MICROECONOMIA I-EJERCICIOS RESUELTOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

VICERECTORADO DE INVESTIGACION

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN DE ECONOMÍA

INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN

“ELABORACIÓN DE UN TEXTO:EJERCICIOS DE

MICROECONOMÍA I”

AUTOR: Mg. JAVIER CASTILLO PALOMINO

(Período de Ejecución 01 de febrero del 2010 al 31 de enero del 2012

Resolución N° 326-2010-R)

2

CONTENIDO

Pág.

INTRODUCCION 4

I. TEORIA DELA ELECCION INDIVIDUAL 4

1.1 La Restricción Presupuestaria 4

1.2. Equilibrio del Consumidor. La Función de Demanda 14

1.3. Dualidad en el Consumo: La Ecuación de Slutsky.

La identidad de Roy. Lema de Sheppard. 30

1.4. Efecto renta y efecto sustitución: Hicks, Slutsky 71

1.5. Variación Compensada y Variación Equivalente 88

1.6. Elasticidad 107

1.7. Elasticidad y propiedades de la función de demanda 122

1.8.Riesgo e Incertidumbre. 133

II. TEORÍA DEL COMPORTAMIENTO DE LAS EMPRESAS 147

2.1. Funciones de producción Cobb-Douglas 147

2.2. Funciones de producción de Leontiev 202

III. INTERVENCION ESTATAL 221

3.1. Bienes públicos y externalidades 221

3.2. Impuestos y Subsidios 230

ANEXOS

Anexo 1 La Restricción presupuestaria 263Anexo 2 Elasticidad y propiedades de la función de demanda 269Anexo 3 Elección bajo incertidumbre 272

Referenciales

3

Introducción

La búsqueda del mejor uso de los recursos hace necesario contar con una herramientaque nos proporcione elementos de juicio para una mejor toma de decisiones, estanecesidad implica la elaboración de un proyecto de inversión, que sustentado en unestudio ordenado y coherente permita, en función a la calidad de la información, lamayor certidumbre para llevar a cabo con éxito la inversión.

Los estudiantes necesitan que se les muestre como se elabora un proyecto entérminos prácticos más que teóricos. Requieren un texto que les muestre tanto lateoría como ejemplos y ejercicios prácticos, necesitan conocer que tipo de informaciónse requiere, como es el tratamiento de ésta y cómo se la presenta para ir articulandocada una las partes que componen el proyecto de inversión. Este trabajo surge comorespuesta a esa necesidad y a propuesta de los estudiantes que con legitima avidez nossolicitan permanentemente nuestras copias y nos piden les informemos sobrebibliografía dónde encuentren casos o ejercicios sobre el tema.

Este libro es resultado de la conjugación de la experiencia acumulada durante eldesempeño profesional en el área d formulación de proyectos, el trabajo docente, querequiere constante capacitación y actualización sobre el tema, y la revisión las fuentesde información tradicional y reciente.

La estructura del libro ha sido desarrollada en ocho capítulos, ordenados de acuerdo ala forma secuencial como se elaboran los Estudios de un proyecto de inversión desdela concepción de la idea hasta la elaboración del flujo de caja. Así, primero se abordanlos contenidos de Definiciones básicas, el Estudio de mercado, el tamaño y lalocalización, la Ingeniería del proyecto, Las inversiones y el Financiamiento, losingresos y costos, los Estados financieros, y la Organización.

El presente trabajo tiene un contenido teórico que pretende que los estudiantesasimilen conceptos, técnicas y procedimientos actualizados sobre el tema de losproyectos de inversión, por otra parte, a manera de guía busca orientar y darindicaciones las materias que debe contener un estudio de preinversión. Cada capitulo

tiene ejemplos y aplicaciones para los temas más importantes. Asimismo se incluyencuestionarios y ejercicios propuestos como complemento didáctico. El libro busca quesu lectura sea fácil, clara y amena, y sobre todo accesible no sólo a los estudiantes deeconomía.

4

I. TEORIA DE LA ELECCIÒNINDIVIDUAL

1.1. La Restricción Presupuestaria

1. En el Callao, un 10% de los hogares usa el kerosene como combustible para lacocción de alimentos. Uno de estos hogares cuenta con una renta promedio de S/480que los destina al consumo de kerosene y otros bienes. El precio del kerosene es deS/12 el galón y el de los otros bienes, S/ 10. Con esta información se le pide:

a) Represente la restricción presupuestaria.b) Con el fin de fomentar el uso de otros combustibles, el Gobierno Regional limita

el consumo de kerosene hasta 30 galones. Delinee la restricción presupuestaria.c) El Gobierno reformula la medida anterior y permite consumir más de 30 galones,

pero cadagalón adicional costará S/15. Trace la nueva restricción presupuestaria.d) El Gobierno Regional decide otorgar un subsidio en efectivo de S/ 120 a cada

hogar ¿cómo se verá modificada la restricción presupuestaria?e) ¿Cómo será la restricción presupuestaria si el Gobierno Regional cambia el

subsidio por un bono intransferible que equivale a 10 galones de kerosene?.f)Si el bono se pudiese vender a mitad de precio ¿Cómo sería la restricción?.

Solución

a) Restricción presupuestaria inicial

48

40

Área

Factible

480x10x12 21

2

1

p

p

)ker(1 osenedegalonesX

bienes

Otros

X 2

5

b) Restricción presupuestaria con límite al consumo de kerosene

c) Restricción presupuestaria con posibilidad de compra más allá del límite

Consumo de kerosene: Precio Galones Gasto

12 30 36015 8 120

38 480

48

30 38 40

Área

Factible

X 2

Bienes

X1

Kerosene (galones)

48

30 40

Área

Factible

X 2

Bienes

X1

Kerosene(galones)

2,12

1 p

p

5,1'

2

1 p

p

2

1

p

p

6

d) Restricción presupuestaria con un subsidio en efectivo de S/120

e) Gobierno Regional subsidia con bono por 10 galones de kerosene

X 2

Bienes

60

48

40 50

Área

Factible

X1

Kerosene(galones)

48

0 10 20 30 40 50

X 2

Bienes

X1

Kerosene (galones)

2

1

p

p

600120480x10x12 21

2

1

p

p

2

1

p

p

2,12

1 p

p

7

f) La familia puede vender el bono a mitad de precio

Los 10 galones que son parte de su consumo los puede vender y obtener un ingresode S/60 a 0, y adquirir de 6 a 0 unidades de otros bienes, según los venda todos oninguno.

2. Un consumidor dispone de S/.150 para pagar los servicios de agua y teléfono. El agua lecuesta S/. 2.00 el m3 , mientras que la modalidad del pago del teléfono es la siguiente:los primeros 50 minutos son gratis, los siguientes 100 minutos valen S/. 0.80 c/u, y losrestantes, S/. 0.5 c/u. Trace su restricción presupuestaria.

Solución

La recta presupuestaria de este consumidor tendrá tres tramos. En el primero lapendiente es cero, debido a que si todo su ingreso lo gasta en agua, consumirá hasta 75m3 , y de 0´ a 50´ de teléfono (gratis).

54

48

0 10 20 30 40 50

X 2

Bienes

X1

Kerosene(galones)

2,12

1 p

p

6,02

1 p

p

8

El segundo tramo se inicia cuando sobrepasa los 50´ gratis, hasta que su gasto enservicio telefónico, que ahora cuesta S/ 0,80/minuto, llega a S/.80 por los siguientes100’ de consumo; con la diferencia, S/70, completa su canasta, consumiendo 35 m3 de

agua (S/.70/2).

El tercer tramo, tiene una pendiente más suave, porque el costo por minuto es de S/0,50, y representa la opción de destinar los S/70 al consumo paulatino de minutos de

teléfono hasta un máximo de 140’ (S/.70/0.5).

Agua

(m3)

Teléfono (minutos)

2. Yuri es un empresario exportador que tiene un fondo para marketing que tiene dosdestinos: viajes de promoción al exterior y publicidad. Una agencia de viajes le hapropuesto, para este año, que si acumula 30 tickets aéreos, por los siguientes recibeun descuento del 20%. Llegado a los 70 pasajes recibe 5 pasajes gratis y cada ticketadicional tendrá un nuevo descuento de 25%.

75

35

50 100 150 200 250 290 300

12 4,075 xx

12 25,035 xx

9

Para el presente año, el presupuesto de Yuri para estos gastos es de $ 49,000, elprecio de cada ticket es de $500 mientras que el de cada anuncio publicitario es de$200.

Determine:

a) ¿Cómo será su restricción presupuestaria?b) Trace la restricción presupuestariac) ¿Hasta cuantos pasajes podrá comprar este año?

Solución

a) En la restricción presupuestaria:

Los pasajes son representados por el bien 1, mientras que los anunciospublicitarios, por el bien 2, entonces:

De 0 a 30 pasajes, la restricción presupuestaria es:

Luego, de más de 30 a 70 pasajes, la restricción varía porque el precio se reduce:

p11 = 0,8 p1

p11 = 0,8 (500)

p11 = 400

Entonces,

Finalmente, para más de 70 pasajes el precio es otro:

Entonces,

21 200500000.49 XX

2211 XpXpm

21 200400000.49 XX

21 200300000.49 XX

)400(75,0''1 p

300''1 p

10

b) Trazo de la restricción presupuestaria

Publicidad

Pasajes

c) El número de pasajes que podrá comprar:

En los dos primeros tramos:

30 x $500 = $15.00040 x $400 = $16.00070 $ 31.000

Para el último tramo se cuenta con $ 18.000 (49.000-31.000). con los que sepuede adquirir 60 pasajes (18.000/300) a los que hay que agregar los 5 pasajesgratis.

Por tanto el total de pasajes que se podrán adquirir son 135 pasajes

245

200

170

150

10090

50

0 30 50 70 75 98 130135

X2 =245, - 2.5 X1

X2 =245, - 2 X1

X2 =245- 1.5X1

11

4. Bimbo Rejas está encargado de la compra de refrescos y cerveza para la fiesta de lasemana de la FCE. Ha averiguado que el precio de la caja de gaseosas es S/.20.00 yque la caja de cerveza cuesta S/.35.00 (S/. 3.00/unidad). Bimbo sólo puede gastarS/.1960. Los proveedores le envían sus propuestas. Con respecto a las gaseosas notiene problemas, pero en relación a la cerveza, Bimbo elige una que le interesasobremanera: por la compra de 10 cajas de cerveza le dan una de regalo. ¿Cómoserá su restricción presupuestaria?.

Solución

Con S/ 1.960 podrá comprar hasta 98 cajas de gaseosas solamente. Por otra parte, si

sólo compra cerveza, podrá obtener 56 cajas, más las 5 cajas gratis, haciendo un

total de 61 cajas. La restricción presupuestaria que expresa estas compras y las otras

diferentes combinaciones es la siguiente

Gráfico

Gaseosas

10 11 21 22 32 33 43 44 54 55 61

98

Cerveza

12

5. El comedor de la UNAC vende el menú a S/ 4.00. El concesionario ofrece un bonoque cuesta S/. 20 y equivale a 6 menús (S/. 3.33/menú). Un estudiante cuenta conS/. 200 por mes, y sus gastos son en alimentación y en pasajes (S/1.00/viaje). Solose puede adquirir un bono por mes.

a) Plantee la restricción presupuestaria mensual del estudiante cuando no comprael bono. Grafique.

b) Plantee la restricción presupuestaria mensual del estudiante cuando compra elbono. Grafique.

Solución

a) Si no compra el bono, su restricción presupuestaria será:

Teniendo en cuenta la información, asumiendo que X1 representa los menús, yX2,los pasajes, tendremos que la restricción presupuestaria es:

Gráfico. Estudiante no compra el bono

Menús

200

Pasajes

50

2211 XpXpm

214200 XX

13

b) Si compra el bono, entonces X1= 6 , y la restricción presupuestaria tendrá lasmodificaciones siguientes:

Se reduce el ingreso disponible: 200-20 = 180

Luego, si solo se usa para X2, se podrá adquirir como máximo:

Si el consumo de menús es mayor a seis (X1 ≥ 6), la restricciónpresupuestaria será:

Gráfico. Estudiante compra el bono

200

180170

Pasajes

6 … 50 51Menús

1801

1802 X

21 )6(420 XXm

21 )6(420200 XX

21 244180 XX

214204 XX

14

1.2. Equilibrio del Consumidor

1. Juan viajaráaChincha e Ica para hacer unas encuestas. Sus viáticos paraalimentación en cada destino son de S/. 60. Sólo comerá sus platosfavoritos,sopa seca y carapulcra,; sus preferencias por ambos platos soniguales. En Chincha el precio de la sopa seca es S/. 20, y el de la carapulcraS/15. En Ica, la sopa seca cuesta S/15 y la carapulcra, S/. 15, pero como laciudad de Ica va a estar de aniversario, aquí habrá la oferta de que luego delconsumo de 2 platos de sopa seca, los siguientes se venden a mitad de precio.

Determine:

a) ¿Qué y cuántos platos consumirá Juan en Chincha?b) ¿Qué y cuántos platos consumirá Juan en Ica?c) ¿En qué lugar obtendrá mayor Utilidad?

Solución

Para Juan, de acuerdo al enunciado, los platos que consumirá son sustitutosperfectos, por tanto su función de utilidad será de la forma:

U = X1 + X2

Donde: X1 : sopa seca (cantidad de platos)X2 :carapulcra (cantidad de platos)

Dado que la función de utilidad es una recta, el equilibrio será en uno de los ejes,dependiendo de la pendiente de la restricción presupuestaria

a) En Chincha

La restricción presupuestaria será:

20 x1 + 15 x2 = 60

Pendiente de U: Pendiente de R. P.:

11

1. Upend

3

4

15

20. RPpend

Yejeenequilibriopendpend URP ..

15

En el gráfico inferior se observa que el consumo óptimo será una soluciónllamada “solución esquina”, en este caso sobre el eje Y en A (0; 4). Es decir,Juan consumirá únicamente carapulcra, 4 platos.

Gráfico. Óptimo en Chincha

b) En ICA

Pendiente de U Pendiente de R.P.

pend.U = -1 De 0 a 2 platos de sopa seca

De 2 a 10 platos de sopa seca

A(0; 4)4

Carapulcra

3Sopa seca

U = 4

115

15. RPpend

5,015

5,7. RPpend

16

En este caso, la restricción presupuestaria tiene dos tramos (ver gráficosiguiente). El primero con una pendiente igual a la de la función de utilidad,desde el intercepto con el eje Y hasta la combinación (2, 2). El segundo, desdeeste punto hasta (6, 0), con una pendiente menor a la de la función de utilidad;por tanto, el consumo óptimo se dará en el eje X, esta vez sólo consumiendosopa seca. Así, Juan consumirá 6 platos de sopa seca, solamente, obteniendouna utilidad de 6.

Gráfico. Óptimo en Ica

c) El consumo óptimo en Chincha será (0, 4), entonces alcanzará una utilidad de:

U = 0 + 4 = 4

En Ica el consumo óptimo será (6, 0); luego, la Utilidad será: U= 6 + 0 = 6

Por tanto, la máxima utilidad la obtiene en Ica.

2

4

Carapulcra

U*

= 6

1 2 3 4 5 6

Sopa seca

17

2. El concesionario de la FCE vende en verano chupetes de maracuyá y de fresa. Cada

chupete lo vende a S/1. Se ha estimado que un consumidor promedio de chupetes

destina S/12 por semana para este producto, y su función de utilidad está

representada por:

Donde

X1 : cantidad de chupetes de fresa

X2 : cantidad de chupetes de maracuyá

Se pide:

a) Hallar el consumo óptimo del consumidor. Grafique

b) Dado que el consumidor consume en mayor proporción los chupetes de fresa, sedecide aumentar el precio de éstos en S/0,50 y, a la vez, rebajar en el mismomonto los chupetes de maracuyá. ¿Logrará revertir la tendencia del consumo?.Grafique

c) Otra medida más drástica que se ensaya es mantener los precios iniciales pero porla compra de cada 4 chupetes de maracuyá se dan gratis 5 chupetes de esta fruta¿Logrará ahora si su objetivo?. Grafique.

Solución

a) Para hallar el consumo óptimo planteamos el problema primal y resolvemos:

21 XLnXU

mxpxpas

xxMax

2211

21

:.

ln.

)(ln: 221121 xpxpmxx

18

C.P.O.:

De (1) y (2), obtenemos la demanda marshalliana de x2 :

Luego, reemplazando x2 en la R.P, reduciendo y despejando, obtenemos la demandamarshallliana de x1:

Reemplazando los datos, se obtiene la demanda óptima :

La utilidad máxima:

)3(...0

)2(...01

)1(...01

22111

222

11

xpxpmx

pxx

px

2

1

2

11

p

p

x

mp

ppxp

2

1211

1

11 p

pmx

mpxp 111

11

111

1

11221

xx

2

12 p

px

111 LnU

11U

19

Gráfico. Equilibrio inicial

b) Con esta otra medida, la restricción presupuestaria será:

El consumo óptimo:


Fresa

12

1

Maracuyàresa

11 12

11U

125,05,1 21 xx

35,0

5,17

5,1

5,11221

xx

1,8U

37 LnU

20

Con esta medida mejora levemente la proporcionalidad en el consumo, pero aúnse demanda en mayor magnitud chupetes de maracuyá (70%-30%). La utilidaddel consumidor se reduce de 11 a 8,1.

Gráfico. Equilibrio con modificación de precios

c) Con la oferta extrema: por la compra de cada 4 chupetes de maracuyá, se dan 5gratis, se tendrá el siguiente gráfico:

Fresa

24

12

3

1

1

Maracuyá

7 8 11 12

11U

1,8U

21

Gráfico. Equilibrio con la oferta extrema

Se observa en el gráfico que el óptimo se mantiene en la canasta (11,1) con lautilidad de 11.

En la restricción presupuestaria de la oferta la combinación que más se acerca ala utilidad máxima, es (8, 9) pues el consumidor obtiene una utilidad siguiente:

U = 8 + Ln 9 = 8 + 2,19 = 10,19

Fresa

24

22

20

18

16

1312

98

4

1

1

Maracuyá

4 7 8 11 12

11*U

2,10U

22

3. Un estudio de focalización de la pobreza ha encontrado que una familia pobre en elCallao tiene una dieta deficiente. Sus preferencias están expresadas en la función deutilidad U = X1X2 ; donde X1 representa el consumo de pescado en kilos, y X2 , elconsumo de otros alimentos. Asimismo, cuenta con un ingreso de S/. 300 y losprecios de los bienes que consume son S/. 7,50 y S/. 10, respectivamente. Lasautoridades de salud señalan que las familias del Callao deben consumir comomínimo 30 kg. de pescado para satisfacer los niveles nutricionales adecuados.

Determine:

a) Si de acuerdo a sus preferencias las familias pobres satisfacen el nivel nutricionalpropuesto. Grafique la restricción presupuestaria y el equilibrio.

b) Si la Región decide subsidiar el ingreso de las familias pobres ¿a cuánto debeascender el subsidio que les permita consumir el mínimo propuesto?. Grafique larestricción presupuestaria y el equilibrio.

c) Si, por el contrario, se desea subsidiar el precio del pescado ¿cuál debe ser elnuevo precio y cuánto tendría que desembolsar la Región?. Grafique,

d) Las familias indican que la medida anterior les reduce el bienestar que obtendríancon el subsidio al ingreso; de ser cierto ¿cuál debería ser el subsidio quemantenga dicho bienestar y que a la vez les permita acceder al mínimo deconsumo requerido?

Solución

a) Para hallar el consumo óptimo planteamos el problema primal y resolvemos

C.P.O.:

mXpXpas

XXMax

2211

21

:.

.

)(ln: 221121 XpXpmXX

)3(...0

)2(...0

)1(...0

2211

212

121

XpXpm

pXX

pXX

23

De (1) y (2), obtenemos:

Luego, remplazando X2 y X1 en la R.P, reduciendo y despejando, obtenemos lasdemandas marshalllianas:

Reemplazando los datos, se obtienen las demandas óptimas :


1

221

2

112

2

1

1

2

p

XpX

yp

XpX

p

p

X

X

mp

Xppxp

2

11211

11 2 p

mX

mXpXp 1111

1520 21 XX

300U

mxpp

Xpp

22

1

221

mXpXp 2222

22 2 p

mX

)15)(20(U

24

Gráfico. Equilibrio inicial

Por lo tanto, se observa que, de acuerdo a sus preferencias, la canasta óptimade una familia pobre del Callao no contiene el mínimo requerido.

b) Subsidio de la Región al ingreso familiar

Para saber el monto del subsidio (S) al ingreso que le permita alcanzar elconsumo mínimo de pescado, se debe cumplir que:

Reemplazando datos y despejando S:

Pescado

30

15

Otrosalimentos

20 30 40

300U

302 1

p

Sm

30)5,7(2

300

S

300450 S

300105,7 21 XX

)15;20(*X

25

La nueva restricción presupuestaria sería:

La canasta óptima:

La nueva Utilidad:

Gráfico. Equilibrio con subsidio al Ingreso

Pescado (Kg.)

45

30

22,5

15

Otrosalimentos

20 30 40 60

)5,22)(30(U

150S

450105,7 21 XX

675' U

450105,7 21 XX

5,22)10(2

45030

)5,7(2

45021 XX

675'U

)5,22;30(*X

26

c) Subsidio de la Región al precio

Si denominamos: s, el subsidio al precio, entonces se debe cumplir que:

Siendo p1: precio de mercado

p11 : precio pagado por las familias

s: subsidio de la Región a los vendedores de pescado

Asimismo, se debe cumplir que:

Remplazando datos, operando y despejando p11:

La nueva restricción presupuestaria sería:

La canasta óptima:

302 1

1

p

m

302

3001

1

p

30060 11 p

00,511 p

300105 21 XX

15)10(2

30030

)5(2

30021 XX

spp 111

27

La nueva Utilidad:

En este caso, los pobres, según sus preferencias, consumirán el mínimorequerido, pagarán S/5.00 por kilo de pescado; los pescadores o vendedoresrecibirán S/ 7,50 por kilo (el monto pagado por los consumidores más S/2,50de subsidio pagado por la Región).

El monto total del subsidio, ascenderá a S/2.50 x 30 Kg. = S/ 75.00 porfamilia.

Gráfico. Equilibrio con subsidio al precio del pescado

Pescado

45

30

22,5

15

Otrosalimentos

20 30 40 60

)15)(30('' U

450'' U

675U

300105 21 XX

)15;30(*X

450U *

28

d) Subsidio al precio que permite mantener el bienestar obtenido con subsidioal ingreso

Consumo óptimo:

Por otra parte, como se debe cumplir que:

X1, se obtiene remplazando X2:

Entonces, remplazandoeste valor en (α), y despejando obtenemos el precio que

pagará el consumidor:

Por tanto, el subsidio de la Región será:

s = 7,50 -3,33

15)10(2

300X

)(...150Xp

:obtieneseyincognitaslasdespejanSe

p2

300X

2

1''

1

''1

1

67521 XX

675)15(1 X

451 X

150)45(''1 p

33,3''1 p

29

s = 4,17 x Kg.

El subsidio total:

4,17 x 45 = 187,65

Gráfico. Subsidio al precio, que mantiene el bienestar con subsidio alingreso.

Pescado

45

30

22,5

15

Otrosalimentos

20 30 40 45 60 90

675*U

3001033,3 21 XX

)15;45(*X

450U

30

1.3. Dualidad en el Consumo: La Ecuación de Slutsky. La identidad deRoy. Lema de Sheppard.

1. Dadas las siguientes funciones de demanda compensada:

Se pide:

a) Halle las demandas marshallianasb) Determine la función de utilidad

Solución

a) En la restricción presupuestaria:

m = p1X1+ p2X2

RemplazamosXi , empleando la identidad Xi (p,m) ≡ hi(p,u)

m = p1(2up2/p1)1/3+ p2 (up1/4p22 )1/3

m = p12/3(2up2)1/3+ p2

1/3(up1/4)1/3

m = p12/3p2

1/3[(2u)1/3+ (u/4)1/3]

m = p12/3p2

1/3(41/3 21/3 u1/3+ u1/3)/ 41/3

41/3m = p12/3p2

1/3(2 u1/3+ u1/3)

41/3m = p12/3p2

1/3(3 u1/3)

Luego, para obtener la FUI1, hacemos uso de la identidad u(X) = v(p,m),despejamos y operamos:

41/3m = p12/3p2

1/3(3 v(p,m)1/3)

1También se podría haber integrado las demandas Hickssianas con respecto a su respectivo precio,y obtener primero, la función de gasto, y luego por dualidad, la función de utilidad indirecta

3/1

1

21

2),(

p

UpUph

3/1

22

12

4),(

p

UpUph

3/12

3/21

3/13/1

pp3

m4)m,p(v

31

Finalmente, hallamos las demandas ordinarias aplicando la identidad de Roy. Primerocalculamos las derivadas parciales:

dv/dp1 = -8m3 / 27p13p2

dv/dp2 = -4m3 / 27p12p2

2

dv/dm = 12m2 / 27p12p2

Luego, se hacen los remplazos respectivos, y se simplifica así:

b) Para hallar la función de utilidad, en las demandas ordinarias despejamos lasrelaciones:

m/p1 = 3x1/2 y m/p2 = 3x2

Luego, se reacomoda la función de utilidad indirecta, se remplazan estasrelaciones, y se efectúa:

v(p,m) = U = (4/27) (3x1/2)(3x1/2)(3x2)

U = (4/27)(27/4) x12 x2

Xi =

- 8m3 / 27p13p2

X1 = -12m2 / 27p1

2p2

- 4m3 / 27p12p2

2

X2 = -12m2 / 27p1

2p2

U = x12 x2

22

1

3

27

4),(

pp

mmpv

13

2

p

m

23p

m

22

1

3

27

4),(

pp

mmpv

21127

4),(

p

m

p

m

p

mmpv

32

2. Dadas las siguientes funciones de demanda compensada:

a) Halle las demandas marshallianasb) Determine la función de utilidad

Solución

a) Integrando cualquiera de las demandas compensadas con respecto a su preciorespectivo –en este caso integramos h1 – se obtiene la Función del gasto2

Luego, para obtener la FUI, se hace uso de las identidades U(X) ≡ v(p,m) y e(p,U) ≡ m, y se despeja:

2 Como ejercicio, pruebe integrar h2 y obtenga el mismo resultado.

5/21

5/22

125

3),(

p

pUUph 5/3

2

5/31

225

2),(

p

pUUph

152

1

522

1521

522

25

3

25

3

dpppU

dpp

pUUpe

//

/

/

.),(

5

5325

3

522

531

531

522

//

//

/

ppU

ppU

5

),(),(

5/22

5/31 ppmpv

mUpe

5/22

5/31

5),(

pp

mmpv

33

Finalmente, se hallan las demandas ordinarias aplicando la identidad de Roy:

Previamente se hallan las derivadas parciales:

Luego, se remplazan en las fórmulas respectivas:

c) Para hallar la función de utilidad; en las demandas hikssianas, se aplica la identidadXi(p,m) ≡ hi(p,U), y se despejan las relaciones (p1/p2):

5/22

5/81

5/22

5/811

35

5

3

pp

m

pp

m

dp

dv

5/72

5/31

5/72

5/312

25

5

2

pp

m

pp

m

dp

dv

5/22

5/31

5

ppdm

dv

15/2

25/3

1

5/22

5/81

15

35

3

p

m

pp

pp

m

x

25/2

25/3

1

5/72

5/31

25

25

2

p

m

pp

pp

m

x

5/21

5/22

1125

3

p

pUxh

25

12

1

25

3/

x

Upp

5/32

5/31

2225

2

p

pUxh

35

2

2

1

2

25/

Ux

pp

34

Luego se igualan, y se despeja U:

3. Dada la siguiente función de utilidad:

Hallar:

a) Las demandas Marshallianasb) Las demandasHikssianasc) La Function de utilidadindirectad) La Función del gastoe) CompruebelasdemandasMarshallianasf) CompruebalasdemandasHickssianas

U = 9.8 x13/5x2

2/5

3/5

2

2/5

1 2

25

25

3

U

x

x

U

2/5

1

3/5

23/52/5

3

25

2

25

xx

UU

2/5

1

3/5

26/25

3

25

2

25

xx

U

)25/6)(2/5(1

)25/6)(3/5(2

3

25

2

25

xx

U

5/31

5/22

3

25

2

25

xx

U

5/31

5/22

3

25

2

25

xx

U

2121 ),( LnxxxxU

35

Solución

a) Las demandas Marshallianas se hallan formulando y resolviendo el problemaprimal:

Así, (4) viene a ser la demanda Marshalliana del bien x2. Luego, reemplazando (4)en (3), y despejando, se obtiene la de x1:

mxpxpasujeto

xLnxMax

2211

21

:

.

