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1. Si 𝑴 = √𝟖 − 𝒔𝒈𝒏(𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟏𝝅

𝟔)) y 𝑷 = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎𝟎

𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝅

𝟑), el valor numérico de (

𝑴

𝟔+ 𝑷) es:

11𝜋

6=(11)(180)

6= 330

𝑠𝑒𝑛 (11𝜋

6) = 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

6) =

−1

2

𝑠𝑒𝑛 (𝜋

6) = −

1

2

330° x

y

30°

-1

3

2

Reemplazando tenemos:

𝑀 = √8 − 𝑠𝑔𝑛 (−1

2) pero, 𝑠𝑔𝑛(𝑥) = {

1 𝑥 > 0 0 𝑥 = 0−1 𝑥 < 0

Entonces:

𝑀 = √8 − (−1) = √9 ∴ 𝑴 = 𝟑

Ahora:

𝑃 = log 100𝑐𝑜𝑠(

2𝜋

3) pero, log𝑎𝑀

𝛼 = 𝛼 log𝑎𝑀𝛼

Entonces:

𝑃 = (𝑐𝑜𝑠2𝜋

3) (log 100) = (𝑐𝑜𝑠

2𝜋

3) (log 102) = (𝑐𝑜𝑠

2𝜋

3) (2)(log 10) = (−

1

2) (2)(1)

𝑷 = −𝟏


3


Reemplazando valores:

(𝑀

6+ 𝑃) =

3

6+ (−1) =

1

2− 1

Por tanto:

(𝑴

𝟔+ 𝑷) = −

𝟏

𝟐

2. Para que la expresión 𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟏𝒙)+𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙)

𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟏𝒙)+𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒙)= 𝛁 sea una identidad trigonométrica, 𝛁 debe ser

reemplazada por:

Tengamos en cuenta las siguientes identidades trigonométricas:

𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝒔𝒆𝒏(𝒚) = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒚

𝟐) 𝒄𝒐𝒔 (

𝒙 − 𝒚

𝟐)

𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝒄𝒐𝒔(𝒚) = 𝟐𝒄𝒐𝒔 (𝒙 + 𝒚

𝟐) 𝒄𝒐𝒔 (

𝒙 − 𝒚

𝟐)

Entonces:

𝑠𝑒𝑛(11𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)

𝑐𝑜𝑠(11𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(5𝑥)=2𝑠𝑒𝑛 (

11𝑥 + 5𝑥2 ) 𝑐𝑜𝑠 (

11𝑥 − 5𝑥2 )

2𝑐𝑜𝑠 (11𝑥 + 5𝑥

2 ) 𝑐𝑜𝑠 (11𝑥 − 5𝑥

2 )

=2𝑠𝑒𝑛 (

16𝑥2 ) 𝑐𝑜𝑠 (

6𝑥2 )

2𝑐𝑜𝑠 (16𝑥2 ) 𝑐𝑜𝑠 (

6𝑥2 )

=𝑠𝑒𝑛(8𝑥)cos (3𝑥)

cos(8𝑥) cos (3𝑥)=𝑠𝑒𝑛(8𝑥)

cos (8𝑥)

Por tanto:

𝛁 = 𝐭𝐚𝐧 (𝟖𝒙)


4


3. Si Re = [0, 2π], tan(x) > 0, y 𝒄𝒐𝒔(𝒙) = −𝟏

√𝟐, entonces el valor de 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝒔𝒆𝒏(𝒙)) es:

x-1

1 2

2-1

45° 45°

Por tanto:

𝒄𝒐𝒔(𝒙) = −𝟏

√𝟐

Cuando:

𝑥 =3𝜋

4 ó 𝑥 =

5𝜋

4

Dado que tan(x) > 0 entonces esto sólo se cumple cuando 𝑥 =5𝜋

4 , por tanto:

𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑠𝑒𝑛 (5𝜋

4)) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (−

1

√2) =

𝟓𝝅

𝟒

4. Sea la función 𝒇: [−𝝅, 𝝅] → ℝ definida por 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝟏

𝟐|𝒙|), identifique la

proposición FALSA:

Lo primero que debemos realizar es el gráfico de la función para observar cuales son sus

características:

𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙)

𝒚 = 𝒔𝒆𝒏|𝒙| Reflexión con respecto al eje Y


5


𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝟏

𝟐|𝒙|)

Dado que B=1/2, se produce un alargamiento en el eje horizontal. De igual manera cambia el periodo de la

función: 𝑇 =2𝜋

𝐵=

2𝜋

1/2= 4𝜋

Dado que 𝑓: [−𝜋, 𝜋], entonces la gráfica final estaría dada por:

a) Rg f = [ 0, 1] ≡ VERDADERA

Efectivamente se puede observar que el rango de la función está entre 0 y 1 incluido

dichos límites.

b) f es una función par ≡ VERDADERA

Gráficamente una función es par si es simétrica con respecto al eje Y


6


c) f no es acotada ≡ FALSA

Esta premisa es falsa porque claramente se puede observar que la función es

acotada entre 0 y 1.

d) f no es inyectiva ≡ VERDADERA

Si trazamos una recta horizontal y dicha recta corta en más de un punto a la función,

entonces dicha función no es inyectiva.

e) f es estrictamente decreciente en el intervalo [ -π, 0] ≡ VERDADERA

En la gráfica se puede observar que la función decrece estrictamente en todo el

intervalo mencionado.

5. Sean las matrices 𝑨 = [𝒊𝟒 𝒔𝒆𝒏(

𝝅

𝟐𝒊𝟐)

−𝟒 𝒊𝟔] y 𝑩 = [

−𝟏 𝟐𝟑 𝟏

], entonces la matriz (A + B)

es:

Lo primero a realizar es definir la matriz A

𝑖4 = 1

𝑖6 = (𝑖2)3 = (−1)3 → 𝑖6 = −1

𝑠𝑒𝑛 (𝜋

2𝑖2) = 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

2(−1)) = 𝑠𝑒𝑛 (−

𝜋

2) → 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

2𝑖2) = −1

Entonces 𝐴 = [1 −1−4 −1

] , por tanto (A + B) = [0 1−1 0

]

a. Antisimétrica

Para que una matriz sea antisimétrica debe cumplir:

𝐴𝑇 = −𝐴

(𝐴 + 𝐵)𝑇 = [0 −11 0

] Y −(𝐴 + 𝐵) = [0 −11 0

]

Dado que (𝐴 + 𝐵)𝑇 = −(𝐴 + 𝐵) entonces (A + B) es antisimétrica.


7


b. Involutiva

Una matriz es involutiva si se cumple que 𝐴2 = 𝐼

(𝐴 + 𝐵)2 = [−1 00 −1

]

Dado que (𝐴 + 𝐵)2 ≠ 𝐼 entonces (A + B) no es involutiva.

c. Identidad

La matriz 𝐼2𝑥2 = [1 00 1

], entonces (A + B) ≠ I. Por tanto (A + B) no es la matriz identidad.

d. Triangular superior

Claramente se puede observar que (A + B) no es una matriz triangular superior.

e. Simétrica

Para que una matriz sea simétrica debe cumplir que 𝐴𝑇 = 𝐴

(𝐴 + 𝐵)𝑇 = [0 −11 0

] y (A + B) = [0 1−1 0

] , por tanto (𝐴 + 𝐵)𝑇 ≠ (𝐴 + 𝐵)


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8


6. Para que el sistema de ecuaciones lineales {

𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟓

𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + (𝒂𝟐 − 𝟑𝟒)𝒛 = 𝒂 + 𝟏 sea

INCONSISTENTE, un posible valor real de a es:

(1 2 12 3 22 3 𝑎2 − 34

|25

𝑎 + 1)~(

1 2 10 −1 00 −1 𝑎2 − 36

|21

𝑎 − 3)−2𝐹1 + 𝐹2−2𝐹1 + 𝐹3

~ (1 2 10 1 00 −1 𝑎2 − 36

|2−1𝑎 − 3

)−1

(1 2 10 1 00 0 𝑎2 − 36

|2−1𝑎 − 4

)

𝐹2 + 𝐹3

Para que el S.E.L. sea inconsistente debe cumplirse que:

𝑎2 − 36 = 0

𝑎2 = 36

𝒂 = ±𝟔

𝑎 − 4 ≠ 0

𝒂 ≠ 𝟒

7. En una promoción de productos de limpieza el gerente plantea las siguientes opciones: la

primera es 1 jabón con 2 detergentes y 3 desinfectantes por un valor de $ 10, la segunda

es 2 jabones más 6 detergentes más 1 desinfectante por $ 19 y la tercera es 1 jabón, 4

detergentes y 1 desinfectante por $ 12. Entonces, el valor de un desinfectante, en dólares,

es:

Transformando el problema en un S.E.L. tenemos:

1𝑗𝑎𝑏 + 2𝑑𝑒𝑡 + 3𝑑𝑒𝑠 = $10

2𝑗𝑎𝑏 + 6𝑑𝑒𝑡 + 1𝑑𝑒𝑠 = $19

1𝑗𝑎𝑏 + 4𝑑𝑒𝑡 + 1𝑑𝑒𝑠 = $12

(1 2 32 6 11 4 1

|101912)~(

1 2 30 2 −50 2 −2

|10−12)−2𝐹1 + 𝐹2−𝐹1 + 𝐹3

~ (

1 2 3

0 1 −52

0 1 −1

|

10

−121

)

1

2𝐹2

1

2𝐹3


9


(

1 2 3

0 1 −52

0 032

||

10

−1232 )

−𝐹2 + 𝐹3

3

2𝑑𝑒𝑠 =

3

2 → 𝒅𝒆𝒔 = 𝟏

Por tanto, el valor de un desinfectante es de $1.

8. Si |

𝒂 𝒃 𝒄𝒅 𝒆 𝒇𝒈 𝒉 𝒊

| = 𝟓, entonces el valor de |

𝒇 −𝟑𝒆 𝒅𝟐𝒄 −𝟔𝒃 𝟐𝒂𝒊 −𝟑𝒉 𝒈

| es:

|

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

| = 𝑎(𝑒𝑖 − ℎ𝑓) − 𝑏(𝑑𝑖 − 𝑔𝑓) + 𝑐(𝑑ℎ − 𝑒𝑔) = 5

𝑎𝑒𝑖 − 𝑎𝑓ℎ − 𝑏𝑑𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ − 𝑐𝑒𝑔 = 5

|𝑓 −3𝑒 𝑑2𝑐 −6𝑏 2𝑎𝑖 −3ℎ 𝑔

| = 𝑓(−6𝑏𝑔 + 6𝑎ℎ) + 3𝑒(2𝑐𝑔 − 2𝑎𝑖) + 𝑑(−6𝑐ℎ + 6𝑏𝑖)

−6𝑏𝑓𝑔 + 6𝑎𝑓ℎ + 6𝑐𝑒𝑔 − 6𝑎𝑒𝑖 − 6𝑐𝑑ℎ + 6𝑏𝑑𝑖 = −6(𝑎𝑒𝑖 − 𝑎𝑓ℎ − 𝑏𝑑𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ − 𝑐𝑒𝑔)

Pero:

(𝑎𝑒𝑖 − 𝑎𝑓ℎ − 𝑏𝑑𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ − 𝑐𝑒𝑔) = 5

Entonces:

|𝑓 −3𝑒 𝑑2𝑐 −6𝑏 2𝑎𝑖 −3ℎ 𝑔

| = (−6)(5) = −30


10


9. El valor de b para que el número complejo 𝒛 =𝒃+𝟑𝒊

𝟏−𝒊 sea imaginario puro es igual a:

𝑏 + 3𝑖

1 − 𝑖×1 + 𝑖

1 + 𝑖=𝑏 + 𝑏𝑖 + 3𝑖 + 3𝑖2

1 + 𝑖 − 𝑖 − 𝑖2=𝑏 + 𝑏𝑖 + 3𝑖 + 3(−1)

1 − 𝑖2=𝑏 + 𝑏𝑖 + 3𝑖 − 3

2

=(𝑏 − 3) + (𝑏 + 3)𝑖

2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒛 =

𝒃 − 𝟑

𝟐+𝒃 + 𝟑

𝟐𝒊

Para que un número sea imaginario puro debe ser de la forma: 𝑧1 = 0 + 𝑦𝑖 , entonces

igualando los componentes reales tenemos :

𝑏 − 3

2= 0 ∴ 𝒃 = 𝟑

10. De la figura se conoce que 𝒎(∢𝑹𝑸𝑷) = 𝟔𝟎°, 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ∥ 𝑷𝑹̅̅ ̅̅ , 𝑩𝑹̅̅ ̅̅ = 𝑹𝑪̅̅ ̅̅ 𝒚 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟑𝒖,

entonces la longitud de 𝑸𝑹̅̅ ̅̅ , en u, es:

A B

C

P R

Q


11


Colocando los datos y añadiendo algunas notaciones, tenemos:

A B

C

P R

Q

a

a

α β

α β

60

3u

x

z

Podemos observar que se forman los siguientes

triángulos:

C

A Bβ α

2a

3

C

P Rβ α

a

x

Por criterio AA (Angulo – Angulo): dos triángulos

son semejantes si tienen dos ángulos de igual

medida. Por tanto:

2𝑎

3=𝑎

𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 =

3

2

Entonces, del triángulo rectángulo QPR:

𝑠𝑒𝑛(60°) =𝑥

𝑧

𝑧 =𝑥

𝑠𝑒𝑛(60°)=

32

√32

=3

√3

𝒛 = √𝟑


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11. Si en un polígono se han podido trazar 54 diagonales en total, entonces la suma de las

medidas de los ángulos interiores de este polígono, en grados sexagesimales, es:

La cantidad de diagonales de un polígono de n lados está dado por:

𝑛(𝑛 − 3)

2

Dado que el polígono tiene 54 diagonales, entonces:

𝑛(𝑛 − 3)

2= 54

𝑛2 − 3𝑛 − 108 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (𝑛 − 12)(𝑛 + 9) = 0

Por tanto, el polígono tiene n = 12 lados.

Ahora, para determinar la suma de los ángulos interiores, utilizamos la siguiente fórmula:

𝑆 = (𝑛 − 2)(180) = (12 − 2)(180) = (10)(180)

𝑺 = 𝟏𝟖𝟎𝟎

12. El punto notable del triángulo que equidista de los tres vértices del triángulo es el:

Circuncentro


13


13. Sea una circunferencia circunscrita a un octágono regular. La medida del ángulo central

cuyos lados son los radios que incluyen dos puntos consecutivos de este octágono, en

radianes, es:

Dado que es un polígono regular entonces sus ángulos son de igual medida, además es un

octógono, por tanto, n = 8, entonces:

𝛼 =2𝜋

𝑛=2𝜋

8

𝜶 =𝝅

𝟒

14. En la figura adjunta se tiene un triángulo inscrito en la semicircunferencia, entonces el

valor de y, en cm, es:

30°

2 cm

h

x y


14


𝑠𝑒𝑛(30°) =ℎ

2

ℎ = (2)(𝑠𝑒𝑛(30°)) = (2) (1

2)

𝒉 = 𝟏

Utilizando el teorema de Pitágoras:

22 = 12 + 𝑥2

𝑥2 = 4 − 1

𝒙 = √𝟑

Utilizando la información del semicírculo, buscamos determinar la longitud del radio:

30°

2 cm

r

r O

Utilizando la ley de los cosenos:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐(cos𝛼)

𝑟2 = 𝑟2 + 22 − 2(𝑟)(2)(cos 30°)

𝑟2 = 𝑟2 + 4 − 4𝑟 (√3

2)

2√3𝑟 = 4

𝒓 =𝟐√𝟑

𝟑

Dado que el diámetro es dos veces la longitud del radio, entonces:

𝑥 + 𝑦 = 2𝑟

Reemplazando tenemos:

√3 + 𝑦 = 2(2√3

3)

𝑦 =4√3

3− √3

𝒚 =√𝟑

𝟑


15


15. En el centro del techo de un cuarto en forma de un ortoedro, cuyas dimensiones se

muestran en la figura, se coloca en forma perpendicular una lámpara a 1m del techo. La

distancia de la parte inferior de la lámpara a la esquina E del cuarto, en m, es igual a:

6

8

4

Un ortoedro es un paralelepípedo recto rectangular por lo que podríamos aplicar el teorema

de Pitágoras en el espacio.

3

4

3 3

𝑑2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

𝑑2 = 42 + 32 + 32

𝑑2 = 34

𝒅 = √𝟑𝟒



16


16. El área de la superficie lateral del sólido de revolución que se genera al rotar el rectángulo

de la figura alrededor del eje Y, es:

x

y

(1, -1)

(1, 3)

El área de la superficie lateral del cilindro generado, está dado por:

𝑨𝑳 = 𝟐𝝅𝒓𝒈

𝐴𝐿 = 2𝜋(1)(4)

𝑨𝑳 = 𝟖𝝅

17. Una fábrica de chocolates produce bombones en forma de esfera sólida con un diámetro

que mide 1cm. Si en cada proceso productivo se elaboran 𝟑𝟔𝝅 𝒄𝒎𝟑 de chocolate listo

para empacar, la cantidad de cajas de 12 bombones que se pueden hacer en cada proceso

es:

El volumen de cada bombón estará dado

por:

𝑽 =𝟒

𝟑𝝅𝒓𝟑

𝑉 =4

3𝜋 (1

2)3

𝑉 =𝜋

6

En cada proceso productivo se elaboran:

𝑏 =36𝜋𝜋6

𝑏 = 216

216 bombones.


17


Si en cada caja se empacan 12 bombones, entonces el número de cajas estará dado por:

𝑐 =216

12 → 𝒄 = 𝟏𝟖

Por tanto, en cada proceso se empacan 18 cajas.

18. Sean los vectores 𝑽𝟏⃗⃗ ⃗⃗ = 𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒊 − 𝟐𝒋 + 𝟗𝒘𝒌 y 𝑽𝟐⃗⃗ ⃗⃗ = 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒊 + (𝒍𝒏(𝒑) − 𝟐)𝒋 +

𝟏

𝟑𝒌, si 𝒙 ∈

[𝟎,𝝅

𝟐], p > 0 y 𝒘 ∈ ℝ, entonces el valor numérico de (

𝒙

𝝅− 𝒑 + 𝟐𝒘), conociendo que los

vectores 𝑽𝟏⃗⃗ ⃗⃗ 𝒚 𝑽𝟐⃗⃗ ⃗⃗ son iguales, es:

𝑉1⃗⃗ ⃗ = (𝑐𝑜𝑠 𝑥, −2, 9𝑤) 𝑦 𝑉2⃗⃗ ⃗ = (𝑠𝑒𝑛 𝑥, 𝑙𝑛 (𝑝) − 2,

1

3)

