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FACULTAD DE INGENIERA CIVIL Y
AMBIENTAL
TEMA : DISEO DE VIGA - DEFORMACIN DE VIGA CON
VOLADIZO CON CARGA DISTRIBUIDA
AUTOR :
CALLE FLORES, RODOLFO JESS
REVOREDO ESQUEN, CARLOS ALBERTO
GALLO DELGADO, CARLOS
CHAPOAN ADANAQUE, LLENGNER
RESISTENCIA DE MATERIALES I
ING. MNICA PAZ
Chiclayo 2014
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NDICE
1. LA MADERA.. 3
1.1.Consideraciones 3
1.2. Madera Aserrada de uso Estructural 3
1.2.1. Agrupamiento 4 - 5
2. MADERA UTILIZAR PARA CLCULOS.. 5 - 6
3. CLCULO PARA LA DEFORMACIN DE VIGA CON VOLADIZO CON
CARGA DISTRIBUIDA 6
3.1. Clculo del Mdulo de Elasticidad (E)..7
3.1.1. Relacin, Esfuerzo y Deformacin..7
3.1.2. Ensayos de Ondas de Esfuerzo..8 - 9
3.2. El Clculo de las Deflexiones en forma Terica .9
3.2.1. Mtodo de Doble Integracin...9 - 11
3.2.2. Mtodo del rea de Momentos11 -12
4. CALCULO DE LA DEFORMACIN DE LA VIGA CON VALORES
REALES.........................................................................................................................13
5. MEMORIA FOTOGRFICA Y DESCRIPTIVA DEL DISEO Y CARGA DE LA
VIGA12- 16
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INTRODUCCIN
Frecuentemente, el diseo de una viga queda determinado ms por su rigidez que por su
resistencia. Por ejemplo, al disear elementos de mquina para trabajos de precisin, tales como
tornos, prensas, limadoras, etc. Las deformaciones beben permanecer por debajo de las tolerancias
admisibles de trabajo que se va a realizar. Por otra parte, obtencin de ecuaciones de deformacin
que, junto con las condiciones de equilibrio esttico, permitan resolver las vigas estticamente
determinadas.
Se utilizan varios mtodos para determinar la deformacin de las vigas. En este caso nosotros
utilizaremos el mtodo de doble integracin que simplifica mucho su aplicacin. Tambin
utilizaremos el mtodo del rea de momentos, se considera el ms directo de todos. Luego se
compara respuestas de estas. El elemento que utilizaremos para el diseo de la viga es la madera
aserrada (madera tornillo).
1. LA MADERA:
Para la fabricacin de elementos estructurales de madera segn el reglamento nacional de
edificaciones E.010.
1.1. Consideraciones
Los proyectistas debern tomar en cuenta los aspectos propios que presentan la madera
como material natural ligno celuloso.
La madera aserrada deber estar seca a un contenido de humedad en equilibrio con el
ambiente donde va ser instalada y en ningn caso se exceder de un contenido de
humedad del 22% (Norma ITINTEC 251.104).
En cualquier proceso de secado de la madera empleado, se evitar la aparicin de
defectos, para que no altere las propiedades mecnicas.
Las maderas estructurales de densidad alta y muy alta pueden ser trabajadas en estado
verde para facilitar su clavado y labrado.
La madera si no es naturalmente durable o si siendo durable posee parte de albura, debe
ser tratada con preservante aplicado con mtodos adecuado, que garanticen su efectividad
y permanencia (Norma ITINTEC 25.019 y 251.020).
1.2. Madera Aserrada de uso Estructural
Se domina as a la madera escuadrada cuya funcin es bsicamente resistente.
Debe pertenecer a algn de los grupos definidos para madera estructural segn la Norma
Tcnica de Edificacin E.101 Agrupamiento de Madera para Uso Estructural.
Podr utilizarse otras especies siguiendo lo especificado en esta Norma. Toda pieza de
madera cuya funcin es resistente deber ser de calidad estructural segn la Norma
ITINTEC 251.104.
La pieza deber ser habilitada con las dimensiones requeridas segn la Norma ITINTEC
251.103.
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1.2.1. Agrupamiento
El agrupamiento est basado en los valores de la densidad bsica y de la resistencia
mecnica.
Los valores de la densidad bsica, mdulos de elasticidad y esfuerzos admisibles para
los grupos A, B y C sern los siguientes:
PROCEDIMIENTO
Se identifican las especies en forma botnica y se efecta la descripcin anatmica de las
muestras de madera.
Se determina la densidad bsica promedio de las especie (ITINTEC 251.011) y se la
compara con los valores establecidos en 5.2.1, obtenindose as un agrupamiento
provisional.
Se determinan los valores de la rigidez (Mdulo de Elasticidad) y de la resistencia
(Esfuerzo Admisible por flexin), a partir de vigas a escala natural que cumplan con los
requisitos de la norma ITINTEC 251.104, ensayadas de acuerdo a la norma ITINTEC
251.107.