)( 221121 xpxpmLnxxL

)3(xpxpmd

dL

)2(0px

1

dx

dL

)1(0p1dx

dL

:.O.P.C

2211

222

11

)4(p

px

xp

1

p

1

:)2(y)1(de

2

12

221

mp

ppxp

2

1211

1

11 p

pmx

36

b) Para hallar las demandas Hikssianas se plantea y resuelve el problema dual:

De (1) y (2):

Luego, reemplazando (4’) en (3’), y despejando, obtenemos la otra demandaHikssiana:

UxLnxasujeto

xpxpMin

21

2211

:

.

)( 212211 LnxxUxpxpL

)'3(

)'2(0

)'1(0

:...

21

22

2

11

xLnxUd

dL

xp

dx

dL

pdx

dL

OPC

)'4(2

12

122

p

px

pxp

Up

pLnx

2

11

2

11 p

pLnUx

37

c) Función de utilidad indirecta

Para hallarla, en la función de utilidad directa se aplica la dualidad, se reemplazanlas demandas Marshallianas y, de ser posible, se reduce:

d) Función del gasto

Similarmente, tomando la FUI, aplicamos las equivalencias , y despejamos:

e) Comprobación de las demandas Marshallianas

Aplicando la Identidad de Roy:

2121 ),(),( xLnxmpvxxU

2

1

1

1

p

pLn

p

pm)m,p(v

2

1

1

1),(),(

p

pLn

p

pUpemUmpv

1),(

2

11 p

pLnUpUpe

dm

mpdv

dp

mpdv

mpx ii ),(

),(

),(

38

Así:

Derivando:

Entonces:

f) Comprobación de las demandas Hikssianas

En este caso, se recurre al Lema de Sheppard:

2

1

1

1

p

pLn

p

pm)m,p(v

1211

1

pp

m

dp

dv

22

1

pdp

dv

1

1

pdm

dv

11

1

1

1

121

1

p

m

p

pp

m

x

2

1

1

22 1

1

p

p

p

px

ii p

)U,p(e)U,p(h

39

Así, reordenando la Función del gasto:

Derivando:

1LnpLnp1U

1pLnpLnp

1pU

p

eh

21

211

11

1

2

12

21

22

1

p

ph

pp

dp

deh

12

111

2

11

pp

pLnpUp

1p

pLnUp)U,p(e

2

11

21

p

pLnUh

)pLnpLn(U

40

4. Un consumidor tiene un ingreso de S/ 900, consume dos bienes, x1 y x2, cuyosprecios son p1 = 2 y p2 = 10, respectivamente. Si su función de utilidad es:

Se pide:

a) Hallar la máxima utilidad que alcanza el consumidor. Grafiqueb) Demostrar que U(X) ≡v(P,m)c) Compruebe el Lema de Shephard

Solución

a) Hallar la máxima utilidad implica conocer, primero, las demandas óptimas, através del problema primal:

25,0

121 4),( xxxxU

mxpxpasujeto

xxMaxim

2211

25,0

1

:

4.

)(4 221125,0

1 xpxpmxxL

)3(

)2(01

)1(02

:...

2211

22

15,0

11

xpxpmd

dL

pdx

dL

pxdx

dL

OPC

2

15,01

2

15,0

1

2

1

2

:)2(/)1(

p

px

p

px

Luego

41

Remplazando x1 en la restricción presupuestaria, reduciendo y despejando, se obtiene la

función de demanda del bien x2:

Por último, se remplazan los datos en las funciones y se obtienen las demandasóptimas y la utilidad máxima:

Entonces:

mxpp

p

mxpp

pp

221

22

22

2

1

21

4

2

1

2

22

4

p

p

p

mx

2

1

21

2

p

px

1002

)10(22

1

x

702

)10(4

10

9002 x

110701004 5,0* U

42

Gráfico: Equilibrio del consumidor

b) Para esta demostración se requiere hallar v(P, m). Así remplazando lasdemandas Marshallianas en la función de utilidad, y simplificando:

0

20

40

60

80

100

120

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

U0 = 110

E*(100, 70)

X1

1

2

2

5,02

1

2 424),(

p

p

p

m

p

pmPv

1

2

21

2 424),(

p

p

p

m

p

pmPv

21

24),(

p

m

p

pmPv

43

Luego, remplazando los datos:

Como se puede observar, comparando con lo hallado en a), se comprueba que

U(X) ≡ v(P, m).

c) Lema de Shephard

Primero se tiene que hallar las demandas compensadas para luego aplicar elLema de Shephard

Entonces:

10

900

2

)10(4),( mPv

110),( mPv

)'3(04

)'2(0

)'1(02

:...

25,0

1

22

5,011

1

xxUd

dL

pdx

dL

xpdx

dL

OPC

Uxxasujeto

xpxpMin

25,0

1

2211

4:

.

)4( 25,0

12211 xxUxpxpL

44

La demanda compensada del bien x1, se obtiene dividiendo (1’)/ (2’), y reduciendo:

Luego, remplazando (4’) en (3’), reduciendo y despejando, obtenemos la demandaHikssiana del bien x2:

Ahora, falta la función del gasto; entonces, remplazando las demandas Hickssianasen la restricción presupuestaria, y aplicando las equivalencias de la dualidad :

)'4(2

2

2

2

1

21

2

15,01

5,01

2

1

p

px

p

px

x

p

p

Uxp

p24 2

5,02

1

2

1

22 8

p

pUx

Uxp

p 2

1

28

1

22

2

1

21 p

p8Up

p

p2p)U,P(em

1

22

21

22

p

p8Up

p

p4)U,P(e

1

22

2

4),(

p

pUpUPe

45

Por último, recurriendo al Lema de Shephard:

Aplicando:

5. Un consumidor tiene la función de utilidad siguiente:

Si su renta monetaria es 2,520, y los precios de los bienes que consume son p1= 2y p2=4, demuestre:

a) Que las demandas de ambos bienes pueden ser calculadas a través de lasfunciones de Demanda Marshalliana o de las funciones de Demanda Hiksiana.

b) El Lema de Shephardc) Que la renta monetaria se puede obtener a través de la función de gasto.

Solución

a) Las funciones de demanda marshalliana se hallan a través del problema primal:

2

1

22

1

22

11

24

p

p

p

p

dp

deh

ii dp

UpdeUph

),(),(

1p

p8U

dp

deh 2

22

)4ln(ln),( 2121 xxxxU

mxpxpas

xxMax

2211

21

:.

)4ln(ln.

46

C.P.O.:

De (1) y (2):

Entonces, obtenemos las relaciones entre las variables

Luego, reemplazando(4) en la R.P, reduciendo y despejando, obtenemos lademanda marshallliana de x1:

Reemplazando los datos, se obtiene la demanda de x1 :

)()4ln(ln: 221121 xpxpmxx

)3(...0

)2(...04

1

)1(...01

2211

222

111

xpxpm

pxx

pxx

2

1

1

2 4

p

p

x

x

)5(...)4(

)4...(41

221

2

112 p

xpx

p

xpx

mp

xppxp

4

2

11211

1

21 2

4

p

pmx

mpxpxp 21111 4

)2(2

)4(4520.2x1

47

La función de demanda Marshalliana de x2 se obtiene, de manera similar,reemplazando (5) en la restricción:

La cantidad consumida de este bien será:

Luego, para hallar las funciones de demanda Hiksiana, formulamos el problema dual:

mxpp

xpp

22

1

221

)4(

2

22 2

4

p

pmx

mxppxp 22222 4

8

504.2

)4(2

)4(4520.2x 2

313x 2

Uxxas

xpxpMin

)4ln(ln:.

.

21

2211

)]4ln(ln[: 212211 xxUxpxp

634x

4

536,2x

1

1

48

C.P.O.:

De (1) y (2):

Entonces, obtenemos las relaciones entre las variables

Seguidamente, se remplaza(4) en la restricción, reduciendo y despejando, se obtienela demanda Hiksiana de x1:

)3(...0)4ln(ln

)2(...04

1

)1(...01

21

22

2

11

1

xxU

xpx

xpx

2

1

1

2 4

p

p

x

x

)5(...)4(

)4...(41

221

2

112 p

xpx

p

xpx

2

1

1

21

Uh e

p

px

44lnln

2

111 p

xpxU

21

2

1ln xp

pU

Uexp

p2

12

1

Uep

px

1

221

49

Recurriendo a los datos, hallamos que el consumo del bien x1, hallado con la funciónde demanda Marshalliana, coincide con el de la demanda Hicksiana3:

Del mismo modo, reemplazando (5), reduciendo y despejando, obtenemos la funciónde demanda Hiksiana de x2:

3 Previamente calculamos U = ln(634)+ ln(313 +4) = 6,452 + 5,7589 = 12,21095

4ln)4(

ln 21

22

x

p

xpU

)4)(4(ln 22

1

2 xxp

pU

2

21

2 )4(ln xp

pU

634

)956.401(

2

4

1

2

1

1

2

1

21095,121

h

h

h

x

x

ex

42

1

2

12

Uh e

p

px

2

1

U

2

12 e

p

p)4x(

22

1

2 )4( xp

peU

50

Remplazando, datos:

Por tanto, se demuestra que Xi (P,m) ≡ Xih(P,U)

b) La demostración del Lema de Shephard requiere conocer, previamente, la Funciónde gasto. Para hallar ésta, se deben reemplazar las funciones de demanda Hiksianaen la restricción presupuestaria, y reducir:

Lema de Shephard:

Se sabe que:

Entonces,

4),(

2

1

2

12

2

1

1

21

UU ep

ppe

p

ppmUPe

22

1

212

1

21 4),( peppeppUPe UU

44

2 2

1

21095,122

ex h

313

4)85,977.200(5,0

2

2

1

2

h

h

x

x

22

1

21 42),( peppUPe U

i

hi p

UPeUPX

),(

),(

2

1

1

21

2

1

12

1

21

1 )(2

2

p

epX

pepp

eX

Uh

Uh

22

1

21 42),( peppUPe U

51

c) Demostración de que U(x)≡v(P,m). Se sabe que U(x)= 12,21095. Entonces, se hallav(P,m), para lo cual se remplazan las funciones de demanda Marshalliana en lafunción de utilidad directa, y se reduce:

Finalmente:

Reemplazando los datos:

21

22

4

)4(ln),(

pp

pmmpv

)4)(2(4

)]4(4520.2[ln),(

2

mpv

)978.200(ln),(

32

296.431.6ln),(

mpv

mpv

....21095,12),( dqqlmpv

4

4)(2

2

2

1

2

12

2

1

22

1

12

2

p

epX

pepp

eX

Uh

Uh

4

2

4ln

2

4ln),();(

2

2

1

221 p

pm

p

pmmpvxxU

2

2

1

2

2

4ln

2

4ln),(

p

pm

p

pmmpv

52

6. Un nadador tiene una dieta basada en pescado y ensaladas en la proporción de ½ kg.de pescado por cada 2 kg. de ensaladas. Su utilidad sólo se incrementa cuandoconsume más de ambos alimentos en las proporciones indicadas. Con estainformación:

a) Formule la función de producciónb) Determine la senda de expansión

c) Si desea consumir 2 Kg. de pescado ¿cuánto tendrá que consumir deensaladas?¿Cuál será el nivel de utilidad que alcanza?. Grafique.

Solución

a) Para esta persona, el pescado y las ensaladas son bienes complementariosperfectos, por tanto la función de utilidad tendrá la forma:

U = Mín. (ax1, bx2)

Donde:

x1: pescado (Kg.)x2: ensalada (Kg.)a :

x1 U

½Kg ─ 11Kg ─? a = 2

b :

x2 U

2Kg ─ 1

1Kg ─? b = 1/2

→ U = Mín. (2x1, ½x2 )

b) La senda de expansión en el consumo viene a ser la trayectoria de la curvarenta consumo, la cual se obtiene de la relación:

12

1221

x4x

x2x

53

c) Si consume 2Kg de pescado, x1= 2, entonces, de acuerdo a sus preferencias,la ración de verduras (x2) que tendrá que consumir será:

x2= 4(2) = 8 Kg.

La utilidad que alcanza:

U = Mín. [2(2), ½(8)]

U = Mín. [4; 4]

O sea:

U = 4

Gráfico:

x2 = 4x1

x2Ensalada(Kg.)

0 ½ 1 2

Kg)

8

2

U = 4

U = 1

X1

Pescado(Kg.)

54

7. Alberto Fernández es un amante de los animales, tiene una predilección especial eigual por las gallinas y los zorros, de exhibición, de tal manera que su función deutilidad es la siguiente:

Tiene un galpón donde piensa criar las especies de su preferencia, dependiendo delos precios de mercado. Si Beto cuenta con un ingreso de S/.1600 y el precio de unagallina ornamental es de S/150, mientras que los zorros se venden a S/200 cadaejemplar, determine:

a) El equilibrio de Betob) Si el precio de las gallinas sube a S/225 ¿qué criará Beto?c) Si el precio de los zorros también se elevase a S/225 ¿cuál sería su decisión?

Solución

a) La función de utilidad de Beto denota el caso de bienes sustitutos perfectos que nopueden ser consumidos simultáneamente o no brindan la misma utilidad cuandose consumen juntos

La senda de expansión es:

La restricción presupuestaria:

Entonces,

)x;(. 21xMaxU

12 1xx

1800200150 21 xx

0;

p

m:equilibrioel

b

a

p

pcomo

12

1

55

Así

Es decir, obtendrá la máxima utilidad criando 12 gallinas y ningún zorro.

Gráfico4

4Esta función tiene curvas de indiferencia rectangulares similar a las de bienes complementariosperfectos, pero como se trata de bienes sustitutos perfectos, su trazo es exactamente opuesto.

x2 = 1x1 (senda de expansión)

0 3 6 9 12 Gallinas

12

9

6

3

U* = 12

U = 9

Zorros

A

0121

1

200

150;A:equilibrio

1800200150 21 xx

)x;(. 21xMaxU

56

b) Si sube el precio de las gallinas, la nueva restricción presupuestaria será:

En este caso

Entonces,

Gráfico

En este caso, se encontrará en equilibrio comprando 8 zorros y ninguna gallina

x2 = 1x1

0 3 6 8 9 12

12

9

6

3

U = 12

U* = 9

Zorros

Gallinasorros

B

1800200225 21 xx

22

1

p

m;0:equilibrio

b

a

p

p

901

1

200

225;B:equilibrio

1800200225 21 xx

57

8. Luis Valverde es un experto catador de Pisco Sour, pero su paladar sólo disfruta conla combinación exacta 3-2, es decir, 3 onzas de pisco con 2 onzas de limón. Luchitotiene un ingreso de S/. 1.200. Si el precio de la onza de pisco es de S/. 3,00, y el delimón, S/. 1,50; determine:

a) La función de utilidadb) El consumo óptimo de Juan. Grafiquec) El nivel de utilidad

Solución:

a) Las preferencias de consumo de Luis describen a dos bienes complementariosperfectos, así la función de utilidad es:

b) El consumo óptimo implica hallar las funciones de demanda

Si

Reemplazando x2 en la recta de balance, factorizando y despejando, se obtiene:

2,

3. 21 xx

MínU

21

1221

2

3

3

2

23

xx

yxxxx

mppx

mxpxp

211

1211

3

2

3

2

232

11 pp

mx

58

De modo similar, se obtiene x2:

Finalmente, se reemplazan los datos y se obtiene la canasta óptima (300, 200)

c) El nivel de utilidad óptimo se obtiene reemplazando las funciones de demandamarshalliana en la función de utilidad directa, reduciendo y seleccionando la querepresenta la demanda mínima.

21232 pp

mx

mppx

mxpxp

212

2221

2

3

2

3

3004

200.1

)5,1(3

200.1

321

x

2006

200.1

5,1)3(

200.1

232

x

2121

2123

232

1

2323

23

ppm

,pp

m.MínU

ppm

,pp

m

.MínU

59

Entonces, dado que los componentes son iguales, se toma cualquiera de ellas y sereemplazan los datos:

Gráfico

x2 = 2/3x1

x2

(Jugo Limón)

Onzas

0 100 150 200 300 400 x1

Pisco(Onzas)

800

200

100

U* = 100

U = 50

21 23 pp

mU

100

51233

2001

*U

),()(.

U

60

9. A Juan Rosado le gusta mucho el pan con pejerrey, sus caseros del Callao sabenque, como mínimo, él siempre prefiere dos pejerreyes por cada uno de los tantospanes con pejerrey que consume.

Determine:

a) Las demandas marshallianas de los bienes consumidos por Juanb) Las demandas compensadas de ambos bienesc) La función de utilidad indirectad) La función de gastoe) Las demandas marshallianas a través de la Proposición de Royf) Las demandas compensadas a través del Lema de Sheppard

Solución

a) Las preferencias de este consumidor muestran una relación decomplementariedad perfecta entre los bienes. Así, si x1 = pan y x2 = pejerrey, sufunción de utilidad, según el enunciado, será:

U = Mín. (x1, ½ x2)

Se sabe que:

U = x1y que: U = ½ x2

De estas igualdades se obtienen dos relaciones:

→ x1= ½ x2 … (α) y

x2= 2x1 … (β)

Para hallar la demanda marshalliana de x1, reemplazamos (β) en la restricciónpresupuestaria:

p1x1 + p2(2x1) = m

x1 (p1+ 2p2) = m

211 2p

m

px

61

Para obtener la otra demanda, se remplaza (α) en la restricción presupuestaria:

p1(½ x2 )+ p2x2 = m

p1x2 + 2p2x2 = 2m

x2 (p1+ 2p2) = 2m

b) Para obtener las demandas compensadas o Hikssianas planteamos el problemadual:

Luego, reemplazando (β) en la restricción:

Entonces, tomando el mínimo:

Similarmente, al remplazar (α) en la restricción:

Entonces:

½ x2 = Ū

212 2p

2m

px

UxxMínas

xpxpMin

),(.:.

.

221

1

2211

UxxMín )2,(. 11

UxxMín ),(. 2221

UUpx ),(1

UUpx 2),(2

62

c) La Función de utilidad indirecta se obtiene remplazando las demandas ordinariasen la Función de utilidad directa:

Luego, se toma el menor pero como ambos componentes son iguales:

d) La función de gasto se halla aplicando la dualidad, partiendo de la FUI, ydespejando. Así:

e) Aplicando la Proposición de Roy

Primero se hallan las derivadas requeridas:

2121 2p

2m)2

1(,2p

m.

ppMínU

21 2p

m),(

pmPv

)pp(U)U(p,e 1 22

22pp)U(P,e

U1

mm)v(P,

pm)v(P,

11

x

mm)v(P,

pm)v(P,

22

x

)pp(mv

)pp(

mp

v

)pp(

mp

v

21

2212

2211

2

1

2

2

2

63

Luego se remplazan en las fórmulas respectivas:

f) Aplicando Sheppard

21

21

221

1

2

2

12

ppm

)pp(

)pp(

m

)m,P(x

21

21

221

2

2

2

2

12

2

ppm

)pp(

)pp(

m

)m,P(x

11 p

)U,P(e)U,P(h

U)U,P(h 1

22 p

)U,P(e)U,P(h

U)U,P(h 22

64

10. Dada la siguiente función de utilidad:

a) Demuestre la Proposición de Royb) Demuestre el Lema de Sheppard

Solución:

a) Para demostrar Roy, primero se tiene que contar con la Función de utilidadindirecta, y ésta, a su vez, requiere de las demandas marshallianas.Partiendo de:

x11/2= x2

1/2

se establece que: x1= x2

Entonces, para obtener x1(p,m), se remplaza esta relación en la restricciónpresupuestaria, se factoriza y despeja:

p1 x1+ p2x1 = m

x1( p1+ p2) = m

De forma análoga, x2 resulta ser:

Remplazando en la función de utilidad directa:

2

1

21 ;. xxMínU

211 pp

mx

212 pp

mx

2

1

2121

;.

pp

m

pp

mMínU

65

Entonces:

Luego hay que hallar las demandas marshallianas a través de:

y

Para facilitar las derivaciones, hacemos que:

Luego se aplican las fórmulas respectivas y se reduce:

b) Demostración del Lema de Sheppard

Este Lema afirma que lafunción de demanda Hiksiana de un bien es igual a laderivada de la función gasto respecto al precio de dicho bien. Así:

2

1

21

),(

pp

mmPv

2121

23

21

21

21

21

212

1

23

212

1

1

)()2(2

1

)(2

1

),(pp

m

pp

m

ppm

ppmmPx

2121

23

21

21

21

21

212

1

23

212

1

2

)()2(2

1

)(2

1

),(pp

m

pp

m

ppm

ppmmPx

21

212

12

1

21

)(),(

ppmpp

mmPv

mm)v(P,

pm)v(P,

11

x

mm)v(P,

pm)v(P,

22

x

22

11

),(),(

),(),(

p

UPeUPh

p

UPeUPh

66

Entonces, dado que no se conocen las funciones de demanda Hikssiana, hay quehallarlas empleando la relación x2= x1;remplazándola en la función de utilidaddirecta:

Para x1:

Entonces,

Para x2:

Entonces,

Dado que xi ≡ hi estas funciones se pueden expresar como:

Luego, también hay que contar con la función de gasto. Entonces, a partir de laFUI:

Se recurre a v(P,m) ≡ U y m ≡ e(P,U), y se despeja:

UxxMín 2

1

11 ;.

Ux 2

1

1

21 Ux

UxxMín 2

1

22 ;.

Ux 2

1

2

22 Ux

2

1

21

),(

pp

mmPv

2

1

21

),(

pp

UPeU

)pp(U)U,P(e 21

2

21 U)U,P(h 2

2 U)U,P(h

67

Finalmente,

12.- Las preferencias de un consumidor se expresan mediante la función de utilidad:

U(x1, x2) = Mín. (3x1+x2, x1+2x2)

a) Halle las funciones de demanda marshalliana u ordinaria.b) Si el consumidor tiene un ingreso monetario de S/. 1.200, y los precios de los bienes

que consume son p1 = 2 y p2 = 3 ¿cuál es el nivel de utilidad que alcanzaría?. Grafiqueel equilibrio.

c) A partir del equilibrio de b), halle el nuevo equilibrio cuando el precio de x1 cae a p1’=

1. Grafique.

Solución

a) En este tipo de funciones se cumple que:

U = 3x1+x2 y U = x1+2x2,

Igualando, 3x1+x2= x1+2x2

Reduciendo, se obtienen las relaciones:

x1 = ½ x2 x2 = 2x1

Remplazando estas relaciones –una a la vez- en la restricción presupuestaria, se hallanlas funciones de demanda ordinaria:

→ p1(½ x2 ) + p2x2 = m → p1x1 + p2(2x1) = m

mp

x

)2

2p( 21

2mx )2p(p 211

212 2

2

pp

mx

211 2 pp

mx

2

2

21

2

2

2

1

21

2

1

Up

)pp(U)U,P(h

Up

)pp(U)U,P(h

68

b) Se hallan las cantidades demandadas de cada bien remplazando los datos en lasrespectivas funciones de demanda:

Luego, éstas se remplazan en la función de utilidad, obteniéndose:

U = Mín. (750, 750)

Entonces, U = 750

Gráfico. La representación gráfica de la función de utilidad se obtendrá de lasecuaciones del sistema:

La curva de indiferencia, formada por porciones de estas dos rectas, tiene un ánguloobtuso, y se intercepta con los ejes.

Las rectas se cruzan cuando se da la relación: x2 = 2x1.

