Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

Sean los siguientes polinomios en “x”:

P(x) = 5x + 2, x {-1; 0; 1; 3; 4; 9}Q(x) = x2 + 3x - 1, x {-2; -1; 0; 3; 9}

Evaluar y completar el siguiente cuadro:

x -2 -1 0 1 3 4 9

P(x)

Q(x)

x -2 -1 0 1 3 4 9

P(x) --- -3 2 7 17 22 47

Q(x) -3 -3 -1 --- 17 --- 107

ECUACIÓNECUACIÓNEs una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas de por lo menos una variable y que se verifica para un determinado conjunto de valores asignados a sus variables.

Ejemplo 1: x – 6 = 10 x

Ejemplo 2: x2 – 2 = x + 4

Ejemplo 3: x3 = x

se verifica para x = 8 ( 1 solución o 1 RAÍZ)

se verifica para x = 2 ó x = 3 ( 2 soluciones o 2 RAÍCES)

se verifica para x = 0 ó x = 1 ó x = 1 ( 3 soluciones o 3 RAÍCES)

CONJUNTO SOLUCIÓN:

Se llama conjunto solución o conjunto de soluciones a aquel conjunto cuyos elementos verifican la igualdad de las expresiones que forman una ecuación.Para el ejemplo 1: C.S. = {8}Para el ejemplo 2: C.S. = {2 ; 3}Para el ejemplo 3: C.S. = {1; 0; 1}

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONESCLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

1. Ecuaciones numéricas

Ejemplo: 3x + 5 = 10(2x – 3 )+7

2 . Ecuaciones literalesEjemplo: ax + b = a(b – x )

SEGÚN LOS COEFICIENTES DE SUS VARIABLES

SEGÚN SU GRADO

1. Ecuaciones lineales o de primer grado

Ejemplo: 7x – 2(x + 1) = 3x +2

2 . Ecuaciones de segundo gradoEjemplo: 2x2 + 3x = 6 – 2x

1. Ecuación CompatibleEs aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución; puede ser determinada o indeterminada

a) Determinada: Tiene un número finito de soluciones.

b) Indeterminada: Tiene un número infinito de soluciones.

Ejemplos: 2x + 8 = x + 11 C.S. = {3}

x(x+2)(x–3) = 0 C.S. = {2; 0; 3}

Ejemplo: 5x – 4 = 2x – 1 + 3x – 3

2. Ecuación IncompatibleEs aquella que no tiene solución.

Ejemplo:

C.S. = {… 2; 1; 0; 1; 2; ... }

C.S. = { } ó C.S. =3x + 5 = 8 + 3x

SEGÚN EL TIPO DE SOLUCIÓN

No existe ningún valor de x que verifique la igualdad.

ECUACIONES LINEALES

Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede escribirse en la forma:

ax + b = 0

donde a y b son constantes y a ≠ 0.

ECUACIONES EQUIVALENTES

Dos o más ecuaciones se definen como equivalentes si el Conjunto Solución es común para todas.

Ejemplos:

1) 2(x – 5) = x – 4 C.S = {6}

2) x – 6 = 0 C.S = {6}

Luego las dos ecuaciones son equivalentes.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Resolver una ecuación es un proceso que consiste en determinar todas las soluciones o raíces que verifican la ecuación, o bien, demostrar que éstas no existen.

TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES

Teorema I: “Las ecuaciones F(x) = G(x) y F(x) – G(x) = 0, son equivalentes ”

Ejemplo.- Si: 2x – 1 = x + 4

Teorema II: ”Las ecuaciones G(x) = F(x) y F(x) + = G(x) + , son equivalentes para cualquier número real ”.

Ejemplo.- Si: 3x + 7 = x + 4

Teorema III: Para todo número real distinto de cero, las ecuaciones:

F(x) = G(x) y . F(x) = . G(x), son equivalentes.

Ejemplo.- Si: 5x- 9 = x - 2

(2x – 1) – (x + 4 ) = 0

3x + 7 + (-7) = x + 4 + (-7)

3.(5x - 9) = 3.(x – 2)

x x5 64 3

xx x2 2

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ECUACIONES QUE CONDUCEN A UNA ECUACIÓN LINEAL

Existe un conjunto de situaciones problémicas que se plantean por medio de ecuaciones racionales no lineales (de grado diferente de 1), que al resolverlas se reducen a una ecuación lineal.

ECUACIONES FRACCIONARIASLlamamos ecuación fraccionaria a aquel tipo de ecuación racional en el que las incógnitas se encuentran en los denominadores.Ejemplos:

ECUACIONES LITERALES O PARAMÉTRICAS

Una ecuación se denomina literal o paramétrica cuando al menos una cantidad conocida se representa por una letra (denominada parámetro).

Ejemplo.

ECUACIONES CON RADICALES

Una ecuación se denomina irracional si por lo menos una incógnita forma parte de algún radicando.

Ejemplo. x x3 2 2

y y3 3

= 0ax + bx + c

Ecuación lineal de una incógnita (x) y de parámetros a, b y c.