Dado que 𝑽𝟏⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑽𝟐⃗⃗ ⃗⃗ , entonces 2 vectores son iguales si tienen igual recorrido, es decir:

cos 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

En el intervalo [0,𝜋

2] la igualdad de

funciones se cumple sólo cuando:

𝒙 =𝝅

𝟒

−2 = ln(𝑝) − 2

ln(𝑝) = 0 → 𝑒ln (𝑝) = 𝑒0 → 𝒑 = 𝟏

9𝑤 =1

3

log9 9𝑤 = log9

1

3 → 𝑤 log9 9 = log9 1 − log9 9

1/2


18


𝑤 = 0 − (

1

2) log9 9

𝒘 = −𝟏

𝟐

Entonces:

(𝑥

𝜋− 𝑝 + 2𝑤) =

𝜋4𝜋− 1 + (2) (−

1

2) =

1

4− 1 − 1 =

1

4− 2

(𝒙

𝝅− 𝒑 + 𝟐𝒘) = −

𝟕

𝟒

19. Las coordenadas de un vector unitario perpendicular a la superficie del paralelogramo

sustentado por los vectores 𝑽𝟏⃗⃗ ⃗⃗ = (−𝟐, 𝟏, 𝟎) y 𝑽𝟐⃗⃗ ⃗⃗ = (𝟑,−𝟐,−𝟏), es:

Realizando el producto 𝑽𝟏⃗⃗ ⃗⃗ × 𝑽𝟐⃗⃗ ⃗⃗ obtendremos un vector perpendicular al paralelogramo

formado por los vectores mencionados y a su vez dicho vector será paralelo al vector

unitario buscado.

𝑽𝟏⃗⃗ ⃗⃗ × 𝑽𝟐⃗⃗ ⃗⃗ = |𝒊 𝒋 𝒌−2 1 03 −2 −1

|

= [(1)(−1) − (0)(−2)]𝑖 − [(−2)(−1) − (0)(3)]𝑗 + [(−2)(−2) − (1)3)]𝑘

= −𝑖 − 2𝑗 + 𝑘

𝑽𝟏⃗⃗ ⃗⃗ × 𝑽𝟐⃗⃗ ⃗⃗ = (−𝟏,−𝟐, 𝟏)

Para que dos vectores sean paralelos, debe cumplirse que:

�⃗� = 𝜇(𝑽𝟏⃗⃗ ⃗⃗ × 𝑽𝟐⃗⃗ ⃗⃗ )

Y dado que el vector debe ser unitario entonces la norma debe ser igual a 1, esto es:


19


‖�⃗� ‖ = 𝜇‖(𝑽𝟏⃗⃗ ⃗⃗ × 𝑽𝟐⃗⃗ ⃗⃗ )‖ = 1

𝜇√(−1)2 + (−2)2 + (1)2 = 1

𝜇√6 = 1

𝝁 =√𝟔

𝟔

Por tanto, el vector unitario perpendicular buscado es:

�⃗⃗� =√𝟔

𝟔(−𝟏,−𝟐, 𝟏)

20. Dada la función 𝒇: ℝ → ℝ definida por 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒔𝒆𝒏(𝝅𝒙). La ecuación de la recta L

que se muestra en la figura es:

fL

Para determinar la ecuación de la recta L necesitamos conocer dos puntos

𝑃1(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) que pertenezcan a dicha recta, por la ecuación de la función f

podemos observar que es acotada en 𝒚𝟏 = 𝟐.

Por otra parte, conociendo el periodo de la función f podemos determinar en que puntos

intersecta al eje x:

𝑇 =2𝜋

𝐵=2𝜋

𝜋 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑻 = 𝟐


20


fL

21

-1/2

2

Del gráfico adjunto podemos obtener los siguientes puntos que pertenecen tanto a L como

a f.

