Gerencia de riesgo iesa 2008 ver2

Gerencia de Riesgo

Introducción y conceptos claves

Profs. Luis G. Boggiano y Enrique ter Horst

Centro de Desarrollo GerencialGerencia de Riesgo Profs. Luis Boggiano y Enrique ter Horst

ContenidoModulo I Riesgo de Mercado

1. Contratos Futuros y Forwards

a. Precio de un contrato

b. Valoración

c. Estrategias de cobertura

d. Índice de cobertura

2. Bonos

a. Elementos de riesgo

b. Medida de riesgo: duración Macaulay

3. Swaps

a. Swap de tasas de interés

b. Transformación de activos y pasivos

c. Ventajas comparativas de tasas de interés

4. Opciones

a. Tipo de contratos

b. Valoración: Riesgo neutral, Hedge ratio, Black & Scholes

c. Paridad put-call

d. Estrategias de cobertura


ContenidoModulo II Value-at-Risk

1. Calculo de Volatilidades

a. EWMA

b. ARCH

c. GARCH

2. Value-at-Risk

a. Calculo por la distribución normal

b. Calculo por la simulación histórica

c. VaR en diferente horizontes

d. VaR de portafolio

3. Extreme Value Theory

a. Motivación

b. Ejemplo y calculo

4. Risk Budgeting

a. Descomposición de la volatilidad y VaR en sus componentes

b. Presupuesto de riesgo

c. Caso practico


• Estudiar los principales instrumentos disponibles en el mercado para la

cobertura de riesgos asociados a volatilidades de:

a. tasas de interés

b. tasas de cambio, y

c. precios de commodities (genéricos?)

Objetivo de la unidad


Capitalización continua

,

1

.

r

m Si

m

rVPVF

tm

:genera cual lo rm :que tenemos ,

tr

tr

VPVF

VPVF

.

..

11

11

Sabemos que: ,1

1 eLim por lo tanto:

rtrtFVeVP VPeVF


• Un contrato a Futuro es un acuerdo entre dos partes para comprar o

vender un tipo de activo a una fecha futura y por un precio establecido.

Contratos a Futuro (Future Contracts)

• A diferencia de los Forward, los Futuros se negocian directamente con

una Bolsa de Valores con lo cual existe cierta garantía de que el

contrato va a ser honrado.

• Un contrato Spot es un acuerdo entre dos personas para comprar ovender un tipo de activo al precio de hoy.

• La parte que compra se dice que está larga o tiene una posición larga

• La parte que vende se dice que está corta o tiene una posición corta



• Las Bolsas donde mas Futuros se negocian son:

– Chicago Board of Trade - Chicago Mercantile Exchange

– Eurex - London International Financial Futures

– Mercadorías y Futuros - Tokyo Int´l Financial Futures

• Los activos que mas comúnmente se negocian son:

– Commodities: petróleo, oro, cobre, azúcar, trigo, algodón, cobre, entre

otros..

– Financieros: índices sobre acciones, tasas de interés sobre ciertos

instrumentos (T-Bills, T-Notes) y tasas de cambio (Yen, Marcos Alemanes,

USD, Libras Esterlinas, Francos Suizos, etc.)

• Muy pocos contratos a Futuro resultan en la entrega física del activo.

Generalmente, las posiciones en Futuros se cierran antes de su vencimiento.


Thursday, March 15, 2003. WSJ

Previous trading day

ActivoMonto del

Contrato

Fechas de

vencimiento

Rangos de PreciosPrecio de

cierre

Cambio

Precio de

cierre

Rango de

precios de

contratos

Numero de

contratos

pendientes

Numero total de

contratos vendidos

Numero total de

contratos vendidos

durante el diaNumero total de

contratos

pendientes

Contratos a Futuro Commodities (Future Contracts)



Participantes en el Mercado de Futuros

Cliente Casa de Bolsa

Ruedo de

Negociación

Cliente Broker

Bolsa de Valores

Compensación

• Garante

• Contable

• Tesorero

• Vigilante del

proceso


Contratos a Futuro: Requerimiento de Margen

• Requerimiento de margen: supongamos que Citgo compra hoy 5 de junio, através de un broker, diez contratos a futuro de crudo Brent con fecha devencimiento el 5 de septiembre. El precio de este contrato a futuro es de$60/barril.

• El valor de este contrato es de:

$60/barril x 1,000 barriles/contrato x 10 contratos = $600,000

• Al día siguiente, el precio de este Futuro descendió a $59/barril. Quién pierde, y

cuanto ?

• La pérdida es de Citgo de $1/barril x 1,000 barriles x 10 contratos = $10,000

• La Bolsa evita el posible incumplimiento de los contratos requiriendo un margen

de cobertura para cada contrato. Digamos que el margen inicial de cobertura es

de $2,000/contrato y el margen de mantenimiento es de $1,500/contrato. Citgo

debe depositar inicialmente $20,000 con el broker quién a su vez lo deposita en

la Bolsa. (Nótese el apalancamiento del contrato)

• La pérdida de $10,000 reduce el deposito de cobertura a $10,000 el cual se

ubica por debajo del margen de mantenimiento ($15,000) con lo cual Citgo

debe depositar con el broker $5,000 adicionales. Este procedimiento de valorar

los contratos a mercado se denomina “Mark to Market”).


• Supongamos que el precio del crudo hoy es de $50/barril. Citgo desea fijar el

precio de venta de 200,000 de crudo a ser entregados en tres meses. Es

decir, quiere vender un Futuro de 200,000 barriles de crudo a tres meses.

Como puede hacerlo ?

• El precio de venta de un contrato de crudo a futuro con un vencimiento de

tres meses debe ser igual a:

precio spot: $50/barril

+ intereses: $ 0.63/barril ($50 e(0.05)(3/12)-1) (asume 5% interés continuo)

Precio Futuro hoy (F)0 = $50,63/barril

• Alternativa 1. Citgo puede:

a. solicitar un préstamo de tres meses por $10,000,000 ($50/barril x

200,000 barriles) con un interés del 5% anual,

b. comprar en crudo hoy al precio spot $50/barril y almacenarlo hasta su

fecha de entrega.

c. entregar los $200,000 barriles en diciembre y asegurarse que el precio

de venta sea suficiente para cubrir el precio de compra inicial mas los

intereses del préstamo (ignorando costo de almacenaje).

Precio de un Futuro sobre un activo sin flujo de caja


riesgo de libre interes de tasar

contrato del to vencimiende fecha t

hoy futuro del precioF

F

0

00

rteS

* Asumiendo por ahora que no hay costos de almacenamiento

• En general, la relación entre el valor (F0) de un contrato a Futuro y el precio

Spot (S0) del activo es la siguiente:

e rt = costo del préstamo para comprar el activo al precio S0

• Esta relación es valida para cualquier activo que no genere un pago de

intereses o dividendos al inversionista, como por ejemplo una acción que no

pague dividendos, un bono cero cupón o un activo no financiero*.

Precio de un Futuro sobre un activo sin flujo de caja


• Si la relación F0 = S0ert no se cumple, entonces habría oportunidad de arbitraje

en el mercado (free lunch)

• Supongamos que el futuro de crudo con vencimiento de tres meses es de

$60/barril y el precio spot es de $50/barril. Como puede Citgo generar una

ganancia sin riesgo ?

• Como el futuro esta sobrevalorado, Citgo puede:

– vender corto a $60/barril ($12MM)

– solicitar un préstamo de $10MM al 5% para comprar 200M barriles a

$50/barril

– Al vencimiento, Citgo entrega los 200M barriles, recibe $12MM y paga el

préstamo de $10MM mas intereses de $125,784. La ganancia de Citgo es

de:

Venta $12,000,000

Costo de venta ($10,000,000)

Préstamo: Intereses ($ 125,784)

Utilidad $1,874,215

Oportunidad de Arbitraje

Nota: Si F0 > S0ert : utilidad = F0- S0e

rt


• Supongamos ahora que el futuro de crudo con vencimiento de tres meses es de

$45/barril y el precio spot es de $50/barril. Como puede Citgo generar una

ganancia sin riesgo ?

• Como el futuro esta subvaluado, Citgo puede:

– vende 200M barriles a $50/barril

– invierte los $10MM al 5% por tres meses

– compra largo 200 contratos Futuros con vencimiento de tres meses a

$45/barril ($9MM)

– al vencimiento, Citgo paga $9MM, recibe y los 200M barriles. La ganancia

de Citgo es de:

Venta $10,000,000

Compra ($ 9,000,000)

Intereses $ 125,784

Utilidad $1,125,784

Oportuidad de Arbitraje

Nota: Si F0 < S0ert : utilidad = S0e

rt - F0


Precio de un Futuro

• El precio de un contrato Futuro se establece examinando el costo de comprar o

vender el activo hoy para ser entregado o recibido a futuro .

• En otras palabras, en general, el precio del Futuro hoy (F0) para entrega al

vencimiento (t) debe ser igual al precio del activo subyacente hoy (S0) mas

cualquier costo neto de financiamiento necesario para comprar el activo (ert)

donde r es la tasa libre de riesgo.

• Si el precio del Futuro no refleja el costo de comprar o vender el activo hoy para

ser entregado o recibido a futuro, entonces habría una oportunidad de arbitraje,

es decir, de generar una ganancia sin arriesgar nada.


Contratos a Futuro sobre Bonos

• El bono es una obligación por parte del emisor de pagar intereses (conocidos

como cupones) periódicamente mas el valor nominal (conocido como valor

facial) al vencimiento.

• El precio de un bono es igual a la suma de todos los flujos de caja prometidos

descontados a valor presente.

