12 tema divisibilidad 2013

IFD Maldonado Curso: Matemática I Año 2013

Repartido teórico Tema: Divisibilidad.

Departamento de Matemática. IFD Maldonado. Mayo 2013.

Definición de divisor de un número natural: Sean NbNa ∈∈ , , decimos que a divide a b y anotamos ba si y solo si existe otro número

natural c tal que multiplicado por a de como resultado el natural b. En símbolos: bacNccba =∈∃⇔ ./,

Definición de múltiplo de un número natural: baab ⇔= & bacNcc =∈∃⇔ ./,

En otras palabras, b es múltiplo de a si y solo si b es el resultado de multiplicar a por algún número natural.

✍ Fundamenta las siguientes propiedades: • El 1 es divisor de todo natural. • El 0 no es divisor de ningún natural. • Todo número excepto el cero es divisor de si mismo. • Si dos números a y b son múltiplos de otro número c, la suma de ambos (a+b) es múltiplo de c. • Los divisores de un número natural no nulo son menores o iguales que él.

✍ Investiga la validez de las siguientes propiedades. Fundamenta. • La suma de dos números pares es otro número par • La suma de dos números impares es un número impar • Si un número x divide a otro natural a, entonces x divide también a todo múltiplo de a. • Todo número x cuyos dígitos tienen la forma bbaa es múltiplo de 11.

✍ Demuestra las siguientes propiedades: • Si x divide a dos números a y b, también divide a su diferencia • Si x divide a a y además x divide a la suma de a y b, entonces x divide a b • Si x|a y z|b entonces zx|ab Definición de división entera Dados dos números naturales a y b, con b no nulo, efectuar la división de a entre b es hallar dos números naturales q y r que cumplan las siguientes condiciones:

i. rqba += . ii. br <

? ¿Para cualquier par de naturales a y b, existen otros naturales q y r que cumplen esas condiciones? ¿Cuántos hay?

✍ Hallar todos los naturales que cumplan D, d=4, r, q=17




Definición de división exacta

Es un caso particular de división entera, en el cual el resto de la división es cero.q

ba

0

En ese caso también se verifica que qba .= por lo cual el dividendo es múltiplo del divisor y del cociente.

✍ Completa los siguientes esquemas de división entera discutiendo el número de soluciones: a) 33 b) 42 c) 72 d) e) 7 f) 4 g) 3

2 8 2 3 4 9 9 5

✍ Hallar todos los naturales que divididos entre 29 dan un resto igual al cociente elevado al cubo.

✍ Justifica las siguientes propiedades: • Si en una división entera, un número divide exactamente al dividendo y al divisor, entonces

divide exactamente al resto. • Si en una división entera, un número divide exactamente al divisor y al resto, entonces divide

exactamente al dividendo.

✍ Sabiendo que qr

a 1186+ y

1211

31403

−++

q

ra determina a,q,r ∈ N.

Definición: Conjunto de divisores de un número natural Dado un número natural, denominamos conjunto de divisores de dicho número al conjunto d(a )={x/x natural ∧ x divide a a }

✍ Determina todos los divisores de 48. Determina todos los divisores de 36. Encuentra todos los divisores comunes a esos dos números. ¿Siempre existirá algún divisor común? Justifica. ¿Cuál es el mayor de los divisores comunes?¿Cómo se le denomina?

Definición: Máximo común divisor Llamamos máximo común divisor de dos números naturales a y b, y anotaremos D(a,b) o simplemente D, al máximo del conjunto de divisores comunes de a y b.

✍ ¿Siempre existe el máximo común divisor de dos naturales? Justifica.

✍ Investiga la veracidad del siguiente enunciado: “El conjunto de divisores comunes a dos números a y b, es igual al conjunto de divisores comunes del divisor y el resto de dividir a entre b”




✍ Determina el conjunto de divisores comunes a 24 y 18 aplicando la propiedad anterior.

