1
3
5
A
2
64
B
}10x2;!x/x{M 2 <<Î=
Forma delelemento
Condición dela variable
Característicade la variable
CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 111 TEORÍA DE CONJUNTOS
CAPACIDADES:Al finalizar el capítulo estarás en la capacidad de:- Distinguir y aplicar las nociones de conjunto,
elementos, pertenencia e inclusión.- Analizar las relaciones entre las diferentes clases de
conjuntos.- Realizar operaciones conjuntistas- Resolver todo tipo de problemas con conjuntos gráfica
o simbólicamente.
1. IDEA DE CONJUNTO
El término conjunto no tiene definición matemática, por lo que entenderemos por conjunto a la REUNIÓN, AGRUPACIÓN, COLECCIÓN, CLASE O FAMILIA de objetos reales o abstractos que comparten una misma característica, por lo que reciben el nombre de ELEMENTOS.
Ejemplos:M = {2; 4; 6; 8}N = {los alumnos del ciclo intensivo 2008}
2. NOTACIÓN:Generalmente:• Todos los conjuntos se representan con letras
mayúsculas para identificarlos más fácilmente.• Los elementos de un conjunto van entre llaves o
signos de colección, separados por comas o puntos y comas.
• El orden de los elementos no tiene importancia alguna.
Ejemplos:A = {1; 3; 5}= {3, 5; 1}B = {c; e; p; r; e; u; n; c; p}
3. DIAGRAMA DE VENN - EULERSon representaciones de los conjuntos mediante regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas.Ejemplos:
4. RELACIÓN DE PERTENENCIALa relación de pertenencia es exclusiva y se da solamente entre elemento y conjunto. Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece (Î) a este conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece (Ï) a dicho conjunto.Ejemplo: Dado el conjunto , se observa que:
4. NÚMERO CARDINAL
El número cardinal de un conjunto A, nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee, y se denota por n(A).Ejemplos:
6. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Determinar un conjunto es especificar o señalar, en forma precisa, quienes son los elementos que lo conforman.* Por extensión o en forma tabular: Es cuando se
señala a cada uno de los elementos de un conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobreentendida.
Ejemplo:M = {2; 6; 12; 20; 30; 42; 56; 72; 90}N = {1; 3; 5; 7; .....; 999}P = {0; 1; 2; 3; .....}
* Por comprensión o en forma constructiva: Es cuando se mencionan una o más características comunes y exclusivas a los elementos del conjunto. Así tenemos:
Ejemplos:
7. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
A. INCLUSIÓN: Se dice que un conjunto "A" está incluido en "B" si
todos los elementos de "A" son también elementos de "B". Se denota: AÌB
Se lee: "A está incluido en B" "A está contenido en B" "A es subconjunto de B"
B. IGUALDAD: Se dice que dos conjuntos son iguales cuando
poseen los mismos elementos. Se denota: A=B. Dos conjuntos son comparables, cuando por lo
menos uno de ellos está incluido en el otro. Es decir:
C. DISJUNTOS: Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen
elementos en común.
Þ A y B son disjuntos
A { ;5;7;11}= f
5 A A 7 A 11 A
6 A 2 A 15 A n A
� f Î Î Î
Ï Ï Ï Ï
M { x / x es una vocal} n(M) ...
P {12;22;32;.........;172} n(P ) ...
Q {b,a,b,a } n(Q ) ...
É = Þ =
® = Þ =
® = Þ =
x 1
2
2
A { x / x 1 x 7}
xB { x / 1 x 10}
2
x 3C { / x 1 x 6}
2
x 3D { / 1 x 6}
2
5E {( 2 x 1) / x }
2
2 x 1F { x / x /1 2}
4
+= Î Ù < <
= Î Ù < <
+= Î Ù < <
+= Î < <
= + Î <
+= Î < <
�
!
!
!
!
!
A B
ABBABA ÌÙÌÛ=
ABBA ÌÚÌ
A B
13
ARITMÉTICAVolumen I
Teoría de Conjuntos
8. CLASES DE CONJUNTOS
A. FINITO: Un conjunto es finito, si tiene una cantidad limitada
de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos tiene fin en el tiempo.
B. INFINITO: Un conjunto es infinito, si tiene una cantidad
ilimitada de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos no tiene fin en el tiempo.
9. CONJUNTOS ESPECIALES
A. CONJUNTO VACÍO O NULO Es aquel conjunto que no tiene elementos. Se
denota por Ø ó { }. IMPORTANTE: El conjunto vacío (Ø) es subcon-
junto de todo conjunto. Ejemplo:
B. CONJUNTO UNITARIO O SINGLETÓN: Es aquel conjunto que tiene un sólo elemento. Su
cardinal es 1. Ejemplo:
C. CONJUNTO UNIVERSAL: Es un conjunto referencial que se toma para el
estudio de otros conjuntos incluidos en él. No existe un conjunto universal absoluto y se denota generalmente con la letra "U".
Ejemplo:
D. CONJUNTO DE CONJUNTOS O FAMILIA DE CONJUNTOS:
Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.
Ejemplo:
E. CONJUNTO POTENCIA: El conjunto potencia de un conjunto "A" es la familia
de subconjuntos de A y se denota como P(A).
Recuerda: a) # subconjuntos de b) Se denomina subconjunto propio de "A" a todo
subconjunto de "A" diferente de "A"n(A)c) # subconjuntos propios de A=2 –1
M { x / 3 x 4}
M Ø { }
= Î < <
= =
�
P { x / 5 x 7}
P {6} n(P)=1
= Î < <
= \
�
2 3 4A B
50
1U
A {{2}; {3 }; { 4;5 }; {6 }; }= f
}Ax/x{P )A( Ì=
n ( A )A n[P( A )] 2= =
Teoría de Conjuntos14
ARITMÉTICA Volumen I
PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Indicar ¿cuántas expresiones son verdaderas, si: A = { 2 ; 3 ; 0 } y las proposiciones son:
�
Î
Î
Æ Ì
I. {2} A
II. 2 A
III. 3 A
IV. { } A
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
Resolución A ={2; 3; 0}
�
Î
Î
Æ Ì
I. {2} A ( V )
II. 2 A ( V )
III. 3 A ( V )
IV. { } A (F )
2. Sea: { } { }{ }= f fA ; ;a; a;b ;b
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
I. { } Aa �;f
II. { } )(APa �
III. { } )(; APba �
IV. { }{}{}{ } )(;;; APbba �f
a) VFVF b) VVFF c) VVVF d) FFFV e) FVVF
Resolución A = {ø; {ø}; a; {a; b}, b}
I. {ø; a} � A ( V )
II. {a} ј P(A) ( V )
III. {a; b} ј P(A) ( V )
IV. {{ø}; {a}; {b}; b} � P(A) ( F )
3. Dado el conjunto:
{ }= Î <2A 3x Z / x 36
Calcula el cardinal del conjunto “A”
a) 18 b) 7 c) 5 d) 34 e) 35
Resolución A = {3x Є Z/ x2 < 36}
– 36 < x < 36
– 6.3 < x.3 < 6.3
– 18 < 3x < 18
- 17; -16; -15; …; -1; 0; 1; … ; 15; 16; 17
A = {-17; -16; -15; … ; -1; 0; 1;…; 15; 16; 17}
\ n (A) = 35
4. Halla el número de elementos del conjunto A, sabiendo que: el número de sus subconjuntos ternarios, excede en 14 a su número de subconjuntos binarios.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
Resolución
=- =
\ = =
n(A) x n(A)
3 214
x n(A) 7C C
5. Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si el n(A)=4 y n(B)=5 entonces el numero máximo de elementos de C= P(A)U P(B) es 48.
