08/06/2017
1
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Estatística Aplicada I
Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Capítulo II
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Teoria das Probabilidades
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
08/06/2017
2
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaço amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017
3
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaço amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.1 Introdução
A estatística tem por objetivo obter, organizar e analisar dados
estatísticos, a fim de descrevê-los e explicá-los, além de
determinar possíveis correlações e nexos causais.
A estatística se utiliza das teorias probabilísticas para
explicar a frequência da ocorrência de eventos, tanto em
estudos observacionais quanto experimentais.
Em outras palavras, a estatística procura modelar a
aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar
a previsão de fenômenos futuros, conforme o caso.
08/06/2017
4
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.1 Introdução
Estudo dos fenômenos de observação: deve-se distinguir
o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o
explique, se determinístico ou probabilístico.
Modelo determinístico:
• Adotado para explicar fenômenos submissos às leis
sistemáticas.
• Baseia-se, portanto, num encadeamento em que a
relação causa-efeito pressupõe nexos definidos em
forma unívoca e imutável.
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.1 Introdução
Modelo probabilístico:
• Adotado para explicar os fenômenos aleatórios, que
são aqueles cujos resultados, mesmo em condições
normais de experimentação, variam de uma
observação para outra, dificultando dessa maneira a
previsão de um resultado futuro.
• Portanto, esses fenômenos são insubmissos às leis
sistemáticas, pois são regidos ou influenciados pelo
acaso.
08/06/2017
5
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.1 Introdução
A estatística estuda os fenômenos aleatórios e o modelo
matemático será o cálculo das probabilidades.
Diante de um acontecimento aleatório é possível, às
vezes, atribuir-lhe uma lei ou distribuição de
probabilidade.
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaço amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017
6
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.2 Aleatoriedade
Aleatoriedade ou acontecimento aleatório pode ser explicado
considerando-se as seguintes afirmações:
(a) Se x + 8 = 3x – 4, então x = 6;
(b) A próxima carta retirada de um baralho será um ás.
• A afirmação (a) pode ser confirmada ou negada de forma
conclusiva, utilizando-se elementos da matemática; é
uma afirmação categórica (verdadeira ou falsa).
• Na afirmativa (b), entretanto, somente pode ser afirmado
que o fato é possível, mas que é possível, também, a
saída de qualquer uma das 52 cartas do baralho.
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.2 Aleatoriedade
No segundo caso somente a realização do experimento
permitirá estabelecer se a afirmação é falsa ou verdadeira;
trata-se de um acontecimento aleatório
Em geral, os acontecimentos aleatórios se caracterizam por
admitirem dois ou mais resultados possíveis, e não se tem
elementos de juízo suficientes para predizer qual deles
ocorrerá em um determinado experimento.
08/06/2017
7
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaços amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.3 Experimento Aleatório
Características:
Para que um experimento seja considerado aleatório é
necessário que apresente as seguintes características:
1. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente
sob as mesmas condições;
2. Não se conhece, a priori, um particular valor do
experimento; entretanto, pode-se descrever todos os
possíveis resultados (as possibilidades);
08/06/2017
8
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.3 Experimento Aleatório
Características:
3. Quando o experimento for repetido um grande número
de vezes surgirá uma regularidade na apresentação dos
resultados, ou seja, ocorrerá uma estabilização da
fração frequência relativa:
n
rf =
onde: n é o número de repetições, e
r é o número de sucessos de um particular
resultado estabelecido antes da realização do
experimento.
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.3 Experimento Aleatório
Exemplos:
• Jogar um dado e observar o número mostrado na face
superior.
• Jogar uma moeda um certo número de vezes e observar o
número de coroas obtidas.
• Contar o número de peças defeituosas da produção diária
da máquina “A”.
08/06/2017
9
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaço amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.4 Espaço Amostral
Definição:
• Para cada experimento aleatório, E, define-se espaço
amostral S como o conjunto de todos os possíveis
resultados desse experimento (Fonseca e Martins, 1996).
- Exemplos:
a) E: jogar um dado e observar o número na face superior.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) E: lançar duas moedas e observar o resultado.
S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}, onde c- cara e k- coroa.
