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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
Demanda Derivada de Factores
Mauro Gutierrez Martınez
Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ciencias Economicas
gutierrez [email protected]
septiembre 2016
Mauro Gutierrez Martınez Demanda de factores
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
Contenido
1 Demanda Condicional de FactoresConceptosFuncion de costo mınimoPropiedades de las elasticidades condicionadas
2 Demanda no Condicionada de FactoresConceptosPropiedades de las elasticidades de las demandas nocondicionadasEfecto escala
3 Anexo
Mauro Gutierrez Martınez Demanda de factores
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosFuncion de costo mınimoPropiedades de las elasticidades condicionadas
Demanda Condicional de Factores (I)
Demanda Condicional de Factores .
La demanda condicionada de Factores por el factor i es unafuncion que asigna para cada nivel de produccion q y preciosw1,w2, la cantidad demandada de zi que permite alcanzar elmenor nivel de costo posible al productor. Denotamos esta funcioncomo zCi = zi (w1,w2, q)
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosFuncion de costo mınimoPropiedades de las elasticidades condicionadas
Demanda Condicional de Factores (II)
Min{c1,c2}C = w1z1 + w2z2 s.a f (z1, z2) = q
Utilizando el lagrangiano
L = w1z1 + w2z2 + λ(q − f (z1, z2))
Obteniendo las condiciones de primer orden:
∂L∂z1
= w1 − λf1 = 0
∂L∂z2
= w2 − λf2 = 0
∂L∂λ = q − f (z1, z2) = 0
De las condiciones de primer orden se desprende:
w1
w2= f1
f2
De las condiciones de primer orden tenemos:
z1 = z1(w1,w2, q), z2 = z2(w1,w2, q) y λ∗ = λ(w1,w2, q).
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosFuncion de costo mınimoPropiedades de las elasticidades condicionadas
Funcion de costo
Funcion de Costo Mınimo.
Al reemplazar las funciones de demanda condicionada de factoresdentro de la funcion objetivo, se obtiene la funcion de costomınimo o funcion de costos de la empresas
C ∗ = w1z1(w1,w2, q) + w2z2(w1,w2, q)C ∗ = C (w1,w2, q)
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosFuncion de costo mınimoPropiedades de las elasticidades condicionadas
Propiedades de las elasticidades (I)
Lema de Shepard: costo mınimo y demanda derivada.
La derivada de la funcion de costo mınimo respecto al precio delfactor i es igual a la demanda derivada de dicho factor.
∂C∗
∂wi= z∗i (w1,w2, q)
Elasticidad precio de la demanda.
Es la variacion porcentual de la demanda del factor comoconsecuencia de la variacion porcentual del precio del mismo:
ηSii =∂z∗i (w1,w2,q)
∂wi
wizi
=∂lnz∗i (w1,w2,q)
∂lnwi
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosFuncion de costo mınimoPropiedades de las elasticidades condicionadas
Propiedades de las elasticidades (II)
La suma de las elasticidades es igual a cero.
Dado que la funcion de demanda condicionada es homogenea de gradocero en precios de los factores
∂zi∂wi
wi + ∂zi∂wj
wj = 0⇒ ∂zi∂wi
wi
zi+ ∂zi
∂wj
wj
zi= 0⇒
ηSii + ηSij = 0
Nota: Al cambiar proporcionalmente w1 y w2 en igual proporcion, la pendiente de laisocuanta no cambia, por lo que al mantener constante q, se ubica en el mismo puntode tangencia.
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosFuncion de costo mınimoPropiedades de las elasticidades condicionadas
Propiedades de las elasticidades (III)
Efectos simetricos.
∂zi∂wj
= ∂C∗
∂wi∂wj=
∂zj∂wi⇒(wiziC∗
)∂zi∂wj
wj
zi=(wjzj
C∗
) ∂zj∂wi
wizj⇒
αiηSij = αjη
Sji
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosFuncion de costo mınimoPropiedades de las elasticidades condicionadas
Propiedades de las elasticidades (IV)
Elasticidad sustitucion.
