ACADEMIA NACIONAL DE LA INGENIERÍA Y EL HÁBITAT
UNA NUEVA METODOLOGÍA PARA DETERMINAR
LA RESISTENCIA AL CORTE EN MACIZOS ROCOSOS Y EN
EL CONCRETO
Roberto Ucar Navarro
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA, MÉRIDA, VENEZUELA
Roberto Ucar Navarro
2
Dedicatoria
A Dios todo poderoso por haberme dado la oportunidad de poder contribuir modestamente con el desarrollo de mi país A mis difuntos padres Pedro Ucar Echeverría y Dorita Navarro de Ucar A mi esposa Damaris y a mis hijos Adriana, Jorge y Eduardo
Roberto Ucar Navarro
3
ÍNDICE Página
RESUMEN…………………………………………………………… 7 1. INTRODUCCIÓN…………………………………………………… 9 1.1 Un simple ejemplo de aplicación en macizos rocosos……………. 17 2. DESARROLLO MATEMÁTICO DE LAS ECUACIONES QUE
PERMITEN DETERMINAR LA ENVOLVENTE DE ROTURA O
CURVA DE RESISTENCIA INTRÍNSICA…………………………… 22
3. UN EJEMPLO PRÁCTICO PARA DETERMINAR LA
ENVOLVENTE…………………………………………………………. 28
4. CRITERIOS EMPÍRICOS DE ROTURA…………………………… 30
4.1 Criterio original de rotura de Hoek y Brown……………………… 37
4.2 Criterio generalizado de rotura de Hoek y Brown…………………. 49
4.3 Criterio de rotura de Johnston y Chiu…………………………… 54
4.4 Criterios de Ramamurthy et al y Sheory…………………………. 56
4.5 Otros Criterios de rotura ………………………………………….. 64
4.5.1 Criterio de Henning y Zimmerman……………………………… 68
Roberto Ucar Navarro
4
Página
4.5.2 Cálculo de las constantes k1 y m……………………………………… 73
4.5.3 Comparación con los valores de K y m obtenidos por Dreyer ……. 75
5. CRITERIOS DE ROTURA CONSIDERANDO EL ESFUERZO
PRINCIPAL INTERMEDIO σ2 …………………………………………. 80
5.1 Otras formas de representar los diferentes criterios de rotura……… 97
6. AVANCES EN LAS TEORÍAS DE RESISTENCIAS DE
MATERIALES CONSIDERANDO DIFERENTES ESTADOS DE
TENSIONES……………………………………………………………….. 106
6.1 Teoría Cortante Simple o Criterio de Límite Inferior(Single Strength
Theory - SSS -Lower Bound Criterion)……………………………………. 107
6.2 Teoría de la Resistencia Cortante Octaédrica, o Criterio de Curvas
Intermedias (Octahedral-Shear Strength theory –OSS Theory-
Intermediate Curves Criteria)………………………………………………108
6.2.1 Teoría de la resistencia cortante octaédrica con múltiples
Parámetros…………………………………………………………………. 109
6.3 Teoría de resistencia al corte doble, o criterio del límite superior
(Twin-Shear Strength Theory-TSS- Upper Bound Criterion)………… 109
Roberto Ucar Navarro
5
6.4 Teoría de resistencia unificada de Yu……………………………… 110
Página
6.4.1 Breve discusión de los criterios no lineales según Yu et al. ……. 112
7. DESARROLLO ANALÍTICO DEL NUEVO CRITERIO DE
ROTURA…………………………………………………………………. 117
7.1 Determinación de la envolvente de rotura……………………………. 119
7.2 Cálculo de la constante de integración K4 – Un ejemplo de
Aplicación…………………………………………………………………… 126
7.3 Representación del criterio de rotura en función de las invariantes
I1, J2 y ……………………………………………………………........….. 131
7.4 Cálculo de las constantes K1 y K2 y K4 (constante de integración)…. 132
7.5 Determinación de las constantes a través del programa EES……… 138
7.6 Comparación de resultados aplicando diferentes criterios de rotura
a través de los estudios experimentales realizados por Torres………… 140
7.6.1 Comentarios relacionados con los resultados obtenidos………… 144
7.6.2 Determinación del error estándar…………………………………. 149
Roberto Ucar Navarro
6
Página
7.7 Determinación de la envolvente de rotura aplicando los estudios
experimentales de Aire………………………………………………… 152
7.7.1 Determinación de la pendiente promedio aplicando el nuevo
criterio de rotura a través de las pruebas de resistencia realizadas por
Aire………………………………………………………………………… 164
8. EXPRESIONES ANALÍTICAS DE INTERÉS AL APLICAR
EL CRITERIO LINEAL DE ROTURA……………………………… 166
8.1 Cálculo aproximado de los parámetros de corte a través de la
persistencia de las discontinuidades……………………………………… 176
9. PASOS A SEGUIR EN LA PRÓXIMA FASE DE INVESTIGACIÓN. 178
10. REFERENCIAS………………………………………………………… 183
Roberto Ucar Navarro
7
RESUMEN
En la presente monografía se ha desarrollado una expresión analítica que permite
hallar la resistencia al corte en macizos rocosos y en materiales de rotura frágil
como el concreto en función de los esfuerzos principales 1 y 3 .
A través de este nuevo criterio empírico de rotura bidimensional se ha determinado
la tensión normal actuando sobre el plano de rotura al resolver la ecuación
diferencial lineal de primer orden, y por ende la envolvente de falla.
Para facilitar los cálculos la relación entre los esfuerzos principales 1 y 3 en el
instante de la rotura se ha expresado en forma adimensional, a través de la
siguiente ecuación:
1/ 2
3 311 2
c c c
K K
c y t representan la resistencia a compresión sin confinar y a tracción de la
roca intacta (matriz rocosa) respectivamente, y por otra parte ξ es un parámetro
adimensional que define el cociente de t entre c.
Estos valores de resistencia, junto con las constantes K1 y K2 a determinar para
cada roca en particular, permitirá hallar la vinculación analítica entre 1 y 3 .
En estas condiciones, al aplicar esta nueva hipótesis, conjuntamente con los
conceptos matemáticos básicos sobre contactos de curvas para obtener la
envolvente de una familia de círculos de falla, es posible determinar la resistencia
al corte = ζ ( β ) y la tensión normal sobre el plano de rotura n =ψ (β).
Por lo tanto, ambas curvas están definidas paramétricamente a través del ángulo
β que forma la tangente a la envolvente falla con la horizontal, conocido también
Roberto Ucar Navarro
8
como ángulo de fricción interna instantáneo φi. Lo anterior indica que:
tan tann
id
d
Por otra parte, el cálculo analítico de la envolvente o curva de resistencia intrínseca
se ha obtenido considerando como punto de partida que se conoce la magnitud
del esfuerzo normal n*, el cual corresponde a la solución de la ecuación
diferencial. Posteriormente, utilizando la técnica de iteración con el objeto que la
función ζ (n, β) =0, se obtiene β. A través del referido ángulo, junto con la
tensión normal n se halla la resistencia al corte , la cual se expresa en la
forma: 2
2
2
2
1
tan 452 2
tan 452
tan4 2
n
c c
K
K
Cabe destacar, que esta representación analítica de la curva intrínseca ayudará sin
lugar a dudas a desarrollar nuevos métodos de cálculo en lo concerniente a la
estabilidad de taludes y obras subterráneas, en el diseño del soporte en macizos
rocosos mediante anclajes, en la estimación de la resistencia por el fuste en roca de
calidad pobre siendo el tipo de fundación por medio de pilotes, así como la carga
de hundimiento de una fundación en terrenos diaclasados, y en otras innumerables
aplicaciones dentro del campo de la geotecnia.
también, debe señalarse que excelentes resultados se han obtenido empleando este
nuevo criterio de rotura al determinar la resistencia al corte del concreto en * n = α (Ambos componentes representan o denotan a la tensión normal)
Roberto Ucar Navarro
9
función de los parámetros K1 y K2 a través de pruebas de laboratorio en probetas
sometidas a tracción, compresión uniaxial y triaxial , esta última para la
condición en la cual σ2 = σ3 . Los resultados se pueden observar en detalle en las
secciones 7.6 y 7.7.Finalmente, vista la relevancia del tópico investigado se ha
considerado de interés incluir la parte correspondiente a los diferentes criterios de
rotura en roca, así como la influencia del esfuerzo principal intermedio σ2 en el
proceso de fractura de la roca y en el ángulo de rotura.
1. INTRODUCCIÓN
En los últimos años una extensa investigación se ha realizado en el campo de la
ingeniería geotécnica con el objeto de poder determinar con mayor precisión la
resistencia al corte de la roca tanto en la condición sana como fracturada.
Todo esto ha generado como resultado la publicación de una gran cantidad de
estudios para definir un criterio tanto del punto de vista teórico como experimental
que permita predecir la rotura del macizo rocoso, desde que en 1773 Coulomb
postulara la primera hipótesis de falla.
La causa fundamental de que ninguno de los criterios existentes haya tenido una
utilización universal radica en el hecho de que son muchos los parámetros que
gobiernan el proceso de rotura de la roca, factores estos que dependen tanto del
propio macizo rocoso como del estado tensional. Cabe destacar como se apreciará
más adelante, que en las últimas décadas se han desarrollado diferentes criterios
empíricos, los cuales aunque no poseen el esperado fundamento científico, ofrecen
la gran ventaja de acercarse a la realidad del fenómeno físico.
Por otra parte, el gran reto se fundamenta en llevar a cabo investigaciones que
permitan obtener la resistencia de la roca en la condición fracturada y meteorizada;
tarea esta nada fácil por lo complejo del problema.
Roberto Ucar Navarro
10
También otro aspecto a señalar son las importantes contribuciones realizadas por
Bieniawski [1], Barton [2], Hoek y Brown [3] y Ramamurthy et al [4] entre otros
destacados investigadores, al avanzar con paso firme y aproximarse a los valores
reales de la resistencia de la roca en función del grado y las características de la
fracturación, tamaño de los bloques, abertura, relleno y alteración de las
discontinuidades. Otra valiosa contribución, ha sido la de Yu [5] a través de su
excelente libro” “Unified Stremgth Theory and Its Applications”, el cual se
recomienda su lectura junto con el de los siguientes autores:
Sheorey [6], “Empirical Rock Failure Criteria”, Andrev [7], “Brittle Failure Of
Rocks Materials”, Chen y Liu [8], “Limit Analysis in Soil Mechanics”, Chen y
Saleeb [9], “Constitutive Equations for Engineering Materials”, Chen y Mizuno
[10], “Non Linear Analysis in Soil Mechanics-Theory and Implementation”,
Chen [11] “Plasticity in Reinforced Concrete”, Chen y Baladi [12], “Soil
Plasticity”, y Mogi [13] “Experimental Rock Mechanics, donde investiga en detalle
la deformación y fractura de rocas, así como la transición de la rotura de frágil a
dúctil en función de la presión de confinamiento.
Teniendo en cuenta el aporte de estos investigadores, conjuntamente con el nuevo
criterio propuesto y la solución analítica de la envolvente de rotura, en la sección
siete se demuestra su importancia y aplicación práctica en el campo de la
mecánica de las rocas y del concreto.
En la sección 7.2, se lleva a cabo un ejemplo detallado para la condición de roca
intacta, y en las secciones 7.6 y 7.7 se utilizan casos prácticos aplicados al
concreto, cuyos buenos resultados demuestran y comprueban la validez de este
nuevo criterio de rotura. Por otra parte, cabe señalar que una de las ventajas del
procedimiento analítico el cual se detalla en la sección 7.4, es que permite
obtener con un buen rango de aproximación las constantes requeridas que
vinculan los esfuerzos principales a través un sistema de ecuaciones no lineales.
Roberto Ucar Navarro
11
Esto se logra conociendo únicamente la relación entre la resistencia a tracción
uniaxial y la resistencia a compresión simple o sin confinar de la roca o concreto
(ξ =t/c ), incorporando además las respectivas condiciones de borde. Es decir,
para determinar las referidas constantes no se requiere tener como datos de
entrada los valores de las tensiones principales del ensayo triaxial (3, 1)
En la tabla anexa, utilizando la hoja de cálculo de Excel se comparan los resultados
obtenidos del esfuerzo principal mayor 1 considerando la solución del sistema de
ecuaciones no lineales, y el ajuste de curva aplicando la técnica de mínimos
cuadrados. A través del programa asistido por el ordenador EES (Engineering
Equation Solver) se han calculado las constantes K1 Y K2 considerando la nueva
expresión que vincula los esfuerzos principales, junto con la constante de
integración K4 de la ecuación que relaciona la tensión normal n y (ángulo que
forma la tangente a la envolvente de rotura con la horizontal para cada punto de
coordenas n,). A la vez, se han determinado cuatro incógnitas adicionales para
la condición en la cual el esfuerzo principal menor 3 =0 y n =0
3
3
10 00 0
3' ', , ,
nn
n
c cf f
En la referida tabla, se aprecia que las magnitudes de 1 aplicando la solución del
sistema de ecuaciones no lineales varían aproximadamente entre menos del 1% a
un 4%. al compararse con la curva de ajuste de mínimos cuadrados. El porcentaje
lógicamente aumenta a medida que la presión de confinamiento también
incrementa. Esto se debe, como previamente se ha indicado a que dichas constantes
se han determinado sin considerar los valores (3 , 1) de los ensayos triaxiales.
Roberto Ucar Navarro
12
Tabla 1.1
Comparación de los resultados de σ1 obtenidos a través de los ensayos de laboratorio y los valores de
σ1 mediante el ajuste de la curva por mínimos cuadrados y empleando el sistema de ecuaciones no lineales
Sistema de Sistema de Parámetros Curva ecuaciones Curva ecuaciones
f'c(kgf/cm2) Valores en kgf/cm2Ajuste Ucar no lineales Ajuste Ucar no lineales
330.00 σ3 σ1 σ3/ f'c σ1/ f'c (σ1/ f'c)Ucar (σ1/ f'c) σ1 kgf/cm2 σ1 kgf/cm2
-35.00 0.00 -0.10606061 0 0 0 0 0
σt (kgf/cm2) 0.000 330.00 0 1 1.000090787 1.000402802 330.0299598 330.1329246
-35.00 27.97 466.86 0.084757576 1.414727273 1.376015548 1.366140012 454.085131 450.82620438.46 538.95 0.116545455 1.633181818 1.497968271 1.483802588 494.3295293 489.6548542
ξ 55.94 578.90 0.169515152 1.754242424 1.686551791 1.664876448 556.5620911 549.4092278
-0.106060606 69.99 636.62 0.212090909 1.929151515 1.827859596 1.799894919 603.1936666 593.9653234Ajuste Curva 83.92 652.99 0.25430303 1.978757576 1.960838995 1.926463111 647.0768683 635.7328266
к1 97.90 696.74 0.296666667 2.111333333 2.088393839 2.047438215 689.1699667 675.6546108
0.712 111.89 746.12 0.339060606 2.260969697 2.211033429 2.163369916 729.6410316 713.9120722
к2 139.86 794.50 0.423818182 2.407575758 2.443860538 2.382481176 806.4739774 786.2187881
2.839 153.85 858.16 0.466212121 2.600484848 2.555125049 2.486757328 843.1912662 820.6299181167.83 863.62 0.508575758 2.617030303 2.663361537 2.587937752 878.9093073 854.019458
Ecuaciones 174.83 870.90 0.529787879 2.639090909 2.716545792 2.637563989 896.4601113 870.3961163No lineales 181.82 891.27 0.550969697 2.700818182 2.769025326 2.686475085 913.7783574 886.5367782
195.80 971.71 0.593333333 2.944575758 2.872217819 2.782487147 947.8318802 918.2207584
Қ1 209.79 982.94 0.635727273 2.978606061 2.973301575 2.87633152 981.1895197 949.1894018
0.5 223.78 1008.41 0.678121212 3.055787879 3.072386679 2.968127963 1013.887604 979.4822276237.76 1030.47 0.720484848 3.122636364 3.169564304 3.05797685 1045.95622 1009.13236
Қ 2 251.76 1088.86 0.762909091 3.299575758 3.265180892 3.146212297 1077.509694 1038.250058
2.909 265.73 1107.72 0.805242424 3.356727273 3.359019418 3.232646711 1108.476408 1066.773415279.72 1135.73 0.847636364 3.441606061 3.451526108 3.317702537 1139.003616 1094.841837
f'c = Resistencia a compresion simple del concreto en kgf/cm2
σt = Resistencia a tracción del concreto en kgf/cm2
ξ=σt /f 'c
K1 = Constante
K2 = Constante
(σ1/ f'c)Ucar Valores de (σ1/ f'c) correspondientes al criterio de rotura de Ucar mediante ajuste de la curva
(σ1/ f'c)
Nota: Los valores de las constantes K1 y K2 obtenidas a través del sistema de ecuaciones simultáneas no
lineales se determinaron únicamente conociendo la relación ξ=σt /f 'c = - 0,106 .Es decir no se consideró
como datos de entrada los valores (σ1 ,σ3) de los ensayos triaxiales.
Valores de( σ1/ f'c) correspondientes al criterio de rotura de Ucar
obtenidos a través del sistema de ecuaciones no lineales
LEYENDA
Resultados de los ensayos de laboratorio
Valores adimensionales
3 311
1/ 2
2' ' 'c c c
K Kf f f
Obsérvese , que la diferencia en los
valores de σ1 al aplicar el sistema de ecuciones no lineales con la curva de ajuste varía aproximadamente entre el 1% al 4%
Roberto Ucar Navarro
13
Sistema de Ecuaciones no Lineales- EES (Engineering Equation Solver)
Roberto Ucar Navarro
14
0
3
3
0
0
0
1 00
1/ 2
3 31
2''
3'
' ' '
330, 00 /0,1676 , 41, 67
3 0, 06993 , 51, 41
0,5 2,909 , 0,106
nn
nc
c
c
c c c
kgf cmsigman ff
sigmaf
f f f
Solución del sistema de ecuaciones no lineales a través del programa EES
(Engineering Equation Solver)
Roberto Ucar Navarro
15
Adicionalmente es de interés señalar que el objetivo trazado en la próxima fase de
investigación de este apasionante tema concerniente con la resistencia de macizos
rocosos , es desarrollar primeramente un criterio práctico y efectivo de rotura que
considere el estado de fractura y meteorización de la roca utilizando las bien
conocidas clasificaciones geomecánicas, tales como el Rock Masas Rating de
Bieniawski [1],el Sistema Q de Barton [2] ,o el Índice de Resistencia Geológica
(Geological Strength Index-GSI )de Hoek y Brown [3].
En estas condiciones se propone una ecuación de la forma:
1 1 33 tm tmK K (1.1)
Donde σtm representa la resistencia a tracción de la masa rocosa, y es una fracción
de la resistencia a la tracción de la roca intacta (matriz rocosa) σt .
En general, es práctica común determinar la resistencia de la masa rocosa a
compresión σcm y a tracción σtm a través de las siguientes expresiones:
100expcm
c
RMR
a
(1.2)
σc = resistencia a compresión simple o sin confinar de la roca intacta
100exptm
t
RMR
b
(1.3)
RMR= índice de calidad de Bieniawski
a, b = parámetros que varían de acuerdo al investigador
a ≈ 18,75-25
b ≈ 12-27
Por ejemplo Sheorey [6], en su criterio de rotura utiliza los siguientes valores:
Roberto Ucar Navarro
16
a=20 y b=27
Dividiendo la ecuación (1.1) por σcm , resulta:
311
3 tmtm
cm cm cm cmcm
KK
(1.4)
Llamando:
2
cm
KK
(1.5)
La ecuación anterior se transforma,
311 2
3 tmtm
cm cm cm cmK K
(1.6)
A través de (1.2) y (1.3), la relación σtm / σcm puede representarse como sigue:
100 100exptm t
cm c
RMR RMR
b a
(1.7)
Por lo tanto, en forma reducida se tiene;
exp expmt
c
RMR RMR
(1.8)
100 100RMR RMRRMR
b a
(1.9)
Quedando finalmente,
3 311 2
1/ 2
m mcm cm cm
K K
(1.10)
Lógicamente, si RMR=100 (roca intacta), se observa a través de (1.9) que:
Roberto Ucar Navarro
17
0 , cm
t
RMR
Por lo tanto, en este caso en particular la ecuación (1.10) pasa a representar la
condición de una roca intacta.
Finalmente, la segunda etapa de investigación se fundamenta en ampliar el criterio
propuesto en un procedimiento práctico y efectivo de rotura en tres dimensiones,
por cuanta hay evidencias que demuestran que el esfuerzo principal intermedio
σ2 tiene influencia en la resistencia de la roca. En caso de lograse, su aplicación
sería de gran utilidad al poder determinar con mayor exactitud la resistencia de la
masa rocosa en función de las tres tensiones principales. Así, por ejemplo por
mencionar dos casos, es de fundamental importancia optimizar el diseño del
sostenimiento de túneles junto con una reducción en los costos de la obra, e
igualmente es de interés analizar en mayor detalle la estabilidad de hoyos en la
industria petrolera, cuyo campo tridimensional de esfuerzos es complejo de
determinar.
1.1 Un simple ejemplo de aplicación en macizos rocosos
Con el objeto de poder apreciar la importancia de las ecuaciones (1.7) y (1.10), a
continuación se lleva cabo un ejemplo práctico a través del cual se determina la
relación ente los esfuerzos principales considerando el índice de calidad RMR de
Bieniaswki [1] y las ecuaciones (1.2) y (1.3) utilizando las constantes a=20 y b=27
sugeridas por Sheorey [6]
A la vez los resultados se comparan con el criterio de rotura generalizado de Hoek
y Brown.
Los datos de entrada de la masa rocosa investigada son los siguientes:
σc = 40,00MPa , σt = 40,00/12 =3,33 MPa
Roberto Ucar Navarro
18
1
12t
c
RMR = GSI (Índice de Resistencia Geológica de Hoek y Brown ) = 60
Al aplicar (1.10), resulta:
1 60 100 60 100exp 0,14
12 27 20tm
mcm
Utilizando el programa EES (Engineering Equatión Solver), se ha resuelto el
sistema de cinco ecuaciones simultáneas no lineales.
Por otra parte, el procedimiento analítico para determinar las referidas ecuaciones
se detalla en la sección (7.4). Adicionalmente cabe señalar, que previo al cálculo
se ha reemplazado σc por σcm y ξm por ξ, con la finalidad de pasar de la
condición de roca intacta a diaclasada.
Los cinco valores obtenidos son:
K1 = 4,16
K2 =1,12
K4 =0,02793 (constante de integración, la cual se encuentra en la ecuación de σn )
03
0,154nn
cm
σn =Esfuerzo normal actuando en el plano de rotura para el caso particular que la
tensión principal menor σ3 =0
=44,36o (inclinación de la tangente a la envolvente de rotura, para la condición en
la cual σ3 =0. Ensayo de compresión sin confinar)
Por lo tanto, el ángulo que forma el plano de falla con el esfuerzo principal menor
es: α = (π/4+/2)= 67,18o
Roberto Ucar Navarro
19
Con los valores de K1, K2, K4 y ξm es posible determinar la tensión normal
empleando la ecuación (7.42) indicada en la sección (7), y la resistencia la corte a
través de (7.27)
1 1 1 1
2
1 1
4
22
2 1 1
4 (3 ) 1 11
1 1m
n
cm
K
K
K K K K sensen K
K K sen
(1.11)
2
3
2
1
tan 452
tan 452
tan4 2
mn
cm cm
K
K
(1.12)
Finalmente, en la tabla anexa con la ayuda de la hoja de cálculo Excel se compara
el nuevo criterio propuesto con el criterio generalizado de Hoek Y Brown.