08/06/2017
10
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.4 Espaço Amostral
- Exemplos:
c) E: Fabricar um lâmpada, colocá-la em um suporte,
acendê-la e registrar o tempo de funcionamento até
fundir o filamento:
S = {t : t ≥ 0}
d) E: Registrar a temperatura continuamente durante um
período de 24 horas em uma determinada localidade;
as temperaturas mínima e máxima são registradas:
S = {(x, y) : x ≤ y}, onde x é a temperatura mínima e y a
máxima
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.4 Espaço Amostral
- Exemplos:
e) E: Admitir que a temperatura mínima nessa localidade
não poderá ser menor que um certo valor (m) e a
temperatura máxima não poderá ser superior a um
certo valor (M).
S = {(x, y) : m ≤ x ≤ y ≤ M}
08/06/2017
11
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaço amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.5 Evento
Definição:
• É um conjunto de resultados do experimento.
• Em analogia com os conjuntos, é um subconjunto de S.
Observação:
- Em particular, o espaço amostral, S, e o conjunto vazio,
, são eventos.
- S é dito o evento certo e o evento impossível.
08/06/2017
12
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.5 Evento
- Exemplo 1:
E: lançar o dado e observar o número da face superior.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos:
A: ocorrer número par: A = {2, 4, 6}
B: ocorrer número impar: B = {1, 3, 5}
C: ocorrer número múltiplo de 2 e 3: C = {6}.
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.5 Evento
- Exemplo 2:
E: jogar três moedas e observar o resultado.
(c- cara; k- coroa).
S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c),
(k, k, k), (k, k, c), (c, k, k), (k, c, k)}
Eventos:
A: ocorrer pelo menos duas caras:
A = {(c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, c)}
B: ocorrer somente coroa: B = {(k, k, k)}.
08/06/2017
13
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.5 Evento
• Observações:
- Sendo S um espaço amostral finito com n elementos, pode-
se verificar que o número total de eventos extraídos de S é
dado por 2n;
- No exemplo 1 (lançamento do dado), o número total de
eventos é 26 = 64.
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.5 Evento
• Observações:
- A partir do uso das operações com conjuntos, novos
eventos podem ser formados:
a) é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou
ambos ocorrem;
b) é o evento que ocorre se A e B ocorrem
simultaneamente;
c) é o evento que ocorre se A não ocorre.
BA
BA
A
08/06/2017
14
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.5 Evento
- Exemplo:
E: lançar um dado e observar o resultado.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = ocorrer número múltiplo de 2: A = {2, 4, 6}
B = ocorrer número múltiplo de 3: B = {3, 6}
= {2, 3, 4, 6}
= {6}
= {1, 3, 5}
= {1, 2, 3, 4, 5}
BA
BA
A
BA
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaço amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017
15
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.6 Eventos Mutuamente exclusivos
Dois eventos A e B são denominados mutuamente
exclusivos se os mesmos não puderem ocorrer
simultaneamente, ou seja, BA
• Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = ocorre número par – A = {2, 4, 6}
B = ocorrer número ímpar – B = {1, 3, 5}
;
logo, A e B são mutuamente exclusivos, pois a
ocorrência de um número que seja par e ímpar não
pode ser verificada como decorrência do mesmo evento.
BA
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaço amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017
16
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.7 Probabilidade
Definição:
- Dado um experimento aleatório E, sendo S o seu espaço
amostral, a probabilidade de um evento A ocorrer, P(A), é
uma função definida em S que associa a cada evento um
número real, satisfazendo os seguintes axiomas:
(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1;
(ii) P(S) = 1;
(iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos
, então )B(P)A(P)BA(P BA
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017
17
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.8 Teoremas Fundamentais
• T1: Se é o conjunto vazio, então .
• Demonstração:
- Seja A um evento qualquer, A e são disjuntos, pois
;
- Então, de (iii), temos que ;
- Como , então ou
- Logo .
A
)(P)A(P)A(P
AA )(P)A(P)A(P
0)(P
0)(P
)A(P)A(P)(P
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.8 Teoremas Fundamentais
• T2: Se Ā é o complemento do evento A, então P(Ā) = 1 – P(A).
• Demonstração:
- Do diagrama, pode-se escrever .
- Como (são mutuamente exclusivos),
;
- De (ii) 1 = P(A) + P(Ā),
- Logo P(Ā) = 1 – P(A).
AAS
)A(P)A(P)AA(P
)A(P)A(P)S(P
A Ā
S
AA
08/06/2017
18
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.8 Teoremas Fundamentais
• T3: Se , então P(A) ≤ P(B).
• Demonstração:
- Do diagrama, pode-se escrever que .
