MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DIRECCIÓN NACIONAL DE JOVENES Y ADULTOS

INSTITUTO SUPERIOR LABORAL NUEVA LUZ

MÓDULO DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA

NIVEL: 11°-LETRAS

ISNL

2014

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

MENSAJE AL ESTUDIANTE.

TEMA #1: MATRICES

TEMA #2: DETERMINANTES DE ORDEN 2 Y 3.

TEMA #3: NÚMEROS COMPLEJOS.

TEMA #4: DISTANCIA ENTRE PUNTOS

BIBLIOGRAFÍA

INTRODUCCIÓN

El presente módulo instruccional está estructurado en cuatro temas; cada uno

dividido en subtemas y desarrollado con una gran variedad de ejemplos y

diversas actividades de aprendizaje, divididas en forma individual y grupal.

La metodología del módulo se caracteriza por una presentación clara de cada

tema, de fácil comprensión mediante el empleo de un vocabulario sencillo.

Este módulo pretende ser un instrumento válido para el desarrollo de las

potencialidades de los participantes de décimo grado 11°Letras del Instituto

Laboral Nueva Luz.

MENSAJE AL ESTUDIANTE

Estimado y apreciado amigo estudiante, Bienvenido al año escolar 2014. Te

animo a que durante este periodo dediques todo tu esfuerzo, capacidad e

interés para el logro satisfactorio de los objetivos propuestos y de esta forma

puedas aplicar los conocimientos que te ayudaran a ser un mejor individuo y

futuro profesional.

¡Vamos Anímate!

Y recuerda los obstáculos se hicieron para ser superados.

Tú tienes el don divino de la inteligencia y la sabiduría. ¡Úsalo!

FILAS

COLUMNAS

TEMA #1: MATRICES

Objetivo: Resolver operaciones con matrices.

Concepto de matriz: Una matriz es una disposición rectangular o cuadrada

de elementos distribuidos en filas y columnas y que verifican ciertas reglas del

álgebra.

(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)

Filas xColumnas

m xn

Ejemplo:

( 17 0 −6−9 1 −211 2 4 )

Orden de una matriz: el orden de una matriz se indica escribiendo primero

el total de filas y luego el total de columnas.

Ejemplo: ( 0 45 6

−2 7)Tipos de matrices:

Matriz Cuadrada: es aquella que tiene igual número de filas y de

columnas.

Ejemplo: (1 149 −2)

Orden 3 x3

Orden 3 x2

Matriz columna: es aquella que solo tiene una sola columna.

Ejemplo: ( 23−710 )

Matriz fila: es aquella que tiene una sola fila.

Ejemplo: (3 −1 2 0 5 )

Matriz nula: es aquella donde todos los elementos son ceros.

Ejemplo: (0 0 00 0 00 0 0)

Matriz diagonal inferior: es una matriz cuadrada, en la cual todos los

elementos que están por arriba de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo: ( 1 0 04 6 0

−3 5 9) Matriz diagonal superior: es una matriz cuadrada, en la cual todos los

elementos que están por debajo de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo: (1 −1 80 6 110 0 9 )

Matriz Identidad: es una matriz cuadrada en donde los elementos de

la diagonal principal son 1, y los demás elementos son ceros.

Ejemplo: (1 0 00 1 00 0 1)

Traspuesta de una matriz:

Dada una matriz de orden m xn la traspuesta denotada por At se obtiene

intercambiando sus filas por columnas obteniendo una matriz de orden n x m.

Ejemplo: hallar la traspuesta de la matriz A=( 5 8−6 70 1)

Entonces tenemos que: At=(5 −6 08 7 1)

Operaciones con matrices:

Adición de matrices: Consideremos dos Matrices A y B, las cuales

tienen el mismo orden. Para sumar estas matrices se suman los

elementos de ambas que están en las mismas posiciones.

Ejemplo: Hallar A+B dadas, A=(3 107 −15 −2) y B=( 8 0

−6 −47 1 )

*Ambas matrices son del mismo orden, luego

A+B=( 3+8 10+07−6 −1−45+7 −2+1 )

A+B=(11 101 −5

12 −1)Observación: la adición de matrices es conmutativa, asociativa, tiene inversa

aditiva, y elemento neutro (matriz nula).

Orden 3 x2

Orden 2 x3

Resta de matrices: Consideremos dos Matrices A y B, las cuales tienen

el mismo orden. Para restar estas matrices (A-B), primero debemos

multiplicar cada uno de los elementos de la matriz B por el signo menos

y luego esto se reduce a una suma de matrices.

