentemente, cabe esperar que los resultados obtenidos para cada muelle por ambos
métodos sean concordantes.
Método estático.
Habrá que realizar los siguientes pasos:
1.- Suspende uno de los muelles de un punto fijo (sin ninguna masa) y coloca la corredera
superior coincidiendo con su extremo inferior.
(nota: reconocerás las correderas por su color naranja)
2.- Cuelga una pesa de masa conocida (con ayuda del porta pesas) y desplaza la corredera
OSCILADOR ARMÓNICO M-5
M-5 2
inferior hasta el extremo de muelle. La distancia entre ambas correderas (que puedes leerla
sobre la escala de la tabla vertical) es el alargamiento del muelle x cuando se somete a una
fuerza mg.
(nota 1: la masa total m viene dada por la suma de la masa del porta pesas más la suma de
las masas de cada una de las pesas utilizadas).
(nota 2: masa del porta pesas: 20 g; masa de cada una de las pesas utilizadas: 50 g).
3.- Vuelve a repetir la operación anterior añadiendo cada vez más pesas hasta completar la
siguiente tabla.
4.- Repite los pasos 1-3 con el otro muelle.
Anota sus resultados en las siguientes tablas.
Muelle 1
m (kg)
F
(F = mg)
(N)
x
(m)
0,120 (porta pesas + 2 pesas)
0,170 (porta pesas + 3 pesas)
0,220 (porta pesas + 4 pesas)
0,270 (porta pesas + 5 pesas)
0,320 (porta pesas + 6 pesas)
0,370 (porta pesas + 7 pesas)
0,420 (porta pesas + 8 pesas)
M-5 3
Muelle 2
m (kg)
F
(F = mg)
(N)
x
(m)
0,120 (porta pesas + 2 pesas)
0,170 (porta pesas + 3 pesas)
0,220 (porta pesas + 4 pesas)
0,270 (porta pesas + 5 pesas)
0,320 (porta pesas + 6 pesas)
0,370 (porta pesas + 7 pesas)
0,420 (porta pesas + 8 pesas)
A partir de estos datos, representa en una sola gráfica y para los dos muelles la
fuerza frente al alargamiento, F-x . Ajusta por mínimos cuadrados la línea obtenida:
F = a x + b. Representa en la gráfica también estas rectas de ajuste. Apunta en la tabla
adjunta los parámetros del ajuste, a, ∆a, b, ∆b, coeficiente de correlación rc .
Determina para cada muelle el valor de su constante elástica k, utilizando la
pendiente (a) de la recta anterior y comparando con la ecuación (1).
Muelle 1
a = ( ± ) N/m
b = ( ± ) N
rc = ; coeficiente de correlación
k ± ∆ k = ( ± ) N/m
(valor sin redondear)
k ± ∆ k = ( ± ) N/m
(valor redondeado)
M-5 4
Muelle 2
a = ( ± ) N/m
b = ( ± ) N
rc = ; coeficiente de correlación
k ± ∆ k = ( ± ) N/m
(valor sin redondear)
k ± ∆ k = ( ± ) N/m
(valor redondeado)
F (N)
x (m)
M-5 5
Método dinámico
Habrá que realizar los siguientes pasos:
2.- Utilizando el muelle 1, carga el porta pesas con una masa total m de 120 g y desplázalo
ligeramente de la posición de equilibrio (tirando del porta pesas hacia abajo, es decir,
estirando el muelle, pero sólo LIGERAMENTE) y mide con el cronómetro el tiempo t
empleado en realizar una serie de N oscilaciones (por ejemplo, N = 10). Evidentemente el
periodo de una oscilación, T, se calcula mediante la expresión T = t / N.
3.- Debes repetir la experiencia anterior hasta tres veces, obteniendo valores que
denominaremos t1, t2 y t3; ahora debemos decidir si con esas tres medidas bastan. Para
ello calcula el tanto por ciento de dispersión de las mismas y apúntalo. Si ese parámetro
toma un valor inferior al 2% sabemos que las tres medidas son suficientes. En caso
contrario debes realizar otras tres nuevas medidas que denominamos t4, t5 y t6.
Finalmente, se determina el tiempo t invertido para esa masa m, que será la media de las
medidas anteriores (tres o seis, según el caso). Y a partir de t determina fácilmente,
como sabemos, el valor del periodo de oscilación, T.
3.- Repite las operaciones anteriores variando la masa m hasta completar la siguiente tabla.