X* (150, 300)

2x1+3x2 = 1.200

x2

0 150 250 500 600 750 X1

750

400

375

300

U = 600

300)3(22

)1200(2150

)3(22

120021

xx

750x2x

750xx3

21

21

69

c) Cuando p1 cae a 1, el instrumental analítico convencional para hallar el equilibrio muestrauna incongruencia, veamos porque:

Las demandas serían:

Luego, éstas se reemplazarían en la función de utilidad, obteniéndose:

U = Mín. [857.1; 857.1]

Entonces, U = 857

El sistema de ecuaciones que contendrá a esta U será:

Pero veamos que sucede en el gráfico:se observa que el supuesto equilibrio viola elprincipio de tangencia, pues la recta presupuestaria cruza el conjunto deconsumo interior. Entonces, el consumidor puede alcanzar un mayor nivel deutilidad. Así, la curva de indiferencia puede desplazarse hasta lograr la tangenciacon la recta de balance.Esto ocurrirá en el punto X*(1.200; 0), configurándoseuna solución esquina

X*(1.200; 0)

X (171; 343)

x1++3x2 = 1.200

0 171,4 285,6 400 857 1200

857

600

428,5400

342,9

U = 857

U * = 1200

x2

x1

9.342)3(21

)1200(24.171

)3(21

120021

xx

857x2x

857xx3

21

21

70

Concluiremos señalando que mientras la pendiente de la recta presupuestaria esté enel rango de las pendientes de las funciones lineales que conforman la curva deindiferencia, las demandas óptimas se obtienen mediante las funciones de demanda.En otro caso, tendremos soluciones esquina. Así:

),(32

1)

2

1 mpxusamosp

psia i

)0,(*02

1)

12

11

2

1

pmxxy

p

mx

p

psib

)0;200.1(*x2

1

3

1

p

p:casonuestroEn

)pm,0(*x0xy

p

mx3

p

psi)c

2

1

21

22

2

1

71

1.4. Efecto renta y efecto sustitución: Hicks, Slutsky

1. Un consumidor tiene la función de utilidad siguiente:

Tiene un ingreso monetario de S/.972.50 y los precios de los dos únicos bienes queconsume son p1= 1.25 y p2= 5. 00. Si el precio de X1 sube a 1.50, determine elefecto renta y el efecto sustitución de la variación total del consumo de este bien,según Hicks y Slutsky.

Solución

Primero hallamos las funciones de demanda para encontrar las combinaciones óptimasde consumo, a través del Primal:

C.P.O.:

De (1) y (2):

Entonces,

y

21121 2),( xxxxxU

mxpxpas

xxxMax

2211

211

:.

2.

2211211 (2: xpxpmxxx

)3(...0

)2(...02

)1(...021

2211

212

121

xpxpm

pxx

pxx

2

1

1

2

2

21

p

p

x

x

)6...(2

)21(

1

221 p

xpx

)5...(

2

1

2

112

p

xpx

72

Luego, remplazándolas relaciones (5) y (6) – una a la vez - en la R.P, obtenemos lasfunciones de demanda marshallliana:

Tomando los datos, se encuentra que las canastas óptimas inicial y final, seránrespectivamente:

XA (390, 97) y XC (325, 97)

Al subir el precio del bien X1, el consumidor reduce el consumo de este bien, en 65unidades. Ahora, ¿Cuánto se debe al efecto sustitución y cuánto al efecto renta?

ER y ES según Hicks

Hicks señala que para identificar el ES o efecto precio, hay que compensar alconsumidor por la pérdida de su ingreso real, otorgándole un ingreso mayor, de modoque le permita obtener, con la nueva relación de precios, su nivel de utilidad original(U0). Esto lo consigue en el punto B del gráfico siguiente:

HICKS: Efectos Renta y Sustitución

C

X2B

X1B

B

325 390

A

U0 = 76,05

=

m´

97

U1

X1

X2

2

22

1

21 2

5,0

2

5,0

p

pmx

p

pmx

73

La utilidad inicial:

U0 = (390) + 2(390)(97)

U0 = 76,05

Para hallar los componentes de la canasta XB(x1B; x2

B), primero se halla elingreso compensador m’. Como XB se encuentra en U0 y el equilibrio se da conla recta presupuestaria que contiene a m´, entonces, los componentes de XB

satisfacen la relación:

U0 = x1B + 2 x1

Bx2B

Si

Entonces:

Remplazando por los datos y efectuando operaciones:

Factorizando, reduciendo y ordenando:

2

21

1

21

1

20

2

5,0'

2

5,0'2

2

5,0'

p

pm

p

pm

p

pmU

10

5,2'm

3

5,2'm2

3

5,2'm05.76

10

)5,2'(21

3

5,2'050.76

mm

5

)5,2'(

3

5,2'050.76

mm

2

2B2

11

2B1

p2

p5,0'mx

yp2

p5,0'mx

74

m’2 + 5m´ - 1’140.774 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática:

m’ = 1065,56

Remplazando m’ en las demandas marshallianas:

x1B = 356 y

x2B = 106.3

Por tanto,

ES = 390 - 356 = -34

ER = 356 – 325 = -31

ET = 390 – 325 = -65

ER y ES según Slutsky

Para hallar la canasta XB(x1B; x2

B), según Slutsky, se debe mantener constante lacapacidad adquisitiva del consumidor, esto implica compensar al individuo con uningreso ms ,tal que le permita adquirir nuevamente la canasta XA , que elegía antesque variara p1 (Ver gráfico). Pero, así, el óptimo ya no sería en XA sino en XB y conun nivel de utilidad mayor, U2 .

050.76

15

5,2' 2

m

750.140'15,2' 2 m

75

SLUTSKY: Efectos Renta y Sustitución

Con la rentamS y la nueva relación de precios, la canasta inicial, A(390; 97) esasequible para el consumidor, entonces:

ms = p11x1

A + p20x2

A

ms = 1.5 (390) + 5(97)

ms = 1,070

Luego, remplazando ms en las funciones de demanda, obtenemos:

X1B = 357.5~ 358

X2B = 106.75~107

Por tanto,

ES = 390 – 358 = -32

ER = 358 – 325= -33

ET = 390 – 325= -65

C

X2B

X1B

Bs

325 390

A

U0 = 76,05

=

ms

97

U1

X1

X2

U2

76

2. La función de utilidad de un consumidor es la siguiente:

Su ingreso es de S/. 1500, los precios iniciales de los bienes que consume son p1= 5y p2= 10. Si el precio de X1 se reduce a p1

1= 3, se le pide halar las cantidadesdemandadas de cada bien a través de:

a) Las funciones de demanda Marshallianas u ordinarias. Grafiqueb) Las funciones de demanda Hiksianas o compensadas a lo Hicksc) Las funciones de demanda Slutskyanas o compensadas a lo Slutsky.

Solución

a) Funciones de demanda ordinarias

Se formula el primal:

C.P.O.:

De (1) y (2):

Entonces,

22/3

121 ),( xxxxU

mxpxpas

xxMax

2211

22/3

1

:.

.

221122/3

1 (: xpxpmxx

)3(...0

)2(...0

)1(...02

3

2211

22/3

12

122

1

11

xpxpm

pxx

pxxx

2

1

1

2

2

3

p

p

x

x

)6...(2

3

1

221 p

xpx )5...(

3

2

2

112 p

xpx

77

Luego, reemplazando (5) y (6) , en la R.P, obtenemos las demandas marshalllianas, así:

Al remplazar los datos, se obtienen las cantidades demandadas, inicialmente, de cadauno de los bienes:

Asimismo la utilidad máxima será:

Cuando se produce la reducción del precio del bien x1, las cantidades demandadasserán:

mp

xppxp

2

11211 3

2

mxp 35 11

11 5

3

p

mx

mxpp

xpp

22

1

221 2

3

mxp 25 22

22 5

2

p

mx

180)5(5

)1500(31 x

60)10(5

)1500(22 x

11

c1

p5

m3x

2,144897U

60180U

0

2/30

78

b) Las funciones de demanda compensada a lo Hicks

Se formula el dual:

C.P.O.:

De (1) y (2):

Entonces,

300)3(5

)1500(3x C

1

60p5

m2x

02

c2

Uxx:a.s

xpxp.Min

22/3

1

2211

)xxU(xpxp: 22/3

12211

)3(...0

)2(...0

)1(...02

31

22/3

1

2/312

2

22

1

11

xxU

xpx

xxpx

1

2

2

1

x

x

2

3

p

p

)6...(2

3

1

221 p

xpx

)5...(3

2

2

112 p

xpx

79

Luego, se reemplaza (5) en (3):

Asimismo, se remplaza (6) en (3):

Remplazando los datos:

Up3

xp2x

2

112/31

5

2

1

21 U

p2

p3x

Uxp2

xp32

2

3

1

22

5

22

3

2

12 U

p3

p2x

Up3

p2x

2

12/51

Uxp2

p32

5

2

2

3

1

2

5

2

1 )U()5(2

)10(3x

5

2

1 205,144897()5(2

)10(3x

180x1

80

c) Las funciones de demanda compensada a lo Slutsky

La compensación cuando se reduce el precio del bien, según Slutsky, implicareducir el gasto del consumidor –a los precios finales- hasta que la canastainicial (xA) sea accesible

Gráfico. Compensación según Slutsky

En el gráfico se observa que la canasta óptima final no será XA sino XB con unnivel de utilidad (U2) mayor a U0, asimismo, que ambas canastas seránaccesibles a la renta m1, por tanto se cumple que:

p11x1

A + p20x2

A = p11x1

B + p20 x2

B

U0

m0

m1m0

150

60

U2

XB

180 500

XA

300228

46

XC

P10>P1

1

U1

5

22

3

2 )205,144897()10(3

)5(2x

60x 2

X1

X2

81

Asì, el planteamiento para determinar las demandas compensadas a lo Slutskyimplica hallar la canasta XB , de tal modo que el problema a resolver será5:

C.P.O.:

De (1) y (2):

Entonces,

Luego, reemplazando (5) y (6) , en la restricción, obtenemos las funciones dedemanda compensada a lo Slutsky:

5Con fines de facilidad algebraica suprimimos el superíndice B, es decir, hacemos que X(x1; x2) ≡X

B(x1B; x2

B )

22/3

1 xx.Max

)xpxpxpxp(xx: 20

211

1A

20

2A

11

122/3

1

)3(...0

)2(...0

)1(...02

3

20

211

120

211

1

02

2/31

2

1122

1

11

xpxpxpxp

pxx

pxxx

BAA

02

11

1

2

p

p

x

x

2

3

)6...(p2

xp3x

11

20

21

)5...(p3

xp2x

02

11

12

20

211

1A

20

2A

11

1 xpxpxpxp:a.s

02

1110

211

1A

20

2A

11

1p3

xp2pxpxpxp

3

xp5xpxp 1

11A

20

2A

11

1

82

Al remplazar los datos en las demandas compensadas a lo Slutsky, se obtendránlas cantidades demandadas de la canasta XB, así:

)3(5

)60)(10(3

5

)180(3x1

5

)60(2

)10(5

)180)(3(2x 2

11

A2

02

A1

1p5

xp3

5

x3x

20

211

2021

1A

20

2A

11

1 xpp2

xp3pxpxp

2

xp5xpxp 2

02A

20

2A

11

1

5

x2

p5

xp2x

A2

02

A1

11

2

6,45x

246,21x

2

2

228x

120108x

1

1

83

3. Pedro pescador es un amante del pescado pero sólo consume pejerrey y bonito. Suspreferencias son invariables y siempre esta dispuesto a intercambiar 3 Kg. depejerrey por un Kg. de bonito sin que se altere su utilidad. Su presupuesto paracomprar estos bienes es S/ 200, el pejerrey le cuesta S/ 2/Kg. y el bonito, S/ 8/Kg.

Bajo estas consideraciones se le pide que:

a) Plantee la función de utilidad de Pedrob) Encuentre la canasta de consumo que le reporta la máxima utilidad. grafiquec) Si el precio del pejerrey sube a S/ 4/Kg., su consumo disminuye ¿cuánto es

debido al efecto sustitución y cuánto al efecto renta?. Analice según Hicks ySlutsky.

Solución

a) Para Pedro los bienes que consume son sustitutos perfectos, por tanto su funciónde utilidad responde a la expresión siguiente:

Donde:

x1 : pejerrey (Kg.)x2 : bonito (Kg.)

Puesto que el consumidor esta dispuesto a sustituir1 Kg de bonito (x2) por 3 Kgde pejerrey (x1), entonces:

Así, la función será:

y sus transformaciones monótonas crecientes6

6Por ejemplo:

.etc

x9x3U

x3

xU

21

21

2121 bxax)x,x(U

21 x3x

2121 x3x)x,x(U

84

b) En este caso, dado que la función de utilidad es una recta, se tendrá una soluciónesquina, y su determinación dependerá de las pendientes de la función deutilidad y de la recta presupuestaria.

Comparando pendientes:

Pendiente U(X): Pendiente R.P.:

1/3 > 1/4

La pendiente de la función de utilidad es mayor que la de la restricciónpresupuestaria. Entonces, el gráfico siguiente nos ayudará a fijar el óptimo:

Gráfico. Equilibrio de bienes sustitutos perfectos

Así, su consumo óptimo será de 100 Kg de pejerrey y nada de bonito (punto A).Por tanto, su utilidad será:

U0 = 100 +3(0)

100

25

Pejerrey(Kg)

U’’

U’

A(100, 0)

Bonito

(Kg.)U0= 100

75

21 3xxU 21 82200 xx

85

U0 = 100

c) Para el cálculo de el Efecto sustitución (ES) y el Efecto renta (ER), cuando elprecio del pejerrey sube a S/ 4/Kg., primero hallamos el nuevo equilibrio.

En el gráfico adjunto, se observa que el nuevo equilibrio se dará en el punto C –donde Pedro consume 25 Kg de bonito y nada de pejerrey- este cambio radicalen su consumo se da porque, en esta nueva situación, la pendiente de larestricción presupuestaria es mayor que la pendiente de la función de utilidad(1/2 > 1/3).

Por tanto, para Pedro, el Efecto Total (ET) del incremento del precio del pejerreyserá el descenso de su consumo en 100kg.

ES y ER según Hicks

Para este caso el análisis en el gráfico inferior es suficiente. Partiendo de lasituación final,C(0; 25), hay que compensar el consumidor con un ingreso que lepermita recuperar el nivel de utilidad inicial U0; entonces, trasladando la recta debalance azul hacia la derecha se alcanza a U0 – por tanto el equilibrio- en el puntoB(0; 33,3).

100

25

Pejerrey(Kg)

U1=75

C(0,25)

A(100, 0)

Bonito

(Kg.)

U0

7550

ET

)tan( ACciadisla

86

Así, el ES, variación de la demanda de A a B, es de 100 Kg.; mientras que el ER,variación de la demanda de B a C, es igual a cero

Por tanto,ET = ES + ER

La compensación de Hicks le permitirá al consumidor alcanzar el nivel deutilidad U0 = 100

ES y ER según Slutsky

La compensación de Slutsky, cuando el precio del pejerrey sube y su equilibriopasa de la canasta A a la C, consiste en restituir la capacidad adquisitiva alconsumidor, otorgándole un ingreso que le permita comprar otra vez la canastainicial A.

B(0; 33,3)33,3

25

Pejerrey(Kg)

U1

C(0; 25)

A(100; 0)

Bonito

(Kg.)

U0

75 10050

ET

ES

BCABAC

0100100

87

Aplicando el procedimiento compensador de Slutsky, en el grafico se observaque la recta que representa este mayor ingreso, que hace asequible a A, no estáoptimizando con U0, pues el consumidor puede alcanzar una “curva” deindiferencia más alta, en este caso U2, logrando el equilibrio esquina con lacanasta óptima B(0; 50).


En este caso los ES y ER son iguales a los hallados para Hicks, pero con ladiferencia de que el efecto de la compensación de Slutsky le significará alconsumidor alcanzar un nivel de utilidad mayor, pues su utilidad será U2 =150

50B(0; 50)

33,3

25

Pejerrey(Kg)

U1

C(0,25)

A(100, 0)

Bonito

(Kg.)

U0

75 10050

ET

ES

U2 = 150

BCABAC

0100100

88

1.6.Variación Compensada y variación Equivalente

1. Cierta persona tiene un ingreso monetario de S/ 1.500, que los destina al consumo deagua y hortalizas. La satisfacción que obtiene del consumo de estos bienes, seexpresa a través de la función:

El agua le cuesta S/ 1,50 el m3, mientras que las hortalizas le significan undesembolso de S/ 12 por kilo. Si por justificaciones de rentabilidad SEDAPALdecide incrementar el m3 de agua a S/ 2,00; determine:

a) Si los bienes son normales o inferiores.b) ¿Cual debería ser el subsidio que tendría que otorgarle el gobierno a fin de que el

consumidor no vea modificado su bienestar?.c) Si el gobierno, por razones políticas, decide no incrementar el precio del agua

¿cuál debería ser el impuesto que tendría que aplicar el gobierno si quiere tenerun resultado equivalente en términos de bienestar?

Solución

a) Para determinar si los bienes son normales o inferiores se debe hallar el efectorenta. Por tanto se empieza hallando las funciones de demanda marshalliana através del primal:

C.P.O.:

222121 30),( xxxxxU

mxpxpas

xxxMax

2211

2221

:.

30.

)xpxpm(xx30x: 22112

221

)3(...0

)2(...0230

)1(...01

2211

222

11

xpxpm

pxx

px

89

De (1) y (2):

Entonces, se despeja x2, y en vista de que x1 no aparece en la relación, se concluyeque ésta es la demanda marshalliana:

Luego, remplazando x2 en la R.P, y despejando, obtenemos la demandamarshallliana de x1:

Reemplazando los datos en las funciones de demanda halladas, se encuentra que lascanastas óptimas inicial y final son, respectivamente:

A (912; 11), C (678; 12)

Para el cálculo del efecto renta (y el efecto sustitución) se recurre al análisis de Hickso Slutsky

Al subir el precio del agua, el consumidor merma su bienestar, ahora la U0 inicialcompatible con la canasta A le es inaccesible, tiene que conformarse con un menornivel de utilidad, U1, concordante con C. Según Hicks, para identificar el ER y el ES,

2

1

2 p

p

x230

1

1

22 2

15p

px

mp

ppxp

1

2211 2

15

2

1

2

1

2

11 2

115

p

p

p

p

p

mx

mp

ppxp

1

22

211 215

90

hay que compensar al consumidor con un ingreso que le permita recuperar U0 (vergrafico adjunto).

HICKS: Efectos Renta y Sustitución

Las cantidades consumidas en la canasta B son desconocidas pero se conoceque responden a las funciones de demanda, así:

Reemplazando los datos, se tiene que:

12

1000X 1

Agua (m3)

m´

m

A11

B

678 750

C

U0 = 1.121

X2

(Kg.)

U1

912905

11

2B2

2

11

21

1

2B1

p2

p15x

p

p

2

1

p

p15'mx

122

144'21

BB x

mx

91

Asimismo, se sabe que la canasta B se encuentra en U0, entonces, remplazandosus componentes se determina el valor de m’ (previamente se halla U0,remplazando los elementos conocidos de la canasta A):

Entonces, tomando los componentes de la canasta B:

Luego,

Asi,

ET = 678-912 = -234ES = 905-912 = -7

ER = 678-905 = -227

Por tanto, se constata que el consumo de agua (bien x1) disminuye cuando elingreso disminuye de m’ a m, tipificando el caso de un bien normal. Por otrolado, se observa que el consumo de hortalizas (bien x2) se mantiene constante aldisminuir el ingreso, es decir, se mantiene neutro con respecto al ingreso.

b) En este caso se tiene que hallar la variación compensada (VC), que es el ingresoadicional que permite al consumidor alcanzar- tras la variación del precio de uno delos bienes- nuevamente U0. La VC está representada en el grafico inferior por lafranja de color verde.

121.1U

111130912U

0

20

121.11212302

144' 2

m

954.1' m

9052

144954.11

Bx

92

La Variación compensada

La VC se puede hallar a través de la FUI o de la Función de gasto:

Empleando la Función de utilidad indirecta: v(P, m)

Al remplazar las demandas marshallianas en la función de utilidaddirecta y reducir, hallamos que:

En el gráfico, se observa que la renta m’ esta asociada a la canasta B.Asimismo, el vector de precios relacionado a B es P1, y B se encuentraen U0, entonces en base a la dualidad se valida que U0≡v(P1, m’),entonces, la FUI para nuestro propósito es:

12

X 1

Agua(m3)

m’

m0

A11

BC

U0 = 1.121

X2

(Kg.)

U1

912905

VC = m’-m0

22525,015'

)',(

2

11

21

1

201

p

p

p

pmUmPv

22525,015

),(2

1

2

1

2

p

p

p

pmmPv

93

Al remplazar equivalencias (m’= m0+VC) y datos, la expresión se reducea mostrarnos el valor de la VC:

Empleando la Función del gasto: e(P; U)

La función de gasto general responde a la expresión:

La variación compensada se define como:

Recurriendo a la dualidad:

Remplazando por las fórmulas respectivas, los datos y despejando:

Por lo tanto, el subsidio necesario será de S/ 454

211

22

1 1522525,0),( ppp

pUpUPe

mmVC '

)U,P(e)U,P(eVC 0001

)p(15)p(225

p

)p(25,0Up)p(15)p(225

p

)p(25,0UpVC 2

010

1

2200

121

111

2201

1

1805,337245,681.1180450182242VC

500.11954VC

454VC

2252

1225,0

2

)12(1520

0

VCmU

2342

1801500121.1

VC

454VC

94

c) Para lograr el mismo efecto de un incremento del precio del agua, es decir,reducir la utilidad del consumidor al nivel U1 sin que varíen los preciosiniciales, tenemos que aplicar un impuesto. Su cálculo implica hallar laVariación Equivalente (VE)

La Variación Equivalente

Análogamente a la VC, la VE se puede hallar a través de la Función de utilidadindirecta o de la Función del gasto, así:

La VE a través de v(P,m)

Se sabe que: VE = m0 -m’

Entonces, m’ = m0 -VE

En el gráfico, en la canasta D se cumple que:

12

X 1

Agua (m3)

m0

A11

C

U0 = 1.121

X2

(Kg.)

U1

912

VE = m0-m’

DC

m’ m0

U1 = 678+30(12) -122

= 894

21

225p

p25,0

p

p15'mU)'m,P(v

2

1

2

1

210

95

Remplazando los valores y equivalencias conocidos, y despejando:

VE a través de e(P,U)

Hallar la VE empleando la función de gasto implica el proceso siguiente:

Como, VE = m0 - m’

Por dualidad:

Remplazando las Funciones de gasto respectivas, los datos, y reduciendo:

Así el impuesto que tendría que aplicar el gobierno si no varía el precio del agua- ylograr el objetivo propuesto- es del orden de S/ 340,5.

2255,1

1225,0

5,1

)12(15)(20

1

VEmU

225165,1

180)500.1(894

VE

6535,1

)320.1(

VE

5,340VE

)U,P(e)U,P(eVE 1000

)p(15)p(225

p

)p(25,0Up)p(15)p(225

p

)p(25,0UpVE 0

20

101

20210

10

20

101

2200

1

1805,33724341.11805,337245,681.1VE

5,159.1500.1VE

5,340VE

96

2. A cierta persona le gusta sobremanera los jugos de lúcuma pero cada vaso de jugotiene que ser preparado con la combinación única de dos lúcumas con ½ litro deleche. Cuenta con una renta de S/ 120 y los precios de los bienes que consume sonS/1.25 cada lúcuma y S/. 3.00 el litro de leche. Posteriormente, el precio del litro deleche se reduce a S/ 2.50. Con esta información se pide:

a) Formular la función de utilidad de esta personab) Determinar la máxima utilidad que obtiene bajo las condiciones iniciales.

Grafique.c) Indicar si existen diferencias entre los puntos de vista de Hicks y Slutsky

respecto a los efectos renta y sustitución cuando varía el precio de la leche.d) Para el Estado, cuando el precio de un bien se reduce, la “compensación” –

según Hicks o Slutsky- implica reducir los ingresos a través de un impuesto,señale cuál de las dos le es más conveniente.

e) Hallar la variación compensada empleando v(P,m) y e(P,U). Grafiquef) Hallar la variación equivalente empleando v(P,m) y e(P,U). Grafique.

Solución

a) La función de utilidad implica el consumo de los bienes en proporciones fijas,cualquier cantidad adicional de uno u otro bien será redundante. La expresiónmatemática será:

El parámetro “a” corresponde a la utilidad que logra el consumidor con unalúcuma, en este caso, la mitad; del mismo modo, el parámetro “b” se obtendrá dela relación entre una unidad de consumo de x2 y las unidades de utilidadobtenidas, así, si ½ litro de leche equivale a 1 unidad de utilidad (1 vaso),entonces, 1 litro de leche equivale a 2 unidades de utilidad. Por tanto la funciónde utilidad será:

b) Para determinar la máxima utilidad del consumidor, antes se deben conocer lascantidades óptimas de consumo, entonces:

Se sabe que:

2121 2;

2

1.),( xxMínxxU

2121 ;.),( bxaxMínxxU

97

Remplazando estas equivalencias en la restricción presupuestaria, obtenemos lasfunciones de demanda ordinarias:

Empleando los datos encontramos la canasta óptima del consumidor:

Luego, la utilidad que obtendrá será:

44

22

1

1221

21

xxxx

xx

m4

xpxp 1

211

m4xpxp4 1211

m4pp4x 211

211 pp4

m4x

212 pp4

mx

mxpx4p 2221

mpp4x 212

608

480

0.3)25.1(4

)120(4x 1

158

120

0.3)25.1(4

120x 2

98

Reemplazando datos,

Gràfico. Equilibrio consumidor: bienes complementarios perfectos

c) Las diferencias entre Hicks y Slutsky con respecto a los efectos renta (ER) ysustitución (ES) en la demanda cuando el precio del litro de leche baja a S/2.50, se analizaran en términos gráficos

A15

40

Lúcuma(Kg)

Leche

(Lt.)

U0 = 30

60 96

21

0

4

2

pp

mU

30U 0

)pp4

m(2);

pp4

m4(

2

1.MínU

2121

0

2121

0

pp4

m2;

pp4

m2.MínU

)3()25,1(4

)120(2U 0

8

240U0

99

ER y ES según Hicks

Al caer el precio de la leche, el consumidor optimiza en C(64; 16), elevando sunivel de utilidad a U1 = 32. Así, la variación total en el consumo de leche será elincremento en 1 litro. Para determinar cuánto es debido al ER ycuànto al ES,según Hicks, se debe reducir la restricción presupuestaria que contiene losprecios finales, hasta que el consumidor recupere el nivel de utilidad U0, esto lologra cuando se da la tangencia en el punto B (que coincide exactamente con lacanasta inicial A).