Ejemplo 1:

Hallar A−B dadas, A=(3 −14 05 −2) y B=( 8 9

4 7−6 −2)

A−B=(3 −14 05 −2)−( 8 9

4 7−6 −2)

A−B=( 3−8 −1−94−4 0−7

5−[−6 ] −2−[−2])

A−B=( −5 −100 −7

5+6 −2+2)

A−B=(−5 −100 −711 0 )

Ejemplo 2:

Hallar A−B dadas, A=(−7 3 09 −5 61 −2 4 ) y B=(−5 1 2

−8 0 5−2 −3 1)

A−B=(−7 3 09 −5 61 −2 4)−(−5 1 2

−8 0 5−2 −3 1)

A−B=(−7 3 09 −5 61 −2 4)+(5 −1 −2

8 0 −52 3 −1)

A−B=(−7+5 3−1 0−29+8 −5+0 6−51+2 −2+3 4−1)

A−B=(−2 2 −217 −5 13 1 3 )

Producto de matrices: para obtener el producto de dos matrices A y B,

se multiplican los elementos de cada fila A por los elementos

correspondientes de cada columna B y luego se suman los productos

obtenidos. Estas matrices se pueden multiplicar únicamente si el

número de columnas de A, es igual al número de filas de B.

Ejemplo 1:

Multiplicar A ⋅B, dadas A=(1 3 22 1 45 3 −4) y B=(−3 −2

2 41 5 )

Solución: Podemos observar que A tiene igual número de columnas

que

las filas de B, por lo tanto podemos multiplicar estas matrices.

Orden 2 x3

Orden 3 x2

Procedemos a multiplicar cada fila de A por cada Columna de B.

A ⋅B=¿

A ⋅B=( −3+6+2 −2+12+10−6+2+4 −4+4+20−15+6−4 −10+12−20)

A ⋅B=( 5 200 20

−13 −18)

Ejemplo 2:

Multiplicar A ⋅B, dadas A=(1 2 34 5 6) y B=( 1 0

7 2−9 −3)

A ⋅B=(1 2 34 5 6)⋅( 1 0

7 2−9 −3)

A ⋅B=(1 (1 )+2 (7 )+3(−9) 1 (0 )+2 (2 )+3(−3)4 (1 )+5 (7 )+6(−9) 4 ( 0 )+5 (2 )+6(−3))

A ⋅B=(1+14−27 0+4−94+35−54 0+10−18)

A ⋅B=(−12 −5−15 −8)

TALLER#1:

Resolver las siguientes operaciones con matrices:

1) Sumar A+B dadas, A=( −6 7 52 8 −5

−10 9 3 ) , B=(−5 −1 9−4 5 2−1 −11 −14 )

2) Restar A−B dadas, A=(−5 4 8−2 −6 −4−9 2 5 ) ,B=( −1 −4 6

−7 5 −2−10 −12 −7)

3) Multiplicar A ⋅B, dadas A=(5 −4 16 −5 27 −2 3),B=(1 9

2 83 0)

ASIGNACIÓN PRÁCTICA:

Resolver las siguientes operaciones con matrices:

1) Sumar A+B dadas, A=( −6 7 52 8 −5

−10 9 3 ) , B=(−5 −1 9−4 5 2−1 −11 −14 )

2) Restar A−B dadas, A=(−5 4 8−2 −6 −4−9 2 5 ) ,B=( −1 −4 6

−7 5 −2−10 −12 −7)

3) Multiplicar A ⋅B, dadas A=(4 2 51 −3 45 −2 −4),B=(3 7

2 01 8)

TEMA #2: DETERMINANTES DE ORDEN 2 Y 3

Determinante de orden 2:

La expresión |a bc d|es una determinante 2 por 2, donde a ,b , c , y d son números

reales. La solución de la misma es:

D=|a bc d|=ad−bc

Las columnas están constituidas por las cantidades en una misma línea

vertical y las filas por las cantidades que se encuentran en una misma línea

horizontal.

El orden de un determinante 2 por 2 es el número total de filas y de columnas.

En el determinante |a bc d| la línea que une a con d es la diagonal principal y

la línea que une b con c es la diagonal secundaria. Los elementos de esta

determinante son ab y cd.

Ejemplo: |3 25 4|=(3)∙ 4−(5)∙(2)=12−10=2

Determinante de orden 3:

Para desarrollar una determinante de tercer orden aplicamos la regla se

Sarrus.

Ejemplo:| 1 −2 −3−4 2 1

5 −1 3 | por regla de Sarrus tenemos: Debajo de la tercera fila

horizontal se repite las dos primeras filas horizontales

1 −2 −3−4 2 15 −1 31 −2 −3

−4 2 1

Trazamos 3 diagonales de derecha a izquierda y viceversa.