4.- Repite los pasos 1-3 con el otro muelle y completa las siguientes tablas:
Muelle 1
m (kg) t1 (s) t2 (s) t3 (s)
TD Tanto por
ciento de
dispersión
en t
t4 (s) t5 (s) t6 (s)
t (s) Valor
medio
de las
medidas
realizadas
T = t/10 Dividimos
los valores
de la
columna
anterior
entre 10
T2 (s2) Elevamos
al cuadrado
los valores
de la
columna
anterior
0,120 (portapesas + 2 pesas)
0,170 (porta pesas + 3 pesas)
0,220 (porta pesas + 4 pesas)
0,270 (porta pesas + 5 pesas)
0,320 (porta pesas + 6 pesas)
0,370 (porta pesas + 7 pesas)
M-5 6
Muelle 2
m (kg) t1 (s) t2 (s) t3 (s)
TD Tanto por
ciento de
dispersión
en t
t4 (s) t5 (s) t6 (s)
t (s) Valor
medio
de las
medidas
realizadas
T = t/10 Dividimos
los valores
de la
columna
anterior
entre 10
T2 (s2) Elevamos
al cuadrado
los valores
de la
columna
anterior
0,120 (portapesas + 2 pesas)
0,170 (porta pesas + 3 pesas)
0,220 (porta pesas + 4 pesas)
0,270 (porta pesas + 5 pesas)
0,320 (porta pesas + 6 pesas)
0,370 (porta pesas + 7 pesas)
A continuación, representa gráficamente T2-m para los muelles 1 y 2, y ajusta por
Mínimos Cuadrados la línea obtenida: T2
= a m + b. Apunta en la tabla adjunta los
parámetros del ajuste, a, ∆a, b, ∆b, coeficiente de correlación rc. Representa en la gráfica
también estas rectas de ajuste (correspondientes a los muelles 1 y 2).
Determina el valor de la constante elástica k, utilizando la pendiente (a) de la recta
anterior y comparando con la expresión (2) en la forma:
04 2
2 +mk
= Tπ
M-5 7
Muelle 1
a = ( ± ) s2/kg
b = ( ± ) s2
rc = ; coeficiente de correlación
k ± ∆ k = ( ± ) N/m
(valor sin redondear)
k ± ∆ k = ( ± ) N/m
(valor redondeado)
Muelle 2
a = ( ± ) s2/kg
b = ( ± ) s2
rc = ; coeficiente de correlación
k ± ∆ k = ( ± ) N/m
(valor sin redondear)
k ± ∆ k = ( ± ) N/m
(valor redondeado)
Con el objeto de completar la tabla anterior recuerda que k es en esta práctica un
parámetro experimental cuyo valor depende directamente del valor de la variable a;
puesto que a viene afectada de un cierto error, es evidente que:
(3)
aa
kk ∆
∂∂=∆
M-5 8
A la vista de los resultados obtenidos mediante los métodos estático y dinámico:
¿Podemos afirmar que se obtiene un valor semejante de la constante elástica k para el
muelle 1?
Sí � No �
A la vista de los resultados obtenidos mediante los métodos estático y dinámico:
¿Podemos afirmar que se obtiene un valor semejante de la constante elástica k para el
muelle 2?
Sí � No �
Para terminar, dibuja en la siguiente gráfica los puntos experimentales de las dos
tablas anteriores así como las líneas teóricas obtenidas mediante el ajuste por mínimos
cuadrados.
T2 (s
2)
m (kg)
CUESTIONES 2.- Encuentra la expresión del error de k, ∆k, dado por la expresión (3).
M-7 1
OBJETIVOS: Determinación de la constante de recuperación de un muelle espiral y
cálculo de diversos momentos de inercia a partir de los periodos de oscilación.
MATERIAL: Diferentes cuerpos. Soporte. Eje de rotación con muelle de torsión. Cinta
métrica. Cronómetro. Barrera fotoeléctrica.
FUNDAMENTO TEÓRICO
Si se fija un sólido rígido a una plataforma con muelle en espiral o se aplica una
fuerza cuyo momento respecto al eje es M, el sólido gira un ángulo que viene dado por la
ley de Hooke:
θ= kM (1)
donde k es una constante característica del muelle que recibe el nombre de constante
de recuperación angular. Observe que en la expresión (1) sólo se tienen en cuenta los
módulos de las magnitudes. Si el sólido se gira un cierto ángulo respecto a su posición de
equilibrio se puede demostrar que el periodo de la oscilación del movimiento armónico
resultante, T, viene dado por:
k
IT π= 2 (2)
donde I es el momento de inercia del sólido.
PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS
Determinación de la constante de recuperación angular.
Habrá que seguir los siguientes pasos:
1.- Fija la varilla por su centro de masas al muelle en espiral.
PÉNDULO DE TORSIÓN M-7
M-7 2
2.- Gira la varilla (comprimiendo el muelle) 180 º (π rad) y coloca el dinamómetro de 1N
de fondo de escala en alguna de las hendiduras que tiene más próximas a sus extremos.
Anota el valor de la fuerza necesaria para mantener la varilla en esta posición y con el
dinamómetro perpendicular a ella. En tal caso, como sabemos, el momento vendrá dado
simplemente por el producto M = F d, donde d distancia que separa el centro de masas de
la varilla de cualquiera de las dos hendiduras que tiene más próximas a sus extremos.
(nota: el parámetro d tiene un valor de 29 cm)
3.- Vuelve a repetir la operación anterior para 2π, 3π y 4π rad (dos vueltas) y completa la
tabla que figura a continuación.
θθθθ (rad) F (N)
(sin su error pero redondeado) M (N·m)
π
2π
3π
4π (utiliza el dinamómetro de
2 N de fondo de escala)
A partir de estos datos, representa en una gráfica M-θ. Ajusta por mínimos
cuadrados la recta M = a θ + b. Representa en la gráfica también esta recta de regresión.