Gràfico. ER y ES según Hicks


Según Hicks, la reducción del precio de la leche en S/. 0,50 , hará que elconsumidor demande 1 litro menos de leche, esta reducción del consumo se debeúnicamente al ER, pues el ES es cero.

9660 64

A= B

48

40

C

1615

Lúcuma(Kg)

Leche

(Lt.)

U0 = 30

U1 = 32

BCABAC

101

100

ES y ER según Slutsky

Para hallar el ES y el ER, Slutsky nos dice que hay que compensar al consumidormanteniendo su ingreso real constante, así, hay que reducir su ingreso hasta que suconsumo retroceda y le permita, otra vez, consumir la canasta inicial A. Como seobserva en el gráfico inferior esto se logra trasladando la recta de balance azul haciael origen hasta que se da la tangencia en el punto B (=A).

Gràfico. ER y ES según Slutsky

Entonces,ET = ES + ER

En este caso, se observa que los ER y ES de Slutsky coinciden exactamente conlos de Hicks.

48

40

C

A= B

1615

Lúcuma(Kg)

Leche

(Lt.)

U0 = 30

96

U1 = 32

60 64

BCABAC

101

101

d) Para determinar cuál de las imposiciones –según Hicks o Slutsky- es másconveniente para el Estado se deben hallar las nuevas rentas.

Según Hicks, al reducir la renta hasta m’, se alcanza U0 y se compra la canastaB, entonces:

Reemplazando los datos y despejando:

Entonces, el impuesto (t) según Hicks es:

En el caso de Slutsky:


Así, el impuesto, según Slutsky:

'mmt 0

12

01

0

pp4

'm2U

5,2)25,1(4

'm230

5,112'm

5,112120t

5,7t

A2

12

A1

01 xpxp''m

)15(5,2)60(25,1''m

5,112''m

5,112120t

5,7t

''mmt 0

102

Por tanto, los enfoques de Hicks y de Slutsky tienen el mismo efecto tributariopara el Estado.

e) En este caso, según el gráfico inferior, la Variación compensada responde a lasiguiente relación:

VC = m0 - m1

Entonces,

m1 = m0 - VC

Gràfico. VC de bienes complementarios perfectos

VC a través de la FUI

La FUI del consumidor en B:

48

40

A= B

1615

Lúcuma(Kg)

Leche

(Lt.)

U0 = 30

96

U1 = 32

60 64

m0

m1 m0

12

01 pp4

'm2)'m,'P(v

103

Aplicando las equivalencias y reemplazando los datos:

VC a través de la Función de gasto

En general, la función de gasto:

En el punto B:

Reemplazando datos:

La renta inicial m0 está relacionada con las funciones de gasto:

5,2)25,1(4

)VCm(2U)'m,'P(v

00

5,7

)VC120(230

5,112120VC

5,7VC

2

)pp4(U)U,P(e 21

11

20

10

0 m2

)pp4(U)U,'P(e

00

20

10

00 m2

)pp4(U)U,P(e

01

20

11

11 m2

)pp4(U)U,P(e

5,112'm

2

5,730'm

2

5,2)25,1(430'm

104

Reemplazando datos:

Entonces,

f) En este caso la VE vendría a ser la renta adicional que habría que darle alconsumidor para que alcance el nivel de utilidad U1, si es que los precios inicialesno variasen. Su cálculo implica desplazar la recta presupuestaria inicial hasta quesea tangente a U1.

En el gráfico inferior se aprecia que la VE viene a ser un subsidio, y estárepresentada por la franja amarilla.

5,75,112120

),(),( 0111

UpeUpeVC

5,75,112120

),(),( 0100

UpeUpeVCó

000 m2

3)25,1(430)U,P(e

000 m2

830)U,P(e

120m 0

011 m2

5,2)25,1(432)U,P(e

0110 m2

5,732)U,P(e

120m 0

105

Grafico. VE de bienes perfectamente complementarios

Así,VE = m1 - m0 m1= m0 + VE

VE a través de la FUI

En D, la FUI es:

Reemplazando valores y despejando:

C= D

48

40

A

1615

Lúcuma(Kg)

Leche

(Lt.)

U0 = 30

96

U1 = 32

60 64

m0

m1

m0

1202

256VE

328

)(2 0

VEm

8VE

1

02

01

0

4

'2)',( U

pp

mmPv

106

VE a través de e(P,U)

Como se ha visto:

VE = m1 - m0

),(),( 0010 UPeUPe

2

)4(

2

)4( 02

01

002

01

1 ppUppU

2

)8)(30(

2

)8)(32(

8VE

120128

107

1.6. Elasticidad

1. La curva de demanda de un bien tiene elasticidad constante e igual a -2(isoelástica). Al precio de S/. 8 se demandan 750 unidades. Con esta informaciónse pide:

a) Formular la función de demandab) Demuestre la isoelasticidad cuando el precio es S/. 5c) Determine el equilibrio de mercado si la oferta es p = 0,01Xd) Si otro bien (Y) que tiene una elasticidad cruzada con nuestro bien (X) igual a

0,9, sube de precio en 15% ¿cómo varia el equilibrio del mercado?

Solución:

a) La función de demanda de este tipo de bienes responde a la forma:

La elasticidad de esta función de demanda es:

Entonces,

Reduciendo:

Luego, hallamos el parámetro k reemplazando (p, X) ≡ (8, 750) en la función dedemanda:

p

kXd

pk

p

p

k

X

p

p

X1d

d

p

2

pk

p

p

k1

2k

p

p

k 1

1

2

108

Entonces,

b) Si p =5 , entonces

c) Equilibrio de mercado

Equilibrio:

2)8(

k750

000.48k

64750k

2d

p

000.48X

2d

)5(

000.48X

920.1Xd

23p

)5(000.48

5

)5(

000.482

2p

01,0

pX

p

000.48X o

2d

01,0

p

p

000.482

480p3

109

d) Si Єx,y = 0,9 se trata de bienes sustitutos

De la fórmula de єx,y:

La nueva función de demanda:

El nuevo equilibrio:

5,13

%159,0

P%.X% YY,X

783X83,7p

)135,1(p

000.48X

2

'd

2

'd

p

480.54X

01,0

p

p

480.542

8,544p3

8,544p3

8177,816

17,8

X

p

110

2. Los productores de maíz están proyectando la demanda de su producto, paraestimar las siembras de los próximos 4 años. Se tienen los siguientes datos de lasvariables más importantes que afectan la demanda:

Años Precio (US$/TM) Ingresos Promedio (US$)Año 0 90 850Año 1 105 850Año 2 100 1020Año 3 90 918Año 4 95 1092

Si las elasticidades precio e ingreso son –0.8 y 1.2, respectivamente; y lademanda actual (Año 0) es de 117,500 TM., determine:

a) Los niveles de producción futura.b) El maíz importado que compite con el nacional (aunque este último es más

apreciado) mantiene constante su precio,de $85/TM , hasta el año 3. El año 4sube a $93.5/TM. Si la elasticidad cruzada es de 0.8, cómo se verá afectada lademanda?.

Solución:

a) La producción futura

Las fórmulas de las elasticidades precio (єp) e ingreso (єp) son:

Año 1:

De la fórmula de Ep:

P

Xp %

%

m

Xm %

%

3,13

67,168,0

%.% 11

PX p

111

De la fórmula de Em:

Año 2:

De la fórmula de Ep

De la fórmula de Em

Año 3:



Año 4:



%8,3

%76,48,0

%.% 22

PX p

%24

%202,1

%.% 22

mX m

%12

%102,1

%.% 33

mX m

%8

%108,0

%.% 33

pX p

%44,4

%56,58,0

%.% 44

pX p

%74,22

%95,182,1

%.% 44

mX m

0

02,1

%.% 11

mX m

112

Entonces, la demanda proyectada:

b) La elasticidad cruzada de la demanda del maíz nacional (Xn) respecto del precio delmaíz importado (Pi) se formula como:

Si la información proporcionada nos dice que:

єn,i = 0.8

%Pi= 10%

Remplazando estos datos en (α):

% Xn= 0.8 *10

= 8%

Entonces, el año 4 la demanda nacional aumentaría, adicionalmente, 8%.

Años ∆ % Xdebido a єp

∆ % Xdebido a єm

∆%XTOTAL

DemandaProyectada

01234

-13,33,88,0

-4,44

024-12

22,74

-13,327,8-4,018,3

117.500101.837130.147124.941147.468

)(%.%

%

%

,

,

iinn

i

n

in

PX

P

X

113

3. El jefe de cocina de un restaurante se abastece periódicamente de tres insumos. Elrestaurante tiene el siguiente registro de las compras:

insumo 1 insumo 2 insumo 3 .PrecioCantidad PrecioCantidad PrecioCantidad

Antes 10 1200 2 90 24 3,800Después 8 1500 2 105 24 3,100 .

En base al concepto de elasticidad cruzada ayúdelo a identificar a que biencorresponde cada uno de los datos presentados, si sabe que los bienes comprados sonfósforos, gas y kerosene.

Solución:

Como el insumo 1 es el que varía de precio, se debe analizar la elasticidad cruzada deeste insumo con respecto a la demanda de los otros insumos para saber si sonsustitutos o complementarios.

Se sabe que la fórmula de la elasticidad cruzada es:

Así, la elasticidad cruzada entre los insumos 2 y 1:

Entonces, de acuerdo al signo, los bienes son complementarios

Asimismo, la elasticidad cruzada entre los insumos 3 y 1:

jj

iij,i P/P

X/X

83,010/2

90/15

P/P

X/X

11

221,2

11

331,3 /

/

PP

XX

114

En este caso, los bienes son sustitutos

En conclusión, según los resultados, el insumo 2 es complementario del insumo 1, yel insumo 3 es su sustituto; por tanto, de acuerdo a la naturaleza de los insumos, elinsumo 1 sería kerosene, el insumo 2, fósforos, y el 3, gas.

4.7El año pasado, la producción nacional de leche fue de 200.320 TM .mientras que elconsumo 237,421 TM.

Para el presente año, el gobierno tiene previsto incrementar el ingreso real de lapoblación en un 10%. Se sabe que cada año el consumo se incrementa 2%, y que laelasticidad ingreso de la leche es de 0,75. Además se conoce que fruto de losavances genéticos por inseminación artificial, la producción aumentará 15%. Basadoen esta información, determine si:

a) ¿Será suficientemente abastecido el mercado nacional por la produccióninterna?.

b) ¿Se reducirán o incrementaran las importaciones?.¿en cuánto?

Solución

a) Variación de la demanda nacional

Para calcular la variación de la demanda de leche debido al incremento delingreso, se recurre al concepto de elasticidad ingreso de la leche:

Donde:

7 UNA-La Molina. Curso Análisis Microeconómico. A. Ortíz

m%

X% LL,m

921,010/2

3800/700

115

Єm,L = elasticidad ingreso de la lecheΔ%XL = variación porcentual de la demanda de lecheΔ%m= variación porcentual del ingreso

Entonces:

Reemplazando datos:

La demanda nacional, por efecto del aumento del ingreso, aumentará 7,5%, a loque habría que agregarle el 2% de incremento natural anual, en consecuencia,en total, la demanda aumentará 9,5%.

O sea, la demanda nacional será: 259.976 TM. (237.421*1,095)

Por otro lado, la producción interna será: 230,368 TM. (200.320*1,15).

Entonces, la producción nacional será insuficiente.

b) El año pasado se importaron 37.101 TM (237.421 - 200.320)

Este año se tendrá que importar 29.608 TM. (259.976-230.368)

Por lo tanto, las importaciones se reducirán en 7.493 TM, esto es, el 20,2% de loimportado el año pasado.

5. Un consumidor destina todo su ingreso, en partes iguales, al consumo de dos bienes:X1 y X2. Si la elasticidad cruzada de los bienes es Є2,1 = 1, determine ¿cuál es laelasticidad precio del bien X1?.

Solución:

En la restricción presupuestaria:

m = p1X1 + p2 X2

m%X% L,mL

%5,7

1075,0X% L

116

Determinamos, matemáticamente, el efecto de un cambio en el precio de X1:

Si en el 2° miembro, realizamos un artificio que no alterará la expresión:

Asociando términos, en la expresión identificamos Єp,1 y Є2,1:

Luego, reemplazando,

Se obtiene:

Despejando Єp,1:

Finalmente, como el gasto en ambos bienes son iguales

1

22

1

111

1 p

Xp

p

XpX

p

m

1

2

2

1

1

22

1

1

1

111

1 p

X

X

p

p

Xp

X

X

p

XpX

p

m

1

2

2

1

1

22

1

1

1

111

1 p

X

X

p

p

Xp

X

p

p

XXX

p

m

1

221,11 10

p

XpXX p

11

221,p Xp

Xp1

111,p

21,p

,10 1,1

pyp

m

117

6. Si la demanda de cierta bebida espirituosa responde a la función:

Ln X = 10 - P0.5

Determine la elasticidad precio de la demanda cuando el precio baja de S/. 16.00 aS/. 15.21

Solución

Demanda cuando P = 16 :

Ln X = 10 – (16)0.5

Ln X = 10 –4

Ln X = 6

X = e6

X = 403.43

Demanda cuando P = 15.21 :

Ln X = 10 – (15.21)0.5

Ln X = 10 – 3. 9

Ln X = 6.1

X = e6.1

X = 445.86

Entonces

X

p

p

Xp

43,403

16

21,1516

43,40386,445p

)03966,0(79,0

43,42p

13,2p

118

7. El mercado del bien Y tiene las funciones de demanda y oferta siguientes:

a) Halle el equilibrio del mercado. Grafique.b) Encuentre la elasticidad precio de la demanda en el punto de equilibrio.c) Calcule el excedente del consumidor. Grafique

Solución:

a) Equilibrio del mercado:

Punto de equilibrio:

Gráfico. Equilibrio del mercado

P

5,0d Y14p

2Ypo

2YY14 5,0

od pp

22YY14

010Y3Y 2

2'Yy5Y

5Y

3p

024 5 68101214

4

3

2

1

0

119

b) La elasticidad precio de la demanda en el punto de equilibrio

Hallando

Entonces,

Remplazando:

c) Excedente del consumidor

Como

Entonces:

Luego, el EC:

3pd

3Y14 5,0

9Y14

5Y

Y

P

P

Yp

P

Y

)1()514(5,0 5,0

Y

P

3

5,0

Y

P

5

36p

6,3p

)1()14(5,0 5,0

YY

P

65,0

3

P

Y

120

Cambiando de variable:

Derivando ambos términos:

Remplazando (β) y (γ) en (α):

Integrando:

Reemplazando (β) en (φ)y efectuando:

)5)(3(YpdEC5

0

)(...15YdY14EC5

0

)(...Y14U

)(...dYdU

15)dU(UEC5

0

15)dU(UEC5

0

)(...155,1

UEC

5

0

5,1

155,1

)Y14(EC

5

0

5,1

155,1

4,52

5,1

27EC

1593,3418EC

1593,16EC

93,1EC

121

Gráfico. Excedente del consumidor

P

Y024 5 68101214

4

3

2

1

0

0

122

1.7. Elasticidad y propiedades de la función de demanda

1. Dada la siguiente función de utilidad de un consumidor:

U(x1,x2) = Ln x1+ 2x2

Verifique el cumplimiento de las condiciones de las funciones de demanda

a) Agregación de Engelb) Agregación de Cournotc) Homogeneidad

Solución:

Las funciones de demanda del consumidor son:

(1) (2)a) Condición de Agregación de Engel

w1εm1 + w2εm2 = 1 (3)

Reemplazando para demostrar (3):

→

→(4)

De (2) obtenemos:

(5)

1

2

21 p

px

2

2

2

22 p

pmx

011

11

x

m

m

xm

222

2

2

2222

22 2

2

)2(

2

2

2

1

pm

m

ppm

mp

p

pm

m

px

m

m

xm

221 2

2)0(

pm

mww

2

22

2

22

2

2

2

2

pm

xp

pm

m

m

xp

222 22 pmxp

123

Con el reemplazo de (5) en (4), se llega a la demostración:

b) Condición de Agregación de Cournot

i. w1 ε11 + w2 ε21 = - w1 (6)

Reemplazandoestas elasticidades en (6), se comprueba la agregación deCournot cuando varía el precio de x1:

ii. w1 ε12 + w2 ε22 = -w2 (7)

Luego, reemplazandoε12y ε22en el primer miembro de (7):

12

2

22

22 xp

xp

1

2

2

1

2

121

2

1

1

1

111

p

p

p

p

p

x

p

p

x

02

1

1

221

x

p

p

x

121 )0()1( www

1

2

2

1

1

2

2

11

2

2

112

p

p

p

px

p

p

x

2

2

2

2222

2

2

222 2

2

2

2 pm

m

p

pm

p

p

m

x

p

p

x

)2

2()1(

221 pm

mww

124

Finalmente, remplazando w2 y (5) y reduciendo, se obtiene:

Sabemos que w1 + w2 = 1, entonces, haciendo los traslados respectivos:

Por tanto, se demuestra la condición de Cournot cuando varía el preciode x2

c) Condición de homogeneidad

Para ambos casos, reemplazando los valores de las elasticidades,anteriormente calculados, obtenemos:

a) ε11 + ε12 + ε m1 = 0

(-1) + (1) + (0) = 0

b) ε21 + ε22 + ε m2 = 0

2. Las preferencias de un consumidor están expresadas en la función de utilidadsiguiente:

U(x1, x2) = (x1-2) (x2+4)

Compruebe:

)2

2(

22

221 xp

m

m

xpw

11 w

21 1 ww

0)2

2()0()

2

2(

222

pm

m

xp

m

125

a) La condición de Agregación de Engelb) La Condición de Agregación de Cournot

Solución:

Previamente se hallan las funciones de demanda ordinaria del consumidor:

…(1)

… (2)

a) Condición de Agregación de Engel

w1εm1 + w2εm2 = 1 (3)

Hallamos las elasticidades:

De las funciones de demanda, se obtiene:

1

21

2

421 p

ppmx

2

21

2

422 p

ppmx

21

2

2122

22 42

2

422

1

ppm

m

p

ppm

m

px

m

m

xm

21

1

2111

11 42

2

422

1

ppm

m

p

ppm

m

px

m

m

xm

)5(242

)4(242

2221

1121

xpppm

yxpppm

126

Remplazando w1 , w2, (4) y (5) en el primer miembro de (3), obtenemos:

→

Simplificando:

→

l.q.q.d.


i. w1 ε11 + w2 ε21 = - w1 (6)

Hallamos las elasticidades:

Reemplazando en (6), obtenemos:

Luego, despejando de (1), y factorizando, obtenemos:

22

22

11

11

22 xp

m

m

xp

xp

m

m

xp

12

1

2

1

)

2

42)(

2

2(

1

21

121

2211

1

1

111

p

ppm

p

p

p

p

m

x

p

p

x

21

1

2

21

1

22

1

1

221 42

2)

2

42)(

1(

ppm

p

p

ppm

p

px

p

p

x

)42

2()

42

4(

21

12

21

21 ppm

pw

ppm

pmw

21

2

1

21

121

2

42

)4()

2

42)(

2

)4(

ppm

pm

p

ppm

p

p

pm

127

(7)

Entonces, reemplazando (4), (5), (7), w1 y w2, en (6), obtenemos:

Simplificando y factorizando:

l.q.q.d.

ii.w1 ε12 + w2 ε22 = -w2 (8)

Se hallan las elasticidades:

Simplificando, ordenando y remplazando (5):

11

2

21

2

1

21

2

11

2

2

112

2

4

42

4

)

2

42)(

2(

xp

p

ppm

p

p

ppm

p

px

p

p

x

)42

2)(

2

2(

)

2

42()

2(

21

22

22

1

2

21

222

1222

1

1

221

ppm

p

p

pm

p

ppm

p

p

p

p

m

x

p

p

x

)2

2()

2

)1(2(

22

122

11

1111

xp

p

m

xp

xp

xp

m

xp

)1(2

21

24

11

112

xp

pxppm

m

p

m

xp 111 )1(

m

ppxp 1111

111 w

m

xp

128

Haciendo los reemplazos respectivos en (8), se obtiene:

Simplificando y reduciendo:

Reemplazando (5), y simplificando:

l.q.q.d.

3. Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad:

U(x1,x2) = x11/2+ x2

a)Demuestre la Agregación de Engelb) Demuestre la Agregación de Cournotc) Demuestre la Condición de Homogeneidad

Solución:

Primero, hallamos las funciones de demanda del consumidor:

… (1)

)2

2)(()

2

4((

22

122

11

211

xp

mp

m

xp

xp

p

m

xp

m

mp

m

p

2

22 12

22

121 2

2

xp

mp

m

ppm

2

)42( 21

222

2

2w

m

xp

m

mpp

2

)24( 12

2

1

2

21

p

px

129

… (2)

a) Condición de Agregación de Engel

w1εm1 + w2εm2 = 1 (3)

Remplazando elasticidades para demostrar (3):

→ (4)

De (2) obtenemos:

Remplazando (5) en (4), y simplificando, se obtiene lo que se pide demostrar:


i. Cuando varía p1:

w1 ε11 + w2 ε21 = - w1 (6)

21

221

4

42 pp

pmpx

011

11

x

m

m

xm

221

121 4

4)0(

pmp

mpww

14

4

221

122 xpp

mp

m

xp

221

1

21

22122

22

4

4

4

4

1

pmp

mp

pp

pmp

m

px

m

m

xm

)5(44 221221 pmpxpp

130

Primero hallamos las elasticidades:

Remplazandolas en el lado izquierdo de (6):

Empleando (5), desdoblando w2, y simplificando, se obtiene:

Luego, tomando de función de demanda:

p22 = 4p1

2x1

Remplazando y simplificando:

2)

4

)(4

2(

21

22

131

22

1

1

1

111

p

p

p

p

p

x

p

p

x

221

22

21

221

121

2

2

1

1

221

4

4

4)

4(

pmp

p

pp

pmp

p

p

p

x

p

p

x

)4

()2(221

22

21 pmp

pww

1

22

1

221

2222

1

42

)4

(2

mp

pw

xpp

p

m

xpw

m

xpw

mp

xpw

111

1

121

1

2

4

42

131

ii. Cuando varía p2:

w1 ε12 + w2 ε22 = -w2 (7)

Las elasticidades:

Simplificando:

Reemplazando,en (7), las elasticidades halladas:

Luego, reemplazando w2 y (5), y reduciendo:

2

4

)2

(

21

22

221

2

1

2

2

112

p

p

p

p

p

x

p

p

x

)4

4()2(

221

221

21 pmp

pmpww

)4

4(2

221

22122

1 xpp

pmp

m

xpw

)

4

4()

4

1

2(

21

221

2

1222

2

2

222

pp

pmp

p

pp

m

x

p

p

x

221

221

4

4

pmp

pmp

....

2

1

11

dqqlw

ww

1

22

1 412

mp

pw

)4

4)(

4

4(

221

221

221

221

22 pmp

pp

pp

pmp

132

Finalmente, remplazando:p2

2 = 4p12x1

Simplificando:

l.q.q.d.

c) Condición de homogeneidad

Para ambos casos, reemplazando los valores de las elasticidades, anteriormentecalculados, obtenemos:

i. ε11 + ε12 + ε m1 = 0

(-2) + (2) + (0) = 0

ii.ε21 + ε22 + ε m2 = 0

21 1 ww

)4

4()

4

4()

4(

221

1221

221

221

22

pmp

mp

pmp

pmp

pmp

p

1

121

1 4

412

mp

xpw

11 12 ww

....0)4

44(

221

1221

22 dqql

pmp

mppmpp

m

xpw 11

1 12

133

1.8. RIESGO E INCERTIDUMBRE

1. Una persona tiene preferencias que pueden ser expresadas por una función deutilidad cuya expresión es:

U(w) = W1/3

Donde:W = riqueza totalSu riqueza inicial asciende a $ 8

Si la persona recibe un boleto de lotería cuyo premio mayor es $ 56 conprobabilidad 0.5 , y $0 con probabilidad 0.5. Determine:

a) ¿A cuánto asciende su valor esperado luego de recibir el boleto de lotería?b) ¿En cuánto valora el juego el individuo?c) ¿Qué puede decirse acerca de la actitud de esta persona frente al riesgo?d) ¿Cuál es el precio más bajo al cuál vendería el boleto? ¿a cuánto asciende la

prima?

Soluciòn

En este caso haciendo uso de la función de utilidad y de los datos, obtenemos elsiguiente cuadro:

Premio Probabilidad Utilidad Riqueza

56 0.5 4 640 0.5 2 8

a) VE = 56 (0.5) + 0 (0.5)

= 28

b) UE = 4 (0.5) + 2 (0.5)

= 3

b) Para determinar su actitud ante el riesgo hay que hallar la utilidad del valoresperado, a través de la FUVE:

UVE = U(28 + 8) = (36)1/3 = 3.3

134

U

0 28 56Unidades Monetarias

Entonces se determina que el juego o lotería brinda al individuo una utilidad–representadada por la UE- de 3, mientras que si le ofrecen el equivalentecierto o Valor Esperado (28), este monto le reporta una utilidad de 3,3(UVE). Es decir valora más lo seguro que el juego, por tanto es adverso alriesgo.

El gráfico también se puede presentar ploteando, en el eje de las abscisas, lariqueza en lugar de los premios, así:

U

8 36 64Riqueza (W)

c) Si a esta persona le ofrecen un monto P que le reporta una utilidad de 3, semostrará indiferente entre jugar o recibir este monto, así:

U(P+8) = (P+8)1/3 = 3

UE =

E =

UVE = U(36) =

4

3.33

2

U= W 1/3

UE =

UVE =

4

3.33

2

U= W 1/3

135

Entonces,P +8 = 27

P = 19

El precio mínimo al cual vendería esta persona estaría muy cercano a P > 19

U

0 1928 56Unidades Monetarias

La prima está en el rango: 0 < prima < 9

En el gráfico está representada por el trazo grueso y oscuro entre 19 y 28.