II. Si { }- Î £ £2 2A = n 1 /n Z;4 n 9 entonces la n(A)
es 2.
III. Si £ = fA B , entonces = f Ù = fA B .
a) VFF b) FFF c) FVF d) VVF e) VVV
Resolución I. n(A) = 4
n(B) = 5
C = P(A) U P(B)
Þ n [P(A)] = 24 = 16
32
n [P(B)] = 25 = 48
Pero:
�16 32
C = {...; ø} {...; ø}1442443 1442443
48 – 1 = 47 (F)
II. A = {n2 – 1/n Є Z; 4 Ä n2 Ä 9}
2 Ä n Ä 3
±2; ±3
A = {3; 8}
n (A) = 2 ( V )
III. A ? B = ø � A = ø � B = ø ( F )
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Dado el conjunto unitario
{ }12;32: -++= babaA
Calcula: 22 ba +
a) 80 b) 74 c) 104 d) 90 e) -39
2. Dado los conjuntos:
{ }edcbaA +++= ;222
{ }5;4;12 +-+= edcB
Si: A = B ; A es unitario, c>a>b y son negativos. Halla: a+b+c+d(e)
a) 9 b) 6 c) 8 d) 7 e) 10
3. Dado:
{}{ }{ }5;4;3;2:1=A
Determina la relación falsa:
a) A�1 b) {} A�3
c) { } A�5,4
d) A�2
e) {}{ }{ } A�5;4;3 Rpta. c
4. Determina el cardinal de A, sabiendo que:
( )[ ] [ ])(*4 APnBPn =
[ ] [ ])(*
2
1)( APnCPn =
5
6
)(
)(*)(=
Bn
CnAn
a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 10
5. Determina el número de subconjuntos binarios (que
tienen 12 elementos) del conjunto:
{ }ZyxxZxA �£<Î-= 30/)1( 2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. Se tiene 3 conjuntos A, B y C tales que:
CAC =Ç
90)( =¢Ç¢ BAn
150)( =¢Cn
[ ] )(*6)( CnCBAn =-È
Calcula: )( �n
a) 140 b) 150 c) 160 d) 170 e) 180
15
ARITMÉTICAVolumen I
Teoría de Conjuntos
CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 222 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
A. UNIÓN (AÈB) = {x/x ÎA Ú�xÎB}
AÈB: BÈA = AÈB = B
PROPIEDADES:AÈÆ = A AÈU = U
B. INTERSECCIÓN (AÇB) = {x/x ÎA Ù xÎB}
AÇB: AÇB = AÇB = Æ A
PROPIEDADES:AÇÆ = Æ�������������������������AÇU = A
C. DIFERENCIA (A - B) = {x/x ÎA Ù xÏB}
A - B: A - B = A - B = A
PROPIEDADES:A - A = Æ�������������������A - Æ = A Æ - A = Æ
-CD. COMPLEMENTO A’ = A = A = {x/x Ï A}
B
U
AA B
U
AB
U
123
B
U
AA B
U
AB
U
123
B
U
AA B
U
BA
U
123
A
A’
1 Sean los conjuntos A y B, tal que:
È
Ç
é ù é ùë û ë ûé ùé ù ë ûë û
(A) (B)
(A B)(A B)
n P = 128; n P = 256
n Pn P = 16. Calcule:
a) 2048 b) 512 c) 1024 d) 4096 e) 64
Resolución 2n(A) = 27 2n(B) = 28
n(A) = 7 n(B) = 8
n[P(A £ B)] = 16
n(A £ B) = 4
\n[ P( A U B ) ] = 211 = 2048
2. En una reunión donde hay 100 personas se sabe que
40 no tienen hijos, 60 son hombres, 10 mujeres están casadas, 25 personas casadas tienen hijos, hay 5 madres solteras. Halla ¿Cuántos hombres son padres solteros?
a) 7 b) 10 c) 15 d) 20 e) 30
Resolución
x + 25 + 5 = 60
\ x = 30
3. Karina realiza un viaje mensual durante todo el año a
Ica o Tacna. Si 8 viajes fueron a Ica y 11 viajes a Tacna, ¿Cuántos meses visitó a los dos lugares? a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5
Resolución U = 12
4. En una cierta población de 2180 personas y de los cuales se conoce lo siguiente: 20 consumen sólo el producto A; 40 consumen sólo el producto B; 60 consumen sólo el producto C.
El número de personas que consumen sólo A y B es la mitad del número de personas que consumen los tres productos. El número de personas que sólo consumen B y C es igual que el número de personas que consumen A. ¿Cuántos consumen solamente B y C?
a) 1020 b) 1040 c) 1060 d) 1100 e) 1080
Resolución U = 2180 =åPARTES UNIVERSO
y + 40 + y + 60 = 2180 2y = 2080
y = 1040
CASADOS x 5
25
11
25
H = 60
~ H = 40
V = 60 M = 60
100
ICA = 7
TACNA = 7
8 – y y 11 – y
8 – y + y + 11 – y = 12 y = 7
2x
x
60
40 20
y 80 – 3x
A = 7 B = 8
3 4 4
Teoría de Conjuntos16
ARITMÉTICA Volumen I
PROPIEDADES:(A’)’ = A A È A’ = UU’ = f A Ç A’ = Æf’ = U
OBSERVACIÓN:Para dos conjuntos A y BA’ È B’ = (A Ç B)’A’ Ç B’ = (A È B)’
E. DIFERENCIA SIMÉTRICA:
A D B = (A - B) È (B - A)A D B = (A È B) - (B Ç A) (Excepto si A y B son disjuntos)
A D�B: B D�A = A D�B = A È�B A D�B = n(A)+n(B)PROPIEDADES:A D Æ = AA D�A = ÆA D�A = A’
DIAGRAMA DE VENN - EULERSon regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas, que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos. El rectángulo representa generalmente al conjunto universal.
