03 preliminares. solucion en torno a puntos ordinarios

MATEMÁTICA IV. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 3: SOLUCIÓN DE

ECUACIONES DIFERENCIALES EN

SERIE DE POTENCIAS.

PRELIMINARES. SOLUCIÓN EN

TORNO A PUNTOS ORDINARIOS.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 3. Solución en serie de potencias. Preliminares. Solución en torno a puntos ordinarios.

Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática IV (Ecuaciones diferenciales)

para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería

Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de

Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática IV en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



3.1.- SERIE DE TAYLOR1 Y SERIE DE MACLAURIN2.

Serie.

Una función matemática que se expresa como la suma de varios términos se llama serie, y

una función que se expresa como la suma de un número infinito de términos se llama serie

infinita.

Serie de potencias.

Una serie de potencias en )( cx es una serie infinita de la forma

0

)(n

n

n cxa . También,

se dice que esa serie es una serie de potencias centrada en cx .

El símbolo griego sigma en la notación de serie de potencias

0

)(n

n

n cxa significa

sumatoria, y n denota el índice de sumatoria que sirve como contador, el cual es un

parámetro ficticio y da igual si lo representamos como m, n, i, j o k.

Serie de Taylor.

Si una función f admite un desarrollo en serie de potencias

...)()()()( 3

3

2

210 cxacxacxaaxf

entonces los coeficientes vienen dados por !

)()(

n

cfa

n

n y

0

)(32 )(

!

)(...)(

!3

)()(

!2

)()()()()(

n

nn

cxn

cfcx

cfcx

cfcxcfcfxf

donde

c es un valor fijo de x.

!n es el factorial de n y

)()( cf n es la n-ésima derivada de f para el valor c de la variable respecto de la cual se

deriva.

1 Brook Taylor (1685-1731). Matemático y humanista británico. Su obra más importante, publicada bajo el

título Methodus incrementorum directa et inversa (Método directo e inverso de los incrementos, 1715) dio a

conocer la serie o teorema de Taylor. La importancia de este revelador teorema suyo no fue reconocida hasta

1772. 2 Colin McLaurin (1698-1746). Matemático escocés. En 1742 publicó Treatise of fluxions, donde introduce la

llamada serie de McLaurin, que permite evaluar funciones.



El punto cx se llama centro.

Si una función es infinitamente derivable en el punto c, su serie de Taylor existe en ese

punto.

Las series de Taylor tienen tres ventajas importantes:

1. La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término,

que resultan operaciones triviales.

2. Se pueden utilizar para calcular valores aproximados de la función.

3. Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de

Taylor, es la óptima aproximación posible.

En cada uno de los ejercicios siguientes, determine la serie de Taylor en torno al punto c

para la función dada. Determine también el radio de convergencia de la serie.

1. x , 1c 2. 2x , 1c 3. x1

1, 2c

4. xln , 1c

Serie de McLaurin.

Si la serie de Taylor está centrada en x = 0, entonces se denomina serie de McLaurin.

0

)(32

!

)0(...

!3

)0(

!2

)0()0()0()(

n

nn

xn

fx

fx

fxffxf

En cada uno de los ejercicios siguientes, determine la serie de McLaurin para la función

dada. Determine también el radio de convergencia de la serie.

5. xe 6. xex 7. xsen 8.

x1

1

9. x1

1

Serie de potencias de funciones básicas elementales.

Muchas funciones elementales familiares tienen representaciones bien conocidas en forma

de series de potencias. Algunas de éstas son:

...)1()1(...)1()1()1()1(11 432 nn xxxxxx

20 x



...)1(...11

1 5432

nn xxxxxxx

11 x

...)1()1(

...5

)1(

4

)1(

3

)1(

2

)1()1(ln

15432

nn

xn

xxxxxx 20 x

...!

...!5!4!3!2

15432

n

xxxxxxe

nx x

...!)12(

)1(...

!9!7!5!3sen

1219753

n

xxxxxxx

nn

x

...!)12(

...!9!7!5!3

senh129753

n

xxxxxxx

n

x

...!)2(

)1(...

!8!6!4!21cos

28642

n

xxxxxx

nn

x

...!)2(

...!8!6!4!2

1cosh28642

n

xxxxxx

n

x

...12

)1(...

9753arctan

1219753

n

xxxxxxx

nn

11 x

...)12()!2(

!)2(...

9.8.6.4.27.6.4.25.4.23.2arcsen

2

129753

nn

xnxxxxxx

n

n

11 x

...,!4

)3()2()1(

!3

)2()1(

!2

)1(1)1(

432

xkkkkxkkkxkk

xkx k 11 x

...,!4

)3()2()1(

!3

)2()1(

!2

)1(1)1(

432

xkkkkxkkkxkkxkx k

11 x

Convergencia y divergencia de una serie de potencias.

La representación de una serie se dice que converge a la función que representa si el valor

de la serie para un valor específico de x tiende al valor de la función cuando se incluyen

más términos en la serie.

Al tratar series, un asunto de suma importancia es la convergencia. Una representación en

serie de una función es de poca utilidad si la serie no converge hacia la función.



Serie geométrica.

Definición de serie geométrica.

La serie ......2

0

raraaran

n ( 0a ) se denomina serie geométrica de razón r.

Convergencia de una serie geométrica.

Las series geométricas ......2

0

raraaran

n verifican:

1. Si 1r , divergen.

2. Si 1r , convergen y tienen por suma r

ara

n

n

10

, donde “a” es el primer término

de la serie.

Series armónicas.

Definición de series armónicas.

La serie ...4

1

3

1

2

1

1

11

1

pppp

npn

se denomina serie armónica de orden p.

Convergencia de una serie armónica de orden p.

Las series armónicas ...4

1

3

1

2

1

1

11

1

pppp

npn

verifican:

1. Si 10 p , diverge. 2. Si 1p , converge.

3.2.- CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES.

Criterio del término enésimo para la divergencia.

Dada una serie convergente

1n

na , entonces 0lim

nan

. De forma equivalente, si

0lim

nan

, entonces la serie diverge.

Criterio del cociente.

La serie

1n

na :



1. Converge si 11lim

n

n

a

a

n

2. Diverge si 11lim

n

n

a

a

n

3. Criterio no concluyente: 11lim

n

n

a

a

n

Ejercicios propuestos.

En los ejercicios siguientes, aplicar el criterio del cociente para determinar la convergencia

o divergencia de la serie.

1.

1 1

11

n nn

2.

1 2cos

n

n

3.

