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LAS MATEMATICAS EN LA ENSEÑANZA DE LA ECONOMIA

Ignacio Mauleón. (U.N.E.D.)

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INDICE

I. Introducción.

II. Usos erróneos y abusos de las matemáticas

en la economía.

2.1. Ejemplos puramente matemáticos.

2.2. Ejemplos econométricos.

III. Conclusiones.

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I. Introducción.1

El objeto de esta ponencia es comentar el papel de las matemáticas en la enseñanza de la

economía en España. Resulta inevitable efectuar previamente algunas relexiones sobre el papel de las

matemáticas en la economía, en general, para posteriormente contrastar esa visión con la situación

española. Por ello comenzaré por efectuar algunas consideraciones previas sobre las matemáticas en

la economía. Sobre esta cuestión probablemente se ha escrito todo lo que puede decirse y es difícil,

por tanto, y probablemente innecesario, intentar exposiciones globales sobre el problema.

Una afirmación que ningún economista discutiría, es que la economía no es simplemente

reducible a matemáticas. Pero esta afirmación es una obviedad, mientras no vaya acompañada de una

explicación de por qué es así. Como economista matemático, me veo obligado a ejercer de "abogado

del diablo", y tratar de llenar de contenido la afirmación anterior. Para ello voy a valerme de una serie

de ejemplos de mi experiencia como docente, y como economista profesional al servicio del Estado. A

través de estos ejemplos trataré de mostrar cómo las matemáticas pueden ser utilizadas

incorrectamente en el análisis económico. Finalmente, me erigiré en jurado y presentaré algunas

consideraciones, a modo de conclusión y síntesis.

1 Texto de la ponencia preparada para el IV encuentro italo-español de Economistas celebrado en Avila los

días 23,24,25 de Abril de 1992.

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II. Usos erróneos y abusos de las matemáticas en la economía.

Los ejemplos que voy a comentar han sido extraídos de aplicaciones econométricas, y de

aplicaciones más estrictamente matemáticas. Todos ellos pueden ser englobados de alguna manera

bajo la categoría de aplicaciones matemáticas, y por ello se comentan a continuación.

2.1 Ejemplos puramente matemáticos.

El primer ejemplo que se va a comentar está relacionado con un problema de control

monetario, como es la elección de un instrumento monetario adecuado (cantidad de dinero o tipos de

interés), para minimizar la volatilidad de la inflación. Este es un problema similar al planteado por

Poole respecto a la minimización de la volatilidad del Pib, y tiene interés en un contexto en el que la

incertidumbre, de precios por ejemplo, afecta a las decisiones de los agentes económicos. Como es

sabido, en el análisis de Poole puede ser aconsejable seleccionar un objetivo de tipos de interés, si la

demanda de dinero es inestable. Los monetaristas puros han discutido la conveniencia de esta política,

argumentando que el tipo de interés real está determinado por factores reales: intentos de reducir los

tipos nominales de interés ampliando la oferta monetaria, tendrán a largo plazo el efecto contrario,

pues la inflación aumentará, y con ella los tipos de interés nominales en el largo plazo (efecto Fisher).

Desde un punto de vista matemático, se puede considerar una economía con un sector real

resumido en la ecuación de Fisher, y un sector monetario resumido en una ecuación de demanda de

dinero. Si adoptamos un supuesto neoclásico adicional de Pib fijo sometido a perturbaciones

aleatorias, obtendremos un error en la ecuación del tipo de interés. Similarmente podemos obtener un

error en la ecuación de demanda de dinero. Tenemos, así, un sistema de dos ecuaciones con tres

incógnitas: el tipo de interés nominal, la cantidad de dinero, y la inflación. Fijando como objetivo la

cantidad de dinero o el tipo de interés, resolvemos el sistema y sus correspondientes varianzas. Es

evidente intuitivamente, que si la ecuación de Fisher es más estable relativamente que la demanda de

dinero, lo adecuado para minimizar la volatilidad de la inflación es fijar el tipo de interés. Así,

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aparentemente hemos obtenido una conclusión antineoclásica en un modelo neoclásico. El mismo

resultado se obtiene en un modelo mucho más complejo, con varias ecuaciones, optimización

estocástica intertemporal, etc..., .