DIAGRAMA DE CARROLLSe utiliza generalmente para conjuntos disjuntos.
Donde: A y B disjuntos C y D disjuntos
DIAGRAMA LINEALParaconjuntos comparables:
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
B
U
AA B
U
AB
U
U
A B
C
A B
C
D
U
A
B B
D
17
ARITMÉTICAVolumen I
Numeración
CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 222 NUMERACIÓN
CAPACIDADES:* Representar una cantidad de unidades simples en
determinado sistema posicional de numeración.* Descomponer polinómicamente cualquier numeral de
un determinado sistema posicional de numeración.* Realizar cambios de base* Aplicar las propiedades del conteo de numerales y
cifras y del método combinatorio.
1. NUMERACIÓN Es parte de la aritmética que estudia la formación, lectura y escritura de los números.NÚMERO:Es un ente matemático que nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza. Nos da una idea de cantidad.NUMERAL:Es la representación simbólica de los números. Así tenemos: 4; II; veinte; ....CIFRAS (DÍGITO):Son los símbolos que convencionalmente se utilizan en la formación de los numerales. Estos son: 0;1; 2; 3; ....SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN: Es el conjunto de reglas, principios y convenios que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los numerales.
2. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES:
A. DEL ORDEN: Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa un orden determinado, el cual se indica de derecha a izquierda.
B. DE LA BASE: Todo sistema posicional de numeración tiene una base que es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades suficientes y necesarias de un orden cualquiera para formar una unidad de orden inmediato superior, así tenemos:
Þ 24 = 33 = 447 5
CONCLUSIONES:
· Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero menor que la base:
\ CIFRA < BASE
· A mayor numeral aparente le corresponde menor base:
C. VALOR DE LAS CIFRAS: Toda cifra que forma parte de un numeral posee dos valores:
a) VALOR ABSOLUTO (VA): Es la cantidad de unidades simples que representa.
b) VALOR RELATIVO (VR): Es lo que representa de acuerdo al orden que ocupa:
Así:
3. REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROSCuando no se conocen las cifras de un numeral, éstas se representan mediante letras, teniendo en cuenta lo siguiente:· Toda expresión entre paréntesis representa una
cifra.· La primera cifra de un numeral debe ser diferente de
cero.· Letras diferentes no necesariamente indican cifras
diferentes, salvo que lo indiquen.Así tenemos:
4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NUMERAL: Es la suma de los valores relativos de las cifras que forman un numeral.
También por bloques:
5. CAMBIOS DE BASE:A. DE BASE 10 A BASE DIFERENTE A 10 (por divisiones sucesivas) Þ
\ 536 = 13647
B. DE BASE DIFERENTE A 10 A BASE 10
Descomposición polinómica:
Método de RUFFINI
b(10)=24 b(7)=337 b(5)=445
...6º 5º 4º 3º 2º 1º
...4 5 3 2 6 1ORDEN
yxabcdmnp yx >®=+
+Si:
cifras significativas
b(n ) : 0;1;2;3;...;(n 1)-tNNNNNNNNNNu
5 6 3 5 6VA : 6VR : 6
VA : 5VR : 5.10
VA : 5VR : 5.10
4
VA : 6VR : 6.103
4 4 4 4 4 4 4 4
8
x
x
- ab {10;11;12;13;...;99 }
- mn {10 ;11 ;12 ;13 ;20 ;21 ;...;33 }
- a( 2b )( c 1)
- ( x 1)( x 1)( x 1) (número máximo)
- aba; mnnm ; 53235;... (números capicúas)
�
Î
+
- - -
3 2
3 2 19
2x
7
25
5342 5.10 3.10 4.10 2
4567 4.9 5.9 6.9 7
abc ax bx c
mn m.7 n
aaa a.5 a.5 a 31a
= + + +
= + + +
= + +
= +
= + + =
2
27 7 7
2x x x
4 2n n n n
6436 64.10 36
2534 25 .7 34
abcd ab x cd
ababab ab .n ab .n ab
= +
= +
= +
= + +
13
71064
77646
7536
)7(b536 ®
26
6
6
253 2.6 5.6 3
253 72 30 3
253 105
= + +
= + +
=
6253 b(10)É
2 5 3
12 102
2 17 105
6
x
(+)
total de eventos se encontrará aplicando el principio de la multiplicación.
Total: #(abc) = 9.10.10 = 900
REGLA PRÁCTICA
a) Se cuentan los valores
b) Se multiplican los valores
#(abc) = 9.10.10 = 900
• ¿Cuántos numerales existen de la forma a( )(b)(c-2)(c) ? Resolución:
Total: # a( )(b)(c-2)(c) = 360
2. PROGRESIÓN ARITMÉTICA:
a) t – t = r2 1b) t – t = r3 2c) t – t = r4 3 t = t + r(n–1)n 1
Observación:
I) t = 41II) t = 61nIII) r = 3
Þ h = 20
Þ t = 4+3(9) Þ t = 3110 10
3. PAGINACIÓN
Para enumerar las páginas de un libro y contar el total de cifras utilizadas se tiene en cuenta lo siguiente:
A.
B. También se puede utilizar la formula:
Donde: k: Nº cifras de la última página N: Nº de páginas #cf: Nº cifras totales utilizadas
PAGINACIÓN EN OTRA BASE
n 1t t
1r
h≈ ö- ÷ç= +÷ç ÷ç ÷è ø
4; 7; 10; 13; ... ; 61
3 3 3
61 41
3h
-= +
# cf Páginas # cf utilizadas
1
2
3
1 - 9
10 - 99
100 - 999
9 1 = 9
90 2 = 180
900 3 = 2700
( )k cf
# cf = k N+1 111 ... 11IM KML�
Numeración18
ARITMÉTICA Volumen I
\253 = 1056
Recuerda: 342 ®b5 (7)
a. b.
\ 342 = 1665 7
6. PROPIEDADESA. NUMERAL DE CIFRAS MÁXIMAS:
B. BASES SUCESIVAS:
CASOS ESPECIALES DE CAMBIOS DE BASE
+nA. De base “K” a base “k ” (nÎ! )n “n” cf de la base k<> 1 cf de la base k
• Exprese: 1221201 en el sistema nonario3
2 Como: 9 = 32 1 cif b(3 ) = 2cif b(3)
\�1221201 = 18513 9
n +B. De base “K ” a base “K”; (nÎ! )n 1 cf de la base “k ” < > n cifras de la base k.
