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Asignaturas/submódulo: Cálculo Diferencial (1-1)
Plantel : No. 83. Pedro Escobedo
Profesor (es): Academia Local de Matemáticas
Periodo Escolar: Febrero-Junio 2018
Academia/ Módulo:
Matemáticas
Semestre: Cuarto Semestre
Horas/semana: 4 Horas
Competencias: Disciplinares ( X ) Profesionales ( ) 1.- Contribuye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 6.- Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 8.- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Competencias Genéricas: 1.- Se conoce y valora a sí mismo, y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 5.- Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos, 8.- Participa y colabora de manera efectiva en grupos diversos. Transversal a desarrollar: Aplicación de funciones en su contexto.
Competencias a aplicar por el docente (según acuerdo 447): 4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional. 4.1. Comunica ideas y conceptos con claridad en los diferentes ambientes de aprendizaje y ofrece ejemplos
pertinentes a la vida de los estudiantes. 4.2. Aplica estrategias de aprendizaje y soluciones creativas ante contingencias, teniendo en cuenta las
características de su contexto institucional, y utilizando los recursos y materiales disponibles de manera adecuada.
5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo. 5.1. Establece criterios y métodos de evaluación del aprendizaje con base en el enfoque de competencias, y los
comunica de manera clara a los estudiantes. 5.2. Da seguimiento al proceso de aprendizaje y al desarrollo académico de los estudiantes. 5.3. Comunica sus observaciones a los estudiantes de manera constructiva y consistente, y sugiere alternativas
para su superación. 6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo. 6.2. Favorece entre los estudiantes el deseo de aprender y les proporciona oportunidades y Herramientas para avanzar en sus procesos de construcción del conocimiento.
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6.3. Promueve el pensamiento crítico, reflexivo y creativo, a partir de los contenidos educativos establecidos, situaciones de actualidad e inquietudes de los estudiantes.
6.5. Fomenta el gusto por la lectura y por la expresión oral, escrita o artística. 6.6. Propicia la utilización de la tecnología de la información y la comunicación por parte de los estudiantes para
obtener, procesar e interpretar información, así como para expresar ideas.
Propósito de las asignaturas: Que el estudiante aprenda a identificar, utilizar y comprender los sistemas de representación del cambio continuo y su dicretización numerica con fines predictivos.
Propósitos formativos
Contenidos Centrales: Primer Parcial
Conceptos básicos de sistemas de coordenadas, orientación y posición. Introducción a las funciones algebraicas y elementos de las funciones trascendentes elementales.
Usos de la derivada en diversas situaciones contextuales. Tratamiento intuitivo: numérico, visual y algebraico de los límites. Tratamiento del cambio y la variación: estrategias variacionales.
Segundo Parcial Grafiación de funciones por diversos métodos. Introducción a las funciones continuas y a la
derivada como una función. Criterios de localización para máximos y mínimos de funciones. Tercer Parcial
Nociones básicas de derivación de orden uno y orden dos (primera y segunda derivada). Optimización y graficación de funciones elementales (algebraicas y trascendentes).
Contenidos específicos:
Primer Parcial
El tratamiento de las representaciones del cambio en distintos contextos, tablas, gráficas, texto, expresion oral, movimiento físico, funciones y derivadas. ¿Cómo represento el cambio? ¿Puedo representar mi posición en una gráfica dependiente del tiempo? ¿ Qué es el cambio y la variación?
Intervalos de monotonía, funciones crecientes y decrecientes. ¿Si una función pasa de crecer a decrecer hay un punto máximo en el medio? ¿Al revés, un punto mínimo? ¿Así se comporta la temperatura en mi ciudad durante todo el día?
¿Qué tipo de procesos se precisan para tratar con el cambio y la optimización, sus propiedades, sus relaciones y sus transformaciones representacionales?
¿Porqué las medidas del cambio resultan útiles para el tratamiento de diferentes situaciones contextuales?
¿Se pueden sumar las funciones? ¿qué se obtiene de sumar una función lineal con tra función lineal? ¿una cuadrática con una lineal? ¿Se le ocurren otras?
Construyendo modelos predictivos de fenómenos de cambio continuo y cambio discreto.
Calcular derivadas de funciones mediante técnicas diversas. Segundo Parcial
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Determinar el máximo o el mínimo de una función mediante los criterios de la derivada ¿Dónde se crece más rápido?
Encontrar los puntos de inflexión de una curva mediante el criterio de la segunda derivada ¿Cómo se ve la gráfica en un punto de inflexión? ¿Podrías recortar el papel siguiente esa gráfica? ¿Qué observas?
Tercer Parcial
Reconocer las propiedades físicas como posición, velocidad y aceleración y su correspondencia con la función, la derivada primera y la segunda derivada de una función, interpretación física de los puntos singulares.
Calcular derivadas sucesivas de funciones polinomiales y trigonométricas mediante algoritos, no mayor a la tercera derivada. ¿Existen caminos directos para derivar? ¿Qué metodos conocemos?
Predice el comportamiento en el crecimiento de un proceso de cambio en el dominio continuo (variables reales) y en el dominio discreto (variables enteras) .