1 1

1

n nn

4.

0 1

1

n n

5.

12 3

2

)1(n n

n 6.

02)12(

1

n n

7.

1

2

nne

n

8.

0 1001

11

nn

9.

1

)910(n

nn

10.

0 12

1

nn

11.

0 13

4

nn

n

12.

1 2

1

nnn

13.

13

2 )(n

nn

14.

1

43)(

n

nn

15.

1 2nn

n

16.

12

2

n

n

n

17.

0 !

1

n n

18.

1 !!

!)2(

n nn

n

19.

1

2

!)2(

)!(

n n

n

20.

0 10

!

nn

n

21.

1

!2

nn

n

n

n

22.

1 3

!

nnn

n

23.

1

cos2

n n

n

24.

0 3

!

nn

n

25.

0 !

4

n

n

n

26.

0 )1(

3

nn

n

n

27.

0 !

2)1(

n

nn

n



28.

0

1

)12(...5.3.1

!)1(

n

n

n

n

Criterio de la raíz.

La serie

1n

na

1. Converge si 1lim

nna

n

2. Diverge si 1lim

nna

n

3. Criterio no concluyente: 1lim

nna

n


En los ejercicios siguientes, aplicar el criterio de la raíz para determinar la convergencia o

divergencia de la serie.

29.

1

1

nnn

30.

02)12(

1

n n

31.

12

1

n n

e n

32.

1

32)(

n

nn

33.

1 12n

n

n

n

34.

2 1

12

n

n

n

n

35.

2 )(ln

)1(

nn

n

n

36.

1

)12(n

nn n

37.

1 4nn

n

38.

12

11

n

n

nn

39.

2 )(lnnnn

n

Criterio integral.

Si f es continua, positiva y decreciente para 1n y si )(nfan , entonces

1n

na y

1

)( ndnf convergen o divergen simultáneamente.

Nota:

b

ndnfndnfb

11

)()( lim




En los ejercicios siguientes, aplicar el criterio integral para determinar la convergencia o

divergencia de la serie.

40.

1 1

11

n nn 41.

02)12(

1

n n 42.

0 1

1

n n

43.

021

arctan

n n

n

44.

02

arctan

1n

n

n

e

45.

12

1

n n

e n

46.

1

1

n n 47.

2

3

2 log

11

n nn

48.

12cosh

1

n n

49.

12 3

2

)1(n n

n

50.

1

2

nne

n

51.

1

)910(n

nn

52.

0 12

1

nn

3.3.- RADIO DE CONVERGENCIA E INTERVALO DE CONVERGENCIA.

Convergencia de una serie de potencias.

Dado un valor de x, una serie de potencias es una serie de constantes. Si la serie equivale a

una constante real finita para la x dada, se dice que la serie converge en x. Si no converge

en x, se dice que diverge en x.

Dada una serie de potencias centrada en c, se verifica una de las tres siguientes opciones:

1. La serie sólo converge en cx .

2. La serie converge para todo x ( cx ).

3. Existe un 0R tal que la serie converge para Rcx y diverge para Rcx .

donde R se denomina radio de convergencia y el intervalo que se obtiene es el intervalo de

convergencia.

Intervalo de convergencia de una serie.

Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia. El intervalo de convergencia,

que es el conjunto de los números para los cuales converge la serie.



Dada una serie de potencias

0

)(n

n

n cxa , si converge, el intervalo de convergencia de la

serie es RcxRc ó, en forma equivalente ),( RcRcx .

Si R es distinto de cero o bien de , el intervalo de convergencia puede incluir los puntos

extremos Rc y Rc .

Radio de convergencia de una serie.

Todo intervalo de convergencia posee un radio de convergencia R. Para una serie de

potencias de la forma

0

)(n

n

n cxa solo hay tres posibilidades:

i) La serie sólo converge en su centro c. En este caso, 0R .

ii) La serie converge para toda x que satisfaga Rcx , donde 0R . La serie diverge

para Rcx .

iii) La serie converge para toda x. En este caso, R .

Convergencia en un extremo.

Si una serie de potencias converge para Rcx , donde 0R , puede converger o no en

los extremos del intervalo RcxRc .

Los cuatro intervalos de convergencia posibles son:

],[ RcRc : La serie converge en ambos extremos.

),( RcRc : La serie diverge en ambos extremos.

),[ RcRc : La serie converge en Rc y diverge en Rc .

],( RcRc : La serie diverge en Rc y converge en Rc .

Debe hacerse un análisis en Rcx y en Rcx con el objeto de verificar si la serie

converge en los extremos del intervalo. Si convergen en alguno o en ambos extremos, éstos

deben formar parte del intervalo de convergencia.



Criterio del cociente para series de potencias. Radio de convergencia de una serie.

Dada una serie de potencias

0

)(n

n

n cxa , si La

a

n

n

n

1lim ( L0 ) entonces el radio

de convergencia de la serie es L

R1

, donde 0R si L y R si 0L .

Propiedades de las series de potencias.

- Una serie de potencias define a una función. Para una función dada se puede escribir

...)()()()()( 3

3

2

210

0

cxacxacxaacxaxfn

n

n , cuyo dominio es el

intervalo de convergencia de la serie. Si ésta tiene un radio de convergencia 0R , f es

continua, diferenciable e integrable en el intervalo ),( RcRc . Además )(xf e

xdxf )( se pueden determinar por derivación e integración término a término:

0

12

321 )(...)(3)(2)(n

n

n cxancxacxaaxf

0

13

2

2

101

)(...

3

)(

2

)()(

n

n

nn

cxa

cxa

cxaxaxf

- Series que són idénticas a cero. Si 0)(0

n

n

n cxa , 0R , para todo número real x en

el intervalo de convergencia, entonces 0nc para toda n.

- Aritmética de las series de potencias. Las series de potencias se pueden manipular

mediante las operaciones de suma, multiplicación y división. Los procedimientos son

parecidos al modo en que se suman, multiplican o dividen dos polinomios; esto es, se

suman los coeficientes de las potencias iguales de x, se aplica la propiedad distributiva, se

agrupan los términos semejantes y es válido llevar a cabo la división larga; por ejemplo, si

las series de potencias

0

)()(n

n

n cxaxf y

0

)()(n

n

n cxbxg convergen ambas

cuando Rx , entonces

...)()()()()( 2

221100 xbaxbabaxgxf



...)()()().( 2

021120011000 xbababaxbababaxgxf

- Analiticidad en un punto. Se dice que una función f es analítica en el punto c si se puede

representar por una serie de potencias en cx , con radio de convergencia positivo. Los

polinomios, así como sus sumas, diferencias, productos y cocientes (salvo en los ceros del

denominador) son analíticos en todas partes.