2. En una playa privada del sur solo pueden ingresar los que adquieran una tarjeta quecuesta $10, lo que le da derecho de llevar 5 invitados y disfrutar de los espectáculos.Los que no cuenten con tarjeta y sean sorprendidos pagarán, adicionalmente, unapenalidad de $25. La probabilidad de que lo descubran es de 25%.

Jacobo ama esta playa pero no le sobra el dinero. Si su función de utilidad es lasiguiente:

U(W) = W1/2

donde W representa su riqueza total que asciende a $1000, determine:

a) Si Jacoboingresará a la playa con tarjeta o sin ellab) Dado que Jacabo no es muy desprendido ¿cuál debería ser el costo de la tarjeta a

fin de que prefiera comprar la tarjeta y no estar en falta?c) ¿Cuál debería ser el monto de la multa que lo incline a comprar la tarjeta?d) Si el municipio no autoriza el incremento de la multa, debería mejorarse el

sistema de detección ¿En cuánto debería mejorar?

UE =

E =

UVE = U(36) =

4

3.33

2

U= W 1/3

136

Solución

a)Caso Probab. Riqueza Utilidad

1. SIN TARJETA1.1.Descubierto 0.25 965 31,0641.2.No descubierto0.75 1000 31,623

2. CON TARJETA 1,0 990 31,464

Caso SinTarjeta

Valor Esperado =965 (0.25) + 1000 (0.75)

= 991,25

Utilidad Esperada = 31,064 (0.25) + 31,623 (0.75)

= 7,766 + 23,717

= 31,483

Utilidad del Valor Esperado:

= (991,25)1/2

= 31,484

Gráfico. Opción Sin Tarjeta

U

965991,251000Unidades monetarias

31,62331,483

31,064

25

8

UE =UVE=

U= U(W)

137

La opción de ingresar a la playa sin tarjeta le representa una lotería que le brindauna utilidad de 31,483 (UE)

Caso con Tarjeta

La compra de la tarjeta le proporciona a Jacobo una utilidad invariable de31,464

Por tanto, dado que:

31,483 > 31,464

UST > UCT

Jacobo ingresará a la playa sin comprar la tarjeta

a) Jacobo revocará su decisión si le ofrecen un monto que le otorga una utilidadmayor a la que obtiene si no compra la tarjeta (UST = 31,483). Este monto X secalcula a través de la relación:

U(X) = X0,5 = 31,483

X = (31,483)2

X = 991,19

y el costo de la tarjeta (C ), a través de:

1000 - C > 991,19

C < 1000 -991,19

C <8,81

b) Si T es el monto de la multa, tendríamos:

Caso Probab. Riqueza Utilidad

1. SIN TARJETA1.1. Descubierto 0.25 1000-T (1000-T)0,5

1.2. No descubierto 0.75 1000 31,623

2. CON TARJETA 1,0 990 31,464

138

Si la multa coloca a Jacobo en una situación de indiferencia, entonces UE =31,464; así, se tendrá que:

(1000-T)0,5 (0,25) + 31,623 (0,75) = 31,464

Entonces para que la utilidad de la compra de la tarjeta sea mayor:

c) Si la multa no se puede incrementar, habrá que mejorar las probabilidades decontrol a fin de inducir a la compra de la tarjeta, entonces tendremos que:

Caso Probab. Riqueza Utilidad

1. SIN TARJETA1.1. Descubierto p 965 31,0641.2. No descubierto (1 - p) 1000 31,623

3. CON TARJETA 1,0 990 31,464

Partiendo de una situación de indiferencia:

Finalmente,

25,0

71725,23464,31)1000( 5,0

T

987,30)1000( 5,0 T

194,960)1000( T

81,39T

81,39T

464,31)1(623,31)(064,31 pp

159,0559,0 p

%44,282844,0 p

%44,28p

139

Entonces una probabilidad de detección superior a 28,44% hará que la utilidad decomprar la tarjeta supere a la utilidadde infringir la norma.

3. Mario Tello trabaja en un Apiario donde gana S/ 1.000 mensuales y recibe dosgratificaciones anuales equivalentes a un sueldo cada una. Mario está cansado de laspicaduras y del bajo ingreso que percibe, y evalúa cambiar de trabajo. Tiene pensadoinstalar una tienda naturista donde tiene la posibilidad de ganar S/ 8.000 al año conuna probabilidad de 60%, o ganar S/ 36,000 al año con una probabilidad de 40%

Si Mario tiene una función de utilidad cuya expresión es:

Determine:

a) Si Mario dejará su trabajo actualb) Si le ofrecen un trabajo en un vivero donde ganaría S/ 19.000 por año ¿Qué

decidirá Mario?c) ¿Cuál debería ser el sueldo que haría que a Mario le de igual trabajar en el

vivero o trabajar en su tienda naturista?

Solución

a) La utilidad que obtiene en su trabajo actual es:

La utilidad que obtendría con la tienda naturista vendría a ser la UtilidadEsperada:

100

27

)( wwU

100

27

000.14)800.16( U

166,13U

)4,0(000.46)6,0(000.8 100

27

100

27

UE

)4,0(1528,18)6,0(3196,11 UE

261,7792,6 UE

05,14UE

140

Mario dejará su actual empleo.

b) El trabajo en el vivero que le promete un pago anual de S/. 21.000, le brindaráuna utilidad de:

Este empleo, en términos de utilidad, será más beneficioso para Mario

c) El ingreso(R) que haría que Mario se muestre indiferente entre su trabajo en unatienda naturista o trabajar en un Vivero, debe satisfacer la expresión siguiente:

Resolviendo

4. Un inversionista tiene en cartera dos proyectos que prometen una atractivarentabilidad. El proyecto 1 requiere una inversión de $ 5.000, y luego de un añoredituaráun ingreso neto de $25,000. El proyecto 2, un poco más grande, implicauna inversión de $15,000 para obtener a fin de año un monto neto de $35,000 . Laprobabilidad de que un proyecto cualquiera tenga éxitoes de 60%. Determine:

a) ¿Por cuál proyecto se decidirá el inversionista?b) Si el proyecto 1 fuese dejado de lado ¿Cuál debería ser la ganancia que tendría

que ofrecer a fin de interesar al inversionista?c) El Estado busca desalentar los proyectos tipo 2 porque contaminan el ambiente

¿de qué monto debería ser el impuesto que se le tendría que cargar a estosproyectos a fin de favorecer a los proyectos tipo1?

d) ¿Cuál debería ser la probabilidad de éxito de los proyectos si se quiere beneficiarpor igual las inversiones en ambos proyectos?

Solución

05,14)( 100

27

RRU

27

100

05,14R

55,809.17R

69,14U

100

27

000.21)000.21( U

141

a) Analizando ambos proyectos

Proyecto 1

Riqueza Probabilidad

Éxito 25.000 0,6Fracaso -5.000 0,4

VE 1 = 25.000 (0,6) - 5000 (0,4)

VE 1 = 13.000

Proyecto 2

Riqueza Probabilidad

Éxito 35.000 0,6Fracaso -15.000 0,4

VE 2 = 35.000 (0,6) - 15.000 (0,4)

VE2 = 15.000

Entonces, el individuo invertirá en el proyecto 2

b) Para que el proyecto 1 sea indiferente con el proyecto 2, el monto de gananciasolicitado (X) debe permitir obtener un VE de 15.000, entonces

VE 1 = X (0,6) - 5.000 (0,4) = 15,000

0,6X = 15.000 + 2.000

X =17.000 / 0.6

X = 28.333,33

Entonces, la ganancia ofrecida será:

142

X > 28.333.33

c) Denominemos T al impuesto, entonces,

VE 2 = (35.000- T) (0,6) - 15.000 (0,4) = 13.000

21.000 -0,6T – 6.000 = 13.000

0,6T = 21.000 – 19.000

T = 5,000

El Estado tendría que aplicar un impuesto T > 5.000 con el fin de favorecer la

inversión en el proyecto 1

d) En este caso se debe cumplir que:

25.000 (q) - 5.000 (1-q) = 35.000 (q) - 15.000 (1-q)

25.000q -5.000 +5.000q = 35.000q -15.000 +15.000q

30.000q-50.000q = 5.000 -15.000

-20.000q = -10.000

q = 0,5

Cuando la probabilidad de éxito (q = 0,5) sea igual a la de fracaso (1-q = 0,5), alinversionista la dará igual invertir en uno u otro proyecto.

5. Un individuo tiene una función de utilidad:

6,0

000.3T

143

U(W) = 5 +2 Ln (W + 2)Hallar

a) La Medida de aversión absoluta al riesgo de Arrow-Pratt.b) La Medida de aversión relativa al riesgo de Arrow-Pratt.

Solución

a) La Medida de Aversiónabsoluta al riesgo de Arrow-Pratt es:

Primeramente, calculamos las derivadas :

Luego, remplazando y simplificando:

Dado que R(W) > 0, el individuo es adverso al riesgo, la función de utilidad escóncava. Se intuye que a medida que la riqueza del individuo aumenta, suaversión al riesgo disminuye.

b) La Medida de aversión relativa al riesgo de Arrow-Pratt

Entonces,

Este índice de riesgo señala que a medida que la riqueza aumenta, la aversiónrelativa al riesgo aumenta pero a tasas decrecientes.

)(

)()(

'

''

WU

WUWR

2

2)(

WWU l

2)2(

2)(

WWU ll

2

1)(

WWR

WWU

WUWr .

)(

)()(

'

''

2

2)(

W

WWr

144

6. Colombino, Ortega, Vargas y García van a la Feria de la Molina, a jugar a losgallos,sobretodo a la pelea entre el Ajiseco y el Giro. Cada uno tiene 3.600 paraapostar. Si gana el Ajiseco se ofrece pagar S100 por un boleto que cuesta S/ 30mientras que si le van al Giro ganarán S/ 100 por cada boleto que cuesta S/ 60.

La función de utilidad, que es la misma para todos, es:

U(W) = Ln W

Colombino no gusta de los gallos, y no adquiere ningún boleto. Ortega gasta lamitad de sus ingresos comprando el mismo número de boletos por cada gallo.Vargas simpatiza con el Ajiseco y compra el doble de boletos con respecto a losque compró por el Giro.Las preferencias de Garcíalo hacen apostar, con50 boletos,por el Giro, y 20, por el Ajiseco.

Los dos gallos tienen la misma probabilidad de ganar la pelea.

Determine quién de los cuatro tomó la mejor decisión

Solución

Colombino, al no jugar a los gallos obtendrá la Utilidad Esperada siguiente:

UE = Ln (3.600)

UE = 8,1887

En el caso de Ortega, que apuesta por igual a ambos gallos, se establecepreviamente que:

A: número de boletos a favor del AjisecoG: número de boletos a favor del Giro

Luego, los resultados que obtendrá serán:

Si Gana el Ajiseco

Riqueza: 3.600 + (100 -30)A-60G

Si Gana el Giro

Riqueza: 3.600 + (100 -60)G -30A

Su restricción presupuestaria será: 30A +60G = 3.600

Como A = G, entonces:

145

30A + 60A = 3.600

90 A = 3.600

A = 40

Por tantoG = 40

Resumiendo:

Resultado Riqueza Probabilidad UtilidadGana Ajiseco

Gana Giro4.0004.000

0,50,5

8,2948,294

La Utilidad Esperada será:

UE = 8,294 (0,5) + 8,294 (0,5)

UE = 8,294

La performance de Vargas que le juega al Ajiseco, comprando el doble de losboletos que compra al Giro, será:

Su restricción presupuestaria:

30A +60G = 3.600

Como A = 2G, entonces:

30(2G) + 60G = 3.600

120G = 3.600

G = 30

Entonces, A = 60

Si Gana el Ajiseco

Riqueza: 3.600 + (100-30)(60) -60(30) = 6.000

146

Si Gana el Giro

Riqueza: 3.600 + (100-60)(30) -30(60) = 3.000

En resumen:


Gana Giro6.0003.000

0,50,5

8,69958,0064

La Utilidad Esperada:

UE = 8,6995 (0,5) + 8,0064 (0,5)

UE = 8,3529

García que apuesta 50 boletos por el Giro, y 20, por el Ajiseco:

Si Gana el Ajiseco

Riqueza: 3.600 + (100-30)(20) -60(50) = 2.000

Si Gana el Giro

Riqueza: 3.600 + (100-60)(50) -30(20) = 5.000

En resumen:


Gana Giro2.0005.000

0,50,5

7,60098,5172

La Utilidad Esperada:

UE = 7,6009 (0,5) + 8,5172 (0,5)

UE = 8,059

La mejor decisión la tomó Vargas que compra 60 boletos a favor del Ajiseco y30 boletos por el Giro. La segunda alternativa más prometedora es la de Ortegaque apuesta por igual a los dos gallos.

147

II. TEORIA DELA PRODUCCION

2.1. Funciones de ProducciònCobb-Douglass

1. Dada la siguiente función de producción:

f(x1, x2) = x1α x2

1-α

Se pide:

a) Calcule la función de costosb) Grafique el costo medio y el costo marginalc) Halle la función de costos a corto plazo para esta tecnologíad) Determine la función de beneficiose) Determine la función de oferta de la firma y las demandas no condicionales de cada

uno de los factores.f) Halle la elasticidad de sustitución

Solución

a)Min. w1x1 + w2 x2

s.a: Ax1αx2

1-α = Y

L = w1x1 + w2 x2 + λ(Y -Ax1αx2

1-α )

dL/dx1= w1 - αλ.Ax1α-1 x2

1-α= 0 …..(1)

dL/dx2= w2 - (1-α)λ Ax1α x2

1-α-1= 0 …..(2)

dL/dλ= Y - Ax1α x2

1-α= 0 …..(3)

Resolviendo el sistema, se obtiene la relación entre x1 y x2:

148

Haciendo los reemplazos respectivos en la restricción, se hallan las demandascondicionales de cada factor. Así, reemplazando (4), se obtiene la demandacondicional del factor x2 :

Luego, reemplazando (5), se obtiene la demanda condicional del factor x1:

21

12

11

1

2

)1( xAx

xAx

w

w

)4(.....)1( 1

221 w

xwx

)5(....)1(

2

112 w

xwx

12

1

22

)1(x

w

xwAY

21

2

)1(x

w

wAY

2

12

)1(

w

w

A

Yx

1

2

111

)1(

w

xwAxY

1

1

2

1)1(x

w

wAY

1

1

21 )1( w

w

A

Yx

149

Luego, la función de costos:

b) Gráfica del CMe y CMg

A[(1-α)w1]1-α

Y (αw2)1-α

C= W1 +Y[(1-α)w1]

α

W2A(αW2)

α

A

YwwYwC

1

21

1),(

1

1),(

1121

A

wYwYwC

Y

CCMg

yY

CCMe

)1(

)1()1(121

)1(

)1()1(),(

A

wYwYwC

)1(

121

)1(

)1(),(

A

wYwYwC

)1(

121

)1(

1),(

A

wYwYwC

150

Entonces,

Se observa que ambas funciones de costos no contienen a Y, y que, son constantes eiguales, entonces, gráficamente:

c) Función de costos a corto plazo

Para hallar la función de costos a corto plazo, se considera que uno de los factorespermanece fijo, por ejemplo x1 = x1, este valor se introduce en la función deproducción, y se despeja el otro factor (variable):

Y = A x1αx2

1-a

Costos

CMe = CMg

1

1

21

1

A

wwCMe

1

1

21

1

A

wwCMg

Y

151

Luego, en la ecuación de costos, se reemplazan ambos factores. Así, la función decostos será:

CFCV

d) La función de beneficios

A partir de la ecuación de beneficios:

π = P.Y - C

Reemplazando la función de costos, tenemos la función de beneficios:

2. Dada la siguiente función de producción Cobb-Douglas:

f(x1,x2) = x1α x2

β

a) Calcule la función de costos a largo plazob) Grafique el costo medio y el costo marginalc) Halle la función de costos a corto plazo para esta tecnologíad) Determine la función de beneficiose) Determine la función de oferta de la firma y las demandas no condicionales de

cada uno de los factores.f) Halle la elasticidad de sustitución

C = w1x1 + w2(Y/Ax1α)1/ (1-α)

A

YwwYPwP

1

21

1.),(

1

1

1

2xA

Yx

152

Solución

a) Función de Costos a largo plazo

Primero se hallan las demandas condicionales de los factores. Así, hay que plantearla minimización del costo:

Min. w1x1 + w2 x2

s.a: Ax1α x2

β = Y

L = w1x1 + w2 x2 + λ (Y -Ax1α x2

β )

CPO:dL/dx1= w1 - α λ.Ax1

α-1x2β = 0

dL/dx2= w2 - β λ Ax1α x2

β-1= 0

dL/d λ = Y - Ax1α x2

β = 0

Resolviendo el sistema, se hallan las relaciones funcionales entre factores:

Para hallar la demanda condicional del factor X1 se reemplaza (2), en la restricción, yse despeja; así:

121

21

1

2

1

xAx

xAx

w

w

)1(......1

221 w

xwx

)2(......2

112 w

xwx

2

111 w

xwAxY

1

21 w

w

A

Yx

153

Para hallar la demanda de X2, se procede de manera similar, reemplazando (1) en larestricción, y despejando:

Luego, la función de costos:

b) Gráfica del CMe y CMg

Entonces,

1

1

21 A

Y

w

wx

21

22 xw

xwAY

2

12 w

w

A

Yx

1

2

12 A

Y

w

wx

1

2

12

1

1

21),(

A

Y

w

ww

A

Y

w

wwYwC

1

21

1

1),( Yww

AYwC

)(11

21

1Y

AwwCMe

Y

CCMgy

Y

CCMe

154

c) Función de costos a corto plazo

Si se considera que uno de los factores de la producción permanece fijo, por ejemplox1 = x1, entonces, el otro factor - x2 – será variable, y su función se obtienedespejándola de la función de producción, así:

Y = A x1αx2

β

Luego, haciendo los reemplazos respectivos en la ecuación de costos, se obtiene lafunción de costos a corto plazo:

CC

Cme = CmgCme

Y YY

C

C (w,Y) = w1x1 +w2 (Y/Ax1α)1/ β

CASO 1:

Si α+β = 1

→ R.E. Constantes

CMe = CMg

C

CmeCmg

CASO 3:

Si α+β <1

→ R.E. Decrecientes

CMe<CMg

CASO 2:

Si α+β >1

→ R.E. Crecientes

CMe>CMg

CMg

)(1

1

21

11Y

AwwCMg

1

1

2

xA

Yx

155

d) La función de beneficios

Se sabe que: π = P.Y – C ……. (I)

Al reemplazar la función de costos de LP en (I), se tiene que:

Si al coeficiente de (II) –encerrado en el recuadro rojo- se le denomina K, se tendrá:

Luego:

Despejando Y:

Reemplazando (III) en (II’), y reduciendo:

)(........1

.1

21

1

IIYwwA

YP

01

)(1

21

YwwKPY

)'(.........1

21 IIYwwKYP

21

)(1

wwK

PY

)(........)( )(1

2)(1

1

)(1

)(

IIIwwK

PY

1

)(12

)(11

)(1

)(

21)(1

2)(1

1

)(1

)(

)()(),( ww

K

PwwKww

K

PPwP

156

8

d) Las demandas no condicionales y la función de oferta se hallan a través del Teoremade Hotelling:

Xi (P,w) = - dπ(P,w)/dwi (demandas no condicionales)

Y (P,w) = dπ(P,w)/dP (función de oferta)

Si al coeficiente de la función de beneficios se representa con M, se tendrá que:

8Algebra de exponentes

)(12

)()(1

)(

2)()(1

)](1[

2)()(1

2

)(11

)()(1

)(

1)()(1

)](1[

1)()(1

1

wwww

wwww

))]((1[2

))]((1[1

)(1

1

21)(1

2)(1

1

)(1

)(

)()(),(

wwK

PwwKww

K

PPwP

)(12

)(11

)(1

1

)(12

)(11

)(1

)(

)()(),(

wwK

PKww

K

PPwP

)(12

)(11

(1

1

)(1

)(

)(1

1

)(12

)(11

(1

1

)(1

)(

)(1

)(

)()(),(

wwPKwwPKwP

)(12

)(11

)(1

1

)(1

)(

)(1

1

)(1

)(

)()(),(

wwPKwP

)(12

)(11

)(1

1

),(

wwPMwP

157

Entonces:

Demanda No condicional del factor x1:

Demanda No condicional del factor x2

Función de oferta

)(12

)(1

1

1)(1

1

11

)(1

),(),(

wwMP

w

wPwPx

)(1

1

2)(1

1)(1

1

22

)(1

),(),(

wwMP

w

wPwPx

)(12

)(1

1

1)(1

1

1 )(1),(

wwMPwPx

)(1

1

2)(1

1)(1

1

2 )(1),(

wwMPwPx

P

wPwPY

),(

),(

)(12

)(11

)(1

)(1

1),(

wwPMwPY

158

e) La elasticidad sustitución:

…… (I)

Del problema de minimización de costos:

Min. w1x1 + w2 x2

s.a: Ax1α x2

β = Y

L = w1X1 + w2 X2 + λ (y -AX1α X2

β )Las C.P.O.:

dL/dX1= w1 - α λAX1α-1X2

β = 0 …..(1)

dL/dX2= w2 - β λ AX1αX2

β-1= 0 ….(2)

dL/dλ = Y - AX1αX2

β = 0 …. (3)

Estableciendo la relación (1)/(2), y ordenando:

Entonces,

12

21

21

12

xx

ww

ww

xx

121

21

1

2

1

xAx

xAx

w

w

)4(...........2

1

1

2

w

w

x

x

)5(...........

2

1

1

2

w

w

x

x

159

Reemplazando (4) y (5) en (I), y simplificando :

3. Asuma la siguiente función de costos:

a) Halle las demandas condicionales de cada factor.b) Determine la función de producción.c) ¿Cómo será la función de costos en el corto plazo?d) Calcule la elasticidad sustitución.

Solución

a) Demandas condicionales

Se hallan a través del Lema de Sheppard

… (1)

σ = 1

YwAwYwC 121),(

21

21

ww

ww

YwwA

w

YwCYwx

12

11

11

),(),(

Yw

wAYwx

1

1

21 ),(

160

…. (2)

b) Función de producción

En cada una de las demandas condicionales se despeja la relación (w1/w2 ), luegose igualan:

E

Entonces,

En (3), para facilitar el manejo de los exponentes, hay que evitar las fracciones;por tanto, se debe buscar un factor que simplifique los exponentes:

Elevando ambos miembros a la potencia: α(1-α) y simplificando:

Yw

wAYwx

2

12 )1(),(

YwwA

w

YwCYwx

1121

22

)1(

),(),(

1

1

12

1)1(x

AY

w

wEn

1

2

2

1

)1()2(

AY

x

w

wEn

)3(.....)1(

)2()1(

1

21

1

1

1

AY

x

x

AY

)1(1

2

)1(

1

1

1

1

)1(

AY

x

x

AY

)1(

2

1

1

)1(

AY

x

x

AY

161

Despejando Y:

c) Para la función de costos en el corto plazo,

Se determina el factor fijo: X1 = X1

Luego, de la función de producción se despeja el factor variable, X2:

Finalmente, se reemplaza este valor en la ecuación de costos:

d) La elasticidad sustitución

…… (I)

AA

xxYY

1

)1(

)1(

21

)1(

)1(21

)1()1(

xx

AY

1

)1()1(

2

)1(

x

YAx

)1(

1

1

2 )1(

x

YAx

)1(

1

1

211 )1(

x

YAwxwC

12

21

21

12

xx

ww

ww

xx

162


Min. w1x1 + w2 x2

C.P.O.

Estableciendo la relación (1)/(2), y ordenando:

Entonces,

21

)1(

)1(2

11

)1(

2

1

)1()1(

)1(

xxA

xxA

w

w

)4(...........)1(

2

1

1

2

w

w

x

x

)5(...........)1(

2

1

1

2

w

w

x

x

YxxA

as

)1(

21

)1()1(..

