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CÁLCULO 2CÁLCULO 2
La Antiderivada y La Integral Indefinida.
Departamento de Ciencias
Temperatura del Cuerpo 8°C
Temperatura del Refrigerador= 5°C
¿Qué pasa con la temperatura del cuerpo?
Ley de Enfriamiento de Newton
El calor transferido hacia el cuerpo o viceversa es
Si la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande
( )adT
K T tdt
¿Cuál es la altura h(t) del agua en cualquier instante de tiempo t ?
Si la altura disminuye a razón de:
dh 1 t20
dt 25 50
Vaciado de un Tanque
Se Conoce PidenRC de la temperatura de un cuerpo Función Temperatura
Razón de cambio de la altura Función Altura
¿Qué tienen en común?
Respondemos:
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante
resuelve problemas vinculados a la
gestión e ingeniería a partir de
Ecuaciones Diferenciales (ED) con una
condición inicial, usando el cálculo de las
integrales inmediatas y las reglas básicas
de integración indefinida.
Distancia Velocidad
Ingresos Ingresos Marginales
Costo Costo Marginal
Población Razón de Crecimiento de la población
Derivada
AntiderivadaAntiderivada
1. Antiderivada
Ejemplo 1: 2( ) 3 f x xPara , la función: es una3( ) F x x
antiderivada, pues:
'3 2'( ) =3 ( )
'( ) ( )
F x x x f x
F x f x
( ) ( ) para todo F x f x x I
Una función F recibe el nombre de primitiva o
Antiderivada de f en un intervalo I si:
2( ) 3f x x
31( ) +1 F x x
32 ( ) +2 F x x
33( ) - 1 F x x
34 ( ) - 2 F x x
+C;
C es una costante cualquieraiF x x 3( )
Son antiderivadas
De la misma forma, son antiderivadas las siguientes funciones:
Puesto que:
2'( ) 3 ( )
'( ) ( )
iF x x f x
F x f x
Significado geométrico:
Si es una antiderivada de en I , cualquier otra
antiderivada de f en I es una curva paralela al gráfico de
( )F x C
Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces la antiderivada general de f sobre I es:
( )F x ( )f x( )y F x
Teorema Teorema
Donde:C es una constante
2. Interpretación Geométrica
Miembros de la familia de Antiderivadas de
23x
3x3x 1
3x - 13x - 2
de es es
Dando valores a la constante C, obtenemos una familia de funciones
cuyas gráficas son traslaciones verticales de una a otra.
2( ) 3f x x 3( )F x x C
x
y
Del Ejemplo 1, la antiderivada general
2( ) 3f x x
Las primitivas difieren en una constante Las primitivas difieren en una constante
Integrando Derivando
3. La Integral Indefinida
( ) ( )f x x C)d F(x
Constante de Integración
Variable de IntegraciónSímbolo de
Integral
Diferencial de x
( ) ( )f x dx F x C
La Integral Indefinida de una función f(x) es la
antiderivada general de la función.
F es una antiderivada de f en un intervalo
Conclusión:
NOTACION NOTACION
(4 )(.1. ( ) ( ) ))) (( )( fx x g x xg x d dx dxf
f x d x fC dC x x ( ) ( ) (4 ). (2 ).
( ) ( ) ( ) ( )A Af x g x dx f x dx xB dxB g
Las constantes pueden salir y entrar del signo de la integral indefinida.
La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las integrales indefinidas.
4. Propiedad de Linealidad
5. Integración Inmediata
Integrales Inmediatas
dx x c 1
1
nn xx dx c
n
1ln | |dx x c
x
x xe dx e c
ln
xx aa dx c
a
cossenxdx x c cos xdx senx c
2sec tanxdx x c
2sc cotc xdx gx c 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
sec tan secx xdx x c csc t cscxco xdx x c tan ln | cos | ln | sec |xdx x c x c
t ln | se |co xdx nx c sec ln | sec tan |xdx x x c
c ln | c t |cs xdx cs x co x c
2 2
1 xdx arcsen c
aa x
Encontrar las siguientes Integrales:
EJEMPLOS:
Ejemplo:
2
4
df xx
dx (0) 5f
Ecuación Diferencial Condición Inicial
6. Ecuación Diferencial (ED)
Es aquella condición que se expresa 0 0( )f x yCondición Inicial:
Esta condición permite determinar la Solución Particular de la ED.
Resolución de EDEjemplo:
2 1
2
dfx
dx x
Resolver la siguiente Ecuación Diferencial
Esta solución se denomina Solución General pues depende de una constante C
Para resolverla se integra ambos miembros, obteniendo:
3
( )3
xf x x C
Si: (0) 5f
Se reemplaza la CI en la SG:3
( )3
xf x x C
Obteniendo:30
(0) 0 5 53
f C C
La solución particular es:3
( ) 53
xf x x
Se tiene un tanque con área seccional constante de 50 m2 y un agujero de un área seccional constante de 0.05 m2, localizado en la parte inferior del tanque.
h
El tanque se llena con agua hasta una altura de h metros y se deja vaciar, la altura del agua disminuye a razón:
120 ,
25 50
dh t
dt
Determinar la altura del agua en cualquier instante t.
7. Problema: Vaciado de un Tanque
Ecuación Diferencial
Si su altura es de 5 metros.
Condición Inicial
Pasos para Resolver la ED:
( ) ( )y x x x C)f d F(
En equipos de 4 estudiantes desarrollar los ejercicios indicados por el docente de los niveles 1, 2 y 3.
TRABAJO EN EQUIPO
# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1515.33 PURC
PURCELL, EDWIN J.
Cálculo Diferencial E Integral
Pearson Educación
2515
STEW/P 2007
STEWART, JAMES
Cálculo De Una Variable:
Transcendentes Tempranas
Thomson Learning
3 515.15/LARS
LARSON, RON Cálculo Mcgraw-Hill
BIBLIOGRAFÍA