C + PrincipalBonos con cupón:

t

precio

C C C C

tn

t

n rr

c

1

Principal

11Precio =

C


Valoración de Bonos

Ejemplo Suponga un bono a dos años, con cupones anuales de 10%

Cupón = $1,000 x 10% = $100

• Cuando c = rmercado El bono se vende a la par: r =10%

%100000,1$10.1

1000100

10.1

100

2óPrecio =

• Cuando c < rmercado El bono se vende a descuento: r =12%

Precio = %62.9620.966$12.1

1000100

12.1

100

2ó

• Cuando c > rmercado El bono se vende con prima: r =8%

%57,10367,035.1$08.1

1000100

08.1

100

2óPrecio =


Contratos a Futuro: Bonos (Bond Future Contracts)



Activo

Monto del

ContratoRangos de Precios

$ y $1/32Precio de

cierre

Cambio

Precio de

cierre

Rango de

precios de

contratos

Numero de

contratos

pendientes

LifeTime Open Open High Low Settle Change High Low Interest

Fechas de

vencimiento

Numero total de

contratos vendidos

Numero total de

contratos vendidos

durante el díaNumero total de

contratos

pendientes

Cambio en el

numero total de

contratos

pendientes


Precio de un Futuro: Bonos

• Supongamos un contrato a futuro de un año para comprar un bono cuyo precio

actual es de $900. El bono vence en 5 años y el rendimiento del bono es del 4%

anual con pagos semianuales. El próximo pago de $40 es dentro de seis meses

y luego otro pago de $40 dentro de un año. Asumamos que la tasa libre de riesgo

a seis meses y un año es del 9% y 10% respectivamente (tasa continua). Cual

debe ser el valor de este futuro?

39,912$)43,74$900($F

43,74$19,36$24,38$)VP(I

40$$40eVP(I)



esperados caja de flujos los de presente valor I

spot precio S

futuro del precioF

)(F

)1)(10.0(0

)1)(1.0(2)(-0.09)(1/

0

0

00

e

e

eISrt

• Bajo el mismo argumento de no arbitraje, el precio de un futuro sobre

un activo que genere flujos de caja es:


• Supongamos que el precio del contrato a futuro es de $905, es decir, por debajo

de su precio teórico. Cual es la estrategia de arbitraje para un inversionista que

posea el bono ?

$7,39$905-$912,39 :Beneficio

$905por futuro a contrato del compra lacon cumple $40)-($952,39 $912,39 de diferencia laCon 3.

cupon. segundo el representa $40 cuales los de to vencimienal $952,39$861,76e recibe

y meses 12 durante 10% al $861,76$38,23-$900 diferencia la Invierte 2b.

bono. del

recibido hubiese quecupon primer eln representa que

$40 recibey meses 6 durante 9% al $38,23 Invierte 2a.

$900 recibey spot bono el vendeFuturo, el Compra 1.

(0.1)(1)

Precio de un Futuro: Bonos


Contratos a Futuro: Índice sobre Acciones

• Un índice sobre acciones replica un portafolio teórico de acciones.

• El peso que se le asigna a cada acción para el calculo del índice es igual al valor

proporcional de la acción en el portafolio total. El incremento porcentual del

índice es proporcional al incremento de precio de las acciones que conforman el

portafolio.

30 acciones

500 acciones

Multiplicador


Precio de un Futuro: Índice sobre Acciones

• Un índice puede considerarse como un activo que genera un rendimiento q.

0$101.257,53$250x405,0 contrato 1

03,405400F

activo del orendimient q



hoy activo del precio S

hoy futuro del precioF

F

)12/3)(01.006.0(0

0

0

)(00

e

eStqr

• Bajo el mismo argumento de no arbitraje:

• Supongamos un contrato a futuro de tres meses sobre el S&P500 que paga un

rendimiento del 1% p.a. (continuo) y el valor del índice spot es de 400. La tasa

libre de riesgo es del 6%. Cual es el precio de este contrato a futuro ?


Contratos de Futuros: Moneda Extranjera

• El activo a ser entregado a futuro es un monto determinado en moneda

extranjera

LifeTime Open Open High Low Settle Change High Low Interest




Precio de un Futuro: Moneda Extranjera

• Supongamos que Sivensa tiene una deuda de € $1MM que debe cancelar en

tres meses y sus ingresos son en USD. Como puede cubrirse Sivensa en

contra de una posible devaluación del dólar ?

• Una alternativa es comprar los € hoy al cambio spot, depositar los € generando

intereses durante 3 meses y al vencimiento pagar la deuda.

• La tasa de cambio para comprar € dentro de tres meses (tasa a de cambio a

futuro) debería ser igual a la tasa de cambio para comprar € hoy mas el costo

de los USD utilizados para comprar los € menos el rendimiento que me puedan

generar los € depositados durante tres meses.


Tasa spot: 2 USD/ € x € 1,000,000 = $2,000,000

Costo USD: 5% p.a. x 6/12 = $ 50,000

Costo total: $2,050,000

/98.1)USD/2(F

extranjera moneda interes de tasarf

local moneda interes de tasar


)extranjera dalocal/mone (monedaspot cambio de tasaS

futuro a cambio de Tasa F

F

)12/6)(07.005.0(

0

0

0

)(

00

USDe

eStrfr

Nota: diferencia debido a intereses continuo

vs. compuesto

Intereses sobre deposito en € : 7% p.a. x 6/12 = € 35,000

Total € = 1,000,000 + 35,000 = € 1,035,000

Tasa de cambio a futuro: USD $2,050,000 / €1,035,000 =1.98USD/ €



• En general, el precio de un Futuro en moneda extranjera es:

extranjera moneda interes de tasarf

local moneda interes de tasar


)extranjera dalocal/mone (monedaspot cambio de tasaS


F

0

0

)(

00

trfreS

• Cualquier desviación del precio actual con relación al precio teórico, crearía

oportunidades de arbitraje que serian aprovechadas de forma inmediata por el

mercado


• Esta relación es también conocida en Economía como la teoría de la paridad de

tasas de interés en la determinación de la tasa de cambio.


• El valor de un contrato Futuro en su inicio es cero

• Durante la vida del contrato el valor de un contrato Futuro puede fluctuar

positiva o negativamente debido a:

– Fluctuaciones en el valor del activo

– Fluctuaciones en la tasa de interés

– Cambios en las expectativas de generación de efectivo del activo

(ejemplos: dividendos sobre acciones o índices)

Valoración de un Futuro sobre un activo sin flujos de caja

• En general, el valor f de un contrato a futuro con precio k es el siguiente:

rt

rtrt

eK

KeKe

)F((largo) f :tambien



futuro del acordado precio K

activo delspot precio S

S- (corto) f ;S(largo) f

0

0

00

• Cuando el futuro es inicialmente negociado, el precio de compra K es F0 de

forma que f=0


• Cual es el valor de un contrato a futuro con vencimiento en seis meses sobre una

acción que no paga dividendos. El precio de la acción hoy es de $25 y el precio de

compra de la acción es de $24 y la tasa libre de riesgo es de 10% (continua).

Valoración de un Futuro sobre un activo sin flujos de caja

$2,17$24e-$25(largo) f

S(largo) f

0.1x1/2-

0rt

Ke


Valoración de un Futuro sobre un activo con flujos de caja

• De forma similar, el valor de un Futuro sobre un activo que genere flujo de caja

es el siguiente:



tdurante activo del caja de flujos VP I



Ke(corto) f ; (largo) f

0

0-rt

0 ISKeISrt


Valoración de un Futuro sobre un activo con flujos de caja

02,10$$912,39e-$74,42-$910(largo) f

$74,42 $36,19$38,23 I

19,36$40$VPI

23,38$40$VPI

$910 S

$912,39 K

(largo) f

0.1x1-

11.02

2/109,01

0

0

x

x

rt

e

e

KeIS

• Supongamos el inversionista compra un contrato a futuro a un año para

sobre un bono por $912,39. Inmediatamente después, el precio del bono

sube a $910. El bono vence en 5 años y el rendimiento del bono es del

4% anual con pagos semianuales. El próximo pago de $40 es dentro de

seis meses y luego otro pago de $40 dentro de un año. Asumamos que

la tasa libre de riesgo a seis meses y un año es del 9% y 10%

respectivamente (tasa continua). Cual debe ser el valor de este contrato

a futuro?


Valoración de un Futuro sobre un activo con rendimiento

• Finalmente, el valor de contrato a Futuro sobre un activo que genere un

rendimiento es el siguiente:



tdurante activo del orendimient q



Ke(corto) f ; (largo) f

0

0

-rt

0

qtrtqteSKeeS


Valoración de contratos Futuros

Resumen

Ke-eS eS q orendimientCon

S )(S VP(I) caja de flujoCon

S S caja de flujoSin

largo

contratoun deValor wardFuturo/For Activo

rt-qt-

0

qt-

0

00

00

rtrt

rtrt

KeIeI

Kee


Estrategias de Cobertura (Hedges)

• Dependiendo de los objetivos de cada inversionista, podemos dividir los actores

en los mercados de Futuros en tres tipos:

• Tesoreros (Hedgers)

• Especuladores

• Arbitrajistas (Arbitrageurs)

• Suponga que el tesorero de SIDOR debe comprar 100,000 lbs de cobre dentro

de tres meses para cumplir con un contrato a precio fijo. El precio spot del

cobre es de $1,40/lbs y el futuro a tres meses es de $1,20. El precio del cobre

puede subir con lo cual SIDOR se beneficiaría o puede bajar y resultar en una

pérdida en el contrato. Pero SIDOR solo está interesada en fijar su ganancia

hoy y no especular. Como puede cubrir el riesgo de un aumento en el precio del

cobre ?


Estrategias de Cobertura (Larga)

• Si no se posee el activo la estrategia es comprar una posición larga a futuro.

– Si el precio del cobre aumenta a $1,25/lbs, el contrato a futuro gana

100,000lbs x ($1,25-$1,20)=$5,000 que disminuye el costo de compra de

$1,25/lbs.

• Supongamos que el precio del cobre a tres meses es de $1,20/lbs. El tesorero

de SIDOR puede comprar 4 contratos a futuro (25M/lbs cada contrato).

– Si el precio del cobre disminuye a $1,05/lbs, el contrato a futuro pierde

100,000lbs x ($1,05-$1,20)=($15,000). Pero por otro lado, SIDOR puede

comprar el cobre a $1,05. La ganancia generada por la disminución del

precio del cobre es eliminada por la pérdida en el contrato a futuro. El

costo del cobre es de $1,20/lbs.