Se observa, para este caso en particular que la diferencia existe en la zona de
tracción y a partir de valores de σ3 > 5 MPa. Para mayor detalla véase la figura 1.1
En definitiva, es necesario seguir investigando y analizando a profundidad la
resistencia al corte en rocas fracturadas y meteorizadas, tal como se ha mencionado
como una segunda fase de investigación, debiéndose hacer hincapié en los
parámetros σtm y σcm y por ende en el factor ξm= (σtm /σcm ).
Todo esto con el propósito fundamental de obtener valores lo más cercanos
posibles a los reales, tarea por supuesto nada fácil de lograr. Además de comparar
las expresiones de σtm y σcm con los obtenidos por Sheorey [6] , será necesario
tener en cuenta otras investigaciones las cuales se mencionan en la sección nueve ,
por cuanto ξm es el factor más importante que gobierna la resistencia al corte de la
roca.
Roberto Ucar Navarro
20
Comparación de resultados entre el nuevo criterio de rotura propuesto por Úcar y el de Hoek y Brown
σcm (MPa) σc (MPa) σ3 (MPa) σ3/σcm (σ1/σcm) Ucar σ3 (MPa) (σ1) Ucar σ3 (MPa) (σ1) HB
5.41 40 -0.757669 -0.13996 0 -0.75767 0 -0.1624 0.006196379-0.5 -0.09236 0.442359484 -0.5 2.39467384 -0.1 2.404105126
σtm (MPa) σt (MPa) -0.25 -0.04618 0.733107427 -0.25 3.96861205 -0.05 3.33259724
-0.76 -3.333333333 0 0 1.001247654 0 5.42016539 0 4.0835637360.1 0.018473 1.104888245 0.1 5.98121454 0.1 5.321159803
ξ RMR 0.25 0.046182 1.257571327 0.25 6.80775087 0.25 6.832584376-0.08333333 60 0.5 0.092363 1.506311395 0.5 8.15428317 0.5 8.892788165
K1 0.6 0.110836 1.604209077 0.6 8.68424359 0.6 9.62021691
4.16 0.8 0.147781 1.797795574 0.8 9.73220693 0.8 10.9647991
K2 ξm 1 0.184726 1.988893093 1 10.7666964 1 12.19829262
1.12 -0.139961467 1.5 0.27709 2.458222757 1.5 13.3073709 1.5 14.95373677
2 0.369453 2.91854392 2 15.7992787 2 17.39634674
m mb 2.5 0.461816 3.372226643 2.5 18.2552499 2.5 19.6298829912 2.876 3 0.554179 3.820754382 3 20.6833151 3 21.71084915s a 4 0.738906 4.706063639 4 25.4758582 4 25.54282914
0.0117 0.513 5 0.923632 5.579612361 5 30.2047368 5 29.05851846 1.108358 6.444366956 6 34.8860091 6 32.34604256
Sigma3t (σtm)HB( MPa) 7 1.293085 7.302223548 7 39.5299397 7 35.45883383
-0.1624 0.006196379 8 1.477811 8.154481342 8 44.1435617 8 38.432202119 1.662538 9.002076648 9 48.7319437 9 41.2909322410 1.847264 9.845710684 10 53.2988818 10 44.05321759
σ3 = Esfuerzo principal menor en la rotura , MPa
σ1 = Esfuerzo principal mayor en la rotura , MPa
σc = Resistencia a la compresion simple de la roca intacta (matriz rocosa) , MPa
σt = Resistencia a la tracción unidimensional de la roca intacta , MPa
ξ=σt /σc
ξm=σtm /σcm
K1 = Constante
K2 = Constante
m, s = Parámetros del criterio empírico de rotura de Hoek y Brown
σcm = Resistencia a la compresion simple de la masa rocasa en MPa
σtm = Resistencia a la tracción unidimensional de la masa rocosa en MPa
LEYENDA
Parámetros Hoek & Brown
Curva Ajuste H&B
Curva Ajuste Ucar
Curva Ajuste Ucar
3 311
1/ 2
2m mcm cm cm
K K
Tabla 1.1 Comparación de los valores de σ1, aplicando el nuevo criterio de rotura
propuesto y el criterio generalizado de Hoek y Brown.
Roberto Ucar Navarro
21
Fig.1.1 Gráfico comparativo entre el nuevo criterio de rotura propuesto en esta
investigación y el criterio generalizado de Hoek y Brown.
Obsérvese en este caso en particular que para valores de 0 ≤ σ3 ≤ 5 MPa, ambos
criterios tienen resultados muy semejantes. La diferencia se aprecia en la zona de
tracción y para valores del esfuerzo principal menor σ3 > 5MPa
COMPARACIÓN DE CRITERIOS DE ROTURA EN MACIZOS ROCOSOS
-10
0
10
20
30
40
50
60
-2 0 2 4 6 8 10 12
Esfuerzo Principal Menor Sigma3, MPa
Es
fue
rzo
Pri
nc
ipa
l Ma
yo
r S
igm
a1
, MP
a
Serie1
Serie2
Criterio de Hoek & Brown
Criterio de Úcar
Roberto Ucar Navarro
22
2. DESARROLLO MATEMÁTICO DE LAS ECUACIONES QUE
PERMITEN DETERMINAR LA ENVOLVENTE DE ROTURA O CURVA
DE RESISTENCIA INTRÍNSICA.
Utilizando las ecuaciones de equilibrio en un estado bidimensional y mediante la
figura (2.1) se sabe que:
2
3122
31 22
1
Que equivale a escribir, (2.1)
2 1 31 3 1 3
221
( , , , ) 02 2
f
Por cuanto 1 = (3), la ecuación (2.1) toma la forma.
f (, , 3 ) = 0 (2.2)
Donde, = n y representan el esfuerzo normal y tangencial sobre el plano
de rotura respectivamente.
Por otra parte, si la familia de líneas planas f (, , 3) = 0, admite envolvente,
las funciones = (3) y = (3) que definen las ecuaciones paramétricas
de esta envolvente, satisfacen el sistema de ecuaciones:
3
3
( , , ) 0
0
f
f
(2.3)
Roberto Ucar Navarro
23
Despejando en (2.3) las tensiones y en función de 3, se obtienen las
ecuaciones paramétricas que definen la envolvente.
Asimismo, en caso que sea posible, se puede proceder eliminando 3 en las dos
ecuaciones indicadas en (2.3), hallándose una relación de la forma ζ(, ) = 0, la
cual representa también la envolvente.
Cabe destacar, que la familia de circunferencias de radio variable 3, representada
a través de (2.1) recibe el nombre de involutas.
Tomando la derivada de 1 con respecto a 3 en ambos lados de la ecuación (2.1)
queda:
1
21
2
1
2
12
3
131
3
131
(2.4)
02
11
21 31
3
131
3
1
(2.5)
Al simplificar resulta:
1 33
1
3
1
(2.6)
Reemplazando (2.6) en (2.1) y despejando , se obtiene:
3
1
3
1
31
1
(2.7)
Roberto Ucar Navarro
24
Figura 2.1. Envolvente de rotura por cizallamiento en macizos rocosos.
Roberto Ucar Navarro
25
Al dividir (2.7) entre (2.6), es posible escribir:
2/1
3
13
2/1
3
1
3
(2.8)
Por otro lado, al observar el triángulo ABC de la figura (2.1), el ángulo de rotura se
calcula a través de la expresión:
2/1
3
1tan
(2.9)
Igualmente, al observar la figura (2.1), se aprecia que el ángulo que forma el plano
de falla con el esfuerzo principal menor y la inclinación de la envolvente de falla
, están relacionados a través de la expresión:
2 = (/2 + ) (2.10)
Es decir:
tan.tan2 = -1 (2.11)
Cabe destacar, que se conoce también como el ángulo de fricción interna
instantáneo ( = i)
A la vez utilizando (2.11), la pendiente de la envolvente puede determinarse como
sigue:
tan2
1tantan
2
d
d (2.12)
Al reemplazar (2.9) en (2.12), resulta:
Roberto Ucar Navarro
26
'2/1
3
1
3
1
2
1
tan
d
d (2.13)
Llamando† 1
3
1 '
, queda por tanto:
2/11
1
'2
1''
(2.14)
La cual se transforma:
1' - 2 ' · ( 1' ) 1/2 – 1 = 0 (2.15
De donde:
( 1' ) 1/2 = ' + [ 1 + ( ' ) 2 ] 1/2 (2.16)
Despejando = n en (5), se tiene:
1'
1'
2
1
1
13131 (2.17)
Al simplificar resulta:
1
131
'1
'
(2.18)
Al despejar el esfuerzo principal menor 3 de la ecuación (2.7) se obtiene:
† En este caso 1
13
'
, por lo tanto no se refiere a la presión efectiva.
Roberto Ucar Navarro
27
2/1
1
113
'
'1
(2.19)
Reemplazando dicho valor en (2.18), queda:
2/11
11111
'
'1''1
(2.20)
Al despejar 1 de la ecuación anterior, es posible escribir:
1 = + ( 1' ) 1/2 (2.21)
Sustituyendo (2.16) en (2.21) se obtiene:
2/12'1'
1 (2.22)
Es decir:
'1 · 2/12'1
(2.23)
Igualmente, el esfuerzo principal menor 3 puede expresarse:
'3
- · 2/12'1
(2.24)
Siendo la diferencia entre los esfuerzos principales:
( 1 - 3 ) = 2 · 2/12'1
(2.25)
Elevando (2.16) al cuadrado:
2'12/12'1'22'
1'
(2.26)
Así:
2/12'1'22'213
11'
(2.27)
Roberto Ucar Navarro
28
3. UN EJEMPLO PRÁCTICO PARA DETERMINAR LA ENVOLVENTE
A continuación, a través de un ejemplo sencillo descrito por Marín Tejerizo [14], se
determina la envolvente a una familia de circunferencias, cuyo procedimiento es el
utilizado en esta investigación para determinar la nueva envolvente de rotura en
macizos rocosos.
En resumen, si la familia de líneas planas f(x, y, t) = 0, admite envolvente, las
funciones x=ξ(t), y=φ(t) que definen las ecuaciones paramétricas de esta
envolvenvente, satisfacen por lo tanto el sistema de ecuaciones:
( , , ) 0f x y t y 0f
t
(3.1)
Considérese según [14] la ecuación (x-t)2+y2-2t+1=0, la cual representa una familia
de circunferencias de radio variable, teniendo todas ellas (ver figura 3.1) su centro
en el eje OX. Al aplicar el sistema de ecuaciones indicado en (3.1), y derivando se
obtiene que:
2 2 2 1 0
2 ) 2 0
x t y t
x t
(3.2)
Obteniéndose por tanto, dos arcos
1x t
2 1y t (3.3)
1x t
2 1y t (3.4)
Roberto Ucar Navarro
29
Suponiendo que t ≥1, estos dos arcos forman la parábola y2 = 2x, la cual es la
envolvente a las circunferencias, que en este caso son las involutas.
Figura No 3.1 -Envolvente a una familia de círculos
Roberto Ucar Navarro
30
4. CRITERIOS EMPÍRICOS DE ROTURA
Un criterio empírico de rotura permite determinar con la mayor precisión posible
la resistencia de la roca a través de datos experimentales.
Por otra parte, se deben obtener los mejores valores de las constantes o parámetros
incógnitas para cada roca en particular de la función escogida, de manera que la
curva pase lo más cerca posible del conjunto de puntos obtenidos
experimentalmente a través de los ensayos de tracción, compresión sin confinar y
triaxial en núcleos de rocas intactas .
Este método analítico de ajuste de la curva es ampliamente utilizado y se conoce
como el método de los mínimos cuadrados.
Sin embargo, cabe indicar que algunos de los criterios establecidos han buscado
mecanismos para hallar la resistencia en rocas diaclasadas y meteorizadas.
Esto se ha logrado relacionando en forma aproximada las nuevas constantes
involucradas en macizos rocosos fracturados y alterados por la acción de agentes
externos, con los parámetros de la roca intacta previamente obtenidos mediante
el ajuste de la curva y considerando adicionalmente los bien conocidos índices
de calidad tales como el RMR [1] , también denominado Rock Masas Raiting de
Bieniaswki ,el sistema Q de Barton [2] y el índice de resistencia geológica
(Geological Strength Index GSI) propuesto por Hoek y Brown [3]
De acuerdo a Edelbro [15], en la tabla anexa se indican varios criterios empíricos
de rotura en roca intacta propuesta por diferentes investigadores.
Roberto Ucar Navarro
31
Tabla No.4.1.Resumen de diferentes criterios de rotura en rocas, según Edelbro [15]
Ecuación de Rotura Comentarios Autor
2
1 3 1 3a b Una generalización empírica de la
teoría de Griffith de roca intacta
Fairhurst( 1964)
1 3 3f
c F Ajuste de curva mediante datos
experimentales en roca intacta
Hobbs(1964)
1 3b
c a Ajuste de curva mediante datos
experimentales en roca intacta
Murrel(1965)
0
C
m m
c c
D
Ajuste de curva mediante datos
experimentales en roca intacta Hoek(1968)
1 3c a Ensayo triaxial en roca blanda Bodonyi(1970)
11 3 1 3
BBc
Ajuste de curva ensayando 500
testigos de rocas
Franklin(1971)
12
1 3 32ccm s
Aplicación de la teoría de Griffith
,y ajuste de curva en roca intacta
y diaclasada-
Hoek y Brown
(1980)
31
c c
a b
Ajuste de curva ensayando 700
testigos de roca, tanto .en intacta
como diaclasada
Bieniawski(1974)
Modificado por
Yudhbir(1983)
1 3 33
b
ca
Aplicación utilizando 80 testigos
de rocas
Ramamurthy et al
(1985)
1 3' ' 1B
n n
M
B
Ajuste de curva para suelos y
roca
Johnston(1985)
Roberto Ucar Navarro
32
31 1
b
ct
Aplicación en roca intacta y
fracturada
Balmer (1952),
Sheorey et al (1952)
1
31 3
B
cc
SA
A, B y S parámetros de corte Yoshida(1990)
'' ' 31 3 bci
ci
a
m s
Versión 2002 Hoek y Brown
(1980)
31 cici
ci
A B
A , parámαetro adimensional , B
es una contante de la roca y el
valor de α ≈ 0,65
Yudhbir et al
(1973)
31 1cm
t m
bm
Emplea RMR76
Sheorey et al (1989)
' ' '1 3 3 '
3m
bmcia
Versión 2001 Ramamurthy(1995)
De acuerdo a la tabla (4.1):
A, a, am, b, bm, B, F, f, M, m, s α, mb son constantes a determinar
1 es el esfuerzo principal mayor en la rotura y 3 el esfuerzo principal menor.
Al considerar las tensiones principales efectivas, éstas se denotan como ’1 y ’3.
c =ci es la resistencia a compresión simple de la roca “intacta (matriz rocosa).
m= (1+3)/2 y m= (1-3)/2
σtm representa la resistencia la tracción de la masa rocosa, y es una fracción de la
resistencia a la tracción de la roca intacta (matriz rocosa) σt .
Roberto Ucar Navarro
33
σcm= resistencia a compresión sin confinar de la masa rocosa
σ’1n= ’1 /c y σ’3n= ’3 /c (tensiones normales efectivas normalizadas)
Adicionalmente, cabe destacar que el autor del presente trabajo ha determinado la
envolvente de rotura del criterio original de Hoek y Brown [16] y de Murrel [17].
Este último en mencionarse ha sido expresado posteriormente en forma
adimensional por Bieniawski [18], en el cual los esfuerzos principales en el instante
de la falla están vinculados a través de la ecuación.
131
K
cc
A
(4.1)
Siendo c la resistencia a compresión simple de la roca intacta y los parámetros A
y K, constantes que dependen de las características geomecánicas de la roca, tal
como se indican en la tabla anexa
Tabla No 4.2 según Bieniawski [18]
31 1c c
K
A
K = 0,75
Tipo de roca intacta A
Norita 5,0
Cuarcita 4,5
Limolita 4,0
Lodolita 3,0
Mayoría de las rocas 3,5
Por otro lado, Wang Chuan-zhi et al [19], mencionan los trabajos de Richart
realizados en ensayos triaxiales en concreto, quien obtuvo inicialmente la relación:
Roberto Ucar Navarro
34
31 1 4,10
c c
(4.2)
Es decir, A = 4,10 y K=1. Esta ecuación lineal corresponde al criterio de rotura de
Mohr – Coulomb como se apreciará más adelante en el apéndice (A) de este
estudio.
En este caso en particular 2tan 4,10 37, 43
4 2A
.
Siendo φ el ángulo de fricción interna del concreto.
Posteriormte Richart la modificó, obteniendo A=3,7 y K=0,86, como puede
apreciarse en la figura 4.1. También a través de la referida figura se comparan
ambos criterios de rotura, observándose que aproximadamente hasta valores con
relaciones de σ3/σc = 0,60 ambas ecuaciones presentan resultados muy cercanos
de σ1/σc. Igualmente puede observarse que el valor obtenido por Richart en
concreto es de K =0,86, mientras que para rocas Bieniawski recomienda utilizar
K=0,75.
Teniendo en cuenta que ambos criterios son utilizados en el campo de la mecánica
de las rocas para detrminar la resistencia al corte, al final de esta investigación en el
apéndice (A) se explica en detalle el desarrollo analítico para el caso particular
que K=0,75, valor obtenido experimentalmente por Bieniawski [18]
Cabe destacar que a partir de 1980 el criterio de rotura de Hoek y Brown [16] es
uno de los más utilizados, en particular se ha popularizado luego que la ecuación
original ha sido expandida y mejorada, con la ventaja adicional que los parámetros
m y s se obtienen bien sea en función del índice de calidad RMR de Bieniaswki
[1], o a través y del índice de resistencia geológica GSI [3]
Roberto Ucar Navarro
35
Para mayor detalle véase el artículo de Hoek –Brown failure Criterion-2002
Edition, por Hoek, Carranza –Torres y Corkum [20], el cual está disponible en la
página Web www.rocscience.com, incluyendo además el programa asistido por el
ordenador Analysis of Rock Strength using RocLab.
Considerando lo previamente mencionado, es de vital importancia poder comparar
ambos criterios, con la ecuación propuesta en esta investigación.
En dicha comparación se han utilizado los datos experimentales obtenidos por
Torres [21] en cilindros de concreto ensayados a tracción, compresión simple y
triaxial.
A la vez cabe destacar, que al equipararse los resultados obtenidos entre ambos
criterios con la nueva relación que vincula a los esfuerzos principales 1 y 3 en
el instante de la falla , se observa que la nueva relación propuesta se ajusta mucho
mejor a los datos experimentales.
Roberto Ucar Navarro
36
Figura 4.1 - Comparación de los ensayos de compresión triaxial en muestras
de concreto según diferentes autores, según Wang Chuan-zhi et al [19].
Obsérvese que en ambas ecuaciones se obtienen iguales resultados para
valores de σ3 /f ’c ≤ 0,60
Roberto Ucar Navarro
37
4.1 Criterio original de rotura de Hoek y Brown
Teniendo en cuenta la importancia de este criterio y su utilización cada día mayor
en la ingeniería de las rocas, a continuación se describe la nueva hipótesis de
rotura propuesta por Hoek y Brown [16] tanto en roca intacta como en macizos
que exhiben características predominantes de diaclasamiento y metereorización.
A través de innumerables ensayos de laboratorio, conjuntamente con los
fundamentos teóricos que existen sobre fractura y propagación de grietas en roca,
Hoek y Brown [16], hallaron una nueva hipótesis empírica de rotura estableciendo
la siguiente relación entre los esfuerzos principales 1 y 3, es decir:
2/13
31
sm
cc
En forma adimensional (Ver figura No 4.2) (4.3)
2/1331
sm
ccc
Donde:
1 = esfuerzo principal mayor en la rotura
3 = esfuerzo principal menor en la rotura
c = resistencia a la compresión simple de la roca “intacta”
m, s =constantes que dependen de las propiedades de la roca
El parámetro (m) controla la curvatura entre los esfuerzos principales, mientras que
(s) regula la localización de la curva entre 1 y 3.
Roberto Ucar Navarro
38
En la tabla No 4.3, se pueden apreciar los diferentes valores de m y s, dependiendo
del índice RMR de Bieniaswki. Por otra parte de acuerdo a González de Vallejo et
al [22] la tabla No 4.4 incluye la clasificación Q de Barton.
La resistencia a compresión simple de la roca intacta c se obtiene al convidar que
no existe confinamiento lateral (3 = 0), y que además s = 1, resultando a través de
(4.3) que 1 = c.
Cuando el macizo presenta planos de fracturas (s < 1), la resistencia a compresión
sin confinar de la masa rocosa se denomina cm y se determina como una fracción
de c, como podrá apreciarse más adelante.
Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación (4.3) y despejando 3 resulta:
2/121
2213 44
2
1
2 cccc smmm
(4.4)
Tomando la raíz no positiva de 21
22 44 ccc smm ya que 3
corresponde al esfuerzo principal menor, se tiene por tanto:
2/121
2213 44
2
1
2 cccc smmm
(4.5)
La resistencia de la tracción unidimensional de la masa rocosa tm se determina al
considerar 1 = 0, así la ecuación anterior toma la forma:
1/ 223 4
2c
tm m m s (4.6)
Roberto Ucar Navarro
39
Figura 4.2 Criterio de rotura original de Hoek y Brown [16]
Roberto Ucar Navarro
40
Tabla 4.3 – Valores típicos de los parámetros del criterio de rotura de Hoek y
Brown [16] en función del índice RMR
Roberto Ucar Navarro
41
Tabla 4.4
Roberto Ucar Navarro
42
A través de (4.3) y (4.6) se aprecian los límites de s, es decir:
s = 1, 1 = c roca intacta
s = 0, 3 = t = 0 roca muy fracturada
De lo anterior resulta, que para otros estados intermedios del macizo rocoso, (s) se
encontrara dentro del entorno 0 < s < 1.
Al considerar s=1 y m=mi., se obtiene la resistencia a tracción en la condición
intacta. Por tanto (4.6) se transforma:
1/ 22 42
cit im m
(4.7)
El valor de m en roca intacta puede hallarse midiendo el ángulo que forma la
superficie de falla con la dirección del esfuerzo principal menor 3.
Adicionalmente, al observar el triangulo ABC de la figura No 2.1 y empleando la
ecuación (4.3), la magnitud de () se determina mediante la siguiente expresión:
2/1
2/13
2/1
3
1
2
1tan
sm
m
c
(4.8)
Al considerar que:
s = 1 roca intacta
3 = 0 ensayo de compresión sin confinar
Resulta por lo tanto: tan2α= (1+ mi /2) y mi = 2 (tan2-1)
Adicionalmente, a continuación se demuestra que para la condición de la roca
intacta (s = 1), el valor del parámetro m = mi es:
Roberto Ucar Navarro
43
(condición intacta),c
tim m m
(4.9)
Por otra parte, la ecuación (4.3) puede expresarse como sigue:
3 31
2
1mc c c
(4.10)
Como previamente se ha mencionado la resistencia a tracción t en la condición
intacta (s=1) se determina considerando 1 = 0. En estas condiciones 3 = t, por
lo tanto la ecuación anterior toma la forma:
2
1t tmc c
(4.11)
Al despejar m, se obtiene:
2
1t
ct
t
c
m valor negativo
(4.12)
Como una simple aproximación, si se considera que la relación 1
10t
c
su
cuadrado es << 1, obteniéndose finalmente que: m= m i ≈ (σc / σt)
También, cabe destacar que Ucar [23] aplicando dicho criterio original de Hoek y
Brown, determinó analíticamente la solución exacta de la envolvente de rotura, es
Roberto Ucar Navarro
44
decir la ecuación que gobierna la resistencia al corte , conjuntamente la tensión
normal n tal como se especifica a continuación‡ :
i
ic
senm
tan
1
8 (4.13)
i = inclinación de la envolvente de falla. Se conoce también como ángulo de
fricción interna instantáneo (ver figura 2.1).