• Exprese 765 en el sistema binario.83 8 = 2
1 cf b(8) <> 3 cf b(2)
Rpta. 765 = 1111101018 2
1. CONTEO DE NUMERALES CON CIERTA CARACTERÍSTICA.
¿Cuántos numerales existen de la forma abc?Se observa que tanto a como b y c toman valores independientes pero respetando los principios de numeración:
a: 1; 2; 3; ... ; 9 Þ 9 valoresb: 0; 1; 2; 3; ... ; 9 Þ 10 valoresc: 0; 1; 2; 3; ...; 9 Þ 10 valores
Como cada evento es independiente el uno del otro, el
1n)1n)...(1n)(1n)(1n( xn
cifras"x"
������� ��
����
1
2
3
9 10 1 10 1
99 100 1 10 1
999 1000 1 10 1
= - = -
= - = -
= - = -
a.nxa...aaaxa1
veces"n"
a1
xa1a1 +=+++++= 444 3444 21O
“n” veces
5
125
12125
12 5 2
12 5 2 2
12 5 2 2 2
= +
= + +
= + + +
6
136
13136
13 6 3
13 6 3 3
13 6 3 3 3
= +
= + +
= + + +
10y,x ¹
)y(b)10(b)x(b ¾®¾¾®¾
3 4 2
15 95
3 19 97
5166
71327
797
18
28
38
7 8 1 8 1
77 64 1 8 1
777 512 1 8 1
= - = -
= - = -
= - = -
7 6 5 8
7 23 2
1 1
16 2
3 2
1 1
05 2
2 2
0 1
1
111 110 1012
1 22 12 0131 2x3+2 1x3+2 0x3+11 8 5 1
abc100211322
999
t1; t2; t3; t4; ... tn;
r r r
b2
t : término inicial1t : término n–ésimon r : razónn : Número de términos
a b b (c-2)c2
1234...9
02468
23456789
9 5 8 = 360
b2
1. Halla un número que al ser convertido a los sistemas de
numeración de base siete y nueve, se escribe con las mismas dos cifras aunque en orden inverso.
SOLUCIÓN
7ab = 9ba
Descomponiendo polinómicamente: 7a + b = 9b + a
� 3a = 4b
a = 4 y b= 3
7ab = 9ba = 31
Respuesta. 31 2. Determina la base del sistema de numeración en el que:
a(2a)(4a) se escribe con 3 cifras iguales.
SOLUCIÓN
a(2a)(4a) = (n)bbb � a: 1 ó 2
Trasladando a la base 10:
124(a) = 2( n n 1 ) b+ +
Si: a = 1 � n = 5 � b = 4
Si: a = 2 � no hay solución
Respuesta. n = 5 3. El número 1231 se escribe en otra base con 3 cifras,
luego la cantidad de bases que puede escribirse dicho número con igual cantidad de cifras es:
SOLUCIÓN
1231 = nabc
n100 Ä nabc
n 1 0 0 0Ä
2 3n 1231 nÄ £
10,5 Ä n Ä35,8 n: 11; 12; 13; ……; 35 Cantidad total de bases = 25 Respuesta. 25
4. Si: 200414641 lo expresamos en el sistema de
numeración de base 2005. La suma de sus cifras es: SOLUCIÓN Haciendo que: 2004 = a
� N = a14641
Descomponiendo polinómicamente:
4 3 2N = a 4a + 6a + 4a + 1 +
� N =4(a +1) � N = (a + 1)10000
� 200510000
La suma de cifras de N es: 1 Respuesta. 1 5. Convertir a base 6 el número N = 10! E indicar la suma
de sus cifras.
10! =8 4 22 .3 .5 .7
SOLUCIÓN
10! = 4 4 4 2(2 .3 )(2 .5 .7)
10! = 46 .2800
10! = 6 610000 . 20544
10! = 6205440000
La suma de sus cifras es: 15 Respuesta: 15.
6. Halla el término del lugar ba de la siguiente progresión aritmética:
a8b ; a93 ; b04 ; ba5 ;… SOLUCIÓN En una P.A. la razón es constante, luego:
a93 - a8b = ba5 - b04 Descomponiendo polinómicamente: 12 = 10.a + b
� a = 1 � b = 2
Reemplazando tenemos: 182; 193; 204; 215; ……..
21t 182 + 20(11)= = 402
Finalmente:
Respuesta. 21t 402=
7. La cantidad de números de 3 cifras, tal que la suma de
sus cifras es impar, es: SOLUCIÓN
N = aba , donde: a + b + a = número impar
� � {�AR IMPAR
2a + b
a: 1; 2; 3; …; 9 ( 9 valores) b: 1; 3; 5; 7; 9 ( 5 valores) Total de números = 9. 5 = 45 Respuesta. 45 8. Calcula la cantidad de números de cuatro cifras que
tienen por lo menos una cifra impar. SOLUCIÓN
Total de números números que usan números que usan= +de 4 cifras sólo cifra par alguna cifra impar
9. 10. 10. 10 4. 5. 5. 5 x= +I44424443 144424443 144424443
X = 8500 Respuesta. 8500 9. ¿Cuántos tipos de imprenta se utiliza en la enumeración
de un libro de 380 páginas si se realiza en el sistema octal.
SOLUCIÓN
380 = (8 )5 7 4
Total de cifras = ( (8 )5 7 4 +1)3 - (8 )1 1 1
Total de cifras = (8 )2 1 6 7 - (8 )1 1 1
Total de cifras = (8 )0 52 6 = 1070 cifras.
Respuesta. 1070
19
ARITMÉTICAVolumen I
Numeración
EJEMPLO:¿Cuántos tipos de imprenta se utiliza en la enumeración de un libro de 380 páginas, si se realiza en el sistema de base 8?
RESOLUCIÓNEl proceso es similar a como se realiza en el sistema decimal, pero considere que todos los números y ope-raciones a efectuar se realizan en el sistema indicado.
* Para el total de tipos, basta con expresarlo en base 10:
\ Utiliza 1070 tipos de imprenta.
PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
É
=
= + ´ -
= ´ -
= -
=
( 8 )
1 574 ( 8 ) ( 8 )( 8 )
( 8 ) ( 8 )
( 8 ) ( 8 )
( 8 )
380 574
C (574 1) 3 111
(575 ) 3 111
2167 111
2056
=( 8 )2056 1070
Ejemplo: Halla S= 15+21+27+33+....+93Resolución:
a. b.
2. SUMAS NOTABLES
1º. S = 1+2+3+4+ .... +n ®
2º. S = 2+4+6+8+ .... +(2n) ®
3º. S = 1+3+5+7+ .... +(2n–1) ®
2 2 2 2 4º. S = 1 +2 +3 + .... + n ®
3 3 3 3 5º. S = 1 +2 +3 + .... +n ®
3. RESTA O SUSTRACCIÓNEs una operación que consiste en averiguar en cuanto excede una cantidad a otra. Sus términos son minuendo, sustraendo y diferencia.