Busca información sobre Euclides y el Algoritmo de Euclides:

✍ Aplicando el algoritmo de Euclides, hallar el máximo común divisor entre 6684 y 2700

✍ Completar el cuadro sabiendo que a+b=1500: 1 3 1 2 a b r1 r2 r3 r1 r2 r3 0




Propiedades del máximo común divisor Todo divisor común de a y b, es divisor de su máximo común divisor y recíprocamente. (No se demuestra)

✍ Justifica: Si q y r son el cociente y el resto de dividir a entre b, y x es un número natural no nulo, entonces q y rx son el cociente y el resto de dividir (ax) entre (bx)

✍ Si el máximo común divisor de dos números a y b es D, y x es un natural no nulo, entonces el máximo común divisor de ax y bx es Dx Definición: números primos entre si o coprimos Dos números se dicen primos entre si o coprimos si y solo si el máximo común divisor entre ambos es 1.

✍ Busca tres ejemplos de pares de números primos entre si. Teorema: si el máximo común divisor de dos números a y b es D, se cumple que a/D y b/D son primos entre si.

✍ Hallar los naturales a y b (a mayor que b) que verifiquen a.b=1470 y D(a,b)=7 Teorema de Euclides: Si un número es divisor de un producto de dos factores y es primo con uno de ellos, entonces es divisor del otro.

Criterios de divisibilidad

Un número natural es divisible...

• por 2 si termina en 0, 2, 4,6,8 o sea si es par • por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3 • por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4 • por 5 si termina en 0 o en 5 • por 6 si es divisible por 2 y por 3 • por 7 si la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la

cifra de las unidades es múltiplo de 7. • por 8 si el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8 • por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9 • por 10 si termina en 0 • por 11 cuando la diferencia entre las sumas formadas por las cifras de lugar par y

las de lugar impar es múltiplo de 11




Números primos Un número natural es primo si admite únicamente dos divisores distintos: a él mismo y a la unidad.

✍ Investiga si los siguientes números son primos: a)2311 b)10201

✍ Hallar todos los números primos comprendidos entre 100 y 110. Numero compuesto: Decimos que un natural mayor que uno es compuesto si tiene más de dos divisores distintos. Observación: el cero y el uno no son primos ni compuestos.

Realiza la criba de Eratóstenes y trae información sobre su historia. Busca la historia de los números primos

Propiedades de los números primos

✍ Fundamenta la siguiente propiedad: Si un número primo es divisor del producto de dos factores, entonces es divisor al menos de uno de ellos. Teorema fundamental de la aritmética: Todo número natural mayor que 1, es primo o puede descomponerse de manera única como el producto de factores primos, en orden creciente.

✍ Investiga cómo se determina el número de divisores de un natural. Comprueba esa fórmula con al menos tres números.

✍ Determina el número de divisores de 350 Definición de múltiplos comunes a dos números Si a y b son dos números naturales, definimos el conjunto de múltiplos comunes como el conjunto formado por los elementos llamados x, no nulos tales que x es múltiplo de a y x es múltiplo de b. Mínimo común múltiplo (m) Es el mínimo del conjunto de los múltiplos comunes, exceptuando el cero.

✍ Investiga si dados dos naturales no nulos, siempre es posible determinar el mínimo común múltiplo entre ellos, y si este número es único.




Teorema que aceptaremos sin demostrar: Dados dos naturales, el producto dichos números es igual al producto de su mínimo común múltiplo (m) y su máximo común divisor (D). En símbolos: m.D=a.b

✍ Hallar el mínimo común múltiplo de: a) 72 y 96 b)12155 y 19448

✍ Calcular el MCD y el mcm de 4356 y 1092

✍ Hallar a y b sabiendo que 720480 << ab y 120),( =bamcm

✍ Hallar los naturales a y b sabiendo que 3m-25d=885 y m+6D=510

✍ Hallar el número natural γβα 13.7.5=n sabiendo que n5 tienen 20 divisores más que n y que n13 tienen 12 divisores más que n

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