El ejemplo anterior ilustra, en primer lugar, un uso posiblemente excesivo de las matemáticas:

el mismo resultado se puede obtener en un modelo más sencillo, y sobre todo más interpretable.

Además, el ejemplo muestra como la sofisticación matemática enmascara un planteamiento del

problema algo sesgado, ya que la forma habitual de controlar el tipo de interés no es fijándolo como

una constante, sino adoptando una regla que suele ser, precisamente, aumentar la cantidad de dinero

cuando el tipo de interés aumenta por encima del objetivo, y a la inversa (que es el caso considerado

por los monetaristas en su crítica). En resumen, el método adquiere preeminencia sobre el objeto de la

ciencia, y enmascara una pregunta algo sesgada.

El segundo ejemplo que se va a comentar está relacionado con el análisis del posible impacto

del déficit público en los tipos de interés. Este tema fué de considerable actualidad mundial en la

primera mitad de la década de 1980, debido a las importantes alzas en el nivel de los tipos de interés

(en la actualidad, vuelve a ser de interés en el contexto del SME, dada la imposibilidad de mantener

diferenciales de tipos altos en un área de integración monetaria). El problema se intentó analizar en

una institución pública española adoptando enfoques variados. En uno de ellos se propuso elaborar un

modelo de simulación que constaba, básicamente, de las tres ecuaciones siguientes: 1) demanda de

dinero, 2) ecuación de determinación del tipo de interés nominal, y, 3) identidad presupuestaria

contable del estado. La ecuación de demanda de dinero era convencional, y no requiere una discusión

detallada; la ecuación del tipo de interés explicaba el tipo de interés nominal como función del real,

más una función creciente de la tasa de inflación y del volumen de deuda en términos reales; la

ecuación presupuestaria, simplemente recogía la identidad entre el saldo total (no financiero neto

que se supone constante, más carga de intereses de la deuda), e ingresos totales por emisión de

dinero y deuda. El modelo permite determinar tres variables, especialmente el tipo de interés,

seleccionando un instrumento de control (dinero o deuda). Es, por tanto, matemáticamente completo:

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tres ecuaciones y tres incógnitas (nótese también que es un modelo dinámico, por la carga de la

deuda). El problema desde el punto de vista económico, no obstante, es cómo interpretar las

ecuaciones. Por una parte no está claro que sea un modelo completo de la economía, ya que el sector

privado sólo está representado por dos ecuaciones de comportamiento financiero. Así, el sector real

desaparece del modelo, y lo que es peor, la interpretación de las ecuaciones financieras es discutible,

sino completamente errónea: de hecho, la ecuación de tipo de interés, tal como está especificada, sólo

puede ser una demanda de bonos invertida (es decir, despejando el tipo de interés). Pero por la ley de

Walras, cuando se considera la distribución óptima de la riqueza individual entre bienes y riqueza, dada

una restricción de balance, la demanda de bienes es el reflejo de la demanda de dinero: en otras

palabras, no es una demanda independiente, sino derivada de la restricción de balance y de la

demanda de dinero. Por esta razón en el modelo IS-LM convencional es lícito omitir el mercado de

bonos, ya que si el mercado de dinero está en equilibrio, aquel también lo estará. En definitiva, la

demanda de bonos es redundante, y en el modelo discutido esto implica que la ecuación de

determinación del tipo de interés carece de sentido económico, pues debería ser idéntica a la

demanda de dinero.

El modelo que se acaba de discutir, es un ejemplo de modelización matemática correcta, pero

incoherente económicamente. Este caso ilustra de forma particularmente notable, la importancia

dominante de la economía, y sobre todo, la necesidad absoluta de que los modelos de economía

matemática sean, en primer lugar, interpretables, y por supuesto, que estén especificados

correctamente.

El tercer caso hace referencia a la relación entre el crecimiento mundial y el nacional, en una

economía abierta. El problema es de especial interés en España, dada la necesidad de crecer más

deprisa que nuestros socios europeos si deseamos converger en renta real con ellos. El problema se

deriva, obviamente, de la existencia de restricciones exteriores en una economía abierta, a corto y

largo plazo. A corto plazo, la presentación convencional de las ecuaciones de comercio exterior de los

libros de texto, permite derivar una ecuación para el saldo de la balanza comercial que depende

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positivamente de la renta exterior, negativamente de la interior, y positivamente de la competitividad.