• EL general, la compra larga es una estrategia de cobertura apropiada cuando

no se tiene el activo deseado y se quiere fijar el precio de este activo hoy.

• El diagrama de ganancia o pérdida de una posición larga a futuro es el

siguiente:

Ganancia

Precio del activo al vencimiento, ST

K= precio del Futuro

St-K


Estrategias de Cobertura (Corta)

• Suponga que Citgo acaba de negociar una venta de 1MM de barriles de crudo

al precio de mercado prevaleciente dentro de tres meses. Por cada incremento

de $0.01 en precio del crudo, Citgo gana $10,000 y por cada caída de $0.01 en

precio del crudo Citgo pierde $10,000. Citgo no quiere especular sino fijar su

ganancia hoy. Como puede hacerlo ?

• Citgo puede vender corto 1,000 contratos futuros (cada uno representa 1,000

barriles) a tres meses. Supongamos que el Futuro a tres meses está en

$45/barril.

• Si el precio del crudo baja a $43/barril, Citgo gana $2/barril en el contrato a

futuro y termina recibiendo ingresos por la venta del crudo equivalentes a

$45/barril.

• Si el precio del crudo sube a $47/barril, Citgo pierde $2/barril en el contrato a

futuro. El precio neto de venta termina siendo de $45/barril.


Estrategias de Cobertura (Corta)• Supongamos poseemos un portafolio constituido por 200 bonos T con vencimiento en

junio y valor par de $1.000. Si deseamos proteger el valor actual de este portafolio, cual

debe ser la estrategia utilizando futuros?

• Si se posee el activo la estrategia es vender una posición corta del activo con

vencimiento en junio por K =$106,125 (por $100 valor par)

• Cada contrato es por $100,000, así que necesitamos vender corto

(200x$1.000)/$100.000 = 2 contratos con lo cual protegemos el portafolio cuyo valor

futuro al vencimiento asumiendo St = $106,125 seria de: 2x100 bonos x $106,125 x 10 =

$212.250.• La ganancia o perdida del contrato al vencimiento

(t) es de K - St

Precio del Bono al vencimiento

$105,125 $106,125 $107,125

Valor del portafolio de bonos (2.000xSt) $210.250 $212.250 $214.250

Ganancia o perdida del Futuro 2.000 x (K – St) $ 2.000 $ 0 -$ 2.000

Valor del portafolio $212.250 $212.250 $212.250

100 bonos x $1.000 parPrecio x $100 par


• EL general, la venta corta es una estrategia de cobertura apropiada cuando se

tiene el activo deseado y se quiere fijar el precio de este activo hoy.

• El diagrama de ganancia o pérdida de una posición corta a futuro es el

siguiente:

Ganancia

Precio del activo al vencimiento, ST

K= precio del Futuro

K-St

Estrategias de Cobertura (Corta)



• Los contratos a Futuro en commodities también se pueden utilizar como estrategias de

cobertura para cualquier tipo de portafolio en general debido a que el rendimiento de

estos futuros históricamente han tenido correlaciones negativas con el mercado de

acciones 1956 - 1996

Rendimiento promedio Desviación Estándar

Portafolio de bonos T y 23 Futuros en commodities 13,85% anual 22,43% anual

S&P 500 13,05% annual 18,95% anual

Correlación -0,24

Bodie & Rosansky: “Risk & Return in Commodity Markets” 1990 Financial Analysts Journal

• Igualmente los Futuros en commodities proveen un protección contra la inflación debido

a que los contratos largos incrementan su valor si los precios suben.

Portafolio S&P500 Futures E(Rport) desvstan

A 0.9 0.1 13.13% 16.66%

B 0.8 0.2 13.21% 14.74%

C 0.6 0.4 13.37% 12.68%

D 0.3 0.7 13.61% 15.36%

E 0.1 0.9 13.77% 19.82%

1 3 .1 3 %

1 3 .2 1 %

1 3 .3 7 %

1 3 .6 1 %

1 3 .7 7 %

13.00%

13.25%

13.50%

13.75%

14.00%

10.00% 14.00% 18.00% 22.00%

Sta n d a rd d e via tio n

Ex

pe

cte

d r

etu

rn2121

2

22

2

11

2

2211

2

)()()(

WWWW

REWREWREport


Índice de Cobertura: h

• Supongamos que tenemos un portafolio de bonos T y queremos cubrir el

riesgo de una caída de precios. La estrategia es vender corto un numero h

de contratos a futuros que minimice o elimine el riesgo

• El cambio (∆) de valor de nuestro portafolio conformado por dos tipos de

activos es el siguiente:

∆ S + h ∆ F

• La varianza (v) del portafolio es la siguiente:

v= σS2 + h2 σF

2 +2hρ σS σF

Sy F entren correlacio coef. estandard; desviacionσ

h

0σ2ρF2h σh

v

0h

v ,portafolio del varianzalaminimizar queremos Como

FS

2

F

F

S

σ

hh optimo

Varianza del Portafolio


Índice de Cobertura: h

• El índice de cobertura optimo h es la pendiente de la curva que se obtiene mediante una regresión de бS y бF

бF

бS

•

•

•

••

•

•

•

•

•

•

(unidades) Futuro contratoun de monto Q

(unidades)cubrir a activo del monto N

Q

hNN

:siguiente el es N futuros a contratos de optimo numero El

F

A

F

A


Índice de Cobertura h sobre Commodities• Ejemplo: Santa Barbara Airlines espera comprar dos millones de galones de Jet Fuel en

un mes (mayo) y decide utilizar Heating Oil No. 2. Cuantos contratos debe comprar a futuro ?

Mes

б precio

futuro/galon

б precio jet

fuel/galon

1 0.021 0.029

2 0.035 0.02

3 -0.046 -0.044

4 0.001 0.008

5 0.044 0.026

6 -0.029 -0.019

7 -0.026 -0.01

8 -0.029 -0.007

9 0.048 0.043

10 -0.006 0.011

11 -0.036 -0.036

12 -0.011 -0.018

13 0.019 0.009

14 -0.027 -0.032

15 0.029 0.023

σF 0.0313

σS 0.0263

ρ 0.9284

14.37000.42

)000.000.2)(78,0(

Q

hNN

0.78 0,0313

0,02630,9284h

F

A

F

S


Índice de Cobertura h sobre índices

• El índice de cobertura para un portafolio de acciones utilizando Futuros sobre índices es el beta (β) del portafolio con respecto al índice.

h

F

S

Futuro contratoun despot valor Q

cubrir a activo del valor N

Q

NN


F

A

F

A


Indice de Cobertura h sobre Indices

• Ejemplo: Morgan Stanley compro $5 millones de acciones de IBM para colocarlas en

el mercado en tres meses y decide utilizar el índice S&P 500 como cobertura. Cuantos

contratos debe vender a futuro sobre el S&P 500 ? Un contrato equivale a 250 veces

el índice y el precio spot del índice es de 1.000

4788.04.5460

7.27690,2991

h

P500&S

IBM

5.9)000.1)(250(

000.000.54788.0

Q

NN


F

A

N

0,2991

P500&S

IBM

Mes

Rendimiento

S&P500

Rendimiento

IBM

1 4.15 12.17

2 6.73 1.58

3 2.22 -11.55

4 0.03 -9.55

5 3.86 3.03

6 -4.79 -8.48

7 4.49 4.25

8 1.96 -4.32

9 -1.91 6.97

10 1.19 -5.19

11 -4.39 -6.11

12 11.16 -3.52

σS&P500 4.5460

σIBM 7.2769

ρ 0.2991


Director de Finanzas en peligro

Caso A: el precio del crudo baja.

Citgo pierde en la venta pero el contrato a futuro gana compensando la pérdida.

Probablemente el Director de Finanzas es felicitado por el Presidente de Citgo.

Caso B: el precio del crudo sube

Citgo gana en la venta pero el contrato a futuro pierde eliminando la ganancia en ventas.

El Director de Finanzas es llamado a una reunión con el Presidente de Citgo:

Presidente: me puedes explicar como es que perdimos $3MM en tres meses en este contrato Futuro ? Y

que es este Futuro ?

Dir. Fin.: el propósito del contrato a Futuro fue de asegurarnos el margen de ganancia en la venta del

millón de barriles de crudo hace tres meses y lo logramos. No se olvide que aunque el

Futuro perdió $3MM, la ganancia en la venta del crudo aumentó en $3MM.

Presidente: y què tiene que ver una cosa con la otra. Eso es como decirme que no me preocupe si pierdo

vendiendo crudo en Chicago porque estoy ganando en las ventas en Louisiana.

Dir. Fin.: si el precio del crudo hubiese bajado

Presidente: no me importan situaciones hipotéticas. El hecho es que el precio subió y ahora tengo que

explicar por qué con tus jueguitos financieros hemos perdido $3MM cuando nuestros

competidores están ganando. Quiero un reporte detallado mañana en mi escritorio. Tienes

suerte de que no te bote. Nos hiciste perder $3MM !!!



Ejercicio: Ud. Es el Director de Finanzas de Kraft de Venezuela y su casa matriz le ha

manifestado su preocupación por la deuda que mantiene Kraft de Venezuela de $10MM

con Citibank la cual está sujeta a repago en 18 meses al USD dólar libre Bs.2,650/USD

(USD CANTV). En discusiones anteriores con casa matriz, el consenso al que ha llegado

el comité de finanzas es que probablemente, luego de las elecciones presidenciales del

2006, el dólar va a ser devaluado y que posiblemente la devaluación corresponda con el

diferencial de tasas de interés entre el bolívar y el dólar (15% y 4% por año

respectivamente). Ahora su casa matriz le ha pedido una recomendación de cómo puede

Kraft de Venezuela cubrir el riesgo de devaluación del bolívar. Prepare una presentación

que describa un mecanismo de cobertura e indique cuál sería la paridad teórica de

Bs/USD al vencimiento de la deuda (18 meses).




