Instituto Tecnológico de Villahermosa
Materia: Simulación
Catedrática: M.C. Zinath Javier Geronimo
UNIDAD II
Generación de números aleatorios
Alumnas:Damaris Rocha Cambrano
Diana Laudy Sánchez Hidalgo
Enero-Junio 2017
ÍNDICE
Introducción..............................................................................................................1
2. Generación de números aleatorios......................................................................2
2.1 Números aleatorios: definición, propiedades, generadores y tablas...........2
Definición...........................................................................................................2
Propiedades.......................................................................................................3
Generadores......................................................................................................3
Tablas................................................................................................................4
2.2 Propiedades de los números pseudoaleatorios..............................................4
2.3 Pruebas estadísticas de aleatoriedad para los números pseudoaleatorios: de
medias, de varianza, de independencia y de bondad de ajuste...........................6
2.3.1 De medias.................................................................................................6
2.3.2 De varianza...............................................................................................7
2.3.3. De independencia....................................................................................7
2.3.4 De bondad de ajuste.................................................................................8
2.4 Obtención de números pseudoaleatorios utilizando paquetes
computacionales...................................................................................................9
2.5 Método de Monte Carlo.................................................................................10
Bibliografía.............................................................................................................12
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Introducción
Generalmente los sistemas reales tiene valores de cantidades o tiempo que varían
dentro de un rango, éstos son números que están definidos por una distribución de
probabilidad. Un ejemplo claro es que si un servidor tarda en atender a un cliente
entre 3.5 y 4.2 minutos, esto se definirá como una distribución de probabilidad en
el modelo de simulación. Durante la simulación cada vez que un servidor
comience a atender a un cliente, el simulador va a generar un número al azar
entre 3.5 y 4.2 minutos para simular el tiempo de atención al cliente.
Cada vez que se genera un valor a partir de una distribución, a ese valor se le
llama variable aleatoria. Y para generar variables aleatorias, es necesario utilizar
números aleatorios.
La base primordial de la simulación son los números aleatorios. Actualmente, toda
aleatoriedad involucrada en el modelo se obtiene a partir de un generador de
números aleatorios que produce una sucesión de valores que supuestamente son
realizaciones de una secuencia de variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas U (0, 1). Posteriormente estos números aleatorios se
transforman convenientemente para simular las diferentes distribuciones de
probabilidad que se requieran en el modelo.
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2. Generación de números aleatorios2.1 Números aleatorios: definición, propiedades, generadores y tablas.
DefiniciónLos números aleatorios son números que deben de cumplir los requisitos de
espacio equiprobable, es decir, que todo elemento tenga la misma probabilidad de
ser elegido y que la elección de uno no dependa de la elección del otro. Son
generados por medio de una función determinista (no aleatoria) y que aparentan
ser aleatorios.
Propiedades
Frecuencia: Cada variable sigue una distribución uniforme en el intervalo [0, 1).
Independencia: Los números no deben estar relacionados entre sí.
Generadores
Los métodos para generar números aleatorios involucran algún proceso físico
cuasialeatorio, que genera sucesiones de números aleatorios de determinada
longitud. El requisito general para las sucesiones es la independencia estadística.
Para esto, existen varios métodos:
Métodos manuales: Dispositivos mecánicos o electrónicos, lanzamientos de
monedas o dados, empleo de barajas, ruletas. Son menos prácticos pero simples,
lentos, atractivos, pedagógico. Pero no pueden reproducirse.
Tablas de bibliotecas: Generados por los métodos anteriores. Están en tablas.
Siempre pueden reproducirse, pero es un sistema lento. Determinados problemas
requieren más números aleatorios que los publicados.
Métodos de computación analógica: Dependen de procesos físicos aleatorios,
por ejemplo: el ruido térmico de un circuito con semiconductores, que convertido
en un número binario, representa un valor numérico aleatorio. Se considera que
conducen a verdaderos números aleatorios.
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Métodos de computación digital: Se han sugerido tres métodos para producir
números aleatorios cuando se usan computadoras digitales; provisión externa,
generación interna, relación de recurrencia.
Existen en la actualidad técnicas para generar con una computadora, variables
aleatorias uniformemente distribuidas, r (en donde r ≥ 0 y 1 ≥ r). Los números
generados por estas subrutinas de computadora se denominan números
pseudoaleatorios, porque se generan a partir de una fórmula totalmente
determinística mediante la computación. Sus propiedades estadísticas, coinciden
con las de los números generados a través de un dispositivo fortuito idealizado
que selecciona números de un intervalo unitario (0,1) de un modo independiente
en donde son igualmente probables todos los números.
A condición de que estos números pseudoaleatorios puedan pasar el conjunto de
pruebas estadísticas (las de frecuencia, auto correlación, producto rezagado,
corridas, de distancia y así sucesivamente) implicadas por un dispositivo fortuito
idealizado, tales números pseudoaleatorios se pueden tratar corno si "en realidad
lo fueran" a pesar de que no lo son.