24i = ángulo entre la superficie de falla y la dirección del esfuerzo
principal menos 3.
2
1 3
8 2 16ii
c cnm m s
sensen m
(4.14)
Los valores de m y s en función de RMR, pueden obtenerse de acuerdo a Hoek y
Brown [24] mediante la siguiente expresión cuando la roca ha sido bien excavada
mediante voladura controlada (sin ser perturbada), y cuando ha sido perturbada.
1,00 (roca perturbada)
mi I
RMRmm
14
100exp Im = (4.15)
2,00 (roca no perturbada)
m i = valor de m en la condición “intacta”, ver tabla 4.3 y 4.4
‡ La ecuación empírica de la envolvente utilizada por Hoek y Brown es:
n t
B
cc
A
, A y B constantes a determinar mediante ensayos.
Roberto Ucar Navarro
45
1,00 (roca perturbada)
sI
RMRs
6
100exp Is = (4.16)
1,50 (roca no perturbada)
Por otra parte, Hoek, Kaiser y Bawden [25], han determinado los parámetros m y s
en función de un nuevo índice de calidad de la roca, conocido como índice de
resistencia geológica GSI (Geological Strength Index), el cual evalúa la calidad
del macizo rocoso en función del grado de fractura , tamaño de los bloques ,
rugosidad y alteración de las discontinuidades. Al tener en cuenta este nuevo índice
resulta:
100
.exp28i
GSIm m
(Ver tabla No 4.5)
9
100exp
GSIs (4.17)
mi corresponde al valor de m para la roca intacta, es decir cuando GSI=100,
por lo tanto s=1
Adicionalmente dichos investigadores, indican que el índice de resistencia
geológica (Geological Strength Index) GSI = RMR76, para valores de RMR76 > 18
y por otra parte, GSI = (RMR89 – 5), cuando el índice calidad del macizo rocoso
RMR89 > 23.
En resumen, el GSI a través de observaciones visuales en el campo permite
determinar la reducción de la resistencia de la masa rocosa en función de la
frecuencia de las diaclasas, su rugosidad, relleno y alteración de las paredes de las
discontinuidades.
Roberto Ucar Navarro
46
En este punto debe señalarse que Stille y Palmström§, indican que este
procedimiento visual representa un retorno a la descripción cualitativa en lugar de
lograr avances dese el punto de vista cuantitativo con datos de entrada como el
RMR o el sistema Q. Adicionalmente mencionan que el GSI se ha encontrado
principalmente útil en roca débiles con valores de RMR<20, concluyendo por otra
parte, que es este índice de resistencia geológica no corresponde a una clasificación
ingenieril de la roca. Posiblemente debido a lo previamente indicado, Sömez y
Ulusay [26] recientemente han modificado la tabla anterior determinando el GSI
en función del índice volumétrico de las diaclasas Jv, el cual representa el número
total de discontinuidades que interceptan un volumen unitario (1m3), cuantificando
además la rugosidad, alteración y relleno de las fracturas. De esta manera logran
un valor del GSI más representativo a través del procedimiento de valoración que
se indica en la tabla 4.6
§ Stille, H y Palmström, A (2003), “Classification as a tool in rock engineering”, Tunnelling and Underground Space Technology, Volume 18, pp 331-345
Roberto Ucar Navarro
47
Tabla No 4.5 Índice de calidad GSI
Roberto Ucar Navarro
48
Tabla 4.6
Roberto Ucar Navarro
49
4.2 Criterio generalizado de rotura de Hoek y Brown
Como se sabe, el criterio original de rotura en rocas publicado por Hoek y Brown
[16] en 1980 ha generado buenos resultados para las mayorías de las rocas de
calidad buena y media, en la cual la resistencia está controlada por un fuerte
trabado de los trozos angulares de los granos minerales.
Posteriormente Hoek y Brown en 1992 [27] mejoraron y extendieron la ecuación
(4.3), la cual permite estimar con mayor precisión la resistencia en macizos
rocosos de calidad pobre en donde la unión o trabazón de las partículas de roca ha
sido destruida bien sea por efectos de la meteorización o el cizallamiento, dando
como resultado una roca sin resistencia a la tracción o cohesión.
Teniendo en cuenta lo previamente indicado, los mencionados autores han
expresado en una forma más general la ecuación (4.3) en función del exponente
(a), resultando por lo tanto:
asm
ccc
331 (4.18)
Siendo:
0,65200
GSIa , si GSI 30 (4.19)
Cuando GSI 30, a =1/2
Posteriormente, Hoek, Carranza-Torres y Corkum [20] y en el programa Roc Lab
[28], incorporan en la ecuación (4.17) el factor D que depende del grado de
perturbación de la roca durante el proceso de excavación.
A la vez el exponente (a) involucrado en la fórmula (4.18) que vincula a los
esfuerzos principales en la falla σ1 y σ3 ha sido modificado y se expresa como
sigue:
Roberto Ucar Navarro
50
/15 20/31 1
2 6GSIa e e (4.20)
100
exp28 14i
GSIm m
D
(4.21)
100
exp9 3
GSI
Ds
Al considerar nuevamente que σ3 = 0 el valor de la resistencia a compresión sin
confinar de la mas rocoas es σcm . Por tanto, la ecuación (4.18) toma la forma:
c
acm s (4.22)
Cabe señalar que algunos autores , como por ejemplo que Ramamurthy ** denotan
dicha resistencia como (σc)j para la condición en la cual la roca contiene planos
de discontinuidades que condicionan el comportamiento deformacional, hidráulico
y resistente de los macizos rocosos.
Se aprecia a través de la ecuación anterior, que para el caso particular en el cual el
parámetro s =1, σcm= σc, es decir corresponde cuando el medio rosos es
completamente sano (roca intacta).
Para el caso en cual σ3 = σtm, y σ1 = 0, la resistencia a tracción de la masa rocosa
empleando (4.18), se transforma en la siguiente expresión:
tms c
m
(4.23)
** Ramamurthy, T (2004) . A geo-engineering classification for rocks and rocks masses. International Journal Of Rock Mechanics and Mining Sciences, Vol 41, pp 89-101
Roberto Ucar Navarro
51
Dicho valor aproximado se obtiene considerando que (σtm / σc) 1/ a o
Para la condición de roca intacta, s=1, m = mi y por lo tanto: σt ≈ - σc/mi
Por otra parte, en relación a la resistencia a la compresión sin confinar σcm ,
Marinos y Hoek [29] , han determinado dicho valor en función del índice GSI ,
mi y de la resistencia a comprensión sin confinar de la roca intacta σc= σci, como
a continuación se indica:
0,100,800, 0034 1, 029 0, 025 iicm
GSIm
m ci e
(4.24)
También, el valor de σcm puede obtenerse según Kalamaras y Bieniawski [30]
en función del índice RMR de Bieniawski, a través de la expresión:
100exp
24cm cRMR
(4.25)
Debe indicarse que las ecuaciones (4.24) y (4.25) dan resultados muy parecidos.
Sin embargo, si hay diferencias con la ecuación propuesta por Burton [2]
1/3510cm cQ
(4.26)
Siendo, Qc= Q (/100) , con σc en MPa y γ el peso unitario en kN/m3 .
Para completar este importante tópico, es oportuno aclarar lo siguiente:
Hoek en su artículo Uniaxial compressive Strength versus Global strength in
the Hoek Brown criterion, disponible en www.rocsciece.com, indica que la
ecuación (4.22), tiene aplicación limitada por cuanto calcula la resistencia
específicamente en la periferia de un túnel , o en el lindero de la cara del talud o
de un pilar , pero no en el interior de la masa rocosa .
Roberto Ucar Navarro
52
A la vez, menciona que es de interés determinar la resistencia a la compresión de
la roca en función del grado de confinamiento conocida como resistencia global o
media.
En estas condiciones previamente descritas Hoek, Carranza-Torres y Corkum [20],
recomiendan la siguiente ecuación††:
14 ( 8 )
4
2(1 )(2 )confinadacm c
am
m s a m s s
a a
(4.27)
Definida en el intervalo: 304c
Sin lugar a dudas, este intervalo es muy amplio y por lo tanto dicho valor indicado
en (4.27) es una simple aproximación al problema y debe emplearse con
precaución, por cuanto la resistencia a la compresión de la roca varía
significativamente con el grado de confinamiento debido a la elevada pendiente de
la curva σ1 =f (σ3) del referido criterio de Hoek y Brown.
Por otra parte, en el presente trabajo a la ecuación (4.27) se le ha colocado como
subíndice la palabra “confinada”, para no confundir dicha ecuación con las
indicadas en (4.22), (4.24) , (4.25) y (4.26) que se refieren específicamente a la
resistencia a compresión sin confinar de la masa rocosa , la cual corresponde
cuando σ3=0
Se ha considerado conveniente esta aclaratoria, ya que Marinos y Hoek [29] han
definido con anterioridad a σcm como la resistencia a compresión sin confinar.
†† En este trabajo se emplea (σcm )confinado en lugar de σcm , tal como lo expresan los referidos autores en su artículo Hoek-Brown Criterion – 2002 Edition [20]
Roberto Ucar Navarro
53
Igualmente, cabe mencionar que Hoek y Marinos en el año 2000 utilizan el mismo
concepto de σcm descrito en el párrafo anterior en el artículo Predicting tunnel
squeezing problems in weak heterogeneous rock masses (Véase Select
Publications by E.Hoek: http://www.rocscience.com/hoek/references/Published-
Papers.htm). Teniendo en cuenta el análisis precedente, es oportuno señalar que es
necesario ser cuidadoso con la terminología empleada en los diferentes artículos
sobre resistencia al corte en macizos rocosos. Un caso particular es el programa
Roc Lab, en el cual valor de σcm ha sido definido como la resistencia global a la
compresión y no como la resistencia sin confinar de la masa rocosa, por cuanto
son dos conceptos totalmente diferentes.
Para mayor detalle el referido programa [28] asistido por el ordenador se obtiene
libremente a través de: http://www.rocscience.com/products/overview
Finalmente, Kumar [31], teniendo en cuenta el criterio de rotura desarrollado por
Hoek y Brown [16] , ha determinado la envolvente de rotura y la tensión normal
para el caso general de 2
1a mediante un sencillo procedimiento analítico, sin
necesidad de resolver ninguna ecuación diferencial, tal como fue hallada
previamente por Ucar [23], utilizando la ecuación original que relaciona los
esfuerzos principales 1 y 3 del mencionado criterio, mediante la conocida
ecuación cuadrática representada a través de la ecuación (4.3), es decir a =1/2.
Lamentablemente estas ecuaciones han sido poco difundidas, a pesar de que la
contribución llevada a cabo por Kumar es de gran relevancia al poder determinar
la resistencia al corte en macizos rocosos, tanto en la condición intacta como
considerando los planos de discontinuidad.
La resistencia al corte y la tensión normal, según dicho autor, son las siguientes:
Roberto Ucar Navarro
54
11 1 cos
2 2i i
i
aaaa
c
senm a
sen
(4.28)
1111 11
12
i i
i
aan
c
sen senm a s
m sen a m
Como puede apreciarse, al considerar el valor de a =1/2, se obtienen las ecuaciones
indicadas a través (4.13) y (4.14), las cuales han sido derivadas por Ucar [23]
4.3 Criterio de rotura de Johnston y Chiu [32]
Dichos investigadores han desarrollado la siguiente ecuación para roca intacta.
' '1 3 1N N
BM
B
(4.29)
Expresando los esfuerzos efectivos en forma normalizada en términos de σc
''' ' 31
1 3,N Nc c
(4.30)
Donde '1 y
'3 corresponden al esfuerzo efectivo principal mayor y menor en
instante de la falla respectivamente.
M y B = constantes de la roca obtenidas experimentalmente.
Cuando '3 =0 ,
'1 c
Cuando '1 0 ,
'3 c ,
c
t
M
B
(4.31)
Roberto Ucar Navarro
55
Para el caso particular que B=1, resulta;
''
' ' 311 3 1 1N N
c c
M M
(4.32)
En este caso, al ser la relación entre las tensiones principales lineal su envolvente
también es lineal, obteniéndose la conocida ecuación de Mohr- Coulomb.
Siendo por lo tanto,
'
'
1
1
senM
sen
(4.33)
Posteriormente, Johnston [33] determinó mediante regresión por mínimos
cuadrados que:
2
2
1 0,0172 log
( )
2,065 0, 276 log
c
c
c
B
kPa
M
(4.34)
Cuando 0, 1, 2, 065B y Mc
Es decir, la evolvente o curva de resistencia intrínseca es lineal y al aplicar (4.33),
se obtiene un ángulo de fricción interna efectivo de 0' 20 .Este valor como lo
menciona Parry [34] corresponde a una arcilla blanda normalmente consolidada.
En el caso de una arcilla rígida sobre consolidada con valores de c =200,00kPa,
Johnston determinó que B=0,90. Es decir una envolvente ligeramente curva.
En rocas con alta resistencia a la compresión ( c =250,00MPa), B=0,50
obteniéndose la familiar curva parabólica.
Mediante el ajuste la función indicada en (4.29), Johnston [33] determinó los
siguientes valores para diferentes grupos de roca.
Roberto Ucar Navarro
56
En la tabla adjunta se resumen los valores de las constantes.
2
2
2
2
2,065 0,170 log
2,065 0,231 log
2,065 0,270 log
2,065 0,659 log
c
c
c
c
Grupo a M
Grupo b M
Grupo c M
Grupo e M
(4.35)
Tabla 4.7, según Johnston [33]
Mejor ajuste Ecuación
No 4.34
Ecuación
No 4.35
Roca
Grupo
c MPa B M B M
Caliza a 96,00 0,481 7,43 0,573 6,29
Limolita b 1,30 0,750 6,16 0,833 4,30
Arenisca c 68,00 0,444 11,40 0,598 8,37
Granito e 230,00 0,538 15,60 0,505 21,02
4.4 Criterios de Ramamurthy et al [4] y Sheory [6]
En esta sección se describen los trabajos realizados por investigadores de la India,
cuyo aporte ha sido de gran importancia en el campo de la mecánica de las rocas.
Ramamurthy ex-profesor del Indian Institute of Technology y Sheory Director of
Cental Mining Research Institute han desarrollado criterios de rotura teniendo en
cuenta las discontinuidades de la roca.
Ramamurthy y colaboradores [4] han propuesto la siguiente ecuación:
1 3 33
c
b
a
(4.36)
Roberto Ucar Navarro
57
Siendo a y b contantes de la roca para la condición intacta
Adicionalmente, dichos investigadores basándose en un extensivo programa
experimental tanto en roca intacta como conteniendo planos de discontinuidad
lograron determinar una expresión que vincula a cm en función de c, junto con
un factor de diaclasamiento. Cabe señalr que llevaron a cabo más de 250 ensayos
de compresión sin confinar en un ancho rango de resistencia y 1.300 ensayos
triaxiales en roca intacta y diaclasada.
Para ello, emplearon una técnica especial variando el número de fracturas e
inclinación. Además de testigos de roca utilizaron como material yeso de París
(plaster of Paris).
exp 0, 008 fc
cm J
(4.37)
Siendo:
cm = Resistencia a compresión sin confinar de la masa rocosa medida sobre los
planos de discontinuidad (strength of jointed rock).
Jn =Factor de diaclasamiento.
nf
JJ
n r (4.38)
Jf =Factor de diaclasamiento. Varía desde cero en roca intacta a 500 en roca muy
diaclasada
Roberto Ucar Navarro
58
Jn = Parámetro que tiene en cuenta la frecuencia de diaclasamiento, y corresponde
al número de diaclasas por metro
n = Parámetro que depende del ángulo de inclinación de la diaclasa con la
vertical
r = Parámetro relacionado con la resistencia de la roca.
Dichos valores se obtienen a través de las tablas siguientes:
Tabla 4.8.
VALORES DE ( n) ÁNGULO DE
ANISOTROPÍA FORMA DE U FORMA DE HOMBRO
0º 0,82 0,85
10º 0,46 0,60
20º 0,11 0,20
30º 0,05 0,06
40º 0,09 0,12
50º 0,30 0,45
60º 0,46 0,80
70º 0,64 0,90
80º 0,82 0,95
90º 0,95 0,98
Roberto Ucar Navarro
59
Tabla 4.9
c ( Resistencia a compresión
uniaxial en roca intacta,MPa)
r
2,50 0,30
5,00 0,45
15,00 0,60
25,00 0,70
45,00 0,80
65,00 0,90
100,00 1,00
Para mayor detalle, véase la figura 4.3 la cual muestra la variación de (n) en
función del ángulo de inclinación del plano de diaclasa con la vertical.
La curva con forma de hombro es predominante en rocas estratificadas o
diaclasadas de elevada resistencia. Mientras que la forma en U representa rocas
débiles con un plano de estratificación o de diaclasa.
Al considerar los planos de discontinuidad, la resistencia de la masa rocosa a
través de ecuación (4.36) puede expresarse en forma más general según [4] como
a continuación se indica:
1 3 33
bmcm
ma
(4.39)
Siendo,
Roberto Ucar Navarro
60
exp 2,0370,13m
cm
c
aa
(4.40)
. mcm
c
b b
(4.41)
El factor de diaclasamiento Jf expresado en función del índice RMR y el sistema Q
de Barton, está definido por las ecuaciones.
/ 5 100fJ RMR (4.42)
Al considerar RMR = 100, se observa a través de (4.42), (4.41), (4.40) y 4.37)
que: Jf = 0, bm = b, am = a y cm = c
250 1 0,30logfJ Q (4.43)
Al reemplazar (4.42) en (4.37) se obtiene:
100exp
25cm
c
RMR
(4.44)
Se observa que dicha expresión es muy parecida ala ecuación (4.26), la cual ha sido
determinada por Kalamaras y Bieniawski [30].
Roberto Ucar Navarro
61
Figura 4.3 Variación del parámetro de inclinación (n) en función de la orientación
de los planos de discontinuidad, según Ramamurthy et al [4]
Roberto Ucar Navarro
62
Por otra parte, de acuerdo a las investigaciones de Sheorey [6] recomienda el
siguiente criterio de rotura.
Roca Intacta (matriz rocosa)
131ct
b
(4.45)
1sn
t
c
(4.46)
σc, σt y b son parámetros a ser determinados en la roca intacta a través de las
pruebas de laboratorio empleando diferentes niveles de confinamiento
11
b
s bc tb
b
(4.47)
2
0
2 21
2 1s
s t
tb
b
(4.48)
0,90
t
s
c
(4.49)
Roberto Ucar Navarro
63
Masa Rocosa
131cm
t m
bm
(4.50)
1 nsm
cm
t m
(4.51)
100exp
20cm
c
RMR
(4.52)
RMR= índice de calidad de Bieniawski -Versión 1976
100exp
27tm
t
RMR
(4.53)
Siendo σtm la resistencia uniaxial a tracción de la masa rocosa.
/100 , 0,95RMRm mb b b (4.54)
Roberto Ucar Navarro
64
11
m
m
bm
bm
cm tmsmb
b
(4.55)
2 2
0
2 1
2 1m
m
sm tmm
sm tm
b
b
(4.56)
00,9
mtm
msm
c
(4.57)
4.5 Otros Criterios de rotura
En las secciones anteriores se han mencionado los diferentes criterios de rotura
teniendo en cuenta la relación entre los esfuerzos principales σ1 y σ3 en el instante
de la falla, sin embargo otros autores han desarrollado criterios de resistencia en
términos del esfuerzo cortante resistente y la tensión normal actuando sobre un
determinado plano de rotura . De acuerdo al modelo propuesto por Barton [35] y
más recientemente por Barton y Choubey [36], se sabe que:
10'
'tan logbnn
JCSJRC
(4.58)
Donde:
Roberto Ucar Navarro
65
= Resistencia al corte en discontinuidades rugosas.
’n = Tensión normal efectiva (MPa).
JRC =Coeficiente de rugosidad en la discontinuidad 0 JRC 20.
JRC =0 (superficie perfectamente suave).
JRC =20 (superficie muy rugosa).
JCS =Resistencia a la compresión de las paredes de la discontinuidad (MPa).
Si las paredes de las discontinuidades no están alteradas o meteorizadas, puede
tomarse el valor de la resistencia a compresión simple en la condición intacta c.
Si la pared está alterada, como ocurre en muchos casos, el valor de JCS puede
tomarse a través de los resultados del esclerómetro o martillo Schmidt empleando
la ecuación: 10log 0,88 1,01JCS R , siendo el peso unitario en MN/m3, y
JCS en MPa y R el valor del rebote en el esclerómetro.
Se observa que este modelo de rotura bidimensional esta fundamentado en la
influencia de las rugosidades o asperezas que frecuentemente presentan las
discontinuidades. Por lo tanto las irregularidades de una superficie de fractura
consiste en un ángulo de rugosidad ( i ) al cual se le suma el ángulo básico de
fricción para obtener un valor p = (i+b). A la vez al no existir cohesión en la
discontinuidad resulta la conocida ecuación:
' tann p (4.59)
En estas condiciones, a través de (4.36) se aprecia que:
10 'logn
JCSi JRC
(4.60)
Barton y Choubey [36], también mencionan que una vez realizado el ensayo de
corte directo sobre un determinado plano de fractura, el área de contacto real puede
Roberto Ucar Navarro
66
variar entre una décima a una milésima del área bruta total del plano de
discontinuidad.
Por tanto, la relación entre el área bruta sobre la real está íntimamente relacionada
con el cociente JCS/n, el cual juega un papel preponderante en la resistencia al
cizallamiento.
Por ejemplo si la tensión normal n= 0,10 MPa y JCS= 50MPa, la relación del
área real /área bruta es de dos milésimas. Adicionalmente, cabe destacar, que la
magnitud de la tensión normal efectiva actuando sobre el plano de discontinuidad
es el factor externo más importante que afecta la resistencia al corte.
El ángulo de fricción interna instantáneo puede calcularse al tener en cuenta que
n
i arctan , es decir:
10
21010
tan tan log
log (2,718281)1 tan log
180
i bn n
bn
JCSJRC
JRC JCSJRC
(4.61)
Siendo por lo tanto, la cohesión instantánea:
´ tani n iC (4.62)
En general , Hoek y Bray [37] señalan que pruebas de laboratorio a través de
diferentes ensayos de corte con resultados del ángulo de rugosidad entre 40° a 50°
están relacionados con tensiones normales efectivas inferiores a los 0,70 MPa.
Roberto Ucar Navarro
67
Esto demuestra claramente que los valores instantáneos del ángulo de fricción
interna son muy altos cuando el campo de tensiones normales efectivas es bajo, por
el contrario dicho ángulo disminuye cuando el estado tensional aumenta.