Apunta en la tabla adjunta los parámetros del ajuste, a, ∆a, b, ∆b, coeficiente de
correlación rc.
Determina la constante de recuperación del muelle en espiral, k, utilizando la
pendiente (a) de la recta anterior y comparando con la expresión (1).
M-7 3
M (N·m)
θ (rad)
a = ( ± ) N·m/rad
b = ( ± ) N·m
rc = ; coeficiente de correlación
k ± ∆ k = ( ± ) N·m/rad
(valor redondeado)
Determinación de momentos de inercia.
Habrá que seguir los siguientes pasos:
1.- Fija la varilla por su centro de masas al muelle en espiral.
2.- Desplázala de la posición de equilibrio (girando un ángulo aproximado de 90º) y mide
el tiempo t invertido en realizar 3 oscilaciones completas.
M-7 4
3.- Debes repetir la experiencia anterior hasta tres veces, obteniendo valores que
denominaremos t1, t2 y t3; ahora debemos decidir si con esas tres medidas bastan. Para
ello calcula el tanto por ciento de dispersión de las mismas y apúntalo. Si ese parámetro
toma un valor inferior al 2% sabemos que las tres medidas son suficientes. En caso
contrario debes realizar otras tres nuevas medidas que denominamos t4, t5 y t6.
Finalmente, se determina el tiempo t realizando la media de las medidas anteriores (tres
o seis, según el caso). Y a partir de t determina fácilmente, como sabemos, el valor del
periodo de oscilación, T, como T = t/3.
3.- Repite los pasos 1, 2 y 3 para el disco, el cilindro macizo, el cilindro hueco y la esfera.
Completa la siguiente tabla:
Objeto t1 (s)
t2 (s)
t3 (s)
TD tanto por
ciento de
dispersión
en t
t4 (s)
t5 (s)
t6 (s)
t (s) Valor medio
de las
medidas
realizadas
(T = t/3) Valores de la
columna
anterior
divididos
entre 3
Varilla
Disco
Cilindro macizo
Cilindro hueco
Esfera
En cuanto el error asociado al período T, ∆T, debes tener en cuenta que su valor
depende directamente del error instrumental del cronómetro, ∆tinstr (que normalmente será
de 0.1 s o 0.01 s). En el caso de que basten 3 medidas de t (es decir, cuando el tanto por
ciento de dispersión sea inferior al 2%) se puede demostrar que ∆T = ∆tinstr /3, mientras
que si se requieren 6 medidas de t habrá que comparar ∆tinstr con la dispersión de las 6
medidas de t dividida entre 4, Dt/4; en este caso si ∆tinstr ≥ Dt/4 entonces ∆T = ∆tinstr /3,
mientras que si ∆tinstr < Dt/4 entonces ∆T = Dt/12. Apunta los resultados de estos cálculos
en la siguiente tabla.
M-7 5
Objeto ∆tinstr (s)
Indica el
número de
medidas
de t que
has
necesitado
realizar
(3 o 6)
Dt/4 (s)
(en el caso
de haber
realizado 6 medidas)
∆T(s)
T ± ∆T (s)
Valores sin
redondear
T ± ∆T (s)
Valores
redondeados
Varilla
Disco
Cilindro
macizo
Cilindro
hueco
Esfera
A partir del periodo T y la constante k, y utilizando la expresión (2) puedes evaluar
experimentalmente los momentos de inercia de los distintos objetos estudiados. Para ello
rescribimos la expresión (2) en la forma:
(3)
No obstante, debemos tener en cuenta que puesto que los momentos de inercia
evaluados mediante la expresión (3) tienen un carácter experimental, llevan asociados un
cierto error, dependiente a su vez de los errores que acompañan a las magnitudes k y T.
Por lo tanto, la expresión de ∆I viene dada por:
(4)
Finalmente, puedes evaluar los momentos de inercia teóricos de cada objeto
teniendo en cuenta los datos (masas y características geométricas) que se incluyen en una
tabla anexa y las expresiones teóricas de momentos de inercia que puedes encontrar
2
2
4π= kTI
TT
Ik
k
II ∆
∂∂+∆
∂∂=∆
M-7 6
ojeando los correspondientes libros de texto.
Con toda la información anterior estás en condiciones de completar la siguiente
tabla:
Objeto I ±±±± ∆∆∆∆I (kg·m2) (experimental)
(valores sin redondear)
I ±±±± ∆∆∆∆I (kg·m2) (experimental)
(valores redondeados)
I (kg·m2) (teórico)
Varilla
Disco
Cilindro macizo
Cilindro hueco
Esfera
Tabla anexa
Objeto masa (kg) radio exterior (m) radio interior (m)
Varilla 0.133 0.3 (media longitud) -
Disco 0.284 0.108 -
Cilindro Macizo 0.367 0.0495 -
Cilindro Hueco 0.372 0.050 0.046
Esfera 0.761 0.070 -
M-7 7
CUESTIONES 1.- Escribe las expresiones teóricas de los momentos de inercia de los cinco objetos
estudiados.