Aprendizajes esperados: Primer Parcial
Caracteriza a las funciones algebraicas y las funciones trascendentes como herramientas de predicción, útiles en una diversidad de modelos para el estudio del cambio.
Construye y analiza sucesiones numéricas y reconoce los patrones de crecimieto y de decrecimiento.
Analiza las regiones de crecimiento y decrecimiento de una función.
Encuentra en forma aproximada los máximos y mínimos de una funcion. Segundo Parcial
Opera algebraica y aritméticamente, representa y trata gráficamente a las funciones polinomiales básicas (lineales, cuadráticas y cúbicas)
Determina algebraica y visualmente las asíntotas de algunas funciones racionales básicas.
Utiliza procesos para la dervación y representan a los objetos derivada y derivada sucesiva como medios adecuados para la predicción local.
Tercer parcial
Utiliza procesos para la derivación y representan a los objetos derivada y derivada sucesiva como medios adecuados para la predicción local.
Localiza los máximos, mínimos, las inflexiones de una gráfica para funciones po linomiales y trigonométricas.
Calcula y resuelve operaciones gráficas con funciones para analizar el comportamiento local de una función (los ceros de f, f’’ y f’’’). En algunos casos, se podrán estudiar los cambios de f’’’ mediante la tercera derivada
Actividades de Aprendizaje
Tiempo Programado: 60 horas Tiempo Real:
Fase I Apertura
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Aprendizajes esperados de cada materia
Actividad / Transversalidad
Producto Esperados
Ponderación Actividad que de enseñanza aprendizaje
Proceso de aprendizaje
Primer Parcial 1.- Se conoce y valora a sí mismo, y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
1.- Presentación de la Planeación, forma de trabajar y evaluación, promover la integración grupal, la comunicación e identificar expectativas de los alumnos. (1 sesión)
2.- El facilitador dirige el examen (Tipo PLANEA) diagnóstico. Posteriormente muestra la resolución del mismo. (1 sesión) 3.- El docente realiza una actividad de Construye T. Considerando el material de apoyo proporcionado Actividad 4.6. (1 sesión) 4.- El docente explica algún software para graficar funciones (1 sesión)
1.- El alumno toma notas al respecto. 2.- El alumno resuelve el examen diagnóstico y realiza una auto-evaluación conoce su resultado. 3.- El alumno realiza la actividad de Construye T. 4.- El alumno toma notas sobre el software para graficar funciones.
Formula preguntas de cómo llevar a cabo la planeación. Resuelve el Examen. Reflexión sobre esta actividad. Investiga sobre el software
Apuntes en la libreta. Examen Corregido. NA NA
NA NA NA NA
Fase II Desarrollo
Aprendizajes esperados de cada materia
Actividad/ transversalidad Producto Esperados
Ponderación Actividad que de enseñanza aprendizaje
Proceso de aprendizaje
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Caracteriza a las funciones algebraicas y las funciones trascendentes como herramientas de predicción, útiles en una diversidad de modelos para el estudio del cambio. Construye y analiza sucesiones numéricas y reconoce los patrones de crecimiento y de decrecimiento. Analiza las regiones de crecimiento y decrecimiento de una función.
5.- El docente da ejemplos demostrativos de gráficas de funciones algebraicas y trascendentes, sobre el cambio numérico en las funciones (rectas) en su contexto. Puede apoyarse en algún software. ( 2 sesiones) 6.- El docente da indicaciones para la construcción de gráficas de funciones racionales y observar su comportamiento. Posteriormente les pide la tarea correspondiente (3 sesiones) 7.- El docente explica las fórmulas de derivación en la aplicación de crecimiento y decrecimiento de una función. Posteriormente les pide la tarea correspondiente
5.- El alumno toma notas y elabora modelos a partir de fenómenos físicos planteados en diversas fuentes, por ejemplo, enfriamiento de un líquido. Realiza la tarea correspondiente y hará una co-evaluación. (1 sesión de reforzamiento) 6.- Toma notas y realiza el análisis de los distintos parámetros que tiene una función con el uso de TIC, por ejemplo, manipulación de los parámetros de funciones con Geogebra, se realiza una retroalimentación. (1 sesión de reforzamiento) 7.- Toma notas sobre el tema, representando gráficamente diversas sucesiones partiendo desde modelos algebraicos. Realiza la tarea correspondiente y hará una co-evaluación.
Grafica funciones, elabora tabla de valores de crecimiento y resuelve la tarea. Tabula. Resuelve ejercicios.
Representa el cambio numérico de patrones de crecimiento en tablas y gráficas. Demostrar y argumentar la existencia de asíntotas en una función racional. Argumentar situaciones en el contexto no escolar donde se presenten comportamientos asintóticos. Aplicar las diferentes técnicas de derivación para predecir fenómenos físicos, biológicos económicos,
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Encuentra en forma aproximada los máximos y mínimos de una función. Segundo Parcial Opera algebraica y aritméticamente, representa y trata gráficamente a
(3 sesiones) 8.- El docente da indicaciones para que el alumno realice el proyecto transversal siguiente: Plantear 6 problemas en donde utilicen las funciones en la vida cotidiana. Se hará una hetero-evaluación con una rúbrica. (3 sesiones) 9.- Aplica el examen del parcial. Queda a criterio del docente si lo hace en un examen o varios exámenes. (1 sesión) 10.- Realiza la revisión de la libreta. (1 sesión) 11.- Se realiza la evaluación final. 1.- Se realiza la actividad de Construye-T. (5.6) 2.- El docente da una explicación sobre las operaciones con funciones. Posteriormente le encarga la tarea.