Tablas
Es un conjunto de cifras entre 0 y 9 cuyo orden no obedece ninguna regla de
formación, ellas se pueden leer individualmente o en grupos y en cualquier orden,
en columnas hacia abajo, columnas hacia arriba, en fila, diagonalmente, si se
desea formar números aleatorios en un determinado rango, basta con calcular la
proporción, otra forma de usarlo es sumando dos números tomados de alguna
posición o multiplicarlos.
Para ser presentadas estas cifras se agrupan en números de 4 dígitos, formando
bloques de 5 filas y 10 columnas facilitando de esta forma su lectura que puede
iniciarse desde cualquier parte de la tabla.
Una tabla de números aleatorios es útil para seleccionar al azar los individuos de
una población conocida que deben formar parte de una muestra
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2.2 Propiedades de los números pseudoaleatorios
Media de los aleatorios entre 0 y 1
En vista de que los números deben tener la misma probabilidad de presentarse, es
preciso que su comportamiento muestre una distribución de probabilidad uniforme
continua, con límite inferior cero y límite superior uno.
La función de densidad de una distribución uniforme es la siguiente:
f ( x )= 1b−a
a≤x ≤b ;eneste caso ,a=0 y b=1
Gráficamente se vería de la siguiente manera:
El valor esperado (es decir, la media de los números aleatorios entre 0 y 1) es µ= 0.5
Varianza de los números aleatorios
Partiendo de la misma distribución uniforme continua obtenemos la varianza de la distribución por medio de la ecuación:
V ( x )=σ2=E (x2 )−μ2
Dada esta ecuación podemos decir que los números aleatorios entre 0 y 1 deben tener
μ=12y σ 2= 1
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Independencia
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Esta es una propiedad muy importante, e implica que los números aleatorios no
deben tener correlación entre sí; es decir, deben ser independientes, de manera
que puedan dispersarse uniformemente dentro de todo el espectro de valores
posibles.
Es posible realizar una serie de pruebas para corroborar que no existe correlación
entre los números aleatorios e incluso para garantizar que no exista un sesgo o
tendencia entre los dígitos de cada uno de ellos.
2.3 Pruebas estadísticas de aleatoriedad para los números pseudoaleatorios: de medias, de varianza, de independencia y de bondad de ajuste.
2.3.1 De medias
Una de las propiedades que deben cumplir los números del conjunto ri, es que el
valor esperado sea igual a 0.5. La prueba que busca determinar lo anterior es la
llamada prueba de medias, en la cual se plantean las siguientes hipótesis:
H 0 :μr i=0.5
H 1 :μri≠0.5
La prueba de medias consiste en determinar el promedio de los n números que
contiene el conjunto ri, mediante la ecuación siguiente:
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ȓ=1n∑i=1
n
ri
Posteriormente se calculan los límites de aceptación inferior y superior.
Si el valor de ȓ se encuentra entre los límites de aceptación, concluimos que no se
puede rechazar que el conjunto r i tiene un valor esperado de 0.5 con un nivel de
aceptación de 1-α . En caso contrario se rechaza que el conjunto ri tiene un valor
esperado de 0.5.
2.3.2 De varianza
Otra de las propiedades que debe satisfacer el conjunto ri, es que sus números
tengan una varianza de 1/12. La prueba que busca determinar lo anterior es la
prueba de varianza, que establece las siguientes hipótesis:
H 0 :σ2ri=1/12H 0 : σ
2ri≠1/12
La prueba de varianza consiste en determinar la varianza de los n números que
contiene el conjunto ri, mediante la ecuación siguiente:
V (r )=∑i=1
n
(ri−ȓ )2
n−1
Después se calculan los límites de aceptación inferior y superior.
Si el valor de V® se encuentra entre los límites de aceptación, decimos que no se
puede rechazar el conjunto ri tiene una varianza de 1/12, con un nivel de
aceptación de 1- α ; de lo contrario, se rechaza que el conjunto de r i tiene una
varianza de 1/12.
2.3.3. De independencia
Recuerde que las dos propiedades más importantes que deben satisfacer los
números de un conjunto ri son uniformidad e independencia.
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Para probar la independencia de los números del conjunto r iprimero es preciso
formular las siguientes hipótesis:
H 0 : losnúmeros deconjunto r i son independientes
H 1: los números deconjunto r i noson independientes
Las pruebas estadísticas que tratan de corroborar si los números en el intervalo
(0,1) son independientes o, en otras palabras, si parecen pseudoaleatorios son:
Prueba de corridas arriba y abajo
Prueba de corridas arriba y debajo de la media
Prueba póker
Prueba de series
Prueba de huecos
2.3.4 De bondad de ajuste
En la construcción del modelo de simulación es importante decidir si un conjunto
de datos se ajusta apropiadamente a una distribución específica de probabilidad.
Al probar la bondad del ajuste de un conjunto de datos, se comparan las
frecuencias observadas FO realmente en cada categoría o intervalo de clase con
las frecuencias esperadas teóricamente FE.