2.- Aplica las derivadas parciales expresadas en (4) a la expresión (3) y obtén la
expresión de ∆I que has utilizado para tus cálculos.
4.- ¿Se asemejan los momentos de inercia evaluados teóricamente a partir de la masa y
la geometría de los cuerpos a los obtenidos experimentalmente a partir del periodo?.
Comenta las semejanzas o discrepancias de los resultados obtenidos para los cinco
objetos.
M-8 1
OBJETIVO: Simular
experimentalmente la deformación de
una viga horizontal apoyada en sus
extremos y sometida a una carga en su
punto medio.
MATERIAL: Varilla de acero, trípodes,
reloj indicador, soporte del reloj
indicador, portapesas, pesas, cinta
métrica y palmer.
FUNDAMENTO TEÓRICO.
Los Alumnos de primer curso de los Grados de Ingeniería Civil, Tecnologías Mineras y
Recursos Energéticos han estudiado en clase de teoría el problema de una viga rectangular
de longitud L apoyada en sus extremos y sometida a una carga en su punto medio. Para
este caso, la deformación viene caracterizada por el valor de la flecha h, que depende de la
carga F a la que está sometida la viga, de su módulo de Young Y, de su longitud L, y de
sus otras dimensiones de interés (a y b) que quedan claramente descritas en la figura
inferior. Cuantitativamente:
)1(
24 3
3
FYab
Lh=
PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS
En esta práctica una varilla rectangular de acero con un valor del módulo de Young
proporcionado por la casa fabricante 1,7·1011
N/m2 simulará a una viga real de sección
rectangular. Antes de iniciar la experiencia se debe medir con el palmer las dimensiones
características de la varilla, a y b, y con una cinta métrica la longitud L mostrada en la
figura (ver en la fotografía de la portada que L no coincide con la longitud total de la
ESTUDIO EXPERIMENTAL DE LA FLEXIÓN DE UNA VIGA M-8
M-8 2
varilla, sino que es la distancia entre los puntos de apoyo), y se completa la siguiente tabla:
a ± ∆a ( ) mm ( ) m
b ± ∆b ( ) mm ( ) m
L ± ∆L ( ) mm ( ) m
Con el esquema de trabajo mostrado en la fotografía de la portada toma una primera
lectura del reloj indicador sin el portapesas, a la que denominamos Li, y apuntala en la
tabla inferior. A continuación coloca con sumo cuidado el portapesas con dos pesas sobre
el soporte del reloj indicador y se espera en torno a un minuto a que se estabilice la medida
del reloj indicador. El valor que entonces marque es Lf; apuntalo en la tabla. Repite la
experiencia añadiendo sucesivamente pesas con gran cuidado hasta un número de 8, sin
soltarlas de golpe, y completa la tabla siguiente.
A partir de estos datos, se debe representa en una gráfica el valor de la flecha h (en
metros) en función de la carga F (en N). Por otro lado, ajusta por mínimos cuadrados la
Varilla de acero
m (kg)
F
(F = mg) (N)
Lectura
inicial reloj
Li (mm)
Lectura final
reloj
Lf (mm)
Flecha de la
varilla
h = Li - Lf (mm)
Flecha de la
varilla
h = Li - Lf (m)
0,120 (porta pesas + 2 pesas)
0,170 (porta pesas + 3 pesas)
0,220 (porta pesas + 4 pesas)
0,270 (porta pesas + 5 pesas)
0,320 (porta pesas + 6 pesas)
0,370 (porta pesas + 7 pesas)
0,420 (porta pesas + 8 pesas)
M-8 3
línea obtenida: h = c F + d. A continuación, incluye en la gráfica anterior esta recta de
ajuste. Apunta en la tabla adjunta los parámetros del ajuste proporcionados por el
programa que has utilizado: c, ∆c, d, ∆d, así como el coeficiente de correlación rc .
Finalmente, determina el valor experimental del módulo de Young de la varilla de
acero objeto de estudio, Y, utilizando la pendiente de la recta anterior, c, y comparando
con la ecuación (1) en la forma:
)2(0
24 3
3
+= FYab
Lh
Varilla de acero. Y teórico = 1,7·1011 N/m2
c = ( ± ) m/N
d = ( ± ) m
rc = ; coeficiente de correlación
Y ± ∆ Y = ( ± ) N/m2
(valor sin redondear)
Y ± ∆ Y = ( ± ) N/m2
(valor redondeado)
Con el objeto de completar la tabla anterior recuerda que Y es en esta práctica un
parámetro experimental cuyo valor depende directamente del valor de la pendiente c, de la
longitud de la varilla L, y de sus dimensiones características a y b, todas ellas magnitudes
afectadas de error. Por lo tanto, es evidente que:
)3(LL
Yc
c
Yb
b
Ya
a
YY ∆
∂∂+∆
∂∂+∆
∂∂+∆
∂∂=∆
M-8 4
h(m)
F (N)
CUESTIONES.
1.- Compara el valor del módulo de Young del acero teórico con el obtenido
experimentalmente. ¿Existe un parecido razonable?.