Esta balanza supone una restricción al crecimiento nacional, en la medida en que un crecimiento alto

puede suponer un déficit excesivo, y por tanto la necesidad de endeudarnos en el exterior: si el

volumen del crédito es alto, los prestamistas exteriores pueden exigir condiciones más onerosas, e

incluso denegarlo. El problema es más agudo aún, cuando se adopta una perspectiva de largo plazo y

se tiene en cuenta que la deuda se acumula año tras año, y puede que de forma explosiva por la carga

de los intereses.

En conjunto, nos encontramos con una limitación a nuestro crecimiento, que se deriva de

tener en cuenta nuestras restricciones exteriores a corto y largo plazo conjuntamente. Intuitivamente

parece obvio que una mayor tasa de crecimiento de la economía mundial permitirá un mayor

crecimiento nacional, sin incurrir en déficit externos insostenibles. Sin embargo, determinadas formas

de resolver el problema matemáticamente no garantizan este resultado. Por ejemplo, se puede

resolver la restricción a largo plazo igualando el valor actual de la deuda externa, con el valor

actualizado del superávit exterior futuro suponiéndolo constante. Esta actualización suele hacerse

definiendo todas las variables como proporciones del Pib, y suponiendo que el tipo de interés real es

superior a la tasa de crecimiento de la economía nacional. El siguiente paso consiste en substituir la

expresión para el déficit constante, por la ecuación de la balanza comercial a corto plazo. De esta

forma se obtiene una función que relaciona el crecimiento externo y el interno sostenible, es decir

compatible con el cumplimiento de las restricciones exteriores. Aunque sea difícil de exponer

intuitivamente, lo cierto es que esta forma de resolver el problema no garantiza una relación positiva

entre las dos tasas de crecimiento consideradas.

El resultado que se acaba de comentar, evidentemente es absurdo, y revela que una aplicación

indiscriminada del análisis matemático puede conducir a conclusiones plenamente erróneas. De

hecho, es posible demostrar mediante un análisis cuidadosamente subordinado a la lógica económica,

que la conclusión inequívoca que se obtiene en el modelo anterior es la obvia: una mayor tasa de

crecimiento externo nos permite crecer más deprisa, cumpliendo simultáneamente nuestras

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eventuales obligaciones internacionales.

El cuarto y último caso puramente matemático que se va a comentar, se refiere al desarrollo

de una idea histórica en economía, que a través de los años ha ido enriqueciéndose. La hipótesis

referida es una de las más conocidas de David Ricardo, y sostiene que el Estado en un agente

básicamente insolvente, de modo que si emite deuda hoy para financiar un déficit, en el futuro se verá

obligado a aumentar los impuestos para pagar dicha deuda. En definitiva, la deuda actual estatal no es

un activo financiero auténtico considerable como riqueza neta, ya que lleva implícita un impuesto

futuro. En la década de 1970 esta hipótesis fué revitalizada en relación al análisis de los déficit públicos,

especialmente por J. Buchanan, y R. Barro. Este último sostiene que la política de emisión continuada

de deuda, que implica pagar los intereses de la deuda con nuevas y adicionales emisiones, no es

sostenible a largo plazo. La razón es que el volumen de deuda crecería a una tasa igual al tipo de

interés, y como este será mayor que la tasa de crecimiento de la economía, el cociente Deuda/Pib

tendería a infinito. Pero el Pib en un período dado impone una limitación estricta al volumen de ahorro

que el sector privado desea, y por tanto al de deuda que desea acumular. Además, en promedio los

agentes económicos aciertan en la previsión del futuro, siempre según Barro, de modo que la

insostenibilidad sería conocida por ellos. Si, finalmente, los agentes se preocupan por sus

descendientes, esto hace que tengan en cuenta la posible deuda que les legarán. En definitiva, la

deuda pública no será riqueza, pues los agentes privados saben que a largo plazo, de un modo u otro el

Estado obtendrá recursos del sector privado para cancelarla.