)1(

21

)1(

2211

)1(.

xxA

Yxwxw

)1(....0)1( )1(

21

1

)1(

11

xxA

wx

)2(....0)1(

)1( )21

)1(

22

xxA

wx

)3(....0)1( )1

21

)1(

xx

AY

1

2

2

1

)1( x

x

w

w

163

Reemplazando (4) y (5) en (I), y simplificando :


f(x1,x2) = 4(x10,75 + x2

0,75)

a) Obtenga las demandas no condicionales y la función de oferta.b) Determine la función de beneficios.c) Compruebe el Teorema de Hotelling.d) Obtenga la función de costos.e) Compruebe el Lema de Sheppard

Solución

a) Las Demandas no condicionales (DNC) y la Función de oferta

Partimos de la ecuación de beneficios, realizando los reemplazos respectivos:

π = P.Y - C

π = P.[4(x10,75 + x2

0,75 )] - w1x1- w2x2 .........(α)

Luego, aplicando derivadas parciales, y despejando, obtenemos las DNC:

dπ/dx1= 3Px1–0,25 - w1= 0

σ = 1

21

21

)1(

)1(

ww

ww

4

11

3),(

w

PwPx

P

wx

3125,0

1

164

dπ/dx2= 3Px2–0,25– w2 = 0

La función de oferta se obtiene reemplazando, en la función de producción, lasDNC:

b) La función de beneficios:

Se obtiene reemplazando, en la ecuación de beneficios, las DNC y la funciónde oferta:

75.04

2

75.04

1

334),(

w

P

w

PwPY

3

2

3

1

334),(

w

P

w

PwPY

3

2

3

1

3 11108),(

wwPwPY

4

22

4

11

3

2

3

1

3 3311108),(

w

Pw

w

Pw

wwPPwP

3

2

4

3

1

4

3

2

3

1

4 181

181

11108),(

wP

wP

wwPwP

4

22

3),(

w

PwPx

P

wx

3225,0

2

165

c) Comprobación de las Demandas no condicionales y función de oferta

Teorema de Hotelling:

Demandas Condicionales: Función de Oferta

3

2

3

1

4

3

2

3

1

4 1181

11108),(

wwP

wwPwP

3

2

3

1

4 1127),(

wwPwP

P

wPwPY

w

wPwPx

ii

),(

),(),(

),(

41

4

11 27)3(

),(),(

wPw

wPwPx

4

1

81

w

P

4

11

3),(

w

PwPx

4

2

81

w

P

4

22

3),(

w

PwPx

42

4

22 27)3(

),(),(

wPw

wPwPx

166

d) Función de costos

Su hallazgo implica la minimización del costo total:

Min. w1X1 + w2 X2

s.a: 4(X10,75 + X2

0,75) = Y

L = w1X1 + w2 X2 + λ(Y – 4(X10,75+ X2

0,75)

Aplicando la condición de primer orden:

dL/dX1= w1 - 3l.X1- 0,25= 0 …. (1)

dL/dX2= w2 - 3l X2- 0,25= 0 …. (2)

dL/dλ= Y - 4(X10,75 + X2

0,75 ) = 0 …. (3)

Resolviendo el sistema, de (1) y (2):

3

2

3

1

3 11)4(27

),(),(

wwP

P

wPwPY

3

2

3

1

3 11108),(

wwPwPY

25,0

1

225,0

2

25,01

2

1

x

x

x

x

w

w

)4(....2

4

1

21 x

w

wx

)5(....1

4

2

12 x

w

wx

167

Reemplazando (5) y (4) en la restricción, alternadamente, y haciendo los despejesrespectivos, hallamos las demandas condicionales de cada factor

Reemplazando las demandas condicionales en la ecuación de costos, se obtiene lafunción de costos:

75,0

1

3

2

175,01

75,0

1

4

2

175,01 44 x

w

wxx

w

wxY

32

32

3175,0

1

3

2

175,01 414

w

wwx

w

wxY

)(4 32

31

3275,0

1 ww

wYx

3/4

32

31

32

1 )(4

ww

wYx

31

32

3175,0

2

3

1

275,02 414

w

wwx

w

wxY

)(4 32

31

3175,0

2 ww

wYx

3/4

32

31

31

2)(4

ww

wYx

75,0

275,0

2

3

1

275,02

75,0

2

4

1

2 44 xxw

wxx

w

wY

168

e) Comprobación de las Demandas condicionales

Lema de Sheppard

Entonces,

Reordenando para factorizar:

3/4

32

31

31

2

3/4

32

31

32

1 )(4)(4),(

ww

wYw

ww

wYwYwC

3/43

231

241

3/4421

3/4

)(4),(

ww

wwYwwYYwC

3/132

31

213/4

)](256[),(

ww

wwYYwC

3/43

231

241

3/4421

3/4

)](4[),(

ww

wwYwwYYwC

3/432

31

32

3121

3/4

)](4[

)(),(

ww

wwwwYYwC

ii w

YwCYwx

),(

),(

)(768)](256)[3/1()](256[

),(

213

421

3/432

31

3/132

312

3

4

1

11

wwYwwwwwwYx

w

CYwx

169

Factorizando y simplificando:

)](256[

768

3

1)](256[)](256[

32

31

313/13

2312

3

43/13

2312

3

4

1 ww

wwwwYwwwYx

])(

1[)](256[32

31

313/13

2312

3

4

1 ww

wwwwYx

)()()256(

32

31

323/13

231

3/12

3

4

1 ww

wwwwYx

3/4

32

31

32

1)](4[

),(

ww

wYYwx

3/432

31

3/442

3

4

1 )()4( wwwYx

)(768)](256)[3/1()](256[

),(

213

422

3/432

31

3/132

311

3

4

22

wwYwwwwwwY

w

CYwx

])(

[)](256[32

31

31

32

313/13

2312

3

4

1ww

wwwwwwYx

3/432

31

3/1442

3

4

1 )]()4( wwwYx

3/432

31

42

3

4

1 )](4[ ww

wYx

170

Reordenando para factorizar:

Factorizando y simplificando:


f(x1,x2) = 3(x11/3 + x2

1/3 + x31/3)

a) Obtenga las demandas no condicionales y la función de ofertab) Determine la función de beneficiosc) Compruebe el Teorema de Hotelling.d) Obtenga la función de costose) Compruebe el Lema de Sheppard

)](256[

768

3

1)](256[)](256[

32

31

323/13

23

113

43/13

23

113

4

2 ww

wwwwYwwwYx

])(

1[)](256[32

31

323/13

2311

3

4

2 ww

wwwwYx

)()()256(

32

31

313/13

231

3/11

3

4

2 ww

wwwwYx

3/432

31

3/441

3

4

2 )()4( wwwYx

])(

[)](256[32

31

32

32

313/13

2312

3

4

2 ww

wwwwwwYx

3/4

32

31

31

2)](4[

),(

ww

wYYwx

3/432

31

41

3

4

2 )](4[ ww

wYx

171

Solución

a) Las Demandas no condicionales y la función de oferta

Partimos de la ecuación de beneficios:

π = P.Y - C

Reemplazamos en ésta, la función de producción

π = P.[ 3(x11/3 + x2

1/3 + x31/3)] - w1x1- w2x2 - w3x3........(a)

Aplicamos la condición de primer orden:

dπ/dx1= Px1–2/3 - w1= 0 ........ (1)

dπ/dx2= Px2–2/3 - w2 = 0 ....... (2)

dπ/dx3= Px3–2/3 - w3 = 0 ....... (3)

de (1) :

de (2) :

de (3) :

2/3

11 ),(

w

PwPx

P

wx 13/2

1

2/3

22 ),(

w

PwPx

P

wx 23/2

2

2/3

33 ),(

w

PwPx

P

wx 33/2

3

172

La función de oferta

Para obtenerla, se reemplazan las DNC en la función de producción:

b) La función de beneficios

Se reemplaza, en (a), las DNC y la función de oferta, y se reduce:

3

1

2

3

3

3

1

2

3

2

3

1

2

3

1

3),(w

P

w

P

w

PwPY

2

1

3

2

1

2

2

1

1

3),(w

P

w

P

w

PwPY

2

1

3

2

1

2

2

1

1

2

1 1113),(

wwwPwPY

2

3

33

2

3

22

2

3

11

2

1

3

2

1

2

2

1

1

2

1 1113),(

w

Pw

w

Pw

w

Pw

wwwPPwP

2

1

3

2

1

2

2

1

1

2

32

1

3

2

1

2

2

1

1

2

3 1111113),(

wwwP

wwwPwP

2

1

3

2

1

2

2

1

1

2

3 1112),(

wwwPwP

173

c) Comprobación de las Demandas no condicionales y la función de oferta

Teorema de Hotelling

Demandas Condicionales: Función de Oferta

P

wPwPY

w

wPwPx

ii

),(

),(),(

),(

11

),(),(

w

wPwPx

2

3

11 ),(

w

PwPx

22

),(),(

w

wPwPx

2

3

22 ),(

w

PwPx

33

),(),(

w

wPwPx

2

3

33 ),(

w

PwPx

2

3

12

3

1 2)2

1(),( wPwPx

2

3

22

3

2 2)2

1(),( wPwPx

2

3

32

3

3 2)2

1(),( wPwPx

174

Función de oferta

d) Función de costos

Se debe minimizar el costo total

Min. w1x1 + w2 x2 + w3 x3

s.a: 3(x11/3 + x2

1/3 + x31/3) = Y

£ = w1x1 + w2 x2 + w3x3 + λ(Y –3(x11/3 + x2

1/3 + x31/3)

Aplicando condición de primer orden:

d£/dx1= w1 - (1/3)l.x1-2/3= 0 ...... (1)

d£/dx2= w2 - (1/3)l x2- 2/3= 0 ...... (2)

d£/dx3 = w3 - (1/3)l x3- 2/3= 0 ...... (3)

d£/dλ = Y- 3(x11/3 + x2

1/3+ x31/3 ) = 0 ...... (4)

Resolviendo el sistema, de (1) y (2):

3

3

3

2

3

1

12

3 111

2

32),(

wwwP

PwPY

3

3

3

2

3

1

2

1 1113),(

wwwPwPY

3

2

1

2

3

2

2

3

2

1

2

1

x

x

x

x

w

w

175

De (1) y (3):

De (2) y (3):

Reemplazando las equivalencias, convenientemente, en la restricción, se obtienenlas demandas condicionales de cada factor. Así, para obtener X1, se debe usar (5)y (7), y despejar:

)5(....1

2

3

2

12 x

w

wx

)6(....2

2

3

1

21 x

w

wx

3

2

1

3

3

2

3

3

2

1

3

1

x

x

x

x

w

w

)7(....1

2

3

3

13 x

w

wx

)8(....3

2

3

1

31 x

w

wx

3

2

2

3

3

2

3

3

2

2

3

2

x

x

x

x

w

w

)9(....2

2

3

3

23 x

w

wx

)10(....3

2

3

2

32 x

w

wx

3

1

1

2

3

3

1

3

1

1

2

3

2

13

1

13 xw

wx

w

wxY

176

3

3

Para obtener X2, se reemplazan (6) y (9):

3

3

Luego, para obtener X3, se reemplazan (8) y (10):

3

1

1

2

1

3

13

1

1

2

1

2

13

1

13 xw

wx

w

wxY

2

1

3

2

1

2

2

1

1

3

1

12

1

1

1113

wwwxwY

2

1

32

1

22

1

12

1

1

1

1113 wwww

Yx

3

1

2

2

3

3

23

1

2

3

1

2

2

3

1

23 xw

wxx

w

wY

3

1

2

2

1

3

23

1

23

1

2

2

1

1

23 xw

wxx

w

wY

2

1

3

2

1

2

2

1

1

3

1

22

1

2

1113

wwwxwY

2

1

32

1

22

1

12

1

2

2

1113 wwww

Yx

177

3

3

Remplazando las demandas condicionales en la ecuación de costos9, se obtiene lafunción de costos:

9 Se asume que A= [(1/W1)1/2 + (1/W2)1/2 + (1/W3)1/2 ]

3

1

3

3

1

3

2

3

2

3

3

1

3

2

3

1

33 xxw

wx

w

wY

3

1

33

1

3

2

1

2

33

1

3

2

1

1

33 xxw

wx

w

wY

2

1

3

2

1

2

2

1

1

3

1

32

1

3

1113

wwwxwY

2

1

32

1

22

1

12

1

3

3

1113 wwww

Yx

3

2

1

3

3

3

2

1

2

2

3

2

1

1

1

333),(

Aw

Yw

Aw

Yw

Aw

YwYwC

32

1

3

32

1

2

32

1

1 3

1

3

1

3

1),(

A

Y

wA

Y

wA

Y

wYwC

178

Remplazando A:

e) Comprobación de las demandas condicionales

Lema de Sheppard:

Entonces,

2

1

3

2

1

2

2

1

1

3111

3),(

wwwA

YYwC

2

2

1

32

1

22

1

1

3

11127

),(

www

YYwC

ii w

YwCYwx

),(

),(

2

3

1

3

2

1

3

2

1

2

2

1

1

3

11 2

1111

27)2(),(

wwww

Y

w

CYwx

2

3

1

3

2

1

3

2

1

2

2

1

1

3 1111

27

wwww

Y

AA

YYwC

3

3

27),(

179

3

2

1

12

1

12

1

12

1

1

1

1113),(

wwww

YYwx

2

3

2

3

2

1

3

2

1

2

2

1

1

3

22 2

1111

27)2(),(

wwww

Y

w

CYwx

2

3

2

3

2

1

3

2

1

2

2

1

1

3 1111

27

wwww

Y

3

2

1

12

1

12

1

12

1

2

2

1113),(

wwww

YYwx

2

3

3

3

2

1

3

2

1

2

2

1

1

3

33 2

1111

27)2(),(

wwww

Y

w

CYwx

2

3

3

3

2

1

3

2

1

2

2

1

1

3 1111

27

wwww

Y

3

2

1

12

1

12

1

12

1

3

3

1113),(

wwww

YYwx

180


a) Calcule la función de costos.b) Halle la función de costos a corto plazo para esta tecnología.c) Halle la elasticidad de sustitución

Solución:

a) Función de Costos

Su cálculo implica minimizar el costo:

Min. w1x1 + w2 x2

C.P.O.:

Resolviendo el sistema, se obtiene la relación entre x1 y x2:

21

22

1

2

2

2

x

x

w

w

)4(.....1

2

1

2

12 x

w

wx

Yxxas 112

112:..

112

1121 2),(

xxxxY

112

112211 2 xxYxwxw

)1(......02 211

1

xwx

)2(......02 222

2

xwx

)3(......02 112

11

xxy

)5(.....2

2

1

1

21 x

w

wx

181

Haciendo los reemplazos respectivos en la restricción, se hallan las demandascondicionales de cada factor. Así, al reemplazar (4), se obtiene la demandacondicional del factor x1:

Para obtener la demanda condicional del factor x2, se reemplaza (5), en la funciónde producción:

11

1

2

1

2

1112

x

w

wxY

1

11

2

1

2

1112

x

w

wxY

1

11

2

1

1

2112

x

w

wxY

1

2

1

1

2

1

22

1

1112

w

wwxY

2

1

22

1

1

2

1

112

ww

wxY

2

1

1

2

1

22

1

11 2

w

wwYx

1

12

1

2

2

1

1

22

xx

w

wY

182

Finalmente, reemplazando las demandas condicionales, en la ecuación de costos,y reduciendo, se obtiene la función de costos:

1

12

12

2

1

1

22

xx

w

wY

1

12

12

2

1

2

12

xx

w

wY

1

2

1

2

2

1

22

1

1122

w

wwxY

2

1

22

1

1

2

1

212

ww

wxY

2

1

2

2

1

22

1

12 2

w

wwYx

2

1

2

2

1

22

1

12

2

1

1

2

1

22

1

11 2

.2

.),(

w

wwYw

w

wwYwYwC

2

1

22

1

12

1

22

1

12),( wwww

YYwC

2

2

1

22

1

12),(

ww

YYwC

183

b) Función de costos a corto plazo

Se asume que uno de los factores permanece fijo, por ejemplo x1 = x1; luego, sereemplaza en la función de producción, y se despeja el factor variable:

Luego, se reemplaza en la ecuación de costos, el factor fijo y el factor variable,obteniéndose:

c) La elasticidad sustitución

……….. (1)

112

112 xxY

2

112

11

Yxx

Y

xx21

21

1

11

12

2 xY

x

Yx

xYx

1

1

22

1

1

1

12

212

xY

Yx

xYx

Yx

xYwxwYwC CP

1

1

2112

),(

12

21

21

12

xx

ww

ww

xx

184

Del problema de minimización de costos, rescatamos la relación:

Reordenando:

Entonces,

Reemplazando (2) y (3) en (1) :

σ = 1

22

21

1

2

x

x

w

w

)2(...........2

1

2

1

1

2

w

w

x

x

2

1

2

1

212

1

2

1

2

12

1

w

w

ww

w

w

21

22

1

2

x

x

w

w

)3(...........

2

1 2

1

2

1

21

12

w

w

ww

xx

2

1

2

1

21

2

1

2

1

2

12

1

w

w

ww

w

w

185

7. Dada la siguiente función de beneficios:

Obtenga:

a) Las funciones de Demanda No condicional de los factores.b) La función de Oferta.c) Las funciones de Demanda condicional de los factores.d) La función de Costos.e) La función de Producción.

Solución

a) Demandas No condicionales

Aplicando el Teorema de Hotelling:

→

→

b) La función de oferta Y(w, P)

Por Teorema de Hotelling:

21

2 11),(

wwpwP

ixwpx

i

),(

2

1

21

2 22)1(),(1

w

pwpwpx

2

2

22

2 22)1(),(2

w

pwpwpx

PPwY

),(

186

c) Las funciones de demanda condicional

Primero, de la función de oferta se despeja P, así:

Luego, se reemplaza P en cada una de las demandas no condicionales y se reduce:

→

21

112),(

wwpPwY

21

112

ww

YP

2

211

2

1

21

112

2

112

21

www

Y

w

ww

Y

x

2

21

22

21

211

)(22

2

21

ww

Yw

ww

www

Yx

2

21

2

)(2

11

ww

Ywx

187

→

d) La Función de costos

Basta reemplazar las demandas condicionales en la ecuación de costos, y reducir:

2

212

2

2

212

112

2

112

2

www

Y

w

ww

Y

x

2

21

12 )(2

1

ww

Ywx

2

21

12

21

212

2 )(22

2

2

ww

Yw

ww

www

Yx

2

21

12

2

21

21 )(2

1.

)(2

1.),(

ww

Yww

ww

YwwYwC

221

221

2

221

221

2

)(2)(2),(

ww

wwY

ww

wwYYwC

221

21212

)(2

)(),(

ww

wwwwYYwC

188

e) La elasticidad sustitución

……….. (1)


Min. w1X1 + w2 X2

s.a: AX1a X2

b = y

L = w1X1 + w2 X2 + λ (y -AX1a X2

b )

CPO:

dL/dX1= w1 - a λAX1a-1X2

b = 0

dL/dX2= w2 - b λ AX1aX2

b-1= 0

dL/dλ = y - AX1aX2

b = 0

Estableciendo la relación:

12

21

21

12

xx

ww

ww

xx

121

21

1

1

2

ba

ba

xAxb

xAxa

w

w

)2(...........2

1

1

2

aw

bw

x

x

)(2),(

21

212

ww

wwYYwC

189

Entonces,

Reemplazando (2) y (3) en (1) :

8. Dada la siguiente función de producción de una empresa:

a) Halle el nivel de producción y las cantidades óptimas empleadas de cada factorcuando w1 = w2 = 10 y el Costo total es igual a 5’000.060

b) La empresa requiere producir 200 unidades de su producto cuando el precio delfactor x2 es el doble del de x1. Halle el costo total de producción.

Solución

a) Estos cálculos implican minimizar el costo:

Min. w1x1 + w2 x2

C.P.O.:

σ = 1

21

21

awbw

ww

a

b

)3(...........

21

12

a

b

ww

xx

2

1

22

1

12211 )4()2( xxYxwxw

)1(......0)1()2(2

12

1

111

xwx

2

1

22

1

1 )4()2( xxY

Yxxas 2

1

22

1

1 )4()2(:.

190

Resolviendo el sistema, se divide (1)/(2), y se simplifica, obteniéndose la relaciónentre x1 y x2:

Haciendo los remplazos respectivos en la restricción, se hallan las demandascondicionales de cada factor. Así, al remplazar (4), y simplificar se obtiene la demandacondicional del factor x1:

2

1

2

1

2

2

1

1

)1()4(2

1

)1()2(2

1

w

w

x

x

)2(.....0)1()4(2

12

1

222

xwx

)3(......0)4()2( 2

1

22

1

1

xxY

2

2

1

1

2

)2(

)4(

w

w

x

x

Yxw

wx

2

1

1

2

2

12

1

1 44)2()2(

2

12

1

1

2

)2(

)4(

w

w

x

x

)4(...4)2( 1

2

2

12

x

w

wx

)5(...2)4( 2

2

1

21

x

w

wx

191

Para obtener la otra demanda condicional se reemplaza (5) en (3):

Yxw

wx

2

1

1

2

2

2

12

1

1 )2()2(

Yw

wx

2

12

1

1 1)2(

Yw

wwx

2

212

1

1 )2(

2

21

21 )2(

Yww

wx

22

21

21

Yww

wx

Yxxw

w

2

1

2

2

1

2

2

1

2 )4(22)4(

Yxxw

w

2

1

2

2

1

2

2

1

2 )4()4(

Yxxw

w

2

1

22

1

21

2 )4()4(

Yw

wx

1

22

1

2 1)4(

Yw

wwx

1

212

1

2 )4(

192

Para obtener la función de costos se reemplaza x1(w,Y) y x2(w,Y) en la ecuación decostos, y se simplifica:

Entonces, si C = 5’000.060, w1 = w2 = 10, el nivel de producción será:

)10(4102)1010(

)10)(10(060.000'5

2

Y

5

000.000'52 Y

000.1Y

2

21

12 )4(

Yww

wx

42

21

12

Yww

wx

4.2.),(2

21

12

2

21

21 Y

ww

wwY

ww

wwYwC

2121221

221 42

)(),( wwww

ww

YwwYwC

22221

22

12

21

221 42),( ww

ww

ww

ww

wwYwC

2121

221 42

)(),( ww

ww

YwwYwC

6020

100060.000'5

2

Y

193

Las demandas óptimas de factores:

b) Si Y = 600 unidades cuando el precio del factor x2 es el doble del de x1

Primero se determina las cantidades demandadas de cada factor:

Si w2 = 2w1 e Y = 600, entonces

002.250

2)000.1(20

102

1

x

004.250

4)000.1(20

102

2

x

2)600(2

22

11

11

ww

wx

2)600(3

22

1

x

2400 21 x

002.1601 x

4)600(3

2

1

12

w

wx

4200 22 x

004.402 x

194

9. Si una empresa tiene la siguiente función de producción:

Y = [4X2(X1+2)]1/3

y los costos de los factores son w1= w2 =1

a) Halle la curva de oferta de largo plazob) Si el factor X2 se mantiene fijo en X2 = 10 derive la curva de oferta a corto plazo

Solución

Se plantea el problema dual:

Min. w1x1 + w2 x2

C.P.O.:

Resolviendo el sistema, se divide (1)/(2), y se simplifica, obteniéndose la relaciónentre x1 y x2:

2

1

13

2

12

23

2

12

)84()2(43

1

)4()2(43

1

w

w

xxx

xxx

Yxxas 3

1

12 )2(4:..

3

1

122211 )2(4 xxYxwxw

)1(......0)4()2(43

12

3

2

1211

xxxwx

)2(.....0)84()2(43

11

3

2

1222

xxxwx

)3(......0)2(4 3

1

12 xxY

2

1

1

2

)2( w

w

x

x

195

Haciendo los reemplazos respectivos en la restricción, se hallan las demandascondicionales de cada factor. Así, al remplazar (4), se obtiene la demandacondicional del factor x1:

Para obtener la otra demanda condicional se reemplaza (5) en (3):

)4(.....)2(

2

112 w

xwx

)5(.....2

1

1221 w

wxwx

Yxw

xw

3

1

12

11 )2()2(

4

3

2

211 )2(4

Yw

xw

1

322

1 4)2(

w

Ywx

2

1

1

32

1 4)2(

w

Ywx

24

2

1

1

32

1

w

Ywx

Yw

wxwx

3

1

1

1222 2

24

3

1

11222

224 Y

w

wwxwx

196

Para obtener la función de costos se reemplaza x1(w,Y) y x2(w,Y) en la ecuación decostos, y se simplifica:

Entonces, en función de los datos:

Luego, como Cmg ≡Oferta, se halla el Cmg:

2

1

2

31

2

2

1

1

32

1 4.2

4.),(

w

Yww

w

YwwYwC

1

2

13

21 24

2),( wYww

YwC

12

13

21 2),( wYwwYwC

2

312

2 4w

Ywx

2

1

2

31

2 4

w

Ywx

3

1

2224 Y

w

xw

2

13

211

2

13

21

42

4),(

Ywww

YwwYwC

)1(2)1)(1(),( 2

13 YYwC

2),( 2

3

YYwC

197

que representa la oferta de largo plazo.

b) La curva de oferta de corto plazo

Se sabe que el factor fijo es x2 =10. Entonces, el factor variable se obtieneremplazando X2 en la función de producción, y despejando:

Luego, en la función de costos:C = CF + CV

Similarmente, como oferta ≡ Cmg:

2

1

2

3YCmg

3

1

1 )2)(10(4 xY

31 )2(40 Yx

40)2(

3

1Y

x

240

3

1 Y

x

2

40)1()10)(1(),(

3YYwC

408),(

3YYwC

403

2YCmg CP

198


Y = e(1 + 1/5 Ln X1

+ 4/5 LnX2

)

a) Calcule la función de costos.b) Halle las cantidades demandadas de factores y el costo de producción para 10,000

unidades de producto final cuando los costos de los factores son w1= 1 y w2= 2.c) Calcule la nueva producción cuando se incrementa en 30 % el uso del factor X1

d) Calcule la nueva producción cuando se incrementa en 20 % el uso del factor X2

Solución

a) Primero se sintetiza la funciòn:

LnY =Lne (1 + 1/5Ln X1

+4/5Ln X2

)

Ln Y = 1 + 1/5Ln X1 + 4/5Ln X2

Ln Y = Ln e + 1/5Ln X1 + 4/5Ln X2

Ln Y = Ln e + Ln X11/5+ Ln X2

4/5

Ln Y = Ln (e X11/5 X2

4/5 )

Entonces,Y = e X1

1/5 X24/5

Luego:

Min. w1X1 + w2 X2

s.a: e X11/5 X2

4/5 = y

L = w1X1 + w2 X2 + λ(y - e X11/5 X2

4/5 )

CPO:

dL/dX1= w1 - 1/5λ eX1-4/5X2

4/5 = 0

dL/dX2= w2 - 4/5λ eX11/5X2

-1/5 = 0

dL/dλ= y - X11/5X2

4/5 = 0

199

Reduciendo:

Se remplaza (β) en la restricción, y se halla la demanda condicional del factor X1:

Asimismo, X2se obtiene remplazando (α) en la restricción:

Finalmente, la función de costos:

5/12

5/115

4

5/42

5/415

1

2

1

XeX

XeX

w

w

)...(4 1

221

w

XwX

)...(4

2

112

w

XwX

5/4

2

115/11

4

w

XweXY

5/4

2

11

4

w

weXY

5/4

1

21 4

w

w

e

YX

5/42

5/1

1

22

4X

w

XweY

5/1

1

22 4

w

weXY

5/1

2

12

4

w

w

e

YX

5/1

2

12

5/4

1

21

44

),(w

w

e

Yw

w

w

e

YwYwC

5/15/42

5/11

5/45/42

5/11 44),(

e

Yww

e

YwwYwC

200

b) Si Y = 10.000 y los precios de los factores sonW1=5 y W2= 10, entonces el costo deproducción será:

Las cantidades demandadas de factores:

c) En este caso se recurre al concepto de elasticidad escala de producción oelasticidad producto:

Si Y = e X11/5 X2

4/5

Entonces,

5/15/45/42

5/11 44),(

e

YwwYwC

64937,1718281828,2

),( 5/42

5/11

YwwYwC

YwwYwC 5/42

5/11606769722,0),(

)000.10()10()5(606769722,0 5/45/1C

37,822.52C

5/4

1 )5(4

10

718281828,2

000.10

X

113.21 X

5/1

2 10

)5(4

718281828,2

000.10

X

226.42 X

Y

x

x

Y

X

YX

1

11%%

1

5/42

5/415

1

1

XeXx

Y

201

Remplazando en fórmula de elasticidad, y simplificando:

Retomando la fórmula de elasticidad:

En atención al enunciado:el uso del factor X1 aumenta en 30%:

Entonces,

d) De manera similar:

En la fórmula de elasticidad:

Como el factor X2 aumenta 20%:

Entonces,

5/42

5/11

15/42

5/415

11 XeX

XXeXX

51

1X

51

1%%

1

X

YX

51

%30%

Y

%)30(% 51 Y

%6% Y

54

2X

54

2%%

2

X

YX

54

%20%

Y

%)20(% 54 Y

%16% Y

202

2.2. Funciones de producción de Leontiev

1. Doña Clara, una experta cocinera, para preparar una tortilla perfecta requierebásicamente huevos frescos y su harina secreta, en la proporción fija siguiente: 5 huevosy ½ taza de harina.La harina secreta la prepara para el día, no se puede almacenar. En el mercado un huevose cotiza en S/ 0,50, mientras que la harina secreta implica un costo de S/ 2,00 la taza.