𝑃1 (−1

2, 2) 𝑦 𝑃2(1,0)

Para obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, utilizamos:

𝒙 − 𝒙𝟏𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

=𝒚 − 𝒚𝟏𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝑥 − (−12)

1 − (−12)=𝑦 − 2

0 − 2 →

𝑥 +12

32

=𝑦 − 2

−2

−2𝑥 − 1 =3

2𝑦 − 3 → −2𝑥 −

3

2𝑦 + 2 = 0

𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟒 = 𝟎



21


21. Dada la función 𝒇: ℝ → ℝ definida por 𝒇(𝒙) = −|𝒙 − 𝟐|. La ecuación de la parábola P

que contiene la raíz de f y su vértice es V(1,2), es:

P

f

Para obtener la ecuación de la parábola necesitamos las coordenadas del vértice y un punto

perteneciente a dicha parábola. Dado que ya conocemos el vértice sólo falta conocer un

punto que pertenezca a la parábola, el cual podemos obtener a partir de f.

𝒇(𝒙) = −|𝒙 − 𝟐|

Si y = 0 entonces −|𝑥 − 2| = 0 ∴ 𝒙 = 𝟐 → 𝑷𝑳(𝟐, 𝟎)

Ahora, reemplazando el vértice y el punto obtenido en la ecuación canónica de la parábola,

tenemos:

(𝒙 − 𝒉)𝟐 = −𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)

(𝑥 − ℎ)2 = −4𝑝(𝑦 − 𝑘) → (2 − 1)2 = −4𝑝(0 − 2)

1 = 8𝑝 → 𝒑 =𝟏

𝟖

(𝑥 − 1)2 = −4(1

8) (𝑦 − 2)

𝑥2 − 2𝑥 + 1 = −𝑦

2+ 1 → 𝑥2 − 2𝑥 +

𝑦

2= 0

𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝒚 = 𝟎


22


22. Sea la elipse 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟓 = 𝟎. El perímetro del triángulo que se forma al

unir los focos y un punto de la elipse que no sea colineal con los focos, en u, es igual a:

Lo primero que necesitamos determinar son las coordenadas de los focos, para ello

convertimos la ecuación a su forma canónica.

3𝑥2 + 2𝑦2 + 6𝑥 + 8𝑦 + 5 = 0

3𝑥2 + 6𝑥 + 2𝑦2 + 8𝑦 + 5 = 0

3(𝑥2 + 6𝑥) + 2(𝑦2 + 4𝑦) + 5 = 0

3(𝑥2 + 2𝑥 + 1) + 2(𝑦2 + 4𝑦 + 4) + 5 − 3 − 8 = 0

3(𝑥 + 1)2 + 2(𝑦 + 2)2 = 6

3(𝑥 + 1)2

6+2(𝑦 + 2)2

6=6

6

(𝑥 + 1)2

2+(𝑦 + 2)2

3= 1

Entonces:

𝑎2 = 3 → 𝒂 = √𝟑

𝑏2 = 2 → 𝒃 = √𝟐

ℎ = −1 ∧ 𝑘 = −2

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 = 3 − 2 → 𝒄 = 𝟏

Por tanto, las coordenadas de los focos están dadas por:

𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝑭𝟏(−𝟏,−𝟏)

𝐹2(ℎ, 𝑘 − 𝑐) → 𝑭𝟐(−𝟏,−𝟑)


23


Un punto de la elipse que no sea colineal con los focos se da cuando y = -2. Reemplazando

en la ecuación original:

𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟓 = 𝟎

3𝑥2 + 2(−2)2 + 6𝑥 + 8(−2) + 5 = 0

3𝑥2 + 6𝑥 + 8 − 16 + 5 = 0

3𝑥2 + 6𝑥 − 3 = 0

𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0

𝒙 =−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

𝑥 =−2 ± √4 − 4(1)(−1)

2=−2 ± √8

2=−2 ± 2√2

2= −1 ± √2

Podemos elegir cualquiera de las dos raíces obtenidas, resumiendo los puntos tenemos:

𝑭𝟏(−𝟏,−𝟏) ∧ 𝑭𝟐(−𝟏,−𝟑) ∧ 𝑷(−𝟏 + √𝟐,−𝟐)

Para determinar el perímetro del triángulo, necesitamos calcular las distancias que hay

entre los puntos obtenidos.