0.04 rf

0.15 r

meses 18 t

Bs./USD650,2S


Bs/USD63.081,3F

Bs./USD650,2F

F

0

0

0

)12/18)(0392.01398.0(

0

)(

00

e

eStrfr

Deuda en Bs.: USD 10,000,000 x 2,665 Bs./USD = Bs. 26,500,000,000

Intereses sobre deuda en Bs. @ 15%: Bs. 26,500,000,000 x (1.15)1.5 = Bs. 5,962,500,000

Intereses sobre deposito en USD @ 4%: USD 10,000,000 x (1.04)1.5 =USD 605,969.59

Total Bs. 26,500,000,000 + Bs. 5,962,500,000 =Bs. 32,680,796,635.80

Total USD: USD 10,000,000 + USD 605,969.59 =USD 10,605,969.59

F0 = Bs. 32,680,796,635.80 / USD 10,605,969.59 =3,081.36

Debemos convertir la tasa de rendimiento

semianual en una tasa continua:

1398.0)1

15.01ln(1

392.0)1

04.01ln(1

)1ln(

Rc

Rc

m

RmmRc


Diferencias del Forward y el Futuro

Forward

• Cotizado en over the counter

• Productos no estándar

• Una sola fecha de entrega

• Liquidación del contrato en la

fecha estipulada

• Intercambio de dinero por bien

Futuro

• Cotizado en Bolsa

• Productos estándar

• Varias fechas de entrega

• Liquidación del contrato día a

día (marked to market)

• Cierre de contrato antes de

fecha de entrega


Factores que Afectan el Precio de un Bono

1. Tasa de interés: aumento en las tasas de interés disminuyen el precio del

bono2. Vencimiento: mientras mayor el periodo de vencimiento, mayor la

volatilidad del precio del bono asociado con cambios en la tasa de interés

3. Cupón: mientras mayor el cupón, menor la volatilidad del precio del bono

asociado con cambios en la tasa de interés

La medida que mejor describe la volatilidad del bono en relación al cupón,

vencimiento y el rendimiento es la Duración del bono (Macaulay Duration)

Precio P

Rendimiento Y

Relación Precio-Rendimiento de un Bono

> Volatilidad

de Precio

< Volatilidad

de Precio

Y

PDuracion


Duración: Medida de Volatilidad de Precio de un Bono

1. Cual bono es mas riesgoso (mayor volatilidad de precio)

a. $100 par, vencimiento a 5 años, cupón 9% semianual, rendimiento del 9%

b. $100 par, vencimiento 4 años, cero cupón, rendimiento del 9%.

orendimienty par;valor M cupon;C

)1()1(MacaulayDuracion

1

P

y

nM

y

tC

t

n

tn

Cupon 9% t = 5 años y = 9%

Periodo(t) Flujo de caja VP(FC) tVP(FC)

1 4.5 4.3062 4.3062

2 4.5 4.1208 8.2416

3 4.5 3.9433 11.8300

4 4.5 3.7735 15.0941

5 4.5 3.6110 18.0551

6 4.5 3.4555 20.7332

7 4.5 3.3067 23.1471

8 4.5 3.1643 25.3147

9 4.5 3.0281 27.2526

10 104.5 67.2904 672.9044

Total 100.0000 826.8790

Duracion

Macaulay (semestral) 826.879/100 8.27

Duracion

Macaulay (annual) 4.13

Cupon 0% t = 4 años y = 9%

Periodo(t) Flujo de caja VP(FC) tVP(FC)

1 0 0.0000 0.0000

2 0 0.0000 0.0000

3 0 0.0000 0.0000

4 0 0.0000 0.0000

5 0 0.0000 0.0000

6 0 0.0000 0.0000

7 0 0.0000 0.0000

8 100 70.3185 562.5481

Total 70.3185 562.5481

Duracion

Macaulay (semestral) 562.5481/'70.3185 8

Duracion

Macaulay (annual) 4


Duración: Medida de Volatilidad de Precio de un Bono

• Volatilidad de las tasas de interés afectan el rendimiento total de un bono de

dos formas:

1. Riesgo de precio: si la tasa de interés sube, el precio del bono baja. Por

lo tanto existe incertidumbre acerca del precio del bono antes de su

vencimiento.2. Riesgo de reinversión del cupón: si la tasa de interés baja, el cupón va a

ser reinvertido a una tasa mas baja y por lo tanto el rendimiento del bono

va a ser menor.

• Ambos elementos de riesgo tienen efectos opuestos en la rentabilidad final

del bono

• Una forma de eliminar los riesgos asociados con movimientos en las tasas

de interés es mediante la inmunización.

• Un portafolio esta inmunizado durante el periodo de inversión sin importar la

volatilidad de las tasas de interés, si el valor del portafolio al final del período

es igual al valor que hubiese tenido si la tasa de interés se hubiese

mantenido constante.


Duración: Medida de Volatilidad de Precio de un Bono• Ejemplo: si invierto en un bono par $1.000, con vencimiento a 8 años y con un cupón

de 8% anual, cual seria el valor de mi inversión al vencimiento si la tasa de interés

actual del 8% no cambia ?

• Supongamos que la tasa de interés en el año 5 baja al 6% y se mantiene hasta el

vencimiento. Cual seria el valor de mi inversión al vencimiento ?

8 años, cupon 8% anual, par 1.000

Year Cash Flow Valor Presente tVP

1 80 74.07 74.07

2 80 68.59 137.17

3 80 63.51 190.52

4 80 58.80 235.21

5 80 54.45 272.23

6 80 50.41 302.48

7 80 46.68 326.75

8 1,080 583.49 4,667.92

Total 1,000.00 6,206.37

Duracion

Macaulay (annual) ΣtVP/P 6.21

• La duración Macaulay del bono no es igual al horizonte deseado de mi inversión de 8

años. El riesgo de precio es eliminado, pero no el de reinversión

8 años, cupon 8% anual, par 1.000

Maturity Strategy

Year Cash Flow

Reinvestment

rate

End

value

1 80 0.08 80

2 80 0.08 166.40

3 80 0.08 259.71

4 80 0.08 360.49

5 80 0.06 462.12

6 80 0.06 569.85

7 80 0.06 684.04

8 1,080 0.06 1,805.08

Valor Final

$1.000(1.08)8 = $1.850,93Como protejo este valor ?


Duración: Medida de Volatilidad de Precio de un Bono• Ejemplo: si invierto en un bono par $1.000, con vencimiento a 10 años y con un cupón

de 8% anual, cual seria el valor de mi inversión al vencimiento suponiendo que la tasa

de interés en el año 5 baja al 6% y se mantiene hasta el vencimiento.

Year Cash Flow

Valor

Presente tVP

1 40 37.04 37.03704

2 40 34.29 68.58711

3 40 31.75 95.25987

4 40 29.40 117.6048

5 40 27.22 136.1166

6 40 25.21 151.2407

7 40 23.34 163.3773

8 40 21.61 172.886

9 40 20.01 180.0896

10 1,040 481.72 4817.212

Total 731.60 5,939.41

Duracion

Macaulay (annual) ΣtVP/P 8.12

• El valor final de la inversión en un bono de 10 años con duración de 8.12 años esta

mas cerca de lo que hubiese sido el valor final de la inversión en un bono de 8 años

con un rendimiento fijo del 8% anual aún cuando las tasas de interés hayan variado

durante el período de inversión. Ambos riesgos fueron eliminados.

10 años, cupon 8% anual, par 1.000,

Duration Strategy

Year Cash Flow

Reinvestment

rate

End

value

1 80 0.08 80

2 80 0.08 166.40

3 80 0.08 259.71

4 80 0.08 360.49

5 80 0.06 462.12

6 80 0.06 569.85

7 80 0.06 684.04

8 1,116.67 0.06 1,841.75

Valor año 8=$1.036.67

n=2 años, y=6%,c=8% anual

10 años, cupon 8% anual, par 1.000,


Cobertura utilizando Duración

futuro del subyacente activo delDuracion D

bono delDuracion D

futuro del PrecioF

bono del PrecioP

Futuros contratos de numeroN

FD

PDN

:ratio Hedge

-FDF ;y

F

:bonoun sobre Futuroun deDuracion

-PDP ;

:bonoun deDuracion

F

p

F

p

F

p

F

P

yFD

yPDy

P

F

p


SWAPS

Un SWAP es un contrato entre dos partes para intercambiar flujos de caja futuros

El swap más común es el swap de tasas de interés.

Ejemplo, supongamos que el Banco Comercial tiene el siguiente balance:

Activos: $200MM a LIBOR + 1% (préstamos comerciales)

Pasivos:$200MM al 5% fijo (depósitos con intereses fijos)


SWAPS

Si la tasa LIBOR sube: Banco Comercial se beneficia, los ingresos por prestamos

aumentan mientras que los gastos por intereses se mantienen fijos al 5%

Si la tasa LIBOR baja: Banco Comercial se perjudica, los ingresos por prestamos

disminuyen mientras que los gastos por intereses se mantienen fijos al 5%

Banco Comercial tiene un riesgo de tasa de interés entre activos y pasivos

Banco

Comercial5%

LIBOR+1%

Riesgo: caída en la tasa de

interés


SWAPS

Periodo LIBORIngresos Tasa

Variable

Gastos Tasa

Fija

Ingreso Neto

por Intereses

Hoy 4.00% $200MM x

(LIBOR +1%)

$200 millones al 5%

anual

1 3.90% $10.0MM ($10.0MM) $0

2 3.70% $9.8 ($10.0) ($200)

3 3.50% $9.4 ($10.0) ($600)

4 3.40% $9.0 ($10.0) ($1,000)

5 3.00% $8.8 ($10.0) ($1,200)

6 2.90% $8.0 ($10.0) ($2,000)

Banco Comercial

Pérdida en ingresos por intereses si la tasa LIBOR baja


SWAPS

LIBOR+0.5%

Banco

Hipotecario

5%

Riesgo: aumento en la tasa de

interés

Ejemplo, supongamos que el Banco Hipotecario tiene el siguiente balance:

Activos: $200MM al 5% fijo (préstamos hipotecarios)

Pasivos:$200MM a LIBOR +0,5% (depósitos intereses variables)


SWAPS

LIBOR+0.5%

Banco

Hipotecario

5%


interés

Si la tasa LIBOR sube: Banco Hipotecario se perjudica, los ingresos por

préstamos se mantienen fijos mientras que los gastos por intereses aumentan

Si la tasa LIBOR baja: Banco Hipotecario se beneficia, los ingresos por prestamos

se mantienen fijos mientras que los gastos por intereses disminuyen

Banco Hipotecario tiene un riesgo de tasa de interés entre activos y pasivos


SWAPSComo pueden el Banco Comercial y el Banco Hipotecario evitar el riesgo de tasas de interés ?