1 −2 −3−4 2 15 −1 31 −2 −3

−4 2 1

Multiplicamos los números de cada diagonal, e invertimos el signo de los

números que van de derecha a izquierda. Luego sumamos o restamos

dependiendo de los signos de cada diagonal y encontramos el valor de la

determinante. Productos

Determinante de orden tres

por la Regla de Sarrus: Σ−Σ=−16−(−7 )=−16+7=−9

PRÁCTICA EN GRUPO: Resuelva las siguientes determinantes de orden dos y tres.

a) |2 73 5| c) | 8 2

−3 0|

d) |16 79 4|

De derecha a izquierda

De izquierda a derecha

-30 6

-1 -12

24 -10

TotalesΣ

-7 -16

b) | 9 −11−3 7 |

ACTIVIDAD PRÁCTICA INDIVIDUAL: Resuelva las siguientes determinantes de orden dos y tres.

a) |15 −113 2 |

b) |12 −113 −9|

e) |2 5 −13 −4 36 2 4 | f) |−3 4 1

2 3 01 2 7|

c) |10 73 2|

d) |3 210 34|

e) | 5 2 −8−3 −7 34 0 −1| f) |5 2 3

6 1 23 4 5|

TEMA #3: LOS NÚMEROS COMPLEJOS.

Objetivo: Resolver operaciones con números complejos.

Concepto: El conjunto de todos los números de la forma a+bi donde a, b son

números reales; i elementos de los Imaginarios tal que, i2=−1, a tal unión de

Reales e Imaginarios se les llama el Conjunto de los Números Complejos y se

denota por la letra C, de esta forma:

C={a+bi , a , b∈R ,i∈ I }

Donde a+bi es un número complejo y que tiene su parte real en a y su parte

imaginaria en bi.

Ejemplos de números complejos:

−2+5 i , 43+9 i , 3−i

Conjugado de un número complejo: el conjugado de un número complejo, es

otro número complejo con la misma parte real y la parte imaginaria solamente

difiere en el signo.

Ejemplo: El conjugado de 4+7 i es 4−7 i

El conjugado de −6−8 i es −6+8i

Operaciones con Números Complejos.

Adición de Números Complejos: para sumar números complejos, se

suman respectivamente las partes reales de cada uno, y las partes

imaginarias de cada uno.

Ejemplos de sumas:

Sumar −5+4 i , −7+2 i , 3−i

(−5+4 i )+(−7+2 i )+ (3−i )=(−5−7+3 )+ (4 i+2 i−i )

¿−9+5 i

Sumar −4−7 i , −2+3 i , 3−8 i

(−4−7i )+(−2+3 i )+(3−8 i )=(−4−2+3 )+ (−7 i+3 i−8 i )

¿−3−12 i

Resta de Números Complejos: para restar dos números complejos,

primero debemos multiplicar los signos del sustraendo, posteriormente

queda convertido en una adición de números complejos.

Ejemplos:

De−7+5 irestar 4−9 i

Solución:

(−7+5 i )− (4−9 i )=(−7+5 i )+(−4+9 i)

¿ (−7−4 )+(5 i+9i )

¿−11+14 i

De 3−4 irestar 6−8i

Solución:

(3−4 i )− (6−8 i )=(3−4 i )+(−6+8i)

¿ (3−6 )+(−4 i+8i )

¿−3+4 i

Multiplicación de Números Complejos: para multiplicar números

complejos, debemos aplicar la propiedad distributiva de la

multiplicación y recordar que i2=−1

Ejemplos: Multiplicar (2+4 i ) (3−2 i )

Solución:

(2+4 i ) (3−2i )=2 (3 )+2 (−2 i )+4 i (3 )+4 i(−2i)

¿6−4 i+12 i−8 i2

¿6−4 i+12 i−8(−1)

¿6−4 i+12 i+8

¿14+8i

Multiplicar ( 8+2i ) (−4+i )

Solución:

(8+2 i ) (−4+ i)=8 (−4 )+8 ( i )+2i (−4 )+2i(i)

¿−32+8 i−8 i+2i2

¿−32+8 i−8 i+2(−1)

¿−32+8 i−8 i−2

¿−34−0 i

¿−34

División de Números Complejos: El cociente de dos números

complejos se obtiene multiplicando el numerador y el denominador por

el conjugado del denominador.