Este último efecto se debe como resultado del aumento progresivo de la tensión
normal, lo que genera que las asperezas sean cortadas o cizalladas y por ende se
obtiene una inclinación mucho menor de la envolvente de rotura.
Por otra parte, González de Vallejo, et al [22], indican que si se ejerce un esfuerzo
cortante sobre la discontinuidad donde actúan tensiones normales bajas, al
producirse el corrimiento a favor del plano tiene lugar una dilatancia (apertura o
separación) de las paredes de la discontinuidad, al tener que exceder el ángulo i
para que se genere el desplazamiento, siendo además la cohesión nula o
prácticamente nula. Al continuar el desplazamiento tangencial, se pueden romper
los bordes más angulosos, limando o suavizando las rugosidades y las dos
superficies se ponen en contacto prevaleciendo el valor del ángulo b.
Las rugosidades o asperezas presentes en las paredes de las juntas es uno de los
aspectos más influyentes en la resistencia friccionante, en particular en planos de
fracturas sometidos a esfuerzos normales bajos. Cabe destacar que a través de la
ecuación de Barton y Choubey se obtienen ángulos de fricción interna muy altos
para tensiones normales de compresión muy bajas actuando sobre el plano de
discontinuidad.
En definitiva los valores equivalentes del ángulo de fricción interna están
representados por el ángulo de fricción básico b (determinado en una superficie
suave aparente) y el ángulo de rugosidad i, el cual depende de las irregularidades
que exhiba la masa rocosa, es decir = (b + i). Por lo general b varía entre 25º y
35º, y el valor del ángulo suele encontrarse en el rango de 35º a 70º. En este
Roberto Ucar Navarro
68
sentido, Barton y Choubey [36], recomiendan truncar los valores de, cuando dicho
valor alcanza los 70º.
Igualmente, mencionan que los geólogos expertos en tectónica registran valores de
la cohesión de decenas de MPa y ángulos de fricción interna de unos 20º, cuando la
roca está sometida a elevadas tensiones normales, mientras que, el ingeniero
geotécnico que investiga la estabilidad de taludes obtiene valores del ángulo de
fricción interna de 70º y cero cohesión.
También señalan que en la mayoría de los problemas investigados en el campo de
la ingeniería de rocas, es común obtener magnitudes del esfuerzo normal efectivo
variando en el rango de 0,10 a 2 MPa (1 a 20 kgf/cm2). Estas cifras son por lo
general alrededor de tres órdenes de magnitud menores que las obtenidas por los
geólogos que investigan fallas tectónicas, es decir cuando los valores de la presión
normal efectiva se encuentra entre 100 y 2000 MPa.
4.5.1Criterio de Henning y Zimmerman
Dreyer [38] en su libro The Science of Rock Mechanics, menciona la ecuación
propuesta por Henning y Zimmerman, en la cual la resistencia al corte en
función de la tensión normal n está, definida por la ecuación:
mtnk (4.63)
σt =resistencia a tracción unidimensional (valor negativo)
k , m = parámetros a determinar experimentalmente.
La gráfica anexa según Dreyer [38], muestra la envolvente de rotura a través de
ensayos realizados en muestras de roca de la Liniel Salt, cuyos valores se indican
en la tabla 4.10. A través de dichos valores, la ecuación que vincula la resistencia
al corte con el esfuerzo normal es:
Roberto Ucar Navarro
69
0,205 2, /69,9 kgf cmtn (4.64)
Figura No 4.4 Envolvente de rotura [38]
Roberto Ucar Navarro
70
Tabla 4.10
Tensión Normal
n (kgf/cm2 )
Resistencia al Corte
( kgf/cm2 )
n = t =-25 0
-20 97
0 135
25 156
50 169
100 188
150 202
200 212
250 221
300 229
350 236
400 242
450 247
500 252
550 257
600 262
Roberto Ucar Navarro
71
Como se ha demostrado previamente en la sección (2), los esfuerzos principales 1
y 3 pueden expresarse en función de la tensión normal y cortante, junto con la
inclinación de la tangente a la envolvente de falla β, mediante las fórmulas :
2 1/2' 1 '1 n (4.65)
Igualmente, el esfuerzo principal menor puede expresarse:
3 2 1/2' 1 'n (4.66)
Siendo además
1tan'
mn n t
d mk
d
(4.67)
Por lo tanto, al considerar que α’ = tan, (4.65) y (4.66) toman la forma:
21 tan 1 tan tan secn n (4.68)
23 tan 1 tan tan secn n (4.69)
Reemplazado (4.63) y (4.67) en las dos últimas ecuaciones, se obtiene finalmente
las tensiones principales en función de la tensión normal y los parámetros k y m
2 2 21
2 1 2 11
m m mn n t n t n tm k k m k
(4.70)
2 2 22 1 2 1
3 1m m m
n n t n t n tm k k m k
(4.71)
Roberto Ucar Navarro
72
Una forma más práctica de utilizar la ecuación 4.63, es expresarla en forma
adimensional. En estas condiciones se tiene:
c c
mtn
k
(4.72)
La cual equivale a escribir,
c c c
mmt
cnk
(4.73)
Llamando,
nn
c cy
1m
m tc n
c ck
(4.74)
Resultando finalmente,
1
m
nc
k
(4.75)
Siendo,
1
1mt
cc
y k k
(4.76)
ξ es negativo , por cuanto en el sistema de convención utilizado se considera que
los esfuerzos de tracción son negativos.
Roberto Ucar Navarro
73
Cabe señalar que la ecuación (4. 75) es exactamente igual a la utilizada por Hoek y
Brown en su criterio original de rotura.
Dichos autores al no poder hallar la envolvente analíticamente en función de su
criterio original de rotura σ1 =f (σ3, σc, m, s), aplicaron la fórmula:
c c
B
A
(4.77)
Es decir: A=K1 y B=m
4.5.2 Cálculo de las constantes k1 y m
Los valores de k1 y m indicados en (4.75) pueden obtenerse con buena
aproximación conociendo ξ= (σc/σt) conjuntamente con las ecuaciones (4.70) y
(4.71), y agregando una tercera ecuación vinculada con la tensión normal σn, como
a continuación se indica:
2 21 3cosn sen (4.78)
Al dividir la ecuación anterior por la resistencia a compresión sin confinar σc
resulta,
2 231 cosn
n
c
sen
(4.79)
Siendo además,
33
11
c
c
(4.80)
Roberto Ucar Navarro
74
Para el caso particular que σ1/σc =1, σ3/σc =0, la ecuación (4.79) se transforma:
2 1 cos 2cos
2nn
c
(4.81)
Por otra parte, al observar la figura (2.1) la relación entre α y el ángulo de
inclinación β que forma la tangente a la envolvente de rotura con la horizontal es:
2α = (π/2+β) (4.82)
Al reemplazar dicho ángulo en (4.78) se obtiene que:
03
112n sen
(4.83)
Adicionalmente, según (2.12), se sabe que:
tann n
d d
d d
(4.84)
Por lo tanto al derivar (4.63) :
2
1
1tan1
m
nsen
k msen
(4.85)
Quedando finalmente,
1
03
03
0 03 3
1
1
1 2.
2
mn
n
n n
k m
(4.86)
Roberto Ucar Navarro
75
En estas condiciones, al considerar (4.86) junto con (4.70) y (4.71) expresadas
adimensionalmente para el caso que σ1/σc =1, σ3/σc =0, se han obtenido tres
ecuaciones con tres incógnitas: k1, m y 03
n
es decir:
2 2 2
2 2 2
2 1 2 1
1 1 1
2 1 2 1
1 1 1
1 1
0 1
m m m
m m m
n n n n
n n n n
m k k m k
m k k m k
1
03
03
0 03 3
1
0
1
1 2.
2
mn
n
n n
k m
(4.87)
4.5.4 Comparación con los valores de K y m obtenidos por Dreyer
Los parámetros de corte obtenidos por Dreyer [38] en muestras de roca de la Liniel
Salt indicados en la tabla 4.10 son K=69,90 y m =0,205. Al emplear (4.63) la
ecuación resultante es: 0,205 2, /69,9 kgf cmtn
Adicionalmente se conoce que:
2404, 60 /
0, 062
225, 00 /
kgf cmc
t
c
kgf cmt
Roberto Ucar Navarro
76
Por otra parte, a través de la solución del sistema indicado en (4.87) , los valores
de los parámetros k1, m y 03
n
son los siguientes:
k1= 0,5898, m =0,2385 y al aplicar (4.54),
1
0, 589857, 000.7615
404, 60
1m
c
kk
Con dichos valores la ecuación (4.63) y (4.75) toman la forma,
0,2385 257, 00 , /kgf cmtn
(4.88)
0,23850, 5898
cn
20, 3715 0, 3715. 150, 00 /
03
kgf cmn cnc
0,2385 257, 00 150, 00 195, 00 /kgf cmt
Siendo la inclinación de la envolvente en el punto (α,σn)=(150,195),
correspondiente a σ3 =0 y σ1= σc al aplicar (4.83):
03
1 2 0, 743 14, 89sen n
Al utilizar las constantes obtenidas por Dreyer, el valor de K1 es:
Roberto Ucar Navarro
77
1 0,205 10, 5914404, 601 69, 90.
mck k
En forma adimensional, la ecuación de Dreyer al emplear (4.75) toma la forma:
0,2050, 5914
cn
(4.89)
Finalmente en la tabla anexa se comparan las ecuaciones (4.88) y (4.89),
observándose la buen aproximación al resolver el sistema de ecuaciones no
lineales indicados en (4.87) y conociendo que ξ= σt/σc. Cabe señalar que la
solución del sistema de ecuaciones no lineales se ha llevado a cabo a través del
programa EES (Engineering Equation Solver), cuyos resultados se anexan.
Roberto Ucar Navarro
78
Roberto Ucar Navarro
79
0,20569, 90 tn 0,2385
57, 00 tn
Tensión Normal
n (kgf/cm2 )
Valores Dreyer
( kgf/cm2 )
Solución Aproximada
( kgf/cm2 )
n = t =-25 0 0
-20 97 84
0 135 123
25 156 145
50 169 160
100 188 180
150 202 195
200 212 207
250 221 218
300 229 226
350 236 234
400 242 241
450 247 248
500 252 254
550 257 259
600 262 265
Roberto Ucar Navarro
80
5. CRITERIOS DE ROTURA CONSIDERANDO EL ESFUERZO
PRINCIPAL INTERMEDIO σ2
Como es bien conocido existe mucha evidencia la cual indica que el esfuerzo
principal intermedio σ2 tiene influencia en la resistencia de la roca.
Diferentes investigadores como Mogi [13], Pan y Hudson [39], Brown [40], Lade
[41] Wang y Kemeny [42], Chang y Haminson [43], Colmenares y Zoback [44],
entre otros han demostrado la importancia de considerar la rotura de la roca en tres
dimensiones.
Teniendo en cuenta que el criterio de rotura de Hoek y Brown es ampliamente
utilizado en el campo de la ingeniería de rocas, varios autores como Pan y Hudson
[39] y Zhang [36] han incorporado el esfuerzo principal intermedio σ2 en el
referido criterio empírico de rotura.
Pan y Hudson [45], han propuesto una expresión en tres dimensiones
empleando el criterio original de Hoek y Brown [16], la cual está definida a
través de la fórmula :
1
2 2
3 3
2 3 cc
IJ m J m s
(5.1)
1 1 2 3' ' 'I = Primera invariante de esfuerzos efectivos del tensor σij
J2 = Segunda invariante de esfuerzos del tensor desviador Sij
2 22
1 2 2 3 3 1' '
2' ' ' '1
6J (5.2)
Roberto Ucar Navarro
81
Antes de proseguir con los criteros de rotura en tres dimensiones, es importante
considerar algunos aspectos de interés relacionados con el estado de tensiones
que originan cambios de volumen y de forma
Teniendo en cuenta que el campo tensional en un punto del sólido está definido por
el tensor de esfuerzos ij, un criterio de plastificación corresponde a una ley que
defina el límite del comportamiento elástico de la masa de suelo o roca.
En estas condiciones es necesario obtener una ley que permita expresar una
determinada función de la forma:
f(xx, yy, zz, xy, yz, zx) = C (5.3)
C = constante (valor crítico)
Si el valor de la función en cualquier punto es menor que (C), es decir:
f(xx, yy, zz, xy, yz, zx) < C (5.4)
El material se comporta elásticamente sin que haya ocurrido plastificación. En
caso contrario, si la función es mayor o igual al mencionado valor crítico habrá
plastificación.
Se ha podido comprobar que la tensión normal media m = (1 +2 +3 )/3 tiene
muy poco o ningún efecto sobre la plastificación del material, por lo que el tensor
esférico no interviene en dicho proceso, al producir únicamente cambio de volumen
pero no de forma.
Por el contrario, el tensor desviador produce distorsión o cambio de forma pero no
de volumen, ya que su primera invariante J1 = 0, como se apreciará más adelante.
Esta distorsión es la causante de la plastificación del material.
Por otro lado, se ha podido comprobar que una forma más conveniente de expresar
dicha función es a través de los esfuerzos principales, y por ende en términos de la
invariante de esfuerzos. Adicionalmente un procedimiento más conveniente para
describir la rotura se basa en considerar diferentes combinaciones de las invariantes
Roberto Ucar Navarro
82
de esfuerzos con la ventaja que permiten interpretar geométrica y físicamente el
criterio de rotura utilizado.
Por lo tanto:
f (1, 2, 3) = C (5.5)
f (I1, J2, J3) = C (5.6)
Siendo:
I1 = (1 + 2 + 3) (5.7)
I1 =primera invariante de esfuerzos del tensor ij
J2 = segunda invariante de esfuerzos del tensor desviador Sij
J3 = tercera invariante de esfuerzos del tensor desviador Sij
zxyzx
yzyyx
xzxyx
zzxyxz
xzyyxy
xzxyxx
ij
333231
232221
131211
(5.8)
xx,yy, zz = tensiones normales (el primer subíndice indica la dirección normal
al plano donde actúa el esfuerzo y el segundo subíndice la dirección del eje al cual
es paralela la componente normal del esfuerzo). Lógicamente, en el caso de las
tensiones normales ambos subíndices coinciden.
xy, yz, xz = tensiones tangenciales (nuevamente el primer subíndice indica la
dirección normal al plano en que actúa la componente tangencial del esfuerzo, cuya
dirección es paralela al eje que indica el segundo subíndice
Roberto Ucar Navarro
83
Por otra parte, al considerar lo previamente indicado, es conveniente descomponer
el tensor de esfuerzos ij en dos partes, la primera correspondiente al tensor
hidrostático* o esférico, y la otra llamada tensor desviador Sij.
El tensor esférico está definido por los elementos m. ij, siendo m la tensión
normal media y ij el delta de Kronecker, es decir:
1321 3
1
3
1
3
1
3
1Izzyyxxkkm (5.9)
El valor de m se conoce también como tensión normal octaédrica (m = oct).
j i si , 0
j i si , 1ij
m
m
m
mijm
00
00
00
010
010
001
(5.10)
En estas condiciones:
ij = Sij + m.ij (5.11)
Sij = ij - m.ij (5.12)
Resultando por tanto:
m
m
m
ij
SSS
SSS
SSS
S
333231
232221
131211
333231
232221
131211
(5.13)
Que equivale a la notación:
* Tratándose de masas de suelo o de roca es más conveniente llamarlo litostático. Suppe, J. (1985) “Principles of Structural Geology”, 537 p.
Roberto Ucar Navarro
84
mzzzyzx
yzmyyyx
xzxymxx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
SSS
SSS
SSS
S
(5.14)
Nótese además que Sij = ij, cuando i j.
Por otro parte, el tensor desviador en función de los esfuerzos principales es:
m
m
m
ijS
3
2
1
00
00
00
=
3
200
03
20
003
2
213
132
321
(5.15)
Finalmente, los valores principales del tensor de esfuerzos desviadores se obtienen
a través de la expresión:
0det ijij SS (5.16)
Resultando:
S3 – J1S2 – J2S – J3 = 0 (5.17)
Siendo J1, J2 y J3 la invariante de esfuerzos del tensor desviador.
J1 = Sii = S11 + S22 + S33 = S1 + S2 + S3 = 0 (5.18)
Roberto Ucar Navarro
85
3113122121122
332
222
112 ...2
1.
2
1SSSSSSSSSSSJ jiij
233232231331 ... SSSSSS
231
223
212
233
222
211
23
22
21 222
2
1
2
1SSSSSSSSS
133221 ... SSSSSS
222222
6
1zxyzxyxxzzzzyyyyxx
213
232
2216
1
2 2 2 21 2 3 1 2
1 13
2 3m m m I I (5.19)
mzzzyzx
yzmyyyx
xzxymxx
kijkij SSSJ
..
3
13
mmmSSSSSS 3213213
33
23
1 ..3
1
1 3(2 9 27 )1 1 2 327I I I I (5.20)
La ecuación cúbica indicada a través de (5.17) puede resolverse sin dificultad con
la ayuda de la siguiente expresión trigonométrica:
03cos4
1cos
4
3cos3 (5.21)
Considerando el cambio de variable:
S = Rcos (5.22)
Roberto Ucar Navarro
86
La fórmula (5.17) se transforma:
0coscos33
223
R
J
R
J (5.23)
Al comparar (5.21) y (5.23) resulta:
23
2JR (5.24)
Siendo además:
2/32
3
2
333cos
J
J (5.25)
0 /3 (5.26)
Adicionalmente, la tensión tangencial octaédrica oct (ver figura 5.1) puede
relacionarse a través de la invariante de esfuerzo J2 utilizando la expresión:
23
2Joct (5.27)
Adicionalmente, cabe destacar que () se conoce como ángulo de similitud o de
Lode (en reconocimiento al ingeniero alemán W. Lode, 1926). Se encuentra en el
plano desviador y corresponde al ángulo entre la proyección de 1 sobre el plano
desviador 1’ y el vector de esfuerzos desviador [S1, S2, S3],ver figura (5.2a y 5.2b).
Por otro lado, la dirección del esfuerzo tangencial octaédrico está definido por el
ángulo de similitud, el cual está relacionado con las invariantes de esfuerzos J2 y
J3, tal como lo mencionan Chen [11] y Chen y Saleeb [9].
Por tanto, al tener en cuenta (5.25) y (5.27) queda:
3323cos
oct
J
(5.28)
Roberto Ucar Navarro
87
La selección de la alternativa de las invariantes I1, J2 y (ángulo de Lode), es decir
(oct, oct,), tiene la ventaja que permite la evaluación directa de los esfuerzos
principales 1, 2 y 3, en lugar de resolver la engorrosa ecuación cúbica. A la vez
las invariantes I1 y J2 están directamente relacionadas con m= oct y oct
respectivamente. En estas condiciones los esfuerzos principales desviadores al
considerar (5.22) y (5.24) son:
cos3
221 JS (5.29)
3
2cos
3
222 JS (5.30)
3
2cos
3
223 JS (5.31)
Por tanto, al considerar (5.12) las tensiones principales 1, 2 y 3 (1 2 3) en
función de σoct = (1+ 2 +3)/3 = I1/3 y los esfuerzos desviadores, S1 S2 y S3, se
obtiene:
1
2
3
2
cos
2 2cos
33
2cos
3
oct
oct
oct
J
(5.32)
Roberto Ucar Navarro
88
1 1
2 2
3 3
oct
oct
oct
S
S
S
Roberto Ucar Navarro
89
Figura 5.1
Roberto Ucar Navarro
90
Figura 5.2a y 5.2 b
Roberto Ucar Navarro
91
Figura 5.3
Roberto Ucar Navarro
92
Zhang-Zhu [46 ] utilizando el criterio original de Hoek y Brown ha obtenido
siguiente ecuación :
2 2',2
3
2 2
9
2 oct octoct mc
m sm
(5.33)
Siendo
1 3,2
' ''
2m
(5.34)
2 22
1 2 2 3 3 1' ' ' ' ' '1
3oct (5.35
Considerando las diferencias entre los criterios originales y generalizados de
Hoek y Brown, dichos investigadores modificaron la ecuación (5.33), la cual se
transforma como sigue:
1
',22
3 3
2 2
aoct
c oct cmc
msm
(5.36)
Criterio de Lade modificado
El criterio de Lade [47], fue originalmente desarrollado para materiales
friccionantes sin cohesión, como suelos granulares, y se expresa a través de la
ecuación:
31 1
13
'
27a
mI I
I P
(5.37)
1 1 2 3I =primera invariante de esfuerzos
Roberto Ucar Navarro
93
3 1 2 3I = tercera invariante de esfuerzos
Pa = presión atmosférica
m’ y η = constantes a determinar
Posteriormente Ewy [48] en 1999, considero las presiones efectivas y la
resistencia cohesiva, resultando:
3
1
3
'
' 27I
I (5.38)
1 1 2 3' ' ' '
/ tan / tan / tanC C CI (5.39)
3 1 2 3' ' ' '
/ tan / tan / tanC C CI (5.40)
24 tan 9 7
1
sen
sen
(5.41)
Criterio propuesto por Zhou
Zhou [49] ha propuesto un criterio de rotura muy similar al desarrollado por
Wiebols y Cook [50] y es referido como una modificación de de los mencionados
autores.
1 222 m mJ A B C (5.42)
Siendo,
1 2 31' ' ''
3 3mI
= tensión efectiva normal media (5.43)
2 221/ 2
1 2 2 3 3 1' '
2
' ' ' '1
6J (5.44)
J2 = segunda invariante de esfuerzos del tensor desviador.
Roberto Ucar Navarro
94
Por otra parte, las constantes se obtienen a través de las expresiones:
1
1 1
2
1
3
3 3
'
' '
( 1)27 1
22 ( 1) 2 (2 1)
tan ( / 4 / 2)
(1 0,6 tan )
c
c c
c
C q qC
qC q C q
q
C
(5.45)
3'2 2
3 1
2 3 cq C
B qq
2
3 93cc cA B C
Criterio de Mogi
Mogi [51] ha investigado en detalle la fractura de rocas desde el año 1960, a
través de innumerables experimentos los cuales se pueden apreciar en su excelente
libro Experimental Rock Mechanics, que es el resultado de su labor como
investigador y director en el Instituto de Investigaciones Sísmicas en la Universidad
de Tokio.
Él ha dividido los criterios de rotura en dos grupos, el primero el cual no tiene en
cuenta el efecto del esfuerzo principal intermedio σ2 , como es el caso del criterio
de Mohr – Coulomb, el de Hoek y Brown y el propuesto en esta investigación, y el
segundo que si existe una dependencia de σ2 de acuerdo al ensayo triaxial
verdadero o poliaxial σ1 ≠ σ2 ≠ σ3 .
Roberto Ucar Navarro
95
Mogi [51] también menciona que varios investigadores propusieron una realción
del tipo oct =f (σoct) como criterio de fractura, pero no se ajusta a los datos
experimentales. Es decir no hay una buena correlación con los valores de
resistencia obtenidos a través de los ensayos de laboratorio.
Adicionalmente, [51], menciona que la superficie de rotura es aproximadamente
paralela a σ2, y por lo tanto considera que la energía de distorsión se incrementa
con el esfuerzo normal medio 1/2(σ1+ σ3). En estas condiciones dicho
investigador ha propuesto un criterio de rotura del tipo: oct =f (σ1+ σ3).