En cada uno de los ejercicios, determine el radio de convergencia de la serie de potencias

dada.

1.

0

)3(n

nx

2.

0 2n

n

nx

n

3.

0

2

!n

n

n

x

4.

0

2n

nn x

5.

02

)12(

n

n

n

x

6.

0

0 )(

n

n

n

xx

7.

0

2

3

)2()1(

nn

nn xn

8.

0

!

nn

n

n

xn

Intervalo de convergencia.

En los ejercicios siguientes, hallar el intervalo de convergencia de la serie de potencias.

(Asegúrese de incluir un análisis de la convergencia en los puntos terminales del intervalo).

9.

0 2n

nx

10.

1

)1(

n

nn

n

x

11.

0 !n

n

n

x

12.

0 2!)2(

n

nx

n

13.

1

1

4

)1(

nn

nn x

14.

1

1

5

)5()1(

nn

nn

n

x

15.

0

11

1

)1()1(

n

nn

n

x

16.

11

1

3

)3(

nn

nx

17.

1

1)2(1n

nxn

n

18.

0

12

!)12(n

n

n

x 19.

1 !

)1(...4.3.2

n

n

n

xn

20.

1

1

4

)3()14(...11.7.3)1(

nn

nn xn



3.4.- PUNTOS ORDINARIOS Y PUNTOS SINGULARES.

El caso en que la ecuación diferencial 0)()()( 012 yxayxayxa tiene coeficientes

polinomiales y no tienen factores comunes, un punto 0xx es:

1. Un punto ordinario si 0)( 02 xa .

2. Un punto singular si 0)( 02 xa .

Puntos singulares regulares e irregulares.

En el caso que los coeficientes de 0)()()( 012 yxayxayxa son polinomios sin

factores comunes, se tiene lo siguiente:

Sea 0)( 02 xa . Obtenga )(xP y )(xQ simplificando )(

)(

2

1

xa

xa y

)(

)(

2

0

xa

xa, respectivamente,

hasta que éstas sean fracciones racionales irreducibles.

)(

)()(

2

1

xa

xaxP

)(

)()(

2

0

xa

xaxQ

Si el factor ( 0xx ) es a lo más de primer grado en el denominador de )(xP y a lo más de

segundo grado en el denominador de )(xQ , entonces 0xx es un punto singular regular.


En los ejercicios siguientes determine los puntos singulares de cada ecuación diferencial.

Clasifique cada punto singular como regular o irregular.

1. 034 23 yyxyx 2. 0)3( 2 yxyx

3. 02)3()9( 22 yyxyx 4. 0)1(

113

yx

yx

y

5. 062)4( 3 yyxyxx 6. 0)25(4)5( 222 yxyxyxx

7. 0)2()3()6( 2 yxyxyxx 8. 0)1( 22 yyxx

9. 0)5(7)2(3)2()25( 223 yxyxxyxxx

10. 0)1()3()32( 2223 yxyxxyxxx

11*. 0)1()1(4)1()1( 3224 yxyxxyxxx



3.5.- SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN TORNO A PUNTOS

ORDINARIOS.

Si 0xx es un punto ordinario de la ecuación 0)()()( 012 yxayxayxa , siempre

podemos encontrar dos soluciones distintas en serie de potencias, soluciones que son de la

forma

0

0 )(n

n

n xxay

Una solución en serie converge por lo menos para 10 Rxx , donde 1R es la distancia al

punto singular más cercano.

Las derivadas involucradas son:

1

1

0 )(n

n

n xxany

2

2

0 )()1(n

n

n xxanny

Si 00 x , se tiene:

0n

n

n xay

1

1

n

n

n xany

2

2)1(n

n

n xanny

Por tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden, se deben obtener dos soluciones

linealmente independientes. Una primera solución es obtenida al considerar los valores de n

pares,

0

2

21 )(n

n

n xaxy mientras que la segunda solución corresponde a los valores de n

impares,

0

12

122 )(n

n

n xaxy , o viceversa. Es por ello que resulta necesario escribir la

solución general como

0

12

12

0

2

2)(n

n

n

n

n

n xaxaxy donde se muestran sus dos

componentes.



Una entidad que aparece en la solución de este tipo de problemas es la llamada “fórmula de

recurrencia”, la cual frecuentemente conduce a la determinación del término general de la

sumatoria. Con este término general se debe tener cuidado de indicar a partir de qué

posición comienza a definir la generalidad de la serie, pues se corre el riesgo de incluir

términos que no están definidos por dicho término general, o peor aún, de no incluirlos

cuando en realidad deben estar.

En los ejercicios siguientes, resuelva cada ecuación diferencial como se hizo en los

objetivos previos y luego compare los resultados con las soluciones obtenidas suponiendo

que una solución en serie de potencias es

0n

n

n xay .

1. 0 yy 2. yy 2

3. 02 yxy 4. 03 yxy

5. 0)1( yyx 6. 02)1( yyx

7. 0 yy 8. 0 yy

9. yy 10. 02 yy

Ejemplo 3.1.

Dada la ecuación diferencial 042 yyxy , encuentre dos soluciones en serie de

potencias en torno al punto ordinario 0x que sean linealmente independientes.

Solución.

Determinación de puntos singulares:

Los puntos singulares se obtienen anulando el coeficiente de y (la segunda derivada).

02

x = No existe.

No existen puntos singulares, por lo tanto todos son puntos ordinarios.

Puesto que x = 0 es un punto ordinario, se puede escribir la solución de la ecuación

diferencial en la forma:

0

)(n

n

n xaxy ó




Primera derivada:

1

1)(n

n

n xanxy

Segunda derivada:

2

2)1()(n

n

n xannxy

Obsérvese que el límite inferior de la sumatoria para la primera derivada se inicia en 1n ,

pues en caso de iniciar en 0n , el primer término sería nulo. De igual manera, el límite

inferior de la sumatoria para la segunda derivada se inicia en 2n , pues en caso de iniciar

en 0n , el primer término sería nulo al igual que el segundo término ( 1n ).