Prueba Ji cuadrada
La prueba Ji cuadrada hace uso de la distribución del mismo nombre para probar
la bondad del ajuste al comparar el estadístico de prueba Xo2 con el valor en
tablas de la mencionada distribución Ji cuadrada con v grados de libertad y un
nivel de significancia alfa. En la siguiente sección aplicaremos esta prueba para
probar la hipótesis nula de que los números aleatorios (provenientes de un
generador) se ajustan a la distribución teórica uniforme continua.
Sea x una variable aleatoria discreta con valores x1, x2,......., xn Se propone la
hipótesis nula H0, de que la distribución de donde proviene la muestra se
comporta según un modelo teórico específico tal como la uniforme, la exponencial,
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la normal, etc. Entonces FOi, representa el número de veces que ocurre el valor xi
mientras que FEi, es la frecuencia esperada proporcionada por el modelo teórico
propuesto. A menudo ocurre que muchas de las frecuencias FEi, (y también
las FOi) son muy pequeñas, entonces, como regla práctica adoptamos el criterio
de agrupar los valores consecutivos de estas
frecuencias esperadas hasta que su suma sea de
al menos cinco. La medida estadística de prueba para la
hipótesis nula es
Para n grande este estadístico de prueba tiene una distribución X2 aproximada
con V grados de libertad dados por
V = (k –1) – (número de parámetros estimados)
así, si se estiman dos parámetros como la media y la varianza, la medida
estadística tendrá (k – 3) grados de libertad.
Se puede aplicar esta prueba a variables continuas agrupando adecuadamente los
valores en un número adecuado de subintervalos o clases k. Una regla empírica
para seleccionar el número de clases es:
2.4 Obtención de números pseudoaleatorios utilizando paquetes computacionales
La herramienta principal de la simulación es la generación de números aleatorios o
al azar, los cuales representaran el valor que tomara una variable. En un principio
los números aleatorios se generaban por métodos rústicos como el girar una ruleta
o lanzar los dados.
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El enfoque moderno es usar una computadora para generarlos mediante alguna
fórmula matemática con lo que nos encontramos generando por un método
determinístico una secuencia de número que dan la apariencia de ser aleatorios
cuando no lo son, dado que en algún momento no determinado esta lista
comenzara a repetirse, el objetivo en sí es generar una lista lo suficientemente
larga como para evitar llegar al comienzo del ciclo.
A esta serie de número que parecen ser aleatorios se les denomina
pseudoaleatorios, ahora veamos una fórmula para determinar esta serie de
números:
Excel es uno de los paquetes computacionales que permite la generación de
números pseudoaleatorios.
2.5 Método de Monte Carlo
El método de Monte Carlo es un método no determinístico o estadístico numérico
usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar
con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Montecarlo
(Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un
generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de
los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron
enormemente con el desarrollo de la computadora.
El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a una gran
variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos
con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es
aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A
diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos
en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método
de Monte Carlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como en
virtud del teorema del límite central.
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Bajo el nombre de Método Monte Carlo o Simulación Monte Carlo se agrupan una
serie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias usando
simulación de números aleatorios. El Método de Monte Carlo da solución a una
gran variedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreos
estadísticos en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de
problema, ya sea estocástico o determinístico. Generalmente en estadística los
modelos aleatorios se usan para simular fenómenos que poseen algún
componente aleatorio. Pero en el método Monte Carlo, por otro lado, el objeto de
la investigación es el objeto en sí mismo, un suceso aleatorio o pseudoaleatorio se
usa para estudiar el modelo.
A veces la aplicación del método Monte Carlo se usa para analizar problemas que
no tienen un componente aleatorio explícito; en estos casos un parámetro
determinista del problema se expresa como una distribución aleatoria y se simula
dicha distribución. Un ejemplo sería el famoso problema de las Agujas de Bufón.
La simulación de Monte Carlo también fue creada para resolver integrales que no
se pueden resolver por métodos analíticos, para solucionar estas integrales se
usaron números aleatorios. Posteriormente se utilizó para cualquier esquema que
emplee números aleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de
probabilidad conocidas, el cual es usado para resolver ciertos problemas
estocásticos y determinísticos, donde el tiempo no juega un papel importante.
Para crear un modelo exitoso mediante el método de Montecarlo debemos
seguir la siguiente cadena:
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Para finalizar, podemos decir que el método Montecarlo es aplicable en todos
aquellos sistemas que cuenten con un factor de aleatoriedad. Con lo cual
podemos concluir que se puede aplicar a sistemas complejos, de los cuales
podemos destacar áreas como informática, financiera, industrial, entre otras.
Bibliografía
García Dunna, E., García reyes, H., & Cárdenas Barrón, L. E. (2006). Simulación y análisis se sistemas con ProModel (Primera ed.). México: Pearson Eduación.
http://www.material_simulacion.ucv.cl/en%20PDF/aleator11.pdf
http://teorica.fis.ucm.es/programas/MonteCarlo.pdf
http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/isi-494/contenido/exposicion.html
http://simulacion-itstb.blogspot.mx/p/unidad-dos-numeros-aleatorios-y.html
http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_Terminados/SimSist/doc/SIMULACI-N-128.htm
https://sistemasumma.com/2011/09/05/numeros-pseudoaleatorios/
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