\ M - S = D
M ® Minuendo; S ®�Sustraendo; D ®�DiferenciaObservación: Comprobación de la resta:
M = S + DTEOREMAS:1º. M+S+D=2M___ ___ ____2º. abc - cba = mnp; a>c ____ ____ ____3°. abcd - dcba = mnpq ; a>d Si: b¹c Si: b=c
n = 9m+p = 9
Þ
Þ m+n+p+q=18 n = p = 9m+q = 9
Numeración20
ARITMÉTICA Volumen I
1. ¿Cuántas cifras tiene el término de lugar 80 de la siguiente progresión aritmética?
21 ; 24 ; 31 . . . (n) (n) (n)
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
2. ¿En qué sistema de numeración existen 448 números capicúas de 6 cifras?
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
3. La cantidad de números de la forma:
a) 15 b) 25 c) 35d) 50 e) 75
4. La cantidad de cifras necesarias para escribir los ___números enteros y p ositivos d esde 1 hasta 1ab es __6 ́ ab. Halla a+ b.
a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11
__5. ¿Para enumerar las páginas de un libro de aa hojas,
ß ö- + -ç ÷
è ø (15 )
b(a 2)b 1 ab( 2a 1)
3
5. Corregir la escritura de los siguientes numerales:
- + -7 8 7 n569 ; 809 ; 3( 2)09 ; (n 2)0(3n 1) (n>2)
6. Si los numerales están bien escritos:
b 5 ca110 ;aa1 ;c2 ;21b . Calcula: a.b.c
7. Dado el numeral capicúa:
+ - - - 9(2b 1)(5b 6a)c(7a 11)(4a 1)
Calcula el máximo valor de: a + b + c
8. Si = +abcd 37ab 62cd . Calcula: + + +a b c d
9. Si: =mabab 407 . Calcule: + +a b n
10. Expresar + - - 6(a 2)(a 3)(3 a) en el sistema
octanario.
11. Calcula a+b si se cumple que: =5 7aabac 223c
12. Si: =8 naba 1106 . Calcule: a+b+n
13. Si: =IM KML (nk cifras
eee...e nabc .
Calcula: a + b + c + n + e
CAPACIDADES:- Realizar las operaciones básicas en base 10 y en
bases “n”.- Aplicar las propiedades de la adición y sustracción en
la solución de situaciones cotidianas.- Deducir y aplicar las propiedades de la multiplicación y
división en la solución de problemas de nuestro entorno.
DEFINICIONES
1. ADICIÓN
PROGRESIÓN ARITMÉTICASe dice que varios números están en progresión aritmética, si la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera, dan siempre una misma cantidad constante, denominada razón aritmética.
Ejemplo:
Número de términos (n)
Suma de términos
CAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 333 CUATRO OPERACIONES
+ + + + =I M KM L14444244443& 2 3 n
Suma totalSumandoo resultado
S S S ..... S S
23 ; 30 ; 37 ; 44 ; 51 ; ......; 142
+7 +7 +7
Primertérmino (a )1
razón (r) últimotérmino (a )n
= +último - primero
n 1razón
n 1a an 1
r
-= +
æ ö= ç ÷è ø
Primero + últimoS x # de
términos2+
= 1 na aS xn
2
93 15n 1
6
78n 1
6
n 14
-= +
= +
=
93 15S 14
2
108S 14
2
S 54 14
S 756
+æ ö= ×ç ÷è ø
= ×
= ×
=
+=
n(n 1)S
2
= +S n(n 1)
= 2S n
+ +=
n(n 1)(2n 1)S
6
+é ù= ê úë û
2n(n 1)S
2
1. La suma de todos los números de tres cifras distintas
que se pueden formar con tres cifras diferentes es igual a 5328. Calcula la menor de estas cifras.
SOLUCION Sean las cifras: a , b y c La suma de todos los números diferentes:
abc + acb + bac + bca + cab + cba =5328
En unidades: 2(a + b + c) = 48 a + b + c = 24
� a = 7 ; b = 8 ; c = 9
Respuesta. 7
2. Si CºA( abc ) = a + b + c
Halla: 2 2a b+
SOLUCION
a + b + c Ä27
� a = 9
� 1000 - 2 2a b+ = 9 + b + c
� 91 = 11b + 2c
� b = 7 ; c = 7
\ 2 2a b+ = 130
Respuesta. 130
3. Si: 1ab . CºA( ab ) = 8631
Calcula: a + b SOLUCION Dándole forma al enunciado:
(100 + ab )(100 - ab )= 8631
�22100 ab 8631- =
� ab = 37
\a + b = 10 Respuesta. 10 4. Se divide un numeral entero de 4 cifras entre su CºA y
se ha obtenido 174 de cociente y 25 de residuo. Halla la suma de cifras de dicho numeral.
SOLUCION
� abcd = 174(10000 - abcd ) + 25
� 175( abcd ) = 1740025
� abcd = 9943
\a + b + c + d = 25 Respuesta. 25 5. Halla un número entero que dividido entre 82 deje como
residuo por defecto el duplo del cociente por exceso y como residuo por exceso el triple del cociente por defecto.
SOLUCION
d e
D.I.D D.I.E.
r 2(q + 1) ; r 3q= =I 4243 123
Por propiedad: d er r d+ =
� 5q + 2 = 82 � q = 16
� D = 82.16 + 34
\D = 1346
AR
ITM
ÉT
ICA
21
ARITMÉTICAVolumen I
Cuatro Operaciones
4. COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A.)El complemento aritmético de un número es lo que le falta a un número para llegar a formar una unidad de orden inmediato superior que la cifra de mayor orden.
Ejemplo: Método práctico CA (46) =100 - 46 CA (46) =(9-4)(10-6)
CA(238) = 1000 - 238 CA (238) =(9-2)(9-3)(10-8)
CA (25645) =100000-25645 CA (25645) = (9-2)(9-5)(9-6)(9-4)(10-5)
5CA(abcde)=10 -abcde CA(abcde)=(9-a)(9-b)(9-c)(9-d)(10-e)
5. MULTIPLICACIÓN
Concepto : P = Mxm
Factores : M: Multiplicando m: Multiplicador P: Producto Donde:
6. DIVISIÓN
Esquema: D : Dividendo d : Divisor q : Cociente r : ResiduoTIPOS DE DIVISIÓN:
A. División Exacta (r=0) Þ D = dq
B. División Inexacta (r>0) a) Por defecto b) Por exceso
Ejemplos:
Propiedades de la División Inexacta
1º r + r = dd e
2º 0 < residuo < d 3º
a) Sea:
b) Sea:
PROBLEMAS RESUELTOS
productosparciales
abcxy
....... y·abc
.......... x·abc
.......... Producto total
+
Þ
Þ
Þ
123
"m"veces
P M M M .... M= + + + +144424443
Nota:
D d
qr
D d
q0
D d
qr
D n¸ d n¸
qr n¸
D d
qr
Dxn dxn
qrxn
D d
q + 1re
D d
qrd
dD dq rÞ = + eD d(q 1) r= + -
112 9
4 12
112 9
5 13
r =1
r =d - 1mín
máx
Þ
+ + + ×× × + =10a 20a 30a mn0a 63070
= + +CA(pnm) q(n 1)(p 1)
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si: Calcula: m + n + a
2. Si: Calcula: p - n + q
___ __3. Al dividir abc entre bc se obtuvo 11 de cociente y ___
80 de residuo. Calcula CA(abc )
4. Calcula la suma de cifras del complemento aritmético de:
n n-2 n+2 n-1 N = 2 ́ 10 + 3 ́ 10 + 5 ́ 10 + 7 ́ 105. Cuántos números menores que 400 pueden ser
dividendos de una división de cociente 12 y residuo 14?