La Elasticidad de sustitucion es la elasticidad de la relacion de dosargumentos de una funcion de produccion con respecto a larelacion de sus productos marginales (o sus precios):
σ = −∂ln(zi/zj )∂ln(fi/fj )
= −∂ln(z∗i /z∗j )
∂ln(wi/wj )= −dln(z∗i /z
∗j )
dln(wi/wj )
σ = −dln(z∗i )−dln(z∗j )
dln(wi )−dln(wj )
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosFuncion de costo mınimoPropiedades de las elasticidades condicionadas
Propiedades de las elasticidades (V)
Relacion entre la elasticidad precio y la Elasticidad sustitucion.
La elasticidad precio es igual al negativo de la elasticidad sustitucion(demostracion):
Si dln(wj) = 0
σ = − dln(z∗i )−dln(z∗j )
dln(wi )=
dln(z∗j )
dln(wi )− dln(z∗i )
dln(wi )
σ = ηSji − ηSii
Si consideramos la propiedad de suma de elasticidades, tenemos:
ηSii = −ηSij
(...)
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosFuncion de costo mınimoPropiedades de las elasticidades condicionadas
Propiedades de las elasticidades (VI)
Relacion entre la elasticidad precio y la Elasticidad sustitucion(continua).
(...) Considerando la propiedad de elasticidades simetricas:
ηSii = −αj
αiηSji η
Sii = −αj
αi(σ + ηSii )⇒
ηSii
(1 +
αj
αi
)= −αj
αiσ
Si hay solo 2 factores:
ηSii = −αjσ
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosPropiedades de las elasticidades de las demandas no condicionadasEfecto escala
Demanda no condicional de factores (I)
Demanda no condicionada de factores.
La demanda no condicionada por el factor i es una funcion queasigna, para cada precio p y precios de los factores w1,w2, lacantidad demandada de zi que permite alcanzar el mayor nivel deutilidad posible al productor. Esta funcion se representa por:zNCi = zi (w1,w2, p)
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosPropiedades de las elasticidades de las demandas no condicionadasEfecto escala
Demanda no condicional de factores (II)
El problema de maximizacion de la empresa puede expresarsecomo:
Maxz1,z2π = pf (z1, z2)− w1z1 − w2z2
Las condiciones de primer orden implican:
∂π∂z1
= pf1(z1, z2)− w1 = 0∂π∂z2
= pf2(z1, z2)− w2 = 0
Estas ecuaciones tacitamente determinan a:
zNC1 = z1(w1,w2, p) y zNC2 = z2(w1,w2, p)
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosPropiedades de las elasticidades de las demandas no condicionadasEfecto escala
Elasticidad precio de la demanda no condicionada: Esnegativa
Sea f11, f22 > f12 = f21, la elasticidad precio de la demanda no condicionada es negativa
(demostracion):
Por las condiciones de primer orden, tenemos:
p.f1 = w1
p.f2 = w2
Derivando tenemos:
p.f11∂z1∂w1
+ p.f12∂z2∂w1
= 1
p.f21∂z1∂w1
+ p.f22∂z2∂w1
= 0
Luego, tenemos que:
p.f11∂z1∂w1
+ p.f12
(− f21
f22
∂z1∂w1
)= 1⇒
∂z1∂w1
= f22
p(f11f22−(f12)2)> 0
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosPropiedades de las elasticidades de las demandas no condicionadasEfecto escala
Elasticidad cruzada de la demanda no condicionada: Puedeser negativa o positiva
Demostracion:
Derivando las condiciones de primer orden respecto a w2:
p.f11∂z1∂w2
+ p.f12∂z2∂w2
= 0
p.f21∂z1∂w2
+ p.f22∂z2∂w2
= 1
Luego tenemos:
p.f21∂z1∂w2
+ p.f22
(− f11
f12
∂z1∂w2
)= 1⇒
∂z1∂w2
= − f12
p(f11f22−(f12)2)> 0
Por tanto, el signo de la elasticidad cruzada dependera inversamente del signo de f12.