Algo más adelante, los teóricos de las expectativas racionales, N. Sargent, y Th. Wallace,

desarrollaron las implicaciones de la idea anterior añadiendo el supuesto neoclásico de Pib fijo (o su

tasa de crecimiento, equivalentemente). En este modelo la inflación está determinada por la oferta de

dinero y sus variaciones. Por otra parte, la alternativa a emitir deuda para financiar un déficit público es

emitir moneda. Si no consideramos otra vía de aumento de los ingresos, es decir, suponemos una

política fiscal dada, es evidente que un incremento de la deuda hoy supondrá una mayor emisión de

dinero en el futuro, pues la política de emisión de deuda continuada no es sostenible. Esto quiere decir

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que si disminuímos hoy la inflación la aumentaremos mañana, de modo que "déficit público positivo" y

"estabilidad de precios" serían dos opciones de política económica incompatibles. Si a esto le añadimos

la demanda de dinero de Cagan, en la que aumentos esperados de la inflación conllevan descensos en

la demanda de dinero, la situación empeora aún más: una reducción de la oferta monetaria actual

implica expectativas de mayor inflación futura, como antes; pero ahora, esto implicará un descenso en

la demanda de dinero actual, y por tanto, con una oferta monetaria dada, mayor inflación actual. Por

tanto, ni tan siquiera existe la posibilidad de elegir entre inflación futura y presente.

Una visión alternativa reciente, es la ofrecida por la literatura sobre burbujas especulativas

(por ejemplo, Hamilton y Flavin). Básicamente, la idea de fondo en este enfoque es que si se espera

que el precio de un activo financiero aumente, su demanda también lo hará, de modo que el precio

finalmente subirá, confirmando las expectativas. Similarmente, podría pensarse que si el sector

privado considera que la deuda pública es un activo financiero neto positivo, aceptará mayores

emisiones sin límite: como todo el mercado considera que el Estado es solvente, finalmente lo será. Si

esto se cumple en la práctica o no, es una cuestión empírica.

El objetivo de los párrafos anteriores ha sido presentar de forma intuitiva y verbal, los rasgos

esenciales de la trayectoria de una hipótesis clave en el pensamiento económico. Todos los desarrollos

mencionados han ido acompañados de un formidable aparato matemático, y la pregunta, aunque algo

especulativa, es qué han aportado al desarrollo conceptual y puramente intuitivo de la hipótesis. A

esta pregunta no se propone una contestación clara, y se deja simplemente abierta a la discusión

(entre otros motivos, porque el autor no posee tal respuesta).

2.2. Ejemplos econométricos.

Las aplicaciones estadísticas en economía, aunque más cercanas a la realidad, en principio, que

las puramente matemáticas, también implican un alto grado de utilización de la citada metodología.

Por esa razón está justificado comentarlas en un artículo como este.

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El primer ejemplo ilustrativo que se va a presentar, se refiere a la modelización estadística de

la evolución temporal de la tasa de crecimiento del Pib. Según algunos autores, dicha tasa sigue lo que

suele llamarse un "paseo aleatorio": es decir, que la tasa de mañana es igual a la de hoy, más un

componente aleatorio con media cero. Una de las consecuencias de dicho modelo, es que la tasa de

crecimiento no converge a ningún valor finito: en otras palabras, que con el paso del tiempo, y dado

que la volatilidad del Pib aumentaría sin cesar, existe la posibilidad de que la tasa de crecimiento en

algún momento tome el valor de, por ejemplo -100%, e incluso un valor menor, o cualquier otro valor

extremo que se imagine: en otras palabras, dado un lapso de tiempo suficientemente largo, la

probabilidad de que la tasa del Pib tome cualquier valor extremo arbitrariamente seleccionado, en

algún momento del período considerado, tiende a uno. Es evidente que este modelo no puede

tomarse literalmente a largo plazo, puesto que la conclusión anterior es imposible (otra cuestión es su

posible utilidad como predictor a corto plazo). De hecho, en este caso es posible encontrar la razón de

que una modelización mecánica lleve a esta conclusión: un simple cambio de media importante (antes

y después de 1973), hace que la diferencia entre el valor de la tasa y el promedio muestral, tienda a

situarse sistemáticamente a un lado (es decir, que sea sistemáticamente positiva o negativa), y esto es

lo que provoca la aparente correlación unitaria. Desde otro punto de vista, si la tasa toma dos posibles

valores constantes en dos períodos, la variación de la tasa es aproximadamente cero en toda la

muestra (excepto en el punto de cambio de media), y esto explica la aparente adecuación del modelo

econométrico que se está analizando.