- Como (são mutuamente exclusivos),
,
e
P(B) – P(A) ≥ 0, (de i), tem-se que
P(A) ≤ P(B).
)BA(AB
)BA(P)A(P)B(P
)A(P)B(P)BA(P
S
A B
)BA(A
BA
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• T4: (Teorema da soma) Se A e B são dois eventos quaisquer,
então .
• Demonstração:
a) Se A e B são mutuamente exclusivos , recai-se no
axioma (iii);
2.8 Teoremas Fundamentais
)BA(
)BA(P)B(P)A(P)BA(P
A
B BA
S
08/06/2017
19
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Demonstração:
b) Se A e B não são mutuamente exclusivos , tem-se:
- Os eventos A e são mutuamente exclusivos;
logo, pelo axioma (iii)
- Mas , B é a união dos eventos mutuamente exclusivos
e ;
- Logo,
2.8 Teoremas Fundamentais
)BA(
)BA(
)BA(P)A(P)BA(P)]BA(A[P
)AB( )AB(
).BA(P)BA(P)B(P A
B BA
S
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Demonstração:
- Substituindo o valor de
na expressão anterior, tem-se:
- Analogamente, para três eventos tem-se:
2.8 Teoremas Fundamentais
)BA(P)B(P)A(P)BA(P
)BA(P)B(P)BA(P
)CBA(P
)CB(P)CA(P)BA(P
)C(P)B(P)A(P)CBA(P
08/06/2017
20
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.8 Teoremas Fundamentais
P(A) P(B)
P(C)
P(A∩B)
P(A∩C) P(B∩C)
P(A∩B∩C)
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Teoremas Fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017
21
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Seja S um espaço amostral finito S = {a1, a2, ..., an}.
• Considere-se o evento formado por um resultado simples
A = {ai}.
• A cada evento simples {ai} associa-se um número pi
denominado probabilidade de {ai}, que satisfaz as condições:
a) pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n
b) p1 + p2 + ...+ pn = 1
• A probabilidade de cada evento composto (mais de um
elemento) é definida, então, pela soma das probabilidades dos
pontos de A.
2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Exemplo: Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. Se A
tem duas vezes mais probabilidades de ganhar de B, e B tem
duas vezes mais probabilidade de ganhar de C, quais são as
probabilidades de cada um dos cavalos ganhar? Qual seria a
probabilidade de B ou C ganhar?
• Solução:
P(C) = p ; P(B) = 2.P(C) = 2p ; P(A) = 2.P(B) = 4p
Como P(A) + P(B) + P(C) = 1, então
4p + 2p + p = 1, de onde se obtém p = 1/7.
Logo: P(A) = 4/7; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7.
2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos
08/06/2017
22
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Solução (continuação):
- Qual a probabilidade de B ou C ganhar?
Do axioma (iii):
= 2/7 + 1/7 = 3/7. )C(P)B(P)CB(P
2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017
23
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• O espaço amostral chama-se equiprovável quando à cada ponto
amostral desse espaço está associada a mesma probabilidade.
• Portanto, se S contém n pontos, então a probabilidade de cada
ponto será igual a 1/n.
• Se um evento A contém r pontos, então:
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
n
1.r)A(P
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Frequentemente, este método de avaliar a probabilidade é
enunciado da seguinte forma:
)casosdetotalºn(NTC
)favoráveiscasosdeºn(NCF)A(P
ou
ocorreSamostralespaçooqueemvezesdeºn
ocorrerpodeAeventooqueemvezesdeºn)A(P
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
08/06/2017
24
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Exemplo 1: Numa escolha aleatória de uma carta de baralho
com 52 cartas, qual a probabilidade de sair um rei? e uma carta
de copas?
• Solução: Seja A = {a carta é um rei} e B = {A carta é de copas}
4
1
52
13
cartasdetotalºn
copasdecartasdeºn)B(P
13
1
52
4
cartasdetotalºn
reisdeºn)A(P
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Na maioria dos casos, utiliza-se os conhecimentos de análise
combinatória (Teoria de Contagem) para se obter o número
de casos favoráveis (NCF) e o número total de casos (NTC).
• Exemplo 2: De um lote de doze peças onde quatro são
defeituosas, retira-se duas peças. Calcular a probabilidade:
a) de ambas serem defeituosas;
b) de ambas não serem defeituosas;
c) de pelo menos uma ser defeituosa.