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosPropiedades de las elasticidades de las demandas no condicionadasEfecto escala
Relacion entre la demanda condicionada y la nocondicionada
Dada un conjunto de precios de los factores w1,w2 y un precio pque se encuentra asociado a una cantidad q, se cumple la siguienteigualdad:
zNCi (w1,w2, p) = zCi (w1,w2, q
∗(w1,w2, p))
Aplicando la ecuacion de Slutky:
∂zNCi∂wi
=∂zCi∂wi︸︷︷︸
Efecto sustitucion
+∂zCi∂q∗
∂q∗
∂wi︸ ︷︷ ︸Efecto escala
El primer termino es el efecto sustitucion, mientras que el segundoes el efecto escala.
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosPropiedades de las elasticidades de las demandas no condicionadasEfecto escala
Efecto escala: El efecto escala tendra la misma direccion que el efecto
sustitucion si el factor es superior
(demostracion): Notese que:
∂z∗i (w1,w2,q)
∂q= ∂2C∗(w1,w2,q)
∂wi∂q= ∂Cmg
∂wi
Por tanto, el efecto escala es:
∂zCi∂q∗
∂q∗
∂wi= ∂Cmg
∂wi
∂q∗
∂wi
Si el factor es superior ∂Cmg∂wi
> 0 y ∂q∗
∂wi< 0, por tanto:
∂zCi∂q∗
∂q∗
∂wi< 0
Es decir, el efecto escala es negativo y va en la misma direccion que el efectosustitucion.
∂zNCi∂wi
=∂zCi∂wi︸ ︷︷ ︸< 0
+∂zCi∂q∗
∂q∗
∂wi︸ ︷︷ ︸< 0
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
ConceptosPropiedades de las elasticidades de las demandas no condicionadasEfecto escala
Referencia
Vial, Bernardita y Zurita, Felipe (2007)
Microeconomıa intermedia
Capıtulo 6 - Trabajo docente 073, Universidad Catolica de Chile.
Mauro Gutierrez Martınez Demanda de factores
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
Anexo: Derivacion de la elasticidad de la demandacompensada (I)
De las condiciones de primer orden tenemos:
w1 − λf1(z∗1 (w1,w2, q), z∗2 (w1,w2, q)) = 0w2 − λf2(z∗1 (w1,w2, q), z∗2 (w1,w2, q)) = 0q − f (z∗1 (w1,w2, q), z∗2 (w1,w2, q)) = 0
derivando respeto a w2:
−∂λ
∂w2f1 − λf11
∂z∗1∂w2
− λf12∂z∗2∂w2
= 0 (1)
1−∂λ
∂w2f2 − λf21
∂z∗1∂w2
− λf22∂z∗2∂w2
= 0 (2)
− f1∂z∗1∂w2
− f2∂z∗2∂w2
= 0 (3)
De la ecuacion 3 se puede despejar∂z∗2∂w2
:
∂z∗2∂w2
= −f1
f2
∂z∗1∂w2
(4)
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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores
Anexo
Anexo: Derivacion de la elasticidad de la demandacompensada (II)
Reemplazando en las ecuaciones 1 y 2 el resultado de la ecuacion 4 obtenemos:
−∂λ
∂w2f1f2 − λf11f2
∂z∗1∂w2
+ λf12f2
(f1
f2
∂z∗1∂w2
)= 0 (5)
f1 −∂λ
∂w2f1f2 − λf21f1
∂z∗1∂w2
+ λf22f1
(f1
f2
∂z∗1∂w2
)= 0 (6)
Por tanto, dado que f1 y f2 son positivos y por la condicion de segundo orden, el
denominador es negativo, por tanto∂z∗1∂w2
> 0.
∂z∗1∂w2
= − f1f2λ(f11f
22 +f22f
21 −2f21f1f2)
> 0 (7)
Al aumentar el precio de z2 disminuye el uso del factor 2, por lo que, para aumentar elnivel de produccion q se debe de aumentar el uso del factor z1.
Mauro Gutierrez Martınez Demanda de factores