Se pide:

a) Formular la función de producciónb) Dibujar la isocuanta para un nivel de producción de 10 tortillas.c) Si doña Clara preparó 12 tazas de harina para el día y vende 20 tortillas ¿cuál será su

costo de producción?d) Si la harina se pudiesen almacenar ¿Cuál sería el costo de producir 20 tortillas?.

Solución

a)

Donde:

Y: cantidad de tortillasx1: cantidad de huevosx2:cantidad de tazas de harina secreta

b) Sabemos que, en general,

Entonces:

Por tanto,

2121 2;

5

1.),( xxMínxxY

ii a

Yx

25

1 21

Yxy

Yx

50

5110

1 x

203

Gráficamente:

c) En este caso, se encontraría en una situación de corto plazo con un factor fijo(Harina) y un factor variable (Huevos).

Para producir 20 tortillas (Y = 20):

Se tiene el volumen del Factor Fijo10

10Con esta cantidad se podría producir: Y = 2*12 = 24 Tortillas

Huevos

Harina

(Tazas)

50 100 150

20

15

10

5

Y = 10

52

102 x

122 x

204

Se necesitará la siguiente cantidad del Factor variable:

Entonces, el costo mínimo de corto plazo:

Gráfico

100

5120

1 x

.... FCVCC

00,74C

1200,210050,0 C

Huevos50 100 148 150 200

37

12

10

5

Y = 20

Y = 10

Harina

(Tazas)

205

d) En este otro caso, se encontraría en una situación de largo plazo –todos los factoresson variables- entonces,

Si Y = 20

Costo mínimo:

Gráfico

102

202 x100

5120

1 x

2211 xwxwC

1000,210050,0 C

00,70C

Huevos50 100 140148 150 200

37

35

12

10 Y = 20

Harina(Tazas)

206

2. Una empresa tiene dos posibles actividades para producir el bien Y:

- La actividad A, que para producir una unidad del bien Y, emplea 2 unidades delfactor x1 y 1 unidad del factor x2.

- La actividad B, usa 1/2 unidad de x1 y 2 unidades de x2 para elaborar una unidadde Y.

Si los precios de los factores son w = (1, 2), determine:

a) La función de producciónb) Las demandas para los dos factoresc) ¿Cuál es la función de costos para esta tecnología?d) Grafique

Solución

a) La función de producción será de la forma:

Entonces,

Esta formulación implica que la empresa debe de elegir, de forma excluyente, una delas dos técnicas para producir el bien. Su elección dependerá de los costos.

c) Las demandas:

Si usa proceso A:

Entonces,

Las demandas de factores serán:

212121 2

1,2.,

2

1.),( xxMínxxMínxxY

2211221121 ,.,.),( xbxbMínxaxaMínxxY

21 ,

2

1. xxMínY

yy

x A 22

11 yy

x A 12

207

Si usa proceso B:

Las demandas de factores serán:

Función de costos

Proceso A:

Proceso B:

Entonces,

Como w1= 1 w2 = 2 , los costos serán:

Proceso A:

CA = (2w1 + w2)y

CA = 4y

21y

x B yy

x B 22

12

21 2

1,2. xxMínY

ywywC A21 2

ywwC A212

ywy

wC B 22 21

yww

C B

2

1 22

yww

wwMínwyC

2

121 2

2,2.),(

208

Proceso B:

CB = 4.5y

Por tanto, el proceso elegido será el proceso A

d) Gráfico

Si y = 1→ xA = (2, 1)

xB= (½, 2)

x1

x2

0 1 2 3 4

3

2

1YA = 1

YB = 1

CB = 4.5

CA = 4

yww

C B

2

1 22

209

3. Sea la función de producción siguiente:

¿Cuál es la función de costos de esta tecnología?

Solución:

Considerando la primera técnica, sí ésta es utilizada, entonces la función de producciónserá:

y = x1 + 2x2

Dado que es lineal, la empresa será típicamente especializada en el empleo de uno uotro factor, y demandará:

x1 = y ó x2 = y/2

dependiendo de cuál sea más barato.

Por lo tanto la función de costos de esta técnica será11:

Similarmente, las funciones de demanda y la función de costos para la otra técnicaserán:

11Si Y= aX1 + bX2 , tendremos una función de costos para una tecnología lineal (los factoresson sustitutos perfectos) ; esto implica que se utilizará sólo el factor más barato. Así , lafunción tendrá la forma:

C(w1, w2, Y) = Min. (w1/a, w2 /b).Y

VéaseH.Varian “Microecomic Analysis”.W.W. Norton & Co. 3d.Edition. 1992

43214321 3

2

1,2.),,,( xxxxMínxxxxY

yw

wMínwyC

2,.),( 2

1

210

x3= 2y ó x4 = y/3

Dado que ambas técnicas deben ser empleadas para producir y unidades de producto, lafunción de costo de esta tecnología es:

4. Una empresa usa 4 insumos para producir un solo bien. La función de producción es

a) ¿Cuál es el vector de las demandas condicionales de factores para producir unaunidad de producto cuando el vector de precios de los factores es: w = (1,2,3,4) ?

b) ¿Cuál es la función de costos?c) ¿Qué clase de retornos a escala tiene esta tecnología?d) Si otra empresa tiene una función: f (X1,X2 ,X3,X4 ) = Min. (X1 + X2 , X3, + X4 )

Cuál es el vector de las demandas condicionales de factores para producir unaunidad de producto cuando los precios son w = (1,2,3,4)

e) ¿Cuál es la función de costos para esta firma?

Solución

a) Este modelo de función de producción de Leontiev consiste en la agregación de dosprocesos productivos mutuamente excluyentes

Si Y= 1, w1= 1 , w2= 2 , w3= 3 , y w4= 4,

Las demandas condicionales de factores serán:

yw

wMínwyC

3,2.),( 4

3

yw

wMínw

wMínywC

3,2)

2,(.),( 4

32

1

43214321 ,.,.),,,( xxMínxxMínxxxxf

43214321 ,.,.),,,( xxMínxxMínxxxxf

211

x1= y x2 = y x3 = y x4 = y

El costo de producción de cada proceso:

C(w1, w2, y) = w1 y + w2 y C(w3, w4, y) = w3 y + w4 y


C(w1, w2, y) = (1)(1) + (2)(1) C(w3, w4, y) = (3)(1) + (4)(1)

= 3 = 7

Por tanto, se prefiere el proceso menos costoso -el proceso que emplea los factoresx1 y x2- y se descarta el más costoso. Así, la demanda de factores se representa por elvector

X(x1, x2, x3, x4) ≡ X(1, 1, 0, 0)

b) La función de costos se obtiene, agregando las funciones de costos de ambosprocesos:

C(w1, w2, y) = (w1 + w2)y C(w3, w4, y) = (w3 + w4)y

Entonces:

C(w1, w2, w3, w4, y) = Mín. [w1 + w2; w3 + w4] y

c) Si variamos los insumos en t > 0, entonces la función de producción:

4321

4321

4321

,.,.'

,.,.'

,.,.'

xxMínxxMínty

xxtMínxxtMíny

txtxMíntxtxMíny

212

La producción también se ve afectada en t, por tanto, presenta rendimientosconstantes a escala.

d) Si la función de producción es:

La función de producción consta de dos procesos lineales, cada uno usa los factoresde manera excluyente, basándose en los costos. La producción final se obtiene deambos procesos.

Empleando los datos:

Y = 1, w1= 1 , w2= 2 , w3= 3 , y w1= 4

Con el primer proceso:

Y = x1 + x2

las demandas de factores: x1 = y ó x2 = y

Para determinar que factor se empleará, calculamos cuál es más barato:

CX1 = w1 y CX2 = w2 y

= (1)(1) = (2)(1)

= 1 = 2

Entonces, empleará x1

Con el segundo proceso:

y = x3 + x4

las demandas de factores: x3 = y ó x4 = y

43214321 ,.),,,( xxxxMínxxxxf

213

Calculamos los costos:

CX3 = w3 y CX4 = w4 y

= (3)(1) = (4)(1)

= 3 = 4

Entonces, en este proceso sólo empleará x3

Así, el vector de demanda condicional de factores, en este caso, es:

X(x1, x2, x3, x4) ≡ X(1, 0,1, 0)

e) Las función de costos, para cada proceso, será:

C1 = Mín. (w1y , w2y) C2 = Mín. (w3y , w4y)

C1 = Mín. (w1, w2)y C2 = Mín. (w3, w4)y

Como la función de costos implica seleccionar el costo mínimo de cada proceso, lafunción de costos es lineal:


a) Halle las funciones de demanda de factoresb) Halle la función de costos a largo plazo. Si w1 = 0.5; y w2 = 1,5 ¿ cuál sería el

costo total para una producción de 120 unidades?.c) Dibuje el Cme y el Cmg y señale que tipo de rendimientos a escala presenta.d) Halle la producción óptima y las ganancias de la empresa cuando el precio de

venta es de 100

2

1

2121 2

3

2

1.),(

xxMínxxY

ywwMínwwMínyWC 4321 ,),(.),(

214

Solución

a) Funciones de demanda:

Sabemos que:

b) Función de costos

Partiendo de la ecuaciåon de costos

C = w1 X1 + w2 X2

Reemplazando las funciones de demanda

Luego si w1 = 0,5; y w2 = 1,5; entonces:

2

1

12

1

xY

2

1

22

3

xY

21 2 Yx

22 3

2Yx

2

22

1 3

2.2.),( YwYwYwC

22

3

25,125,0),( YYYwC

22),( YYwC

215

Si Y= 120, entonces:

C = 28.800

c) Costo medio y costo marginal

Se puede observar que el costo marginal está por encima del costo medio, por tantopresenta rendimientos decrecientes a escala.

d) La producción de equilibrio

Si el precio de venta de Y es 100

En equilibrio:

CMg=IMg

4Y = 100

Y = 25

YY

CCMe 2

YY

CCMg 4

C

Y

CmeCmg

216

Las cantidades demandadas de factores:

Nivel de ganancias:

π = P.Y – C

= P.Y – 2Y²

= (100)(25) – 2(25)2

= 2.500 – 1.250

π = 1.250


a) Halle las funciones de demanda de factores.b) Halle la función de costos. Dibuje el Cme y el Cmg y señale que tipo de

rendimientos a escala presenta.c) Si la empresa puede gastar 10.500 unidades monetarias, y los precios de los

factores son w1 = 2.5; y w2 = 3 ¿cuál sería el nivel de producción? ¿cuál sería lademanda de factores productivos?

d) Si el precio de mercado del bien Y es de 10 unidades monetarias, ¿la empresa estaráoptimizando?

Solución

a) Funciones de demanda de factores:

Sabemos que:

250.1)25(2 21 x

67,416)25(3

2 22 x

2

2121 5

1,.),(

xxMínxxY

21xY 2

1

1 Yx

217

b) Función de costos

C = w1 X1 + w2 X2

Reemplazando las funciones de demanda

Costo medio y costo marginal

2

25

1xY 2

1

2 5 Yx

2

1

22

1

1 5..),( YwYwYwC

2

1

21 5),( YwwYwC

2

121 )5(

Y

wwCMe

Y

CCMe

2

121

2

)5(

Y

wwCMg

Y

CCMg

218

Gráfico

Como el costo marginal está por debajo del costo medio, la función de producciónpresenta rendimientos crecientes a escala.

c) Si la empresa gasta 10.500 y los precios de los factores son w1= 25 y w2= 30,remplazando en la función de costos, y despejando:

La demanda de factores:

C

Cme

Y

CMg

2

1

)30(525500.10 Y

2

1

175500.10 Y

2

175

500.10

Y

600.3Y

2

1

1 Yx

2

1

1 )600.3(x

601 x

219

d) Con los datos anteriores y con el precio de venta unitario de Y de 3,5

En equilibrio:

CMg = IMg

Introduciendo los precios en el CMg

2

1

2

1

5,87

2

175

YY

CMg

Retomando el equilibrio:

La demanda de factores:

5,35,87

2

1

Y

252

1

Y

2

1

2 5 Yx

2

1

2 )600.3(5x

3002 x

2

121

2

)5(

Y

wwCMg

625* Y

2

1*

1 Yx

220

Nivel de ganancias de equilibrio:

π = P.Y – C

= P.Y – (w1 x1 + w2 x2)

= (3,5)(625) –[25(25) + 30(125)]

= 2.187,5 – 4.375

π = - 2.187.5

Nivel de ganancias gastando 10,500 Y = 3.600

π = P.Y – C

= P.Y – (w1 x1 + w2 x2)

= (3,5)(3.600) –[25(60) + 30(300)]

= 12.600 –10.500

π = 2.100

En este caso, cuando se tiene rendimientos crecientes a escala el equilibrio vaimplicar pérdidas (CMe> P=Cmg) por ello cuanto más se produzca las pérdidas sereducirán, incluso habrán beneficios extraordinarios.

2

1*

2 5 Yx

2

1*

1 )500.2(x

25*1 x

2

1*

2 )625(5x

125*2 x

221

III. INTERVENCION ESTATAL

3. 1. Externalidades y Bienes Públicos

1. La demanda privada de un bien responde a la ecuación

P = 100 -0,25x

Cada unidad del bien x provee a los consumidores una externalidad positiva de20unidades monetarias.Por otro lado, la oferta del bien es Po = 0,25x

a) Determine la ecuación de la demanda social de este bienb) Halle la valoración privada y la valoración social del bien. Grafique.c) Halle el nivel en el cual la valoración social del bien x es igual a su costo

social de producirla.d) Calcule la magnitud de la pérdida social. Grafiquee) Que medida debe tomar el gobierno para eliminar la pérdida social.

Solución

a) La demanda social del bien (Ps) será igual a su demanda privada (P) más laexternalidad (Ex), así:

Ps = P + Ex

Entonces,

Ps= 100-0,25x + 20

Ps= 120 -0,25x

b) Para hallar la valoración privada hay que hallar el equilibrio natural delmercado:

P = Po

Entonces,

222

100 -0,25x = 0,25x

100 = 0,5x

x = 200

Así, la valoración privada del bien x es:

P = 50

Grafico: Mercado del bien x

P

X200 240 400 480

120

100

706050

0

A

B

C

M

y la valoración social de cada una de las 200 unidades del bien X será 70unidades monetarias, es decir, la valoración privada más el monto de laexternalidad.

c) La igualdad entre la valoración social del bien y el costo marginal deproducirlo implica hallar el equilibrio entre la demanda social y la oferta:

Ps = Po

223

Luego, 120 -0,25x = 0,25x

120 = 0,5x

x = 240

y P = 60

En el gráfico, este equilibrio está representado por el punto C.

d) En el gráfico, la pérdida social esta representada por el triángulo ABC

Si el equilibrio se diese con la demanda social, éste ocurriría en el punto C,

donde:

Exc. Cosumidor =

Exc. Productor =

Pero como el equilibrio natural ocurrirá en el punto B, los excedentes serán:

Exc. Cosumidor =

Exc. Productor =

Así, la pérdida social será: 14.400 - 14.000 = 400

Que viene a ser el monto representado por el triángulo ABC:

200.72

240)60120(

x

200.72

24060

x

000.7200)6070(2

200)70120(

x

x

000.7200)5060(2

20050 x

x

4002

800

2

)200240)(5070(

ABC

224

e) Para evitar la pérdida social el gobierno tiene que otorgar un subsidio quehaga que la demanda privada se traslade hacia la derecha hasta que se igualea la oferta en el punto C.

Gráfico. Subsidio al consumidor

P

X200 240 400 480

120

100

Pc = 6050

Pp = 40

0

A

B

C

M

PP + Subs.

D

El precio que pagaría el consumidor (PC ) sería 40, mientras que el productorecibiríaun precio (Pp) de 60, la diferencia -20- sería el subsidio por cada unidadtransada en el mercado. El desembolso total del gobierno, por este concepto , será:

Subsidio Total = 20 x 240 = 4.800

2. Defina que es un bien público? De ejemplos

Un bien público es aquel bien o servicio que cumple dos condiciones:

1º. Su consumo es No Excluyente. No se puede excluir a nadie de su consumo.

225

La exclusión o no exclusión de un bien implica la posibilidad de asignarle o noun precio. Si no es excluyente no habría interés del sector privado porproducirlo, sólo podría ser suministrado por el Estado.

Si es excluyente su producción será emprendida por la empresa privada o laempresa pública.

2º. No existe rivalidad en su consumo. Esto significa que el consumo de unapersona no reduce o afecta el consumo de los demás.

Ejemplos de bienes públicos: La defensa nacional, el alumbrado público, señalde TV abierta, faro.

3. Cómo se clasifican los bienes según cumplan o no la exclusión y la rivalidad

El cuadro siguiente nos permite tipificar los bienes de acuerdo a si cumplen o nocon la exclusión y la rivalidad:

EXCLUYENTE NO EXCLUYENTERIVAL BIEN PRIVADO

Mercado buen asignador derecursos

BIEN IMPURO(Público)Ejem. Carretera congestionadaTren eléctrico en periodo deprueba y hora punta.

NO RIVAL BIEN IMPURO(público oprivado)Ejem. TV cable, fuegosartificiales, parque de lasleyendas, cine, Internet.

BIEN PUBLICO PUROEstado único mecanismoasignador de recursos

4. Que es un Free rider

En la jerga económica free rider significa colado, viajero sin billete, gorrón,parásito, polizón, etc. Este término hace referencia a un individuo que sebeneficia de un bien o servicio sin haber contribuido a su financiamiento,

226

algunos también señalan que un free rider es un emisor de externalidadesnegativas que no paga a los perjudicados12,En economía pública un free rider es aquel individuo que tiene interés enbeneficiarse de un bien público, el ejército, la policía, el alumbrado público, perono está dispuesto a pagar por él. Los bienes públicos generan el problema delfree rider13. Para evitar la existencia free-riders y los agravios comparativos quegeneran el que unos paguen y otros no, los bienes públicos deben ser siempreprovistos por el gobierno.

5. Un bien publico tiene una estructura de costos cuya función es:

Sus ingresos totales tienen como función:

a) Determine el nivel de la producción si la empresa fuera del Estado. Grafique.b) ¿Cuál será el nivel de producción eficiente de este bien?.Grafique.

Solución

a) Cuando la empresa que provee el bien público es del Estado, el equilibrioimplica producir en el nivel donde se igualen el ingreso total con el costototal, donde no existan beneficios extraordinarios.Entonces,

IT = CT

12BIENES PÚBLICOS, EXTERNALIDADES Y LOS FREE-RIDERS: EL ARGUMENTORECONSIDERADO* Alberto Benegas-Lynch (h). en Estudios Públicos, 71 (invierno 1998).Buenos Aires.

13Extraido de http://economy.blogs.ie.edu/archives/2007/01/que_es_un_free.php

562 2 XXC

XIT 31

56231 2 XXX

227

Resolviendo la cuadrática

El nivel de producción sería de 14 unidades, y el Ingreso total:

Asimismo, el costo total:

Gráfico. Producción de la empresa pública

P

X2 4 6 8 10 12 14 16 18

434

0

IT

CT

056322 2 XX

14X

434

)14(31

IT

IT

56)14()14(2 2 C

434C

http://economy.blogs.ie.edu/archives/2007/01/que_es_un_free.php

228

c) Si la empresa estuvieses buscando la eficiencia, tendría que producir en elnivel donde:

Remplazando,

Gráfico. Producción eficiente de la empresa pública. Enfoque total

P

X2 4 6 8 10 12 14 16 18

434

0

IT

CT

Máxima ganancia por unidad

Entonces, cuando la empresa produce 8 unidades logra la máxima ganancia

Para calcular el monto de la ganancia primero obtenemos el ingreso total y elcosto total:

CMgIMg

1431 X

4

32X

8X

229

IT = 31 (8) = 248

CT = 2(8)2 -8 +56 = 76

Luego,

Ganancia = 248 – 176 = 72

Gráfico. Producción eficiente de la empresa pública. Enfoque marginal

P

X2 4 6 8 10 12 14 16 18

31IMg

CMg

230

3.2 Impuestos y Subsidios

1. Los mercados de trigo y de maíz están interrelacionados, de tal manera que lasfunciones de oferta y demanda de sus respectivos mercados son:

Trigo: Ot= 14 + pt -pm

Dt= 30 - 15pt + 7pm

Maíz: Om = -27 -2pt +5pm

Dm= 5 +6pt -3pm

a) Encuentre los valores de equilibrio en ambos mercadosb) Si se grava con un impuesto específico de $1.00 a los productores de maíz, halle

los nuevos valores de equilibrio.c) Si el impuesto fuera el mismo pero para el trigo en lugar del maíz ¿cuáles serían

los nuevos precios y cantidades de equilibrio?.

SOLUCIÓN

a) Equilibrio de Mercados

Mercado del Trigo:

Ot= Dt 14 + pt -pm = 30 -15pt + 7pm

16pt -8pm = 16 ...... (1)

Mercado del Maíz:

Om = Dm -27 -2pt + 5pm = 5 +6pt +-3pm

-8pt +8pm = 32 .....(2)

Resolviendo el sistema (1) y (2):

16pt -8pm =16 ......(1)

-8pt +8pm =32 ......(2)

231

Precios:

pt= 6 pm =10

Cantidad:

Trigo: Ot=Dt= 10

Maíz: Om = Dm=11

b) Efectos de un impuesto: t = 1

Mercado del Maíz

Sabemos que pmo= pm

d – t

Entonces: pmo= pm

d – 1 … (α)

Reemplazando (α) en funciones de oferta y demanda:

Om = -27 -2pt + 5 (pmd – 1)

Dm= 5 +6pt -3 pmd

En equilibrio:

Ot= Dt - 8pt +8pmd = 37.....(1´)

Mercado del Trigo

Se reemplaza (α) en funciones de oferta y demanda:

Ot= 14 + pt -pmd + 1

Dt= 30 - 15pt + 7pmd

Luego se plantea el equilibrio:

Ot= Dt 16pt -8pmd = 17.....(2´)

232

Finalmente, el equilibrio se halla resolviendo el sistema:

- 8pt +8pmd = 37 .....(1´)

16pt - 8pmd = 17 .....(2´)

Precios:

pt= 6.75

pmd = 11.375

pmo = 10.375

Cantidades:

Ot= Dt = 8.375

Om= Dm = 11.375

2. La demanda de gallinas en un centro poblado de la selva está conformada por la de trespoblaciones dispersas: la primera tiene 10 familias con una demanda individual p= 20 – xa ; la segunda, 4 familias, cada una con la demanda individual p = 20 -0,5xb; yla tercera con 10 jefes de familia con una demanda personal xc = 50-p.

Por otro lado, la oferta de gallinas en este centro poblado responde a la función

X = p -1.

a) Grafique la curva de demanda de este centro poblado.b) Halle el equilibrio del mercado.c) ¿Cuál será la elasticidad precio de la demanda para p = 12?.d) ¿Para qué nivel de precios maximizarán los vendedores de gallinas los ingresos.

Solución

a) La demanda del centro poblado viene a ser la demanda agregada de las demandasde las tres poblaciones dispersas, las que a su vez, están conformadas por lasdemandas agregadas de las familias respectivas.

233

Como la agregación es de unidades del bien, las variables de las dos primerasfunciones deben de transmutarse. Entonces, tendremos:

Poblado A Poblado B Poblado C Mercado:

xa = 20 –p xb=30 -2p xc = 30-p

b) Equilibrio de mercado

Primero graficamos la función de oferta: X = p -1.

Entonces, ubicamos dos puntos cualesquiera de ella:

p.e.: (0, 1) y (20, 21)

Se observa que el equilibrio ocurre en el tramo donde la demanda responde a laecuación:

X = 50-2p.

Hallando el equilibrio:

50 -2p = p -1

3p = 51

p = 17

luego,

X = 16

30

201510

▪ 30 ≥ p ≥ 20 →xc= 30 -p▪ 20 ≥ p ≥ 15 →xc+a= 50 -2p▪ p ≤ 15 →xa+b+c= 80-4p

30

20

10

30

20

10

1020 30

20

10

10 20 30 10 20 30

20

10

10 20 30 40 50 60 70 80

30

201510

234

P

c) Para p= 12, la demanda de mercado es X= 80 -4p , entonces X = 32

La elasticidad precio:

Este punto corresponde al tramo elástico de la demanda

d) La elasticidad precio también la podemos calcular así:

X10 16 20 30 40 50 60 70 80

30

25

2017

15

10

0

X

p

p

X

32

12)4(

5,1

)1(

X

X

80

235

Como el ingreso de los vendedores (o el gasto de los consumidores) es máximocuando la elasticidad precio es igual a la unidad:

Efectuando, hallamos X:X = 80 –X

2X = 80

X = 40

Entonces, el precio: p = 10

3. Una empresa que opera en un mercado competitivo estima que su función decostos se ajusta a la función siguiente:

El mercado del producto tiene las funciones de oferta y demanda siguientes:

Determine:

a) El equilibrio de la empresa. Grafiqueb) El beneficio total y el beneficio unitario de la empresac) Si la aparición de un bien sustituto hace que la demanda disminuya,

paralelamente, en 11,08% , ¿Cómo varía el equilibrio?.Grafique.d) ¿La empresa continuará obteniendo beneficios?