Alternativa A: Banco Comercial: cambiar los intereses sobre depósitos a tasa variable o

los intereses sobre préstamos a tasa fija.

Consecuencias: posible pérdida de clientes, reducción de mercados

Banco

Comercial5%

LIBOR+1%


interés

Convertir

a fijo

Convertir

a

variable

LIBOR+0.5%

Banco

Hipotecario

5%


interés

Convertir

a fijo

Convertir

a

variable

Banco Hipotecario: cambiar los intereses sobre depósitos a tasa fija o los

intereses sobre préstamos a tasa variable


SWAPS

Banco

Comercial5%

LIBOR+1%


interés

LIBOR+0.5%

Banco

Hipotecario

5%


interés

variable

fijo

Swap de intereses

Alternativa B: entrar en SWAP de intereses que le permita coordinar las tasas de

interés de sus activos y pasivos


SWAPS

Banco

Comercial5%

LIBOR+1%


interés

LIBOR+0.5%

Banco

Hipotecario

5%


interés

LIBOR+1%

5.25%

Swap de intereses

Alternativa B: entrar en SWAP de intereses que le permita coordinar las tasas de

interés de sus activos y pasivos

Banco Comercial Banco Hipotecario

Ingreso por intereses LIBOR +1%; 5.25% LIBOR +1%; 5%

Gasto por intereses (LIBOR + 1%; 5%) (LIBOR + 0.5%; 5.25%)

Margen neto 0.25% 0.25%


SWAPS

Flujos de caja del Banco Hipotecario en un Swap de intereses de $100MM donde se paga

5% fijo y se recibe LIBOR + 1% variable

Fecha LIBOR + 1% Interés variable

recibido ($MM)

Interés fijo

Pagado ($MM)

Flujo de caja

neto ($MM)

Hoy 4.20% - - -

1 semestre, año 1 4,80% $2.1 -$2.5 -$0.40

2 semestre, año 1 5.30% $2.4 -$2.5 -$0.10

1 semestre, año 2 5.50% $2.65 -$2.5 +$0.15

2 semestre, año 2 5.60% $2.75 -$2.5 +$0.25

1 semestre, año 3 5.90% $2.80 -$2.5 +$0.30

2 semestre, año 3 6.40% $2.95 -$2.5 +$0.45

Nota: el pago variable corresponde a la tasa de interés fijada por adelantado (al inicio del semestre anterior)


Disminución del costo de intereses

Intereses Fijos Intereses

Variable

Sivensa 10.0% LIBOR + 2%

SIDOR 11.3% LIBOR +2.5%

SWAPS

Diferencia:1.3%

Diferencia: 0.5%

Suponga que Sivensa y SIDOR necesitan obtener un préstamo de $10MM a cinco años y

sus respectivos bancos les ofrecen las siguientes tasas de interés fijas y variables

Sivensa tiene una ventaja comparativa con relación a SIDOR en las tasas fijas

SIDOR tiene una ventaja comparativa en el spread de las tasas variables con relación al

spread de las tasas fijas (el spread variable de 0,5% es menor al spread fijo de 1.2%)

Un Swap de tasas de interés puede resultar en un menor costo de intereses para ambos


SWAPS

Sivensa10% LIBOR+2.5%SIDOR

LIBOR+1.6

10%

Swap de intereses

Sivensa SIDOR

Ingreso por

intereses

10% LIBOR+1.6%

Gasto por

intereses

(LIBOR 1.6; 10%) (LIBOR + 2.5%; 10%)

Costo neto LIBOR +1.6% 10.9%

Sivensa termina pagando LIBOR+1.6% variable, comparado con 2.0% sin el Swap (ahorro de 0.4%)

SIDOR termina pagando 10.90% fijo, comparado con 11.3% sin el Swap (ahorro de 0.4%)

El ahorro proviene de la diferencia de los spreads entre las tasas fijas y variables (1.3% - 0.50%) = 0.8% el

cual se comparte en partes iguales (0.4% c/u)


Ejercicio: Shell de Venezuela y Exxon necesitan un financiamiento de $20MM a tres años

para el desarrollo de un proyecto petrolero en Maturín y han obtenido la siguiente oferta de

financiamiento:

SWAPS


Variable

Shell 12.0% LIBOR + 0.1%

Exxon 13,4% LIBOR +0.6%

Shell prefiere un financiamiento a tasa variable mientras que Exxon prefiere un

financiamiento a tasa fija. Asuma Ud. El papel de intermediario y diseñe un Swap que sea

atractivo para ambas partes y en el que Ud. Se gane una comisión de intermediación del

0.1% anual. Prepare una presentación al Director de Finanzas de Shell que explique como

funciona el Swap y que beneficios le trae a Shell


Shell tiene una ventaja comparativa en las tasas fijas pero necesita variable. Exxon tiene

una ventaja comparativa en las tasas variables pero necesita fija. Esta es la base del

Swap. El diferencial entre spreads fijos y variables es de 1.4% - 0.5% = 0.9%.

SWAPS


Variable

Shell 12.0% LIBOR + 0.1%

Exxon 13,4% LIBOR +0.6%

Diferencia:1.4%

Diferencia:0.5%

El intermediario puede quedarse con una comisión del 0.1% lo cual deja una reducción del

costo de intereses de 0.4% para cada empresa.

Shell ExxonBanco12%Libor+0.6%

Libor

12.3%

Libor

12.4%

Net 13%Net Libor-3%Net 0.1%


Opciones


Es un contrato que otorga el derecho mas no la obligación de comprar

(call option) o vender (put option) un tipo de activo a una fecha futura

y por un precio establecido.

Contratos de Opciones (Options)

• Las Bolsas donde mas opciones se negocian son:

– Chicago Board Options Exchange - Chicago Mercantile Exchange

– Philadelphia Stock Exchange - London International Financial Futures

Exchange

• A diferencia de los Forward y los Futuros, las opciones son un derecho

y no una obligación de comprar o vender. Son contratos líquidos y

negociados en bolsa.

• Los activos que mas comúnmente se negocian son:

– Todos los contratos Futuros (commodities y financieros)

– Diversas acciones (mas de 500)

– Diversas monedas extranjeras

– Diversos índices (S&P 500, Dow Jones, Nikkei, Nasdaq, etc.


• Una opción de compra (contrato call) otorga el derecho - mas no la

obligación- al comprador de:

– Comprar un activo subyacente (acción, bono, índices bursátiles,…) cuyo

valor es = S

– A un precio de ejercicio = X

– En una fecha futura = t

– El valor de S (el activo subyacente) tiene una volatilidad = σ

Opciones Financieras

S

Utilidad al vencimiento

S - X

X

Precio de ejercicio

S < X

Out of the money

S > X

In the money

Valor

intrínseco de la

opción


• Una opción de venta (contrato put) otorga el derecho - mas no la

obligación- al vendedor de:

– Vender un activo subyacente (acción, bono, índices bursátiles,…) cuyo

valor es = S

– A un precio de ejercicio = X

– En una fecha futura = t

– El valor de S (el activo subyacente) tiene una volatilidad = σ


S

Utilidad al vencimiento

X - S

X

Precio de ejercicio

X < S

Out of the money

X > S

In the money

Valor

intrínseco de la

opción


• El valor adicional de una opción de compra que está Out of the Money proviene

de dos fuentes:

1. La volatilidad σ del activo subyacente S (el valor de la acción de Apple

puede aumentar por encima de X

2. El tiempo de ejercicio t: a mayor tiempo, mayor el valor de la opción


Valor de la

opción

X

Precio de ejercicio

S

S < X

Out of the money

Esperar

S > X

In the money

Opción de ejercer

Valor del tiempo

t y σ

Valor intrínseco

S -X



ActivoPrecio de cierre y

volumen negociado

Precios de acciones

de AmericanOnline

Precios de ejercicio y

mes de vencimiento

Call o Puts

Numero total de contratos vendidos durante

el día

Contratos de Opciones (Option Contracts)

Oportunidad de arbitraje:

comprar put Mar 25 y

acción 18.30. Ejercerla

ahora


Contratos de Opciones (Option Contracts)

• Caso Call: supongamos que un inversionista compra un call con vencimiento

en Octubre del sobre el S&P 100 con un precio de ejercicio de $520 por $33.

El precio del S&P hoy es de $500. Un contrato de opción son 100 veces el

índice y por lo tanto el costo del contrato es de $33 x 100 = $3,300

• Supongamos que al cabo de dos dias el precio del S&P 100 aumenta a $600.

• La ganancia del inversionista si ejerce el call seria de $600 - $520 = $80 x100

= $8.000

• Caso Put: supongamos que un inversionista compra a un put con vencimiento

en Octubre sobre el S&P 100 con un precio de ejercicio de $520

• Supongamos que al cabo de dos dias el precio desciende a $400.

• La ganancia del inversionista si ejerce el put seria de $520 - $400 = $120x100

= $12.000.


Option &

NY close

Strike

Price Exp.

Calls

Last

Apple 20 Mar 0½

19 25 Apr 0¾

19 30 Jun 1½

19 37 Jul 1¾

Fuente: Wall Street Journal, March 21, 2001

• La tabla muestra el valor de la opción de compra sobre una acción de la compañía Apple.