2.- Realiza las correspondientes derivadas parciales a fin de obtener la expresión del
error experimental asociado al módulo de Young, ∆Y, dado por la expresión (3) .
M-9
OBJETIVO: El objetivo de esta
estudiar experimentalmente un polipasto,
determinando su ventaja mecánica mediante un
ajuste por mínimos cuadrados.
MATERIAL: Polipasto, juego de dinamómetros,
juegos de pesas, soportes.
FUNDAMENTO TEÓRICO
Un polipasto es una máquina compuesta por un
cierto número de poleas; su principal utilidad es
proporcionar una cierta ventaja mecánica (
que, como recordarás, es de for
cociente entre la carga y el
un polipasto, VM viene dada por la siguiente
expresión:
( )( ) (·ºnúmeroeVM
cuerdasden=
Donde e es la eficiencia de cada una de las poleas
componentes, al término
denomina eficiencia total, y
refiere al número de cuerdas del polipasto que
soportan la carga. En el caso ideal de que
cumple que VM = número de cuerdas.
PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS
En la cabecera de este guión aparece una imagen del polipasto que vas a analizar así como
de uno de los dinamómetros que serán utilizados para mediar el esfuerzo en cada una de
las experiencias. Antes de empezar a medir analiza el polipasto objeto de estud
en la tabla inferior el número de cuerdas
del polipasto la carga objeto de estudio (en negro en la imagen); a continuación,
del dinamómetro se engancha en un clip que se ha insertado en un
elegir convenientemente entre el juego de dinamómetros disponibles (de fondo de escala
1N, 2N y 5N) el que más interese en cada experiencia.
dinamómetro ya enganchado
ascienda muy lentamente, de forma que aproximadamente lo haga con velocidad constante
y aceleración nula. Cambiando la carga objeto de estudio y realizando las medidas
correspondientes con el juego de dinamómetros
la siguiente tabla:
DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA VENTAJA
MECÁNICA DE UN POLIPASTO
El objetivo de esta práctica es
estudiar experimentalmente un polipasto,
determinando su ventaja mecánica mediante un
ajuste por mínimos cuadrados.
Polipasto, juego de dinamómetros,
FUNDAMENTO TEÓRICO.
Un polipasto es una máquina compuesta por un
cierto número de poleas; su principal utilidad es
proporcionar una cierta ventaja mecánica (VM)
, como recordarás, es de forma general el
y el esfuerzo. En el caso de
viene dada por la siguiente
) )1(cuerdasdenúmero
es la eficiencia de cada una de las poleas
componentes, al término e (nº de cuerdas)
se le
denomina eficiencia total, y número de cuerdas, se
refiere al número de cuerdas del polipasto que
soportan la carga. En el caso ideal de que e = 1 se
= número de cuerdas.
PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS
En la cabecera de este guión aparece una imagen del polipasto que vas a analizar así como
de uno de los dinamómetros que serán utilizados para mediar el esfuerzo en cada una de
Antes de empezar a medir analiza el polipasto objeto de estud
número de cuerdas que lo compone. Para medir, primero se cuelga
del polipasto la carga objeto de estudio (en negro en la imagen); a continuación,
del dinamómetro se engancha en un clip que se ha insertado en una de las cuerdas. Debes
elegir convenientemente entre el juego de dinamómetros disponibles (de fondo de escala
1N, 2N y 5N) el que más interese en cada experiencia. A continuación,
ya enganchado tirarás suavemente hacia abajo hasta logr
ascienda muy lentamente, de forma que aproximadamente lo haga con velocidad constante
Cambiando la carga objeto de estudio y realizando las medidas
correspondientes con el juego de dinamómetros, irás completando los dato
DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA VENTAJA
MECÁNICA DE UN POLIPASTO
1
En la cabecera de este guión aparece una imagen del polipasto que vas a analizar así como
de uno de los dinamómetros que serán utilizados para mediar el esfuerzo en cada una de
Antes de empezar a medir analiza el polipasto objeto de estudio y apunta
primero se cuelga
del polipasto la carga objeto de estudio (en negro en la imagen); a continuación, el gancho
a de las cuerdas. Debes
elegir convenientemente entre el juego de dinamómetros disponibles (de fondo de escala
A continuación, con el
hasta lograr que la carga
ascienda muy lentamente, de forma que aproximadamente lo haga con velocidad constante
Cambiando la carga objeto de estudio y realizando las medidas
, irás completando los datos requeridos en
DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA VENTAJA M-9
M-9 2
Número de cuerdas del polipasto:
Carga (Kg) Carga (N)
(mg)
Esfuerzo (N) (acompañado de su error)
VM = (Carga)/(Esfuerzo)
0,294
0,494
1
1,114
A partir de estos datos, representa en una gráfica el valor de la carga (expresada en
N) en función del esfuerzo (expresado en N). Por otro lado, ajusta por mínimos cuadrados
la línea obtenida: carga = a esfuerzo + b. A continuación, incluye en la gráfica anterior
esta recta de ajuste. Apunta en la tabla adjunta los parámetros del ajuste proporcionados
por el programa que has utilizado: a, ∆a, b, ∆b, así como el coeficiente de correlación rc .