DIVISIBILIDADCAPÍTULOCAPÍTULOCAPÍTULO 444
Dados
A A = BK0
BK
<>
A es divisible B entre
A es múltiplo B de
B es divisor de A
B es submúltiplo de A
=�
� �
=�
' , +
� =�
� �� =�
� �� =A BK
+Î
�
!� se denomina módulo (B )
= = - =�o o
' & +�) � �� �+ &�
A AB Bq q+1r rd e
Por defecto Por exceso
dA=Bq+r eA=B(q+1) r
ed rrB +=
Defecto Exceso
712512101
792947
71031063
oooo
n =.....nnn ++++o
n
+ + + + =
+ =
o o o o o
o
11 11 11 ..... 11 11
11 121 11
nnn =-
- =
- =
o o o
o
5 5 5
25 15 5
( )ZK;nKn Î=´oo
� =o o
12 5 12
( )ZK;nK
n Î=oo
� Þ =o o
715 3 15 3
ooo2nnn
321321 rrrnrnrnrn ´´+÷÷ø
öççè
æ+÷÷
ø
öççè
æ+÷÷
ø
öççè
æ+
oooo
� = = = =IM KML
A o o o
divisores
6 :1;2;3 y 6 6 1; 6 2; 6 3 y 6 6
N
o
a
o
b
( ) +
Al finalizar el capítulo estarás en la capacidad de:- Aplicar correctamente los caracteres de la divisibilidad. - Aplicar correctamente los principios de la divisibilidad
en la resolución de problemas concretos.
DEFINICIÓN Es una parte de la aritmética que estudia las
condiciones que debe reunir un numeral para ser divisible entre otros y las consecuencias que se derivan de este hecho.
1. DIVISIBILIDAD EXACTA Se dice que un entero es divisible entre otro entero
positivo llamado módulo, si al dividirlos, el cociente es entero y el residuo es cero.
Es decir:
Su notación:
Ejemplo:
Luego: A es divisible entre B A es múltiplo de B. Todo divisor de un número es un factor del número.
La terminología "múltiplo" o "divisible" se usa indistintamente.
Ejemplo:
"El cero es múltiplo de cualquier entero positivo, excepto de sí mismo”.
2. DIVISIBILIDAD INEXACTA Cuando hay residuo, puede ser:
Ejemplos:
3. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA DIVISIBILIDAD
I. Para operaciones realizadas con múltiplos de un mismo módulo.
a. Adición
Ejemplo:
b. Sustracción
Ejemplo:
c. Multiplicación
Ejemplo:
d. Potenciación
Ejemplo:
II. Todo número es divisible necesariamente entre cada divisor que tiene.
Ejemplo:
III. Todo número que es divisible por varios módulos, entonces el número es múltiplo del MCM de dichos módulos.
Ejemplo:
( )
=
= Þ = =
=
�
o oo
o
5 '
N 3 N mcm 2,3,5 30
N 5
Divisibilidad22
ARITMÉTICA Volumen I
× = Þ ¹ =� o o
���� : &+ <A@A � &+�?F��A�: &+
× = Þ = =�o o
���) < * ' < ( �?F��A�< (
=nabcde
en +o
n2 de)n( +
o
n3
cde)n( +
o
=3101ab
13+o
33 1013 +
o
34
101b3 +
o
1.
2.
+ZÎ+=÷÷
ø
öççè
æ+ k;rnrn
kk
oo
( )
( )ïî
ïí
ì
-
+=÷÷
ø
öççè
æ-
imparesk;rn
paresk;rnrn
k
kk
o
oo
� ö æ ö æ ö+ = + - = - - = +ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø
� o o o o o� 5 6
5 5 67 3 7 3 ; 5 2 5 2 ; 5 2 5 2
10515 4
26282511
353
(24)2628 23 .
(24)2628 (5 + 3) .o
(5 + 1)(5 + 3) = 5 + 3oo o
ra ±o
N rb,amcmN ±o
rb ±o
COROLARIO:
IV. Principio de Arquímedes
Ejemplos:
V. Para un cierto número expresado en cierta base:
Ejemplo:
VI. Divisibilidad Aplicada al Binomio de Newton
Ejemplo:
GAUSSIANO (g)Es el periodo que se repite al determinar los restos potenciales de un número elevado a sus potencias sucesivas respecto a un módulo (divisor) dado.
EjemploCalcule el gausiano al hallar los restos potenciales de 2 respecto al módulo 5.
APLICACIÓN2103
Halla el resto de dividir 32 entre 5.
2103 10515RESOLUCIÓN Þ 32 = 2
Rpta: 3
CRITERIOS DE LA DIVISIBILIDAD
Un criterio de divisibilidad es una relación que deben cumplir las cifras de un determinado numeral para que sea divisible por otro, si no lo es, nos permitirá hallar el residuo en forma directa. Estudiaremos los criterios de divisibilidad más usuales y aplicables en el sistema decimal.
n n +1. CRITERIOS POR 2 Y 5 (n΢ ) Sea:
Luego:
Ejemplos:
2. CRITERIOS POR 4 Y 25
Sea:
Luego:
Ejemplos:
3. CRITERIOS POR 8 Y 125
Sea:
Luego:
Ejemplos:
4. DIVISIBILIDAD POR 3 Y 9
À= + ï
ïï= + ï
=ýï= + ïï
= + ïþ
o0
o1
o2
o3
2 5 1
2 5 2g 4
2 5 4
2 5 3
= +
= +
= +
� !
! !
! !