(1 hora de reforzamiento) 8.- Reunidos en equipo de 5 personas realizarán el proyecto. Entregarán un trabajo final que contenga: portada, introducción desarrollo (planteamiento de los problemas, gráficas, tabulación, solución, mostrar la transversalidad) conclusión. 9.- Resuelve el examen correspondiente. 10.- Revisión de la libreta, mediante una auto-evaluación con una rúbrica. 11.- Conoce su evaluación final. 1.- Realiza la actividad de construye-t. (1 sesión) 2.- Toma notas del tema correspondiente y realiza la tarea. Se hará un co-evaluación.
Desarrollo de habilidades. Retroalimentación. Demostración de sus conocimientos. Reconoce sus áreas de oportunidad. Reflexiona sobre sus emociones. Realiza las operaciones con funciones.
social entre otros. Evaluar las raíces de una función polinomial para determinar de manera aproximada la existencia de valores máximos y mínimos. Aplica sus conocimientos. Resultados de la evaluación. Calificación final. Análisis de la actividad. Representar el cambio numérico de patrones de crecimiento
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las funciones polinomiales básicas (lineales, cuadráticas y cúbicas) Determina algebraica y visualmente las aíntotas de algunas funciones racionales básicas Utiliza procesos para la derivacion y representan a los objetos derivada y derivada sucesiva como medios adecuados para la predicción local.
(5 sesiones) 3.- Explicación de algunos ejemplos con el uso de algún software en la aplicación de problemas prácticos. Posteriormente le encarga la tarea. (4 sesiones) 4.- El docente da la explicación de la derivada de funciones. Posteriormente les encarga la tarea correspondiente. (6 sesiones) 9.- Aplica el examen del parcial. Queda a criterio del docente si lo hace en un examen o varios exámenes. (1 sesión) 10.- Se realiza la evaluación final.
(1 sesión de reforzamiento) 3.- Con el uso de las TIC, ejemplifica las indeterminaciones en una función y analiza para que valores se generan las asíntotas. Busca en tu entorno algunos límites y abórdalos de forma analítica. Realiza la tarea. Se hará un co-evaluación. 4.- toma notas del tema y realiza la tarea. Mediante un co-evaluación se hace la revisión. (2 sesiones de reforzamiento), se realiza una retroalimentación. 9.- Resuelve el examen correspondiente. 10.- Conoce su evaluación final.
Tabula y grafica funciones. Entiende la aplicación de la derivada. Retroalimentación. Reconoce sus áreas de oportunidad.
en tablas y gráficas. Demostrar y argumentar la existencia de asíntotas una función racional. Argumentar situaciones en el contexno no escolar donde se presenten comportamientos asintóticos. Aplicar las diferentes técnicas de derivación para predecir fenómenos físicos, biológicos, económicos, sociales, entre otros. Aplica sus conocimientos. NA
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Tercer Parcial Utiliza procesos para la derivación representan a los objetos como derivada y derivada sucesiva como medios adecuados para la predicción local. Localiza los máximos, mínimos, las inflexiones de una gráfica para funciones polinomiales y trigonométricas. Calcula y resuelve operaciones, gráficas con
1.- Se realiza la actividad de Construye-T. (6.6) (1 sesión) 2.- El docente explica el tema de derivación y su aplicación en la solución de problemas prácticos. Posteriormente les encarga la tarea correspondiente. (6 sesiones) Después de haber revisado la tarea se hace una realimentación del tema. (1 sesión) 3.- El docente da las indicaciones para que el alumno realice ejercicios prácticos utilizando algún software. Quedan a criterio del docente y utilizando la bibliografía sugerida. (3 sesiones) Se evalúa con una lista de cotejo. 4.- El docente aplica las derivadas sucesivas en algunos ejemplos de física:
1.- El alumno realiza esta actividad, siguiendo las indicaciones del docente. 2.- El alumno toma notas del tema y analiza situaciones en las que intervengan funciones que contemplen desplazamiento, velocidad y aceleración, y a partir de estos modelos analizar las funciones y la relación existente entre las diversas razones de cambio. Resuelve la tarea y realizan una co-evaluación. 3.- El alumno investiga los puntos de inflexión y raíces de diversas funciones polinomiales y trigonométicas obtenidas en diversas fuentes (libros, internet entre otros). (1 sesión de reforzamiento) 4.- Toma notas sobre el tema y analiza la importancia de las derivadas sucesivas en
Reconoce los tres componentes del proceso emocional. Pone en práctico sus conocimientos y sus habilidades de investigación. Utiliza las TICs. Aplica las derivadas sucesivas en si contexto.