Solución

a) Equilibrio de la empresa

La empresa es tomadora de precios; por tanto, primero, hay que hallar elequilibrio del mercado. Entonces, igualamos la oferta y demanda:

X

X

801

000.30200308,0 23 YYYC

Yp

Ypd

o

5,03041

25,041

236

Hallando equilibrio de la empresa:

Primera condición:

Segunda condición:

041.1,

000.4

000.375,0

5,0041.325,041

pLuego

Y

Y

YY

do pp

48

73

0841624,0

:

041,1200624,0

2

2

Y

Y

YY

oresolviendyOrdenando

YY

pIMgCMg

0648,0 Y

)(0 positivaserdebeCMgdelpendienteY

CMg

)(0498.3

06504.3

06)73(48

:73,

cumpleSí

YsiEntonces

237

La empresa se encuentra en equilibrio produciendo 73 unidades del producto.

Gráfico: Equilibrio de la empresa

P

b) Beneficios de la empresa

Beneficio Total

Ingreso Total = P xY = (1041) x (73) = 75.993,00- Costo Total = 0,08(73)3 – 3(73)2 + 200(73) + 30.000 = 59.734,36

= Beneficio Total = 16.258,64

)(0298.2

06304.2

06)48(48

:48

cumpleNo

YSi

Y0 73

1041.0818,28

CMe

CMg

238

Beneficio unitario

Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = P = 1041.00- Costo Unitario = CT/Y = CMe = 818,28= Beneficio unitario = = 222,72

c) Nuevo Equilibrio por Disminución de la demanda

Situación inicial:

Disminución de la demanda:

Nueva demanda:

Nuevo Equilibrio de mercado:

pY

pYd

o

26082

1644

674

)6082%)(08,11('

1

Y

Y

pY

pYd

d

25408

67426082'

'

pp 254081644

'do YY

7,550.3

67,9281

Y

p

239

Gráfico: NuevoEquilibrio del mercado

P

Nuevo equilibrio de la empresa:

Primera condición:

Segunda condición:

X35514000 5408 6082

3041

2704

1041928,7

41

0

44

69

07,728624,0

:

7,928200624,0

1

2

2

Y

yY

YY

oresolviendyOrdenando

YY

1pIMgCMg

0648,0 Y

)(0 positivaserdebeCMgdelpendienteY

CMg

240

Gráfico: NuevoEquilibrio de la empresa

P

Y0 6973

1041

928,7808,7

CMe

CMg

)(0306.3

06312.3

06)69(48

:69,

cumpleSí

YsiEntonces

)(0106.2

06112.2

06)44(48

:44

cumpleNo

YSi

241

d) Beneficios de la empresa

Beneficio Total

Ingreso Total = P xY = (928,67) x (69) = 64.078,23- Costo Total = 0,08(69)3 – 3(69)2 + 200(69) + 30.000 = 55.797.72= Beneficio Total = 8.280,51

Beneficio unitario

Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = P = 928,67- Costo Unitario = CT/Y = CMe = 808,66= Beneficio unitario = = 120.01

4. En una zona algodonera de Cañete, la demanda de mercado de este productoresponde a la función p = 178 -0,5Y, y la producción, a la función p = Y -2. Enestas funciones Y representa quintales de algodón, y p el precio por quintal.

a) Si un pequeño agricultor algodonero de la zona tiene una función decostos totales C = 0,5Y3 -0,25Y2 + 500, ¿cuál será su producción óptima?.

b) ¿Obtendrá beneficios o pérdidas?

Este año, el gobierno no piensa subsidiar monetariamente este producto puestiene reservas compradas, a precio de garantía, en la campaña pasada. Esta vezva a hacer uso de sus reservas, entregando al agricultor un 25% adicional a suproducción.

c) ¿Cuánto producirá el agricultor?d) ¿Cuánto recibirá del Estado?e) ¿En cuánto mejorará su situación?

Solución

a) Primero se determina el equilibrio del mercado:

1805,1

25,0178

Y

YY

242

Luego, el equilibrio del productor:

El productor optimizará su producción cultivando 9 quintales.

b) Se sabe que: π = IT –C

IT = p.Y = 118 * 9 = 1.062,00C = 0,5(9)3 -0,25(9)2 +500 = 844,25

Π = 217,75

c) En este caso:

9

9

:Re

01185,05,1

118Re

5,05,1

2

2

Y

Y

solviendo

YY

pemplazando

YYp

CMgIMg

)25,0(.. YYpTI

pIMg

ppIMg

25,1

25,0

118

120

p

Y

243

El equilibrio:

Remplazando: p =118

Resolviendo:

d) El agricultor recibirá del estado:

e) Para saber cuánto mejora el agricultor, se debe calcular su nuevo beneficio:

Π’ = IT’ –C’

I.T. = 118(12,5) = 1.475,00

C = 0,5(10)3 -0,25(10)2 +500 = 975,00

Π = = 500,00

Este algodonero mejorará sus ingresos en:

(500-217,75) = 282,25

YYp 25,05,125,1 2

05,14725,05,1 2 YY

10Y

YY 25,0'

)10(25,0' Y

alesquY int5,2'

244

5. Una empresa monopólica que produce un bien industrial, tiene una demanda queproviene de dos poblaciones, norte y sur, cuyas respectivas funciones de demanda son:

YN = 200 -8p y

YS = 146 -2p

Asimismo, tiene una función de costo total:

a) Determine el equilibrio del monopolista. Grafique.b) ¿El monopolista obtendrá beneficios o pérdidas?.c) Si el Estado aplica un impuesto de monto fijo de 500 unidades monetarias ¿qué

pasará con la producción?¿seguirá obteniendo beneficios extraordinarios?.Grafique.

d) En condiciones de competencia perfecta ¿cuál sería el precio y la cantidad deequilibrio?. Grafique.

e) Calcule la pérdida del excedente del consumidor al pasar de una situación decompetencia perfecta a una de monopolio. Grafique

Solución

a) El equilibrio del consumidor implica satisfacer dos condiciones:

Primera condición: CMg = IMg

Entonces, se deduce el CMg:

Luego, se tiene que determinar el IMg. Primero hallamos la demanda de mercado:

Que en su forma inversa será:

000.153

001,0 3 YYC

5001,0 2 YCMg

pY

pY

pYS

N

10346

2146

8200

Yp 1,06,34

245

El Ingreso total: IT = P.Y

Entonces,

Retomando la primera condición, y reordenando:

Resolviendo la cuadrática:

la segunda condición:

no es necesario aplicarla ya que uno de los resultados se descarta por sernegativo.

Finalmente el precio de equilibrio:

Por tanto el monopolista se encontrará en equilibrio produciendo 99 unidades yfijando el precio en 24,70 unidades monetarias.

b) Obtendrá beneficios o pérdidas

Beneficio Total Monopolista

Ingreso Total = P xY = (24,7) x (99) = 2.445,30- Costo Total = 0,001/3(99)3 +5(99) + 1.000 = 1.818,43

= Beneficio Total = 626.87

21,06,34 YYIT

YIMg 2,06,34

YY 2,06,345001,0 2

06,292,0001,0 2 YY

299

99'

Y

Y

Y

IMg

Y

CMg

7,24

)99(1,06,34

p

p

246

Beneficio unitario Monopolista

Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = PM = 24,70- Costo Unitario = CT/Y = CMe CM = 18,37= Beneficio unitario = BM = 6,33

El monopolista está obteniendo beneficios extraordinarios

Gráfico: Equilibrio del Monopolista

P

c) Un impuesto de monto fijo de 500 unidades monetarias, afectará la función decostos:

Pero el costo marginal no se altera, por tanto, la producción de equilibriopermanece invariable.

Y99 173 346

34,6

PM= 24,7

CM= 18,4

5

EM

CMgM

PIMg

CMeM

500000.153

001,0' 3 YYC

500.153

001,0' 3 YYC

247

El nuevo costo total será:

El costo medio:

Los beneficios disminuirán pero seguirán siendo extraordinarios:

B = 24,7(99)- 2.318,43

B = 2.445,30 – 2.318,43

B = 126,87

Gráfico: Equilibrio del Monopolio con impuesto

P

d) En una situación comparativa con la competencia perfecta, el CMg del monopolistasería la curva de oferta del mercado, de tal manera que el equilibrio implicaría:

CMg = P

500.1)99(5)99(3

001,0' 3 C

43.318.2'C

Y99 173 346

34,6

PM= 24,7CM = 23,43

CM = 18,4EM

CMgM

PIMg

CMeM

43,2399

43,318.2' C

248

Resolviendo:

Luego, el precio:

Gráfico: Monopolio versus Competencia Perfecta

P

e) Pérdida del Excedente del consumidor

Excedente del consumidor en Monopolio:

YY 1,06,345001,0 2

)(229129 ' descartaseYY

7,21

)129(1,06,34

p

p

Y99 129 173 346

34,6

24,7PC= 21,7CC=18,3

5

EC

EM

CMgM

PIMg

CMeM

03,4902

)7,246,34(99

xECM

249

Excedente del consumidor en Competencia Perfecta:

Al pasar de una situación de competencia perfecta a una de monopolio, el consumidorpierde un excedente de 344.15 unidades monetarias.

2.Un monopolista se enfrenta a una curva de demanda representada por la función:

Si su estructura de costos responde a la ecuación:

a) ¿Qué volumen le convendrá producir al monopolista y cuál será su precio deventa?

b) En una coyuntura de competencia perfecta ¿cuál sería el equilibrio?c) ¿Cuánto más estaría ganando el monopolista con respecto a una situación

alterna de Competencia perfectad) Si al monopolista le aplican un impuesto específico de 1,5 por cada unidad

producida ¿cuál sería la proporción que pagan los consumidores?e) Halle la parte del excedente del consumidor que se apropia el monopolista al no

ser este mercado competitivo

Solución

a) Producción y precio del monopolista

Equilibrio del monopolista: IMg = CMg

Previamente, hay que calcular el IMg, partiendo del ingreso total (IT):

IT = P.Y

05,8322

)7,216,34(129

xECC

5,0Y20p

2058 YC

Y)Y20(IT 5,0

5,1YY20IT

250

Luego,

El equilibrio:

Resolviendo:

Entonces,

Por tanto, maximizará beneficios produciendo 64 unidades, vendiéndolas a 12unidades monetarias.

Gráfico: Equilibrio del Monopolista

P

5,0Y5,120IMg

5,0Y5,1208

12Y5,1 5,0

8Y 5,0

64Y

5,0)64(20p

Y64 200 400

20

PM= 12

CM= 11,2

8EM

CMg

P = 20-Y0,5IMg

CMe

12P

251

b) Homologando con la competencia perfecta

El equilibrio: P = CMg

Entonces,

Resolviendo:

El precio:

Gráfico: Comparación Competencia y Monopolio

P

820 5,0 Y

144Y

5,0)144(20p

125,0 Y

Y64144 400

20

PM= 12CC = 9,4PC=8

ECCMg

P = 20-Y0,5

IMg

CMe

EM

8p

252

c) Ganancias del monopolista con respecto a la Competencia perfecta

Beneficio Total

Monopolista

Ingreso Total = P x Y = (12) x (64) ITM = 768,00- Costo Total = 8(64) + 205 CTM = 717,00= Beneficio Total BTM = 51,00

Competencia Perfecta

Ingreso Total = P xY = (8) x (144) ITC = 1.152,00-Costo Total = 8(144) + 205 -CTc = 1.357,00

= Beneficio Total BTc= - 205,00

Beneficio Unitario

Monopolista

Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = PM = 12,00- Costo Unitario = CT/Y = CMe -CM = 11,20= Beneficio unitario BM = 0,80

Competencia Perfecta

Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = PC = 8,00- Costo Unitario = CT/Y = CMe -CM = 9,42= Beneficio unitario = BM =-1,42

El monopolista está obteniendo beneficios extraordinarios. Si la situación fuese decompetencia perfecta habría pérdidas

c) Si al monopolista le aplican un impuesto específico de 1,5.

La ecuación de costos se ve modificada de la manera siguiente:

C = 8Y +1,5Y + 205

2055,9 YC

253

Equilibrio:

Precio:

Proporción de pago de los consumidores:

Los consumidores pagarán 1 unidad monetaria más. Entonces, la proporción deeste monto con respecto al impuesto:

e) Excedente del consumidor (EC) que se apropia el monopolista al no estar éste enun mercado competitivo

EC en Competencia Perfecta

CMgIMg

5,95,120 5,0 Y

5,1

5,105,0 Y

27Y

49Y

5,0)49(20 P

720 P

13P

3

2

5,1

1

144

0

5,0 )20( CCC YPdyYEC

144

0

5,0 )144)(8()20( dxXECC

254

Efectuando:

EC en Monopolio

Efectuando:

El EC apropiado por el monopolista asciende a 405 unidades monetarias.

11525,1

20144

0

5,1

Y

YECC

115205,1

)144()144(20

5,1

CEC

115201728 CEC

576CEC

7685,1

2064

0

5,1

Y

YECM

76805,1

)64()64.(20

5,1

MEC

7680939 MEC

171MEC

64

0

5,0 )20( MMM YPdyYEC

64

0

5,0 )64)(12()20( dyYECM

255

3. Los costos totales de producción de una empresa monopólica son representables através de la función siguiente:

La demanda de mercado tiene como función:

En base a esta información se pide determinar:

a) El precio del monopoliob) Las ganancias del monopolio. Grafique.c) El impuesto a las ganancias que debe aplicar el Estado al monopolio

permitiéndole obtener una ganancia del 25% sobre sus ingresos totalesd) Si el monopolista establece otra planta, la cual opera con una función de costos

totales:

¿Cuánto producirá, y cuál será la producción de cada planta?

Solución

a) Precio del monopolista

Equilibrio del monopolista: IMg = CMg

Hallamos el IMg a partir del IT:

IT = P.Y

Así, de la función de demanda, obtenemos la función inversa:

500.12120

'2

YY

C

2)25,125,86( pY

000.10901,0 2 YYC

2)25,125,86( pY

5,025,125,86 Yp

5,025,8625,1 Yp

256

Luego,

El ingreso marginal,

Entonces, el equilibrio:

Ordenando:


Remplazando y resolviendo:

Retomando la variable:

El precio,

YYTI )8,069( 5,0

5,18,069 YYTI

5,02,169 YIMg

0602,102,0 5,0 YY

45,92'45,32 kyk

5,0)1053(8,069p

5,08,069 Yp

902,02,169 5,0 YY

25,0 kYkY

0602,102,0 2 kk

45,325,0 Yk

1053Y

257

d) Beneficios del monopolista

Beneficio Total

Ingreso Total = P xY = (43,04) x (1053) = 45.321,12- Costo Total = 0,01(1053)3 + 9(1053) + 10.000 = 30,565,09

= Beneficio Total = 14.756,03

Beneficio Unitario

Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = PM = 43,04- Costo Unitario = CT/Y = CMe CM = 29,03

= Beneficio unitario = BM = 14,01

Gráfico: Ganancias del Monopolio

P

e) El impuesto a las ganancias que debe aplicar el Estado al monopoliopermitiéndole obtener una ganancia del 25% sobre sus ingresos totales

Y1053 7439

69

PM=43,03

CM=29,03

CMg

P = 69 -0,8Y0,5

IMg

CMe

04,43P

EM

258

Se debe cumplir que:

Remplazando:

e) Si el monopolista establece otra planta, la cual opera con una función de costostotales:

¿Cuánto producirá, y cuál será la producción de cada planta?

En este caso, la producción óptima implica la condición de equilibrio delmonopolista multiplanta:

Primero, encontramos el Costo marginal agregado (CMg):

%25TI

)t1(BM

%25B

ITt1

M

%25B

IT1t

M

)25,0(06,756.14

19,321.451t

7678,01t

%22,232322,0t

500.12120

'2

YY

C

21 CMgCMgCMgIMg

259

En planta 1, se halla CMg1 y se despeja Y1:

Asimismo, en la planta 2, se halla CMg2 y se despeja Y2:

Luego, se realiza la agregación, y se obtiene el CMg:

Entonces,

IMg = CMg

000.10901,0 211 YYC

902,0 11 YCMg

450CMg50Y 11

1,360

22

YCMg

186CMg60Y 22

500.121,3120 2

22

2 YY

C

450CMg50Y 11 186CMg60Y 22

636CMg110Y

55

318Y0091,0CMg

55

318Y0091,0Y2,169 5,0

260


Remplazando y resolviendo:

Retomando la variable:

El precio,

Por tanto,

Producción en planta 1:

CMg1 = 20,59

055

3477Y2,1Y0091,0 5,0

35,172'ky35,40k

5,0)1628(8,069p

72,36P

25,0 kYkY

055

3477k2,1k0091,0 2

45,325,0 Yk

1628Y

55

318)1628(0091,0CMg

59,20IMgCMg

261

Producción en planta 2:

CMg2 = 20,59

59,209Y02,0 1

579Y1

049.1Y2

59,201,360

Y2

49,1760

Y2

262

ANEXOS

263

ANEXO 1

La Restricción Presupuestaria

El consumidor busca maximizar su utilidad condicionado al gasto de su rentadisponible (m)

Dado el vector de precios de los bienes:

P = ( p1, p2 , ... pn)

y dado el vector de bienes:

La restricción presupuestaria será:

m = P.X

En el plano bidimensional (dos bienes) la restricción presupuestaria sería:

x1

x2

...

xn

X =

m = p1 x1 + p2 x2

m = p1 x1 + p2 x2 + ... pnxn

264

Representación Gráfica de la Restricción presupuestaria

Alteraciones de la Restricción Presupuestaria

a) Impuestos

Impuesto de monto fijo (sum lump)

Tiene el efecto de un impuesto a la renta, reduce el área factible o área de

consumo

Su efecto en la restricción presupuestaria será:

X2

x2 =m/p2 - (p1 /p2 )x1

m/p2

Area

Factible

X1m/p1

265

m-t =p1 x1 + p2 x2

Impuesto Específico sobre un bien

Se aplica un impuesto sobre cada unidad consumida de un bien. Con el ingresomonetario y los precios constantes, el consumo del bien afectado se reduce.

Así, si se grava el consumo del bien x1, entonces:

m = p1 x1 + t.x1 + p2 x2

m = (p1 + t)x1 + p2 x2

X1

X2x2 = (m-t)/p2, - (p1 /p2 )x1

(m-t)/p2

(m-t)/p1

X1

X2

m/p2

m/p1m/(p1+ t)

2

1

p

p2

1

p

tp

2

1

p

p

2

1

p

p

266

Impuesto específico sobre los dos bienes

m = p1 x1 + t.x1+ p2 x2 + t.x2

m = (p1 + t)x1 + (p2 +t)x2

reordenando:

Impuesto Ad valorem sobre un bien

Es un impuesto aplicado sobre las ventas de un bien. Su efecto es similar alimpuesto específico.

Si se gravan las ventas del bien x1, con una tasa r, entonces:

m = p1 x1 + r. p1 x1 + p2 x2

X2

X1

2

1

p

p

)(

)(

2

1

tp

tp

tp

m

1

2p

m

1p

m

tp

m

2

12

1

22 )(

)(

)(x

tp

tp

tp

mx

267

m =p1(1 +r) x1 + p2 x2

Impuesto Ad valorem sobre ambos bienes

Si se gravan las ventas tanto del bien x1 como del bien x2, con una tasa r,entonces:

Reordenando y simplificando:

X2

X1

2

1

p

p

2

1 )1(

p

rp

)1(1 rp

m

2p

m

1p

m

12

1

22 x

)r1(p

)r1(p

)r1(p

mx

)()( 22221111 xprxpxprxpm

)1()1( 2211 rxprxpm

268

X2

X1

2

1

p

p 2

1

p

p

)r1(p

m

1

2p

m

1p

m

)r1(p

m

2

12

1

22 )1(

xp

p

rp

mx

269

Anexo 2

Elasticidad y propiedades de la función de demanda

En el tema del comportamiento del consumidor se analizan algunas relaciones opropiedades, asociadas a las elasticidades, que deben cumplir los sistemas de demanda,denominadas condiciones, restricciones o propiedades de la función de demanda. Estasse deducen partiendo de la restricción presupuestaria (r.p.):

n

i 1

pi . xi(p,m) = m (i: bienes)

(1) Porcentaje o peso del gasto en un bien

Dividiendo la r.p. por m, se obtiene:

O de otra manera:

1w i

n

1i

(2) Condición de agregación de Engel

Diferenciando la r.p. con respecto a m:

Multiplicando y dividiendo por xi/m y su recíproco, obtenemos:

O lo que es lo mismo:

m

m

m

xpn

1i

ii

11

m

xi

p in

i

1x

m

m

x

m

xp

i

iiin

1i

270

(3) Condición de agregación de Cournot

Diferenciando la r.p. con respecto a pj:

( j: otro bien)

Multiplicando y dividiendo el primer término por Xi; y multiplicando por Pj, ydividiendo por m, ambos términos, ordenamos y obtenemos:


Cuando se tiene dos bienes:

Si varia P1 → w1ε11 + w2ε21 = -w1

Si varia P2 → w1ε12 + w2ε22 = -w2

(4) Condición de homogeneidad:

Aplicando simultáneamente la propiedad de homogeneidad de grado cero de lademanda ordinaria xi(pi,pj,m) y el teorema de Euler, se obtiene:

0xp

xp j

j

ii

n

1i

jji

n

ii ww

1

01

m

xm

p

xp i

j

ij

n

j

mx

p

x

mp j

j

in

i

i jj pp

i

i

xx

1

1,

1

imiw

n

i

271

Dividiendo ambos términos por xi:


En el caso de dos bienes:

ε11 + ε12 + ε m1 = 0

ε21 + ε22 + ε m2 = 0

im

n

j ij ,1

01

i

i

j

i

i

jn

j x

m

m

x

p

x

x

p

272

Anexo 3

ELECCION BAJO INCERTIDUMBRE

Cuando se toman decisiones de consumo e inversión, no siempre la variablesinvolucradas (precios, renta, etc.) se mantienen fijas en el tiempo, pues éstas puedendarse en un contexto de riesgo e incertidumbre.(Pindick). Así, los consumidores y lasempresas han de afrontar la incertidumbre cuando no están seguros de las respuestasde sus decisiones.

Lo relevante en la descripción del comportamiento de un agente económico es laprobabilidad que éste asigna a las consecuencias de sus acciones, ya que serán estasprobabilidades las que utilizará en sus propios cálculos y las que guiarán la adopciónde sus decisiones.

Un requisito para un comportamiento racional bajo incertidumbre es que el individuopueda traducir dicha incertidumbre en riesgo, asignando probabilidades a losresultados posibles. La probabilidad no es fácil de formalizar. Una interpretaciónobjetiva de la probabilidad se basa en la observación de la frecuencia con que tiendea ocurrir un acontecimiento

El economista adopta una actitud subjetiva de la probabilidad cuando existeincertidumbre (no existen experiencias o antecedentes que permitan fijar laprobabilidad). La ocurrencia de un resultado sólo podrá ser percibida intuitivamente,considerándola como una descripción de las creencias o del estado mental del agenteeconómico cuyo comportamiento se investiga.

Para analizar cuantitativamente el riesgo, previamente se requieren conocer lossiguientes conceptos

Lotería

Es un elemento del espacio de decisiones del consumidor o individuo

Representación de una lotería:

Si se tiene una lotería que promete un premio X con probabilidad p, o un premio ycon probabilidad 1- p, entonces:

P ° x + (1- p) ° y

se lee: “el consumidor recibirá un premio x con probabilidad p o el premio ycon probabilidad (1- p)”

273

Las loterías o las opciones de una lotería están sujetas a las preferencias delconsumidor, así:

P ° x + (1- p) ° y q ° w + (1- q) ° z

óP ° x (1- p) ° y

Por lo tanto, se les puede asignar una función de utilidad que describa tales preferencias,entonces:

U(P ° x + (1- p) ° y) > U(q ° w + (1- q) ° z)

ó U(P ° x ) > U( (1- p) ° y )

Valor Esperado

También denominado Esperanza de pagos o Equivalente cierto, mide el rendimientomedio de la lotería ponderando sus posibles resultados o pagos por su respectivaprobabilidad.

VE = p . x + (1- p) .y

Función de utilidad esperada

La función de utilidad esperada indica la valoración o utilidad de la lotería o juego parael consumidor. Se obtiene ponderando las utilidades de los posibles resultados por suprobabilidad respectiva.

FUE = p .U(x) + (1- p) .U(y)

Función de utilidad del valor esperado

La función de utilidad del valor esperado indica la utilidad del valor esperado oequivalente cierto, es decir, representa la utilidad que obtendría el consumidor si tuviesea su alcance el valor esperado.

FUVE = U[p . x + (1- p) . y ]

274

ACTITUDES ANTE EL RIESGO

Sea el siguiente juego:

Premio Probabilidad utilidad100 0.5 20300 0.5 30

Entonces,

VE = 0.5 (100) + 0.5 (300)= 50 + 150= 200

UE = 0.5(20) + 0.5(30)= 10 + 15

= 25

Según la proyección de la FUVE14 tendremos los siguientes casos:

d) Aversión al riesgo

U

100 200 300Unidades monetarias

14Como veremos más adelante, la trayectoria exacta de la FUVE será determinada por la función deutilidad del consumidor, dependiente de la riqueza: U =F(W)

donde, W: riqueza

UE =

UVE = U(200)30

25

20

U= U(W)

275

d) Amante del riesgo

U

100 200 300Unidades monetarias

En este caso, el individuo valora más el juego (UE) ya que la utilidad de éstesupera la utilidad del valor esperado (UVE <UE). Si le ofreciesen 200 (VE)para que deje de jugar, no aceptaría, preferiría el juego.

c) Neutral al riesgo

U

100 200 300

Unidades monetarias

El individuo es indiferente ante la alternativa de jugar o recibir con certeza los200, ya que ambas opciones le reportan la misma utilidad.

30

25

20

UE =UVE = U(200)

30

25

20

U= U(W)

UVE= U(200)= UE=

U= U(W)

276

REFERENCIALES

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MICROECONOMIA I-EJERCICIOS RESUELTOS