A4
o5
o6
2 5 1
2 5 2
2 5 4
��
=
= ´ +
2 5
N abcde
N abcd 10 e
{ }
{ }
N 2 e N 2 e 0; 2; 4; 6; 8
N 5 e N 5 e 0; 5
= + Þ = ® =
= + Þ = ® =
� o
o o
= ++
+ = +
· = =
· = =
ìï
· íïî
�o
oo
oo
o o
�: �F�+ ' &1;2
2; ya que 7 5 25
4728 ; ya que termina en 8 22
65205 5; ya que termina en 5 5
abc37
=
= ´ +
N abcde
N abcd 100 de
{ }
= + Þ = « =
= + Þ = « =
� o o
o o
5 4 N 4 de 4de
N 25 de N 5 de 00; 25; 50; 75
= ++
+ = +
=· =
· = =
ìï
· íïî
�o
oo
oo
o o
�: �F� * � ) &1;4
15; ya que 65 25 1525
39828 28; ya que 44
97950 25; ya que 50 25
mnp65
=
= ´ +
N abcde
N ab 1000 cde
{ }
= + Þ = « =
= + Þ = « = ×× ×
� o o
o o
5 8 N 8 cde 8cde
N 125 cde N 125 cde 000; 125; ;875
= ++
+ = +
=· =
· = =
ìï
· íïî
�o
oo
oo
o o
' �: �F�&( � , ';8
5; ya que 130 125 5125
243248 248; ya que 88
350375 125; ya que 375 125
xyz130
23
ARITMÉTICAVolumen I
Divisibilidad
- - - + =· =
+ - - - + =· =
+ + - - - ++ =· =
�o
oo
oo
&3169 : 3 3 4 18 9ya que 1313
462462 : 16 18 2 16 18 2ya que 1313
213214 1 8 3 3 8 3 4 1: ya que 1313
= + + - - - + =
Þ = « + - - - + =
� o
o o
5 &( ) : ( ; < ) � ( � = &(
N 13 4a 3b c 4d 3e f 13
®= 3 ( ( ������&�<A�C�DB�<EA : ?@��F?A ( ( �1 1 1
al módulo 99.
N abcdef
+ =· =
+ + = +· = +
�o
oo�775 : 57 75ya que 3333
421352 : 42 13 52 8ya que 9999 8
= « + + =
= « + + =
� o
o o
5 ( ( : ; <� �= ( (
N 99 ab cd ef 99
+ + + =· =
+ + + + + = +· =
�o
oo$* %
(8 )
2314 : 2 3 1 4ya que 55
13212 2 : 1 3 2 1 2 2ya que 77
= - « + + + + + = -� o
$�%abcdef (n 1) a b c d e f (n 1)
+ + =
+ + + =
� o
o o$* %
(12)
2453 : - 2 4 - 5 3• = ya que 77
529786 = - 7 : - 5 2 - 9 7 - 8 6 - 7• ya que 1313
= + « - + - + - + = +� o
$�%abcdef (n 1) a b c d e f (n 1)
Ejemplos:
7. CRITERIO POR 13
Sea:
Luego:
Ejemplos:
8. CRITERIO POR 33 Y 99
Sea:
Luego:
Ejemplos:
9. CRITERIO POR (n - 1) EN BASE n
Ejemplos:
10. CRITERIO POR (n + 1) EN BASE n
Ejemplos:
� = · = +
· = · = +
· = + · =
· = + · =
� o
o o
o o
o o
) * +�i) 11 iii) abcd 11 r
7546 11 cdab 11 r
ii) 463 11 1 iv ) mnp 11
364 11 1 pnm 11
Si en un numeral cambiamos el orden que ocupan las cifras de lugar par y/o impar al aplicar el criterio por 11 el resultado final no varía.
]
=
= ´ + ´ + ´ + ´ + ´ +¯ ¯ ¯ ¯ ¯
- + - + -� o o o o
� 4 3 3N abcdef
N a 10 b 10 c 10 d 10 c 10 f
11 1 11 1 11 1 11 1 11 1
- + - + =· =
+ - + - + - + = +· =
- + - + - + =· =
+ - + - + = -· =
üï· =ýï· = þ
�o
oo
oo
oo
o
o
&1143 : 1 1 1 4 3ya que 1111
245568 4 : 2 4 5 5 6 8 4ya que 1111
451451 : 4 5 1 4 5 1ya que 1111
37291 10 : 3 7 2 9 1 10ya que 1111
Todo numeral capicúa con una2442 11
cantidad par de cifrabccba 11
oas siempre es 11.
= - + - + - +
Þ = « - + - + - + =
�
o o
5 && : ; < � � =
N 11 a b c d e f 11
Ø = · = +
· = · = +
· = + · =
· = + · =
� o
o o
o o
o o
�) 345 3 iii) abc 3 r
453 3 cab 3 r
ii) 724 9 4 iv ) mnp 9
472 9 4 pmn 9
Al alterar el orden de las cifras de un numeral, si aplicamos los criterios por 3 ó 9, el resultado final no varía.
]
=
= ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯- - -I M M M M M M M M M KM M M M M M M M M L
� 4 3 2 0
R.P. de 10 con respecto al módulo 7
N abcdef
N a 10 b 10 c 10 d 10 c 10 f 10
2 3 1 2 3 1
- + + + =· =
- - - + + + =· =
+ - - + ++ + =· =
�o
oo
oo
+343 : 7 6 12 3ya que 77
415415 : 8 3 5 8 3 5ya que 77
24131 1 6 4 2 9 1: 1ya que 77
= - - - + + + =
Þ = « - - - + + + =
� o
o o
5 + ' : ( ; < ' � ( � = +
N 7 2a 3b c 2d 3e f 7
=
= ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + +¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯+ + - - - +I M M M M M M M M M KM M M M M M M M M L
� 4 3 3 0
R.P. de 10 con respecto al módulo 13
N abcdef
N a 10 b 10 c 10 d 10 c 10 f 10
4 3 1 4 3 1
Sea:
Luego:
Ejemplos:
OBSERVACIÓN:
5. CRITERIO POR 11
Sea:
Luego:
Ejemplos:
OBSERVACIÓN:
6. CRITERIO POR 7
Sea:
Luego:
=
= ´ + ´ + ´ + ´ +¯ ¯ ¯ ¯
+ + + +
+ + + +
4 3 2
º º º º
º º º º
N abcde
N a 10 b 10 c 10 d 10 c
3 1 3 1 3 1 3 1
9 1 9 1 9 1 9 1
++
++
+ + + =· =
+ + + + =· =ìï
· íïî
�o
oo
oo
oo
& �: �F�?: DF@: ��<�=C: D�D$( &%;3
4 ya quelasumadecifras es (9 4 );9
2313 2 3 1 3; ya que 33
45981 4 5 9 8 1; ya que 99
72314311
= + + + + + Þ = + + + + =«
= + + + + + Þ = « + + + + =
� o o
o o o
5 ( : ; < � � 5 ( : ; < � � (
N 9 a b c d e N 9 a b c d e 9
Divisibilidad24
ARITMÉTICA Volumen I
PROBLEMAS RESUELTOS 1. Halla la suma de cifras de un número de cuatro cifras tal
que si permutamos sus dos últimas cifras se transforma en un múltiplo de siete y si agregamos una unidad a su última cifra se transforma en un múltiplo de nueve.