Manejo de emociones. Aplicar las diferentes técnicas de derivación para predecir fenómenos físicos, biológicos, económicos, social, entre otros. Localizar en el plano cartesiano las regiones de crecimiento y de decrecimiento de una función dada de un contexto específico. Localizar los ceros de f y sus derivadas hasta el
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funciones para analizar el comportamiento local de una función (los ceros de f, f’ y f’’). En algunos casos, se podrán estudiar los cambios de f’’’ mediante la tercera derivada
desplazamiento, velocidad, aceleración, entre otros. Quedan a criterio del docente y utilizando la bibliografía sugerida. (5 sesiones)
física. Resuelve la tarea y realizan una co-evaluación. (1 sesión de reforzamiento)
orden de tres.
Fase III Cierre
Aprendizajes esperados de cada materia
Actividad/transversalidad Producto Esperados
Ponderación Actividad que de enseñanza aprendizaje
Proceso de aprendizaje
Aplicación de sus conocimientos.
5.- Aplica el examen del parcial. Queda a criterio del docente si lo hace en un examen o varios exámenes. (1 sesión) 6.- Revisión de la libreta y se aplica una rúbrica para su evaluación mediante co-evaluación (1 sesión) 7.- Se realiza la evaluación final mediante un hetero-evaluación.
5.- Resuelve el examen correspondiente. 6.- Revisión de la libreta, mediante una auto-evaluación con una rúbrica. 7.- Conoce su evaluación final.
Retroalimentación. Demostración de sus conocimientos. Reconoce sus áreas de oportunidad.
Aplica sus conocimientos. Resultados de la evaluación. Calificación final.
60% 5% 100%
Se cumplieron las actividades programadas: SI ( ) NO ( )
*EN CASO DE REALIZAR CAMBIOS VER REGISTRO DE LOS MISMO EN ANEXO*
Elementos de Apoyo (Recursos)
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Equipo de apoyo Bibliografía
Computadora.
Cañón.
1) Steward, J. (2008). Cálculo de una variable.México: CENGAGE Learning.
2) Edwards y Penney. (1994). CÁLCULO con Geometría Analítica.México: Prentice Hall.
3) Granville. (2010). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. México: Limusa.
4) Ayres, F y Mendelson, E. (2001). CÁLCULO. Colombia: Mc Graw Hill.
Evaluación
Criterios: Evaluación, auto-evaluación, co-evaluación, hetero-evaluación y otras actividades. 40 % Examen 60 %
Instrumento: Listas de cotejo, Rúbricas, Tareas, Examen de conocimiento
Porcentaje de aprobación a lograr: 60% Fecha de validación: 29 de enero del 2018
Fecha de Vo. Bo de Servicios Docentes. 25 de enero del 2018
Anexos
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LISTA DE COTEJO PARA EVALUAR TAREAS.
Indicadores si No
Observaciones 1% 0%
Investigó en la bibliografía sugerida.
El trabajo se presenta limpio.
Realizó todos los ejercicios (de 80% a 100%).
Contiene todas las gráficas (de 80% a 100%).
Sin faltas de ortografía.
Contiene procedimientos (de 80% a 100%).
Todos los trazos son con regla.
Etiqueta los ejes coordenados.
Coloca la escala correcta.
Mantiene una actitud respetuosa ante sus compañeros.
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Rúbrica para la investigación
CATEGORÍA 10 Cumplió al 90%-
100%
8
Cumplió al 80%-
89%.
6 Cumplió al 60%-
79%.
5 Cumplió del
40%-50%
CALIDAD DE
INFORMACIÓN
La información está claramente relacionada con el tema principal y proporciona varias ideas secundarias y/o ejemplos.
La información da respuesta a las preguntas principales y 1-2 ideas secundarias y/o ejemplos.
La información da respuesta a las preguntas principales, pero no da detalles y/o ejemplos.
La información tiene poco o nada que ver con las preguntas planteadas.
ORGANIZACIÓN La información está muy bien organizada con párrafos bien redactados y con subtítulos.
La información está organizada con párrafos bien redactados.
La información está organizada, pero los párrafos no están bien redactados.
La información proporcionada no parece estar organizada.
ORDEN Y
ATRACTIVO
Excepcionalmente bien diseñada, ordenada y atractiva. Colores que combinan bien son usados para ayudar a la legibilidad del gráfico. Se usa una regla y papel de gráfica o un programa de graficado computadorizado.
Ordenada y relativamente atractiva. Una regla y papel de gráfica o un programa de graficado computadorizado son usados para hacer la gráfica más legible.
Las líneas están dibujadas con esmero, pero la gráfica aparenta ser bastante sencilla.
Aparenta ser desordenada y diseñada a prisa. Las líneas están visiblemente torcidas.
PROCEDIMIENTO La explicación demuestra completo entendimiento del concepto matemático usado para resolver los problemas.
La explicación demuestra entendimiento sustancial del concepto matemático usado para resolver los problemas.
La explicación demuestra algún entendimiento del concepto matemático necesario para resolver los problemas.
La explicación demuestra un entendimiento muy limitado de los conceptos subyacentes necesarios para resolver
RESULTADOS
CORRECTOS
Todos los problemas son resueltos de manera correcta
Algunos problemas son resueltos de manera correcta
Algunos problemas son resueltos de manera correcta
La mayoría de los problemas están incorrectos
Nota: se califica el proyecto posterior a la fecha de entrega, pero se baja el porcentaje de
cumplimiento según los días en que se entrega.