Siendo la ecuación diferencial 042 yyxy , se tiene que al sustituir tanto )(xy

como )(xy y )(xy en la misma, obtenemos:

04)1(201

1

2

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n xaxanxxann

04)1(2012

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n xaxanxann

Para igualar los exponentes se recurre a un cambio de variable. En la primera sumatoria

hacemos kn 2 (con el objeto que aparezca como exponente k ) y en la segunda y

tercera sumatoria hacemos kn , apareciendo como exponente k también.

04)12()2(2010

2

k

k

k

k

k

k

k

k

k xaxakxakk

Obsérvese que en la primera sumatoria, el límite inferior cambia, pues kn 2 , y si n

parte de 2 para esta sumatoria, entonces k partirá de cero, mientras que para la segunda y

tercera suma, cuando 1n y 0n , los valores que toma k son 1 y 0 por ser kn , por lo

tanto la segunda y tercera sumatoria tendrán como límite inferior 1 y 0 respectivamente,

esto es, conservan su límite inferior.

Seguidamente se efectúan las simplificaciones a que haya lugar:

04)1()2(2010

2

k

k

k

k

k

k

k

k

k xaxakxakk



Puesto que las sumatorias deben ser semejantes, se desarrolla en la primera sumatoria el

término correspondiente a 0k , al igual que en la tercera. De esta manera, la primera y

tercera sumatoria tendrán como límite inferior uno, al igual que la segunda. Es importante

mencionar que se deben desarrollar los términos en las sumas con el objeto que todas

tengan como límite inferior el mismo valor, y ese valor será el máximo entre los límites

inferiores.

044)1()2(21.2.21

0

11

22

k

k

k

k

k

k

k

k

k xaaxakxakka

Al agrupar las sumatorias:

04]4)1()2(2[1.2.2 0

1

22

axaakakkak

k

kkk

04])4()1()2(2[1.2.2 0

1

22

axakakkak

k

kk

0])4()1()2(2[41.2.21

202

k

k

kk xakakkaa

Todos los términos del miembro izquierdo de la ecuación deben ser nulos, por lo tanto:

041.2.2 02 aa 021.2.2

4aa 02 aa

0)4()1()2(2 2 kk akakk

Para obtener la fórmula de recurrencia se despeja el término que contenga el máximo

subíndice:

kk akk

ka

)1()2(2

42

1k Ecuación de recurrencia.


linealmente independientes. Una primera solución es obtenida al considerar los valores de k

pares, mientras que la segunda solución corresponde a los valores de k impares, o

viceversa.

Para valores de k pares:

2k



2223.4.2

2aa

)(3.4.2

204 aa

043.4.2

2aa

4k

4245.6.2

0aa

06 a

6k

6267.8.2

2aa

)0(7.8.2

28 a 08 a

02 ka 3k Término enésimo.

0

1 )(k

k

k xaxy

0

2

21 )(k

k

k xaxy

Se desarrollan los tres primeros términos de la sumatoria solución ( 2,1,0k ), pues a partir

del cuarto ( 3k ) el valor del coeficiente es nulo:

3

2

2

4

4

2

201 )(k

k

k xaxaxaaxy

Al sustituir las constantes conocidas ( 2a y 4a ) y el término enésimo en la ecuación

anterior:

3

24

02

2

001 )0(3.1.4.2.2

4.2

1.2.2

4)(

k

kxxaxaaxy

)1()( 4

1212

01 xxaxy

Para valores de k impares:

1k

1212.3.2

3aa

13

3.2.2

3aa

3k

3234.5.2

1aa

15

2.3.2

3

4.5.2

1aa 125

5.3.4.2.2

)1).(3(aa



5k

3256.7.2

1aa

127

5.3.4.2.2

)1).(3(

6.7.2

1aa

1377.5.3.6.4.2.2

1).1).(3(aa

Para determinar el término enésimo, debe observarse la alternancia en el signo de los

coeficientes. La existencia de la alternancia implica que los términos de la sumatoria deben

estar multiplicados por un factor de la forma k)1( ó 1)1( k .

Para los subíndices y términos de productos se aplican progresiones aritméticas, sabiendo

que el término enésimo para cualquier progresión aritmética está dado por la ecuación

rkcck )1(0 , donde 0c es el primer término y r es la razón.

Componente Primer término Razón Término enésimo

del componente

Subíndice 3 2 12 k

Numerador –3 2 52 k

Denominador (par) 2 2 k2

Denominador

(impar) 3 2 12 k

Exponente del 2 1 1 k

El término enésimo de los coeficientes de la suma es:

112)12.....(7.5.3).2.....(6.4.2.2

)52).....(1).(1).(3()1( a

kk

ka

k

k

k

Para que el producto de factores impares en el denominador pueda llegar hasta 12 k , debe

pasar por 52 k , por lo cual se copian los términos precedentes a 12 k . Simultáneamente

el producto )2...(6.4.2 k se escribe como kk ...3.2.1.2 .

112)12()12()32()52.....(7.5.3......3.2.12.2

)52).....(1).(1).(3()1( a

kkkkk

ka

kk

k

k

La simplificación de términos conduce a:

1212)12()12()32!.(2

)1).(3()1( a

kkkka

k

k

k

Donde kkk 222.2 y además !...3.2.1 kk .



12212)14()32!.(2

3)1( a

kkka

k

k

k

1k Término enésimo.

0

2 )(k

k

k xaxy

0

12

122 )(k

k

k xaxy

La ecuación del término enésimo está definida para 1k , por lo tanto, se desarrolla el

primer término de la sumatoria:

1

12

1212 )(k

k

k xaxaxy

Al sustituir el término enésimo en la sumatoria:

1

12

12212)14()32!.(2

3)1()(

k

k

k

k xakkk

xaxy

122

12

112)14()32!.(2

)1(3)(

kk

kk

kkk

xaxaxy

Ahora, se verifica si el término xa1 es obtenido a partir de la sumatoria, con el objeto de

insertarlo en la misma. Vemos que efectivamente, cuando 0k , el argumento de la

sumatoria se reduce a xa1 . La solución entonces se puede escribir como:

022

12

12)14()32!.(2

)1(3)(

kk

kk

kkk

xaxy

Solución general de la ecuación diferencial:

)()()( 21 xyxyxy

022

12

1

4

1212

0)14()32!.(2

)1(3)1(

kk

kk

kkk

xaxxay

En este ejemplo se ha ilustrado la situación en la cual una de las soluciones está truncada

debido a que a partir de un término dado (el tercero en este caso) el valor de los coeficientes

en los términos de la sumatoria es nulo. Se trata de un caso particular y no existe una forma

generalizada de predecir tal comportamiento a partir de la ecuación diferencial. No



obstante, siempre que la ecuación de recurrencia tenga en el numerador una forma pk ,

donde p es un entero positivo, entonces la solución correspondiente de la ecuación

diferencial ha de estar truncada. Es posible que las dos soluciones estén truncadas.