RESOLUCIÓN
* Sea el capicúa: N abba= de modo que:
¡) 0
7abab = al permutar sus dos últimas cifras
02
0
0
.10 7
101 7
7
ab ab
ab
ab
� + =
=
=
¡¡) También:
0
0
0 0
0
( 1) 9
1 9
2( ) 9 1 9 8
9 4
abb a
a b b a
a b
luego a b
+ =
Þ + + + + =
+ = - = +
+ = +
iii)
0
7
: 4 : 40;31;22,13
ninguno es
Si a b+ = I M KM L
0
: 13 : 49 7
4 9
Si a b sólo
luego a y b
+ = =
= =
4994N\ =
Suma de cifras=26 2. En la siguiente sucesión 15; 18; 23; 30;…., calcula la
suma de cifras del resultado de sumar el segundo y
tercer término 0
13 11+ .
RESOLUCIÓN i) Los términos de la sucesión son de la forma:
15= 14+1= 14+ 21
18= 14+4= 14+ 22
23= 14+9= 14+ 23
214nt n� = +
ii) 0
13 11nt = +
0
213 11 14 n+ = +
02
02
0
13 3 39 39
13 36
13 ( 6)( 6)
n
n
n n
= + + -
= -
= + -
iii) Si: n+6=0
13
n= 7; 20; 33, …
Si: n-6=0
13
n= 6; 19, 32; …
iv) De iii) los valores de n son: n=6; 7; 19; 20; 32; 33; …
Como se desea el segundo y tercer término 0
13 11+
n=7: 27 14 7 63t = + =
n=19: 219 14 19 375t = + =
7 19 438t t\ + = Rpta.
3. Si: 02218 1aaa = + . Calcula el residuo de dividir 3a entre
9. RESOLUCIÓN
i) Como 02218 1aaa = + es impar a es impar�
ii) Se sabe que 0
2( ) 8 1impar = +
0
2 2
2
2
0 02
02
(2 1) 4 4 1
(2 1) 4 ( 1) 1
(2 1) 4(2) 1 8 1
8 1( )
k k k
k k k
k
impar
+ = + +
+ = + +
Þ + = + = +
+\ =
IM KML
iii) En el problema:
0220
. 8 1P aaa aaa= = +
( )110 02 2 110( ) 8 1aaa impar= = +
0 0
0
0
0
8 1). 8 1
: 8 1
111 8 1
8 7
( aaa
resulta aaa
a
a
+ = +
= +
= +
= +
\
iv) Sólo 7a =
3
0
: 343
343 9 1
piden a =
= +
Residuo: 1 Rpta.
4. Indica cuántos valores puede tomar aba si 0
489 11 4aba = + .
RESOLUCIÓN i) Se observa:
0
02
03
04
05
489 11 5
489 11 3
489 11 4
489 11 9
489 11 1
= +
= +
= +
= +
= +
0 05489 11 1� = +
25
ARITMÉTICAVolumen I
Divisibilidad
ii) Para el problema:
0 005 3489 11 4 489 5 3+= + = = +\aba aba
3 8
0,1,2,3,...9
10
a puede ser u
pero b
valores
= I M KM L
iii) Los números de la forma aba tienen
:a 2 valores
:b 10 valores
2.10=20 valores. Rpta.
5. Si 0
88 17 9abab = + , calcula la suma de valores de ab
RESOLUCIÓN
i) 0
88 17 9abab = +
� { {� 0 0
04 2
17 4 17 15 17 3
.10 . 10 88 17 9ab ab
+ + +
Þ + + = +
ii) 0
0
19 17 2
4 15 3 17 9
ab ab
ab ab
= +
+ + = +I M KM L
0
0
0
2 3 17 9
2 17 6
17 3
ab
ab
ab
+ = +
/ = + /
Þ = +
iii) Los valores de ab son:20,37,54;71;88
270ab =å Rpta.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. ¿Por cuánto será divisible siempre:
52. Si se cumple que: n > 1; E = n - n. Luego, E es siempre divisible por cuánto?
17013. ¿Cuál es el residuo de la división de: 8 + 5 entre 3?
4. Halle el menor número entero que al ser dividido entre: 13, 14, 15 y 21, dé el mismo residuo por exceso.
5. Halla el mayor número de 5 cifras, tal que si se le divide entre 13 no da residuo; pero si se le divide entre 14, 15 y 16; dé como residuo: 8, 9 y 10 respectivamente.
____6. Halla el número: P = xyyx si es múltiplo de 7 y que
la suma de sus cifras es 22._____
7. Halle los números de la forma P = ab1ba que son ¸múltiplos de 44. Dé como respuesta el residuo de: N 5
_°8. Halle: M = 7 + r Si: M = 321321 . . . . . . . . . . . . 144424443 29 cifras
9. Se sabe que:2 Halle: E = 2c + c
10. Halle el número de 3 cifras que sea igual a 5 veces el producto de sus cifras. Dé como respuesta el producto de sus cifras.
11. En una reunión la sexta parte de los varones son solteros y la octava parte de los varones casados tienen hijos, los 2/7 de las mujeres son solteras.
Si hay 217 personas, calcula la razón aritmética entre el número de varones y mujeres.
=M (3a)(3b)(3c )(3a)(3b)(3c )
= = =� o o
: b ; ba ; abc5 9 8
Divisibilidad26
ARITMÉTICA Volumen I
Hallando la cantidad de números en cada caso:
Rpta: 60
5088. Calcula el residuo al dividir: A = (1333) entre 11.
RESOLUCIÓN
Rpta: 3
= =
= =
= =
o
o
o
90012 7512
9005 1805
90060 1560
= +o
1333 11 2
(11 + 2)508
11 + 2508o o
(25)101
23
.
(11 1)101
(11 + 8)- .o o
(11 1) (11 + 8)- .o o
11 8 = 11 + 3-o o
6. Calcula la suma de todos los números positivos de 2 cifras, tal que al dividir entre 8 se obtienen residuos máximos.
RESOLUCIÓN Sea:
k: 1; 2; 3; 4; ...; 11
Rpta: S = 605
7. Calcula ¿cuántos números positivos de 3 cifras son múltiplos de 4 y 6 pero no de 5?
RESOLUCIÓN mcm (4; 6) = 12
Graficando
= = +
= +
£ <
£ + <
£ <
oN ab 8 7
ab 8k 7
10 ab 100
10 8k 7 100
3 93k8 8
( )
( )
£ <
= + + + + +
=
+=
= ´
ab
ab
0,3 k 11,6
ab 8 1 2 3 ... 11 7
ab 15; 23; ... ; 95
15 95S 11
2
S 55 11
1651560
12o
5o
60o