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Rúbrica para evaluar libreta.
Categoría 10 Cumplió al 90%-100%
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Cumplió al 80%-89%. 6
Cumplió al 60%-
79%.
5 Cumplió del
40%-50%
Precisión
del trazado
Todo está correctamente
trazados y son fáciles de
ver. Se utiliza juego
geométrico para conectar
ordenadamente.
Está correctamente
trazados y son fáciles
de ver. Utiliza el juego
geométrico.
Algunos están
correctamente
trazados. No
siempre utiliza el
juego
geométrico.
No están
correctamente
trazados, no
utiliza el juego
geométrico.
Limpieza Muestra todo el cuaderno. Muestra la mayor parte. Muestra un poco
más de la mitad.
Muestra menos
de la mitad.
Contenido Tiene todas las
actividades.
Le faltan algunas
actividades.
Muestra un poco
más de la mitad
de las
actividades.
No cumplió con
sus actividades.
Ejercicios Calculó correctamente lo
que se pedía.
Calculó correctamente
lo que se pedía, según
el porcentaje.
Calculó
correctamente lo
que se pedía,
según el
porcentaje.
No pudo calcular
lo que se pidía.
Orden y
atractivo
Excepcionalmente bien
diseñada, ordenada y
atractiva. Colores que
combinan bien son
usados para ayudar a la
legibilidad del gráfico. Se
usa una regla y compás
para las gráficas y/o
dibujos.
Ordenada y
relativamente atractiva.
Una regla para realizar
las gráficas y/o dibujos.
Las líneas están
dibujadas con
esmero, pero la
gráfica aparenta
ser bastante
sencilla.
Aparenta ser
desordenado y
diseñada a prisa.
Las líneas están
visiblemente
torcidas.
Libreta Muy bien presentada,
forrada o plastificada,
contiene los datos del
alumno.
Su presentación es
buena, con o sin los
datos del alumno.
Su presentación
es regular, con o
sin los datos del
alumno.
No cumple los
requisitos
solicitados.
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Examen Diagnóstico de Cálculo
Nombre: ____________________________________________Grupo: ______
Subraya la respuesta correcta, realiza las operaciones necesarias en cada problema.
1) ¿Cuál es el resultado de la operación? 72+
9
6+
8
9
A) 29
B) 43
C) 2417
D) 539
2) Calcula la siguiente operación: √49 + {52 + [8 − 5(7 − 2)] + 2} A) 17 B) 34 C) 49 D) 67
3) El resultado de la operación: (23) (
9
5) (
5
4)
A) 2454
B) 23
C) 32
D) 10850
4) Si en la siguiente figura se traza una recta horizontal justo a la mitad
y se dobla la figura por la recta trazada se obtiene una nueva figura. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar a partir de un vértice?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
5) Se necesita empacar latas de alimentos en cajas rectangulares; sus formas y medidas se muestran en la siguiente figura.
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Si se considera a pi=3.14 y 1 pulg=2.5cm, ¿cuántas latas caben en cada caja si estas se llenan a su máxima capacidad? A) 20 a 30 B) 160 a 170 C) 480 a 490 D) 610 a 620
6) Carolina compró un terreno de forma rectangular de 330 m2, le dicen que el largo del terreno es el doble del ancho menos 8 metros. ¿Cuántos metros mide de ancho? A) 11 B) 15 C) 22 D) 30
7) En la misma papelería, a Julián le compraron $40 por 4 lápices y 8 plumas, mientras que a Estefanía le cobraron $25 por lápices y 2 plumas. ¿Cuántos pesos costó cada pluma? A) 1.00 B) 1.75 C) 3.00 D) 3.50
8) ¿Cuál es el volumen en centímetros del cilindro que se muestra en la figura? Considere a pi=23.14.
A) 96.00 B) 150.72
C) 301.44 D) 602.88
Diámetro =8cm
9) ¿Cuál es la longitud del segmento A de la siguiente figura? A) √73 B) 11 C) √185 D) 19
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10) ¿Cuántos centímetros de listón se necesitan como mínimo para decorar el contorno total de un mantel como el que se ilustra en la figura? Considere pi=3.14.
100cm
A) 285.5 B) 335.5 C) 521.0 D) 571.0
11) Luis, María y Felipe juntaron $83 para comprar un videojuego.
Luis juntó el doble que Felipe, mientras que María consiguió $7 menos que Luis. ¿Cuál es la expresión algebraica que expresa el dinero juntado por los tres? A) X+2x+7=83 B) X+2x+(x+7)=83 C) X+2x+(2x-7)=83 D) X+2x-7=83
12) Identifique la gráfica que representa la recta paralela de la ecuación y-2x-3=0 cuya ordenada al origen es -2.
13) Si 28 cuadernos cuestan $1360, ¿cuánto cuestan 55 cuadernos?