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
08/06/2017
25
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Soluções:
a) A = {ambas são defeituosas}
11
1
66
6
NTC
NCF)A(P,Logo
vezes66!10.1.2
!10.11.12
)!212(!2
!12CocorrerpodeS
vezes6!2.1.2
!2.3.4
)!24(!2
!4CocorrerpodeA
2,12
2,4
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Soluções:
b) B = {ambas não são defeituosas}
33
14
66
28
NTC
NCF)B(P,Logo
vezes66!10.1.2
!10.11.12
)!212(!2
!12CocorrerpodeS
vezes28!6.1.2
!6.7.8
)!28(!2
!8CocorrerpodeB
2,12
2,8
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
08/06/2017
26
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Soluções:
c) C = {pelo menos uma é defeituosa}
OU
33
19
33
141)B(P1)C(P
BCouBdeocomplementoéC
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
33
19
66
38
NTC
NCF)C(P,Logo
vezes66!10.1.2
!10.11.12
)!212(!2
!12CocorrerpodeS
vezes38632
)!28(!2
!8
)!18(!1
!84CC4ocorrerpodeC
2,12
2,81,8
• Soluções:
C = {1 defeituosa e 1 sem defeito}+{ambas defeituosas}
08/06/2017
27
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Considere o experimento aleatório E: lançar um dado e
observar o resultado, e o evento A = {sair o nº 3}. Então
P(A) = 1/6.
• Considere agora o evento B = {sair um nº ímpar} = {1, 3,5},
então P(B) = 1/2.
• A probabilidade de ocorrer o evento A condicionada à
ocorrência do evento B, representada por P(A/B), será
P(A/B) = 1/3.
2.11 Probabilidade Condicional
08/06/2017
28
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Com a informação da ocorrência do novo evento, reduz-se o
espaço amostral. No exemplo dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi
reduzido para S* = {1, 3, 5}, e é neste espaço reduzido que a
probabilidade do novo evento é avaliada.
• Definição: Se A e B são dois eventos, a probabilidade do
evento A ocorrer quando o evento B tiver ocorrido é
denominada probabilidade condicionada, P(A/B), dada por:
.ocorreujápois,0)B(P,)B(P
)BA(P)B/A(P
2.11 Probabilidade Condicional
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Para o exemplo apresentado, tem-se:
3
1
21
61
)B(P
)BA(P)B/A(P
• No caso de aplicações mais complexas é mais prático se
utilizar a seguinte fórmula:
)B(NCF
)BA(NCF
NTC)B(NCF
NTC)BA(NCF
)B(P
)BA(P)B/A(P
2.11 Probabilidade Condicional
08/06/2017
29
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Exemplo: No experimento do lançamento de dois dados,
considere os eventos: A = {(x1,x2)|(x1 + x2) = 10} e
B = {(x1,x2)| x1 > x2}, onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 o
resultado do dado 2. Avalie P(A), P(B) e P(B/A).
• Soluções: S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), A = {(6,4), (5,5), (4,6)}
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), B = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3),
(5,1), (5,2), (5,3). (5,4), (5,5), (5,6), (5,4), (6,4), (6,5)}
(6,1). (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A ∩ B = {(6,4)}
2.11 Probabilidade Condicional
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Soluções:
.3
1
)A(NCF
)BA(NCF)A/B(P
;15
1
)B(NCF
)BA(NCF)B/A(P
;12
5
36
15
NTC
)B(NCF)B(P
;12
1
36
3
NTC
)A(NCF)A(P
2.11 Probabilidade Condicional
08/06/2017
30
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• O Teorema do Produto pode ser enunciado a partir da
definição de probabilidade condicional, como:
“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos,
A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da
probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade
condicional do outro em relação ao primeiro”.
• Assim:
2.12 Teorema do Produto
)A/B(P).A(P)BA(P)A(P
)BA(P)A/B(P
)B/A(P).B(P)BA(P)B(P
)BA(P)B/A(P
08/06/2017
31
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Exemplo: Em um lote de peças contendo doze unidades
onde quatro são defeituosas, duas são retiradas, uma após a
outra, sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas
não sejam defeituosas?