Expresada en una función potencial toma la forma:
oct ≈ A(σ1+ σ3)n
(5.46)
Los valores del exponente (n) obtenidos por Mogi [51] se indican a continuación.
Sin embargo, al observar las gráficas obtenidas por el referido investigador a
través de los diferentes ensayos en rocas, la ecuación anterior se puede aproximar a
una recta, siendo la referida linearización indicada también por dicho investigador
Tabla No 5.1
Roca ensayada Valores de n
Caliza de Solnhofen 0,56
Dolomita de Duham 0,72
Mármol de Yamaguchi 0,74
Granito de Inada 0,87
Andesita de Manazuru 0,88
Granito de Westerley 0,89
Anfibolita de KTB 0,86
Roberto Ucar Navarro
96
Al-Ajmi y Zimmerman [52] mencionan que la ecuación (5.46), es el aspecto
relevante de la contribución de Mogi [51], y aun cuando la ecuación es
usualmente considerada en forma potencial, estos investigadores han obtenido un
ajuste lineal con coeficientes de determinación R2 entre 0,933 y 0,999 empleando
los mismos valores experimentales obtenidos por Mogi en la mayoría de las
rocas previamente señaladas . Dichos resultados se indican en la tabla 5.2.
Tabla No 5.2
La relación lineal es:
1 3
2oct a b
(5.47)
Los valores obtenidos de σc y q = tan2 (45+/2) se indican en la tabla 5.3.
oct=a+b[(σ1+ σ3)/2]
Roca ensayada a (MPa) b R2
Dolomita de Duham 58,32 0,55 0,99
Caliza de Solenhofen 103,95 0,35 0,983
Arenisca de Shirahama 32,95 0,39 0,933
Anfibolita de KTB 26,30 0,69 0,998
Mármol 9,80 0,58 0,999
Granito de Westerley 23,88 0,74 0,999
Roberto Ucar Navarro
97
Tabla 5.3
Teniendo en cuenta las tablas (5.2) y (5.3), a través de este estudio y con la ayuda
de la hoja Excel y aplicando la técnica de los mínimos cuadrados se ha determinado
el siguiente ajuste de curvas para calcular los parámetros a y b en función de σc en
unidades de MPa y q respectivamente.
23 2
10 44 61, 25 7,77 , 0,95100 100 100
c c cMPa Ra
(5.48)
221,17 1,832 0,017 0,0135 , 0,99
10 10
q qb R
(5.49)
Se aprecia que el valor de 7,77 y 0,0135 corresponden al error estándar, es decir a
la desviación estándar de la distribución muestral del estimador.
Roca ensayada σc (MPa) q=tan2(45+/2)
Dolomita de Duham 298,93 3,66
Caliza de Solenhofen 351,50 2,16
Arenisca de Shirahama 123,59 2,31
Anfibolita de KTB 220,35 6,44
Mármol 54,02 4,15
Granito de Westerley 240,09 8,20
Roberto Ucar Navarro
98
5.1 Otras formas de representar los diferentes criterios de rotura
Por lo general los criterios de rotura se expresan como una funcion f (σ1, σ3)=0,
para el caso bidimensional o en tres dimensiones f (σ1, σ2, σ3)=0.
Sin embargo, es común expresar también los criterios en términos de las
invariantes y del ángulo (), el cual como previamente se ha indicado se
conoce como ángulo de similitud o de Lode.
Chen y Saleeb [9] en el libro Contitutive Equations for Engineering Materials,
exponen con gran claridad los diferentes criterios de rotura.
Considerando el criterio de Tresca , se tiene la siguiente expresión :
1 3
1
2k (5.50)
Es decir la rotura ocurre cuando el máximo esfuerzo cortante en un punto alcanza
el valor crítico k .En el espacio de los esfuerzos principales representa un prisma
cuya sección en el plano desviador es un hexágono regular.
Utilizando (5.32), la ecuación anterior se transforma en términos de la invariante J2
y el ángulo, como sigue:
1 32
1 2cos cos( )
2 33J k
(5.51)
Siendo, 1 2 3 ,0 60
La ecuación anterior a través de simplificaciones trigonométricas se reduce,
2 2
1, ( ) 0
3f J J sen k (5.52)
En función de , , (véase figuras 5.2a y 5.2b, resulta,
1, ( ) 2 0
3f sen k (5.53)
Roberto Ucar Navarro
99
Criterio de von Mises
Este criterio establece que la falla ocurre cundo el esfuerzo cortante octaédrico
oct alcanza un valor límite. Matemáticamente puede expresarse a través de
cualquiera de las tres fórmulas siguientes:
22 2 0
2 0
20
3oct oct
f J J k
f k
f k
(5.54)
En función de los esfuerzos principales, resulta
2 2 2 21 2 2 3 3 1 6k (5.55)
En el espacio de los esfuerzos principales la superficie de rotura está representada
por un cilindro cuya generatriz es paralela al eje litostático. La traza de la
superficie en el plano desviador es un circulo que circunscribe el hexágono de
Tresca (ver figura 5.4)
Criterio de Morh –Coulomb
Como se demostrara en el apéndice (A) de esta investigación, el criterio de Mohr-
Coulomb en función de los esfuerzos principales 1 y 3 está representado por la
ecuación:
1 3
1 11
2 cos 2 cos
sen sen
C C
(5.56)
Siento C la resistencia cohesiva y el águlo de fricción interna.
Empleando la ecuación (5.32) junto con (5.56) en términos de la invariante I1, J2 y
, se obtienen las siguientes expresiones:
Roberto Ucar Navarro
100
1 12 2
2 2 2cos 1 cos( ) 1 2 cos
3 3 33 3
I IJ sen J sen C
(5.57)
21 2cos 1 cos 1 cos 0
3 33
JIsen sen sen C
(5.58)
21 1 3cos cos . cos 1 cos 0
3 2 23
JIsen sen sen sen C
(5.59)
Finalmente, mediante transformaciones trigonométricas se obtiene:
211 2 2, , ( /3) cos( /3) cos 0
3 3
JIf I J sen J sen sen C
(5.60)
Que equivale a escribir,
1 2 1 2
3 1 3 3 cos, , 3 cos 0
2
sen sen senf I J I sen J C
(5.61)
La cual también puede expresarse,
3 1 3 3 cos, , 6 3 2 cos
2
sen sen senf sen C
(5.62)
Siendo,
1 2 33 33 octy
(5.63)
Roberto Ucar Navarro
101
Figura 5.4
Roberto Ucar Navarro
102
En el espacio de los esfuerzos principales el criterio de Mohr-Coulomb representa
una pirámide hexagonal irregular, véase figura 5.5
Figura 5.5 Criterio de Mohr-Coulomb
Roberto Ucar Navarro
103
Criterio de Drucker –Prager
Es una extensión del criterio de von Mises y es utilizado en ciertas aplicaciones
prácticas en suelos.
Dicho criterio se representa mediante la ecuación:
1 2 2 1, 0f I J J I k (5.64)
La cual equivale a escribir, al considerar que: 21 / 3 , 2I J
, 6 2 0f k (5.65)
La superficie de falla en el espacio de los esfuerzos principales es un cono y su
traza en el plano desviador es un círculo. Véase figuras 5.6 y 5.7.
De esta forma dicho criterio puede ser observado como una superficie suave de
Mohr –Coulomb
El valor de las constantes en términos de C y para el caso que circunscribe el
hexágono de Mohr –Coulomb. Corresponde al límite exterior y los parámetros se
obtienen al coincidir ambos criterios en =0◦ (ver punto A de la figura 5.7)
2 6. .,
3 (3 ) 3 (3 )
Csen senk
sen sen
(5.66)
Si el círculo está inscrito en el hexágono =60◦ (ver punto B de la figura 5.7),
resulta:
2 6. .,
3 (3 ) 3 (3 )
Csen senk
sen sen
(5.67)
Roberto Ucar Navarro
104
Superficie de falla en el espacio de los esfuerzos principales correspondiente al
criterio criterio de Drucker –Prager
Figura 5.6
Roberto Ucar Navarro
105
Figura 5.7
Roberto Ucar Navarro
106
Criterio Original de Hoek y Brown
Como previamente se ha mencionado, este criterio es muy utilizado en el campo
de de la ingeniería de rocas conjuntamente con el índice de resistencia geológica
GSI y la resistencia a la compresión simple de la roca intacta σc.
Por otra parte, con el objeto de expresar dicho criterio en función de las invariantes,
es beneficioso expresar la ecuación 4.3 en la forma siguiente:
2
3 31 2c m s
c c c
(5.68)
Reemplazando (5.32) en la ecuación anterior resulta:
1 1
1
22 2 22 2cos cos
3 3 33 3 2 22 cos3 33
0
J JI I
Jm I
c cs
(5.69)
2 12
2cos 3
cos2 2 24 22 cos
3 33 30
senJJ m I
ccs
(5.70)
Obteniéndose finalmente,
2 12
24 22 2 cos3 33
03
JJ m Isen
ccs
(5.71)
Roberto Ucar Navarro
107
6. AVANCES EN LAS TEORÍAS DE RESISTENCIAS DE MATERIALES
CONSIDERANDO DIFERENTES ESTADOS DETENSIONES.
Como lo menciona Yu [5], en los últimos 100 años desde que la bien conocida
teoría de Mohr-Coulomb fue establecida en el año 1900, una considerable cantidad
de investigación teórica y experimental se ha llevado a cabo para determinar la
resistencia de materiales sometidos a diferentes estados de esfuerzos.
Mohr usando su círculo de esfuerzos, el cual lleva su nombre desarrolló su teoría
de resistencia, la cual es muy utilizada para determinar la resistencia de los suelos
en función de las presiones efectivas.
Cabe destacar qua a sus treinta y dos años al ser reconocido como un destacado
ingeniero, fue invitado como profesor en la Universidad de Stuttgart donde a
través de sus clases magistrales de ingeniería mecánica, sembró la semilla y el
interés en sus estudiantes, logrando que algunos de ellos se destacaran como
investigadores en el campo de la resistencia de materiales.
Sin embargo, es oportuno señalar que Parry [34], en la nota histórica de su libro
“Mohr Circles, Stress Paths and Geotechnics”, indica que si bien el círculo de
esfuerzos es atribuido a Mohr, quien fue el pionero en representar gráficamente los
esfuerzos fue Karl Kulmann cuyo aporte en la teoría de estructuras de puentes,
diseño de armaduras, su libro de estática gráfica, presiones sobre muros y obras
subterráneas contribuyó en forma relevante en el desarrollo de la ingeniería para su
época.
Por otro lado, Mohr se destacó por sus estudios de las tensiones en dos y tres
dimensiones, en el desarrollo de su criterio de rotura aplicando el círculo de
esfuerzos, conocido como representación o diagrama de Mohr.
Roberto Ucar Navarro
108
Esta representación plana de los esfuerzos se extendió rápidamente, facilitando los
cálculos ya que el elipsoide de Lamé da un análisis o interpretación de los
esfuerzos, la cual no es práctica por extenderse en tres dimensiones.
Yu [5], autor del excelente libro “Unified Strength Theory and Its Applications”,
junto con su artículo “Advances in strength theories for materials under complex
stress state in the 20th Century”, [53] y “A unified strength criterion for rock”, Yu
et al [54] divide su investigación en tres grupos de teorías de resistencia,
considerando la tensiones cortantes principales y los esfuerzos normales actuando
sobre los planos donde se generan las referidas tensiones cortantes.
Las tensiones tangenciales y normales están representadas por las ecuaciones:
1
2 i jij
, 1, 2,3i j (6.1)
1
2 i jij
En forma sucinta, utilizando la nomenclatura de Yu [5, 53] * , y Yu et al [54] se
indican algunos de los criterios más importantes descritos por el referido
investigador.
* Dicho autor al igual que en la teoría de la elasticidad establece que los esfuerzos de tracción son
positivos. Por ejemplo, en el criterio de Mohr Coulomb : 1 3 t
Se observa que al considerar σ3=0 , σ1=σt .Cuando σ1=0 , σ3=-σc (compresión es negativo)
Como se sabe en mecánica de rocas y de suelos se utiliza la notación en la cual las tensiones de
compresión son positivas. La razón se debe a que la mayoría de las tensiones actuando en la corteza
terrestre son compresionales.
Roberto Ucar Navarro
109
6.1 Teoría Cortante Simple o Criterio de Límite Inferior (Single Strength Theory -
SSS -Lower Bound Criterion)
1) En el caso del criterio de rotura de Mohr-Coulomb Yu [5, 53, 54] lo expresa
como sigue:
13 13F C (6.2)
Que equivale a escribir,
1 3 tF (6.3)
σc y σt, corresponden a la resistencia a compresión sin confinar y a tracción
unidimensional respectivamente, siendo α = σt/ σc.
2) Criterio de Tresca
13 Cf (6.4)
6.2 Teoría de la Resistencia Cortante Octaédrica, o Criterio de Curvas Intermedias
(Octahedral-Shear Strength theory –OSS Theory- Intermediate Curves Criteria)
Matemáticamente puede escribirse como sigue:
8 8 8 8( , ) ( )F C f (6.5)
8 8,oct oct (6.6)
Siendo,
2 2 2
1 2 2 3 3 1 281 2
3 3oct J (6.7)
2 2 2
2 1 2 2 3 3 1
1
6J (6.8)
81
1 2 33 moct (6.9)
Roberto Ucar Navarro
110
3) Criterio de von Mises (un parámetro)
8 2,f C es decir J C (6.10)
C = parámetro a determinar
4) Drucker-Prager (dos parámetros)
8 8.F C (6.11)
β y C = parámetros a determinar
6.2.1 Teoría de la resistencia cortante octaédrica con múltiples parámetros
2 288 8
1 0F A B C
También esta última ecuación puede expresarse en la forma,
28 8 8F A b a C
(6.13)
6.3 Teoría de Resistencia al Corte Doble, o Criterio de límite Superior (Twin-
Shear Strength Theory-TSS- Upper Bound Criterion)
Estas teorías de resistencia, considera la tensión cortante máxima 13 , los esfuerzos
cortantes principales intermedios 12 o 23 y la influencia de los esfuerzos normales
σ13 y σ12 o σ23 .Matemáticamente se expresa como sigue:
13 12 13 12, , ,F C (6.14)
Yu [55], ha propuesto el siguiente criterio considerando dos parámetros.
13 12 13 12F C (6.15)
Cuando,
12 12 23 23 (6.16)
Roberto Ucar Navarro
111
Por otra parte,
13 23 13 22F C (6.17)
Cuando,
12 12 23 23 (6.18)
En función de los esfuerzos principales las referidas ecuaciones pueden expresarse
como sigue:
1 2 32 tF (6.19)
Cuando,
1 32 1
(6.20)
1 2 31
2' tF (6.21)
Cuando,
1 32 1
(6.22)
6.4 Teoría de resistencia Unificada de Yu
La teoría de resistencia unificada propuesta por Yu [5, 53, 54], presenta las
siguientes características;
a) Tiene la habilidad de reflejar el comportamiento de la roca para diferentes
resistencias a tracción, compresión, presión litostática, y el efecto del esfuerzo
principal intermedio.
b) Representa un modelo matemáticamente simple y unificado
Roberto Ucar Navarro
112
c) Es fácil de aplicar en modelos analíticos y numéricos. Igualmente es aplicable en
el campo de la plasticidad y puede expresarse en términos de la invariante de
esfuerzos.
El modelo matemático puede expresarse como sigue:
13 12 13 12F b b C (6.23)
Cuando se cumple que,
12 12 23 23 (6.24)
Por otra parte,
13 23 13 23'F b b C (6.25)
Debiendo satisfacer la condición,
12 12 23 23 (6.26)
En función de los esfuerzos principales σ1, σ2 y σ3 , resulta:
1 2 31 tF bb
(6.27)
Debiéndose cumplir (6.20), es decir: 1 3
2 1
(6.28)
Por otra parte,
1 2 3'1 tF b
b
(6.29)
Debiendo satisfacer (6.22).
La teoría de resistencia unificada, se reduce a la teoría cortante simple, por ejemplo
en el caso de Mohr-Coulomb cundo b=0, y al criterio cortante doble cuando b =1.
En general, se obtiene un amplio rango para valores de 0 ≤ b ≤ 1, siendo además
versátil en reflejar el efecto del esfuerzo principal menor σ2.
Roberto Ucar Navarro
113
De acuerdo a Yu et al [54] en la mayoría de las rocas el parámetro (b) se
encuentra entre 0,5 y 1. A la vez recomiendan emplear el criterio unificado con
b=0,5, reemplazando el criterio de Mohr-Coulomb (Teoría Cortante Simple) a
través de de las ecuaciones siguientes:
1 2 323 tF , cuando
1 32 1
(6.30)
1 2 3
1' 2
3 tF , cuando 1 3
2 1
Para un caso mas general, el parámetro (b) pude inicialmente ser obtenido en
función de la resistencia a la tracción, compresión y al corte o de la roca.
0
0
1 t
t
b
(6.31)
6.4.1 Breve discusión de los criterios no lineales según Yu et al [54]
Yu y sus colaboradores dividen en tres grupos los criterios no lineales de rotura en
rocas.
El esfuerzo principal mayor σ1 es función del esfuerzo principal menor σ3
Murrell, 1965
1 3b
c a (6.32)
Bieniawski, 1974, Yudhbir, 1983
Roberto Ucar Navarro
114
31 1c c
b
(6.33)
Cabe destacar que Ucar [55] determinó la envolvente de rotura considerando el la
relación indicada en (6.33), para el caso particular que α =0,75, valor recomendado
por Bieniawski [56]. En el apéndice (A) se determina analíticamente la referida
curva de resistencia intrínseca.
Balmer, 1952, Sheorey et al, 1989
31 1c
t
b
(6.34)
Mogi
13a b c
(6.35)
En el segunda agrupación el esfuerzo cortante principal 13=(σ1- σ3)/2 es una
función del esfuerzo principal menor σ3 .
Hobbs, 1964
1 3 3cba (6.36)
Ramamurthy et al, 1985
1 3 3c
ct
b
a
(6.37)
Hoek y Brown, 1980
1/ 2
31 3 c
c
m s
(6.38)
Yoshida, 1990
Roberto Ucar Navarro
115
31 3 c
c
b
a s
(6.39)
Finalmente en el tercer grupo el esfuerzo cortante principal 13=(σ1-σ3)/2 es una
función de la tensión normal σ13=(σ1+σ3)/2
Franklin, 1971
1 3 1 3
ba (6.40)
Fairhurst, 1964
2
1 3 1 3a b (6.41)
En las ecuaciones indicadas en esta sección a, b, c, α, m y s, corresponden a
parámetros de la roca determinados mediante ajuste de la curva a través de
ensayos de compresión, tracción y triaxiales.
Criterio de Rotura No Lineal Unificado de acuerdo a Yu et al [54]
El criterio de rotura no lineal unificado propuesto por Yu y sus colaboradores pude
expresarse como sigue:
13 12 13 23 13 12 23, , , , , mF f (6.42)
Siendo el criterio de rotura,
1 2 3
2
22 31
1
1 cm c b
bsF b
b
(6.43)
Si F ≥ F’
1 2 3 3
2
21'
1 c csF b mb
(6.44)
Si F’ ≥ F
Roberto Ucar Navarro
116
σc, es la resistencia de la roca intacta a compresión simple.
m y s son parámetros del criterio de rotura de Hoek y Brown previamente
definidos. Por otra parte el valor de α de acuerdo a la ecuación (4.6) es:
1/ 2214
2t
c
m m s
(6.45)
Los valores de m y s se determinan a través de las tablas (4.4) y (4.5), y empleando
la ecuación (4.17)
Al considerar el criterio de resistencia al corte doble (Twin –Shear Strength
Theory-TSS), con el parámetro b=1, resulta;
1 2 3 3 221
( ) / 2 02 c cF m s (6.46)
Si F ≥ F’
1 2 3 321
' 02 c cF m s (6.47)
Si F’ ≥ F
En general, el criterio de resistencia unificado para el caso no lineal según Yu y sus
colaboradores está representado por las ecuaciones:
1 2 3 2 31
1
1 c
nm
bb c
sF bb
(6.48)
Si F ≥ F’
1 2 3 3 3 01
'1
nm
csF b
b
(6.49)
Si F’ ≥ F
Roberto Ucar Navarro
117
Teniendo en cuenta que el ángulo de similitud o de Lode es:
023 2 2
13 12 1 2 3
3 3arctan , 0 60
2
(6.50)
Al utilizar la ecuación (5.32), dicho criterio unificado en función de las invariantes
características I1 y J2, puede expresarse como sigue:
Si F ≥ F’
2
22
2 12
0
4
3 31
2 2 2cos cos
3 3 33 1c c
c
F sen b sen Jb
m mb J I s
b
(6.51)
Si F’ ≥ F
2
22
2 12
0
4
3 31
2 2cos
3 33c c
c
F sen b sen Jb
m mJ I s
(6.52)
Si en la ecuación (6.51), se particulariza para b=0, es decir no se tiene en cuenta el
esfuerzo principal intermedio σ2 ,se obtiene el criterio empírico original de Hoek
Brown.
22 2
1
2
0
3 2cos
3 6 3
12 4
c
c c
mF sen J J
smI
(6.53)
Cabe destacar que la ecuación (6.53) es exactamente igual a la ecuación (5.71)
previamente obtenida al utilizar en criterio de Hoek y Brown.
Roberto Ucar Navarro
118
7. DESARROLLO ANALÍTICO DEL NUEVO CRITERIO DE ROTURA
El criterio bidimensional propuesto en esta investigación que relaciona los
esfuerzos principales 1 y 3 en el instante de la rotura está representado por la
ecuación:
1/ 2
1 1 3 3t tK K (7.1)
Siendo K y K1 contantes del material a determinar y σt la resistencia a tracción.
En el caso del ensayo de compresión sin confinar, se sabe que:
3 =0 y por lo tanto 1 c , transformándose la ecuación (7.1) como sigue:
1/ 2
1 t tc K K (7.2)
Cabe destacar que los signos convencionales utilizados en este trabajo son:
Esfuerzo de compresión positivo y de tracción negativo.
Al despejar el valor de K1 en (7.2), se obtiene:
1/ 2
1t
t
cKK
(7.3)
Dividiendo ambos lados de la ecuación (7.1) por σc resulta:
1/ 2
3 311
t t
c c cc
KK
(7.4)
Como previamente se ha mencionado,
t
c
(7.5)
Si además, se tiene en cuenta que:
Roberto Ucar Navarro
119
2c
KK
(7.6)
La ecuación (7.4) se trnasforma,
1/ 2
3 311 2
c c cK K
(7.7)
Al aplicar nuevamente las condiciones de borde correspondientes al ensayo de
compresión simple, se obtiene que: 3 = 0 y 1 c .Adicionalmente debe
cumplirse considerando (7.7) la siguiente expresión:
1/ 2
1 21 K K (7.8)
Como ejemplo de aplicación Torres [21] , en su trabajo de investigación realizado
en un total de 55 probetas de concreto de 5,00cm de diámetro y 10,00 cm de altura,
a través de ensayos de compresión simple, tracción indirecta y compresión triaxial
(σ2= σ3) llevados a cabo en el Laboratorio de Materiales y Ensayos de la Facultad
de Ingeniería de la Universidad de Los Andes, determinó los siguiente parámetros:
2 2
1 233, 00 3, 50 0, 712 2, 839/ ,/ , MN m K y KMN mc t
2
2
35,00 /0,107
330,00 /t
c
MN m
MN m
Al utilizar (7.8), resulta:
1/ 20,712 0,107 2,839 0,107 1,0048 1
Es decir, cumple con dicha condición.