Finalmente, determina el valor experimental de la ventaja mecánica del polipasto
objeto de estudio, recordando que:
)2(· esfuerzoVMcarga =
a ± ∆a = ( ± )
b ± ∆b = ( ± )
rc = ; coeficiente de correlación
VM ± ∆ VM = ( ± )
(valor sin redondear)
VM ± ∆ VM = ( ± )
(valor redondeado)
M-9 3
Carga(N)
Esfuerzo (N)
CUESTIONES.
1.- Compara el valor teórico de la ventaja mecánica ideal del polipasto estudiado con el
valor experimental que has obtenido. ¿Qué puedes decir a cerca de la eficiencia total del
polipasto?. ¿Hay rozamientos presentes en el funcionamiento de este polipasto?.
M-11 1
OBJETIVO: Determinar experimentalmente
el coeficiente de restitución experimentado por
una rueda de Maxwell en sucesivos rebotes.
MATERIAL: Disco de Maxwell, regla
graduada en centímetros, soportes, nueces.
Un disco de Maxwell es un sistema compuesto
por un disco rígido de masa m solidariamente
unido a un eje (de radio r) perpendicular a su
plano y que pasa por su centro de masas; el
disco cuelga de un soporte mediante dos
cuerdas (inextensibles y de masa despreciable).
Las cuerdas se enrollan en torno al eje del
disco, sujetándose éste a una cierta altura
mediante algún dispositivo de fijación (en
nuestro caso nuestras propias manos). Cuando
se deja libre el disco, éste cae a medida que se
van desenrollando las cuerdas que lo sujetan,
como si fuese un yoyó, describiendo su centro
de masas un movimiento de traslación (caída)
simultáneo con la rotación del disco en torno al
eje que pasa por su centro de masas. Cuando el disco se desenrolla totalmente (alcanzando
una distancia igual a la longitud de las mismas) experimenta un rebote como consecuencia
de las fuerzas elásticas a las que se ven sometidas las cuerdas de las que cuelga el disco.
En esta práctica determinaremos el coeficiente de restitución que caracteriza este rebote,
que puede ser interpretado desde el punto de vista mecánico como una colisión producida
al desenrollarse totalmente el disco.
FUNDAMENTO TEÓRICO
Al final de este guión puedes encontrar una referencia bibliográfica donde se analiza
físicamente el proceso de enrollado y desenrollado sucesivo de una rueda de Maxwell que
experimenta sucesivos rebotes hasta alcanzar el reposo debido a la disipación de la energía
mecánica.
En este análisis se llega a la siguiente expresión de interés que relaciona la altura
alcanzada por la rueda de Maxwell tras n colisiones, hn, con la altura inicial, ho:
DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN
MEDIANTE UNA RUEDA DE MAXWELL M-11
)1(2o
n
nhh ε=
M-11 2
donde ε es el coeficiente de restitución que caracteriza cada colisión o rebote.
Ahora podemos aplicar el logaritmo neperiano a ambos términos de la expresión (1),
obteniendo:
La expresión (2) será nuestra expresión de trabajo. Evidentemente, si representamos Ln hn
frente a n, cabe esperar una relación lineal cuya pendiente es 2·Ln ε y cuya ordenada en el
origen es Ln ho. Por lo tanto, el valor de la pendiente será utilizado para determinar el
coeficiente de restitución, ε, mientras que la ordenada en el origen se utilizará como medio
de comprobación de la validez de los resultados obtenidos.
PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS
Antes de enrollar los hilos al disco de Maxwell se debe nivelar horizontalmente el eje.
Pregunte a tu profesor de prácticas de laboratorio si el eje está nivelado.
Los pasos a seguir en esta experiencia son:
1.- Enrolla cuidadosamente la rueda de Maxwell hasta que el eje del disco intercepte el
centímetro 75 de la escala graduada, que se corresponderá con la altura inicial ho. La
siguiente figura, extremadamente ilustrativa, muestra como se lleva a cabo esta lectura así
como todas las restantes. En el caso de la figura, no obstante, la rueda alcanza una altura
de 56 cm.
2.- Deja en libertad la rueda de Maxwell con el
máximo cuidado, de forma que ésta no cabecee
en su descenso. Aguarda a que se produzca el
primer rebote y comience su movimiento
ascendente. Sigue atentamente tal movimiento
ascendente hasta que la rueda se detenga
momentáneamente. La lectura ofrecida en ese
momento por la regla graduada se corresponde
con la altura alcanzada tras el primer rebote, es
decir, h1. Asegúrate de realizar la lectura de la
regla de forma que tus ojos y el eje se hallen a la
misma altura para así evitar errores de paralaje.
3.- Sigue observando la experiencia sin intervenir
en ningún momento. Se producirán sucesivos
rebotes que conducirán a alturas máximas que denominaremos h2, h3, h4, etc. Ve rellenando
con todos estos datos la primera columna de la tabla 1, teniendo en cuenta que la
experiencia se considerará concluida cuando se hayan producido n = 12 rebotes.