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A) $2052.36 B) $2640.00 C) $2671.42 D) $2900.00
14) ¿Qué expresión algebraica corresponde al enunciado? El producto obtenido del cuadrado de un número disminuido en nueve, por el cuadrado de la suma del doble del mismo número y tres. A) (x2-9)(2x2+3) B) (x2-9)2 (2x+3)2 C) (x2-9)(2x+3) D) (x2-9)(2x+3)2
15) Dada la función 𝑓(x)= x2-6x+9, calcule 𝑓(−4)𝑓(2)
A) -31 B) -17 C) 17 D) 49
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MATERIAL DIDÁCTICO
PARA CÁLCULO
DIFERENCIAL Cuadernillo con ejercicios
Ing. Andrés Redondo Quiroz
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2 | P á g i n a
Índice
Introducción a los números 3
Clasificación de los números 3
Introducción al cálculo 6
Funciones 7
Clasificación de funciones 9
Operaciones con funciones 17
Límites 19
Límites infinitos 22
Límites en el infinito 22
Cálculo de límites indeterminados 23
La derivada 25
Teoremas fundamentales del cálculo de derivadas 26
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3 | P á g i n a
Introducción a los números
El interés del hombre por los números es tan antiguo
como la civilización. Son muchos los pueblos
antiguos que se interesaron por los números bien
por razones practicas inmediatas, bien por su
relación con la astronomía y el cómputo del tiempo
o incluso asociados a la adivinación y el esoterismo.
Entre los griegos, un número era una cantidad o una
medida representada por un entero natural, o por una
relación de dos enteros naturales. Puede considerarse
un número como una abstracción ligada a conjuntos
de objetos y que se escinde, por consideración de los
conjuntos infinitos, en dos conceptos diferentes.
En la actualidad, se define un número como elemento
de un conjunto de números que deben verificar ciertas propiedades.
Clasificación de los números
Desde Euclides (324-265) hasta Gauss (1777-1855) el avance en el conocimiento
de los números fue espectacular y aunque pueden faltar muchas cosas por
descubrir, éstas serán siempre sobre la base de la obra de Gauss. Alrededor del
año 300 a.C. Euclides de Alejandría recoge todo el
saber disponible en ese momento en lo referente a
matemática antigua, que plasma en trece libros que
denominó los Elementos, obra que con el devenir de
los siglos ha sido fuente de consulta de muchos sabios.
Alrededor del año 1800, Gauss lleva a cabo algo
parecido con su Disquisitiones Arithmeticae, que
recoge todo el saber que hasta entonces se tenía de
la teoría de los números y que no pasaba de ser una
mera colección de resultados aislados. En sus Disquisiciones, Gauss introdujo la
noción de congruencia y, al hacerlo, unificó la teoría de los números.
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4 | P á g i n a
Clasificación de los números
Actividad de aprendizaje 1
Instrucciones: Contesta según se pide, sé claro en tus respuestas y en tus
procedimientos no omitas pasos.
1. ¿Cuántos elementos contiene el conjunto de los números enteros?
________________________________________________________________________________
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2. ¿Cuántos elementos contiene el conjunto de los números naturales?
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
3. ¿Se puede decir que el conjunto de los enteros contiene al conjunto de los
naturales?¿Por qué?
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5 | P á g i n a
4. ¿Qué conjunto numérico es mayor, el de los entero o el de los naturales?
________________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
5. ¿Qué tipo de números racionales conoces?
________________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
6. Comprueba que los siguientes número racionales son enteros y anota a
qué tipo de número racional es.
5
3.12
5.22
2.34343434…
6.777777…
1.9999999…
7. ¿Qué es mayor 2.9999… ó 3? Compruébalo.
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6 | P á g i n a
Introducción al cálculo
Vivimos en un mundo en constante cambio, todos los
fenómenos que conocemos nos muestran que nada es
estático, incluso aquello que no está en movimiento se
mueve en el tiempo. Todo fenómeno o comportamiento
se puede representar por modelos que incluyen variables,
cuando algo cambia, varía.
Dichos fenómenos se modelan con variables que
dependen unas de las otras, la velocidad a la que te desplazas depende de dos
variables, de la distancia que recorres y el tiempo en el que lo haces, en ese
sentido existen variables dependientes e independientes. El cálculo, es la
matemática del cambio.
El Cálculo es una rama de la Matemática cuyas ideas datan de la época de
Arquímedes (287-212 a.C.), su consolidación como disciplina se produce a partir
de los estudios realizados en el siglo XVII por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried
Leibniz (1646-1716).
Muchos de los descubrimientos científicos que han permitido el avance de
nuestra civilización durante los tres últimos siglos hubieran sido imposible si no se
hubiera conocido el Cálculo. Gran parte del Cálculo implica el empleo de
números reales o de variables para describir cantidades cambiantes; pero,
fundamentalmente, implica el uso de funciones a los efectos de describir la
relación entre tales variables.
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7 | P á g i n a
Funciones
Las funciones aparecen cada vez que tenemos una
cantidad que depende de otra. Así, al abrir una llave
de agua para llenar un tanque, todos sabemos que el
volumen de agua acumulado depende del tiempo, lo
que probablemente no todos sabemos es que allí
existe, cuanto menos, una función.
En general, cualquier relación causa-efecto presupone la existencia de función.
Más aún, el origen del concepto se encuentra en la necesidad de reproducir
fenómenos de dependencia entre magnitudes físicas y/o conexiones entre
hechos del mundo de lo concreto y real.