Valor de la acción

al cierre en $

Precio de ejercicio

$

Valor de la opción

$

Fecha de

vencimiento de la

opción

• Una opción de compra de una acción de Apple a un precio de $25 que vencía un mes

después (Abril) se compró por $0.75. El precio actual de la acción era de $19.

• Porqué un inversionista pagó $0.75 por el derecho de comprar una acción de Apple en $25

en cualquier momento entre abril y junio cuando la acción se cotizaba en $19 el abril ? Qué

valor tiene esa opción? Como se obtuvo el precio de $0,75 ?



Call Options

• Variables que determinan el valor de una opción financiera

Variable Opción de compra

X Precio de ejercicio

S Precio de la acción

t Vida de la opción

σ Volatilidad de la acción

r Tasa de interès

Cómo utilizar estas variables para determinar el valor de una opción ?

Efecto en el valor

de la Opción

Movimiento de

la Variable


Valoración de una Opción: Hedge Ratio

Ejemplo: calcular el valor de una opción sobre una acción con las siguientes

características: precio actual S=$20, precio de ejercicio X=$20, tiempo t=1 año,

precio esperado al año Su=$23 o Sd=$17,39, rf=4%

• Construimos un portafolio constituido por la venta corta de una opción call mas la

compra de un numero h de acciones de manera que el valor del portafolio no

cambie sin importar el precio final de la acción.

5348,039,17$23$

0$3$

Sd-Su

Cd-Cuh ratio Hedge

• El portafolio debe estar conformado por la venta de una opción call mas 0,5348

acciones

S=$20

C=?

S=$23

Cu=(S-X)=($23-$20)=($3)

S=$17,39

Cu=(S-X)=($17,39-$20)=$0

hoy 1 año


Valoración de una Opción: Hedge Ratio

5348,030,17$23$

0$3$

Sd-Su

Cd-Cuh ratio Hedge

Su=$23 x h

Cu=($3)

• Paso 3: el portafolio esta libre de riesgo, por lo tanto el valor del call hoy debe ser:

S=$23 x 0,5348 = $12,3

-Cu= ($3)

Valor de portafolio=$9,3

S=$17,39 x0,5348=$9,1524

Cd= $0

Valor del portafolio=$9,3

Sd=$17,39 x h

Cd=$0

S=$20

C=?

hoy 1 año

$1,76C

$9,3eC48)($20)(0,53

VP($9,3)C(S)(h)

0,04x1-

• Paso 2: valorar el portafolio compuesto por h acciones mas una venta corta del call:


Valoración de una Opción: Riesgo Neutral

8696,01.15

1D

U

1D

15.1eU

eU

10,13976

t

• Una opción call también se puede valorar con el modelo binomial expresando el

activo subyacente en términos de precio y volatilidad

• Ejemplo: calcular el valor de una opción call sobre una acción con las siguientes

características: precio actual S=$20, volatilidad del precio σ = 13,976%, precio de

ejercicio del call X=$20, tiempo t=1 año,

• Paso 1: estimamos los precios finales Su y Sd dada la volatilidad de precio σ

23$)15.1)(20($Su

S=$20

$17,3996)($20)(0,86Sd

t = 1 año



• Paso 2: estimamos las probabilidades de riesgo neutral π asociadas a los precios

finales Su y Sd:

6869,0Dy 15.1U

donde u,-1d

e

u

rt

DU

D

0,38940,6106-1Pu-1d

0,6106 8696,015.1

8696,0eu

0,04x1

23$)15.1)(20($Su

S=$20

$17,3996)($20)(0,86Sd

t = 1 año

πu=0,6106

πd=0,3894



• Paso 3: determinar valor de la opción call con los precios finales Su y Sd

$3$20-$23Cu

23$)15.1)(20($Su

S=$20

$0Cd

$17,3996)($20)(0,86Sd

t = 1 año

πu=0,6106

πd=0,3894

• Paso 4: estimar el valor presente esperado del call:

$1,76E(VP)call

0)]e(0,3894)($$3)[(0,6106)(E(VP)call

d)(Cd)]e(u)(Cu)[(E(VP)call

0,04x1-

-rt


Call Options

• En 1997, los profesores Fisher Black, Byron Scholes y Robert Merton

desarrollaron un modelo de valoración de opciones. Su contribución fué

tan importante en finanzas, que obtuvieron el premio Nobel de

economía.

• El modelo es conocido como Black & Scholes

td

t

trK

S

dNKert

12

2

1

21

d

2ln

d donde

)()SN (d call delV alor

Variable Call Option

X Precio de ejecución

S Precio de la acción

t Vida de la opción

σ Volatilidad de la acción

r Tasa de interès

N() es la probabilidad cumulativa

que se obtiene de una tabla

de distribución normal


Estrategias de Opciones

• Protective Put: compra de una acción y compra de un put sobre esa acción

St

St

Acción

Long Put

Portafolio

StX

t

t

tt

tt

S X Total

0 S-XPut Long

S S Accion

X S X S

Esta estrategia es similar a la compra de un

seguro que garantiza que el valor de la inversión

en la acción no será menor al precio del ejercicio

del put menos su costo de compra



• Covered call: compra de una acción y venta simultanea de un call sobre esa acción

St

St

Acción

Short Call

Portafolio

StX

X S Total

)(S- 0 CallShort

S S Accion

X S X S

t

t

tt

tt

X

Esta estrategia es atractiva cuando se posee una

inversión en acciones que debe ser liquidada. La

venta del call incrementa el rendimiento del

portafolio. Si la acción sube de precio las ganancia

no se materializaría luego de la venta



• Long straddle: compra de un call y un put con el mismo precio de ejercicio y vencimiento

St

St

Long Call

Long Put

Portafolio

StX

X -S S-X Total

0 S-X Put Long

S 0 Call Long

X S X S

tt

t

t

tt

X

Esta estrategia apuesta a la volatilidad de precio.

Por ejemplo el anuncio de una potencial

adquisición de una empresa. Si es exitosa, el

precio aumenta y si fracasa, el precio disminuye


Estrategias de Opciones• Spreads: compra o venta de dos o mas opciones del mismo tipo. El mas popular es el Bull

Spread: Compra de un call con precio de ejercicio X1 y la venta de un call sobre la misma

acción con un precio de ejercicio X2 mayor

St

St

Long Call

Short Call

Portafolio

St

121t

2t2

1t1t1

2t2t11t

X X -S 0 Total

)X-(S- 0- 0- X Call Long

X-S S 0 X Call Long

XS XSX X S

X

X

Esta estrategia permite generar un ingreso con la

venta del call X2 para financiar la compra de un call

X1

X1

X2

X1 X2


Paridad Put - Call

• Considere los siguientes portafolios:

Portafolio A: una opción call Europea mas el valor presente del precio de

ejercicio X

Portafolio B: una opción put Europea mas una acción

SPXeC

:mismo elser debehoy

valorel tantolopor to, vencimienal valor mismo el tienen sportafolio Ambos

S X finalValor S X finalValor

S S Accion X X Xe

0 S-X Put Long S 0 Call Long

B Portafolio A Portafolio

S S S S

Xe to vencimienAl

0rt-

tt

ttrt-

tt

tttt

-rt

X

XXXX

X


Ejercicio: Ud. Sigue siendo el Director de Finanzas de Kraft de Venezuela

y el día siguiente después que hizo la presentación del mecanismo de

cobertura para determinar la paridad teórica Bs/USD de 3081,63

Bs/USD, el nuevo departamento de ingeniería financiera del banco

Mercantil le propone venderles un call a 18 meses sobre el dólar con un

strike de 3100 Bs/USD valorado a 300 bolívares por 1 USD usando un

modelo mas sofisticado que el de Black and Scholes. Después de una

larga noche de sueño muy profundo, piense que hay un 50% de

probabilidad que el Bolívar se fortalezca o que se debilite. Cada opción

permite comprar 50.000 USD. Dentro de 18 meses tendrá que pagar

$10MM mas intereses por $400.000. ¿Cuantas opciones tendría que

comprar? ¿Cual seria el costo total? ¿A partir de que precio

empezaríamos a ganar en la compra de dólares usando esta estrategia

de opciones?



¿Que obtenemos usando la opción?

1. Tendríamos que comprar $10.400.000/50.000=208

opciones.

2. Costo total=208* 300*50000=3.120.000.000 Bs.

3. Habría que añadir a 3100 Bs/USD el precio de 300 Bs.

Es decir si el dólar pasa por encima de 3400,

empezamos a ganar en este negocio. Si el bolívar se

fortalece, perdemos 300 Bs por opción.

Riesgo y volatilidad


Introducción a la volatilidad

• Volatilidad es sinónimo de riesgo así como correlación lo

es para reducción del mismo a través de la

diversificación. La estimación correcta de dichas

cantidades es importante para medir la exposición al

riesgo.

• Meta: Lograr estimar la volatilidad para calcular precios

de opciones, de portafolios de activos, calcular el Value-

at-Risk, así como también valores de opciones usando

árboles binomiales o formula de Black & Scholes.


Retornos con volatilidad variable

-3

-2

-1

0

1

2

3

1 9

17

25

33

41

49

57

65

73

81

89

97

10

5

11

3

Observaciones

Re

torn

os

de

ac

tiv

o Y

Serie1

Serie2

Series de retornos


Visión intuitiva de volatilidad con histogramas

1

2


Motivación del calculo del rendimiento

• Supongan que el precio de una acción ayer fue de $1 y el precio

hoy es de $1.105. Cual es el rendimiento?

diario %101

105.1lnln

día 1 tdonde ,

1

1

t

t

rt

tt

P

Pr

ePP


Calculo de los retornos

Tomar la serie de precios y

calcular la siguiente formula

para hallar los retornos

Precio de mi activo en

tiempo tRetorno en tiempo t

Retornos promedio de los

m últimos periodos m

i

it

t

t

t

rm

r

P

Pr

1

1

1

ln


Calculo de volatilidad

Asumiendo un retorno promedio igual a 0, la varianza hoy es igual a

un promedio ponderado de los retornos al cuadrado de días

anteriores (ponderaciones diferentes)

m

i

itit

m

i

itt

r

rm

1

22

1

22 1


El presente tiene mas valor que el pasado

Las siguientes condiciones son necesarias para hacer una ponderación

mayor de los retornos actuales que del pasado

Ponderación

aritmética

m

i

i

m

i

i

m

m

1

1

11

1

1


Como calcular volatilidades: aritmética

Pregunta:

Suponga que observo los siguientes retornos diarios:

-0.14,-0.15,0.46,-0.02,y 0.09

Hallar la volatilidad ponderada aritmética de los últimos 5 días

diaria %9.2205244.0

05244.02622.05

1

5

1 5

1

22

t

i ittr

La volatilidad estimada de los últimos 5 días es de 22.9% diario,

donde pondera los retornos de manera igual.