Ejemplos:

Dividir2+4 i3−2 i

Solución:

2+4 i3−2 i

=( 2+4 i3−2 i ) ∙( 3+2i

3+2i )

¿2 (3 )+2 (2i )+4 i (3 )+4 i(2 i)3 (3 )+3 (2 i )−2 i (3 )−2 i(2i)

¿ 6+4 i+12 i+8 i2

9+6 i−6 i−4 i2

¿6+4 i+12 i+8 (−1 )9+6 i−6 i−4 (−1 )

¿ 6+4 i+12 i−89+6 i−6 i+4

¿ −2+16 i13

¿− 213

+ 16 i13

Dividir8+2 i−4+i

Solución:

8+2i−4+i

=( 8+2i−4+i )∙(−4−i

−4−i )¿

8 (−4 )+8 (−i )+2i (−4 )+2i(−i)−4 (−4 )−4 (−i )+i (−4 )+ i(−i)

¿ −32−8 i−8 i−2 i2

16+4 i−4 i−i2

¿−32−8 i−8 i−2(−1)

16+4 i−4 i−(−1)

¿ −32−8 i−8 i+216+4 i−4 i+1

¿ −30−16 i17

¿−3017

−16 i17

ACTIVIDAD EN GRUPO: Resolver las siguientes operaciones con números

complejos.

1) Hallar el conjugado de los siguientes números complejos

6−4 i

1−75

i

−12+7 i

−2−i

2) Sumar (−7−2 i)+(6+5i )+(−1−4 i )+(−3−12i )

3) De−5−9 i Restar−6−11 i

4) Multiplicar (−5+3i ) (7−8 i)

5) Dividir 9−4 i2+6 i

ACTIVIDAD PRÁCTICA INDIVIDUAL: Resolver las siguientes

operaciones con números complejos.

1) Sumar (−6−3 i )+ (9+4 i)+(−2−4 i)+(−1−10 i)

2) De−2−8 i Restar 4−12i

3) Multiplicar (7+5i ) (6−8 i )

4) Dividir 8−5 i3+9 i

TEMA #4: DISTANCIA ENTRE PUNTOS

Objetivos: Calcular la distancia entre dos puntos.

Hallar el punto medio de un segmento.

La distancia (d ) entre dos puntos ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) en el plano, está dada por la

siguiente fórmula:

d=√( x2−x1 )2+( y2− y1)2

Ejemplo #1: encuentre la distancia entre los puntos P (−8,5 ) Q (5,1 )

Solución: d=√(5−(−8 ) )2+ (1−5 )2

d=√(5+8 )2+ (−4 )2

d=√(13 )2+(−4 )2

d=√169+16

d=√185

d=13.60

Ejemplo #2: encuentre la distancia entre los puntos P (−3,1 )Q (5,1 )

Solución: d=√(5−(−3 ) )2+(1−1 )2

d=√(5+3 )2+ (−4 )2

d=√(8 )2+ (0 )2

d=√64+0

d=√64

d=8

Punto Medio de un segmento de una Recta.

El punto medio de un segmento determinado por los puntos ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) en el

plano, está dada por la siguiente fórmula:

PM=( x1+ x2

2,

y1+ y2

2 )Observación: recordar que el punto medio de un segmento también es un

punto coordenado en el plano cartesiano.

Ejemplo #1: Determine las coordenadas del punto medio que divide al

segmento que tiene como extremos los puntos P (4,2 ) Q (−10 ,−1 )

Solución: PM=( x1+ x2

2,

y1+ y2

2 )PM=( 4−10

2,2−1

2 )PM=(−6

2,12 )

PM=(−3 ,12 )

Ejemplo #2: Determine las coordenadas del punto medio que divide al

segmento que tiene como extremos los puntos P (5,3 )Q (7 ,−9 )

Solución:

PM=( 5+72

,3−9

2 )PM=( 12

2,−62 )

PM=(6 ,−3 )

ACTIVIDAD PRÁCTICA GRUPAL.

Calcule las siguientes distancias entre puntos.

P (11,6 )Q (−4 ,−1 )

M (9,3 ) N (3 ,−8 )

Calcule el punto medio de los segmentos determinados por los siguientes

pares de puntos:

E (3,10 ) F (−9 ,−2 )

R (6 ,−2 ) S (12 ,−7 )

ACTIVIDAD PRÁCTICA INDIVIDUAL.

Calcule las siguientes distancias entre puntos.

B (6,7 ) C (−5 ,−2 )

I (10,4 ) J (5 ,−8 )

Calcule el punto medio de los segmentos determinados por los siguientes

pares de puntos:

L (4,12 ) M (−11 ,−1 )

S (5,6 ) T (−5 ,−7 )

BIBLIOGRAFÍA

Baldor Aurelio. Álgebra.

Instituto Laboral Nueva Luz, Módulo Instruccional 12°, 2011.

Matemática 11° de Santillana. 2010.

Rees-Sparks. Trigonometría. 2004