)2(··2 εLnnhLnhLnon
+=
M-11 3
n hn (cm) hn (cm) hn (cm)
TD
tanto por ciento de dispersión en
h
hn (cm) hn (cm) hn (cm)
hn valor medio (cm)
0 75 75 75 - 75 75 75
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Tabla 1
4.- Repite la anterior experiencia otras dos veces más (3 en total). En ese momento habrás
completado las tres primeras columnas de la tabla 1. Toma la calculadora y evalúa el tanto
por ciento de dispersión de los resultados asociado a cada valor de n y apúntalo en la tabla
1. Una vez que hayas evaluado todos los tantos por ciento de dispersión observa si todos
ellos son menores del 2%. En este caso ya no deberás realizar más medidas. En el caso de
que alguno o algunos de ellos hayan superado el 2% de dispersión pregunta a tu profesor
sobre la idoneidad de realizar 3 medidas adicionales.
5.- Una vez concluidas las 3 o 6 experiencias, calcula el valor medio de las medidas
realizadas para cada valor de n y completa la última columna de la tabla 1.
6.- A partir de los datos anteriores, representa en una gráfica Ln hn – n y ajústala por
mínimos cuadrados: Ln hn = a·n + b. Apunta en la tabla adjunta (tabla 2) los parámetros
del ajuste, a, ∆a, b, ∆b y coeficiente de correlación, rc. A continuación, haciendo uso de la
expresión (2), determina los valores experimentales, acompañados de su error, del
coeficiente de correlación, ε, y ho(exp). Para ello ten en cuenta que de la mencionada
comparación se desprende que a = 2·Lnε y que b = Ln ho(exp).
M-11 4
Ln (hn/cm)
n
a = ( ± )
b = ( ± )
rc = ; coeficiente de correlación
ε ± ∆ε = ( ± )
ho(exp) ± ∆ ho(exp) = ( ± ) cm
Tabla 2.
A fin de completar la tabla anterior recuerda que ε es un parámetro que depende de sólo
una variable afectada por errores (a); por lo tanto, es evidente que:
Y lo mismo se puede decir en relación a ho(exp) que, en este caso, es un parámetro que
)3(aaD
D ∆=∆ εε
M-11 5
depende de sólo una variable afectada por errores (b); por lo tanto, es evidente que:
CUESTIONES
1.- Desarrolla las expresiones (3) y (4) y obtén las expresiones explícitas para ∆ε y
∆ ho(exp).
2.- Compara el valor de ho(exp) ± ∆ ho(exp) con el valor que cabe esperar para este
parámetro (75 cm). A la vista de esta comparación y teniendo en cuenta también el valor
del coeficiente de correlación obtenido en el ajuste, rc : ¿qué confianza te merecen las
medidas realizadas y, por lo tanto, el valor que has obtenido experimentalmente para el
coeficiente de restitución?
BIBLIOGRAFÍA El alumno debe saber que esta práctica de laboratorio está basada en una publicación
realizada por dos profesores del Departamento de Física de la Universidad de Jaén. Si
deseas profundizar en el estudio y propiedades de este interesante montaje experimental
puedes consultar:
J.A. Maroto-Centeno y M. Quesada-Pérez, “Determinación del Coeficiente de Restitución
Mediante la Utilización de una Rueda de Maxwell”, Revista Iberoamericana de Física,
Vol. 5, nº 1 (2009).
)4((exp)
(exp) bbD
hDh
o
o∆=∆
F-1 1
OBJETIVO: Determinar la
densidad de un sólido utilizando
un picnómetro.
MATERIAL: Picnómetro,
balanza electrónica, cuerpo
problema dividido en pequeños
trozos, pipeta, vaso de vidrio,
termómetro, platillo, agua
destilada.
FUNDAMENTO TEÓRICO
La densidad absoluta, o simplemente densidad, ρ, de una sustancia de masa m y
volumen V, viene dada por:
V
m = ρ (1)
La densidad, para el caso de un sólido más denso que el agua, puede determinarse
experimentalmente haciendo uso de un picnómetro.
El picnómetro es un pequeño frasco de vidrio, cerrado por un tapón taladrado (hueco)
que se prolonga en un tubo vertical de pequeño diámetro, en el que hay marcada una
señal de enrase que debe alcanzarse en todas las medidas, a fin de disponer siempre de
un volumen constante.
Si m1 es la masa del picnómetro lleno de agua, m2 la masa del sólido problema y m3 la
masa del picnómetro lleno de agua destilada y con el sólido en su interior, de acuerdo
con el principio de Arquímedes, se tiene que:
Peso (H2O + sólido) (enrase) = Peso H2O (enrase) + Peso del sólido – Peso del V de H2O desalojado
que, numéricamente, se puede escribir como:
gV - gm + gm = gm 0213 ρ (2)
donde ρ0 es la densidad del agua destilada a la temperatura de trabajo y V el volumen
del cuerpo problema.
De esta forma, es evidente que la densidad del sólido problema, ρs, utilizando (2),
viene dada por:
DETERMINACIÓN DE DENSIDADES DE SÓLIDOS CON EL
PICNÓMETRO F-1
F-1 2
ρρ 0
321
22
s
m - m + m
m =
V
m = (3)
de manera que es posible determinar ρs en función de m1, m2 y m3, que serán evaluadas
experimentalmente.
PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS
Es importante asegurarse que durante la realización de la práctica tanto el agua
destilada como el sólido problema se mantengan a temperatura constante (que será la
determinada por el termómetro). En consecuencia, se procurará tener el picnómetro en
las manos el menor tiempo posible, una vez que esté lleno de líquido.
Para realizar esta práctica se procede del siguiente modo:
1.- Mide con el termómetro la temperatura del agua destilada contenida en el vaso de
vidrio. A continuación, llena el picnómetro de agua hasta el enrase y seca el exterior
con el papel secante. Para esta operación, que debe realizarse con cierta paciencia, te
ayudarás de la pipeta e irás añadiendo agua poco a poco y colocando el tapón hasta que
compruebes que el nivel de agua coincide exactamente con la marca de enrase.
2.- Enciende la balanza electrónica. Para ello deberás pulsar brevemente el botón
ON/OFF. Tras unos instantes, se apreciará en la pantalla 0.0 g, lo que indica que ya está preparada para pesar. A continuación, introduce el picnómetro lleno de agua. A la
lectura ofrecida por la balanza la llamaremos m1. Apúntala en la tabla 1. Retira el
picnómetro de la balanza y vacíalo de agua.
3.- En la mesa de trabajo hay un platillo de vidrio (designado con la letra A) lleno con
diversos trozos del primer cuerpo problema. Toma el platillo de vidrio (vacío) y sitúalo
en la balanza. A continuación pulsa el botón TARE; observarás que, tras unos instantes, la pantalla indica una lectura de 0.0 g . Se dice entonces que la balanza está
tarada, de manera que sólo medirá la masa de aquellos cuerpos que a continuación se
depositen en ella. Deposita todos los trozos del cuerpo problema y anota su masa, m2 en la tabla 1. Saca el platillo con los trozos del cuerpo problema y pulsa de nuevo el
botón TARE.
4.- Introduce los trozos del cuerpo problema en el interior del picnómetro, llénalo de
agua hasta el enrase siguiendo los pasos descritos en el paso 1 y seca el exterior.
5.- Determina en la balanza la masa del picnómetro lleno de agua con el cuerpo en su
interior, m3. Una vez tomada la lectura y apuntada en la tabla inferior, retira el
picnómetro de la balanza y vacíalo de agua y de los trozos del cuerpo problema.
6.- Repite las operaciones 3, 4 y 5 utilizando trozos del segundo y tercer cuerpo
F-1 3
problema contenidos en los platillos designados con las letras B y C, respectivamente.
(Nota: para los errores en las masas, toma la sensibilidad de la balanza, es decir,
0.1 g).
Cuerpo problema m1 ± ∆∆∆∆m1 ( g ) m2 ± ∆∆∆∆m2 ( g ) m3 ± ∆∆∆∆m3 ( g )
A
B
C
Tabla 1.
Para finalizar, debes obtener el valor de la densidad del sólido, ρs ± ∆ρs. En cuanto a
ρs , debes sustituir los valores anteriores en la expresión (3). En esta expresión aparece
la densidad del agua ρo que depende de la temperatura. La tabla 2 ofrece algunos
valores de este parámetro para diferentes temperaturas. Si la temperatura medida con el
termómetro (paso 1) no coincide con alguna de las tabuladas, deberás interpolar
linealmente.
t (ºC) ρρρρo (g/cm3)
5 0,99996
10 0,99970
15 0,99910
20 0,99820
25 0,99705
30 0,99565
35 0,99403
Tabla 2.
El valor de ∆ρs se obtiene mediante cálculo de errores. Una vez obtenidos los valores
de ρs y ∆ρs debes rellenar las tablas 3 y 4:
F-1 4
Cuerpo problema ρρρρs ± ∆∆∆∆ρρρρs (g/cm
3) (valores sin redondear)
A
B
C
Tabla 2.
Cuerpo problema ρρρρs ± ∆∆∆∆ρρρρs (g/cm
3) (valores redondeados)
A
B
C
Tabla 3.
CUESTIONES
1.- El Picnómetro también sirve para la determinación de la densidad de un líquido
desconocido. Demostrar que la densidad de un líquido ρl a una temperatura t se puede
determinar mediante la fórmula:
donde ml es la masa del picnómetro lleno de líquido hasta el enrase, mp es la masa del
picnómetro vacío, mo es la masa del picnómetro lleno de agua destilada hasta el enrase
y ρo es la densidad del agua a la temperatura t.
2.- Como hemos aclarado antes, el valor de ∆ρs se obtiene mediante cálculo de errores.
En este caso, a la vista la expresión (3) es evidente que ρs = f (m1, m2, m3), de manera
que podemos escribir:
o
po
pl
lmm
mmρ
−−
=ρ
3
3
2
2
1
1
mm
fm
m
fm
m
fs ∆
∂∂
+∆
∂∂
+∆
∂∂
=ρ∆
F-1 5
A la vista de la expresión anterior, realiza las oportunas derivadas parciales y escribe
en la siguiente tabla la función obtenida tras ése proceso.
∆∆∆∆ρρρρs