Se comparan los mdulos de elasticidad y los esfuerzos admisibles en flexin obtenidos
segn la norma ITINTEC 251.107.
Si los valores obtenidos son superiores a los valores del grupo provisional obtenido por
la densidad, se clasifica a la especie en dicho grupo, si los valores alcanzan los de un
Densidad Bsica
Mdulo de elasticidad
Esfuerzos Admisibles
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grupo ms resistente se la clasifica en el grupo superior. En caso contrario, si los valores
no alcanzan a los del grupo provisional se la clasifica en el grupo inferior.
Agrupada la especie, podrn adoptarse para el diseo todos los esfuerzos admisibles.
2. MADERA UTILIZAR PARA CLCULOS
Es la madera tornillo que presenta las siguientes propiedades:
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3. CLCULO PARA LA DEFORMACIN DE VIGA CON VOLADIZO CON
CARGA DISTRIBUIDA
W
http://www.maderascuenca.com/decoracion/decoracin y estructuras/Vigas/Viga/viga-de-carga-2m-x-20cm-x-15cm
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3.1. CLCULO DEL MDULO DE ELASTICIDAD (E)
El mdulo de elasticidad o mdulo de Young, es un ndice de la facilidad o dificultad que tienen
las maderas para su deformacin. Cuanto mayor es el E, menor es su deformacin. Es la relacin
lineal entre un esfuerzo y la tensin producidos en el rango de elasticidad de un material (esfuerzos
sin producir deformacin), como indicador de su rigidez. Este criterio permite clasificar a la
madera por su resistencia a la aplicacin de esfuerzos sin causar deformaciones.
- Ahora Evaluamos el Mdulo de Elasticidad de Madera tornillo, utilizando el mtodo
de evaluacin no destructivos.
3.1.1. RELACIN, ESFUERZO Y DEFORMACIN
- Si tenemos las comprensiones del material a utilizar, en este caso la madera tornillo.
- Comprensin Paralela: 222104 kg/m2 - 413104 kg/ m2
- La Deformacin Paralela: 0.00192 - 0.0035641
- Comprensin Perpendicular: 57104 kg/m2 - 66104 kg/m2 y
- La Deformacin perpendicular: 0.000492 - 0.0005695
- Entonces el mdulo de elasticidad por relacin:
- Mdulo de Elasticidad en Comprensin Paralela:
E = 31.75 MN/m2 / 0.0027421 =
- Mdulo de Elasticidad en Comprensin Perpendicular:
E = 6150 KN/m2 / 0.000531 =
Carga Perpendicular - Carga Paralela
11.58 GPa
11.582 GPa
= E
=
=
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3.1.2. ENSAYOS DE ONDAS DE ESFUERZO
La hiptesis es que un impulso simple causa vibraciones en un cuerpo, es decir, una onda de
esfuerzo en el sentido longitudinal, tal como se esquematiza en la figura 1. La onda se propaga a
travs del medio a una velocidad que depende de su densidad y de su rigidez.
Para el caso de un medio continuo en vibraciones longitudinales, la ecuacin de movimiento de
la probeta de la figura es:
=
(1)
Con:
c2 =
(2)
Dnde:
c = Velocidad del sonido
E = Mdulo de Elasticidad
= Densidad
De acuerdo a la ecuacin (2), el sonido se propaga a travs de un medio continuo con una
velocidad que corresponde a su rigidez y a su densidad. Si la geometra y la densidad de un cuerpo
homogneo son constantes y conocidas, el Mdulo de Elasticidad dinmico en ondas de esfuerzo,
puede ser calculado utilizando ondas de esfuerzo con la ayuda de la formula (Krautkrmer, 1980):
Dnde:
MOEsw = Mdulo de Elasticidad dinmico en ondas de esfuerzo
= Densidad
= Relacin de Poisson
Diagrama de un impulso iniciado en el extremo de la probeta
FIGURA 1
= ( + )( )
( ))
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En los productos de madera, la relacin de Poisson es muy pequea y difcil de determinar,
En consecuencia, la ecuacin puede simplificarse a:
- LA DENSIDAD DE LA MADERA TORNILLO ES DE: 0.45 g/cm3 0.7 g/cm3, que
es igual a 4.5 KN/m3 7 KN/m3 respectivamente.
- LA VELOCIDAD DEL SONIDO QUE TRANSCURRE POR LA MADERA
TORNILLO: 1449.54 m/s
-
EN CONCLUSIN EL MDULO DE ELASTICIDAD DE LA MADERA TORNILLO
ES:
3.2. EL CLCULO DE LAS DEFLEXIONES EN FORMA TERICA.
3.2.1 MTODO DE DOBLE INTEGRACIN
Solucin: escribiendo la ecuacin general de momento para el ltimo tramo BC de la viga,
aplicando la ecuacin diferencial de la elstica e integrando dos veces se obtienen las siguientes
expresiones para las pendientes a las ordenadas. Si las reacciones R1 y R2 son 3
8WL y
9
8WL
respectivamente.