𝑑(𝐹1, 𝐹2) = √(−1 + 1)2 + (−1 + 3)2 = √4 → 𝒅(𝑭𝟏, 𝑭𝟐) = 𝟐

𝑑(𝐹1, 𝑃) = √(−1 + 1 − √2)2+ (−1 + 2)2 = √(−√2)

2+ 1 → 𝒅(𝑭𝟏, 𝑷) = √𝟑

𝑑(𝐹2, 𝑃) = √(−1 + 1 − √2)2+ (−3 + 2)2 = √(−√2)

2+ 1 → 𝒅(𝑭𝟏, 𝑭𝟐) = √𝟑

Por tanto:

𝑃 = 𝑑(𝐹1, 𝐹2) + 𝑑(𝐹1, 𝑃) + 𝑑(𝐹2, 𝑃) = 2 + √3 + √3

𝑷 = 𝟐 + 𝟐√𝟑


24


23. Dados 𝑹𝒆𝒙 = 𝑹𝒆𝒚 = [ 𝟎, +∞) y el predicado de dos variables 𝒑(𝒙, 𝒚): {𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟏

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒. Si

𝑨𝒑(𝒙, 𝒚) = {(𝒂, 𝒃)}, entonces el PRODUCTO (a*b) es:

𝑦2 = 𝑥2 − 1 ∧ 𝑦2 = 4 − 𝑥2

𝑥2 − 1 = 4 − 𝑥2

2𝑥2 = 5

𝒙 =√𝟓

√𝟐

Reemplazando el valor de x en

𝑦2 = 𝑥2 − 1 =5

2− 1 =

3

2

𝑦 =√3

√2

Entonces, el producto (a*b):

(√𝟓

√𝟐)(√𝟑

√𝟐) =

√𝟏𝟓

𝟐

24. Dado el siguiente conjunto de datos ordenados 8, 12, 13, 14, k, 17, 19, 19, 25, 27. Si se

conoce que la mediana es 16, entonces el número k es:

La mediana se obtiene promediando los valores centrales del conjunto de datos cuando la

cantidad de datos es par, entonces:

𝑘 + 17

2= 16

𝑘 + 17 = 32

𝒌 = 𝟏𝟓


25


25. La probabilidad de que un número natural n menor que 10 tomado al azar, cumpla con la

siguiente inecuación (𝒏𝟑 − 𝟑𝒏𝟐 − 𝟏𝟎𝒏 > 𝟎), es:

Definiendo cuales son los números naturales menores que 10 tenemos:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Resolviendo la inecuación tenemos:

𝑛3 − 3𝑛2 − 10𝑛 > 0

𝑛(𝑛2 − 3𝑛 − 10) > 0

𝑛(𝑛 − 5)(𝑛 + 2) > 0

Dado que no puede darse que n < 0, entonces, sólo son factibles los siguientes escenarios

en lo que respecta a la solución de la inecuación planteada:

1

𝑛 > 0 ∧ (𝑛 − 5) > 0 ∧ (𝑛 + 2) > 0

𝑛 > 0 ∧ 𝑛 > 5 ∧ 𝑛 > −2

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ∩ { 6, 7, 8, 9} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {6, 7, 8, 9}

2

𝑛 > 0 ∧ (𝑛 − 5) < 0 ∧ (𝑛 + 2) < 0

𝑛 > 0 ∧ 𝑛 < 5 ∧ 𝑛 < −2

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ∩ { 1, 2, 3, 4} ∩ {∅} = {∅}


26


Por tanto, la probabilidad estará dada por:

𝑃 =𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑎 10

𝑷 =𝟒

𝟗

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