Por otra parte, para simplificar cálculos posteriores es conveniente expresar la
ecuación (7.7) en forma adimensional:
Roberto Ucar Navarro
120
1/ 2
1 23 31 K K (7.9)
Siendo,
311 3
c cy
(7.10)
7.1 Determinación de la envolvente de rotura
Primeramente, es necesario determinar la pendiente de la curva que relaciona al
esfuerzo σ1 =f(σ3). Por lo tanto al derivar la ecuación (7.7) el valor de la
pendiente 1 1
3 3
es:
1
3 3
21
2
KK
(7.11)
Utilizando (2.36), y considerando que:
tan' d
d
(7.12)
Se obtiene la siguiente expresión:
21
1' 1 2 tan 2 tan .sec3
(7.13)
Mediante transformaciones trigonométricas (7.13) se reduce finalmente en la
expresión siguiente:
2
11
3
1tan
1 4 2' sen
sen
(7.14)
Igualando (7.11 y (7.14) , resulta:
Roberto Ucar Navarro
121
2 2
3
21tan tan
4 2 2
KK
(7.15)
Al despejar 3 se obtiene:
22
3
2 2
32 2
1 1
14
tan tan4 2 4 2
K K
K K
(7.16)
Siendo,
22
3 2
KK
(7.17)
Por otra parte, la ecuación (2.8) expresada adimensionalmente toma la forma:
1/ 2
13
3
n
(7.18)
Al igual que lo indicado a través de (7.8), todas las tensiones o esfuerzos se han
expresado en forma adimensional al dividirse por la resistencia a compresión
simple de la roca intacta σc.
nn
c cy
(7.19)
Por simplicidad en términos de (x, y) , la ecuación (7.18) se transforma:
1/ 2
13
3
y x
(7.20)
Roberto Ucar Navarro
122
Es decir:
, ny x (7.21)
A través de (7.14) se sabe que:
1/ 2
1
3
tan 452
por lo tanto,
tan 453 2xy
(7.22)
La cual puede expresarse también,
3tan 452
y x
(7.23)
Al despejar 3 resulta,
3 tan 452
x y
(7.24)
Que equivale a escribir,
3 tan 452
x y
(7.25)
Reemplazando el valor de 3 indicado a través de la ecuación (7.16) en
(7.245) , se obtiene que:
2
32
1
tan 452
tan4 2
Kx y
K
(7.26)
Al despejar y = (τα /σc ) = queda:
Roberto Ucar Navarro
123
2
3
2
1
tan 452
tan 452
tan4 2
Ky x
K
(7.27)
Llamando a X = (x-ξ), la ecuación anterior se transforma finalmente.
2
3
2
1
tan 452
tan 452
tan4 2
Ky X
K
(7.28)
Por otra parte, al derivar la ecuación anterior se obtiene la pendiente de la
envolvente, es decir;
2
1 24
2
3
s e c4 2
ta n ta n4 2 2
ta n4 2
d y dX
d X d X
f f dK
d X
(7.29)
Siendo las funciones,
2
2 21 1
1sec tan
2 4 2 4 2f K
(7.30)
2 22 1tan 2 tan tan sec
4 2 4 2 4 2 4 2f K
(7.31)
Roberto Ucar Navarro
124
Luego de realizar simplificaciones se obtiene:
2332 tan tan cos ( )
4 2 4 2
d dX K f
dX dX
(7.32)
2
2
1
1
3 3
3 tan4 2
( )
tan4 2
Kf
K
(7.33)
A través se transformaciones trigonométricas la fórmula anterior queda:
2
3
2
1
3
1
3 tan4 2
tan4 2
tan4 2
Kd d
X KdX dX
K
(7.34)
Adicionalmente, al expresar esta última ecuación en términos de dX
d
, resulta:
21
21
33
3 tan4 2
tan 04 2
tan4 2
KdX dX
X Kd d
K
(7.35)
El próximo paso es resolver la ecuación diferencial lineal de primer orden, que es
de primer grado en la variable dependiente y a su derivada. La cual en forma
compacta toma la forma,
( ) 0dX
P X Qd
(7.36)
Roberto Ucar Navarro
125
Siendo por lo tanto,
21
21
33
( ) tan4 2
3tan4 2
( )
tan4 2
P
KQ K
K
(7.37)
La solución de la ecuación diferencial lineal es según [57] y [58]:
( )( )4 ( )
P dP dX e K e Q d
(7.38)
Siendo K4 una constante de integración a determinase posteriormente en función
de las condiciones de borde. Aplicando (7.38) se obtiene,
21
21
4 3 3
cos cos1 1
3tan4 2
tan4 2
tan4 2
d dse se
KX e K K e d
K
(7.39)
21
21
34 3
3 tan4 2
1 tan1 4 2
tan4 2
KK
X sen K dsen
K
(7.40)
Roberto Ucar Navarro
126
Al considerar que,
2cos 1
tan tan4 2 1 4 2 1
seny
sen sen
, la solución de la integral
se simplifica, obteniéndose finalmente,
1 12
1 11 1
43
21 1
4 (3 )1
1 11 1
K
K
K KX sen K
K K senK K sen
(7.41)
Teniendo en cuenta que X=(x-ξ) y K3 = (K2/2)2, resulta:
1 1 1 1
2
1 1
4
22
2 1 1
4 (3 ) 1 11
1 1
K
K
K K K K senx sen K
K K sen
(7.42)
Con las ecuaciones (7.28) y (7.42) se tiene el par de ecuaciones requeridas
representadas paramétricamente a través del ángulo β que forma la tangente a la
envolvente de falla, conocida también como curva de resistencia intrínseca.
Igualmente, se observa que tanto el esfuerzo cortante τα como el normal σn
están expresados en forma adimensional, es decir: y = (τα /σc ), x = (σn /σc).
Por lo tanto, si se conoce la tensión normal σn a través de la ecuación (7.40) se
determina β y posteriormente τα empleando (7.28).
En estas condiciones para cada intervalo de esfuerzos (σn , τα ), habrá un ángulo β,
o ángulo de fricción interna instantáneo φi
Roberto Ucar Navarro
127
7.2 Cálculo de la constante de integración K4 – Un ejemplo de aplicación
Para efectos prácticos se ha considerado el siguiente ejemplo.
Parámetros de la roca intacta obtenidos a través de pruebas de laboratorio y
utilizando la técnica de mínimos cuadrados:
K1 =2 y K2 =3,50, σc =32,00 MPa y σt = -2,00 MPa, 1
16t
c
Al aplicar (7.7) se tiene la siguiente relación entre los esfuerzos principales;
1/ 2
3 311 2
c c cK K
1/ 21 13 31 2 3, 5
16 16c c c
Por otra parte, cuando 3 =0 (ensayo de compresión sin confinar) 1 c ,
debiéndose cumplir de acuerdo a (7.8) que:
1/ 2
1 21 K K
1/ 21 1
1 2 3,516 16
A través de (7.11), la pendiente de la curva que relaciona σ1 con σ3 es:
21
3 33
21
3,5tan 2
4 2 12 216
KK
Para facilitar los cálculos, se determinará primeramente la pendiente para el caso
particular de un ensayo de compresión simple, en el cual 3 =0.
Roberto Ucar Navarro
128
3, 52tan 2 94 2 1
216
Por otra parte, se sabe que el ángulo (α) que forma el plano de falla con el
esfuerzo principal menor es,
71, 564 2
(7.43)
Siendo por lo tanto β = 53,13
Al considerar la ecuación (2.6) expresada forma adimensional se determina la
relación (σn / σc), y el esfuerzo normal σn actuando sobre el plano de rotura de
inclinación (α) con la horizontal.
Para el ensayo de compresión simple se sabe que:
σ3/ σc = 0, y σ1 / σc =1, obteniéndose:
31
3
1
3
11/10
1 91
c cn
c c
Por lo tanto, el esfuerzo normal como una fracción de σc es,
13, 20
10MPan c
Igualmente, la tensión normal puede obtenerse a través de la conocida ecuación:
2 2 231 171, 56
10cos 1 cosn
nc c c
x sen
Reemplazando dicho valor en (7.42) se determina la constante de integración K4.
Roberto Ucar Navarro
129
24
53,1353,13
53,13
3,06259
8 (3 2) 1 2 1 21 11
10 16 1 2 1 2
sensen K
sen
K4 = - 0,81944
A través de (7.23), el esfuerzo cortante para la condición en la cual 33 0
c
es,
3 71, 561 3
45 tan10 102
39, 60
10
tanc
MPac
y x
Igual valor se obtiene a través de la ecuación,
31 3143,12
10
12 1
2c c c
sen sen
Resumiendo, a continuación se indican los valores de obtenidos a través del
ensayo de compresión sin confinar (σ3 =0) son los siguientes:
,71, 56 53,13
1 3, ,
10 10
32, 00 , (3, 20 , 9, 60)
12, 00
16
4 2
t
n
c c
MPa nc
tMPac
Véase figura (2.1)
Roberto Ucar Navarro
130
En definitiva, la envolvente de rotura indicada en (7.27) puede construirse
partiendo de la ecuación (7.42) considerando inicialmente diferentes valores de
n
c
, por ejemplo:
0, 0,05 , 0,10, 0,20, 0,30, 0,40, 0,50.........n
c
.
Luego para cada valor de x = (σn /σc) se determina el correspondiente ángulo β
y seguidamente y = (τα /σc ), a través de la referida ecuación (7.27)
Continuando con el problema, se determinará un segundo punto de la envolvente
considerando el caso particular que σ3/ σc = 0,10.
Por lo tanto, para esta presión de confinamiento, la rotura ocurrirá cunado σ1/ σc
alcance el siguiente valor.
1/ 2
3 311 2
c c cK K
σ1 = 55,55 MPa
1/ 2
1 1 12 0,1 3, 5 0,1 1, 736
16 16c
.
La inclinación de la tangente a la envolvente de falla β y el ángulo que forma el
plano de rotura α con el esfuerzo principal menor en el intervalo (σ3/ σc, σ1/σc),
representado por los valores (0,10, 1,736) son los siguientes:
Roberto Ucar Navarro
131
21
3 3
21
3,5tan 2 6,34
4 2 12 2 0,1016
KK
β = 46,68 ◦ y α = (π/4+ β/2) = 68,34◦
Al utilizar la ecuación (7.42) y (7.22), el valor de (σn /σc) y (τα /σc), es
respectivamente:
2
7 3 46, 681 3,06251 46, 68 0, 81944
916 1 3 46, 68
n
c
sensen
sen
10, 323
3n
c
2 2 2 231 11, 736 68, 34 68, 34 0, 323
10cos cosn
nc c c
sen sen
10,34n MPa
68, 3413 45 0, 323
2 10
0, 562 17, 98 18, 00 . De igual forma se obtiene :
tan tann
c c c
MPac
31 11, 736 0,10 136, 48 0, 563
2
12
2c c c
sen sen
Resumiendo, para (σ3/ σc =1/10) (σ1/ σc = 1,736), los valores son:
Roberto Ucar Navarro
132
,
0, 323 0, 562
10, 34 , 17, 98
68, 34 48, 64
, ,
32, 00 , ( )
12, 00
16
4 2
t
n
c c
MPa MPanc
tMPac
Véase figura (2.1)
7.3 Representación del criterio de rotura en función de las invariantes I1, J2 y
Teniendo en cuenta la ecuación (7.7), es posible transformarla como a
continuación se indica:
23 311 2
2
c c cK K
(7.44)
2 31 1 3 1 2
21
c cK K K
(7.45)
Reemplazando 5.32 en la ecuación anterior resulta:
1 1
2
2222
1 12 2
12
1 2 2 2cos cos( )
3 3 33 3
2 2cos( ) 0
3 33
c
c
I IJ K J K
IKJ K
(7.46)
A través de simplificaciones queda,
Roberto Ucar Navarro
133
1 11 1 1
2
2
2222
12
211 cos
3 3
2 2cos( ) 0
3 33
c
c
I KK J k sen K
IKJ K
(7.47)
7.4 Cálculo de las constantes K1 y K2 y K4 (constante de integración)
Los valores de K1 y K2 indicados en (7.7) pueden obtenerse con buena
aproximación conociendo ξ=σc/σt conjuntamente con las ecuaciones obtenidas
aplicando las siguientes condiciones:
1) Para el caso particular del ensayo de compresión simple, se sabe que;
3 = 0, y 1 c ,
Debiéndose por lo tanto cumplir a través de la ecuación (7.7) :
1/ 2
1 21 K K (7.48)
2) La pendiente de la curva que relaciona 1 3f , es de acuerdo a (7.11) :
21
3 3
21tan
2
KK
(7.49)
Por otra parte, al emplear (7.18), es posible escribir:
1/ 2
13 1 3
3
12
2n sen
(7.50)
Siendo además,
Roberto Ucar Navarro
134
1 31 3y , ,n
nc c c c
(7.51)
Continuando con el ensayo de compresión simple, se conoce que:
1 31 3y 1 0
c c
Por lo tanto, (7.50) se transforma:
203
1 1 2 tantan 2
2 2 1 tann sen
(7.52)
En estas condiciones, al reemplazar el valor de tan2α indicado en (7.49), se obtiene
la siguiente expresión:
03
21 112
KKn
(7.53)
3) A través de (2.12) y (2.13) se determina la pendiente a la envolvente de rotura,
definida por la ecuación;
1
3
1/ 2
1
3
1'tan
2
d
d
(7.54)
Roberto Ucar Navarro
135
Por otra parte de acuerdo a la figura (2.1) la relación entre el ángulo de rotura α y
el ángulo de inclinación β que forma la tangente a la envolvente o curva de
resistencia intrínseca es: 2α = (π/2+β)
Mediante transformaciones trigonométricas se obtiene que:
21 tan 1tan
2 tan
(7.55)
Por lo tanto, (7.54) se transforma:
212
21
121 tan 1
2 tan2
2
KK
KK
(7.56)
El próximo paso a seguir, es determinar el valor de 03
n
Al aplicar (4.79), y considerando que,
1 31 3y resu lta :1 0 ,
c c
2 2 2
3 2103
1cos cos
1 tann
cn sen
(7.57)
Por lo tanto,
03
1 1tan 1 1
/n c n
(7.58)
Sustituyendo esta última ecuación en (7.49), se obtiene:
Roberto Ucar Navarro
136
3
3 3
21
0
210 0
11 2 2
12
n
n n
KK
KK
(7.59)
4) Otro valor de importancia es determinar el ángulo β para la condición en la cual:
33 0
c
A través de (7.14) la pendiente de 1 3f es: 1
3
1
1'1
sen
sen
Por lo tanto, al despejar senβ, y empleando (7.49) resulta:
2
1
203
2 21 1
1 tan1
2
senK
K
(7.60)
5) La última ecuación a emplear es la (7.42) la cual relaciona (σn /σc) y el ángulo
de fricción instantánea β=i , para la condición 33 0
c
.
En estas condiciones es posible calcular la constante de integración K4
Roberto Ucar Navarro
137
1 1 1 1
2
1 1
00 33
034
03
22
2 1 1
1
4 (3 ) 1 1
1 1
n
K
K
sen
K K K K senK
K K sen
(7.61)
De acuerdo a las ecuaciones obtenidas se tienen cinco ecuaciones con cinco
incógnitas. Como previamente se ha señalado la solución del sistema de ecuaciones
no lineales (7.48), (7.53), (7.59), (7,60) y (7.61) se ha llevado a cabo a través del
programa EES (Engineering Equation Solver), tal como se podrá apreciar en las
páginas siguientes.
Las cinco incógnitas a determinar son:
K1, K2, K4, y [senβ, (σn /σc)].Las dos últimas indicadas corresponden a la
condición en la cual el esfuerzo σ3 =0
En caso que se requiera, pueden agregarse dos fórmulas adicionales al sistema de
ecuaciones no lineales para la condición en la cual σn=0.
Considerando dicha condición y llamando a = 1, la ecuación 7.42 se transforma:
1
1 1 1 1 1
2
1 1 1
0
0
4
0
22
2 1 1
1
4 (3 ) 1 1
1 1
n
n
K n
K
sen
K K K K senK
K K sen
(7.62)
Roberto Ucar Navarro
138
La otra ecuación se obtiene al utilizar nuevamente (4.79) y considerando que
σn=0. Por lo tanto,
2 231 cos 0n
n
c
sen
(7.63)
Resultando,
231 tan (7.64)
A través de (2.10) se conoce que: = (/4 + /2)
Reemplazando el valor de en (7.64) y llamando a = 1, se obtiene:
2 131 tan
4 2
(7.65)
Al substituir esta última ecuación en (7.7), queda finalmente para esta condición
en particular:
1/ 2
2 13 1 3 2 3
0 0 0tan 0
4 2n n nK K
(7.66)
Es de hacer notar que 1 es el ángulo que forma la tangente a la envolvente de
rotura en el punto correspondiente a la ordenada en el origen.
7.5 Determinación de las constantes a través del programa EES
En la sección 7.2 se determinaron los valores de las tensiones normales y
tangenciales para el caso de una roca intacta con los siguientes parámetros;
K1 =2 y K2 =3,50, σc =32,00 MPa y σt = -2,00 MPa, 1
16t
c
Las constantes K1 y K2, se obtuvieron mediante el ajuste de curva aplicando la
técnica de mínimos cuadrados tomando como datos los ensayos de compresión
simple, tracción indirecta y las pruebas triaxiales a través de los núcleos de rocas.
Roberto Ucar Navarro
139
Empleando el programa matemático EES (Engineering Equation Solver) asistido
por el ordenador se han determinado las constantes K1 y K2 que vinculan a los
esfuerzos principales σ1 y σ3. El referido programa numérico ha sido desarrollado
por Apple Macintosh y opera en sistema Windows. Está diseñado para resolver
sistemas de ecuaciones no lineales, ecuaciones diferenciales, problemas de
variables complejas e integración numérica.También minimiza y maximiza
funciones, así como lo referente al ajuste de curvas entre otras importantes
aplicaciones. Aplicando dicho programa con las cinco ecuaciones arriba indicadas
y considerando únicamente la relación entre resistencia a la tracción y a la
compresión, es decir xi = ξ= σt/ σc=-1/16, se han obtenido los mismos valores
K1 y K2, a través del programa EES cuya solución se anexa a continuación.
Roberto Ucar Navarro
140
Roberto Ucar Navarro
141
7.6 Comparación de resultados aplicando diferentes criterios de rotura a través de
los estudios experimentales realizados por Torres [21]
En esta sección, se han utilizado los valores de resistencia obtenidos por Torres
[21] en 350 probetas de concreto, 55 de ellas correspondientes a las pruebas
triaxiales (σ2=σ3), en muestras cilíndricas de 5,00cm de diámetro y 10,00cm de
altura, las restantes probetas se fabricaron variando la relación ancho/altura y
tamaño.
Adicionalmente, Torres [21] llevó a cabo pruebas de resistencia a la compresión
simple en probetas tomadas como referencia en cilindros con relación altura /ancho
de 2;1 , de diámetro =15,00cm y altura H=30,00cm. La resistencia media de los
treintas cilindros ensayados resultó ser de f ’c = 268,79 kgf/cm2, con una
desviación estándar σ f ’c =9,608 kgf/cm2.
En la tablas (7.1) y (7.2) se anexan los valores promedios para los diferentes
rangos de presiones (σ3, σ1) y se comparan con los resultados del criterio de rotura
propuesto en esta investigación, conjuntamente con el de Hoek y Brown, Murrell-
Bieniaswki y Mohr-Coulomb.