Ejemplo 3.2.

Dada la ecuación diferencial 046)4( 2 yyxyx , encuentre dos soluciones en serie

de potencias en torno al punto ordinario 0x que sean linealmente independientes.

Solución.



042 x

x = No existe.




0

)(n

n

n xaxy


Primera derivada:

1

1)(n

n

n xanxy

Segunda derivada:

2

2)1()(n

n

n xannxy





Siendo la ecuación diferencial 046)4( 2 yyxyx , se tiene que al sustituir tanto

)(xy como )(xy y )(xy en la misma, obtenemos:



046)1()4(01

1

2

22

n

n

n

n

n

n

n

n

n xaxanxxannx

046)1(4)1(012

2

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n xaxanxannxann


hacemos kn (con el objeto que aparezca como exponente k ) así como en la tercera y la

cuarta sumatoria y en la segunda sumatoria hacemos kn 2 , apareciendo como

exponente k también.

046)12()2(4)1(010

2

2

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k xaxakxakkxakk

Obsérvese que en la segunda sumatoria, el límite inferior cambia, pues kn 2 , y si n

parte de 2 para esta sumatoria, entonces k partirá de cero, mientras que para la primera,

tercera y cuarta sumatoria, cuando 2n , 1n y 0n , los valores que toma k son 2, 1 y

0 por ser kn , por lo tanto la primera, tercera y cuarta sumatoria tendrán como límite

inferior 2, 1 y 0 respectivamente, esto es, conservan su límite inferior.


046)1()2(4)1(010

2

2

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k xaxakxakkxakk

Puesto que las sumatorias deben ser semejantes, se desarrolla en la segunda sumatoria el

término correspondiente a 0k y a 1k , al igual que en la cuarta, mientras que en la

tercera sólo se desarrolla el término correspondiente a 1k . De esta manera, la segunda,

tercera y cuarta sumatoria tendrán como límite inferior 2, al igual que la primera. Es

importante mencionar que se deben desarrollar los términos en las sumas con el objeto que

todas tengan como límite inferior el mismo valor, y ese valor será el máximo entre los

límites inferiores.

044466)1()2(42.3.41.2.4)1(2

10

2

1

2

232

2

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k xaxaaxakxaxakkxaaxakk




04462.3.41.2.4]46)1()2(4)1([ 10132

2

2

xaaxaxaaxaakakkakkk

k

kkkk

04462.3.41.2.4})1()2(4]46)1({[ 10132

2

2

xaaxaxaaxakkakkkk

k

kk

0)102.3.4()41.2.4(})1()2(4]46)1({[ 1302

2

2

xaaaaxakkakkkk

k

kk


041.2.4 02 aa 1.2.4

4 02

aa

022

1aa

0102.3.4 13 aa 2.3.4

10 13

aa

3.2

52

13

aa

0)1()2(4]46)1([ 2 kk akkakkk


subíndice:

kk akk

kkka

)1()2(4

46)1(2

Al desarrollar la ecuación anterior:

kk akk

kkka

)1()2(4

462

2

kk akk

kka

)1()2(4

452

2

La factorización conduce a la siguiente expresión:

kk akk

kka

)1()2(4

)4()1(2

La cual al ser simplificada da como resultado:



kk ak

ka

)2(2

422





viceversa.


2k

2222]2)2[(2

4)2(aa

024

2

1

4.2

6aa

0244.2.2

6aa

4k

4224]2)4[(2

4)4(aa

0226

4.2.2

6

6.2

8aa

0466.4.2.2

8.6aa

6k

6226]2)6[(2

4)6(aa

0428

6.4.2.2

8.6

8.2

10aa 068

8.6.4.2.2

10.8.6aa








del componente

Subíndice 4 2 22 k

Numerador 6 2 42 k

Denominador (par) 4 2 22 k

Exponente del 2 2 2 k2




02

1

22)22.....(8.6.4.2.2

)42.....(10.8.6)1( a

k

ka

k

k

k


Para que el producto de factores en el numerador pueda llegar hasta 42 k , debe pasar por

22 k , por lo cual se copian los términos precedentes a 42 k .

02

1

22)22.....(8.6.4.2.2

)42).(22.....(10.8.6)1( a

k

kka

k

k

k

02

1

224.2.2

)42()1( a

ka

k

k

k

02

1

224.2.2

)2(2)1( a

ka

k

k

k

La simplificación conduce a:

02

1

224.2

)2()1( a

ka

k

k

k

Finalmente, siendo 22222 22.24.2 kkk , se tiene:

022

1

222

2)1( a

ka

k

k

k

0)1(2

1

)1(22

1)1()1( a

ka

k

k

k

En este punto podemos tomar:

0222

1)1( a

ka

k

k

k


0

1 )(n

n

n xaxy

0

2

21 )(k

k

k xaxy


primero y segundo términos de la sumatoria:

2

2

2

2

201 )(k

k

k xaxaaxy



2

2

02

2

2012

1)1()(

k

k

k

k xak

xaaxy

Al sustituir la constante conocida (2a ) y el término enésimo en la ecuación anterior:

2

2

02

2

021

012

1)1()()(

k

k

k

k xak

xaaxy

2

2

02

2

021

012

1)1()(

k

k

k

k xak

xaaxy

Ahora, se verifica si los términos 2

021 xa y 0a son obtenidos a partir de la sumatoria, con

el objeto de insertarlos en la misma. Vemos que efectivamente, cuando 1k , el argumento

de la sumatoria se reduce a 2

021 xa , mientras que cuando 0k , el argumento de la

sumatoria se reduce a 0a . La solución entonces se puede escribir como:

02

2

012

)1()1()(

kk

kk xkaxy


3k

3223]2)3[(2

4)3(aa

1225

3.2

5

5.2

7aa 145

5.3.2

7.5aa

5k

5225]2)5[(2

4)5(aa

1427

5.3.2

7.5

7.2

9aa 167

7.5.3.2

9.7.5aa








del componente



Subíndice 5 2 32 k

Numerador 7 2 52 k

Denominador 5 2 32 k

Exponente del 2 4 2 22 k


122

1

32)32.....(7.5.3.2

)52.....(9.7.5)1( a

k

ka

k

k

k


Para que el producto de factores impares en el numerador pueda llegar hasta 52 k , debe

pasar por 32 k , por lo cual se copian los términos precedentes a 52 k .