Como calcular volatilidades: exponencial

En el ejemplo anterior, queremos darle mayor importancia

a la volatilidad del ultimo día.

¿Como calcular esta volatilidad?

Hay tres formas de estimar este tipo de volatilidad:

1. EWMA (Exponentially Weighted Mean Average)

2. ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedastic)

3. GARCH (Generalized Autoregressive Conditional

Heteroskedastic)

4. Stochastic Volatility


Modelo EWMA

El modelo EWMA es usado en la banca comercial, y es un caso

particular del modelo

m

i ititr

1

22

Por el siguiente modelo done m=2 y α1=λ, así como α2 =1-λ

2

1

2

1

21

tttr


Modelo EWMA

• El peso λ por lo general es igual a 0.97 para el valor de volatilidad

del periodo anterior y decae exponencialmente con periodos

anteriores, por eso su nombre EWMA.

2

0

1

212

2

1

2

1

2

1

1

m

m

i

it

i

t

ttt

r

r

• La volatilidad del día t es una función de la volatilidad del día

anterior con el cuadrado del retorno mas reciente


Modelo ARCH

• Una extensión del EWMA es asumir una volatilidad de largo plazo

además de la suma de los retornos pasados ponderados. El

modelo mas usual es el modelo ARCH (Autoregressive

Conditional Heteroskedasticity) creados por Robert Engle, premio

Nobel 2003

plazo largo de ad volatilides , 2

1

1

2

2

1

1

2

Lt

m

i

it

t

m

i

iLt

Vr

rV


Modelo GARCH• Una extensión del ARCH no es solo asumir una volatilidad de largo

plazo además de la suma de los retornos pasados ponderados, sino

de la misma volatilidades pasadas ponderadas. El modelo mas usual

es el modelo GARCH(p,q) (General Autoregressive Conditional

Heteroskedasticity)

1

GARCH(1,1)un es , 2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

1

2

ttLt

t

q

i

it

p

i

iLt

rV

rV


GARCH(1,1) vs. RiskMetricsTM

• Para un GARCH(1,1) con γ =0, α =1-λ y β= λ obtenemos el EWMA

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

),-(1 0,con ,

ttt

ttLt

r

rV


De volatilidad aritmética a EWMA

• Supongan que λ=0.9, la volatilidad para el día t-1 es de 1% por día, y

el retorno de mercado durante el día t-1 es de 2%. Esto significa que:

22

1

22

1

02.0

01.0

t

t

r

• Usando la ecuación anterior para EWMA obtenemos

diapor %14.100013.0

02.01.001.09.0222

t

t


El calculo con GARCH(1,1): ejercicio

• Supongamos que su software estimo un GARCH(1,1) y dio

Calcular la volatilidad de hoy así como la volatilidad a largo plazo

sabiendo que

2

1

2

1

286.013.0000002.0

tttr

22

1

22

1

01.0

016.0

t

t

r


Solución a la estimación del GARCH(1,1)

• Solución:

• Además la volatilidad para hoy se halla vía:

0002.0

000002.00002.001.0 comoy

01.086.013.01

1

L

L

V

V

diapor %53.100023516.0

000256.086.00001.013.0000002.02

t

t


Valoracion de una Opcion: Riesgo Neutral

8696,01.15

1D

U

1D

15.1eU

eU

10,13976

t

• Una opción call también se puede valorar con el modelo binomial expresando el

activo subyacente en términos de precio y volatilidad

• Ejemplo: calcular el valor de una opcion call sobre una accion con las siguientes

caracteristicas: precio actual S=$20, volatilidad del precio σ = 13,976%, precio de

ejercicio del call X=$20, tiempo t=1 año,

• Paso 1: estimamos los precios finales Su y Sd dada la volatilidad de precio σ

23$)15.1)(20($Su

S=$20

$17,3996)($20)(0,86Sd

t = 1 año



• Paso 2: estimamos las probabilidades de riesgo neutral π asociadas a los precios

finales Su y Sd:

6869,0Dy 15.1U

donde u,-1d

e

u

rt

DU

D

0,38940,6106-1Pu-1d

0,6106 8696,015.1

8696,0eu

0,04x1

23$)15.1)(20($Su

S=$20

$17,3996)($20)(0,86Sd

t = 1 año

πu=0,6106

πd=0,3894



• Paso 3: determinar valor de la opcion call con los precios finales Su y Sd

$3$20-$23Cu

23$)15.1)(20($Su

S=$20

$0Cd

$17,3996)($20)(0,86Sd

t = 1 año

πu=0,6106

πd=0,3894

• Paso 4: estimar el valor presente esperado del call:

$1,76E(VP)call

0)]e(0,3894)($$3)[(0,6106)(E(VP)call

d)(Cd)]e(u)(Cu)[(E(VP)call

0,04x1-

-rt



• En un caso real no se conoce σ a futuro para el modelo

anterior. ¿Cómo hacer para conocer la volatilidad de

aquí a un año cuando vence la opción?

• Si hoy estamos en tiempo t, hay que pronosticar la

volatilidad dentro de un año, que son 252 días hábiles y

por ende estimar a (σt+252)2 . Esto se hace usando el

modelo GARCH(1,1). No derivamos este pronostico de

la volatilidad a un año ya que hay programas que lo

hacen y la matemática es comprometedora.


Utilidad de los tres modelos exponenciales

• Estos modelos son importantes porque serán aplicados

para el calculo de VaR (Value-at-Risk) que veremos en

la próxima sección.


Nuestro modelo (Open,Close, High and Low)

Value-at-Risk (VaR)

“How much can we lose on our trading portfolio by tomorrow s close? “ (Denis Weatherstone, CEO JP Morgan)


Introducción al VaR

• VaR resume en un solo numero el riesgo total en una

cartera de activos. Es usado por Bancos Centrales,

Reguladores, así como bancos comerciales para la

determinación del capital económico de una institución

financiera que evita su insolvencia.

• Meta: Después del calculo del VaR, lograremos construir

las siguientes afirmaciones Estamos seguros con una

certeza del X% que no perderemos mas que V

Bolívares en los próximos N días

• NB: Hay que usar la misma unidad para el retorno,

volatilidad y horizonte temporal.


Vocabulario y convenciones con VaR

• En el calculo del VaR se usa el método de volatilidad

histórica, el cual se puede dividir en tres categorías:

parametrica, noparametrica e hibrida.

• Inicialmente, veremos como se calcula el VaR cuando

los retornos se distribuyen como distribución de

probabilidad normal para seguir con los otros métodos.


Tres métodos para calcular el VaR

1. El método noparametrico es el menos restrictivo ya que

no se hace ninguna hipótesis sobre los retornos. Este

ultimo es la simulación histórica.

2. El método parametrico asume que los retornos de los

activos están distribuidas normalmente o

lognormalmente con volatilidades que varían en el

tiempo. (EWMA, ARCH y GARCH)

3. El método hibrido usa una combinación entre técnicas

parametricas y noparametricas


Calculo del VaR: método normal

9973.03;3

9545.02;2

68.01;1


Valores importantes para memorizar

• Los valores que utilizaremos para calcular un VaR asumiendo que los

retornos siguen una distribución normal son:

• Dicho de otra manera, hay una probabilidad del 0.95 de que una

variable normal no se desvíe de mas de 1.96 desviaciones estándar

de su media. Los mismo aplica al caso de 2.58.

99.058.2;58.2

95.096.1;96.1


Determinación grafica del VaR con ejemplo

• (Wiley FRM, Philippe Jorion) Imaginen que un hedge fund toma una

posición corta de $4.000 millones de yen. ¿Cuanto podría perder en

un día ese Hedge fund? ¿Como perdería?

• Tomando diez años de data histórica de la tasa de cambio St (¥/$),

pudiesemos construir los siguientes retornos:

1

1

0)()(

t

tt

tS

SSUSDQUSDR


Los pasos para construir los retornos

1. Tomamos la tasa de cambio de los 10 ultimos años St (¥/$) el primer

dia y el segundo, y obtenemos S1=112 y S2=111.8, con lo cual

tenemos el siguiente retorno:

2. Usamos la siguiente formula para hallar la ganancia/perdida

3. Seguimos hallando los retornos para los días 3,4,5…etc y

obtenemos los retornos de la lamina que sigue

112

1128.111000.4$millones 2.7$


El Resultado gráficamente

El VaR diario es igual a -$47

millones


Los pasos para hallar el VaR

1. En diez años tenemos 2527 valores diarios para St con los cuales

calculamos los retornos anteriores, los ordenamos en orden creciente

(desde las perdidas hasta las ganancias). Observen que los retornos se

ven como una curva normal (simétrica)

2. Hallamos el 5% de 2527, que es igual a 126.35. Por ende, el VaR es

igual al retorno # 126 mas pequeño. El retorno # 126 corresponde a un

retorno negativo de -$47 millones. VaR es downside risk.

3. Vemos que el retorno promedio es cercano a 0. Eso es cierto para

retornos diarios, pero deja de serlo con horizontes mas largos (meses,

años, etc).


Caso Estudio VaR Histórico

• Dado 100 retornos del portafolio, se ordenaron del mas

pequeño al mas grande, y se obtuvieron los siguientes 6

retornos:

• Hallar el VaR del 5%, así como el del 1% e interpretar, si

tenemos una inversión de $100.