El ejemplo anterior ilustra las implicaciones obviamente inadmisibles, de una aplicación

mecánica e indiscriminada de la metodología estadística a los datos económicos. No se pone en

cuestión la utilidad de la estadística, de todas formas, puesto que la desafortunada elección del

modelo es consecuencia de una aplicación poco juiciosa de la metodología, más que de esta en sí

misma.

Casos similares al anterior pueden encontrarse frecuentemente en los estudios de economía

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financiera aplicada. Así, con frecuencia se afirma que la hipótesis de eficiencia en estos mercados,

implica que el precio de los activos financieros sigue un paseo aleatorio en el tiempo: es decir, que son

efectivamente impredecibles. En términos estadísticos, esta hipótesis en su versión extrema supone

un modelo igual al comentado en relación a la tasa del Pib. Y como en ese caso, la implicación a largo

plazo es que la volatilidad tiende a crecer sin límite, de modo que en un plazo suficientemente largo, la

probabilidad de que la variable considerada tome un valor tan extremo como se quiera imaginar,

tiende a uno. Evidentemente esto no es cierto: por ejemplo, nunca se han observado valores negativos

para los tipos de interés nominales; ni tampoco se observan tipos de interés reales fuera del intervalo

+100% en situación de estabilidad de precios etc..., .

De nuevo, no se pretende discutir la utilidad predictiva a corto plazo de estos modelos. Pero su

interpretación económica a largo plazo es simplemente inadmisible, a la luz de la experiencia histórica.

El problema en este caso, como en el anterior en parte, radica en pretender extraer conclusiones

excesivas, de lo que son meras representaciones descriptivas de la realidad.

El caso que se comenta a continuación, ilustra también, como puede llegarse a una conclusión

sorprendente y a todas luces errónea, a partir de una aplicación rigurosa de métodos estadísticos

sofisticados a los datos económicos. El objetivo del estudio que se va a comentar, era tratar de

encontrar relaciones entre variables económicas, con contenido más fundamentalmente económico.

Para ello se eliminó todo el componente dinámico de cada serie analizada aplicando un filtro standard,

y se obtuvieron residuos, teóricamente sin dinámica. A continuación se pasó a analizar la correlación

entre dichos residuos, y no se encontró ninguna en absoluto. Las variables consideradas fueron

magnitudes económicas típicas como, precios, Pib, tipos de interés, cantidad de dinero y salarios. La

conclusión del estudio, algo sorprendentemente, es que en el período considerado no existía evidencia

de relaciones entre las variables analizadas.

Evidentemente la conclusión es absurda y equivocada: la conclusión debería haber sido, o bien

que la técnica había sido aplicada incorrectamente, o que los modelos utilizados no eran apropiados a

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la realidad analizada. Dada la reputación del investigador autor del trabajo, es obligado concluir que los

modelos eran equivocados. De hecho los modelos utilizados eran convencionales, lo que ilustra el

peligro de dar por supuesta la validez universal de lo que son simplificaciones teóricas más o menos

arbitrarias (y más o menos justificadas), simplemente porque permiten la aplicación de una tecnología

(lo que también explica su frecuente uso por parte de la profesión).

El último problema de aplicaciones etadísticas seleccionado, se refiere a los resultados sin

ninguna interpretación clara, que con frecuencia aparecen en las conclusiones de los estudios

econométricos. Por tomar un ejemplo, algún estudio que trata de explicar el paro a partir del nivel de

los salarios reales, estima una relación dimámica entre ambas variables que alterna su signo con el

paso del tiempo. Es decir, que un incremento actual de los salarios reales, conducirá a un incremento

del empleo en algún momento futuro (además de implicar descensos en otros plazos, por supuesto).

La teoría económica proporciona abundantes explicaciones y en variadas formas, para justificar la

existencia de relaciones dinámicas. Pero lo que ninguna teoría ha justificado nunca, al menos de forma

sólida, es que la demanda de empleo, como cualquier otra demanda, pueda depender positivamente

del salario real, es decir de su propio precio (fuera de situaciones absolutamente anómalas e

irrelevantes en la práctica).