122

1

32)32.....(7.5.3.2

)52()32.....(9.7.5)1( a

k

kka

k

k

k

122

1

323.2

)52()1( a

ka

k

k

k

122

1

323.2

52)1( a

ka

k

k

k

1)1(2

)1(

1)1(23.2

3)1(2)1( a

ka

k

k

k


12123.2

32)1( a

ka

k

k

k


0

2 )(n

n

n xaxy

0

12

122 )(k

k

k xaxy



2

12

12

3

312 )(k

k

k xaxaxaxy




2

12

12

3

13.2

512

2.3

32)1()()( 2

k

k

k

k xak

xaxaxy

2

12

12

3

13.2

512

2.3

32)1()( 2

k

k

k

k xak

xaxaxy

Ahora, se verifica si los términos 3

13.2

52 xa y xa1 son obtenidos a partir de la sumatoria,

con el objeto de insertarlos en la misma. Vemos que efectivamente, cuando 1k , el

argumento de la sumatoria se reduce a 3

13.2

52 xa , mientras que cuando 0k , el argumento

de la sumatoria se reduce a xa1 . La solución entonces se puede escribir como:

02

12

122.3

)32()1()(

kk

kk xkaxy


)()()( 21 xyxyxy

02

12

1

02

2

02.3

)32()1(

2

)1()1(

kk

kk

kk

kk xka

xkay

Ejemplo 3.3.

[DZ, FA] Dada la ecuación diferencial 0)1( 2 yyxyx , encuentre dos soluciones

en serie de potencias en torno al punto ordinario 0x que sean linealmente

independientes.

Solución.



012 x

x = No existe.






0

)(n

n

n xaxy


Primera derivada:

1

1)(n

n

n xanxy

Segunda derivada:

2

2)1()(n

n

n xannxy





Siendo la ecuación diferencial 0)1( 2 yyxyx , se tiene que al sustituir tanto )(xy

como )(xy y )(xy en la misma, obtenemos:

0)1()1(01

1

2

22

n

n

n

n

n

n

n

n

n xaxanxxannx

0)1()1(012

2

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n xaxanxannxann


hacemos kn (con el objeto que aparezca como exponente k ) así como en la tercera y la

cuarta sumatoria y en la segunda sumatoria hacemos kn 2 , apareciendo como

exponente k también.

0)12()2()1(010

2

2

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k xaxakxakkxakk


parte de 2 para esta sumatoria, entonces k partirá de cero, mientras que para la primera,

tercera y cuarta sumatoria, cuando 2n , 1n y 0n , los valores que toma k son 2, 1 y

0 por ser kn , por lo tanto la primera, tercera y cuarta sumatoria tendrán como límite

inferior 2, 1 y 0 respectivamente, esto es, conservan su límite inferior.




0)1()2()1(010

2

2

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k xaxakxakkxakk

Puesto que las sumatorias deben ser semejantes, se desarrolla en la segunda sumatoria el

término correspondiente a 0k y a 1k , al igual que en la cuarta, mientras que en la

tercera sólo se desarrolla el término correspondiente a 1k . De esta manera, la segunda,

tercera y cuarta sumatoria tendrán como límite inferior 2, al igual que la primera. Es

importante mencionar que se deben desarrollar los términos en las sumas con el objeto que

todas tengan como límite inferior el mismo valor, y ese valor será el máximo entre los

límites inferiores.

0)1()2(2.31.2)1(2

10

2

1

2

232

2

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k xaxaaxakxaxakkxaaxakk

Al agrupar las sumatorias y términos semejantes:

02.31.2])1()2()1([ 032

2

2

axaaxaakakkakkk

k

kkkk

02.31.2})1()2(]1)1({[ 032

2

2

axaaxakkakkkk

k

kk

02.3)1.2(})1()2(]1)1({[ 302

2

2

xaaaxakkakkkk

k

kk


01.2 02 aa 2

02

aa

02.3 3 a 03 a

0)1()2(]1)1([ 2 kk akkakkk


subíndice:

kk akk

kkka

)1()2(

1)1(2



Al desarrollar la ecuación anterior:

kk akk

kkka

)1()2(

12

2

kk akk

ka

)1()2(

12

2

La factorización conduce a la siguiente expresión:

kk akk

kka

)1()2(

)1()1(2

La cual al ser simplificada da como resultado:

kk ak

ka

2

12





viceversa.


2k

2222)2(

1)2(aa

04

2

1

4

1aa 04

4.2

1aa

4k

4242)4(

1)4(aa

06

2.4

1

6

3aa 06

6.4.2

3.1aa

6k

6262)6(

1)6(aa

08

6.4.2

3.1

8

5aa 08

8.6.4.2

5.3.1aa










del componente

Subíndice 4 2 22 k

Numerador 1 2 12 k



0

1

22)22.....(8.6.4.2

)12.....(5.3.1)1( a

k

ka k

k


0

1

)1(2)1.(2.....8.6.4.2

)2122.....(5.3.1)1( a

k

ka k

k

0

1

)1(2)1.(2.....8.6.4.2

]3)1(2.....[5.3.1)1( a

k

ka k

k


022.....8.6.4.2

)32.....(5.3.1)1( a

k

ka k

k

02.....3.2.1.2

)32.....(5.3.1)1( a

k

ka

k

k

k

02!.2

)32.....(5.3.1)1( a

k

ka

k

k

k


0

1 )(n

n

n xaxy

0

2

21 )(k

k

k xaxy



2

2

2

2

201 )(k

k

k xaxaaxy



2

2

0

2

201!.2

)32.....(5.3.1)1()(

k

k

k

k xak

kxaaxy


2

2

0

2

021

01!.2

)32.....(5.3.1)1()()(

k

k

k

k xak

kxaaxy

2

2

0

2

021

01!.2

)32.....(5.3.1)1()(

k

k

k

k xak

kxaaxy

Puesto que existen productos sucesivos en el argumento de la sumatoria (1.3.5…..) no se

debe verificar si los términos precedentes (2

021 xa y 0a ) son obtenidos a partir de ella, pues

no es viable insertarlos en la misma. La solución entonces se puede escribir como:

2

22

21

01!.2

)32.....(5.3.1)1(1)(

kk

kk

k

xkxaxy


3k

3232)3(

1)3(aa

)0(

5

25 a 05 a

5k

5252)5(

1)5(aa

)0(

7

47 a 07 a

012 ka 2k Término enésimo.