A continuación se indican las diferentes ecuaciones cuyas constantes se han
obtenido mediante el ajuste de curvas aplicando la técnica de mínimos cuadrados y
con la ayuda de la hoja de cálculo Excel
Roberto Ucar Navarro
142
Criterio de Ucar
1/ 2
3 311' ' '2
c c c
K Kf f f
Constantes obtenidas: 1 20, 712 , 2, 839K K
Criterio original de Hoek y Brown
Constantes obtenidas: 7, 037 , 1m s
1/ 2
3 31' ' '
c c c
m sf f f
Criterio de Murrell y modificado por Bieniawski (K=075)
Constante obtenida: 2, 67A
31' '
0,75
1c c
Af f
Criterio lineal
Constante obtenida: 3,14k
31' '1
c c
kf f
Tabla 7.1
Roberto Ucar Navarro
143
Curva Curva Curva Curva Valores en kgf/cm2
Ajuste Ucar Ajuste H&B Ajuste M&B Ajuste Lineal
f'c(kgf/cm2) σ3 σ1 σ3/ f'c σ1/ f'c (σ1/ f'c)Ucar (σ1/ f'c)HB (σ1/ f'c)MB (σ1/ f'c)Lineal
330.00 -35.00 0.00 -0.10606061 0 0 0.397577672 * 0.666969697
0.000 330.00 0 1 1.000090787 1 1 1
σt (kgf/cm2) 27.97 466.86 0.08475758 1.414727273 1.376015548 1.348260271 1.419416157 1.266138788
-35.00 38.46 538.95 0.11654545 1.633181818 1.497968271 1.465667526 1.532577441 1.36595272755.94 578.90 0.16951515 1.754242424 1.686551791 1.650352118 1.705371085 1.532277576
ξ 69.99 636.62 0.21209091 1.929151515 1.827859596 1.790851096 1.83445477 1.665965455-0.10606061 83.92 652.99 0.25430303 1.978757576 1.960838995 1.924491769 1.956147542 1.798511515
к1 97.90 696.74 0.29666667 2.111333333 2.088393839 2.053835792 2.073279478 1.931533333
0.712 111.89 746.12 0.33906061 2.260969697 2.211033429 2.179161007 2.186367557 2.064650303
к2 139.86 794.50 0.42381818 2.407575758 2.443860538 2.419415472 2.402477651 2.330789091
2.839 153.85 858.16 0.46621212 2.600484848 2.555125049 2.535205765 2.506429917 2.463906061167.83 863.62 0.50857576 2.617030303 2.663361537 2.648399957 2.607970224 2.596927879
m 174.83 870.90 0.52978788 2.639090909 2.716545792 2.70421132 2.658012401 2.6635339397.037 181.82 891.27 0.5509697 2.700818182 2.769025326 2.759402118 2.707485587 2.730044848
195.80 971.71 0.59333333 2.944575758 2.872217819 2.868258973 2.805033731 2.863066667
s 209.79 982.94 0.63572727 2.978606061 2.973301575 2.975302623 2.900922423 2.9961836361 223.78 1008.41 0.67812121 3.055787879 3.072386679 3.08060721 2.995224452 3.129300606
237.76 1030.47 0.72048485 3.122636364 3.169564304 3.184232376 3.087997145 3.262322424251.76 1088.86 0.76290909 3.299575758 3.265180892 3.286515889 3.179545069 3.395534545265.73 1107.72 0.80524242 3.356727273 3.359019418 3.387197292 3.269636186 3.528461212279.72 1135.73 0.84763636 3.441606061 3.451526108 3.486730354 3.358676859 3.661578182
*Este criterio no acepta tensiones normales en la rama negativa (esfuerzos de tracción ). Por lo tanto es una limitante
f'c = Resistencia a la compresion simple del concreto en kgf/cm2
σt = Resistencia a la tracción del concreto en kgf/cm2
ξ=σt /f 'c m, s = Parámetros del criterio de Hoek Y Brown
K1 = Constante
K2 = Constante
(σ1/ f'c)Ucar Valores de (σ1/ f'c) correspondientes al criterio de rotura de Ucar
(σ1/ f'c)HB Valores de( σ1/ f'c) correspondientes al criterio de rotura de Hoek y Brown
(σ1/ f'c)MB Valores de (σ1/f 'c) correspondientes al criterio de rotura de Murrell-Bieniawski
(σ1/ f'c)lineal Valores de (σ1/ f'c )correspondientes al criterio de rotura lineal
Comparación de los resultados entre los diferentres criterios de rotura y los valores de los ensayos de laboratorio
LEYENDA
Resultados de los ensayos de laboratorio
Valores adimensionales
3 311
1/ 2
2' ' 'c c c
K Kf f f
Roberto Ucar Navarro
144
Tabla 7.2
Curva Curva Curva Curva
Valores en kgf/cm Ajuste Ucar Ajuste H&B Ajuste MB Ajuste Lineal
f'c(kgf/cm2) σ3 σ1 σ3/ f'c σ1/ f'c (σ1)Ucar (σ1)HB (σ1)MB (σ1)Lineal
330.00 -35.00 0.00 -0.10606061 0 0 131.2006318 * 220.1
0.000 330.00 0 1 330.0299598 330 330 330
σt (kgf/cm2) 27.97 466.86 0.08475758 1.414727273 454.085131 444.9258894 468.4073317 417.8258
-35.00 38.46 538.95 0.11654545 1.633181818 494.3295293 483.6702836 505.7505555 450.764455.94 578.90 0.16951515 1.754242424 556.5620911 544.6161989 562.7724581 505.6516
ξ 69.99 636.62 0.21209091 1.929151515 603.1936666 590.9808616 605.3700741 549.7686
-0.106060606 83.92 652.99 0.25430303 1.978757576 647.0768683 635.0822839 645.5286888 593.5088
к1 97.90 696.74 0.29666667 2.111333333 689.1699667 677.7658112 684.1822277 637.406
0.712 111.89 746.12 0.33906061 2.260969697 729.6410316 719.1231322 721.5012939 681.3346
к2 139.86 794.50 0.42381818 2.407575758 806.4739774 798.4071058 792.8176249 769.1604
2.839 153.85 858.16 0.46621212 2.600484848 843.1912662 836.6179024 827.1218725 813.089167.83 863.25 0.50857576 2.615909091 878.9093073 873.9719859 860.630174 856.9862
m 174.83 870.90 0.52978788 2.639090909 896.4601113 892.3897357 877.1440925 878.96627.037 181.82 891.27 0.5509697 2.700818182 913.7783574 910.6026989 893.4702438 900.9148
195.80 971.71 0.59333333 2.944575758 947.8318802 946.5254611 925.6611312 944.812
s 209.79 982.94 0.63572727 2.978606061 981.1895197 981.8498655 957.3043997 988.7406
1 223.78 1008.41 0.67812121 3.055787879 1013.887604 1016.600379 988.4240692 1032.6692237.76 1030.47 0.72048485 3.122636364 1045.95622 1050.796684 1019.039058 1076.5664251.75 1088.86 0.76287879 3.299575758 1077.487347 1084.526301 1049.228446 1120.495265.73 1107.72 0.80524242 3.356727273 1108.476408 1117.775106 1078.979942 1164.3922279.72 1135.73 0.84763636 3.441606061 1139.003616 1150.621017 1108.363363 1208.3208
*Este criterio no acepta tensiones normales en la rama negativa (esfuerzos de tracción ). Por lo tanto es una limitante
f'c = Resistencia a la compresion simple del concreto en kgf/cm2
σt = Resistencia a la tracción del concreto en kgf/cm2
ξ=σt /f 'c m, s = Parámetros del criterio de Hoek Y Brown
K1 = Constante
K2 = Constante
(σ1)Ucar Valores de (σ1) correspondientes al criterio de rotura de Ucar
(σ1)HB Valores de( σ1) correspondientes al criterio de rotura de Hoek y Brown
(σ1)MB Valores de (σ1) correspondientes al criterio de rotura de Murrell- Bieniawski
(σ1)lineal Valores de (σ1 )correspondientes al criterio de rotura lineal
Comparación de los resultados entre los diferentres criterios de rotura y los valores de los ensayos de laboratorio
LEYENDA
Resultados de los ensayos de laboratorio
Valores adimensionales
VALORES DEL ESFUERZO PINCIPAL MAYOR σ1 en kgf/cm2
' 1/ 21 2 31 3
K K ft c t
Roberto Ucar Navarro
145
7.6.1 Comentarios relacionados con los resultados obtenidos
Criterio lineal
Como se sabe, al ser la relación entre los esfuerzos principales lineal, la resistencia
al corte es también lineal † obteniéndose la bien conocida envolvente de rotura de
Mohr-Coulomb, siendo por tanto:
2 1tan ( /4 /2)
1
senk
sen
(7.67)
231' '1 tan
4 2c cf f
. En estas condiciones al considerar el valor de
k=3,14, se obtiene que el ángulo de fricción interna del concreto es =31,12o.
Por otra parte, al aplicar el criterio de Mohr –Coulomb, se obtiene la expresión:
' 2 tan( / 4 / 2)cf C (7.68)
A través de esa última ecuación, el valor de la cohesión del concreto es:
Por otro lado, cabe señalar que Chen [11] en su libro de Plasticity in Reinforced
Concrete, indica valores de ≈37o y 2
2' 330,00 /
82,50 /4 4cf kgf cm
C kgf cm
Adicionalmente, a través de la figura (4.1), se observa que en la ecuación lineal
propuesta por Richart el parámetro k =4,10. Utilizando dicho valor se obtiene
un ángulo ≈37o , es decir coincide con las experiencias de Chen [11].
† En el apéndice A , se lleva a cabo el desarrollo analítico, en el cual se demuestra que la envolvente de rotura es lineal cuando la relación entre los esfuerzos principales también es lineal .
22
' 330,00 /93,11 / (9,13 )
2 tan( / 4 / 2) 2 3,14cf kgf cm
C kgf cm MPa
Roberto Ucar Navarro
146
En definitiva, se aprecia que en los parámetros obtenidos por Torres [21], el
ángulo de fricción interna es unos seis grados menor y la resistencia cohesiva es un
12% mayor. Sin embargo al aplicar el criterio original empírico de Hoek y Brown,
las constantes obtenidas son m =7 y s =1, las cuales coinciden con una roca
intacta del tipo caliza. Como se sabe esta roca es utilizada frecuentemente como
agregado en la elaboración de concretos, y por lo tanto dichos parámetros son
buenos indicadores de los resultados obtenidos.
Además, para llevar a cabo una comparación detallada de los parámetros de corte
C y del concreto, es necesario conocer en detalle , los ensayos granulométricos
de los agregados , el diseño de la mezcla, así como la elaboración de las probetas,
su normativa y otros factores que influyen en la resistencia del concreto.
En este sentido, cabe señalar las investigaciones realizadas por Aire [59] en su
tesis doctoral sobre el comportamiento del hormigón confinado sometido a
compresión.
Dicho investigador ensayó probetas cilíndricas de concreto de 150x300mm a
diferentes niveles de confinamiento (σ2=σ3) en dos casos específicos con
resistencias a la compresión uniaxial de 35,00 MPa y de 68,00MPa (concreto de
alta resistencia)
En la tabla 7. 3 se presentan los resultados de dicho investigador, indicándose los
parámetros de corte C y de su estudio experimental.
Finalmente, se observa que el concreto con resistencia f ’c =35MPa, tiene un
ángulo de fricción interna que coincide con el obtenido por Torres [21], pero la
cohesión es un 27% mayor. Por otra parte, de acuerdo a los estudios experimentales
realizados por Aire [59], se aprecia que el concreto de alta resistencia f ’c =68MPa
duplica la cohesión al compararse con el concreto de 35,00MPa, pero el ángulo de
Roberto Ucar Navarro
147
fricción interna disminuye en unos cinco grados con respecto al concreto de menor
resistencia. Cabe destacar que los parámetros de corte C =9,13 MPa =31,12o
obtenidos por Torres [21], para un concreto con resistencia f ’c=33MPa se
asemejan a los valores experimentales obtenidos por Aire [59] para el caso de un
concreto en el cual la resistencia f ’c=35MPa
Tabla 7.3 Parámetros del Criterio de Mohr-Coulomb, según Aire [59]
Parámetros de
resistencia
C (MPa)
Angulo de Fricción
tan
Coeficiente de Fricción
f ’c=35MPa 11,60 31,50 0,614
f ’c=68MPa 22,60 29,10 0,557
Criterio de Murrell y modificado por Bieniawski (K=075)
Este criterio propuesto por Murrell y luego modificado por Bieniawski no acepta
tensiones normales en la rama negativa (esfuerzos de tracción), tal como se pude
apreciar a través de la ecuación: 31' '
0,75
1c c
Af f
Es decir, el referido criterio está limitado para el caso de tensiones de tracción, y
por lo tanto se reduce su aplicación. Obsérvese que en las tablas 7.1 y 7.2 para el
caso de que σt =-35,00kgf/cm2 no se registra ningún valor, ya que todos los
valores de las tensiones deben ser de compresión
Por otra parte, si el exponente K=1, la relación entre los esfuerzos es lineal y la
constante A = tan2(π/4+/2). Para mayor detalle véase apéndice (A).
Roberto Ucar Navarro
148
Criterio de rotura de Hoek y Brown (HB)
A través de la tabla 7.2, se oberva que el valor de σ1=131,20kgf/cm2 corresponde
cuando la resistencia a la tracción σt=-35,00 kgf/cm2. Lógicamente el valor de
σ1 debe ser cero para el caso particular en el cual σ3 =σt. Por tanto, el referido
criterio de rotura no cumple con dicha condición. Con el objeto de conocer las
razones por la cuales el esfuerzo principal mayor σ1 no es cero, se aplicará la
ecuación derivada por dichos investigadores para determinar la resistencia a la
tracción σt a través de la ecuación (4.6), es decir:
1/ 223 4
2c
t m m s
Por otra parte, los valores de (m) y (s) obtenidos mediante el ajuste de la curva
aplicando la técnica de mínimos cuadrados en función de los 21 ensayos de (σ1,σ3)
indicados en la tablas (7.1) y (7.2), han dado como resultado que m=7 y s =1.
Con dichos parámetros al aplicar (4.6) resulta:
1/ 2
32330
7 49 4 1 46, 22 /2t kgf cm
Es decir, esta resistencia no corresponde con el valor obtenido experimentalmente
de σt =-35 kgf/cm2.
Adicionalmente, para que se obtenga dicho valor, es necesario según el criterio de
Hoek y Brown aplicar la ecuación (4.9), definida por la relación:
'c c
t t
fm
.En estas condiciones, m= f ’c/σt= (330 kgf/cm2/35 kgf/cm2) ≈ 9,4
Con dicho valor y s=1, la resistencia a la tracción al aplicar (4.6) corresponde a una
resistencia a la tracción de σt=-35,00 kgf/cm2.
Roberto Ucar Navarro
149
Por oto lado, el parámetro m =7, obtenido mediante el ajuste de la curva no
coincide con el valor teórico de m =9,40 al aplicar el mencionado criterio de rotura.
En definitiva estas discrepancias entre lo teórico y experimental producen
restricciones al criterio, aunque es muy posible que en otros casos no se produzca.
Por supuesto, si se utiliza m =9,40 en lugar de m =7,00, los valores de σ1 se alejan
todavía más con relación a los obtenidos experimentalmente.
Criterio de rotura de Ucar
Al examinar las constantes K1 y K2 de este nuevo criterio, se observa que la
constante K2 tiene una gran influencia sobre la curvatura y por ende en la variación
del vector tangente al moverse sobre la curva.
Por otra parte, si K2 0, la relación entre los esfuerzos principales es lineal y
por lo tanto el radio de curvatura , y la constante K1=tan2(π/4+/2), como
se demuestra a continuación.
Al ser K2 =0, la ecuación (7.7) se trasforma:
311
c cK
(7.69)
31 1 1 3 1
t
cc c
cK K K
(7.70)
Por cuanto σt es negativo resulta,
1 1 3 1 tK K (7.71)
Por otra parte, si σ1=σc σ3 =0, por tanto:
1 1tc
ct
K K
(7.72)
Roberto Ucar Navarro
150
Quedando finalmente la conocida relación lineal,
1 1 3 cK (7.73)
Adicionalmente, un aspecto de importancia que debe señalarse en el referido
criterio, es que ambas constantes están vinculadas con dos propiedades
fundamentales como son la resistencia a la compresión y la tracción, a través de la
relación:
't t
cfc
(7.74)
Debiéndose cumplir a través de la ecuación (7.8) que:
1/ 2
1 1 32 Para la condición1 , 0cK K
Cabe señalar, como se podrá apreciar en la próxima sección, que este criterio
presenta el menor error estándar al compararse con el Murrell –Bieniawski, Hoek y
Brown y la relación lineal entre σ1 y σ3.
7.6.2 Determinación del error estándar
En la tabla 7.2, a través de los diferentes criterios de rotura investigados se
indica la variación del esfuerzo principal mayor σ1 = f (σ3). Estos valores se han
utilizado para determinar el error estándar del valor estimado.
Dicho valor es simplemente la desviación estándar de los valores observados de σ1
(valor experimental) alrededor de de la línea de regresión estimada, la cual se
utiliza frecuentemente como una medida resumen de la bondad de ajuste de dicha
línea. En resumen, el Error Estándar no es otra cosa que la desviación estándar de
la distribución muestral del estimador.
Roberto Ucar Navarro
151
2
1
iu
n k
(7.75)
exp estimado1 1iu (7.76)
ui es el residuo, es decir la diferencia entre el valor experimental y el estimado.
2suma de los valores residuales al cuadradoiu
(n-k), se conoce como el número de grados de libertad.
El término grados de libertad, significa el número total de observaciones(n) en la
muestra menos el número de restricciones independientes (k)
k =número de parámetros o constantes a determinar.
En el caso, correspondiente a los criterios investigado k =2, excepto en la ecuación
de Murrell-Bieniawski, en la cual k =1
Tabla 7.3 Desviación estándar para los diferentes criterios
Criterio de Rotura Desviación Estándar σσ1 (kgf/cm2 )
Ucar 19,04
Hoek y Brown 38,60
Murrell-Bieniawki 23,65
Lineal 72,04
Se observa de acuerdo a tabla 7.3 que el menor error estándar corresponde al
criterio de rotura empírico propuesto por Ucar. Estos resultados se basan en el
estudio experimental realizado por Torres [21] en probetas de concreto sometidas a
Roberto Ucar Navarro
152
compresión triaxial (σ3 = σ2). Los valores para diferentes intervalos de tensiones
(σ3 , σ1) se indican en la tabla 7.2.
Resumiendo se tiene:
Criterio de Ucar
1/ 2 21 1 3 3
'2 , /t tcK K f kgf cm
Constantes obtenidas: 1 20, 712 , 2, 839K K
' 2 2330, 00 / , 35, 00 /kgf cm kgf cmc tf
Desviación Estándar = 19,04kgf/cm2
Criterio original de Hoek y Brown
1/ 2
31 3
' 2/' , kgf cmc
c
f m sf
Constantes obtenidas: 7, 037 , 1m s
Desviación Estándar = 38,60 kgf/cm2
Criterio de Murrell y modificado por Bieniawski (K=075)
31
' ' 2, /'
0,75
c kgf cmcc
A f ff
Constante obtenida: 2, 67A
Roberto Ucar Navarro
153
Desviación Estándar = 23,65 kgf/cm2
Criterio lineal
1 3'
ck f
Constante obtenida: 3,14k
Desviación Estándar = 72,04 kgf/cm2
7.7 Determinación de la envolvente de rotura aplicando los estudios experimentales
de Aire [59].
Con la finalidad de apreciar la utilidad del nuevo criterio de rotura, a continuación
se consideran los resultados de las investigaciones realizadas por Aire [59] en su
tesis doctoral sobre el comportamiento del concreto cuando está sometido a
compresión triaxial
Dicho investigador ensayó probetas cilíndricas de concreto de 150x300mm a
diferentes niveles de confinamiento pero considerando la condición en la cual
σ3=σ2, es decir el esfuerzo principal menor e intermedio son iguales.
Investigó dos casos específicos con resistencias a la compresión sin confinar de
35,00 MPa y de 68,00MPa (concreto de alta resistencia).
La tabla 7.4, muestra los valores (σ3, σ1), para el caso particular de las pruebas de
concreto con una resistencia fc’=35,00 MPa
Roberto Ucar Navarro
154
Tabla 7.4 Resultados de los ensayos triaxiales realizados por Aire [59]
σ 3 (MPa) 3 = σ3/ f ’c
σ1(MPa) 1 =σ1/ f ’c
0 0 f ’c =35 1
7 0,20 71 2,03
17 0,49 103 2,94
28 0,80 132 3,77
Valores de
resistencia del
Concreto a
diferentes estados
de confinamiento
f ’c =35MPa
35 1 151 4,31
La fase siguiente es determinar las constantes K1 y K2 a través del nuevo criterio
propuesto y comparar los resultados con los valores de σ1 de la tabla 7.4.
Por cuanto, Aire [59] en sus pruebas de laboratorio no determinó la resistencia a la
tracción del concreto σt, es necesario hallar una constante adicional la cual
corresponde a ξ = σt / fc’. Por tanto, se aplicará nuevamente la ecuación (7.7) representada por:
1/ 2
3 311 2
c c cK K
Adicionalmente, para el caso del ensayo de compresión simple, se debe cumplir
que 1 c y por tanto 3 = 0, obteniéndose a través de esta última ecuación que:
1/ 2
1 21 K K
Las otros dos ecuaciones se determinan, considerando los valores de la tabla 7.4,
para el valor intermedio de 3 = 17MPa y el extremo con 3 = 35MPa.
Roberto Ucar Navarro
155
En forma adimensional se tiene:
(σ3 / fc’, σ1 / fc’) = ( 0,49, 2,94) y (1, 4,31)
En estas condiciones el sistema de ecuaciones simultáneas no lineales es:
1/ 2
1 21 K K
1/ 2
1 22,94 0, 49 0, 49K K
1/ 2
1 24,31 1 1K K
Adicionalmente, al aplicar el programa matemático asistido por el ordenador EES
(Engineering Equation Solver), las constantes obtenidas son:
K1 =0,67, K2 =3,40 y ξ = σt / fc’ =- 0,0778, por lo tanto σt =-2,72 MPa (valor
teórico estimado). A través de la ecuación (7.15) el ángulo de rotura (α) que forma
el plano de falla con el esfuerzo principal menor es:
2 21
3 3
21tan tan
4 2 2
KK
Tabla 7.5
3 3'/ cf 1 3/ αo βo
0 6,765 68.97 47,94
0,20 3,895 63,13 36,26
0,49 2,926 59,69 29,38
0,80 2,484 57,61 25,21
1 2,3075 56,64 23,29
Roberto Ucar Navarro
156
Adicionalmente se ha determinado β, el ángulo que forma la tangente a la
envolvente de rotura con la horizontal en cada plano de rotura definido en el
intervalo de tensiones (α, σn). Como se ha mencionado previamente β= i, es
decir el ángulo de fricción interna instantáneo.
Tabla 7.6
Valores Experimentales según Aire [59 ]
en probetas de concreto sometidas a
compresión triaxial
Valores utilizando el
Criterio de Ucar
σ3 (MPa) 3
σ1(MPa)1
1 1(MPa)
0 0 f ’c =35 1 1 f ’c =35
7 0,20 71 2,03 1,98 69,30
17 0,49 103 2,94 2,94 103
28 0,80 132 3,77 3,77 132
35 1 151 4,31 4,25 148,80
31
1 3' ',c cf f
; 1/ 2
1 3 33, 400,67 0,0778
Seguidamente, se determina la resistencia al corte y el esfuerzo normal para cada
intervalo de tensiones (σ3, σ1).
Expresando la ecuación (2.6) en forma adimensional se obtiene primeramente para
cada intervalo (σ3,σ1) la relación (σn / σc), y (α / σc) .
Roberto Ucar Navarro
157
Luego el esfuerzo normal σn y la resistencia al corte α actuando sobre el plano de
rotura de inclinación (α) con la horizontal.
Como ejemplo, se ha considerado el ensayo de compresión simple. Por lo tanto:
σ3/ σc = 0, y σ1 / σc =1, obteniéndose:
31
3
1
3
' '
' '1
0,12881 6, 765
1
n c c
c c
f f
f f
El esfuerzo normal como una fracción de σc es,
' '0,1288 4, 508 , 35, 00c cMPa MPan f f
Igualmente, la tensión normal puede obtenerse a través de la conocida ecuación:
2 2 231' ' ' 68, 97 0,1288cos 1 cosn
nc c c
x senf f f
Por otra parte, la tensión cortante definida a través de (7.23) es la siguiente:
3' 45 , siendo :2
tanc
y xf
3
3' 'c c
nx yf f
La cual equivale a escribir:
Roberto Ucar Navarro
158
68, 97' ' '
'
3 45 0,1288 tan 0, 3352
0, 335 11, 73 ..
tanc c c
c
n
MPa
f f f
f
Igual valor se obtiene a través de la ecuación,
31' ' '
11 0, 335
2
12 137,94
2c c c
sen senf f f
En la tabla anexa, se indican los diferentes valores de las tensiones normales y
cortantes para cada intervalo (σ3, σ1) y en la figura 7.1, los círculos de Mohr de
los ensayos triaxiales y la envolvente no lineal de rotura.
Cabe señalar que la figura 7.2 representa la relación entre las tensiones
principales (σ3, σ1) junto con el nuevo el nuevo criterio empírico de rotura, el cual
permite calcular σ1=f (σ3, ξ, K1, K2) con un buen nivel de aproximación para
diferentes presiones de confinamiento.
A la vez debe indicarse el beneficio de obtener una envolvente curva, por cuanto
se ajusta con mayor precisión a los valores reales de las tensiones actuando sobre
los planos de rotura , además de la evidente diferencia al compararse con la
envolvente lineal (véase figura 7.3), en particular en la zona de tracción y de
compresión sin confinar. Por otra parte, al incrementarse la presión de
confinamiento la pendiente de la curva tiende a disminuir. Obsérvese a través de la
tabla 7.5 como el ángulo β=47,94o, valor que corresponde cuando no hay presión
de confinamiento y que disminuye a β=23,29 o al incrementarse a σ3 /f ’c =1.
Roberto Ucar Navarro
159
Tabla 7.7 Tensión normal y cortante para cada intervalo (σ3 / fc’, σ1 / fc’)
3'/ cf 1
'/ cf '/ cn f
'/ cf n (MPa) (MPa)
0 1,00 0,129 0,335 4,510 11,72
0,20 1,98 O,564 0,718 19,73 25,12
0,49 2,94 1,114 1,067 38,99 37,36
0,80 3,77 1,652 1,344 57,83 47,02
1,00 4,25 1,982 1,4927 69,39 52,24
La tabla 7.7, muestra los valores de σn y α pertenecientes a la referida curva de
resistencia intrínseca, cuyos valores se han determinado conociendo previamente
el intervalo de los esfuerzos principales (σ1 ,σ3 ) y el ángulo α.
En estas condiciones se construye la curva considerando las coordenadas de las
tensiones (σn , α ).