Por ejemplo, experimentalmente se observa que la variación de
longitud que presenta un resorte cuando se le aplica una fuerza es
directamente proporcional a la magnitud de la fuerza: a mayor
fuerza, mayor compresión del resorte. (Dentro de los límites elásticos
del resorte). En la descripción de este fenómeno detectamos:
L
a existencia de dos magnitudes (fuerza y longitud )
Q
ue existe una relación de dependencia entre ellas; “la variación de
longitud d, depende de la fuerza F “
Que la relación de dependencia define función; pues: “a cada
fuerza corresponde una única variación de longitud “
CO
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8 | P á g i n a
Que, aunque no se explicite, hay dos conjuntos en juego: el de
todos los valores numéricos posibles para F y el de todos los valores
numéricos posibles para d.
Entonces existen funciones cuando en un sistema hay variables y una relación de
dependencia entre ellas, las funciones que abordaremos en este curso son
funciones de dos variables. En ellas, para cada valor de la variable
independiente, tendremos un solo valor de la variable dependiente. A todo el
conjunto de valores que puede tomar la variable independiente lo llamamos
dominio y al conjunto de todos los valores que se generan en la variable
dependiente dado los valores de la variable independiente se llama rango o
contradominio.
Si tenemos:
Despejando “y”
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9 | P á g i n a
Clasificación de funciones
Las funciones elementales se clasifican en funciones algebraicas y funciones
trascendentes. Las funciones algebraicas a su vez en polinomiales, Racionales e
irracionales. Mientras que las funciones trascendentes se clasifican a su vez en
trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
Funciones algebraicas
Una función algebraica es aquella cuya variable dependiente “y” se obtiene
combinando un número finito de veces la variable dependiente “x” y constantes
reales por medio de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación,
división, evaluación a potencias y extracción de raíces.
Un polinomio de grado n en una variable es una expresión del tipo:
CO
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MATERIAL DIDÁCTICO PARA CÁLCULO DIFERENCIAL
10 | P á g i n a
Funciones racionales
De igual forma que ocurre con los polinomios, cada fracción algebraica racional
permite definir una función real de variable real, estas funciones definidas por una
fracción racional se llaman funciones racionales y en este caso el dominio no será
todo el conjunto de los números reales sino aquel subconjunto del mismo en el
que no se anula el denominador. Como un polinomio es una fracción racional de
denominador 1, las funciones polinomiales son casos particulares de las funciones
racionales.
Actividad de aprendizaje 2
Instrucciones: Contesta según se pide, sé claro en tus respuestas y en tus
procedimientos no omitas pasos.
1. Explica lo que es una relación implícita
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2. Explica lo que es una función
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3. ¿Toda función es una relación? ¿Por qué?
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4. ¿Toda relación es una función? ¿Por qué?
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11 | P á g i n a
5. ¿Qué entiendes por dominio?
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6. De las siguientes gráficas, marca las que son funciones y explica por qué:
CO
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12 | P á g i n a
CO
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13 | P á g i n a
7. Expresa las siguientes relaciones como f(x) si es que corresponde y
grafícalas. Anota su dominio. Si no son funciones explica por qué.
CO
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14 | P á g i n a
CO
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15 | P á g i n a
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16 | P á g i n a
8. Para las siguientes funciones anota el dominio y el rango:
9. Para las siguientes situaciones encuentra la función correspondiente y
grafícala usando para cada una un trozo de hoja milimétrica.
a) Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo
que la altura alcanzada por el agua aumenta 20 cm por cada hora que
transcurre. Si inicialmente el agua que había en la piscina llegaba a una
altura de 1,2 m, ¿cuál es la ecuación de la función que determina la altura
(h) del agua después de t horas?
b) El dueño de una mueblería paga a los carpinteros un sueldo base de $
1,000 semanales más $ 50 por cada mueble terminado. Considere las
variables, sueldo de un carpintero, y cantidad de muebles terminados,
construye el modelo correspondiente.
CO
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17 | P á g i n a
c) Un terreno rectangular tiene de largo el doble que lo que tiene de ancho,
expresa el área en función del ancho.
Operaciones con funciones
En el estudio de las funciones hemos encontrado algunas que se pueden describir
utilizando otras más simples, por ejemplo la función:
Se puede escribir como la suma algebraica de:
De esta manera podemos ver, que con las funciones, de la misma manera que
con los números, se pueden realizar las operaciones básicas de suma, resta,
multiplicación, potenciación, división y de sacar raíz.
En general, sean f y g dos funciones y supongamos que Dom de f y Dom de g
denotan sus dominios respectivamente, las operaciones básicas entre ellas de
suma, resta, multiplicación y la división se definen como sigue:
Suma
Donde el dominio de es
Resta
Donde el dominio de es
CO
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18 | P á g i n a
Multiplicación
Donde el dominio de es
División
Donde el dominio de es excluyendo los
valores donde
Función compuesta
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g se define la función compuesta
de f y g y se escribe f o g (se lee f compuesta con g) a la función:
Actividad de aprendizaje 3
Instrucciones: Contesta según se pide y no omitas pasos en tus procedimientos
1. Dadas las funciones:
encontrar
CO
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19 | P á g i n a
Límites
Para una función Matemática en un punto la expresión “el límite de
cuando es tan próximo a como queramos” es el valor al que se aproxima
la función cuando el valor de se acerca a tanto como se quiera,
simbólicamente lo escribimos de la forma:
Por ejemplo:
CO
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20 | P á g i n a
Solución analítica de límites:
Propiedades de los límites:
CO
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21 | P á g i n a
CO
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22 | P á g i n a
Límites infinitos
Tenemos límites infinitos en los casos en los cuales al aproximarnos al valor definido
de x, la función se hace arbitrariamente grande. En ese caso decimos que f(x)
diverge a ∞ en el punto x=a.