• Solução: A = { a primeira peça retirada é boa}
B = {a segunda peça retirada é boa}
33
14
11
7
12
8)B/A(P).B(P)BA(P
2.12 Teorema do Produto
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017
32
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Definição: Um evento A é considerado independente de um
outro evento, B, se a probabilidade de A é igual a probabilidade
de A condicionada a B, ou
2.13 Independência Estatística
)B/A(P)A(P
)A/B(P)B(P
Se A é independente de B, então B é independente de A;
logo:
- Do teorema do produto, pode-se afirmar que, se A e B são
independentes, então:
)B(P).A(P)BA(P
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
- Dados n eventos A1, A2, ..., An, diz-se que eles são
independentes se o forem 2 a 2; 3 a 3, ..., n a n, isto é:
)A(P).A(P...).A(P).A(P).A(P)A...AA(P
)A(P).A(P).A(P)AAA(P
...;);A(P).A(P).A(P)AAA(P
)A(P).A(P)AA(P...;);A(P).A(P)AA(P
n1n321n21
n1n2nn1n2n
321321
n1nn1n2121
2.13 Independência Estatística
08/06/2017
33
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Exemplo 1: Uma caixa contém doze peças, sendo quatro
defeituosas; retira-se duas peças, uma após a outra, com
reposição. Calcular a probabilidade de ambas não possuírem
defeitos?
• Solução: A = {a primeira peça não possui defeito}
B = {a segunda peça não possui defeito}
- Como a primeira peça foi reposta, B não é condicionado por
A, ou seja, A e B são independentes; logo:
9
4
12
8
12
8)B(P).A(P)BA(P
2.13 Independência Estatística
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Exemplo 2: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral
equiprovável, e A = {1, 2}, B = {1, 3} e C = {1, 4} eventos de
S, verificar se estes eventos são independentes.
• Solução: S = {1, 2, 3, 4};
A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4};
}1{CBA
};1{CB};1{CA};1{BA
2.13 Independência Estatística
08/06/2017
34
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Solução (continuação):
4
1)C(P).A(P)CA(P
:olog;4
1)CA(P;
2
1
4
2)C(P;
2
1)A(P:CeAPara
4
1)B(P).A(P)BA(P
:olog;4
1)BA(P;
2
1
4
2)B(P;
2
1
4
2)A(P:BeAPara
2.13 Independência Estatística
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Solução (continuação):
8
1)C(P).B(P).A(P
4
1)CBA(P
:olog
;4
1)CBA(P;
2
1)C(P;
2
1)B(P;
2
1)A(P:CeB,APara
4
1)C(P).B(P)CB(P
:olog;4
1)CB(P;
2
1)C(P;
2
1)B(P:CeBPara
- Portanto, os eventos A, B e C não são independentes.
2.13 Independência Estatística
08/06/2017
35
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Sejam A1, A2, A3, ..., An, n eventos mutuamente exclusivos,
tais que .
Sejam P(Ai) as probabilidades conhecidas dos vários eventos,
e B um evento qualquer de S, tal que são conhecidas todas as
probabilidades condicionais P(B/Ai).
Então, para cada i, tem-se:
que é o Teorema de Bayes.
SA...AAA n321
)A/B(P).A(P...)A/B(P).A(P)A/B(P).A(P
)A/B(P).A(P)B/A(P
nn2211
iii
2.14 Teorema de Bayes
08/06/2017
36
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Exemplo: Tem-se três urnas (u1, u2, u3), cada uma contendo
bolas pretas, brancas e vermelhas, nas quantidades mostradas
no quadro abaixo. De uma urna escolhida ao acaso retira-se
uma bola também ao acaso, verificando-se que a mesma é
branca. Qual a probabilidade da bola escolhida ter vindo da
urna 2? e da urna 3?
2.14 Teorema de Bayes
Cores / Urnas u1 u2 u3
P (preta) 3 4 2
B (branca) 1 3 3
V (vermelha) 5 2 3
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Solução:
8
3)u/B(P;
3
1
9
3)u/B(P;
9
1)u/B(P
;3
1)u(P;
3
1)u(P;
3
1)u(P
321
321
Cores / Urnas u1 u2 u3
P (preta) 3 4 2
B (branca) 1 3 3
V (vermelha) 5 2 3
2.14 Teorema de Bayes
08/06/2017
37
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
• Solução (continuação):
59
8)B/u(P1)B/u(P)B/u(P)B/u(P
59
27)B/u(P
59
24
8
3
3
1
3
1
3
1
9
1
3
13
1
3
1
)u/B(P).u(P)u/B(P).u(P)u/B(P).u(P
)u/B(P).u(P)B/u(P
1321
3
332211
222
2.14 Teorema de Bayes
08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Teoria das Probabilidades
FIM