0

2 )(n

n

n xaxy

0

12

122 )(k

k

k xaxy



2

12

12

3

312 )(k

k

k xaxaxaxy




2

123

12 )0()0()(k

kxxxaxy

xaxy 12 )(


)()()( 21 xyxyxy

xak

xkxay

kk

kk

1

2

22

21

0!.2

)32.....(5.3.1)1(1

Ejemplo 3.4.

[DZ] Dada la ecuación diferencial 02 yxy , encuentre dos soluciones en serie de

potencias en torno al punto ordinario 0x que sean linealmente independientes.

Solución.



01

x = No existe.




0

)(n

n

n xaxy


Primera derivada:

1

1)(n

n

n xanxy

Segunda derivada:

2

2)1()(n

n

n xannxy







Siendo la ecuación diferencial 02 yxy , se tiene que al sustituir tanto )(xy como

)(xy y )(xy en la misma, obtenemos:

02)1(02

2

n

n

n

n

n

n xaxxann

02)1(0

1

2

2

n

n

n

n

n

n xaxann


hacemos kn 2 (con el objeto que aparezca como exponente k ) y en la segunda

sumatoria hacemos kn 1 , apareciendo como exponente k también.

02)12()2(1

1

0

2

k

k

k

k

k

k xaxakk


parte de 2 para esta sumatoria, entonces k partirá de cero, mientras que para la segunda

sumatoria, cuando 0n , el valor que toma k es 1 por ser kn 1 , por lo tanto la segunda

sumatoria tendrá como límite inferior 1 en lugar de 0.


02)1()2(1

1

0

2

k

k

k

k

k

k xaxakk

Puesto que las sumatorias deben ser semejantes, se desarrolla en la primera sumatoria el

término correspondiente a 0k . De esta manera, la primera sumatoria tendrá como límite

inferior 1, al igual que la segunda. Es importante mencionar que se deben desarrollar los

términos en las sumas con el objeto que todas tengan como límite inferior el mismo valor, y

ese valor será el máximo entre los límites inferiores.

02)1()2(.1.21

1

1

22

k

k

k

k

k

k xaxakka




0]2)1()2[(.1.21

122

k

k

kk xaakka


01.2 2 a 02 a

02)1()2( 12 kk aakk


subíndice:

12)1()2(

2

kk a

kka 1k Ecuación de recurrencia.


linealmente independientes. Una primera solución es obtenida al considerar los coeficientes

que dependen de 0a , mientras que la segunda solución corresponde a los coeficientes que

dependen de 1a , o viceversa.

1k

1121]1)1[(]2)1[(

2

aa 03

2.3

2aa

2k

1222]1)2[(]2)2[(

2

aa 14

3.4

2aa

3k

1323]1)3[(]2)3[(

2

aa 25

4.5

2aa )0(

4.5

25 a 05 a

4k

1424]1)4[(]2)4[(

2

aa 36

5.6

2aa

06

2.3

2

5.6

2aa 0

2

65.2.6.3

2aa

5k

1525]1)5[(]2)5[(

2

aa 47

6.7

2aa

17

3.4

2

6.7

2aa 1

2

76.3.7.4

2aa



6k

1626]1)6[(]2)6[(

2

aa 58

7.8

2aa )0(

7.8

28 a 08 a

En este punto podemos discriminar los términos de la forma siguiente:

Los que dependen de 0a Los que dependen de 1a

032.3

2aa

14

3.4

2aa

0

2

65.2.6.3

2aa

1

2

76.3.7.4

2aa

Debe observarse que no existe alternancia en el signo de los coeficientes.




Para los términos dependientes de 0a :


del componente

Subíndice 3 3 k3


Denominador 3 3 k3



03)13.....(11.8.5.2).3.....(12.9.6.3

2a

kka

k

k

03)13.....(11.8.5.2!..3

2a

kka

k

k

k

032

3)13.....(11.8.5.2!.

)(a

kka

k

k


0

1 )(n

n

n xaxy



0

3

31 )(k

k

k xaxy



1

3

301 )(k

k

k xaaxy

1

3

032

01)13.....(11.8.5.2!.

)()(

k

kk

xakk

axy

1

3

32

01)13.....(11.8.5.2!.

)(1)(

k

kk

kk

xaxy

Para los términos dependientes de 1a :


del componente

Subíndice 4 3 13 k



Denominador 3 3 k3


113)3.....(12.9.6.3).13.....(13.10.7.4

2a

kka

k

k

113!.3).13.....(13.10.7.4

2a

kka

k

k

k

132

13!).13.....(13.10.7.4

)(a

kka

k

k


0

2 )(n

n

n xaxy

0

13

132 )(k

k

k xaxy





1

13

1312 )(k

k

k xaaxy

1

13

132

12!).13.....(13.10.7.4

)()(

k

kk

xakk

axy

1

1332

12!).13.....(13.10.7.4

)(1)(

k

kk

xkk

axy


)()()( 21 xyxyxy

1

13

32

1

1

3

32

0!).13.....(13.10.7.4

)(1

)13.....(11.8.5.2!.

)(1

k

kk

k

kk

kk

xa

kk

xay


En los ejercicios siguientes, encuentre para cada ecuación diferencial dos soluciones en

serie de potencias en torno al punto ordinario 0x (a menos que se diga otra cosa) que

sean linealmente independientes.

11. 02 yxy 12. 052 yyxy

13. 033 yyxy 14. 022 yyxy

15. 042 yyxy 16*. 046)4( 2 yyxyx

17. 083)4( 2 yyxyx 18. 0122)4( 2 yyxyx

19. 064)1( 2 yyxyx [Sugerencia: Compare con el ejercicio 13 de la sección 2.3]

20. 02010)1( 2 yyxyx

21. 033)21( 2 yyxyx 22*. 035)21( 2 yyxyx

23*. 0713)31( 2 yyxyx 24. 08)41( 2 yyx

25*. 018)91( 2 yyx 26. 033)9( 2 yyxyx

27. 046)41( 2 yyxyx



28. 0)2( yxy Resuélvase alrededor de 2x .

29. 06)1(4)22( 2 yyxyxx Resuélvase alrededor de 1x .

30. 03)3(2 yyxy Resuélvase alrededor de 3x .

31. 23 xyyxy 32.

4xyxy

33. 0352 yyxyxy



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

3.1.- SERIE DE TAYLOR Y SERIE DE MCLAURIN.

Serie de Taylor.