0.45 g/cm3 E = (4.5 KN/m3) (1449.54 m/s)2 = 9.46 GPa
E = (7 KN/m3) (1449.54 m/s)2 = 14.71 Gpa
kg/m2
0.7 g/cm3
E = c2
E = 11.833 GPa
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- Para determinar C2 observamos que en A, para X = 0 la ordenada Y = 0, sustituyendo
estos valores en la ecuacin (c) se obtiene que C2 = 0.
- Ahora aplicando la otra condicin de apoyo, para X = L; Y = 0 en la ecuacin (c), resulta:
- Hallamos la flexin en el punto medio donde X = L en la ecuacin (c) del tramo
AB.
- En el tramo AB el momento es:
- Donde la ecuacin de la elstica de la viga es:
M = 3
2WLX
1
2 WX2 -
9
8
WL2
EI (d2y/dx2) = 1
2 WX2 +
3
2WLX -
9
8 WL2
EI
=
1
6 WX3 +
3
4 WLX2 -
9
8 WL2X + C1
(N.m)
(N.m2)
EI.Y = 1
24 WX4 +
1
4 WLX3 -
9
16 WL2X2 + C1X +
C2
(N.m3)
(a)
(b)
(c)
EI (0) = 1
24 WL4 +
1
4 WL4 -
9
16 WL4 + C1L +
0
C1=
WL3
EI.Y = 1
24 WX4 +
1
4 WLX3 -
9
16 WL2X2 +
17
48 WL3 X + C2
M = 3
8WLX
1
2 WX2
EI.Y = 1
24 WX4 +
1
16 WLX3 +
17
48 WL3 X + C2
EI.Y = 1
24 WX4 +
1
16 WLX3 + C1X +
C2
EIY = 1
384 WL4 +
1
128 WL4
+ 17
48 WL4
EIY=
WL4 (N.m3)
El signo positivo de la respuesta nos indica
que la deformacin est por encima del eje x.
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- Anlogamente en la ecuacin (c) del tramo BC en la que se tienen en cuanta todas
las tenciones se hace X = L, con el que el valor de la ordenada en el extremo es:
3.2.2. MTODO DEL REA DE MOMENTOS
EI.Y = 1
24 WX4 +
1
4 WLX3 -
9
16 WL2X2 + C1X + C2
EIY = 27
128 WL4 +
27
32 WL4
81
64 WL4 +
17
32 WL4
EIY=
WL4 (N.m3)
El signo negativo de la respuesta nos indica
que la deformacin est por debajo del eje x.
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Solucin: en la seccin entre A y C el momento flexionante convencional se calcula ms
fcilmente desde la izquierda. Para obtener el momento de rea del diagrama M entre A
y C con respecto a A, se tiene:
- Para obtener el momento de rea del diagrama M entre A y C con respecto a C, se tiene:
4. CALCULO DE LA DEFORMACIN DE LA VIGA CON VALORES REALES
- Longitud: 75 cm
- Ancho: 2.5 cm
- Altura de 4 cm
- El valor de L = 50 cm
- Y con una fuerza distribuida de: W = 1308 N/m
4.1. Mtodo de doble integracin
5. MEMORIA FOTOGRFICA Y DESCRIPTIVA DEL DISEO Y CARGA DE
LA VIGA.
- MATERIALES UTILIZADOS
1. MADERA TORNILLO
2. RODILLOS
3. PERNOS DE 4 mm
4. CIERRA BIMETAL
5. DESTORNILLADOR ESTRELLA
(rea)C/A = - 7
512 WL4 +
27
512 WL3
9
8L (
9
1024 WL3
27
32L +
27
1024 WL3
45
32L
)
(rea)C/A = - 7
512 WL4 +
243
16384 WL4 =
WL4
(rea)A/C = ( 81
4096 WL4 -
27
4096 WL4) (
1
96 WL3
15
16L +
1
48 WL3
9
8L )
(rea)A/C = ( 27
2048 WL4) (
17
512 WL4) = -
WL4
3
1
EIY=
WL4 (N.m3)
Y = 0.007 m
13
2
4
5
Foto 29/12/2014 - Hora: 15:00
Taller
http://thumbs.dreamstime.com/z/destornillador-ranurado-y-destornillador-phillips-24763302.jpg
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Foto 01/12/2014 - Hora: 13:00
Foto 01/12/2014 - Hora: 14:00
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Foto 01/12/2014 - Hora: 16:00
Foto 01/12/2014 - Hora: 17:00
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Foto 01/12/2014 - Hora: 18:00
Foto 08/12/2014 - Hora: 15:10