R etornos

-54.39%

-39.11%

-35.05%

-22.15%

-21.68%

-21.08%

R etornos con V o latilidad variab le

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97

P e riodos

Re

torn

os

de

po

rtfo

lio

S erie1


Caso Estudio VaR Histórico

• Dado que tenemos un numero par de retornos en la

muestra, el percentil 5% es el promedio de -21.68% y de

-21.08 que da -21.38% (o -$21.38).

• Tomando el promedio entre -54.39% y -39.11

obtenemos el VaR al 1% igual a -46.75 (o $-46.75).


Caso Estudio VaR usando la normal

(Parametrico)

• Usando las funciones de Excel PROMEDIO() y DESVEST() se estimo

un retorno promedio del 1% así como una volatilidad diaria del

13.15% (esto significa que la volatilidad es constante en el tiempo).

• Usando las formulas anteriores en el caso donde los retornos se

asumen que son normales obtenemos:

(-$30.6) %6.3033.21315.0

(-$21.7) %7.2165.11315.0

%1

%5

VaR

VaR


Caso Estudio VaR usando la normal

• El numero -$21.7 significa que se espera observar 5 días de 100

cuyas perdidas sean inferior o igual a -$21.7. En pocas palabras, hay

una probabilidad de 5% de que en cualquier día la perdida sea mas

grande o igual a -$21.7.

• ¿Que pasa si estoy interesado en conocer mi perdida en 10 días?

JXVaRXVaRJ día 1días

%)(%)(


VaR de varios horizontes temporales

• Aplicando la siguiente formula obtenemos el VaR a 10 días:

61.68$%61.68%)5(

10%)5(%)5(

10%)5(%)5(

%)(%)(

días 10

día 1días 10

día 1días 10

día 1días

VaR

VaRVaR

VaRVaR

JXVaRXVaRJ


VaR de portafolio y diversificación

• Como vieron en el caso de cobertura h, la varianza de un portafolio de

dos activos A y B así como el retorno se determinan de la siguiente

manera:

BABABAP

BABABAP

BABABAP

BABABAP

AAP

VaRVaRVaRVaRVaR

VaRVaRVaRVaRVaR

$$2$$$

1%%2%1%%

121

121

1

,

22

,

2222

,

2222

,

22222


Caso de VaR de portafolio

• Goldman Sachs maneja dos portafolios de inversiones:

renta fija de largo plazo y un índice de acciones. El

portafolio vale al día de hoy $820 millones, la renta fija

compone el 40% de la cartera. La correlación entre los

bonos y acciones en la cartera es igual a 0.55. Goldman

Sachs estimo que el VaR(5%) mensual es de 2% o el

equivalente de $6.56 millones para la renta fija y de 3%

o $14.76 millones para el índice de acciones. Calcular el

VaR(5%) mensual del portafolio.



• Solución:

millones 17.19$$

55.076.1456.62)76.14()56.6($

$$2$$$

mesun en $en VaR(5%)

%32.2%

)55.0)(03.0)(02.0)(6.0)(4.0(2)03.0()6.0()02.0()4.0(%

%%12%1%%

mesun en porcentual VaR(5%)

22

,

22

2222

,

2222

P

P

BABABAP

P

P

BABABAP

VaR

VaR

VaRVaRVaRVaRVaR

VaR

VaR

VaRVaRVaRVaRVaR



• ¿Que pasa si la correlación es igual a -0.55?:

millones 42.12$$

)55.0(76.1456.62)76.14()56.6($

$$2$$$

mesun en $en VaR(5%)

%52.1%

)55.0)(03.0)(02.0)(6.0)(4.0(2)03.0()6.0()02.0()4.0(%

%%12%1%%

mesun en porcentual VaR(5%)

22

,

22

2222

,

2222

P

P

BABABAP

P

P

BABABAP

VaR

VaR

VaRVaRVaRVaRVaR

VaR

VaR

VaRVaRVaRVaRVaR


VaR y Basel II

1. Trabajar con un horizonte temporal de 10 trading days o 2

semanas (calendar weeks).

2. El grado de significatividad tendrá que ser del 99%.

3. Las observaciones tendrán que provenir de por lo menos un año

histórico y actualizar la data cada trimestre.

Extreme Value Theory

“This is one of those cases in which the imagination is baffled by the facts “

(Winston Churchill)


El porque del EVT

Distribución normal

Distribución con colas grandes


El porque del EVT

• Esta es un rama de la estadística que se ocupa de eventos catastróficos y tiene aplicaciones en control de calidad, re aseguradoras, hidrológica y ciencias ambientales. Esta ciencia nació del derrumbe de los diques de agua en Holanda en febrero del 53, el cual inundo gran parte del país y mato a unas 1800 personas. El gobierno holandés uso los desarrollos de EVT para determinar la altura máxima de los diques para que no ocurriera mas, y así balancear los costos de construcción contra los costos esperados después de otra inundación. La matemática va mas allá de este curso, y fue desarrollada por Gnedenko (1943).


El método de EVT• EVT dice en pocas palabras que para calcular la probabilidad de que

un valor x caiga mas allá de un valor u especificado por el usuario, se

usan las siguientes formulas:

• Aquí y significa las perdidas en valor absoluto de un portafolio que

superan la barrera u. El parámetro ξ controla que mas grande/gorda

es la cola con respecto a la de una normal. Esto permite darle mas

probabilidad a eventos que no tienen tanta posibilidad de ocurrir en el

caso de una distribución normal.

0con ,)(

donde

0 para exp1

0 para 11

1

uxy

(-y)-F(y)

ξy)-(F(y)ξ


El método de EVT

• Para calcular el VaR(5%), se usa la siguiente formula:

• Donde N es el numero de retornos históricos observados, y Nu son el

numero de retornos mas grandes que u.

1)(

05.0%)5(

105.01%)5(

urPuVaR

N

NuVaR

u

Ejercicios y casos


Caso VaR

• Supongamos que el VaR(5%) mensual es de $100

millones y quieren el VaR(5%) semanal. Utilizen un mes

de 21 días y una semana de 5 días (trading days).


Caso grupo VaR

• Con los siguientes 20 datos diarios de

su portafolio, calcular el VaR(5%) diario

y a 12 días con simulación histórica y

método normal. Hacer lo mismo pero

con un horizonte de una semana para

los dos metodos.

R etornos P

5.03%

-4.83%

36.81%

-88.42%

-5.36%

-3.33%

6.64%

-5.90%

-6.20%

0.72%

26.87%

6.23%

-53.85%

-49.09%

-5.13%

-17.20%

-2.52%

-9.60%

-18.08%

14.58%

Risk Budgeting


Motivación de Risk Budgeting1. VaR es solo útil para el quien comprende las fuentes

exactas de donde proviene el riesgo.

2. ¿Qué proporción del riesgo total aporta cada activo o

unidad del negocio?.

3. ¿Si cambiamos la composición de la cartera, cual es el

impacto del cambio en el retorno y volatilidad (VaR)

esperado?.

4. ¿Cuál es el riesgo de cada portafolio manager?

5. Todas estas preguntas se responden a la hora de

descomponer el VaR en sus distintos componentes


Proporción de riesgo en portafolios1. VaR solo sirve para inversionistas y reguladores y

juntas directivas, insuficiente para gerentes de carteras

o unidades de negocio.

2. Un gerente querrá saber el efecto de incrementar o

disminuir la posición en cada activo o unidades de

negocio, por ello es interesante descomponer el riesgo

del portafolio. Esto permitirá localizar posiciones que se

pueden/deben aumentar o disminuir.

3. Esta descomposición permitirá al gerente de cartera el

poder justificar el cambiar posiciones a la hora de

asumir costes de transacción o de reestructuración. Un

gerente de cartera que solo se guía por CAPM no

durara mucho tiempo.


Propiedades de la volatilidad y VaR

n

n

)(...

)()(

1

1

n

n

VaRVaRVaR

)(...

)()(

1

1

iPiiii

i

i

iiii

i

i

rr linealregresion la de proviene donde

)()(

)(

)(

P

i

Pii

n

i

ii ,

1

y 1


Proporción de riesgo en cartera de divisas


Proporción de riesgo en cartera de divisas1. Aumentar una posición positiva es volverla mas

positiva, y una posición corta, es volverla mas corta.

2. La posición del CHF cuya inversión comprende un 50%

corresponde a un aporte del 76.76% mensual, lo cual

es demasiado grande. La segunda mas grande es

CAD.

3. ¿Cómo hacer para minimizar mi VaR mensual de

2.423% a 2%?. Esto sucede cuando se puede solo

tener un presupuesto para el riesgo por la gerencia que

lo fija en un 2%.



1. ¿Qué pasa si aumento mi posición YEN?

2. Variando mi posición de 25% a un 26% obtenemos marginalmente el

siguiente resultado:

-0.0152%-0.000152

25.0

)25.026.0(*25.0*0152.0

)()(riesgo del Cambio

*

yen

yenyen

yen

yen



• La nueva volatilidad mensual pasaría de 2.423% a

2.423% -0.0152% = 2.4078% y por ende disminuiría la volatilidad y

por ende VaR mensual, liberando así capital para ser usado en otras

unidades o inversiones de la empresa.

• Esta metodología se puede extrapolar y usarse de la misma manera

para analizar las unidades del negocio y ver cuales están expuestas

a un mayor riesgo que otras.

• Risk Budgeting se puede usar para comparar el riesgo entre varios

traders.



• ¿Pero cuanto tengo que comprar de YEN?

• La interpretación de este resultado es intuitiva ya que dice que el

trade que minimiza el impacto sobre el riesgo sobre el portafolio es

aquel que elimina la sensibilidad del retorno del portafolio al retorno

de la divisa YEN.

P

yen

Pyenyen

yen

yeni

yen

yenii

i

yenyenyenP

rr

rr

yen

,2

6

1

222

),cov(

:obtenemos 0 a igualarla e derivada tomar de despues

),cov()(min

Economy & Finance

Gerencia de riesgo iesa 2008 ver2