Otro caso similar, a los efectos de la discusión que aquí se lleva a cabo, hace referencia a la

velocidad de ajuste implicada en estimaciones econométricas frecuentemente. En el caso de la

demanda de dinero, por ejemplo, algunos estudios predicen un alto grado de inercia en dicha

demanda, o lo que es lo mismo, un ajuste lento de los valores observados a los deseados. Pero esto

implica que un agente económico cualquiera, ante una perturbación que suponga un desajuste entre la

composición corriente de su cartera de activos y la deseada, utilizará los activos reales como

amortiguador mientras ajusta gradualmente sus activos monetarios hasta el punto deseado (por

ejemplo, ante un incremento de su renta). Evidentemente este resultado es contrario al sentido

común, pues lo que un agente económico común utiliza como amortiguador y depósito temporal de

riqueza, son los activos monetarios, no los reales.

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Los resultados comentados en el párrafo anterior ejemplifican, nuevamente, la posibilidad de

llegar a una conclusión no interpretable, mediante la aplicación de una metodologia aparentemente

rigurosa. La explicación reside en que el objeto del análisis económico es radicalmente distinto al de la

ciencia natural, entre otras cosas porque las observaciones no son repetibles. Así, la probabilidad de

encontrar una correlación estimada significativa entre variables absolutamente independientes, tiende

a uno cuando se emplea un número ilimitado de variables (con una muestra de observaciones finitas,

ya que entonces la correlación se estima con error). Por este motivo, las conclusiones de estudios

econométricos no interpretables claramente son legítimamente desechables, como sospechosas de

haber sido obtenidas por un abuso continuado del prodecimiento de prueba y error.

El problema que se acaba de mencionar surge con frecuencia en estudios aplicados, aunque de

forma más clara en unos casos que en otros. En este caso el problema radica parcialmente en que la

representación metodológica de la realidad, substituye a la realidad misma del análisis: de hecho, se

aplican unos métodos correctos bajo ciertos supuestos en condiciones que sólo son válidas

aproximadamente, pero esto no se especifica en las conclusiones. La solución en este caso estriba, por

supuesto, en reducir el proceso de prueba y error al máximo, además de rechazar sistemáticamente

todo modelo no interpretable (a no ser con fines exclusivamente predictivos).

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III. Conclusiones.

El objetivo de los ejemplos anteriores ha sido ilustrar efectivamente algunas afirmaciones

abstractas y obvias, como por ejemplo que la economía no es simplemente reducible a matemáticas.

Por otra parte se ha intentado ver el lado negativo de la aplicación de las matemáticas a la economía,

dado que el autor se considera un economista matemático.

Aunque el objeto del artículo es más crear polémica que extraer conclusiones, es obligado

intentar exponer algunas, aunque reflejen básicamente las opiniones del autor, y sea de forma

tentativa. En primer lugar, es preciso aclarar que las matemáticas son un instrumento muy útil, y de

hecho formidable, para el análisis económico. Y esta afirmación es válida, a pesar de que se cometan

excesos en su utilización, y de que sólo sea un método, y no el objeto mismo del análisis económico.

Dos ventajas esenciales que poseen las matemáticas como método, y que justifican la afirmación

anterior, son las siguientes: 1) el lenguaje matemático impone rigor y coherencia al razonamiento con

mayor facilidad que otros lenguajes, y, 2) los modelos matemáticos permiten obtener conclusiones en

situaciones extremadamente complejas, imposibles de analizar de otra forma (independientemente de

que los supuestos sean siempre discutibles).

Las dos características anteriores convierten al método matemático en especialmente

atractivo, a pesar de que su utilización esté expuesta a peligros obvios. En cualquier caso, quizás la

discusión "matemáticas v.s. análisis verbal" no esté planteada del todo correctamente. Y ello porque

algunas características esenciales que debe reunir el análisis económico son las tres siguientes: 1) debe

ser relevante, 2) debe ser riguroso, y, 3) debe ser comunicable, (y esto porque es una ciencia social,

cuya utilidad sólo se consigue si se llega a persuadir a los responsables de la política económica, y a los

agentes económicos relevantes, en general). Una ventaja del método matemático es que es muy

eficiente en el cumplimiento del segundo requisito (pero no en el último), frente a otro tipo de análisis

más verbales o descriptivos.

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Finalmente, y aunque la afirmación siguiente refleje fundamentalmente una opinión personal,

la utilización de las matemáticas en la enseñaza de la economía en España es baja, en general, a pesar

de que en algunas instituciones y lugares muy localizados se hayan cometido excesos evidentes.