Lógicamente, la forma elegante de obtener la envolvente de rotura es a través de
la ecuación (7.28), en función de la tensión normal σn y el ángulo que forma la
tangente a la envolvente con la horizontal β =i (ángulo de fricción interna
instantáneo).
Roberto Ucar Navarro
160
Figura 7.1
Roberto Ucar Navarro
161
Los pasos a seguir son los siguientes conociendo las constantes K1, K2 y ξ
A través de la ecuación (7.53) determinar:
3cuando 0nn
c
03 21 1
2
1n
KK
Utilizando la ecuación (7.60) se obtiene el ángulo β para la condición en la
cual σ3=0.
1 2
03
41
2 (1 )sen
K K
Cononociendo los valores de :
40 03 3, se calcula la constante deintegración Kn y
El próximo paso es utilizar la ecuación (7.42), la cual es la solución de la
ecuación diferencial lineal de primer orden. Fácilmente, a través de dicha expresión
se calcula la constante K4.
Por lo tanto, se tiene la función ζ(σn, β,ξ,K1,K2, K4) =0, definida por:
1 1 1 1
2
1 1
4
22
2 1 1
4 (3 ) 1 11 0
1 1
Kn K
K K K K sensen K
K K sen
Roberto Ucar Navarro
162
Por ejemplo, al considera nuevamente los ensayos experimentales realizados por
Aire [59], y las constantes K1=0,67, K2=3,40 y ξ=-0,0778 obtenidas utilizando el
criterio de rotura propuesto, resulta:
03 3,40
1 0,672 0,0778
0,12881
n
03
4 0,07781 0,7424 47,94
2 0,0778(1 0,67) 3, 40sen
Por lo tanto, al sustituir los valores de la tensión nomal σn y β, en (7.42), la
constante de integración K4 =-1,863.
En estas condiciones, al utilizar la fórmula (7.42) para diferentes valores de σn ,
se determina el correspondiente ángulo β. También, puede aplicarse el caso
contrario, es decir dando valores de β=i se calcula la tensión normal.
Finalmente, para cada valor de σn junto con el respectivo ángulo β, se
determina la resistencia al corte α, y se construye la envolvente o curva de
resistencia intrínseca representada por la ecuación (7.28), es decir:
2
22
2
1
tan 452 2
tan 452
tan4 2
n
K
K
Roberto Ucar Navarro
163
Figura 7.2
Relación entre los esfuerzos principales obtenida en este estudio empleando los
datos experimentales de Aire [59]
Roberto Ucar Navarro
164
Envolvente lineal obtenida por Aire [59] en sus estudios experimentales del
concreto confinado sometido a compresión
Figura 7.3
Roberto Ucar Navarro
165
7.7.1 Determinación de la pendiente promedio aplicando el nuevo criterio de rotura
a través de las pruebas de resistencia realizadas por Aire [59] .
En la sección 7.1, se determinó que la pendiente de la curva que vincula σ1=f (σ3),
está representada por la ecuación:
21
3 3
21tan
4 2 2
KK
(7.78)
Siendo,
31 1 11 3
3 3' ', ,
c cf f
Seguidamente se determina el valor medio de la refererida pendiente, considerando
a través de la tabla 7.7 los siguientes límites de integración:
3 33 3' '0 1
c cf f
Como se sabe el valor medio de una función ‡ 1
( ) ,
b
m
a
y f x dx a x bb a
3
3
1
213
3 30
21
1tan d
4 2 (1 0) 2
KK
(7.79)
'
' 0,0778 12,85t c
tc
f
f
‡ Cálculo Infinitesimal y Geometría Analítica,G, Thomas (1966) , Editorial Aguilar, pp234-236
Roberto Ucar Navarro
166
Al integrar se obtiene:
121
303
1 2tan4 2
valor medio
K K
K1=0,67 y K2 =3,40
21
3
tan 0,67 3,40 (1,04 0,28) 3,254 2
valor medio
El próximo paso, es determinar la pendiente aplicando el criterio lineal y comparar
resultados. Al aplicar el criterio lineal con los datos indicados en la tabla 7.7, se
obtiene mediante el ajuste por mínimos cuadrados:
231' '3, 44 1 , 0,973
c c
Rf f
. Por lo tanto, la pendiente de la recta es
021
3
tan / 4 / 2 3,44 33,34d
d
Obsérvese que la pendiente promedio aplicando el nuevo criterio de rotura
corresponde a 3,25, es decir ligeramente menor al compararse con el criterio lineal.
En estas condiciones, el valor del ángulo de fricción interna es:
002tan 3,25 31,97 32
4 2 valor promedio
Roberto Ucar Navarro
167
8 .EXPRESIONES ANALÍTICAS DE INTERÉS AL APLICAR EL CRITERIO
LINEAL DE ROTURA
Un aspecto importante a señalar, es que el criterio lineal es ampliamente utilizado
en el campo de la geotecnia, aun cuando presenta limitaciones.
Además, por su simplicidad es una herramienta básica para el ingeniero por cuanto
permite resolver innumerables problemas relacionados con fundaciones,
excavaciones y obras subterráneas.
En el apéndice (A) se demuestra analíticamente que al ser la relación entre los
esfuerzos principales lineal, también es lineal la relación entre la resistencia al corte
y el esfuerzo normal actuando sobre el plano de falla, la cual corresponde a la bien
conocida ecuación de Mohr-Coulomb.
Por tal motivo, es de interés relacionar los parámetros resistentes utilizando el
referido criterio como a continuación se lleva a cabo.
Criterio de Mohr-Coulomb en función los esfuerzos principales (σ1, σ3)
2
1 3 tan 2 tan4 2 4 2
C
(8.1)
Teniendo en cuenta que el plano de rotura α = (π/4+/2)
21 3 tan 2 tanC (8.2)
Siendo además,
2 1tan
4 2 1
senN
sen
(8.3)
1/ 2costan
4 2 1N
sen
(8.4)
Roberto Ucar Navarro
168
Relación entre la resistencia al corte y el esfuerzo normal (σn, τα)
tan ( )Ecuación de Mohr CoulombnC (8.5)
A continuación se deducen algunas expresiones de interés, las cuales permiten
relacionar los parámetros resistentes.
1) Relación entre la resistencias a compresión σc y a tracción σt
Ensayo de compresión sin confinar
Condiciones de borde: σ3=0, por lo tanto σ1= σc
Reemplazando dichos valores en la ecuación (8.1) se obtiene la resistencia a
compresión sin confinar en términos de C y , es decir:
2. tan4 2c C
(8.6)
A la vez, la ecuación (8.1) puede expresarse en forma compacta como sigue:
2
1 3 tan4 2 c
(8.7)
Ensayo de tracción
Condiciones de borde : Al Considerar σ3= σt , σ1=0
Al aplicar la ecuación (8.1), se obtiene la siguiente ecuación;
2
2tan4 2
tan4 2t c
c
(8.8)
Roberto Ucar Navarro
169
Por lo tanto, la relación entre la resistencia a la compresión simple y la tracción
está representada por la ecuación.
2tan
4 2c
t
(8.9)
Siendo la tangente del ángulo de rotura α = (π/4+/2)
tan4 2
c
t
(8.10)
El próximo paso es representar la ecuación (8.1) en forma segmentaria o canónica,
por cuanto permite expresarla en forma sencilla cuando se conoce el segmento de
recta definido por los puntos: (0, σc) y (σt ,0).
En estas condiciones la ecuación (8.8) se transforma:
231
tan / 4 / 21
c c
(8.11)
Teniendo en cuenta (8.9), se obtiene que:
31
2
1
tan / 4 / 2c c
(8.12)
Resultando finalmente al considerar la ecuación (8.8):
31 1tc
(8.13)
Para mayor detalle, véase figura (8.1)
Roberto Ucar Navarro
170
2) Determinación de la cohesión en función de σc y σt
El valor de la cohesión en términos de la resistencia a la compresión sin confinar y
de la tracción, se obtiene reemplazando la tangente del ángulo de rotura
representada a través de (8.8) en (8.5).
2. c
tc C
(8.14)
Al despejar el valor de la ecuación queda,
1
2 c tC (8.15)
3) Obtención del ángulo de fricción interna en función de σc y σt
Despejando sen en la ecuación (8.2), se obtiene que:
2
2
tan / 4 / 2 1
tan / 4 / 2 1sen
(8.16)
Por otra parte, al sustituir el valor de tan2 (π/4+/2) a través de la ecuación (8.10)
en (8.13), se obtiene:
1
1
c
t
c
t
sen
(8.17)
Roberto Ucar Navarro
171
Figura 8.1
Roberto Ucar Navarro
172
4) Determinación del coeficiente de rozamiento interno μ=tan en suelos
granulares en función de los esfuerzos principales σ1 y σ3.
Si la masa de suelo investigada es granular, es decir C=0, la ecuación (8.6)
que representa la resistencia al corte se reduce a la siguiente expresión:
tann (8.18)
Por otra parte, se sabe que:
2 21 3
1 3
cos
12
2
n sen
sen
(8.19)
Reemplazando (8.19) en (8.18), y despejado μ= tan , resulta:
1 31 3
2 2 21 3 1 3
12 tan2tan
cos tan
sen
sen
(8.20)
Considerando en (8.2) que C=0 : σ1=σ3 tan2 α .
Siendo α el ángulo que forma el plano de rotura con el esfuerzo principal menor.
En función del valor arriba indicado, la ecuación (8.20) se transforma en
función de los esfuerzos principales como sigue:
1
1 33 1 3
1 1 3
tan2 2
(8.21)
Algunos aspectos a mencionar sobre las limitaciones de dicho criterio son las
siguientes:
Al igual que el nuevo criterio propuesto en este estudio , la ecuación lineal entre
los esfuerzos principales no toma en cuenta la tensión principal intermedia σ2
Roberto Ucar Navarro
173
Goodman [60], menciona que no es razonable admitir la resistencia friccionante
en la presencia de esfuerzos de tracción, perdiendo por lo tanto la ecuación de
Mohr-Coulomb α=C+σn tan su validez física en la zona de tracción.
Muchos investigadores recomiendan, crear una línea de corte en la región de
tracción (Tension Cutoff), tal como se muestra en la figura (8.2).En estas
condiciones se obtiene que la resistencia al corte es cero cuando σ3= σt.
Sobrevalora la resistencia a la tracción.
Se ha determinado que la resistencia de la roca aumenta menos con el
incremento de la presión de confinamiento, que la obtenida al considerar una
ley lineal.
Lo anterior demuestra que la envolvente de rotura no lineal se ajusta mejor al
fenómeno físico al compararse con la ecuación de la recta de Mohr-Coulomb.
También, a través de este criterio es difícil determinar los parámetros de corte
en forma global teniendo en cuenta los planos de discontinuidad y los puentes
de roca sana. Por tal motivo, se ha tratado de obtener valores de la cohesión y
fricción del macizo rocoso a partir de expresiones del criterio de Hoek y Brown
(HB), junto con las clasificaciones geomecánicas, mediante cálculos que no son
inmediatos .Esto se debe a que la principal dificultad estriba en que el criterio
de HB no es lineal, y por lo tanto los referidos parámetros C y no son
constantes, sino que dependen de la tensión normal σn .
Cabe destacar que dichos autores a través de su criterio no lineal y el programa
Roc Lab (http://www.rocscience.com/assets/files/uploads/8079.pdf), determinan
los valores C y equivalentes para cada intervalo de tensiones σn.
Ucar [61] en su Manual de Anclajes en Ingeniería Civil, también ha desarrollado
una metodología analítica para calcular los referidos parámetros equivalentes
Roberto Ucar Navarro
174
utilizando el criterio de Hoek y Brown, con aplicación a la estabilidad de taludes
y excavaciones subterráneas.
Bieniawski [1] en su libro Engineering Rock Mass Classifications, recomienda
en función del índice de calidad RMR los siguientes valores:
Valores de RMR
100-81 80-61 60 -41 40 -21 <20
Cohesión (MPa) > 25 15-25 8,5-15 4,5-8,5 <4,5
(grados) >65 55-65 48-55 41-48 <41
También menciona la siguiente relación obtenida por Trunk y Hönish, en función
de cuarenta casos estudiados:
=0,5 RMR+8,3 (±7,2) (8.22)
Por supuesto, al considerar los comentarios previamente indicados, estos valores
deben tomarse con mucha precaución.
Finalmente, es de importancia mencionar los resultados obtenidos por Torres [21]
a través de sus estudios experimentales en probetas de concreto y cuyos resultados
se pueden observar en la tabla 7.1, especialmente en los valores correspondientes a
σc= f’c =330,00 kgf/cm2 y σt=-35,00 kgf/cm2.
Si se emplea el criterio lineal, al aplicar las ecuaciones (8.10) y (8.15) , el valor de
la cohesión y del ángulo de fricción interna es por lo tanto,
02'
tan 9,43 53,924 2
c
t
f
21 1330,00 ( 35,00) 53,74 / 5,27
2 2c tC kgf cm MPa
Roberto Ucar Navarro
175
Por otra parte, estos resultados no concuerdan con la ecuación lineal obtenida
mediante el ajuste de mínimos cuadrados (véase sección 7.6), y representada por
la fórmula:
31' '1 , 3,14
c c
k kf f
02 3,14 31,121
tan ( / 4 / 2)1
senk
sen
Obsérvese, que en este caso la resistencia es compresión es 3,14 veces la de
tracción. Lógicamente dicho resultado no concuerda con el valor real obtenido en
el laboratorio, en el cual fc’ /σt = 9,43
Al aplicar (7.63), el valor de la cohesión es:
22
' 330,00 /93,11 / (9,13 )
2 tan( / 4 / 2) 2 3,14cf kgf cm
C kgf cm MPa
Como previamente se ha mencionado, estas diferencias tan notables en los
resultados al aplicar el criterio lineal de Mohr-Coulomb se debe a que la
resistencia friccionante (σn tan) en la presencia de esfuerzos de tracción pierde su
validez física .Por lo tal motivo, es práctica común dividir la envolvente en una
zona de compresión aplicando la ecuación lineal de Mohr-Coulomb , y una línea de
corte en la región sometida a tracción “tension cutoff ”, tal como se puede observar
a través de la figura (8.2)
Roberto Ucar Navarro
176
Figura 8.2
Roberto Ucar Navarro
177
8.1 Cálculo aproximado de los parámetros de corte a través de la persistencia de las
discontinuidades.
En esta sección, se describe con un ejemplo práctico el procedimiento para obtener
la resistencia aproximada en rocas fracturadas a través del modelo propuesto por
Terzaghi, el cual menciona Pariseau [62] en su libro Design Analysis in Rock
Mechanics. Básicamente, a través del concepto de persistencia se estudia los planos
de discontinuidad y los puentes de roca sana entre segmentos fracturados.
Es un parámetro que no es fácil de cuantificar, en especial cuando no se puede
visualizar en detalle el afloramiento
Si el área de roca intacta y fracturada se denotan por Ai y Af respectivamente, y
definiendo la persistencia p como la relación entre Af y el área total A= (Ai y Af),
resulta por lo tanto que: P= Af /( Ai + Af ).
En estas condiciones, es posible escribir las siguientes expresiones para determinar
la resistencia global o promedio τp de la masa rocosa en función de la roca intacta
y diaclasada.
fpAA fi
i A A
(8.23)
Siendo i yf la resistencia de la roca intacta y fracturada respectivamente.
fpA A Af f
i A A
(8.24)
1 fp p pi (8.25)
1 tan tanp p C p Ci n i f n f (8.26)
Llamando a Cp y p los parámetros de corte promedios de la masa rocosa, se
obtiene:
Roberto Ucar Navarro
178
tanp p n pC (8.27)
Por lo tanto, los valores promedios de la cohesión y ángulo de fricción interna en
función de la persistencia se determinan a través de (8.26) como a continuación se
indica:
1p i fC p C p C (8.28)
tan 1 tan tanp i fp p (8.29)
Con el objeto de poder apreciar la aplicación de esta metodología, a continuación
se lleva a cabo un ejemplo de aplicación resuelto por Pariseau [62] en su libro
Design Analysis in Rock Mechanics.
Medidas de campo en afloramientos indican que la persistencia de la roca
fracturada es p = 0,75. Por otra parte, a través de las pruebas de laboratorio en roca
intacta se determinó que σc=105,00MPa y σt=-10,50MPa.
Adicionalmente se realizaron ensayos de corte directo, obteniéndose los siguientes
parámetros resistentes promedios medidos en los planos de discontinuidad:
Cf =0,06MPa y f =25o
Utilizando (8.15) y (8.17), los valores de la cohesión y ángulo de fricción interna
para la condición intacta son:
1 1105,00.( 10,50)
2 2c tiC
21(105,00) /10 16,60
2iC MPa
19
54,90111
o
c
t
c
t
i isen
Roberto Ucar Navarro
179
Por lo tanto, los parámetros resistentes promedios o globales de la masa rocosa al
emplear las ecuaciones (8.28) y (8.29) son los siguientes:
1 (1 0,75)16,6 0,06 4,21p i fC p C p C MPa
0 0tan 1 tan tan (1 0,75)tan54,90 0,75 tan25fp ip p
p=35,20o
9. PASOS A SEGUIR EN LA PRÓXIMA FASE DE INVESTIGACIÓN
Como se ha mencionado al principio de este estudio, la siguiente etapa de
investigación está orientada en extender el nuevo criterio de rotura propuesto a
través una metodología real y efectiva de rotura en tres dimensiones.
Cabe señalar que muchos investigadores han estudiado en detalle este importante
tema de la mecánica de las rocas ,en especial Mogi [13] quien ha demostrado en
sus estudios experimentales a partir de 1964 que existen evidencias notables que
demuestran la influencia del esfuerzo principal intermedio σ2 en la resistencia de
la roca. Dicho investigador desarrolló un equipo triaxial verdadero (True triaxial
apparatus) , en el cual los tres esfuerzos pueden ser aplicados independientemente,
y aplicando altas presiones.
Sin lugar a dudas, esta es una tarea complicada, en especial cuando se desea
ampliar las condiciones de rotura para un estado de esfuerzo poliaxial σ1> σ2> σ3
Por otra parte, ya se han iniciado los primeros pasos para investigar un
procedimiento el cual considere las condiciones de fractura y meteorización del
macizo rocoso. Dicho estudio se fundamenta en un estado de esfuerzo
bidimensional utilizando las bien conocidas clasificaciones geomecánicas, tales
como el Rock Masas Rating (RMR) de Bieniawski [1],el sistema Q de Barton [2] ,o
Roberto Ucar Navarro
180
el Índice de Resistencia Geológica (Geological Strength Index-GSI )de Hoek y
Brown [3] .Para mayor detalle , véase la sección uno correspondiente a la
introducción del presente trabajo. .
En estas condiciones se propone la ecuación (1.10) , la cual nuevamente se indica:
3 311 2
1/ 2
m mcm cm cm
K K
(9.1)
Siendo,
tmm
cm
(9.2)
Como previamente se ha mencionado, σcm es la resistencia a compresión uniaxial
(compresión simple o sin confinar) de la masa rocosa, y σtm representa la
resistencia tracción unidimensional de la masa rocosa, y es una fracción de la
resistencia a la tracción de la roca intacta (matriz rocosa) σt
En función de ξ=σt / σc y del índice RMR, resulta:
expmt
c
RMR RMR
(9.3)
En base los estudios realizados por Hoek y Bray [3,27], junto con Kalamaras y
Bieniwski [30], Ramamurthy et al [4], Singh y Goel [63], Hoek [64], Mehrotra
[65], Zhang [66] y Brady citado por Aubertin et al [67], se ha iniciado el proceso de
obtener las constantes K1 y K2 que vinculan las tensiones principales en el instante
de la rotura.
Roberto Ucar Navarro
181
Con la ayuda de la hoja de cálculo, y el programa Crystal Ball utilizando la técnica
de simulación de Monte Carlo, ha sido posible establecer las siguientes ecuaciones
aproximadas para σcm y σtm considerando las experiencias de los investigadores
previamente mencionados.
RMR Versión 1989100
exp , = 22,6 1,4
cm
c
RMR
(9.4)
100exp
14 1tm
c
RMR
(9.5)
Transformándose (9.3) como sigue:
100 100
14 1 22,6 1, 4
RMR RMRRMR
(9.6)
Teniendo en cuenta los valores medios, resulta:
100
37
RMRRMR
(9.7)
Quedando finalmente como una primera aproximación,
100exp
37mt t
c c
RMRRMR
(9.8)
La ecuación (9.8), reviste gran importancia, por cuanto es el vínculo para
determinar las referidas constantes K1 , K2 , con las siguientes ecuaciones:
1/ 2
1 21 m mK K (9.9)
Roberto Ucar Navarro
182
03
21 112
KKn
m
(9.10)
3
3 3
21
0
210 0
11 2 2
12
n m
n nm
KK
KK
(9.11)
2
1
203
2 21 1
1 tan1
2 m
senK
K
(9.12)
1 1 1 1
2
1 1
00 33
034
03
22
2 1 1
1
4 (3 ) 1 1
1 1
n m
K
K
sen
K K K K senK
K K sen
(9.13)
En la sección 7.4, se explica en detalle en función de las condiciones de borde, el
procedimiento a través del cual se han obtenido estas cinco ecuaciones no lineales
que son las claves del éxito para determinar las referidas constantes, junto con la
constante de integración K4 ,el valor de la tensión normal σn y el ángulo =i .
Roberto Ucar Navarro
183
Debe indicarse que estos últimos valores están calculados para la condición en la
cual σ3=0. Por supuesto, pueden utilizarse únicamente las tres primeras ecuaciones,
es decir (9.8), (9.9) y (9.10), obteniéndose K1, K2 y 3 0n .
El siguiente paso de la segunda etapa de investigación próxima comenzar, es
preparar una tabla con diferentes valores de ξ=σt/σc y de ξm empleando la
ecuación (9.8) u otra similar. Posteriormente se deberá determinar las respectivas
constantes y luego comparar la ecuación obtenida σ1= f (σ3, ξm, K1, K2) con
otros criterios de rotura.
Los criterios que se desean comparar inicialmente son:
Hoek y Brown generalizado [24]
Sheorey [6]
Ramamurty et al [4]
Murell [17], empleando la solución obtenida por Ucar [55 ],
que se anexa en el apéndice (A)
Yu [ 54]
Finalmente, en base a los resultados obtenidos, se llevará a cabo un análisis
detallado con sus respectivas conclusiones y recomendaciones.
Roberto Ucar Navarro
184
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APÉNDICE A
UNA METODOLOGÍA RECIENTE PARA DETERMINAR
LA RESISTENCIA AL CORTE EN MACIZOS ROCOSOS
Trabajo publicado en el Volumen 2 (2003) Ingeniería del Terreno
Editor: Carlos López Jimeno, U.D. Proyectos, E.T.S.I Minas
Universidad Politécnica de Madrid pp. 99-116
DEDICATORIA
El autor dedica con admiración y cariño el presente estudio al profesor Eduardo
Peláez como reconocimiento a su extraordinaria labor docente y humana, la cual
llevó a cabo con notable dedicación en la formación de profesionales de la
ingeniería en nuestra querida y recordada Escuela de Geología y Minas de la
Universidad Central de Venezuela.
Roberto Ucar Navarro
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APÉNDICE B
DETERMINATION OF SHEAR FAILURE ENVELOPE IN
ROCK MASSES
Trabajo publicado en el Journal of the Geotechnical Engineering
Division, ASCE, Vol. 112, No. 3, March, 1986 , pp 303-315.