1. )1(1 x , R 2. 2)1()1(21 xx , R

3.

0

1 )2()1(n

nn x , 1R 4.

0

1)1(1

)1(

n

nn

xn

Serie de McLaurin.

5.

0 !n

n

n

x, R 6.

0

1

!n

n

n

x, R

7.

0

12

!)12(

)1(

n

nn

n

x, R 8.

0

)1(n

nn x , 1R

9.

0n

nx , 1R

3.2.- CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES.

Criterio del cociente.

1. No concluyente. 2. Diverge. 3. No concluyente.

4. No concluyente. 5. No concluyente. 6. No concluyente.

7. Converge. 8. Diverge. 9. Converge.


13. Converge. 14. Converge. 15. Converge.

16. Diverge. 17. Converge. 18. Diverge.

19. Converge. 20. Diverge. 21. Diverge.

22. Diverge. 23. Diverge. 24. Diverge.

25. Converge 26. Converge. 27. Converge.

28. Converge.

Criterio de la raíz.

29. Converge. 30. No concluyente. 31. No concluyente.

32. Converge. 33. Converge. 34. Diverge.


38. Converge. 39. Converge.

Criterio integral.

40. Converge. 41. Converge. 42. Diverge.

43. Converge. 44. Converge. 45. Converge.

46. Diverge. 47. Converge. 48. Converge.

49. No satisface las condiciones.

3.3.- RADIO DE CONVERGENCIA E INTERVALO DE CONVERGENCIA.

Radio de convergencia.

1. 1R 2. 2R 3. R 4.

21R 5.

21R 6. 1R

7. 3R 8. eR



Intervalo de convergencia.

9. )2,2( 10. ]1,1( 11. ),(

12. 0x 13. )4,4( 14. ]10,0(

15. ]2,0( 16. )6,0( 17. ),(21

21

18. ),( 19. )1,1( 20. 3x 3.4.- PUNTOS ORDINARIOS Y PUNTOS SINGULARES.

1. 0x , punto singular irregular.

2. 0x , punto singular regular; 3x , punto singular regular

3. 3x , punto singular regular; 3x , punto singular irregular.

4. 0x , punto singular regular; 1x , punto singular irregular.

5. 0x , punto singular regular; ix 2 , punto singular regular; ix 2 , punto singular

regular.

6. 0x , punto singular regular; 5x , punto singular irregular; 5x , punto singular

irregular.

7. 3x , punto singular regular; 2x , punto singular regular.

8. 0x , punto singular regular; ix , punto singular irregular; ix , punto singular

irregular.

9. 0x , punto singular irregular; 5x , punto singular regular; 5x , punto singular

regular; 2x , punto singular regular.

10. 0x , punto singular regular; 3x , punto singular regular; 1x , punto singular

irregular.

11. 0x , punto singular irregular; 1x , punto singular regular; ix , punto singular

regular; ix , punto singular regular.

3.5.- SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS ORDINARIOS.

1. xeCy ,

0

0!

)1(

n

nn

xn

cy

3. 3

3

1 xeCy ,

0

3

03!

1

n

n

x

ncy

5. x

Cy

1,

0

0

n

nxcy

7. xCxCy sen cos 21 ,

0

12

1

0

2

0!)12(

)1(

!)2(

)1(

n

nn

n

nn

xn

cxn

cy

9. xeCCy 21 , x

n

n

n

n

ecccn

xccc

n

xccy 110

0

110

1

10!!

11.

12

14

1

12

4

0)14.....(13.9.5!2

)1(

)14.....(11.7.3!2

)1(1

nn

nn

nn

nn

nn

xxa

nn

xay ; válida

para toda x finita.



12.

1

12

1

1

2

0!)12(

)34...(15.11.7)1(

!)2(

)14...(13.9.5)1(1

n

nn

n

nn

n

xnxa

n

xnay ;

válida para toda x finita.

13.

1

12

1

1

2

0)12.....(7.5.3

)3(

!2

)3(1

n

nn

nn

nn

n

xxa

n

xay ; válida para toda x finita.

14.

1

12

1

1

2

0)12.....(7.5.3

2

)22...(8.6.4

21

n

nn

n

nn

n

xxa

n

xay

15.

02

12

1

4

1212

0)12()12()32(!2

)1(3)1(

nn

nn

nnnn

xaxxay ; válida para toda x finita.

16*.

12

12

1

12

2

02.3

)32()1(

2

)1()1(1

nn

nn

nn

nn xnxa

xnay ; válida para 2x .

18. )()32()12(2

)1()1(31 3

125

1

12

2

0 xxann

xnay

nn

nn

; válida para 2x .

19. )()31( 3

31

1

2

0 xxaxay ; válida para toda x finita.

20.

0

12

161

0

2

031 )32()2()1()1()32()12()1()1(

n

nn

n

nn xnnnaxnnnay ; válida

para 1x .

21. xann

xnay

nn

nn

1

1

21

0!)12(2

)14.....(11.7.3)1(1

; válida para 2

1x .

22*. )()12()32(!2

)54...(7.3).1()1(31 3

31

1

1

2

0 xxannn

xnay

nn

nn

; válida para 2

1x .

24.

02

1221

1

2

014

2)1()41(

n

nnn

n

xaxay ; válida para

21x .

25.

02

121

1

2

014

9)1()91(

n

nnn

n

xaxay

26. xann

xnay

nn

n

1

1

2

0!)12(18

)12(...7.5.31

; válida para 3x .

27.

12

12

1

2

0)14(!

)34(...9.5.1)21(

n

n

nn

xnxaxay ; válida para

21x .

28.

1

13

1

1

3

0)13...(10.7.4!3

)2()1()2(

)13...(8.5.2!3

)2()1(1

nn

nn

nn

nn

nn

xxa

nn

xay ; válida para

toda x finita.



30.

1

12

1

1

2

0!)12(

)3()14...(13.9.5)3(

!)2(

)3()14...(11.7.31

n

n

n

n

n

xnxa

n

xnay ;


31.

0

12

1

0

2

0

2

5

1

15

2

)12.....(5.3.1

)1()1(

!2

)12()1(

n

nn

nn

nn

n

xna

n

xnaxy ; válida para toda x

finita.

33.

1

232

2

1

13

1

1

3

0)13.....(10.7.4

)1(

!3

)1(

)13.....(8.5.2

)1(1

n

nn

nn

nn

n

nn

n

xxa

n

xxa

n

xay ;


Education

03 preliminares. solucion en torno a puntos ordinarios