Como ejemplo tenemos la siguiente función:
Si buscamos:
Nos encontramos con que a medida que x tiende
a cero por ambos lados el valor de f(x) crece
arbitrariamente, tal como lo muestra su gráfica.
Entonces decimos que el límite de f(x) cuando x
tiende a cero es infinito.
Límites en el infinito
Si queremos estudiar el comportamiento de una función f(x) cuando los valores
de x se hacen tan grandes como queramos lo expresamos diciendo que x→∞, por
ejemplo:
Al dar valores a x cada vez más grandes, el comportamiento de f(x) es
aproximarse a cero, entonces tenemos:
CO
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CO
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23 | P á g i n a
Cálculo de límites indeterminados
Un límite queda indeterminado cuando al resolverlo nos encontramos con:
Para estos tres casos usamos:
a) Por descomposición en factores de un polinomio.
b) Por producto y división de la mayor potencia de x.
c) Por producto y división de conjugado de un binomio.
CO
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24 | P á g i n a
Actividad de aprendizaje 4
Instrucciones: Resuelve los límites según se te pida, se claro en tus procedimientos
1. Calcula los siguientes límites:
2. Usando los teoremas, resuelve los siguientes límites:
3. Resuelve los siguientes límites:
CO
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25 | P á g i n a
La derivada
Los orígenes del Cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos
problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de tipo
geométrico de importancia en Óptica y problemas de cálculo de valores
máximos y mínimos de una función dada.
En este tema, dada y = f(x) nos ocupamos de estudiar formas o métodos para
conocer como varía f al variar x (¿tiene comportamiento “definido”?, ¿se acerca
a un “valor determinado”?, ¿se hace “cada vez más grande”?, ¿presenta “salto”
ó “agujero”?).
En este tema continuamos estudiando las funciones pero desde otra perspectiva.
Dada y = f(x), el objetivo esencial es determinar cuánto varía f al variar x en un
entorno.
Tangente a una curva
Supongamos que queremos hallar la tangente a una curva de ecuación
cartesiana y=f(x) en el punto (a, f(a)). La estrategia, usada primero por Pierre de
Fermat y más tarde por Newton, consiste en aproximar la tangente por rectas
secantes cuyas pendientes sí pueden calcularse directamente. En particular,
consideremos la recta que une el punto (a, f(a)) con un punto cercano, (x, f(x))de
la gráfica de f . Esta recta se llama una secante (recta que corta a la curva, pero
no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es:
Observa que una secante es una buena
aproximación de la tangente, siempre
que el punto (x, f(x)) esté próximo (a,
f(a)). Estas consideraciones llevan a
definir la tangente a la gráfica de f en el
punto (a, f(a)) como la recta que pasa
por dicho punto y cuya pendiente es
igual al límite:
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26 | P á g i n a
Teoremas fundamentales del cálculo diferencial:
Reglas de derivación
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27 | P á g i n a
Tabla de derivadas
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28 | P á g i n a
Actividad de aprendizaje 5
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, realiza los procedimientos largos
en tu cuaderno.
1. Calcula las siguientes derivadas:
CO
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29 | P á g i n a
2. Resuelve los siguientes problemas de aplicación.
La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante
PV=K, donde P es la presión, V el volumen y K una constante. Si la presión está
dada por la expresión P(t)=30 + 2t, con P en centímetros de mercurio, t en
segundos, y el volumen inicial es de 60 cm³, determinar la razón de cambio del
volumen con respecto al tiempo a los 10 segundos.
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30 | P á g i n a
Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en
el mar 100 m³ de petróleo.
Calcula con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es
de 50m si el espesor disminuye a razón de 10 cm/hora en el instante en que R =
50 m.
El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm² por minuto. Calcula
la rapidez de variación de la longitud de sus lados cuando el área es de 200 cm².
Se supone que el triángulo se mantiene equilátero en todo instante.
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31 | P á g i n a
Sean dos resistencias y conectadas en paralelo. La resistencia R
equivalente cumple:
Si y aumentan a razón de 0.01 y 0.02 Ω/seg. Respectivamente, calcula la
razón de cambio R cuando y
Un globo esférico se llena con gas con un gasto constante Q = 100 litros /minuto.
Suponiendo que la presión del gas es constante , halla la velocidad con que está
aumentando el radio R del globo en el instante en que R=0.3 m.
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32 | P á g i n a
Actividad de aprendizaje 6
Instrucciones: Realiza una reflexión sobre la importancia que tiene el cálculo en
los fenómenos de la vida cotidiana y sobre lo que has aprendido en la materia.
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