42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
• Número infinito
• Funciones de densidad de probabilidad
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ejercicios
Si una variable aleatoria tiene la densidad de probabilidad
f(x) =
Determine las probabilidades de que adopte un valor
• entre 1 y 3• Mayor que 0.5
≤>−
00
02 2
xpara
xparae x
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Solución
152.0
2
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
=−=
=
=
−
−
−
∫
∫
x
x
x
e
dxe
dxe
Entre 1 y 3 Mayor que 0.5
36.0
2
5.0
2
5.0
2
=−=
=
∞−
∞−∫x
x
e
dxe
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Determine la media y la varianza de la densidad de probabilidad dada, teniendo en cuenta:
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
−=
=
dxxfx
dxxfx
).()(
).(.
22 µσ
µ
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Solución
19.021
21
22
2
2
)(
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
=
+−=
+
−=
=
=
=
−
−
−
−
∞
∞−
∫
∫
∫
xe
xx
e
dxxe
dxxe
dxxxf
x
x
x
x
µ
µ
µ
µ
µ
[ ]2383.0
2)19.0()19.0(2
2)19.0(
)()(
2
3
1
2222
3
1
22
2
=
+−=
−=
−=
∫
∫
∫
−
−
∞
∞−
σ
σ
σ
µσ
dxexx
dxex
dxxfx
x
x
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ejercicio
Determine K de tal forma que la siguiente función pueda servir como densidad de probabilidad de una variable aleatoria
>
≤=
− 0
00)( 24 xKxe
xxf
x
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Solución
8
18
11
.8
18
8
4
)(
0
0
4
0
4
0
4
2
2
=
=
=−
=−=
==
=
=
∞−
∞
∞−
∞−
∫
∫
∫
k
k
ek
udxek
xdxdu
xu
dxxek
dxkxexf
u
x
x
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
DISTRIBUCIÓN NORMAL• Densidad de probabilidad normal o
distribución normal
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Distribución Normal estándar
• Uso de tablas
)(1)(
)()()(
zFzF
aFbFbzap
−=−−=<<
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ejercicio
• Determine las probabilidades de que una variable aleatoria con la distribución normal estándar adopte un valor
1. Entre 0.87 y 1.28
2. Entre -0.34 y 0.62
3. Mayor que 0.85
4. Mayor que -0.65
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Solución
• 1.
0919.08078.08997.0
)87.0()25.1(
)28.187.0(
=−=−=
<<
P
FFP
zP
2.
3635.0)6331.01(7324.0
))34.0(1()62.0(
))34.0(1()34(
=−−=−−=
−=−
P
FFP
FP
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• 3.
197.0
)83.0(1
=−=
P
FP
• 4.
742.0))65.0(1(1
)65.0(1
=−−=−−=FP
FP
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Variable aleatoria estandarizada
−−
−=≤≤
−
σµ
σµ
σµ
aF
bFbxap
aF
)(
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ejercicios
• Si el monto de radiación cósmica a la que se expone una persona al volar en avión por Colombia es una variable aleatoria con distribución normal y µ =4.35 mrem y σ= 0.59 mrem, determine las probabilidades de que el monto de radiación cósmica a la que se expondrá una persona en un viaje así sea de– Entre 4.00 y 5.00 mrem– Al menos 5.50 mrem
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Solución
−−
−
−−
−=≤≤
59.035.44
59.035.45
)(
FF
aF
bFbxap
σµ
σµa.
b.
−−
59.035.45.5
1 F
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• El monto real de café instantáneo que una máquina de relleno deposita en frascos de 4 onzas puede considerarse una variable aleatoria con una distribución normal con σ=0.04 onzas. Si solo 2% de los frascos contienen menos de 4 onzas ¿Cuál debería ser el relleno medio de esos frascos?
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
En cierta ciudad el número de interrupciones del suministro eléctrico por mes es una variable aleatoria con µ= 11.6 y σ= 3.3. Si la distribución puede aproximarse cercanamente con una distribución normal ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos 8 interrupciones en un mes cualquiera? (Ver gráfico del tablero).
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Solución
• x=8 => # de cortes de la luz
• Aproximamos la v.a discreta a una v.a continua
21±x
[ ]8925.0))24.1(1(1
3.36.115.7
1
5.8,5.7
=−−=
−−
=
FFF
x
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
En este caso la media y la varianza son iguales a la distribución binomial
−−
−=≤≤
−
σµ
σµ
σµ
aF
bFbxap
aF
)(
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ejercicio
• Si 20% de los chips de memoria RAM fabricados en cierta planta son defectuosos ¿Cuáles son las probabilidades de que en un lote de 100 aleatoriamente seleccionadas para su inspección – Cuando mas 15 sean defectuosos– Exactamente 15 sean defectuosos
42513
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Solución
• P=0.2• n=100• x=v.aleatoria discreta
• x=[14.5 - 15.5]
4)1(
20.
=−
==
−
pnp
pn
aF
σµ
σµ
21±x